formulario de Combinatoria
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Formulario Pág. 1 de 2 © Manuel Valero TABLA DE COMBINATORIA “ TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA ” FORMULARIO Nº Factoriales 1 2 3 ) 2 ( ) 1 ( ! - - = L n n n n 1ª. 1 ! 1 ! 0 = = 2ª. )! 1 ( ) 1 ( ! = n n n Propiedades 3ª. ! ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ! n n n n k k k = - - L , n k ≤ Nº Factoriales generalizados ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( - - - = k n n n n n k L 1ª. 1 ) 0 ( = n , n n = ) 1 ( 2ª. ! ) ( n n n = 3ª. ! ! ) ( n k n k n = - Propiedades 4ª. ! )! ( ) ( n k n n k = - Nº Combinatorios )! ( ! ! ! ) ( , n m n m n m n m C n n m - = = = 1ª. 1 1 0 = = m m 2ª. m m m m = - = 1 1 3ª. - = n m m n m 4ª. - - - = n m n m n m 1 1 1 Fórmula de Stifel. Propiedades 5ª. - - - - - - = 1 1 1 2 1 1 n n n m n m n m K , m n ≤ ≤ 1 Nº Combinatorios complementarios 1 n m y 2 n m complementarios m n n = 2 1 Nº de Euler generalizados ! ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( n n m m m m n m - - - = L , Ν n m , Variaciones )! ( ! ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( , n m m n m m m m V V n m n m - = - - - = = L Variaciones con repetición n n m n m m VR VR = = , Permutaciones n n n V n n n n P = - - = = 1 2 3 ) 2 ( ) 1 ( ! L Permutaciones con repetición ! ! ! ! ,...., , ,....., , l b a l b a l b a = = L n PR P n n , n = l b a K Combinaciones n n m n m n m P V n m n m n m C C = - = = = )! ( ! ! , Combinaciones con repetición )! 1 ( ! )! 1 ( 1 , 1 , - - = - = = = - m n n m n n m C CR CR n n m n m n m
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Formulario Pág. 1 de 2 © Manuel Valero
TABLA DE COMBINATORIA
“ TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA ” FORMULARIO
Nº Factoriales 123)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= Lnnnn 1ª. 1!1!0 == 2ª. )!1()1(! +=+⋅ nnn Propiedades 3ª. !)1()2()2()1(! nnnnkkk =⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅ L , nk ≤
Nº Factoriales generalizados )1()2()1()( +−⋅⋅−⋅−⋅= knnnnn k L
1ª. 1)0( =n , nn =)1( 2ª. !)( nn n = 3ª. !!)( nkn kn =⋅−
Propiedades
4ª. !)!()( nknn k =−⋅
Nº Combinatorios )!(!
!!
)(
, nmnm
nm
nm
Cn
nm −⋅==
=
1ª. 110
=
=
mm
2ª. mm
mm=
−
=
11
3ª.
−
=
nm
mnm
4ª.
−+
−−
=
n
mnm
nm 1
11
Fórmula de Stifel.
Propiedades
5ª.
−−
++
−−
+
−−
=
11
12
11
nn
nm
nm
nm
K , mn ≤≤1
Nº Combinatorios complementarios
1nm
y
2nm
complementarios ⇔ mnn =+ 21
Nº de Euler generalizados !
)1()2()1(n
nmmmmnm +−⋅⋅−⋅−⋅
=
L ,
Ν∈ℜ∈
nm
,
Variaciones )!(
!)1()2()1(, nm
mnmmmmVV n
mnm −=+−⋅⋅−⋅−⋅== L
Variaciones con repetición
nnmnm mVRVR ==,
Permutaciones nnn VnnnnP =⋅⋅⋅−⋅−⋅== 123)2()1(! L
Permutaciones con repetición !!!
!,....,,,.....,,
λβαλβαλβα
⋅⋅⋅==
Ln
PRP nn , n=+++ λβα K
Combinaciones n
nmn
mnm PV
nmnm
nm
CC =−⋅
=
==
)!(!!
,
Combinaciones con repetición )!1(!
)!1(1,1, −⋅
−+=
−+=== −+ mn
nmnnm
CCRCR nnmnmnm
Formulario Pág. 2 de 2 © Manuel Valero
TABLA DE COMBINATORIA
Nº de aplicaciones entre dos conjuntos finitos
Card ka nBA =→ )( , siendo
==
nCard(B)kCard(A)
Nº de aplicaciones inyectivas
Card )()( ki nBA =→ , siendo
==
nCard(B)kCard(A)
, nk ≤
Nº de aplicaciones biyectivas
Card !)( nBA b =→ , siendo Card(B)nCard(A) == ,
Subconjuntos de un conjunto de n elementos
Si n2(A))Card(nCard(A) =⇒= P
ESQUEMA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
¿Importa el orden de colocación de los elementos?
SI NO ¿Intervienen todos los elementos? ¿Pueden repetirse los elementos? SI Combinaciones con repetición NO
SI
−+=
nnm
CR nm
1,
NO Combinaciones ordinarias
=
nm
C nm ,
¿Hay elementos iguales entre sí? ¿Pueden repetirse los elementos?
SI SI Permutación con repetición NO Variaciones con repetición NO
!!!
!,.....,,
λβαλβα
⋅⋅⋅=
Ln
Pn nnm mVR =,
Permutaciones ordinarias Variaciones ordinarias !nPn = )1()1(, +−⋅⋅−⋅= nmmmV nm L
