FORMULARIO: GEOMETRÍA ANALÍTICA

ECUACIONES DE LA RECTA

PUNTO P (x; y) DE DIVISIÓN DE UN SEGMENTO ENTRE P

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P

ÁREA DE UN POLÍGONO ) y P

11

44

33

22

11

21

yxyxyxyxyx

A =

(x , y ); P (x , y ) (x , y (x , y

CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN GENERAL DE CENTRO (h, k) Y RADIO r ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Si D 2 + E 2- 4F > 0, la circunferencia es real. DE CENTRO (0,0) Y RADIO r Si D 2 + E 2- 4F < 0, la circunferencia es imaginaria.. Si D 2 + E 2- 4F = 0, el radio es cero y la circunferencia

es el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

22E,D

LA PARÁBOLA

Y P(x, y) 0 X F(a, 0)

( ) ( ) 222 rkyhx =−+−

222 ryx =+

022 =++++ FEyDxyx FEDrE,DC 421

2

222 −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EL ORIGEN

axy 42 ±=

EJE EL x

VÉRTICE (h, k)

( ) ( hxaky −±=− 42 )

EJE PARALELO A x

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EL ORIGEN

ayx 42 ±=

EJE EL y

VÉRTICE (h, k)

( ) ( kyahx −±=− 42 )

EJE PARALELO A y

ECUACIÓN DE LA DIRECTRÍZ x ± a = 0

x - h ± a = 0

ECUACIÓN DE LA DIRECTRÍZ y ± a = 0

y - k ± a = 0 LADO RECTO

4 a

ECUACIÓN GENERAL

0 ; 0 22 =+++=+++ FEyDxxFEyDxy

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2)

MEDIANTE UNA RAZÓN 2

1

PPPPr =( ) ( )212

212 yyxxd −+−=

PENDIENTE DE UNA RECTA ENTRE P

rxrxx

+⋅+

=1

21

ryryy

+⋅+

=1

21(x , y1 1 1) y P (x , y ) 2 2 2

12

12

xxyymtan

−−

==θ

DISTANCIA DE UN PUNTO P (x

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS L1 y L2

12

12

1 mmmmtan⋅+

−=α

PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN

bmxy +=

PUNTO – PENDIENTE ( )11 xxmyy −=−

CUANDO SE CONOCEN DOS PUNTOS: CARTESIANA

( )112

121 xx

xxyyyy −

−−

=−

REDUCIDA Ó ABSCISA – ORDENADA EN EL ORIGEN

1=+by

ax

GENERAL 0=++ CByAx

1 1, y ) 1

A UNA RECTA Ax + By + C = 0

2211

BA

CByAxd+±

++=

RECTAS PERPENDICULARES

21

1m

m −=ECUACIÓN NORMAL

0=−+ pysencosx ωω

RECTAS PARALELAS L1 ‖ L2⇔ m1 = m2

L1 ⊥ L2⇔

JUAN CARLOS MUÑOZ VILLARROEL 282

LA ELIPSE

Y D’ (0,b) D P(x, y) (-a, 0) (a, 0) X F’(-c, 0) 0 F(c, 0) (0, -b)

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL

ORIGEN, EJE MAYOR EN X

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL

ORIGEN, EJE MAYOR EN Y

LA HIPÉRBOLA

12

2

2

2

=+by

ax 12

2

2

2

=+ay

bx

CON CENTRO (h; k), EJE MAYOR PARALELO A X

CON CENTRO (h; k), EJE MAYOR PARALELO A Y

( ) ( )12

2

2

2

=−

+−

bky

ahx ( ) ( )

12

2

2

2

=−

+−

aky

bhx

F’P + PF = 2a EXCENTRICIDAD RELACIÓN DE a, b y c

aba

ace

22 −==a 2 = b 2 + c 2

LADO RECTO

b22 ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES a

0y 0 =−=+eax

eax 0y 0 =−=+

eay

eay

ECUACIÓN GENERAL

0y 0 =−−=+−eahx

eahx 0yy 0 =−−=+−

eak

eaky022 =++++ FEyDxByAx

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON

CENTRO EN EL ORIGEN, EJE REAL EN X

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN, EJE REAL

EN Y

Y

(0, b) (-a, 0) V(a, 0)

F’(-c, 0) 0 F(c, 0) (0, -b)

12

2

2

2

=−by

ax

12

2

2

2=−

bx

ay

CON CENTRO (h; k), EJE

REAL PARALELO A X CON CENTRO (h; k), EJE

REAL PARALELO A Y

( ) ( ) 12

2

2

2=

−−

−b

kya

hx ( ) ( ) 12

2

2

2=

−−

−b

hxa

ky

RELACIÓN DE a, b y c EXCENTRICIDAD F’P – PF = 2ac 2 = a 2 + b 2

aba

ace

22 +==

LADO RECTO

ab22ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS

xaby ±=

ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS EJE REAL X

xbay ±= EJE REAL Y

( hxabky −±=− ) ECUACIÓN GENERAL EJE REAL

PARALELO A X

( hx

baky −±=− )022 =+++− FEyDxByAx EJE REAL

PARALELO A Y

ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES

0y 0 =−=+eax

eax

0y 0 =−=+eay

eay

EJE REAL EN X EJE REAL EN Y

0y 0 =−−=+−eahx

eahx

0yy 0 =−−=+−eak

eaky

EJE REAL PARALELO A X EJE REAL PARALELOA Y

JUAN CARLOS MUÑOZ VILLARROEL 283

TRASLACIÓN DE EJES

k'yyh'xx +=+= ,

Y Y ’

ROTACIÓN DE EJES

θθθθ

cosysen'xy,sen'ycos'xx

+=−=

M P (x, y) M ‘ P ‘ (x’, y’) 0 ‘ (h, k) N ‘ X ‘ 0 N X

Y X P(x, y) Y ‘ P ‘ (x‘, y‘) x’ θ y’ M’ N’ Θ 0 M N X

JUAN CARLOS MUÑOZ VILLARROEL 284