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Scientia et Technica Ao XV, No 42 Agosto de 2009. Universidad Tecnolgica de Pereira. ISSN 0122-1701 29

Fecha de Recepcin: 8 de junio de 2009Fecha de Aceptacin: 25 de Agosto de 2009

COMPARACIN DE MTODOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA APLICADOS A LASOLUCIN DEL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA PTIMO

Comparison of mathematic programming methods applied to the solution of the optimal power flowproblem

RESUMENEn este artculo se compara el desempeo de diferentes mtodos deprogramacin matemtica aplicados a la solucin del problema de flujo depotencia ptimo. Los mtodos evaluados son: el mtodo del Gradiente, elmtodo de Newton (en sus versiones acoplada y desacoplada), mtodo de PuntosInteriores Primal-Dual y mtodo de Puntos Interiores de alta orden Predictor-Corrector. Para contrastar los diferentes mtodos, estos fueron programados enMatLab. Se presentan resultados para cuatro sistemas de prueba: sistema bsicode tres barras, sistema de seis barras (Wood-Wollenberg), sistema IEEE de 14barras y sistema IEEE de 30 barras modificado.

PALABRAS CLAVES:optimizacin en sistemas de potencia, flujo de potenciaptimo, mtodo del Gradiente, mtodo de Newton, mtodo de Puntos Interiores.

ABSTRACTThis paper compares the performance of different mathematic programmingmethods applied to the solution of the optimal power flow problem. Theevaluated methods are: the Gradient method, Newton method (coupled anduncouple versions), Primal-Dual Interior Point method and High Order InteriorPoint Predictor-Corrector method. To contrast the different methods, these were

programmed in MatLab. Results are shown for four test systems: basic three bussystem, six bus system (Wood-Wollenberg), IEEE 14 bus system and modified

IEEE 30 bus system.

KEYWORDS: Power systems optimization, optimal power flow, Gradientmethod, Newton method, Interior Point method.

AUGUSTO CESAR RUEDAMEDINAIngeniero Electricista, M. Sc.Universidad Tecnolgica de Pereiraaucerume@gmail.com

JESUS MARIA LOPEZLEZAMAIngeniero Electricista, M. Sc.Universidad de Antioquiaesusmarialopezl@yahoo.com

1. INTRODUCCIN

Histricamente, los primeros esfuerzos de optimizacinen los sistemas de potencia se hicieron respecto al controlde la generacin. Dada una demanda pronosticada yvarias unidades de generacin con diferentescaractersticas de costo, el operador de la red debadecidir cuanta generacin asignar a cada unidad. Este

procedimiento se conoce hoy en da como despachoeconmico clsico [1].Posteriormente, la inclusin de criterios de seguridaddentro de los objetivos de explotacin complic en granmedida el problema de optimizacin, obligando aldesarrollo de tcnicas adecuadas a la complejidad delproblema. El perfeccionamiento de las tcnicascomputacionales, fundamentalmente la introduccin detcnicas para el tratamiento eficiente de matricesdispersas y el desarrollo de algoritmos matemticos deoptimizacin, junto a la mayor capacidad deprocesamiento de los computadores ha permitido laresolucin de problemas cada vez ms complejos. Esta

evolucin ha conducido a lo que hoy se conoce con el

nombre de Flujo de Potencia ptimo (OPF-OptimalPower Flow ).El problema de Flujo de Potencia Optimo fue introducidopor Carpentier en 1962 [2]. Dada la caracterstica nolineal y la importancia de este problema para laexplotacin econmica de los sistemas de potencia, elOPF ha sido objeto de estudio durante dcadas.El OPF es un problema de programacin matemtica

bastante complejo, para el cual se han desarrolladosofisticados algoritmos de solucin dentro de los cualesse encuentran:

- Mtodos de programacin lineal [3],- Mtodo del Gradiente [4],- Mtodo de Newton [5],- Mtodos de Puntos Interiores [6], [7],- Mtodos Hbridos, etc.

En [8] se presenta una revisin bibliogrfica sobre losdiferentes mtodos de solucin de OPF donde se hahecho un seguimiento del progreso en esta rea durantelas ltimas tres dcadas.

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En este trabajo se compara el desempeo de cincomtodos de solucin para el OPF, los mtodosimplementados son: mtodo del Gradiente, mtodo deNewton Acoplado, mtodo de Newton Desacoplado,mtodo de Puntos Interiores Primal Dual y mtodo dePuntos Interiores de Alta Orden Predictor-Corrector.

2. DEFINICIN DEL PROBLEMA

Mediante un OPF se obtienen los valores ptimos de lasvariables de control de un sistema de potenciaconsiderando un conjunto de restricciones dadas por laoperacin del sistema.De forma explcita, un OPF corresponde a un problemade optimizacin con funcin objetivo y restricciones nolineales, las cuales representan la operacin en rgimende estado estable del sistema bajo estudio. La formageneral de este problema de optimizacin est dada por laexpresin (1).

( )( )( )

min max

Min

s.a.: 0

0

f x

g x

h x

x x x

=

(1)

Siendo:( ) f x : Funcin objetivo,( )g x : Restricciones de igualdad.( )h x : Restricciones de desigualdad.

[ ]min max x x : Lmites de las variables.

En este caso ( ) f x puede representar:- La minimizacin de los costos de operacin,- La minimizacin de prdidas de potencia,- La maximizacin del beneficio social neto,- La minimizacin de emisiones,- Condiciones de contratos y congestin,- Condiciones de seguridad, etc.

En (1), las restricciones de igualdad representan elbalance de potencias activa y reactiva en los nodos de lared. Las restricciones de desigualdad representan loslmites tcnicos dados por mrgenes de operacin delsistema, los cuales incluyen: lmites de generacin,lmites de flujo en las lneas, lmites de tensin en lasbarras, etc.

3. MTODO DEL GRADIENTE

El primer mtodo de solucin para el problema de OPFes el gradiente reducido propuesto por Carpentier en1962 [2]. Posteriormente, Donnel y Tinney [4] abordaronel problema resolviendo las condiciones deKarush KuhnTucker (KKT) usando el mtodo del gradiente yfunciones de penalizacin para las violaciones en las

restricciones. Este mtodo se puede usar para resolver elOPF con variables de control como las potencias activasy reactivas y los taps de los transformadores ajustadosautomticamente para reducir costos o minimizarprdidas. El mtodo est basado en la solucin de unflujo de potencia tradicional por el mtodo de Newton, unalgoritmo de ajuste usando el mtodo del gradiente, yfunciones de penalizacin para las restricciones dedesigualdad. Las ecuaciones de balance de potenciasactiva y reactiva en un sistema de potencia conn barrasestn dadas por la expresin (2).

( )( )

, 0 1, ...,

, 0 1, ...,Gk Ck k

Gk Ck k

P P P V k n

Q Q Q V k n

= =

= = (2)

Siendo:Gk P : Potencia activa generada en la barrak .

Gk Q : Potencia reactiva generada en la barrak .

Ck P : Potencia activa consumida en la barrak .

Ck Q : Potencia reactiva consumida en la barrak .

( ) ( ), , ,k k P V Q V : Inyecciones de potencia activa yreactiva en la barrak en funcin de las tensionesV y losvalores angulares .

Cada barra del sistema est caracterizada por cuatrovariables:P k esp , Q k esp , k , V k . Dos de estas variables sonespecificadas (variables de control) y las otras dos sonvariables controladas o variables dependientes. En estecaso, los valores de las variables especificadas (potencias

activas y reactivas), estn dadas por la expresin (3).; esp espk Gk Ck k Gk Ck P P P Q Q Q= = (3)

Las barras del sistema de potencia estn dividas en tresgrupos: 1) barra de referencia o barra V donde seespecifica la tensin y el ngulo, 2) barras de carga obarras PQ donde se especifican las potencias activas yreactivas y 3) barras de generacin o barras PV donde seespecifica la magnitud de tensin y la potencia activasuministrada.La funcin objetivo puede ser la suma de lasgeneraciones controladas como se expresa en (4). Siendoc i el costo de produccin asociado a la potenciaP Gi.

( ) ( )Min i Gii G

f x c P

= (4)

Minimizar la potencia entregada por la barra dereferencia en este caso, equivale a minimizar lasprdidas, ya que el resto de las potencias generadaspermanecen fijas. Por otro lado, un punto mnimo de unproblema de optimizacin como el planteado en (1) debecumplir con las condiciones de KKT. De acuerdo almtodo clsico de optimizacin de multiplicadores deLagrange, para el problema con restricciones de igualdadlas condiciones KKT estn dadas por la expresin (5).

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( ) ( ) 0

( ) 0

k k k

f x g x

g x

+ =

=

(5)

En (5), el gradiente de la funcin Lagrangeana indica elcrecimiento de la funcin objetivo y solo ser cero en elpunto ptimo. Este gradiente adems es ortogonal a lascurvas de nivel de la funcin objetivo e indica ladireccin de crecimiento de las prdidas del sistema. Elalgoritmo de este mtodo, mostrado con detalle en [4], seresume a continuacin.

Paso 1. Atribuir valores iniciales a todos los parmetrosde control. Hacer el contador de iteraciones igual a cero.Paso 2. Resolver el problema de flujo de potenciatradicional por el mtodo de Newton. Esto garantiza elcumplimiento de las restricciones de igualdad.

Paso 3. Calcular los multiplicadores de Lagrange.Paso 4. Calcular el gradiente del Lagrangeano respecto alas variables de control.Paso 5. Si el valor absoluto del gradiente delLagrangeano es menor a una tolerancia entonces pare, elmnimo fue encontrado. De lo contrario: aumentar elcontador de iteraciones, encontrar un nuevo conjunto deparmetros de control y volver al paso 2.

Las restricciones funcionales pueden ser incluidas en elalgoritmo usando un mtodo de penalizacin. En estecaso se penaliza en la funcin objetivo la violacin deestas restricciones. La nueva funcin objetivo se muestra

en la ecuacin (6). Siendo js un parmetro depenalizacin como se indica en (7).

( ) ( ) pen j j

f x f x w= + (6)

( )( )

2max max

2min min

si

si

j j j j j

j

j j j j j

s x x x xw

s x x x x

>=