La educación tiene la misión de permitir, a todos sin excepción, hacer fructificar todos sus talentos y todas sus capacidades de creación. Lo que implica que cada uno pueda responsabilizarse de sí mismo y realizar su proyecto personal. Jaques Delors.

Modelos empíricos

Gráfico de dispersión

Correlación no es causalidad Error estándar.

G. Edgar Mata Ortiz http://licmata-math.blogspot.mx/

http://www.slideshare.net/licmata/

licmata@hotmail.com

Fórmulas correlación y regresión lineal simple.

Referencias bibliográficas

Ejemplos de correlación. Modelos determinísticos: La variable o variables independientes predicen exactamente el valor de la variable independiente.

Modelos no determinísticos: La variable independiente (x) no predice exactamente la variable dependiente (y).

The nature of mathematics. Karl J. Smith. Thomson Learning. 2007.

Introduction to Statistics and Data Analysis. Roxy Peck,Chris Olsen,Jay L. Devore. CENGAGE Learning. 2012.

Applied Statistics and Probability for Engineers. Douglas C. Montgomery,George C. Runger. 2011.

Es un gráfico que utiliza las coordenadas cartesianas para

mostrar los valores de dos variables x, y.

Un aspecto que debe cuidarse es la interpretación de la correlación. A pesar de que el coeficiente de correlación sea muy cercano a uno, no podemos afirmar que “x” es

causa de “y”.

En realidad no sabemos que causa la correlación. Es posible que sea otra variable la que está causando que tanto “x” como “y” aumenten o disminuyan conforme a

la recta de regresión.

d fv a PV nRT

t m

1y Consumodecombustibledeunvehículo

Ejemplox pesodel vehículo

2y Consumodeaguaenunacasa

Ejemplox númerode personasquevivenenella

Consumodeagua en una casa (metroscúbicos)2

x = númerodepersonasque viven en ella

yEjemplo

x y

1 2.4

1 3.5

1 5.1

2 6.8

2 8.5

3 8.1

3 7.2

3 7.6

4 8.1

4 7.5

4 6.8

4 8.8

5 8.2

5 8.8

5 9

5 8.9

6 8.1

6 8.8

7 9.2

7 9.5

El modelo de regresión lineal es no determinístico, de modo que los resultados pronosticados tienen error. Una ventaja de este modelo es que podemos conocer la

magnitud de dicho error.

Su nombre completo es error estándar al calcular “y”

dado “x”.

Se calcula mediante la fórmula siguiente:

2

2

y

x

y x

x yxy

nSC

SCS

n

Aunque es sencillo simplificarlo observando que el nu-

merador es SCxy.

2

2

xy

y

x

y x

SCSC

SCS

n

El error estándar nos da una medida de la desviación promedio de las predicciones hechas por medio de la

ecuación de regresión respecto a los valores observados.

En este sentido, la recta de regresión puede ser conside-rada una estimación de la media de los valores de “y”

para cada valor de “x”.

El error estándar es una cuantificación del error al prede-cir “y” para cada valor de “x”. Cuanto más grande es este error menos podremos confiar en las predicciones del

modelo.

r de Pearson

La educación tiene la misión de permitir, a todos sin excepción, hacer fructificar todos sus talentos y todas sus capacidades de creación. Lo que implica que cada uno pueda responsabilizarse de sí mismo y realizar su proyecto personal. Jaques Delors.

r de Pearson Coeficiente de determinación r2

Interpretación del valor de r

Las sumas de cuadrados se sustituyen para obte-ner r.

El coeficiente de determinación r2 nos indica

la proporción de la variación total en y que conocemos como función de x.

En ocasiones se le considera la proporción de

la varianza en “y” explicada por la regresión.

En correlación lineal múltiple se usa como indicador de bondad del ajuste del modelo.

El coeficiente de correlación lineal r de Pear-son mide la fuerza de la correlación entre las variables x, y.

EL valor de r siempre está entre –1 y +1. Si es exactamente igual a +1 ó –1 se dice que existe correlación perfecta, y nos encontramos ante un modelo determinístico.

Para calcular r comenzamos con la siguiente tabla:

x y x2 y2xy

1 1 2.4 1 5.76 2.4

2 1 3.5 1 12.25 3.5

3 1 5.1 1 26.01 5.1

18 6 8.8 36 77.44 52.8

19 7 9.2 49 84.64 64.4

20 7 9.5 49 90.25 66.5

S 78 150.9 372 1206.09 641.9

Sx Sy Sx2Sy2

Sxy

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

Las sumatorias que se obtienen al final de ca-da columna son las que se utilizan en las fór-mulas siguientes:

2

2

2

2

x

y

xy

xSC x

n

ySC y

n

x ySC xy

n

xy

x y

SCr

SC SC

El valor de r indica que tan fuerte es la correla-ción lineal entre las variables independiente (x) y dependiente (y). Cuanto más cerca de uno, más fuerte es la correlación y cuanto más cerca de cero, más débil.

No existen reglas para decidir si 0.6 es una co-rrelación suficientemente fuerte. Depende de los objetivos del experimentador.

Se recomienda hacer el análisis de correlación y regresión completo. Para encontrar la regla de regresión se emplean las siguientes fórmu-las.

Coeficientes de la recta de regresión lineal.

2

0 22

x y x xya

n x x

0 1y a a x

1 22

n xy x ya

n x x

La recta de regresión lineal

La ecuación de esta recta es un modelo no determinístico del efecto que la variabilidad de la variable explicativa (x) tiene sobre la va-riable dependiente (y).

Esta ecuación responde a la pregunta “¿Qué pasa si x es igual a…?”

La forma de responder a estas preguntas con-siste en sustituir los valores de “x” en la ecua-ción y obtener los valores de “y”.

Con dos parejas (x, y) obtenemos dos puntos y, al unirlos, podemos trazar la recta de regre-

sión lineal.

x y

1 5.261

2 6.049

3 6.836

4 7.624

5 8.411

6 9.199

7 9.986

0.7875 4.4739y x

La tabulación indica que:

Si en una casa vive sólo una persona, el consumo de agua será de 5.261 m

3; si

viven dos personas serpa de 6.049 y así sucesivamente hasta llegar a 7 personas cuando el consumo espera-do es de 9.986 m

3.