El problema de flujo máximo

Considérese una red con n nodos y m arcos a través de la cual fluyeun solo tipo de bien. Con cada arco (i, j) se asocia sobre el flujo una cotasuperior qij. Se supondrá que las qij (las capacidades en los arcos) sonenteras. En el problema de flujo máximo no intervienen costos. En la redse desea encontrar la cantidad máxima de flujo del nodo 1 al nodo n.Sea f la cantidad de flujo en la red del nodo 1 al nodo n. El problema

del flujo máximo se puede enunciar como sigue:

Maximizar f

sujeto an∑

j=1

fij −n∑

k=1

fki =

f si i = 10 si i �= 1 ó n−f si i = n

fij ≤ qij i, j = 1, . . . , nfij ≥ 0 i, j = 1, . . . , n

en donde las sumas y desigualdades se toman sobre los arcos existentes enla red.Un flujo de cero por todos los arcos existentes en la red es una solución

factible del problema de flujo máximo.

Cortadura (Separación del nodo 1 del nodo n). Sea X cualquier con-junto de nodos en la red tal que X contiene al nodo 1, pero no al nodo n.Sea X = N − X. Entonces (X, X) = {(i, j) : i ∈ X, j ∈ X} se llamacortadura que separa el nodo n del nodo 1.

Capacidad de un conjunto de corte

Sea (X, X) cualquier cortadura en una red G. Entonces q(X, X) =∑

(i, j)∈(X,X)

qij se llama capacidad de la cortadura.

Lema. El valor de f de cualquier flujo factible es menor o igual que lacapacidad q(X, X) de cualquier cortadura que separa el nodo n del nodo 1.

Teorema de flujo máximo - cortadura mínima. El valor del flujomáximo en G es igual a la capacidad de la cortadura mínima en G.

Bibliografía

Bazaraa, M. S., Jarvis, J. J., Sherali, H. D., Linear Programming andNetwork Flows, 4th ed., Wiley, 2009.

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