FORMULARIO Variables Aleatorias Discretas Más Importan Tes
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1 FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (VARIABLES DISCRETAS) Formulario de la distribución binomial: (;, ) x n x n bxnp pq x − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , donde: n = número de ensayos independientes; p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de éxitos en los n intentos. (x = 0, 1, . . ., n). Media o valor esperado: μ = np. Varianza: σ 2 = npq ; desviación estándar: npq σ = . Distribución acumulada: B(r; n, p) = 0 (;, ) r x bxnp = ∑ (Se halla en tablas). Moda: m o = [(n + 1)p], si (n + 1)p∉ ] ; pero si (n + 1)p∈ ] , hay dos modas, a saber: (m o ) 1 = (n + 1)p; y (m o ) 2 = (n + 1)p − 1. (El símbolo [r ] denota la parte entera de un número real r, por ejemplo [2.23] = 2). En qué casos se usa: Se usa cuando se trata de pruebas repetidas independientes con sólo dos resultados posibles (éxito y fracaso). Se identifica fácilmente porque se conoce un valor de probabilidad fijo (p) para la ocurrencia de un éxito, y otro valor fijo (n) que representa el número de ensayos o pruebas independientes realizadas. Formulario de la distribución binomial negativa : 1 *( ; , ) 1 r nr b x rp pq x r − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − , donde: r = número ordinal de éxito deseado (también se suele denotar por la letra k); p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de intentos (éxitos más fracasos) para lograr el r−ésimo éxito. Media o valor esperado: μ = r p . Varianza: 2 σ = 2 rq p ; desviación estándar: rq p σ = . Distribución acumulada: 1 0 *( ; , ) 1 (;, ) r n xr x b xrp bxnp − = = = − ∑ ∑ Moda: 1 1 1 o r p r m p p ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −+ − = = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (el corchete denota la parte entera). Al igual que en la binomial, si la parte dentro del corchete ya fuese entera, entonces habría dos modas, que serían ese número y el anterior. En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el r−ésimo éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Se identifica fácilmente por la presencia de adjetivos o pronombres ordinales (tercero, quinto, décimo, etc.). También puede verse como una espera discreta hasta lograr por fin r éxitos (junto con x − r fracasos) en una sucesión de ensayos de Bernoulli 1 . 1 Exactamente del mismo modo, la distribución gama (o Erlang), rige el tiempo (variable continua) de espera hasta que se acumulen r sucesos de Poisson.
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FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (VARIABLES DISCRETAS) Formulario de la distribución binomial:
( ; , ) x n xnb x n p p q
x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠, donde:
n = número de ensayos independientes; p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de éxitos en los n intentos. (x = 0, 1, . . ., n). Media o valor esperado: µ = np. Varianza: σ2 = npq ; desviación estándar: npqσ = .
Distribución acumulada: B(r; n, p) =0
( ; , )r
xb x n p
=∑ (Se halla en tablas).
Moda: mo = [(n + 1)p], si (n + 1)p∉ ; pero si (n + 1)p∈ , hay dos modas, a saber: (mo)1 = (n + 1)p; y (mo)2 = (n + 1)p − 1. (El símbolo [r ] denota la parte entera de un número real r, por ejemplo [2.23] = 2). En qué casos se usa: Se usa cuando se trata de pruebas repetidas independientes con sólo dos resultados posibles (éxito y fracaso). Se identifica fácilmente porque se conoce un valor de probabilidad fijo (p) para la ocurrencia de un éxito, y otro valor fijo (n) que representa el número de ensayos o pruebas independientes realizadas. Formulario de la distribución binomial negativa:
1*( ; , )
1r n rb x r p p q
xr
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
−−
, donde:
r = número ordinal de éxito deseado (también se suele denotar por la letra k); p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de intentos (éxitos más fracasos) para lograr el r−ésimo éxito.
Media o valor esperado: µ = rp
. Varianza: 2σ =2
rqp
; desviación estándar: rqp
σ = .
Distribución acumulada: 1
0*( ; , ) 1 ( ; , )
rn
x r xb x r p b x n p
−
= == −∑ ∑
Moda: 1 1 1or p rm
p p⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −
= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(el corchete denota la parte entera).
Al igual que en la binomial, si la parte dentro del corchete ya fuese entera, entonces habría dos modas, que serían ese número y el anterior. En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el r−ésimo éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Se identifica fácilmente por la presencia de adjetivos o pronombres ordinales (tercero, quinto, décimo, etc.). También puede verse como una espera discreta hasta lograr por fin r éxitos (junto con x − r fracasos) en una sucesión de ensayos de Bernoulli1.
1 Exactamente del mismo modo, la distribución gama (o Erlang), rige el tiempo (variable continua) de espera hasta que se acumulen r sucesos de Poisson.
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Formulario de la distribución geométrica:
1( ; ) xg x p pq −=
Media o valor esperado: µ = 1p
.
Moda: 1om = .
Varianza: 2σ =2
qp
; desviación estándar: qp
σ = .
Distribución acumulada: 1
( ; ) 1n n
xg x p q
== −∑ .
En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el primer éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Formulario de la distribución hipergeométrica:
( ; , , )
k N kx n xh x n k N
Nn
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,
Las letras significan: N = tamaño de la población; n = tamaño de la muestra sin reposición; k = número de éxitos en la población; x = número de éxitos en la muestra.
Media o valor esperado: µ = kn npN
= , donde p = kN
Moda: ( 1)( 1)2o
n kmN+ +⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
. Al igual que en la binomial y en la binomial negativa, si la parte
dentro del corchete ya es entera, entonces hay dos modas, que son ese número y el anterior.
Varianza: 2σ = 11 1
k k N n N nn npqN N N N
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠; donde p = k
N y q = 1 − p
En qué casos se usa: La distribución hipergeométrica se aplica cuando se toma una muestra sin reposición de una población que tiene sólo dos tipos de objetos: éxitos y fracasos.
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Formulario de la distribución de Poisson:
( ; )!
xx
xe λ λλ−
℘ =
Media o valor esperado: µ = λ. Moda: [ ]om λ= . Si ocurre que λ es entero, entonces hay dos modas, a saber: λ y λ −1.
Varianza: 2σ = λ; desviación estándar: σ λ= .
Distribución acumulada: 0
( ; )r
xx μ
=℘∑ . Con tablas. Se buscan r y μ en las tablas
En qué casos se usa: Es una distribución para eventos independientes poco probables. Puede verse como distribución límite de la binomial cuando n → ∞ y p → 0 . También se aplica en el flujo de sucesos de Poisson, que son eventos inesperados, independientes y poco probables, en los cuales λ es un promedio conocido de ocurrencias por unidad de tiempo, área o volumen. Formulario para la distribución de Bernoulli: Si un experimento aleatorio tiene dos resultados posibles, éxito y fracaso, y sus probabilidades son, respectivamente, p y q = 1− p, entonces el número de éxitos (0 o 1) tiene una distribución de Bernoulli. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X con distribución de Bernoulli y parámetro p es, por tanto:
f(x; p) = px (1−p)1−x, para x = 0, 1.
Media o valor esperado: µ = p. Varianza: 2σ = p (1−p) = pq; desviación estándar: pqσ = . Formulario para la distribución discreta uniforme: Se dice que la variable aleatoria X tiene la distribución discreta uniforme si la función de densidad está dada por:
nnni
ni
pxxxx111
21
...
...
Esta variable tiene número finito de puntos xi que toma con probabilidades iguales a pi. La media y la varianza de la variable aleatoria con distribución discreta uniforme están dadas, respectivamente por:
∑∑==
−====n
i
n
i
XExn
XVxn
XE ii1
2
1
2)]([1)(; 1)( σμ .
