Regulador Optimo Cuadratico Lqr

7/23/2019 Regulador Optimo Cuadratico Lqr

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REGULADOR PTIMO CUADRTICO LQR

Ing. Alonso Chica Leal

El Control ptimo Cuadrtico es una estrategia de control que busca

minimizar un ndice de desempeo en un sistema de control. Recordando el

significado de un ndice de desempeo, se puede decir que ste es la

similitud entre el desempeo deseado y el desempeo real de un sistema o

proceso. Este tipo de ndice es directamente proporcional a las diferenciasexistentes entre ellos. De esta manera, si las diferencias son grandes entre

desempeo real y el desempeo deseado, entonces el ndice ser grande y si

por el contrario las diferencias son pequeas el ndice ser pequeo. Debido

a esto, se busca minimizar este ndice ya que al hacerlo se logra llevar el

desempeo real a un punto muy cercano del desempeo deseado.

ndice de desempeo para LQR:

[ ]

=

++=1

0

*** )()()()(2

1)()(

2

1 N

k

kRukukQxkxNSxNxJ

(6.1)

El trmino cuadrtico en LQR se debe al trabajo con matrices, ya que las

matrices pueden representar sistemas lineales de ordenn, haciendo lo

siguiente.

= =

=n

i

n

j

jiij

T xxaAxx0 0 (6.2)

Lo que dice la ecuacin (2), es que cualquier forma cuadrtica se puede

escribir siempre como AxxT

para matrices simtricas y Axx*

para matrices

hermticas o hermitianas.


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Si se observa con atencin el ndice de desempeo (6.1) se puede ver

que existen un S, Q y R que estn siendo multiplicados por trminos de

la forma Axx*

, entonces (6.1) es una forma cuadrtica de un sistema

matricial y por eso se habla de control ptimo cuadrtico.

Ahora considerando un sistema de control definido por

cxkHukGxkx =+= )0(_);()()( (6.3)

en este sistema se identifican los siguientes elementos:

)(kx es el vector de estado, )(ku es el vector de control, G es una matriz

nxn y H es una matriz nxr.

El problema del control ptimo cuadrtico esta en encontrar un valor de

secuencia de u(k) que minimice el ndice de desempeo (6.1).

Tambin se pueden definir las matrices Q, R y S as:

[ ]

=

++=1

0

*** )()()()(2

1)()(

2

1 N

k

kRukukQxkxNSxNxJ

(6.4)

Q es una matriz hermtica definida positiva o semidefinida positiva

(esto quiere decir que 0* >Axx para 0x , en el caso de ser definida

positiva y 0* Axx para 0x para el caso en que es semidefinida

positiva). Esta matriz va ligada a la importancia de los estados durante

la transicin.

R es una matriz definida positiva de r x r, y esta ligada a la importancia

de la entrada. S es una matriz definida positiva de n x n que va ligada

al estado final.


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Existen varios mtodos para minimizar el ndice de desempeo pero el

ms comn es empleando los multiplicadores de Lagrange.

El mtodo de los multiplicadores de Lagrange busca encontrar valores

extremos de funciones de varias variables que tienen algn grado de

restriccin. En trminos generales este procedimiento hace que los

valores extremos de una funcin f(x,y,z), cuyas variables estn sujetas a

una restriccin g(x,y,z)=0, se encuentran sobre la superficie g=0 en los

puntos donde:

gf = Para algn escalarllamado multiplicador de Lagrange.

Una forma muy comn de encontrar los reguladores cuadrticos para

tiempo discreto con horizonte finito es:

,1 kkk BuAxx +=+ co 0x conocido (6.5)

Siendo (6.5) muy parecida a (6.3) con la salvedad de que se le han dado

otros nombres a las matrices.

Por otro lado la funcin de costo tambin se puede encontrar de la

forma:

[ ]

=

++=1

02

1

2

1 N

k

k

T

kk

T

kN

T

NN RuuQxxPxxJ

(6.6)

La ecuacin (6.6) es similar a (6.1), la diferencia radica en que (6.6)

trabaja con matrices transpuestas pero no conjugadas.

Si a (6.6) se le aplica el mtodo de los multiplicadores de Lagrange se

obtiene la siguiente ecuacin:

[ ]

=++ +++++=

1

011 )(2

1

2

1 N

kkkk

T

kk

T

kk

T

kN

T

NN BuAxxRuuQxxPxxJ (6.7)


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Donde (k+1) es el conjunto de multiplicadores de Lagrange, se deriva

esta funcin con respecto a u(k), (k+1) y x(k) y luego por tratarse de un

mtodo para hallar mnimos se iguala a cero obteniendo:

0)1()(

)(=++=

BkRkuku

J TTN (6.8)

0)()()1(

)1(=+++=

+

kBukAxkxk

JN

(6.9)

0)1()()(

)(=++=

AkkQkxkx

J TTTN (6.10)

0)()(

)(==

NNPxNx

JN

(6.11)

Este problema se debe plantear como un sistema de ecuaciones de

diferencia con condiciones de frontera. Despejando )1( +kT de la

ecuacin (6.8) se obtiene

1)()1( =+ RBkuk (6.12)

el exponente negativo significa que es un denominador que se paso a

numerador

Ahora despejando )1( +kT de (6.10) se obtiene

1)()()1( =+ AQkxkk TT (6.13)

Despejandox(k+1)de (6.9)

)()()1( kBukAxkx +=+ (6.14)

Si se despejau(k)de la ecuacin (6.12) y esta se reemplaza en (6.14)

quedara

BkRBkAxkx )1()()1( 1 ++=+ (6.15)

Ahora reemplazando (6.12) en la ecuacin anterior se llega a

( )[ ]BAQkxkRBkAxkx T 11 )()()()1( +=+

Realizando los productos del parntesis

[ ]QkBxARBAkRBkAxkx )()()()1( 1111 ++=+


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Recordando que en matrices B*B es igual aTBB ese producto de B

queda

)()()()1( 1111 kQxARBBkARBBkAxkx TT ++=+

Factorizando x(k) y (k) finalmente se llega a

[ ] [ ] )()()1( 11 kARBBkxQABRBAkx TTTT +=+

Siendo la anterior una condicin de frontera y ahora si se despeja

)1( +k de (6.10)

)()()1( kAkQxAk TT +=+

Siendo la anterior la otra condicin de frontera.

Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

0x conocido, )()( NPxN = y )()()( kxkPk = , la entrada ptima del

sistema esta dada por:

DespejandoRu(k)de la ecuacin (6.8) y reemplazando )(k tenemos que

TBkkRu )1()( +=

TBkxkPkRu )1()1()( ++= (6.16)

Reemplazando (6.14) en (6.15)

[ ] TBkBukAxkPkRu )()()1()( ++=

TT BkBukPBkAxkPkRu )()1()()1()( ++=

[ ]TT BBkPRkuBkAxkP )1()()()1( ++=+

T

T

BBkPR

BkAxkPku)1(

)()1()(++

+=si se hace

TBBkPRkS )1()1( ++=+ entonces queda

[ ]TBkAxkPkSku )()1()1()( 1 ++= (6.17)

Ahora se toma la ecuacin (6.9) y se reemplaza )()()( kxkPk =

QkxAkk T )()1()( ++=

QkxAkxkPkxkP T )()1()1()()( +++= (6.18)


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reemplazando nuevamente la ecuacin (6.14) en la anterior tenemos

que

[ ] )()()()1()()( kQxAkBukAxkPkxkP T +++= (6.19)

Ahora se reemplaza (6.16) en (6.17) y se tiene que

( )()()1()1()()1()()( 1 kQxABkAxkPkSBkAxkPkxkP TT +++++=

Si se hace x(k)=1 y se hacen las respectivas operaciones de la ecuacin

anterior quedara

QkPkSBBkPkPAAkP TT +++++= )1()1()1()1()( 1

Esta es una ecuacin de Riccati usando el mtodo de barrido (invertir

limites de integracin) se resuelve a partir de las condiciones de frontera

del estado final )()()()( NxNPNPxN == y se pueden calcular todos los

valores de P(k) hasta P(0), la entrada esta descrita como una

realimentacin de estado

)()()( kxkKku =

])([)()( 11 QkPABRkK TT = (6.20)

Evaluando el ndice de desempeo mnimo. Por ecuacin de frontera

SNP =)( entonces,

=

++=1

0

)]]()()()([2

1)()()(

2

1min[min

N

K

TTT kRukukQxkxNxNPNxJ (6.21)

Multiplicando )(kxT por la ecuacin (6.19)

)()()()1()1()()()( kQxkxkxAkxkPkxkxkP TTTT +++=

(6.22)

Remplazando )1()1()1( ++=+ kxkPk en la ecuacin (6.15), luego

factorizamos )1( +kx , despejamos )(kAx para finalmente tener como

resultado la siguiente ecuacin:

])1(1)[1()(])1(1)[1()( 11 TTTTT BkPBRkxkxABkPBRkxxAx +++=+++=


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De la ecuacin (6.22) despejamos )()( kQxkx T y a la vez remplazamos

)(kxA TT , encontrada anteriormente en la misma ecuacin (6.22):

TTTTT BkPBRkxkxkPkxkxkPkxkxkPkQxkx )1()1()1()1()1()1()1()()()()()( 1 +++++++=

(6.23)

Por otra parte tomando )(ku de la ecuacin (6.16) y hallando el

respectivo )(kuT , se desea tener la ecuacin )()( kRuku T , entonces,

)1()1()()1()1()( 11 ++=++= kxkBPRkukxkPBRku TTT

)1()1()1()1()()( 1 ++++= kxkBPkxkPBRkRuku TTT (6.24)

Sumando (6.23) con (6.24) y remplazando la suma en la ecuacin (6.21)

=

++++=1

0

min )]1()1()1()()()([2

1)()()(

2

1 N

K

TTT kxkxkPkxkxkPNxNPNxJ

Desarrollando la sumatoria quedara

)()()()1()1()1(....................

.)2()2()2()1()1()1()1()1()1()0()0()0([21)()()(

21

min

NxNxNPNxNxNP

xxPxxPxxPxxPNxNPNxJ

TT

TTTTT

+++=

Cancelando trminos tenemos que

)()()(2

1)0()0()0(

2

1)()()(

2

1min NxNPNxxxPNxNPNxJ

TTT +=

Cancelando el primer trmino con el ltimo, el ndice de desempeo

mnimo sera:

)0()0()0(2

1min

TxxPJ =

Para el caso de horizonte infinito en sistemas discretos se asume que

)(kP alcanza una condicin de estado estable, por lo tanto se parte de la

misma ecuacin deJminy se hace el mismo desarrollo pero teniendo en

cuenta el cambio del nuevo P.


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=

+++=1

0

min )]1()1()()([2

1)()(

2

1 N

K

TTT kxkPxkxkPxNPxNxJ

De la misma manera que para el caso anterior se hace el desarrollo

correspondiente

)()()1()1(....................

.)2()2()1()1()1()1()0()0([2

1)()(

2

1min

NxNPxNxNPx

xPxxPxxPxxPxNPxNxJ

TT

TTTTT

+

+++=

Cancelando trminos elJminpara caso este sera

)0()0(2

1min

TxPxJ =

Ejemplo de minimizacin de una funcin para horizonte infinito

Considerando el sistema de control definido por:

)(6321.0)(3679.0)1( kukxkx +=+ 1)0( =x

Determinar la ley de control que minimiza el siguiente ndice de

desempeo

=

++=9

0

222 )]()([2

1)]10([

2

1

k

kukxxJ

Solucin

En este ejemplo se puede observar que S= 1, Q = 1, R=1

Mediante la siguiente ecuacin AkPBBRkPAQkP TT 11 )]1(1)[1()( ++++= se

obtiene lo siguiente

)3679.0()]1(6321.0)1(6321.01)[1(3637.01)( 1++++= kPkPkP

Simplificando 1)]1(3996.01)[1(1354.01)( ++++= kPkPkP

Teniendo en cuenta la condicin de frontera SNP =)( , donde 1)10( =P

Se calcula )(kP desde k=9 hasta k=0

1)]10(3996.01)[10(1354.01)9( ++= PPP

0967.1)]1(3996.01)[1(1354.01)9( 1 =++= P

1032.1)]0967.1(3996.01)[0967.1(1354.01)8( 1 =++= P


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1036.1)]1032.1(3996.01)[1032.1(1354.01)7( 1 =++= P

1037.1)]1036.1(3996.01)[1036.1(1354.01)6( 1 =++= P

0,1,2,3,4,5,1037.1)( == parakkP

Observe queP(k)se aproxima al valor de estado estacionario, el cual

esta dado por 1))(3996.01)((1354.01)( ++= ssPssPssP

Factorizando queda

01)(4650.0)(3996.0 2 =+ ssPssP

Resolviendo la cuadrtica obtenemos 1037.1)( =ssP

La ganancia de realimentacin se puede calcular de la ecuacin (6.20)

1)(7181.1)(

]1)([)3679.0)(6321.0(1)( 1

==

kPkK

kPkK

Al sustituir los valores deP(k) se obtiene

0)11(7181.1)10( ==K

1662.0)10967.1(7181.1)9( ==K

1773.0)11032.1(7181.1)8( ==K

1781.0)11036.1(7181.1)7( ==K

1781.0)0(.......)5()6( ==== KKK

La ley de control ptimo esta dada por: )()()( kxkkkU =

Como: )()](6321.03679.0[)(6321.0)(3679.0)1( kxkKkukxkx =+=+ se obtiene

00424.0)0166.0))(1781.0(6321.03679.0()4(

0166.0)0652.0))(1781.0(6321.03679.0()3(

0652.0)2553.0))(1781.0(6321.03679.0()2(

2553.0)1)(1781.0(063213679.0()0()]0(6321.03679.0[)1(

======

== =

x

x

x

xKx

Para k=5,6.10 se aproxima a cero.

Ahora hallamos la secuencia de controlu(K)


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000756.0)00424.0(1781.0)4()4()4(

00296.0)0166.0(1781.0)3()3()3(

0116.0)0652.0(1781.0)2()2()2(

0455.0)2553.0(1781.0)1()1()1(

1781.0)1(1781.0)0()0()0(

===

======

======

xKu

xKu

xKu

xKu

xKu

10,.....6,5,0)( == paraKku

El valor mnimo del ndice de desempeo es:

5518.0)1)(1037.1)(1(2

1)0()0()0(

2

1min === xPxJ T

Ejemplo Diseo de Control ptimo

Ecuaciones de Estado y Optimizacin por el mtodo LQR

Descripcin del modelo.

La figura 9 presenta un sistema de pndulo invertido en el cual el

objetivo consiste en controlar la respuesta de la barra, descrita por el

ngulo(t)por medio de la fuerzaF(t)aplicada al carro.

Figura 9. Modelo del pndulo invertido


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Para este ejemplo se tomarn los siguientes valores para el modelo

fsico:

Masa del carro (Mcarro)=0.5Kg.

Masa de la barra (Mbarra)=0.2Kg.

Coeficiente de friccin del carro (b)=0.1N/m/s.

Longitud de la barra (2L)=0.3m.

Inercia de masa de la barra (Ibarra)=0.006Kg.m2.

Entrada (F): Fuerza aplicada al carro.

Salida 1 (x): Desplazamiento del carro.

Salida 2 (): rotacin de la barra.

Ecuaciones de movimiento.

Para determinar las ecuaciones de movimiento del sistema se elabora el

diagrama de cuerpo libre (DCL) para cada una de las partes en estudio

(i.e. carro y barra). La figura 10 muestra el DCL para cada una de estaspartes.

La segunda ley de Newton relaciona la accin de las fuerzas aplicadas a

un cuerpo con la aceleracin de sta. En trminos de una igualdad

vectorial esta ley se define como:

F m a=

(E.1)

M I = r(E.2)


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Figura 10. DCL de las partes que componen el sistema (derecha: carro, izquierda:

barra)

Donde

F

es la sumatoria de las fuerzas aplicadas al cuerpo,M

lasumatoria de momentos,mla masa del cuerpo,Iinercia de masa delcuerpo,ala aceleracin lineal yla aceleracin angular. Para el caso

del carro, puesto que nicamente se traslada y no rota, la ecuacin

(E.2) no aporta informacin importante al problema. Tomando fcomo

la fuerza de friccin que es ejercida sobre el carro, la relacin vectorial

obtenida a partir de la ecuacin (E.1) es:

x carro carroF F N f M a= =

(E.3)

Para el caso de la barra se obtienen al aplicar las ecuaciones (E.1) y

(E.2) las siguientes relaciones vectoriales:

x arra arraF N M a= = (E.4.1)

2

0 arra arra arra arraM M ! s"n# $%g # I M %! $ = = +

(E.4.2)


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El desplazamiento de la barra est relacionado con el movimiento del

carro y la rotacin de la misma como se muestra en la figura 3. Con

base en eso se pueden construir las ecuaciones siguientes:

arrax # & $ x# & $ ! s"n# # & $$=

(E.5.1)

arra'x # & $ 'x# & $ ' # & $

! cos# # & $$'& '& '&

=

(E.5.2)

22 2 2 2

2 2 2 2

arra' x # & $ ' x# & $ ' # & $ ' # & $

! cos# # & $$ ! s"n# # & $$'& '& '& '&

= +

(E.5.3)

Figura 11. Desplazamiento del centro de masa de la barra

Conociendo que la friccin del carro es proporcional a la velocidad del

mismo las ecuaciones (E.3), (E.4) y (E.5) permiten expresar lassiguientes igualdades:

2

2carro

' x 'xM F N

'&'&=

(E.6.1)

22 2

2 2arra

' x ' ' M ! cos# $ ! s"n# $ N

'&'& '&

+ =

(E.6.2)


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2

arra arra arra arraM ! s"n# $ g I M ! = +

(E.6.3)

Al reacomodar las ecuaciones precedentes se obtienen las ecuaciones de

movimiento:

( )22 2

2 2arra carro arra arra

' x 'x ' ' M M M ! cos# $ M ! s"n# $ F

'& '& '& '&

+ + +

(E.7.1)

( )

2 22

2 2arra arra arra arra

' ' xI M ! M ! g s"n# $ M ! cos# $

'& '&

+ =

(E.7.2)

Si se asumen ngulos pequeos para el movimiento de la barra, las

siguientes relaciones pueden ser asumidas:

1)cos( (E.8.1)

)(s"n (E.8.2)

( ) 12 '&

' (E.8.3)

Al Linealizar las ecuaciones (E.7.1 y E.7.2)

( )

2 2

2 2arra carro arra arra

' x 'x ' M M M ! M ! F

'&'& '&

+ + +

(E.9.1)

( )

2 22

2 2arra arra arra arra

' ' xI M ! M ! M ! g

'& '&

+ + = (E.9.2)

Luego de manipular las ecuaciones (E.9.1 y E.9.2) se obtiene:

( ) ( ) ( )2

22 2

2 arra arra arra arra arra

' x 'x I M ! M ! g I M ! F

'&'&

= + + + +

(E.10.1)

( )

2

2 arra arra arra carro arra

' 'xM ! M ! g M M M ! F

'&'&

= + + +

(E.10.2)

donde( )( )2arra arra carro carro arraI M M M M != + + .

(E.10.3)


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Modelo representado por ecuaciones de estado.

Para la representacin del sistema por medio de ecuaciones de estado

se definen las siguientes variables de estado:

1x # & $ x# & $=

(E.11.1)

2

'x# & $x # & $

'&=

(E.11.2)

3x # & $ # & $=

(E.11.3)

4

' # & $x # & $

'&

=

(E.11.4)

de donde se obtienen las ecuaciones de la forma:

'x# & $A x# & $ B F# & $

'&= +

r

(E.12)

( )

( )

22

0 1 0 0

0 0

0 0 0 1

0 0

arraarra arra

arra arra carroarra

M ! gI M !

A

M ! g M MM !

+ =

+

2

arra arra

arra

I M !

BM !

+ =

donde( )( )2arra arra carro carro arraI M M M M != + + .


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Para el anlisis del sistema, se toman como salidas el desplazamiento

del carro junto con el ngulo de la barra. La entrada al sistema est

descrita por la fuerza que sobre sta se ejerce.

La salida queda entonces representada por

1 1( # & $ x# & $ x # & $= =

2 3( # & $ # & $ x # & $= =

De esta manera, las matrices que definen la salida quedan definidas

por:

(# kT $ ) x# kT $ * u# kT $= +

donde

1 0 0 0

0 0 1 0)

=

0

0*

=

Requerimientos de diseo:

Para controlar el movimiento del pndulo se supondrn algunos

requerimientos. El requerimiento bsico es el de no exceder un error en

estado estacionario del 2% en ninguna de las salidas. El tiempo que

demore la posicin del carro en alcanzar el punto estable no debe

superar un segundo. Finalmente, el sobresalto permitido no debe

superar el 5% para el ngulo del pndulo.

SI simulamos la referencia de entrada con una funcin escaln,

entonces se debe cumplir que:

Tiempo de estabilizacin para x y


17/19

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Respuesta del sistema de pendulo invertido a entrada escalon

Carro (x)

Barra (teta)

Figura 12. Respuesta del pndulo ante la entrada escaln

Diseo de control por medio de LQR

El diagrama de bloques del sistema realimentado es el siguiente:

Figura 13. Diagrama de bloques del sistema con realimentacin de estado

Para estimar la realimentacin del sistema se emplear la tcnica del

Regulador Lineal Cuadrtico (LQR). Este mtodo permite encontrar la

matriz de realimentacin ptima basada en un balance entre el error en

el sistema y el esfuerzo requerido por el control. Para el empleo de este

mtodo se requiere definir tres parmetros: Matriz de ndice de

desempeo (R), matriz de costo-estado (Q) y factores de ponderacin (a0

y a1). Por simplicidad se emplearn los parmetros tales que:


18/19

R=1

0

1

0 0 0

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0

a

Qa

=

Asumiendo inicialmente los valores para el ndice de desempeo y la

ponderacin unitarios, se obtiene la siguiente matriz de realimentacin

K:

[ ]0 9384 1 5656 18 0351 3 3368K % % % %=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2x 10

10 Respuesta sin realimentacion

Carro (x)

Barra (teta)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Respuesta con realimentacion

Carro (x)

Barra (teta)

Figura 14. Pndulo con realimentacin y con realimentacin

Influencia de los parmetros de optimizacin

Al variar los parmetros del mtodo de optimizacin se pueden obtener

diferentes respuestas del sistema. La figura 7 presenta algunos de estos

resultados.


19/19

0 2 4 6-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1x=1 y=1 R=1

Carro (x)

Barra (teta)

0 2 4 6-10

-5

0

5x 10

-3x=5000 y=100 R=1

Carro (x)

Barra (teta)

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1x=1 y=1 R=100

Carro (x)

Barra (teta)

0 2 4 6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02x=5000 y=100 R=100

Carro (x)

Barra (teta)

Figura 15. Cambio de los parmetros de optimizacin

Resultado del diseo

De los resultados obtenidos y presentados en la figura 7, se puede

determinar que una realimentacin definida por el vector K tal que

[ ]36 7238 20 7851 63 9704 12 6117K % % % %=

Obtenido con los parmetros de diseo R=1 y

5000 0 0 0

0 0 0 0

0 0 100 0

0 0 0 0

Q

=

Se obtiene una respuesta que satisface los requerimientos de diseo

estipulados anteriormente:

Tiempo de estabilizacin para x y

Regulador Optimo Cuadratico Lqr

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