VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y2.pdf

8/16/2019 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y2.pdf

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VARIABLES ALEATORIAS DISCRESUS DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

Profa. M. en C. Lorena Alonso Guzmán


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Introducción a la probabilidad

• ELEMENTO DE COMPETENCIA:

• Analiza el comportamiento probabilista de la variable aleatravés de su distribución y sus características numéricas, así clas distribuciones de probabilidad más utilizadas en la práctiingeniería.


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VARIABLES ALEATORIAS

• En este capítulo continuamos con el estudio de la probabilidad, utilizandconcepto de variable aleatoria para referirnos a experimentos donde el requeda caracterizado por un valor numérico. Se presentan algunos de los más habituales de asignación de probabilidades y sus propiedades más re

•

Palabras clave: variable aleatoria, variable discreta, función masa de pro variable continua, función de densidad de probabilidad, función de distrmedia, varianza, distribución binomial, distribución de Poisson, distribucgeométrica, distribución uniforme, distribución exponencial, distribucióndistribución normal.


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• Una variable x valuada numéricamente varía o cambia, dependiendo resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponse tira un dado y se mide x , el número observado en la cara superior. variable x puede tomar cualquiera de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, depe

del resultado aleatorio del experimento. Por esta razón, la variable x secomo variable aleatoria.


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Ejercicio:

• En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado A: águila).

• Describa el conjunto de posibles resultados (espacio muestral)

•

Describa con una variable, el número de águilas que se obtieneEM={(c,c,c), (c,c,a), (c,a,a), (a,c,c), (c,a,a), (a,c,a), (a,a,c), (a,a,a)

X: Número de águilas que se obtiene


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• Definición Una variable x es variable aleatoria si el valor que tomacorrespondiente al resultado de un experimento, es una probabilidadevento aleatorio. Se trata, por tanto, de una función real con dominioespacio muestral, ∶ Ω ⟶ ℝ.


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Ejemplos de variables aleatorias

Se pueden considerar numerosos ejemplos de variables aleatorias:

• x = Número de defectos en una pieza de mueble seleccionada al azar

• x = Calificación de examen de aptitud escolar para un solicitando

universitario seleccionado al azar • • x = Número de llamadas telefónicas recibidas por una línea directa

intervención en crisis durante un periodo seleccionado al azar


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Ejemplos de variables aleatorias

• El número de accidentes laborales en una empresa al año.

• El número de errores en un mensaje transmitido.

• El número de piezas defectuosas producidas a lo largo de un día en u

cadena de producción.• El número de días de baja de un trabajador al mes.


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• En un lote de 5 artículos, 3 son defectuosos y 2 aceptables. Se tomamuestra aleatoria sin reemplazo de 2 artículos. Encuentre la distribuprobabilidad de la variable aleatoria; Cantidad de artículos defectuoobtienen en la muestra

Sean A, B, C: Artículos defectuososD, E: Artículos aceptables

Posibles resultados:5C2 =10EM={(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (C,D), (

X: Variable aleatoria discreta (Cantidad de artículos defectuosos)x: 0, 1, 2

Solución

Solución f(x)=P(X=x)

0 1/10

1 6/10

2 3/10

En forma tabular:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.1

0.6

0.3Gráfica dedistribución


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Función masa de probabilidad

• Dada una v. a. discreta, X, se define su función masa de probabilidad

= = , ℝ


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• Sea X una v. a. discreta f(x) su función masa. Entonces:

1. ≥ 0 ∈ ℝ.2. ∈ℝ = 13. En general, para cualquier conjunto B. ∈ =

∈ ()

Donde son los valores posibles para cualquier conjunto B.


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Media y varianza de una variable aleatoria

• La media poblacional, que mide el valor promedio de x en la poblacitambién se denomina valor esperado de la variable aleatoria x. Es el vse esperaría observar en promedio si el experimento se repite una y oLa fórmula para calcular la media poblacional es más fácil de entende

ejemplo. Lance otra vez al aire dos monedas imparciales, y sea x el núcaras observado. Construimos esta distribución de probabilidad para

x 0 1 2

P(x) 1/4 1/2 1/4


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Suponga que el experimento se repite un gran número de veces, por ejemplo n =4 veces. Intuitivamente, se esperaría observar alrededor de un millón de ceros, dos mnúmeros 1 y un millón de números dos. Entonces el valor promedio de x sería igu

=

1 000 000 0 + 2 000 000 1 + 1 000 000 (2)4 000 000 =

14 0 +

12

Observe que el primer término de esta suma es (0)p(0), el segundo es igual a (1)p(el tercero es (2)p(2). El valor promedio de x, entonces, es

= 0 + 12 +24 = 1

Este resultado da alguna justificación intuitiva para la definición del valor esperad variable aleatoria x discreta.


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• Dada una v.a. discreta, X, con función masa de probabilidad f(x), se dmedia o esperanza matemática como:

= =

∙ ()

Donde f(x)=P(x) y los elementos se suman sobre todos los valores de laaleatoria x .


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• Dada una v.a. discreta, X, con función masa de probabilidad f(x), se d varianza como

La desviación estándar s de una variable aleatoria x es igual a la racuadrada positiva de su varianza.

A


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A• Demuestre la varianza

• Una tienda de electrónica vende un modelo particular de computadora portátil.computadoras en existencia y la gerente se pregunta cuál será la demanda de hoy

particular. Ella se entera en el departamento de marketing de que la distribución de prla demanda diaria para la laptop es como se muestra en la tabla. Encuentre la mdesviación estándar de x y grafique la función de probabilidad. ¿Es probable que cindeseen comprar una laptop hoy?

• En una lotería realizada a beneficio de una institución local de caridad, se han de vender$10 cada uno. El premio es un automóvil de $24 000. Si usted compra dos boletos, ¿cuáesperada?

x 0 1 2 3 4 5

P(x) 0.10 0.40 0.20 0.15 0.10 0.05


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• Determine la prima anual para una póliza de seguro de $10 000 que cubre un evento quetiempo, ha ocurrido a razón de 2 veces en 100. Sea x igual a la ganancia financiera anual de seguros, que resulte de la venta de la póliza, y sea C igual a la prima anual desconocidade C tal que la ganancia esperada E( x ) iguale a cero. Entonces C es la prima requerida pa

de equilibrio. Para esto, la compañía sumaría costos administrativos y utilidad.• Sea X una V. A. D. cuya distribución de probabilidad está dada por:

Encuentre P(X=2) = , = 0, 1, 2, 30,


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DISTRIBUCIONES DISCRETA


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Distribución Bernoulli

• Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos rposibles. ES costumbre designarlos como “éxito” o “Fracaso” aunque potra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.

Sean X: Variable aleatoria cuyos valores pueden ser 1:”Exito”, 0: “Fracaso”p: Valor de probabilidad de que el resultado del ensayo sea “Éxito”

Entonces, la distribución de probabilidad de X es:

= , = 1 = 1 , = 0 ⟹ = −


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• = ,• var = • = +


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Ejemplo

Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es de 0.2 y se cinco ensayos independientes. Calcule la probabilidad que el primero y ensayo sean éxito, y los tres ensayos intermedios sean fracasos

Sean 1: El ensayo es éxito (con probabilidad 0.2)0: El ensayo es fracaso (con probabilidad 0.8)

Entonces:

P(X=1, X=0, X=0, X=0, X=1)= f(1)f(0)f(0)f(0)f(1)=(0.2)(0.8)(0.8)(0.8)(0.2)0.0205=2.05%


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DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La variable aleatoria toma un número finito de n valores, cada uno con igual probabilidad

Con n = 10 se tiene:

Su media y varianza son las siguientes

.

n x X P x f

1)()(

:

12

1

2

)1(

2

2

n

n

X

X

0 2 4 6 8

x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

p r o b


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Consiste en realizar un sólo experimento (ensayo) en el cual existen únicamen

dos posibles resultados:

S = { éxito, fracaso }Por ejemplo: observar un artículo y ver si es defectuoso


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Ejemplo:

Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno deellos ¿ qué probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?

La probabilidad de que saque el boleto 342

La probabilidad de que NO saque el boleto número 342


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Distribución BinomialUn experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo dedistribución binomial:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultadosuceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llfracaso.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultaobtenidos en las pruebas anteriores.

3. La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía deprueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1la probabilidad de Ac .

La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina variable aleatoria binomial.Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …, n éxitos.Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas realizadas,probabilidad del suceso “éxito”, p , y se representa por B (n , p ).

Di ib ió Bi i l


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Distribución Binomial

Un ejemplo de los ensayos de Bernoulli es lanzar una moneda. Los ensayoperan bajo tres condiciones:

1. Cualquier ensayo solo puede tener uno o dos posibles resultados, éxito o fallueve o no llueve.2. Ensayos sucesivos son independientes.3. Las probabilidades son constantes.

Bajo estas tres condiciones la probabilidad de x éxitos en n ensayos, está dada pla distribución Binomial como:

Donde:

Es el número de combinaciones de n eventos tomando x a

la vez.

x n x q p

x

n x p

)(

x

n


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p es la probabilidad de ocurrencia de un evento, por ejemplo la probabilidadéxito en lanzar una moneda, q es la probabilidad de falla.

x es la variable o el número de ensayos con éxito.

)!(!

!

x n x

n

x

n

pq 1


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Ejemplo: Distribución BinomialSuponga que una presa tiene una vida útil de 50 años y se desea evalprobabilidad que una inundación, con un periodo de retorno de 100 años,una vez durante la vida útil de la presa.

Por lo tanto, es alrededor de 31% de probabilidad que un evento de tal mapueda ocurrir una vez en la vida útil de la presa

50

1

99.01

01.0/1

n

x

pq

T p

306.099.01.0

1

50)1( 491

p


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Distribución Binomial: media varianza

En una variable aleatoria binomial B (n , p)

Media:

Varianza:

Desviación típica: q pnσ

q pnσ 2

Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)

Media = 10 · 1/6 = 10/6 Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36

Desviación típica = √50 / 6

μ = n p


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Distribución GeométricaRECORDANDO:

En una secuencia de Bernoulli, el número de ensayos hasta que un evento específico ocurrpor primera vez es modelado por la distribución geométrica.

Éxito ensayo t + nFalla ensayo t – 1

Si T v.a. apropiada:

Periodo de retorno Tiempo de recurrencia promedio para que un evento de ciertmagnitud sea igualado o excedido.

....,2,1)( 1

t pqt T P T


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Investigar las funciones de distribución discretas: distribución binomial, distribución de Poisgeométrica, distribución hipergeométrica

ACTIVIDAD 4


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1. Supongamos que un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño. Si la probade ellos falle durante el año en curso es de 1/1200 , determinemos la probabilidad de que

a. 4 generadores fallen durante el año en curso,b. Más 1 de un generador falle durante el año en curso.

2. Suponga que hay alrededor de un millón de adultos en un condado y una proporción desconocida p están a favor de limitar el pepolíticos. Se escogerá una muestra de mil adultos en forma tal que cada uno del millón de adultos tenga igual probabilidad de ser sele pregunta si él o ella está a favor de limitar el periodo. (El objetivo final de esta encuesta es estimar la proporción desconocida p, ¿binomial?

3. En un tiempo largo, se ha observado que un jugador profesional de baloncesto puede hacer un tiro libre en un intento determina .8. Suponga que él lanza cuatro tiros libres.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente dos tiros libres?2. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste al menos un tiro libre?

4. El número promedio de accidentes de tránsito en cierto crucero de carretera es dos por semana. Suponga que elsigue una distribución de Poisson con µ= 2.

1. Encuentre la probabilidad de que no haya accidentes en este crucero de carretera durante un periodo de 1 seman2. Encuentre la probabilidad de que a lo sumo haya tres accidentes en esta sección de carretera durante un periodo

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6. Un recipiente tiene 12 botellas de vinos, 3 de las cuales contienen vino que se ha echado a perder. Una muestra de 4 botellas se sela caja.

1. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de botellas de vinoechado a perder de la muestra.2. ¿Cuáles son la media y la varianza de x?

7. Un producto industrial particular se envía en lotes de 20. Hacer pruebas para determinar si un artículo es defectuoso o costoso; pmuestrea la producción en lugar de usar un plan de inspección del 100%. Un plan de muestreo construido para reducir al mínimo e

defectuosas, enviadas a los clientes, exige muestrear cinco artículos de entre cada lote y rechazar el lote si se observa más de una pie


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

PARA VARIABLES ALEATORIASCONTINUAS


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Cuando una variable aleatoria x es discreta, se puede asignar una probapositiva a cada uno de los valores que x pueda tomar y obtener la distriprobabilidad para x . La suma de todas las probabilidades asociada con l valores de x es 1, pero no todos los experimentos resultan en variables que sean discretas.

Las variables aleatorias continuas, por ejemplo estaturas y pesos, lapútil de un producto en particular o un error experimental de laboratoriotomar los infinitamente numerosos valores correspondientes a puntos eintervalo de una recta.


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Variable aleatoria continua: definició

• Una variable aleatoria es continua si el conjunto de valores que puede topuede encerrarse en intervalos, formando, por tanto, un conjunto con uinfinito no numerable de elementos.

Ejemplo.

Son variables aleatorias continuas:La tensión de fractura de una muestra de asfalto.El grosor de una lámina de aluminio.El pH de una muestra de lluvia.La duración de una llamada telefónica.


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PAR VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Supongamos que usted tiene un conjunto de mediciones en una variable aleatoria continuhistograma de frecuencia relativa para describir la distribución de las mismas. Para un pequmediciones, se puede usar un pequeño número de clases; entonces, a medida que se recolemediciones, se pueden usar más clases y reducir el ancho de clase. El perfil del histogramaligeramente, casi todo el tiempo haciéndose cada vez más irregular.

Cuando el número de mediciones se hace muy grande y los anchos de clase se hacen muy histograma de frecuencia relativa aparece cada vez más como una curva suave. Esta curva la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA


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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS


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¿Cómo se puede crear un modelo para esta distribución de probabilidad? Una varcontinua puede tomar cualquiera de un número infinito de valores de la recta rsemejante al número infinito de granos de arena en una playa. La distribución dees creada al distribuir una unidad de probabilidad a lo largo de la recta, igual que cdistribuir un puñado de arena. La probabilidad, es decir granos de arena o de m

apilarán en ciertos lugares y el resultado es la distribución de probabilidad mfigura. La profundidad o densidad de la probabilidad, que varía con x , puede seuna fórmula matemática f ( x ), llamada distribución de probabilidad o funciónde probabilidad para la variable aleatoria x .

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VA ALEATORIAS CONTINUAS


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El área bajo una distribución continua de proes igual a 1.

La probabilidad de que x caiga en un intervaparticular, por ejemplo de a a b, es igual al ácurva entre los dos puntos a y b. Ésta es el sombreada de la figura.


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Función de densidad

• Dada una v.a. continua, X, la función de densidad de probabilidad deaquella función f (x) tal que para cualesquiera a; b Є R o a; b =

±∞,

< < =

Dada una v.a. continua, X con función de densidad f (x):

1. ≥ 0 ∈ ℝ2. − = 13. En general, para cualquier conjunto de números reales, B,

∈ =


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Función de distribución

• Se define la función de distribución de probabilidad de una v.a. conticomo

F(x) = ≤ = −

ejemplo


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j p• Considérese una variable aleatoria continua, X; con función de densidad − . Vamos a calcular la constante c; la función de distribución y P [X

Solución

1 = − () = − () + ()= − exp + exp =

Luego es necesario que c=


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DISTRIBICIONES DEPROBABILIDAD

CONTINUA

Distrib ción E p


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Distribución ExpConsideraciones:

• Proceso de eventos aleatorios (los parámetros no cambian con el tiempo)

• No es posible tener mas de un evento en cualquier instante.

• Descripción de un proceso Poisson.

• La v.a. t representa el tiempo entre tormentas.

Función de Densidad:

La media es:

La varianza es:

La función de distribución acumulada es:

22 /1)( t

t t

t ed et F

1)( 0

t et f )( , t0

/1)( t E

Ej l Di ib ió


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Ejemplo: Distribución exponencEn un año en un sitio determinado ocurren 110 tormentas independientes con una du(todas) de 5.3 h. El intervalo entre tormentas es:

= 1/ λ λ = 1/74.3 = 0.0135 h-1

a) Cuál es la probabilidad de que pasen al menos 4 días (96 h) entre tormentas?

P(t 96) =1- F(96)

ht 3.74110

3.51108760

27.011)96(

1)96(

96*0135.0

96

0

eet P

edt eF

t

t t


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b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre dos tormentas sea exactamen12 horas?

P(t = 12)= 0 la probabilidad que una V.A continua valga cero enintervalo es cero.

c) Cual es la probabilidad que la separación entre 2 tormentas sea menor o ig

que 12 h?

V i bl l t i d l Di t ib


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Variable aleatoria de la DistribucNormal N( , )

f(x) =1

2 e

- 1

2

x-

2

Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media

y desviación típica , y se designa por N ( , ) si se cumplen las siguientescondiciones.

1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x ( – , + ).

2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de ecuaciónmatemática de la función de Gauss, es:

• Características de la función de densidad de la N( , )


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X

Y

x =

f(x) =1

2 e

- 1

2

x-

2

Campo de existencia = ( – ,+ )

(, )1

2

Creciente Decreciente

I

I'

Área bajo la curv1 unidad

y = 0

Familia de distribuciones normales


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Familia de distribuciones normales


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• Distribución normal estándar N(0, 1)


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Y

0a

Características de la distribución N(0,1):

1. Función de densidad:

2. Probabilidad:

( , )

De las infinitas distribuciones N ( , ) tiene especial interés la distribución N (0, 1), decir, aquella que tiene por media el valor cero ( = 0) y por desviación típica la unida( = 1). Se le designa como variable Z .

f(t) = e- 1

2 t

2 1

2

21

21( ) e2

a

t

P Z a dt

En el artículo Índices de relación peso-talla como indicadores de masa muscular en el ad


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pdel sexo masculino de la revista Revista Cubana Aliment. Nutr. (1998;12(2):91-5) aparececolectivo de varones con un peso cuya media y desviación estándar son, respectivamente

¿Cómo podemos, mediante las tablas de la N(0; 1), calcular, por ejemplo, la probabilidad

uno de esos varones pese más de 76.25 kilos?


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