Folleto de modelación Versión 1.pdf

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La modelación matemática:

Su importancia en la solución demúltiples problemas deOptimización. Iniciarse en el artede modelar.

Prof. María Gulnara Baldoquin de la Peña

Dpto. Ingeniería Civil e Industrial

Facultad de IngenieríaPontificia Universidad Javeriana de Cali, Colombia

Febrero del 2012


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Prof. M. Gulnara Baldoquin de la Peña

Introducción

Varias asignaturas que deben cursar estudiantes de carreras como Ingeniería Industrial yAdministración de Empresas, estudiantes en maestrías de Ingeniería, etc., requieren para

ser aprobadas satisfactoriamente, o como prerrequisitos previos de otros cursos, lamodelación matemática de problemas en los que debe optimizarse en general “algo”teniendo en cuenta ciertos recursos de que se dispone. Como ejemplos tenemos, en laPUJ de Cali, los cursos actuales de Modelación y Programación Matemática,Investigación Operativa, Optimización Combinatoria, Optimización Aplicada,Ingeniería de Operaciones, y el que pronto se iniciará de Modelación Logística.

La adquisición por parte de estudiantes de la habilidad de modelar problemas deOptimización es en general compleja. Por otro lado, aunque existen múltiples libros,

páginas web, donde se plantean ejercicios de modelación incluso con las respuestas (quecontemplan los elementos que debe llevar un modelo), falta a nuestro juicio un material

que de manera integral vaya guiando a un principiante cómo ir formulando un modelo,qué simbologías son más adecuadas utilizar en diferentes casos, señalar errores queusualmente se cometen en la modelación de problemas, explicando el por qué de esoserrores, ejercicios con diferentes características a tener en cuenta en la modelación, asícomo la interrelación de la modelación con otros aspectos cruciales como los métodosde solución. En la mayoría de los textos introductorios de Optimización se plantean

problemas clásicos como el de asignación y el de la mochila; sin embargo, no sefundamenta por qué un modelo tan simple como el que corresponde al problema de lamochila es mucho más difícil que resolver que el de asignación.

Justamente la intención de este material, basado en la experiencia de la autora en más de30 años como docente en una universidad de Ingenierías impartiendo cursosrelacionados con esta temática, es tratar de guiar a los estudiantes en el complejo

proceso de modelación.

La meta de la labor del profesor no es preparar a los estudiantes para un examen, sino para su desempeño en la vida profesional, de una manera integral, donde se enfrentará aretos mayores que problemas “académicos”. Por ello se incluyen en el texto algunasconsideraciones a partir de problemas reales de Optimización en cuyas soluciones laautora ha participado, con una breve introducción sobre la interrelación de lamodelación matemática con otros aspectos que deben tenerse en cuenta para que la

modelación de un problema real no quede archivada en una gaveta, y pueda ser unelemento importante en la solución de un conjunto de problemas. Posteriormente se vaincursionando en la modelación, a través de una variedad de situaciones en 19 ejemplosque se resuelven con todo detalle, que incluyen problemas modelados con variablescontinuas, enteras, binarias ó mixtas, con diferentes niveles de dificultad. En losejemplos presentados la modelación se va realizando con explicaciones de cómo definirlas diferentes componentes de un modelo, así como relacionando algunos erroresfrecuentes que usualmente cometen los estudiantes.

Los ejercicios presentados son una selección de problemas de la gran variedad de problemas de Programación Lineal que aparecen en libros, páginas web, así como

algunos ofrecidos por el profesor Hernando Prado.


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Este documento es una primera versión, no terminada, que se entrega para que losestudiantes de los cursos actuales de Investigación Operativa y ProgramaciónMatemática puedan utilizarlo.

Posteriormente se le incluirán nuevos ejercicios, así como otras situaciones, por ejemplo:

• Casos de problemas cuyos modelos más simples de obtener son no lineales, peroque pueden ser linealizados.

• Problemas donde se presentan diversos modelos para el mismo problema.

Se agradece cualquier crítica o sugerencia que permita mejorar este material para suversión definitiva

La autora

Febrero del 2012


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Contenido Pág.

Introducción 5• ¿Qué es un modelo? 5• ¿Para qué sirven los modelos? 5

• ¿Por qué la modelación de un problema es muy importante a su vez que engeneral es difícil adquirir la habilidad de modelación?

6

• ¿Por qué existen muchas empresas que plantean que los modelos “fallan”? 7• Recomendaciones iniciales para modelar problemas de PL 10Modelación de problemas de Programación Lineal (PL) 11• ¿Qué es la Programación Lineal? 11• Ejemplo de un modelo de PL 13• Notación a utilizar para las variables 16• Organización de la información 18• Modelos equivalentes: Transformación de la función objetivo 24

• Explicitar lo que representa cada variable 25• Sustitución de restricciones 29• Explicitar la dimensión del modelo 31• Hacer diagrama de la situación planteada 33• Interpretación de un modelo 38Modelos con variables binarias 40De qué depende la complejidad de un modelo 43Soluciones por el método gráfico. 44

Número de soluciones de un modelo de PL con variables continuas. 48Ejercicios propuestos 48


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Introducción

¿Qué es un Modelo?

En la literatura existen diferentes definiciones de lo que es un modelo. En nuestrocontexto pondremos dos de las más representativas:

“Un modelo es una representación de la realidad” (Ackoff, 1968)

“Un modelo es una representación explícita y externa de parte de la realidad como laven las personas que desean usar el modelo para entender, cambiar, gestionar ycontrolar dicha parte de la realidad” Pidd (1996)

Los modelos son representaciones de la realidad, no la realidad misma, y ésta puedeestar representada de una forma u otra dependiendo de la experticia de la persona que lamodeló, qué aspectos de esa realidad tuvo en cuenta, si discriminó adecuadamenteaspectos relevantes o no, el o los objetivos que pretende alcanzar, etc.

¿Para qué sirven los modelos? La resolución de los modelos construidos constituye una ayuda a la toma de decisiones,aportando soluciones óptimas y/o eficientes que aún un experto en el problemaabordado no pudiera haber logrado con otros métodos de solución elegidos.

Pero la solución ó soluciones obtenidas a partir de implementar un método quesolucione el modelo no puede sustituir al decidor, por cuanto entre la solución del

problema y el propio problema media un modelo que en general no representa en todasu magnitud dicho problema. Aún si lo fuera, existen los problemas con múltiplesobjetivos, tratados en la Optimización Multiobjetivo, donde no existe la “mejor”solución, sino un conjunto de soluciones llamadas eficientes, de las cuales ninguna esmejor que otra, y el decidor debe determinar cuál o cuáles se ajustaría más a susnecesidades. Un simple ejemplo de ello lo vemos en la decisión de comprar un carro,optimizando dos objetivos “contradictorios” entre sí: minimizar costos y maximizarconfort. (Figura 1)

Figura 1: Curva de soluciones eficientes

Dos personas, ante situaciones diferentes como número de personas de su núcleofamiliar que disfrutarían del carro, si usualmente lo usa para viajes largos o no, situación

confort

costo

A

B

C

D

E

F


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económica, etc., pueden tomar dos soluciones diferentes, de las mejores posibles, que seencuentran en la curva del gráfico ilustrado, siendo algunas las representadas en los

puntos A, B, C, D y E. Estas mejores soluciones se llaman eficientes, lo que significaque usted no puede mejorar un objetivo (por ejemplo, disminuir más el costo) sinafectar el otro objetivo (que sería aumentar el confort). El punto F que no está en esa

curva no es una buena solución, por ejemplo la solución dada por C es mejor, pues tienemenos costo y aumenta el confort.

¿Por qué la modelación de un problema es muy importante a su vez que en general

es difícil adquirir la habilidad de modelación?

1. Los problemas que no son triviales de resolver, y cuya solución se busca a través dela modelación, tienen en cuenta los siguientes pasos generales, en el orden planteado:

Problema Modelo Solución

Cuando se da una solución, dicha solución responde al modelo planteado, NO ALPROBLEMA. Lo que se resuelve NO ES EL PROBLEMA, SINO EL MODELOPLANTEADO.

Los modelos representan parte de la realidad, que siempre es más compleja quecualquier modelo obtenido, por muy sofisticado que este sea. El modelador discriminaqué aspectos son relevantes y cuáles no, en función del objetivo que pretende alcanzar.

Diversas personas ante un mismo problema pueden plantear diferentes modelos.

De ahí que si el modelo no responde al problema planteado, por alguno(s) de múltiplesmotivos como pueden ser:

• Faltaron restricciones relevantes que debieron tenerse en cuenta• Faltaron variables relevantes que debieron tenerse en cuenta• Hay errores en las restricciones planteadas y/o la función a optimizar• Existen varios objetivos a tener en cuenta y por simplicidad en su solución se

tuvo en cuenta uno solo

puede haberse resuelto adecuadamente por uno de los métodos existentes, pero noresponder a lo que pide el problema.

2. Existen múltiples software que dan solución a problemas de optimización, inclusivede gran tamaño, como pueden mencionarse el CPLEX, GUROBI, AMPL e inclusive laherramienta de Excel de Optimización (Solver del Excel), pero TODOS REQUIERENEL MODELO DEL PROBLEMA, NINGUNO HACE LA MODELACIÓN A PARTIRDE UNA PRESENTACIÓN VERBAL DEL PROBLEMA.

3. Los problemas responden a situaciones de la vida real que son innumerables,diferentes aún ante un mismo tipo general de problemas. Por ejemplo, existen múltiplessituaciones de problemas de localización de instalaciones, de problemas de tipo dieta, deasignación de personal a tareas. No existe una “fórmula” para modelar, o sea, paradefinir variables, plantear función a optimizar y restricciones del problema. La

modelación es más bien un arte, y requiere en general de un entrenamiento deformulación de modelos de una amplia gama de problemas.


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¿Por qué existen muchas empresas que no confían en los modelos desarrollados,

básicamente en el ámbito universitario, para la solución de sus problemas y

plantean que los modelos “fallan”?

La razón fundamental es que la metodología de aplicación de la Investigación deOperaciones para la solución de problemas de Optimización tiene como un pasoimportante, pero no el único ni el primero, la modelación, y en ocasiones fallan uno óvarios del resto de los pasos.

El primer paso muy importante, en la solución del problema, es la definición y análisisdel problema a resolver. Este paso crucial, del cual depende un modelo que se aproximelo más posible a la realidad, y que no excluya ninguna consideración importante para elcliente al cual se le dará el servicio, requiere en ocasiones un tiempo considerable,necesitando en determinadas situaciones la aplicación de métodos de expertos como elmétodo Delphi. Un método de experto es aconsejable aplicarlo en la definición de un

problema en situaciones donde:• Existen varias personas y/o grupos de personas que cumplen roles en la toma de

decisiones del problema y pueden tener diferentes criterios, en algunos casos no bien fundamentados.

• No existe un documento que regule, de manera clara y precisa, todos los aspectos atener en cuenta en la toma de decisiones y el personal encargado de esa toma dedecisiones, muchas veces a nivel operativo, tiene diferentes niveles de experticiaque lleva a tomar diferentes decisiones ante una misma situación.

• Las personas involucradas en la toma de decisiones solo conocen un aspecto del problema global y por lo planteado en el párrafo anterior, pueden dar criterios que

afectan otros procesos relacionados con el problema.• Existen aspectos importantes a tener en la consideración del modelo que en unacorta entrevista con los usuarios para usted definir el problema no salen a relucir,debido a causas como: Ser tan evidentes para el usuario que asume que usted los conoce. No convenirle a algunos usuarios pues tenerlos en cuenta implican

afectaciones personales por algún motivo. Desconocer dichos aspectos, importantes para el problema pero que no los

domina. Conocerlos pero olvidársele plantearlos por el cúmulo de ellos.

Ejemplos reales de un problema complicado donde ha sido necesario aplicar métodos deexpertos son:

1. El problema integrado de localización de ambulancias, asignación deambulancias a llamadas de pacientes y relocalización de ambulancias por unaEMS en una región del país.

2. La asignación del personal más adecuado a grupos de proyectos de software.

En el segundo caso fue interesante descubrir, luego de aplicar el método Delphi en elestudio realizado de los principales problemas que afectan el desarrollo de los proyectosde software, que el segundo aspecto que los expertos consideraban en orden de

importancia para que los proyectos de software terminaran exitosos (en tiempo y concalidad) era que hubiera sinergia en el equipo, es decir, que se llevaran bien, y que


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hubiera un balance de personalidades que permitiera ello. El primer aspecto era lacapacidad de cada miembro del equipo para cumplir su rol (Jefe de proyecto,

programador, diseñador gráfico, analista, probador, etc.). La segunda causa llevó aestudiar y aplicar test psicológicos como el 16-PF y de Belbin para incluir este aspectoen el modelo.

Belbin, es un test de autopercepción que permite identificar los roles de equipo preferidos y evitados de cada persona. Meredith Belbin, su creador, define rol de equipocomo "nuestra particular tendencia a comportarnos, contribuir y relacionarnossocialmente", e identifica nueve roles clasificados en tres categorías (Belbin, 2004):• Roles Mentales• Roles de Acción:• Roles Sociales:Las categorías representan las dimensiones del grado de orientación de las personashacia el desempeño de tareas (roles de acción), hacia el mundo de las ideas (rolesmentales) ó hacia las relaciones con las personas (roles sociales). Acorde a la teoría de

Belbin en la formación de un equipo se debe buscar una representación de todos losroles, logrando un adecuado balance. Deben predominar los roles de acción, y los rolessociales y los mentales no deben estar sobre-representados. ¿Por qué? En un equipodonde predomine el rol de acción puede terminarse en tiempo un software pero

probablemente no con la mejor calidad, pues no existen personas con ideas innovadoras;si predomina el rol mental es posible que el software no se culmine, pues las personasintentan cada una hacer predominar sus ideas; si predomina el rol social el equipo puedellevarse muy bien, pero adolecer de falta de lo que aportan los otros roles en beneficiode un software eficiente y eficaz.

Estos aspectos fueron incluidos en el modelo planteado (el modelo puede encontrarlo enAndré, Baldoquin, Acuña, 2011) que no se hubieran tenido en cuenta sin un análisiscuidadoso del problema abordado.

Otro aspecto en la metodología de aplicación de la Investigación de Operaciones es laadecuada obtención de datos y/o ajuste de parámetros del modelo

En ocasiones se dedica un esfuerzo extraordinario para modelar un problema que seajuste lo más posible a dicho problema pero pueden suceder varias cosas:

• No se tienen datos adecuados para ello. Siguiendo el ejemplo planteado de

formación de equipos para proyectos de software, si no se ha archivado en bases dedatos la información sobre los tests psicológicos que permitan identificar los rolesde equipo preferidos por las personas posibles a considerar, no puede utilizarse elmodelo propuesto.

• Los datos pueden ser no confiables, estar incompletos ó desactualizados.

La selección del método de solución para el modelo propuesto debe estar muy bienfundamentado, no solo para permitir resolver la situación actual, sino la escalabilidaddel problema en un futuro, al aumentar las dimensiones del mismo por causas como:aumento de número de clientes, personal, productos, etc. Para ello debe tenerse encuenta cómo se pudiera afectar el desempeño del algoritmo ó método utilizado al

aumentar sus dimensiones y qué aspecto del desempeño del algoritmo es predominante.Los dos aspectos más importantes en el desempeño de algoritmos utilizados para


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resolver problemas de optimización son la calidad de la solución y el tiempo deejecución del algoritmo.

Poniendo ejemplos que sustenten lo planteado en el párrafo anterior, existe diferenciasignificativa en la importancia del tiempo de respuesta de un método a modelos que

responden a:• Asignación de una ambulancia ante una llamada de emergencia médica.• Búsqueda de una ruta eficiente de un vuelo entre ciudades de Colombia y

España.• Localización eficiente de almacenes en una cadena de suministro.

En el primer caso el tiempo máximo de respuesta son pocos minutos. En el segundocaso no puede sobrepasar unas 3 ó 4 horas, tiempo máximo en que la ruta debe definirseantes del vuelo pues debe tener en cuenta la información meteorológica actualizada, yésta se renueva cada 6 horas aproximadamente. En el tercer caso puede esperarseincluso días, teniendo en cuenta que es una decisión de tipo estratégica.

El tipo de modelo debe conjugarse con lo planteado sobre el tiempo de respuesta de unasolución. En problemas de Optimización Combinatoria, donde las variables son enterasy puede existir un número muy grande de soluciones posibles (por ejemplo, 2 n, quecrece de manera exponencial al aumentar el “tamaño” del problema dado por el

parámetro n) métodos de solución exactos en general no pueden dar una respuesta en untiempo aceptable para valores de n aún relativamente pequeños, exceptuando un número

pequeño de problemas que tienen una estructura “buena” para resolverse con métodosexactos, no importa su dimensión.

El modelo no debe formularse para ajustarlo a un método de solución escogido, sino alrevés, el método debe ajustarse a las características del modelo.

Dos ejemplos de este tipo son:1. Eliminar restricciones relevantes al modelo porque ellas destruyen la linealidad delmodelo haciendo más difícil su resolución, y se quiere utilizar por ejemplo el Simplexde la Programación Lineal para resolver el modelo.2. Existen más de un objetivo a optimizar, igualmente importantes a tener en cuenta. Eneste caso a veces se usan dos estrategias que distancian la realidad del modelo:

• Tomar solo uno de los objetivos en cuenta• Formular un solo objetivo mediante la suma de los varios objetivos con

factores de ponderación

En el segundo caso el problema que generalmente se presenta es que muchas veces nilos propios decidores saben definir adecuadamente esos factores de ponderación.Depende de cuáles sean esos factores las soluciones pudieran dar muy diferentes, portanto si no se usan factores adecuados las soluciones obtenidas de implementar elmodelo pueden estar alejadas de las que debían obtenerse y que se ajusten al problema

planteado.

La validación de la aplicabilidad del modelo propuesto mediante el uso de unaherramienta en la solución de casos de prueba es también un paso importante al que hay

que dedicarle tiempo y hacer un diseño de experimentos cuidadosamente preparado,donde se tenga en cuenta, entre otros aspectos:


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Los diferentes factores que determinan el volumen de variables, restricciones del problema y probar el modelo con datos reales y simulados teniendo en cuentasituaciones que puedan presentarse con una dimensión mayor que las actuales.

Por ejemplo, en el caso de un modelo para asignación de vehículos de emergenciamédica a llamadas de pacientes, no bastaría probar cómo responde el métodoimplementado para el modelo generado teniendo en cuenta solo los periodos de tiempocon más llamadas realizadas en un rango de meses analizados. Otros factores puedendistorsionar este análisis si no se tienen en cuenta aspectos como: franjas del día de esasllamadas (la movilidad de vehículos no es la misma, por ejemplo, a las 5am que a las7am), por cientos de llamadas de cada tipo (llamadas de urgencia no pueden cubrirsecon cualquier tipo de vehículo como las de consulta), etc.

Por último, en muchos casos la solución de un problema dado para una empresaconcluye con el diseño e implementación de una herramienta (software) de apoyo a la

decisión que soporte el modelo propuesto, e implemente métodos y algoritmos para susolución. La herramienta debe ser “amigable”, permitir personalizar la mayor cantidadde parámetros posibles que la haga flexible y robusta, de lo contrario implicará unaconstante actualización de la misma y con ello la interrupción del uso de la misma y la

pérdida de confianza en su aplicabilidad. Por otro lado debe existir una interacción muyestrecha entre el personal que desarrolla la herramienta y aquel que la implementará,conllevando una capacitación de este último personal, que debe tener a su disposiciónmanuales de usuario de la herramienta a utilizar.

Hemos expresado algunas consideraciones del complejo y prolongado proceso que enmuchas ocasiones debe realizarse para llevar a un término exitoso la Investigación deOperaciones como herramienta en la Toma de Decisiones.

En lo adelante, solo nos referiremos al proceso de la modelación, y en determinadosmomentos a métodos de solución cuando sea necesario para la obtención de un modeloeficiente.

Recomendaciones iniciales para modelar problemas de PL a estudiantes que se

inician en ello:

1. Leer cuidadosamente el problema completo, preferiblemente más de una vez, antes

de comenzar a modelarlo. Es posible que, de no hacerlo así, comience a declararvariables, que luego tiene que redefinirlas por aspectos que se plantean posteriormente en el texto del problema.

2. En ocasiones el problema planteado tiene una descripción larga que involucramuchas restricciones y puede no darse cuenta que le faltó modelar alguna(s). Estose evita si va marcando o subrayando en el problema los aspectos que ya tuvo encuenta.

3. Si no tuvo en cuenta en su modelo alguna información que le dieron, analice el porqué, pues usualmente no se da información que usted no necesite utilizar.

4. Utilice diagramas siempre que sea posible para mejor comprensión del problema.5. Cuando la cantidad de información lo amerita, organice la misma en tablas

adecuadas previo a iniciar la modelación.


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6. Cuando los datos del problema aparecen con unidades de medida diferentes, reviseque no mezcla en una misma restricción ó función unidades de medidas diferentes,

por ejemplo, estar sumando pesos con miles de pesos, centímetros con metros ólibras con kilogramos.

7. En la presentación del modelo debe declarar explícitamente y en el siguiente orden

la siguiente información:• Índices utilizados, cuando lo amerite, si las variables están indexadas.• Datos del problema que utiliza en el modelo, de manera simbólica. Por ejemplo,

si un dato es la demanda de 15 clientes y denotó por i el índice referido aclientes, expresar este dato por ejemplo con el símbolo Di, para que cuando loutilice en restricciones y/o función objetivo se sepa qué significa eso, y no que el

profesor lo tenga que “adivinar” o suponer.• Variables utilizadas, indicando el número de ellas si están indexadas. Por

ejemplo, no colocar simplemente xi, sino xi, i = 1,…, hasta la cantidad devalores que toma i.

• Función a optimizar• Restricciones del problema.• Restricciones referidas a dominio de las variables. Esto es importante para luego

decidir el método de solución a utilizar. Por ejemplo, no es igual declarar si debesatisfacerse xi ≥ 0 que xi ≥ 0, enteras

8. Reforzando el aspecto anterior, no mezcle en el modelo variables y datos, sinsaberse qué representan unos y otros, que a veces “hay que adivinarlo” y eso haceambiguo e impreciso el modelo.

9. Es importante reconocer los signos de las desigualdades en las restricciones deacuerdo a lo que piden, en términos de frases como:• A lo sumo (≤)

• Como mínimo (≥)• Al menos ó por lo menos (≥)• Como máximo (≤)Cuando al referirse a una cantidad disponible de un recurso dado, sea por ejemploel valor 30, y referido a ese recurso se usan las palabras a lo sumo ó como máximo,el signo de la desigualdad debe ser ≤ 30.Si al referirse a una cantidad que debe hacerse de un producto dado, sea porejemplo el valor 15, y referido a ese producto se usan las palabras como mínimo, almenos ó por lo menos, el signo de la desigualdad debe ser ≥15.¿Qué sucede si una restricción del modelo se refiere al cumplimiento de unademanda, a la satisfacción de la demanda?

Depende del contexto del problema, se utilizan los signos = ó ≥. Por lascaracterísticas de la demanda, si es un producto muy costoso, con ciclo de vidacorto, que por volumen incrementa el valor del inventario, etc., puede pedirse quese cumpla estrictamente la demanda (=). En otros casos, lo más común es plantearlocon el signo ≥. En general no afecta a la solución del problema pues es común

plantear la función objetivo como un problema de minimizar costos, por lo cual lamejor solución buscará satisfacer la demanda mínima, o sea, cumplirse larestricción en la igualdad, salvo que sea un poco superior debido a la integralidadde variables cuando representan productos que son cantidades indivisibles.

Modelación de problemas de Programación Lineal (PL)

¿Qué es la Programación Lineal?


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La Programación Lineal es un tipo de método dentro de la Programación Matemáticaque utiliza un modelo matemático para describir el problema que se aborda. El adjetivolineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funcioneslineales. En este contexto la palabra programación no se refiere a programación en

computadoras sino como sinónimo de planeación. ¿Por qué? Porque la asignación derecursos limitados a diferentes actividades competitivas buscando el mejor beneficio posible (sea éste de lograr la mejor ganancia ó el menor costo posible) es su aplicaciónmás frecuente, aunque la Programación lineal tiene muchas otras posibilidades. Losrecursos pueden ser materia prima, personas, tiempo ó equipos disponibles, etc. Entreesas actividades se encuentran: la asignación de tareas, finanzas, marketing, producción,transporte, problemas de mezcla, redes de telecomunicaciones, diseño de circuitos, etc.

La formulación general de un modelo de PL puede plantearse como:Minimizar (Maximizar) z = c1 x1+c2 x2+…cn xn

sujeta a las restricciones:a11 x1+a12 x2+....+a1n xn (=, =) b1a21 x1+a22 x2+....+a2n xn (=, =) b2

.

.

.

am1 x1+am2 x2+....+amn xn (=, =) bm

x1 >= 0 , x2 >= 0 , ..., xn>=0 (*)

La función a optimizar se le suele llamar función objetivo y los símbolos c1, c2,…,cn sonnúmeros (sus coeficientes). Los símbolos x1, x2 ,…, xn representan las variables delmodelo. Los símbolos aij son los coeficientes de ese sistema de restricciones, donde i toma valores entre 1 y m (la cantidad de restricciones que existen) y j toma valores entre1 y n (la cantidad de variables que existen),.

Las restricciones de no negatividad de las variables, están expresadas en (*).Los valores que pudieran tomar las variables distinguen subcategorías en las que sedividen los métodos de la Programación Lineal:

• Si todas las variables deben tomar valores enteros corresponden a la

Programación Lineal Entera.• Si al menos una de las variables deben tomar valores enteros corresponden a laProgramación Lineal Entera Mixta.

• Si todas las variables deben tomar valores binarios (0 ó 1) corresponden a laProgramación Lineal Binaria.

¿Por qué la distinción de estas clasificaciones?

Porque los métodos de solución en general no son los mismos en las diferentessoluciones.

Se presentará primeramente un ejemplo simple donde se irá induciendo cómo ir

planteando un modelo matemático de Programación Lineal que represente el problema planteado, a partir de la obtención de los elementos que deben conformar un modelo


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que responda al problema: variables, función a optimizar y restricciones. Luego secontinuará planteando modelos donde se insistirá en algunos aspectos que se debentener en cuenta en diversos tipos de problemas.

Ejemplo 1:

Un taller tiene tres tipos de máquinas A, B y C y puede fabricar dos productos. Todoslos productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero ala máquina A, luego a la B y luego a la C. La Tabla 1 muestra:1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto.2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana.3. La ganancia por unidad vendida de cada producto.

Tipo de máq. Producto 1 Producto 2 Horas disponibles x semana

A 2 1 18

B 2 3 42

C 3 1 24

Ganancia

unitaria 3 2

Tabla 1

¿Qué cantidad de cada producto se debe manufacturar cada semana, para obtener lamáxima ganancia?

Los elementos que debemos ofrecer para conformar un modelo que responda al problema son: variables, función a optimizar y restricciones. Las variables son las primeras que hay que definir, pues sin ellas no se pueden expresar los otros elementos.En general, una buena definición de las variables es indispensable para obtenerexitosamente un modelo adecuado. Veamos por pasos cómo obtener cada uno de dichoselementos.

1. ¿Cuáles son las variables a definir en el modelo? Generalmente la respuesta laencontramos en la pregunta que se formula. Observar la pregunta: ¿Qué cantidad decada producto se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?

Puesto que el problema se refiere a dos productos, son dos variables: cantidad deunidades a producir de cada producto semanalmente. Pero hay que denotarlassimbólicamente.

Denotemos: x1: Cantidad de unidades a producir del producto A semanalmente x2: Cantidad de unidades a producir del producto B semanalmente

Pudieron denotarse x, y respectivamente

2. ¿Cuál es la función a optimizar?Observar:


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• La pregunta: ¿Qué cantidad de cada producto se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?

• La parte de los datos relacionada con la ganancia que se debe producir:Producto 1 Producto 2

Ganancia

unitaria 3 2

• Variables: x1, x2

Con ello se puede formular la función a optimizar.

Si la cantidad de cada producto de tipo 1 a fabricar se denota x1 y por cada uno laganancia es 3 unidades de algún tipo de moneda, el total de ellos dará un beneficio de3 x1. Análogamente el total de los productos de tipo 2 ( x2) dará un beneficio de 3 x2,

puesto por cada uno la ganancia es 2. Luego la ganancia total será la suma de las

ganancias de ambos, o sea, 3 x1 + 3 x2.

3. ¿Cuáles son las restricciones?Hay que buscar en el texto dónde se encuentra limitación de recursos como puede ser

presupuesto que se tiene, personal disponible, tiempo de uso de máquinas, etc.

Observar en este caso:• Las restricciones de recurso tiempo: horas totales disponibles para cada máquina,

por semana.• Los datos que se tienen de horas requeridas en cada máquina por unidad de

producto así como el máximo de horas disponibles en cada una.

Tipo de máq. Producto 1 Producto 2 Horas disponiblesx semana

A 2 1 18

B 2 3 42

C 3 1 24

• Variables: x1, x2

Primero debe notar que hay 3 restricciones por limitaciones de recurso, quecorresponden a las horas máximas disponibles para cada tipo de máquina.

¿Cómo plantearlas?Si cada producto de tipo 1 requiere 2 horas para su producción en la máquina A y setienen x1 productos de ese tipo, el total de horas que todos ellos necesitarán en lamáquina A será de 2 x1. Análogamente el total de horas requeridas por los productos detipo 2 ( x2) será 1. x2= x2, pues cada uno requiere solo de una hora para su producción.Luego el total de horas requeridas por los dos productos para fabricarse en la máquina Aserá la suma de las horas requeridas por cada tipo de producto: 2 x1 + x2.Puesto que esa cantidad de horas no debe sobrepasar el límite que se dispone de 18

horas, la primera restricción será:2 x1 + x2 ≤ 18


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Con igual análisis para las restricciones por limitaciones de recurso en las máquinas B yC se tiene que:

2 x1 + 3 x2 ≤ 42 (Para máquina B)

3 x1 + x2 ≤ 24 (Para máquina C)

¿Qué falta por definir?

Rango de valores de las variables: x1, x2 ≥0, enteras

Luego el modelo que responde al problema planteado es:

Variables: x1: Cantidad de unidades a producir del producto A semanalmente x2: Cantidad de unidades a producir del producto B semanalmente

Función objetivo: max 3 x1 + 2 x2

Restricciones:2 x1 + x2 ≤ 182 x1 + 3 x2 ≤ 423 x1 + x2 ≤ 24

Rango de valores de las variables: x1, x2 ≥0, enteras

Dos errores que pueden cometerse en la modelación de este problema:

1. Plantear las restricciones con signo de igualdad.

En ese caso está añadiendo limitaciones que no le dan, pues el problema no exige quetenga que utilizar exactamente el máximo de horas disponibles. La solución de estemodelo buscará utilizar el máximo de recursos posibles (o sea, que la solución satisfagalas restricciones en la igualdad), pues con ello aumenta la cantidad de productos a

producir y con ello aumenta el valor de la función objetivo que se busca maximizar. Sinembargo, es posible que el sistema de ecuaciones lineales resultantes de sustituir lasdesigualdades por igualdades sea incompatible, o sea, que no tenga soluciones, ni aún

continuas, sin la restricción de integralidad de sus variables.

En este caso, en efecto, el sistema de ecuaciones lineales:2 x1 + x2 = 182 x1 + 3 x2 = 423 x1 + x2 = 24

no tiene soluciones, luego no podrá buscarse la que dé el mejor valor de la funciónobjetivo.

2. Plantear por error la función objetivo como de minimizar


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Si fuera así, entonces la solución sería NO PRODUCIR NADA, o sea, x1 = x2 = 0, puesserían los valores que darían el menor valor de la función objetivo (z = 0) y cumpliríalas restricciones.

De aquí puede generalizar lo siguiente:

S i tiene un problema de Programación Lineal del tipo:

• F.O. f( x1, x2,…, xn) = c1 x1 + c2 x2 +…+ cn xn, con c1, c2, …,cn ≥ 0• TODAS las restricciones son del tipo g( x1, x2,…, xn) ≤ d• Las soluciones posibles a ofrecer no deben considerar que todas las variables sean

ceroEntonces debe ser un problema de maximizar, de lo contrario la mejor solución sería

x1 = x2 =…= xn = 0

Análogamente, si tiene un problema de Programación Lineal del tipo:

• F.O. f( x1, x2,…, xn) = c1 x1 + c2 x2 +…+ cn xn, con c1, c2, …,cn ≥ 0• TODAS las restricciones son del tipo g( x1, x2,…, xn) ≥ d

Entonces debe ser un problema de minimizar, de lo contrario no tendría una mejorsolución, pues los recursos al ser infinitos y maximizar la función objetivo que dependede esas variables, con coeficientes no negativos, los valores de las variables puedencrecer infinitamente cumpliendo las restricciones y siempre podrá encontrar una mejorsolución que otra ya encontrada.

Notación a utilizar para las variables

La notación utilizada para las variables que defina debe permitirle de una forma fácilidentificar qué representa cada variable, lo que le facilitará plantear correctamente lafunción objetivo y restricciones.

Un ejemplo de ello se presenta en el siguiente sencillo problema:

Ejemplo 2:

Una pequeña empresa que se dedica al turismo ecológico con base en las orillas de unrío tiene $420,000 que puede usar para comprar nuevos botes para rentar durante el

verano. Los botes pueden comprarse a dos fabricantes diferentes. Luego de un análisisconcluyen que:• Quieren comprar al menos 50 botes• Comprar la misma cantidad de botes a cada fabricante, para mantener un crédito

favorable de ambos proveedores.• Los botes comprados tengan al menos una capacidad total de 200 asientos.

Se tiene además la siguiente información para la toma de decisiones (Tabla 2):


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Tipo de bote Fabricante Costo (USD) Máximo sillas Utilidad diaria por bote (USD)

Pequeño 1 6500 3 70

Grande 1 7800 5 80

Pequeño 2 5400 2 50Grande 2 9300 6 110

Tabla 2

¿Cuántos botes deben comprarse para obtener la máxima utilidad?

En este ejemplo se puede comprar botes a dos fabricantes, y cada uno le oferta dos tiposdiferentes, por lo que son cuatro variables a definir. Pudiera definirlas como x1, x2, x3, x4,lo cual pudiera confundirlo en lo que representa cada una de ellas, por ejemplo, si lasdos primeras se refiere a un mismo fabricante o si a una característica del bote (pequeño

ó grande).

Otras opciones mejores serían: x1, x2, y1, y2, donde la x se refiere a un tipo de fabricante y la y a otro. Los números 1 y2 pueden indicarle el tipo de bote en ambos casos: pequeño ó grande.

También pudiera haberlas denotado como: xP, xG, yP, yG

Un modelo para este problema sería:

Variables:

x1 , x2: Número de botes a comprar al fabricante 1 y1, y2: Número de botes a comprar al fabricante 2En ambos casos el 1 identifica bote pequeño, el 2 bote grande

Función objetivo a maximizar: z = 70 x1 + 80 x2 + 50 y1 + 110 y2

Restricciones:6500 x1 + 7800 x2 + 5400 y1 + 9300 y2 ≤ 420000 (Presupuesto para comprar)

x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 50 (Cantidad total de botes a comprar) x1 + x2 = y1 + y2 (Cantidad de botes a comprar por fabricantes)3 x1 + 5 x2 + 2 y1 + 6 y2 ≥ 200 (Cantidad total de sillas en los botes)

x1 , x2 , y1 , y2 ≥ 0, enteras

¿Cuándo utilizar subíndices en las variables?

Cuando lo que representa el subíndice describe de manera clara lo que representan lasvariables en todos los casos y también cuando se tienen un número considerable de esasvariables.

Siguiendo el ejemplo anterior, podemos poner tres situaciones diferentes: 1. Que la empresa tuviera n proveedores diferentes y todos les proporcionan un mismo

tipo de bote, pudieran definirse de la siguiente manera:


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18


xi: cantidad de botes comprado al proveedor i, donde i =1,…,n y tendría n variables deese tipo.

2. Que la empresa tuviera n proveedores diferentes y cada uno le proporcionara m modelos diferentes de botes, pudieran definirse de la siguiente manera:

xij: cantidad de botes comprado al proveedor i del tipo j, donde i =1,…,n, j=1,…,m ytendría nxm variables de ese tipo.

3. Que la empresa tuviera n proveedores diferentes, cada uno le proporcionara m modelos diferentes de botes, y a su vez de cada modelo de botes tiene las mismas p opciones a escoger que definen las capacidades posibles con ese mismo modelo. En estecaso pudieran definirse de la siguiente manera:

xijk : cantidad de botes comprado al proveedor i del tipo j con capacidad k , donde:i =1,…,n, j=1,…,m, k = 1,…, p y tendría nxmx p variables de ese tipo.

En el caso de que se trabaje con variables con subíndices es muy aconsejable previamente declarar explícitamente las notaciones que se han usado para las mismas, para clarificar la modelación. Por ejemplo, si luego en las restricciones se está sumandoen i identificar rápidamente que se está considerando en ese caso todos los proveedores.

Por ejemplo, en la última situación presentada sería:

Notaciones:i: Representa el proveedor

j: Representa el tipo de modelok : Representa la capacidad del boteUn error común que se comete cuando se trabaja con variables con subíndices como enel ejemplo anterior es pensar que se tiene una sola variable, lo cual es falso. Se tiene unsolo tipo de variable. En la Situación 1 se tienen n variables de ese tipo, en la Situación2 son nxm variables de ese tipo y en la Situación 3 son nxmx p variables de ese tipo.

Organizar la información previo a iniciar la modelación

Existen problemas donde debido a la cantidad y diversidad de información que se da esconveniente, previa a iniciar la modelación, organizar primero en una tabla la

información dada. Un ejemplo de ello (y no es de los más complicados) es el siguiente:Ejemplo 3

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Un tipo dealmacén que oferta materiales escolares quiere ofrecer dos tipos de paquetes con estosmateriales. El primero contendrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; el segundotendrá 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Si el almacén dispone de 600 cuadernos,500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, y los precios de cada tipo de paquete seránde $18000 y $21000, respectivamente. ¿Cuántos paquetes convienen preparar de cadatipo para obtener el máximo beneficio?

La información dada puede utilizarse más fácilmente si se organiza como se muestra enla Tabla 3:


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P1 P2 DisponiblesCuadernos 2 3 600Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 400

Precio 18.00021.000Tabla 3

En la pregunta se expresa de manera clara que las variables deben ser dos, la cantidadde paquetes a hacer de cada tipo, y la tabla muestra en las tres primeras filas lasrestricciones de disponibilidad en cuanto a cuadernos, carpetas y bolígrafos. La últimafila da la información para generar la función objetivo.

Con ello tenemos que el modelo sería:

Variables: x: Cantidad de paquetes a hacer de tipo 1 y: Cantidad de paquetes a hacer de tipo 1

Función objetivo:max z = 18000 x + 21000 y

Restricciones:2 x + 3 y ≤ 600 (Disponibilidad de cuadernos)

x + y ≤ 500 (Disponibilidad de carpetas)2 x + y ≤ 400 (Disponibilidad de bolígrafos)

x ≥

0, y ≥

0, enterasEn el siguiente ejemplo no solo se quiere destacar la conveniencia de organizar lainformación en una tabla previo a iniciar la información, sino otros dos aspectos:• Los coeficientes que aparecen en la función objetivo y en una de las restricciones

son los elementos de dificultad en el problema (no la definición de las variables quees muy simple), los cuales son el producto de varios datos, cada uno con unidadesde medida diferentes.

• La longitud en la descripción del problema y el número de restricciones de tiposdiversos justifica aplicar una de las recomendaciones dadas para modelar: irsubrayando en el texto los elementos que ya se han tenido en cuenta en la

modelación para que no se “escape” ningún aspecto a modelar.

Ejemplo 4

Una compañía de transporte dispone de $4.000.000.000 para comprar un nuevo equipoy está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10toneladas y se espera que promedie 35 millas /hora, siendo su costo de $80.000.000. Elvehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas, promedia una velocidad de 30millas/hora, y su costo es $130.000.000. El vehículo C es un modelo modificado deltipo B, tiene un sitio para que duerma el conductor, lo cual reduce su capacidad a 18toneladas y eleva su costo a $ 150.000.000.

Cada vehículo A recorre 20 millas por cada galón de gasolina; cada vehículo B recorre15 millas/galón y cada vehículo C recorre 12 millas/galón. El tanque de combustible


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para el suministro diario para los vehículos tiene una capacidad de 10.000 galones degasolina.

El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y, si opera durante los tres turnosdel día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren

una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 15 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de 150conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores adicionales.El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipo A si sólo

parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es 20% mayorque el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es 20% menor que elde tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículosno puede exceder de 25.Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si la compañíadesea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

Organizando la información como aparece en la Tabla 4

Tipocamión

Recorridox galón

Horas delabor xdía

Espacio parqueo

Cap. decarga

Veloc. promedio

Costo xcamión

Tripulx día

A 20 18 1 10 35 80 3B 15 15 1.2 20 30 130 6C 12 21 0.8 18 30 150 6

Unid.medid

a

millas/gal. horas/día ton millas/hor a

millones pesos

pers/día

Tabla 4

Para definir las variables, observar la pregunta: cuántos vehículos de cada tipo deberáncomprarse.

Variables: xi: Número de camiones a comprar de tipo i, i = 1,2,3, donde 1 representa el camión tipoA, 2 es el B, 3 es el C

Función objetivo:Observar la pregunta: Maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas. Esto

serían las toneladas por millas por día que recorrerían todos los camiones.

¿Cuáles serían esos coeficientes que llevarían las variables en la f.o.?

Velocidad promedio x Horas de labor en un día x capacidad de carga de cada camión

321 )18.21.30()20.15.30()10.18.35( xtondía

horas

horas

millas xton

día

horas

horas

millas xton

día

horas

horas

millas++

max )/.(340.11000.96300 321 díamillaston x x x z ++=

Restricciones:


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Para definirlas iremos repitiendo el texto pero subrayando los elementos yaconsiderados y con color azul los elementos que se tendrán en cuenta en el momento

para definir la próxima restricción.

Una compañía de transporte dispone de $4.000.000.000 para comprar un nuevo

equipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10toneladas y se espera que promedie 35 millas /hora, siendo su costo de $80.000.000. Elvehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas, promedia una velocidad de 30millas/hora, y su costo es $130.000.000. El vehículo C es un modelo modificado deltipo B, tiene un sitio para que duerma el conductor, lo cual reduce su capacidad a 18toneladas y eleva su costo a $ 150.000.000.

Cada vehículo A recorre 20 millas por cada galón de gasolina; cada vehículo B recorre15 millas/galón y cada vehículo C recorre 12 millas/galón. El tanque de combustible

para el suministro diario para los vehículos tiene una capacidad de 10.000 galones degasolina.

El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y, si opera durante los tres turnosdel día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requierenuna tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 15 horas

por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de 150conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores adicionales.El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipo A si sólo

parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es 20% mayorque el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es 20% menor que elde tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículosno puede exceder de 25.Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si lacompañía desea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

1. Restricción de presupuesto:

80 x1 + 130 x2 + 150 x2 ≤ 4000 (en millones de pesos)

Sigamos leyendo el problema:

Una compañía de transporte dispone de $4.000.000.000 para comprar un nuevoequipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10

toneladas y se espera que promedie 35 millas /hora, siendo su costo de $80.000.000. Elvehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas, promedia una velocidad de 30millas/hora, y su costo es $130.000.000. El vehículo C es un modelo modificado deltipo B, tiene un sitio para que duerma el conductor, lo cual reduce su capacidad a 18toneladas y eleva su costo a $ 150.000.000.

Cada vehículo A recorre 20 millas por cada galón de gasolina; cada vehículo B recorre15 millas/galón y cada vehículo C recorre 12 millas/galón. El tanque de combustiblepara el suministro diario para los vehículos tiene una capacidad de 10.000 galones

de gasolina.



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una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 15 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de 150conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores adicionales.El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipo A si sólo

parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es 20% mayor

que el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es 20% menor que elde tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículosno puede exceder de 25.Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si lacompañía desea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

2. Restricción de combustible disponible:

000.10)

12

21.30()

15

15.30()

20

18.35( 321 ≤++ x

gal

millasdía

horas

horas

millas

x

gal

millasdía

horas

horas

millas

x

gal

millasdía

horas

horas

millas

)/(000.105,52305,31 321 díagal x x x ≤++

Notar que las unidades de medida no se ponen acompañando a los coeficientes de lasrestricciones, se hizo en este caso para que notara, dada la cantidad de valores amultiplicar con diferentes unidades de medidas que se estaban multiplicando los valoresadecuados.


Una compañía de transporte dispone de $4.000.000.000 para comprar un nuevoequipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10toneladas y se espera que promedie 35 millas /hora, siendo su costo de $80.000.000. Elvehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas, promedia una velocidad de 30millas/hora, y su costo es $130.000.000. El vehículo C es un modelo modificado deltipo B, tiene un sitio para que duerma el conductor, lo cual reduce su capacidad a 18toneladas y eleva su costo a $ 150.000.000.

Cada vehículo A recorre 20 millas por cada galón de gasolina; cada vehículo B recorre15 millas/galón y cada vehículo C recorre 12 millas/galón. El tanque de combustiblepara el suministro diario para los vehículos tiene una capacidad de 10.000 galonesde gasolina.


por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de150 conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores

adicionales. El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipo A sisólo parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es 20%mayor que el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es 20% menorque el de tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total devehículos no puede exceder de 25.


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Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si lacompañía desea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

3. Restricción de conductores disponibles por día:

3 x1 + 6 x2 + 6 x2 ≤ 150




de gasolina.


por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de150 conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores

adicionales. El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipoA si sólo parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es

20% mayor que el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es

20% menor que el de tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que elnúmero total de vehículos no puede exceder de 25.Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si lacompañía desea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

4. Restricción de espacio disponible en el parqueo:

Sea C la capacidad total del parqueo, no importa cuál sea ese valor. Sea Ei el espacio

que ocupa un camión de tipo i. Por los datos que aporta el problema se tiene que:C = 24 E1, E2 = 1.2 E1, E3 = 0.8 E1 Expresemos el espacio que ocupa cada camión de tipo i. en función de un solo

parámetro: C, la capacidad del parqueo. Luego:E1= C/24 E2 = 1.2 (C/24) = C/20, E3 = 0.8 (C/24) = C/30

Luego si multiplicamos la capacidad de cada vehículo (en función de C) por la cantidadde vehículos diarios que pudieran estar en el parqueo tendríamos:(C/24) x1 + (C/20) x2 + (C/30) x3≤ C Eliminando C se tiene que:

1302024

321 ≤++ x x x

(**)


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Otra manera de plantear sería: si el máximo de camiones de tipo A en el parqueo serían24 si solo se tienen allí de ese tipo, podría plantearse x1≤ 24. Si incluimos de tipo B,como ocupan un 20% más de espacio, y de tipo C que ocupan un 20% menos de espacioque los de tipo A, la restricción sería: x1 + 1.2 x2 + 0.8 x3 ≤ 24.

Observe que si en la desigualdad (**) multiplicamos por 24 obtenemos: x1 + (24/20) x2 + (24/30) x3≤ 24 que es la misma restricción planteada por el otrorazonamiento.




de gasolina.


una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 15 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía dispone de150 conductores por día y tendría muchas dificultades para obtener conductores

adicionales. El espacio del estacionamiento permite la entrada de 24 vehículos tipoA si sólo parquean este tipo de vehículo. El espacio que ocupa un vehículo tipo B es

20% mayor que el del tipo A y, el espacio requerido para parquear un tipo C es

20% menor que el de tipo A. Las facilidades de mantenimiento son tales que el

número total de vehículos no puede exceder de 25.Se quiere determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si lacompañía desea maximizar su capacidad diaria de movilización en toneladas.

5. Restricción de mantenimiento (número máximo de camiones): x1 + x2 + x3 ≤ 25

x1 , x2 , x3 ≥ 0, enteras

Observar en la última “copia” del problema planteado que no queda nada sin subrayarque sea una restricción del problema planteado.

Modelos equivalentes: Transformación de la función objetivo

El objetivo de la modelación no es en general un fin. Luego de obtener un modelo debe

buscarse un método que lo resuelva, dé soluciones, y para ello debe tratarse de obtenerun modelo lo más simple posible. En ocasiones es posible obtener un modelo


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equivalente al planteado si se conoce la siguiente propiedad de los modelos deProgramación Lineal:

Propiedad

Sea f ( x) la función a minimizar (maximizar) y se conoce que f ( x) = k.g( x) donde k es

una constante (número). Entonces minimizar (maximizar) f ( x) es equivalente aminimizar (maximizar) g( x)

O sea, min (max) z = f ( x) ⇔ min (max) z’ = g( x)

La equivalencia significa que la(s) solución(es) encontradas en ambos casos sonexactamente las mismas. La diferencia radica en que el valor de la función objetivo realserá el valor dado al evaluar g en la solución encontrada pero multiplicado por k, pues lafunción objetivo real es f ( x), no g( x).

Si nos remitimos al Ejemplo 3 la función objetivo es:

z = 18000 x + 21000 y

Puesto que f ( x, y) = 18000 x + 21000 y = 1000(18 x + 21 y) pudiera trabajarse con lafunción objetivo:z = 18 x + 21 y Luego el valor de z encontrado para la mejor solución se multiplicará por 1000, el valorde k en este caso.

Otra conveniencia de hacer esto en algunos casos donde la función objetivo tienecoeficientes muy grandes en relación a los coeficientes encontrados en las restriccioneses disminuir errores computacionales al aplicar los métodos de solución, que trabajancon estos datos en innumerables iteraciones, pudiendo aumentar propagación de errores.

Explicitar lo que representa cada variable

En ocasiones las variables definidas representan cantidades de un artículo dado pero seobvia poner la unidad de medida en que se dará la respuesta, lo cual aún es más

peligroso cuando se da información con diferentes unidades de medida.

Para ver las implicaciones respecto a las soluciones obtenidas al mezclar diferentesunidades de medida en alguna restricción del modelo ó en la función objetivo, suponga

el siguiente ejemplo:Ejemplo 5

Se requiere hacer dos productos donde lo que define cuánto hacer de cada uno de elloses la limitación de una materia prima de la cual se dispone a lo sumo de 10 libras. Cadaunidad de ambos productos pesa una libra. El producto 2 requiere por cada unidad

producida el doble de materia prima que el producto 1. No deben producirse más de 8 productos de tipo 1 ni más de 4 productos de tipo 2. La ganancia y por tanto el preciodel producto lo define el siguiente cálculo: cada libra del producto 1 da una ganancia de$3, la ganancia del producto 2 es de 50 centavos la onza del mismo. Determine lacantidad de productos de cada tipo a hacer para maximizar la ganancia.

El modelo que representa el problema puede plantearse así:


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Variables: x: Unidades a hacer de producto 1 y: Unidades a hacer de producto 2

Restricciones:

x+ 2 y ≤ 10 (Disponibilidad de materia prima) x ≤ 8 (Cantidad a hacer de producto 1)

y ≤ 4 (Cantidad a hacer de producto 2) x, y ≥ 0 enteras (tipo y rango de valores de las variables)

Para definir la función objetivo hay que tener en cuenta que la información sobre laganancia por productos se da en dos unidades de medida diferentes: libras y onzas. Hayque plantearlo en términos de una de ellas y hacer la conversión necesaria. Supóngaseque se plantea en libras, la más lógica pues las unidades a hacer de cada productocoinciden con la cantidad de libras a usar.

Puesto que una libra es igual a 16 onzas, lo que se ganaría por cada unidad de productode tipo 2 (pesa una libra) sería: (50)(16) = 800 centavos = $8

Luego la función a maximizar sería z = 3x +8y y no z = 3x + 0.5y

Observe en el siguiente gráfico (Figura 2) las implicaciones que tendría ese error entérminos de la solución obtenida. La región de soluciones es la que está comprendida

por los segmentos de recta OA, AB, BC, CD y OD. Si se tomara como función objetivoz = 3 x + 0.5 y y la recta 3 x + 0.5 y = 1 se desplaza paralelamente alejándose del origende coordenadas, el vértice más alejado de la región que tocaría sería el C, lo que

significaría que: x = 10, y =1.Sin embargo, si se selecciona la función correcta z = 3 x + 8 y y la recta 3 x + 8 y = 24se desplaza paralelamente alejándose del origen de coordenadas, el vértice más alejadode la región que tocaría sería el B, lo que significaría que: x = 2, y =4. Dos solucionestotalmente diferentes!

Figura 2

o x

A B

C

D

3x+8 =24

3x+0.5y=1

y


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Otros ejemplos serían los siguientes:

Ejemplo 6

Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas L1 y L2. Para su fabricación se

necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2;y un trabajo de máquina de 20 minutos para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendoque el beneficio por unidad de lámpara producida es de 15 y 10 euros para L1 y L2,respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Este es un ejemplo que aunque simple sería conveniente previamente organizar lainformación en una tabla como se ilustra en la Tabla 5:

Tipo de trabajo/Tiempo L1

(min)

L2

(min)

Tiempo disponible

(horas)Manual 20 30 100

Máquina 20 10 80Tabla 5

Variables x = Nº de lámparas a producir de tipo L1 y = Nº de lámparas a producir de tipo L2

La función objetivo será maximizar utilidad en euros que será dada por la función

z =15 x + 10 y Para plantear las restricciones dadas por tiempo disponible en horas para cada uno delos tipos de trabajo, obsérvese que el tiempo que cada lámpara requiere en cada tipo detrabajo está dado en minutos, y el tiempo disponible en horas.

Dos opciones son:• Convertir los tiempos por lámpara para cada tipo de trabajo en horas, ó• Convertir los tiempos máximos disponibles por tipo de trabajo a minutos.

En el primer caso, como

20 min = 1/3 h; 30 min = 1/2 h; 10 min = 1/6 h

Las restricciones serían:(1/3) x + (1/2) y ≤ 100 (De disponibilidad, en horas, para el trabajo manual)(1/3) x + (1/6) y ≤ 80 (De disponibilidad, en horas, para el trabajo en máquina)

Para eliminar los coeficientes con números racionales, multiplicando ambasinecuaciones por el mínimo común denominador entre 3 y 2, así como entre 3 y 6, queen ambos casos es el número 6, se tiene:

2 x + 3 y ≤ 6002 x + y ≤ 480

En el segundo caso, como


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100 horas = 6000 min; 80 horas = 4800 min

Las restricciones serían:20 x + 30 y ≤ 6000 (De disponibilidad, en minutos, para el trabajo manual)20 x + 10 y ≤ 4800 (De disponibilidad, en minutos, para el trabajo en máquina)

Simplificando ambas inecuaciones multiplicando ambos miembros de cada una por1/10 se tiene:

2 x + 3 y ≤ 600 (I)2 x + y ≤ 480

Las mismas inecuaciones obtenidas por la otra variante de unificar unidades demedidas.

Si no hubiera tenido en cuenta la heterogeneidad de las unidades de medida al plantear

las restricciones le hubiera quedado:2 x + 3 y ≤ 100 (II)2 x + y ≤ 80

Se le deja que por el método gráfico compruebe cuán diferentes serían las regiones desoluciones teniendo en cuenta las restricciones en (I) y en (II), así como la solución del

problema.

Ejemplo 7

Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días.El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientescomposiciones presentadas en la Tabla 6.

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/Kg)

Maíz 0.001 0.09 0.02 0.1Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.3

Tabla 6

Los requisitos de alimento de los cerdos son:

1. Cuando menos 1% de calcio2. Por lo menos 30% de proteína

3.

Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día

Modelo:

Variables:

En la pregunta piden determinar la mezcla de alimentos, pero la misma se hace conmaíz y harina de soya; por ello las variables deben ser cantidades a mezclar de maíz yharina de soya. Pero por otro lado, en los datos dan información relacionada con lamezcla a hacer en dos unidades de medida: libras por alimento para las composicionesde la mezcla y Kg para el costo. Por ello se hace necesario aclarar bien en qué unidadde medida se definirán las variables y en las restricciones hacer conversiones necesarias

para que no existan inconsistencias.


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Por los datos planteados es más fácil utilizar como unidad de medida Libras por Librade Alimento. De ahí que las variables serían:

x1 :Cantidad de Maíz, en libras x2 : Cantidad de Harina de Soya, en libras

Observar que definir las variables como cantidad de maíz ó cantidad de soya, queda

impreciso. Es costumbre de algunos estudiantes, en definiciones de variables como

las anteriores, argumentar: “Pero si revisa las restricciones que puse lo que yo quise

decir es…”

La argumentación no es adecuada. La persona que lee el modelo no debe suponer nada,y las variables no deben declararse de modo ambiguo.

Función objetivo a minimizar:z = (0.1)(2.2) x1 + (0.3)(2.2) x2 = 0.22 x1 + 0.66 x2

Observe que como el costo está en peso por Kg y las variables en libras, hay queconvertir los Kgs en libras multiplicando por 2.2 (pues 1Kg = 2.2 libras)

Restricciones:En las restricciones no hay que hacer conversiones pues todo está dado en libras (datosy variables):

0.001 x1 + 0.002 x2 ≥ (90)(0.01) (Requerimiento de calcio)0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ (90)(0.3) (Requerimiento de proteína)0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ (90)(0.05) .......... (Requerimiento de fibra)

Rango de las variables: x1, x2 ≥ 0

Observe un detalle: En este problema se da un dato que realmente no es necesario parael modelo: que el granjero dispone de 200 cerdos.

Sustitución de restricciones

En ocasiones se tiende a tratar de reducir restricciones dando un modelo que no esequivalente al original y por tanto no tienen las mismas soluciones, pudiendo ser una deellas errónea. Lo anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 8Es usual que empresas, para transportar su mercancía desde su planta de producciónhacia los puntos de distribución, contraten los servicios de personas que tienen

pequeños camiones con ese objetivo. Una empresa contrata a un camionero paratransportar su mercancía que está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Datos quese tienen del problema son:

• El camión a utilizar tiene una capacidad interior de 20m3.• Los tamaños, así como ganancia por cada tipo de caja transportada, son los

siguientes:Caja Tipo 1: 1 m3 - $ 1.000 c/uCaja Tipo 2: 1.2 m3 - $ 1.120 c/u

Caja Tipo 3: 0.8 m3 - $ 900 c/u


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• Se tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cadaviaje.

• Debe haber cajas de tipo 2 transportadas en cada viaje, pero como máximo lamitad del total de las otras cajas.

¿Cómo debe llenar el transportista su camión para maximizar las ganancias en cadaviaje que realice?

Previo a comenzar la modelación organicemos la información como aparece en laTabla 7.

Cajas Volumen (m3) Ganancia ($) Demanda

Tipo 1 1 1.000 Al menos 8Tipo 2 1.2 1.120Tipo 3 0.8 900 Al menos 5

Tabla 7Variables:Sean xi: la cantidad de cajas de tipo i (i = 1, 2, 3) a transportar en cada viaje.

La función objetivo a maximizar sería: z= 1000 x1 + 1120 x2 + 900 x3 Las restricciones serían:

x1 + 1.2 x2 + 0.8 x3 ≥ 20 (Capacidad del camión en m3)

x2 ≤ 0.5( x1 + x3) (Cantidad de cajas a transportar de tipo 2 en relación con las demás) x1 ≥ 8 x3 ≥ 5

Las dos últimas restricciones no pueden sustituirse por la restricción: x1 + x3 ≥ 13.

¿Por qué? x1 ≥ 8 y x3 ≥ 5 implica que se cumple x1 + x3 ≥ 13, pero lo recíproco no esnecesariamente cierto. Por ejemplo, si x1 = 6, x3 = 8, x1 + x3 = 14 ≥ 13, sin embargo lavariable x1 no cumple la primera restricción impuesta: x1 ≥ 8

Otra sustitución (y reducción de restricciones) errónea pudiera darse en la modelacióndel Ejemplo 2:Si en el sistema de restricciones visto:6500 x1 + 7800 x2 + 5400 y1 + 9300 y2 ≤ 420000 (Presupuesto para comprar) (1)

x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 50 (Cantidad total de botes a comprar) (2) x1 + x2 = y1 + y2 (Cantidad de botes a comprar por fabricantes) (3)3 x1 + 5 x2 + 2 y1 + 6 y2 ≥ 200 (Cantidad total de sillas en los botes) (4)

x1 , x2 , y1 , y2 ≥ 0, enteras

Se sustituyera la restricción (3) en la (2) obteniéndose:6500 x1 + 7800 x2 + 5400 y1 + 9300 y2 ≤ 420000 (Presupuesto para comprar) (1’)

y1 + y2 ≥ 25 (Cantidad total de botes a comprar) (2’)3 x1 + 5 x2 + 2 y1 + 6 y2 ≥ 200 (Cantidad total de sillas en los botes) (3’)

x1 , x2 , y1 , y2 ≥ 0, enteras

Pudiera dar una solución no apropiada para el problema, pues si la cantidad total de botes a comprar es mayor o igual a 50, debido a la restricción (3) es verdad que se debe


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cumplir la restricción (2’), pero este nuevo conjunto de restricciones no obliga a que lacantidad total de botes a comprar sea como mínimo 50, pues tampoco establece que lacantidad de botes a comprar a cada fabricante sea la misma.

Sí sería posible la sustitución siguiente, sin eliminar la restricción (3):

6500 x1 + 7800 x2 + 5400 y1 + 9300 y2 ≤ 420000 (Presupuesto para comprar) (1) y1 + y2 ≥ 25 (Cantidad de botes a comprar) (2’) x1 + x2 = y1 + y2 (Cantidad de botes a comprar por fabricantes) (3)3 x1 + 5 x2 + 2 y1 + 6 y2 ≥ 200 (Cantidad total de sillas en los botes) (4)

x1 , x2 , y1 , y2 ≥ 0, enteras

Explicitar la dimensión del modelo: número de variables y restricciones

¿Por qué? Depende de las características del modelo (lineales con variables continuas,lineales con variables enteras ó binarias, no lineales, etc.) y la estructura del modelocomo por ejemplo, características de la matriz del sistema de ecuaciones lineales querepresentan las restricciones, unido a la dimensión del problema (número de variables yrestricciones) es que puede valorarse la complejidad de su solución y la posibilidad deutilizar un software conocido.

Poniendo un simple ejemplo:El Solver del Excel, a disposición en cualquier computadora personal, puede utilizarse

para resolver problemas de Programación Lineal con un máximo de 200 restricciones y200 variables.

Ejemplo 9

Una oficina técnica coordinadora de cultivos tiene a su cargo la administración de 3

parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad detierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por lacomisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo se dan en la Tabla 8:

Parcela Tierra cultivable (ha) Asignación agua (m3)

1 400 6002 600 8003 300 375

Tabla 8

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el

Ministerio de Agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que puedendedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra laTabla 9:

Especie Consumo agua

(m3/ha)

Cuota

máxima (ha)

Ganancia

neta ($/ha)

Remol 3 600 400Trigo 2 500 300Marav 1 325 100

Tabla 9

Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada

parcela se sembrará la misma fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puedecultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que encara la


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oficina es plantear cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especiesen cada parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas acargo de la oficina.

Variables:

Observar la pregunta: ¿cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintasespecies en cada parcela? Puesto que existen 3 parcelas, y en cada una se puedencultivar 3 especies distintas, existen 3x3 = 9 variables.

Cada variable está identificada por dos elementos: la parcela y la especie, por ello lamejor forma de denotar las variables es con dos subíndices: uno se refiere a la parcela,el otro a la especie. El orden en que se haga (primero la parcela y luego la especie oviceversa) usted debe definirla, no es significativo.

Denotemos: xij: número de hectáreas que se sembrarán la parcela i de la especie j, i=1,2,3; j=1,2,3

donde j=1 representa remolacha, j=2 representa trigo y j=3 representa Maravilla.

Función objetivo:

Debe maximizarse la ganancia neta, en $/ha. Observe que la ganancia de cada especieno depende de en cuál parcela ocurre, luego la f.o. es:

z = 400( x11 + x21 + x31) + 300( x12 + x22 + x32) + 100( x13 + x23 + x33)Observe que en cada paréntesis el primer subíndice de las variables varía de 1 a 3, puesrepresenta las parcelas, y el segundo subíndice es fijo, 1, 2 ó 3, dependiendo de cuál esla especie a que se refiere.

De manera más compacta puede expresarse como:

∑∑∑===

++=3

13

3

12

3

11 100300400

i

i

i

i

i

i x x x z

Restricciones:

Cuántas restricciones existen? Qué representan?

Observar que existen subconjuntos de restricciones por motivo de:1. Tierra disponible, por parcela (son 3)

2. Disponibilidad de agua, por parcela (son 3)3. Cuota máxima de cultivo, por especie (son 3)4. Restricción de misma proporción de tierra cultivable en las parcelas (son 3, pues

al existir 3 parcelas, está el equiparar la proporción entre parcelas 1 y 3, entre la1 y 2, entre la 2 y 3, o sea, todas las combinaciones posibles de 3 en 2).

Luego existen 12 restricciones. Cada tipo de restricciones, de las tres primeras, puedeescribirse de manera compacta de la siguiente manera:

Restricciones de tierra disponible (son 3, una para cada parcela):

3,2,1

3

1 =≤∑= ib xi

j

ij siendo b1 = 400, b2 = 600, b3 = 300


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Estas restricciones de manera explícita son: x11 + x12 + x13 ≤ 400 x21 + x22 + x23 ≤ 600 x31 + x32 + x33 ≤ 300

Restricciones de disponibilidad de agua (son 3, una para cada parcela):

3,2,13

1

=≤∑=

iu xa i j

ij j siendo a1 = 3, a2 = 2, a3 = 1; u1 = 600, u2 = 800, u3 = 375

Estas restricciones de manera explícita son:3 x11 + 2 x12 + x13 ≤ 6003 x21 + 2 x22 + x23 ≤ 8003 x31 + 2 x32 + x33 ≤ 375

Restricciones de cuota máxima de cultivo (son 3, una para cada especie):

3,2,13

1

=≤∑=

jv x ji

ij siendo v1 = 600, v2 = 500, v3 = 325

Estas restricciones de manera explícita son: x11 + x21 + x31 ≤ 600 x12 + x22 + x32 ≤ 500 x13 + x23 + x33 ≤ 325

Restricciones de misma proporción de tierra cultivable en las parcelas:

En Parcela 1 = En Parcela 2:

600400

3

12

3

11 ∑∑

===

j

j

j

j x x


300600

3

13

3

12 ∑∑

===

j

j

j

j x x


300400

3

13

3

11 ∑∑

===

j

j

j

j x x

xij ≥ 0, i = 1,2,3; j = 1,2,3

Variables no fáciles de determinar de una lectura: Hacer diagrama de la situación

Los tres siguientes ejemplos muestran cómo en ocasiones lo más difícil de lamodelación es la determinación de las variables, que no se observa fácilmente de una


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lectura del problema, en cuyos casos es recomendable hacer un diagrama inicial queayude a formular las variables, paso crucial, pues si las variables no están definidasadecuadamente, no resultará el modelo planteado.

Ejemplo 10

Una industria que fabrica papel y lo distribuye en rollos debe determinar la mejor formade realizar el proceso de corte. Los rollos de papel que se producen tienen un ancho de100 cms; sin embargo, los clientes demandan rollos de 30 cms, 45 cms y 50 cms deancho. Por lo tanto, al cortar los rollos de 100 cms se incurre en una pérdida de materialque depende de la forma en que se corten los rollos originales. Se desea determinar laforma de efectuar el corte de manera que se satisfaga la demanda y se pierda la menorcantidad posible de material. Se tiene un pedido de 800 rollos de 30 cm, 500 de 45 cmsy 1.000 de 50 cms.

Este es un problema clásico de corte de materiales (telas, vidrio, papel, madera, etc.)donde se pretende minimizar el desperdicio.

El diagrama inicial debía plantear, a partir de lo cual se definen las variables, las formasen que se puede cortar un rollo de 100 cms y que consideren los tipos de corte quedemandan los clientes. En otras palabras, los diferentes patrones de corte definirían lasvariables

Figura 3

Observe en la Figura 3 que existen 6 patrones de corte. ¿Por qué? Pues son todas lascombinaciones posibles de 30, 45 y 50 cuya suma no sobrepase 100.

Conocido esto, organicemos la información en una tabla, como se muestra en la Tabla 10

Patrones de corte de rollosAncho delrollo (cm)

1 2 3 4 5 6

30 3 0 0 0 1 1

45 0 2 0 1 1 0

50 0 0 2 1 0 1

Desp. (cm) 10 10 0 5 25 20

Tabla 10

30 30 30 10

5050

45 45 10

545 50

45 30 25

3050 20


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Variables de decisión xi = Número de rollos a cortar según el patrón i (i=1,…,6)

Función ObjetivoMinimizar z = 10 x1 + 10 x2 + 5 x4 + 25 x5 + 20 x6

Restricciones3 x1 + 1 x5+ 1 x6 = 800 (rollos a hacer de 30cms)2 x2 + 1 x4+ 1 x5 = 500 (rollos a hacer de 45cms)2 x3 + 1 x4+ 1 x6 = 1000 (rollos a hacer de 50cms)

xi≥ 0, enteras.

¿Por qué en los problemas reales de corte a nivel industrial este problema es en generalmuy difícil de resolver? Porque es un problema de Programación Lineal Entera, y en lamedida que aumentan los tipos de corte va aumentando de manera exponencial los

patrones de corte y por tanto, las variables del problema.

Ejemplo 11

El dueño de un restaurante necesitaría en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de $20 cada una y después de haberlos usado, puedemandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles:uno rápido (el lavado tarda 1 día) que cuesta $ 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2días) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueño delrestaurante que número de manteles debe comprar inicialmente y que número debemandar a lavar cada día para minimizar sus costos.

En este ejemplo es muy aconsejable, antes de plantear el modelo, hacer un diagrama queayude a la modelación. A pesar de que en la pregunta se reflejan las variables, lasdecisiones de qué tipo de lavado se puede hacer cada día es lo que dificulta la definiciónde dichas variables. Observar en la Figura 4 que hay 4 tipos de decisiones por día quedefinen las variables y son las subrayadas en el diagrama dado en la Figura 4:

Figura 4

De ahí las variables a definir serán: x1 = Cantidad de manteles comprados (sólo se puede comprar el primer día).

x2 = Cantidad de manteles mandados a lavar en servicio rápido el primer día. x3 = Cantidad de manteles mandados a lavar en servicio normal el primer día.

Día 3: Manteles lavadonormal del día 1lavado rápido del día 2

Día 1: Comprar manteles• Lavado normal• Lavado rápido

Día 2: Manteles lavadorápido del día 1Lavar rápido manteles


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x4 = Cantidad de manteles mandados a lavar en servicio rápido el segundo día.

Usualmente existen estudiantes que intentan antes de modelar el problema darle losvalores a las variables, por ejemplo decir que son 70 los manteles a comprar, el máximonúmero de comensales. El problema es determinar el resto de las mejores decisiones, a

las que podría llegarse también aplicando la lógica.

Función Objetivo.mın z = 20 x1 + 15 x2 + 8 x3 + 15 x4 = 20

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