Unidad I. Flujo en fase liquida - Operaciones Unitarias I · PDF fileEsto ocurre especialmente...

Prof. Ing. Mahuli González

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA

PROGRAMA DE INGENIERIA QUIMICA APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO

OPERACIONES UNITARIAS I

TEMA N° 1 FLUJO DE FLUIDOS EN FASE LIQUIDA

FACILITADOR: Prof. Ing. Mahuli A. González G.

Flujo en fase liquida


UNIDAD I

FLUJO DE FLUIDOS EN FASE LIQUIDA

1.1 Introducción El flujo y el comportamiento de los fluidos reviste gran importancia en muchas de las

operaciones unitarias de ingeniería de procesos. Un fluido puede definirse como una

sustancia que no resiste, de manera permanente, la deformación causada por una fuerza y,

por tanto, cambia de forma.

Los procesos industriales exigen necesariamente el flujo de fluidos a través de tuberías,

conducciones y equipos, por lo que resulta necesario conocer los principios que gobiernan al

flujo de fluidos.

Si un fluido se ve poco afectado por los cambios de presión, se dice que es incompresible.

La mayoría de los líquidos son incompresibles. Los gases se consideran como fluidos

compresibles. Sin embargo, si los gases se sujetan a porcentajes pequeños de cambios de

presión y temperatura, sus cambios de densidad serán poco considerables y se les puede

clasificar entonces como fluidos incompresibles. En esta Unidad, solo estudiaremos el flujo

de fluidos en fase liquida, en la Unidad II trataremos el flujo de fluidos en fase gaseosa.

De manera general, en esta unidad estudiaremos la Ecuación de Bernoulli y su corrección

debido a los efectos de superficie solidas, ecuación general para evaluar las pérdidas de

carga por fricción en función del factor de fricción, Mediciones en el flujo de fluidos, Caída de

Presión Total en un sistema de tuberías (serie y paralelo).

Para abordar los tópicos mencionados anteriormente, es importante que conozcamos que el

comportamiento de un fluido depende mucho de que el fluido esté o no bajo la influencia de

superficies sólidas. En la región donde la influencia de la pared es pequeña el esfuerzo

cortante puede ser despreciable, y el comportamiento del fluido acercarse al de un fluido

ideal, es decir, no compresible y con viscosidad cero.

Un principio fundamental de la mecánica de fluidos, fue establecido inicialmente por Prandtl

en 1904, y establece que excepto para fluidos que circulan con bajas velocidades o poseen

viscosidades elevadas, el efecto de una superficie sólida sobre el flujo se limita a una capa

de fluido inmediatamente adyacente a la pared. Esta capa recibe el nombre de capa límite.

(Mc Cabe, 1998).



En la sección 1.2 estudiaremos la capa limite y la formación de la misma en un conducto

cerrado, seguidamente abordaremos un término conocido como flujo totalmente

desarrollado.

1.2 Capa limite Una capa límite se define como una parte de un fluido en movimiento en la cual el flujo del

fluido está influenciado por la presencia de una superficie sólida. Como un ejemplo

específico de la formación de una capa límite, consideremos el flujo de un fluido paralelo a

una lámina delgada, tal como podemos observar en la Figura 1.

Figura 1. Capa límite para un flujo que pasa por una placa plana. Fuente: Mc Cabe,

1998

La velocidad del fluido aguas arriba del borde de ataque de la lámina es uniforme a través de

toda la corriente del fluido. En un instante, el fluido en movimiento entra en contacto con el

borde de la placa, la velocidad del fluido disminuye inmediatamente a cero. La velocidad

aumenta con la distancia desde la lamina, tal como mostramos en la Figura 1. Cada una de

las curvas corresponde a un valor definido de x, la distancia desde el borde de ataque de la

lámina.

La línea de trazos OL en la Figura 1 han sido trazadas de tal forma que las variaciones de

velocidad quedan incluidas entre la pared y dicha línea. La línea OL representa una

superficie imaginaria que separa el fluido que está directamente afectado por la lámina del



resto en el que la velocidad local es constante e igual a la velocidad inicial del fluido. Dicha

línea es lo que conocemos como CAPA LÍMITE. Fuera de la capa limite prevalece el flujo

potencial. (El flujo de un tal fluido ideal recibe el nombre de flujo potencial)

El espesor de la capa limite es la distancia desde la pared hasta donde la velocidad del

fluido es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre U. En la Figura 2 podemos ilustrar

el espesor de la capa límite.

Figura 2. Espesor de la capa límite. Fuente: Shames, 1995

Dentro de la capa limite se ubican varias regiones: (Figura 3)

1. La región laminar, empieza en el borde de ataque y aumenta su espesor

2. Luego se alcanza una región de transición laminar a turbulento donde el flujo cambia

de laminar a turbulento donde el flujo cambia de laminar a turbulento con

engrosamiento consiguiente de la capa limite.

3. Cuando la capa limite es turbulenta, existe una subcapa viscosa adyacente a la

placa.

Figura 3. Regiones de la capa limite. Fuente: Shames, 1995



1.2.1 Formación de capa limite en tubos rectos Consideremos un tubo de pared delgada, en el que penetra un fluido con velocidad uniforme.

Tal como podemos observar en la Figura 4., comienza a formarse una capa limite en el

entrada del tubo y a medida que el fluido circula a través de la primera parte de la

conducción, el espesor de la capa aumenta. A medida que la corriente avanza mas por el

tubo la capa limite ocupa una porción creciente de la sección transversal. Finalmente, la

capa para un punto suficientemente alejado aguas debajo de la entrada, toda la capa limite

llega al centro del tubo; el núcleo desaparece y la capa limite ocupa toda la sección

transversal de la corriente. A partir de este punto, el perfil de velocidad no cambiará corriente

abajo, y decimos que el flujo se encuentra TOTALMENTE DESARROLLADO. (Mc Cabe,

1998)

Figura 4. Desarrollo del flujo de capa límite en un tubo. Fuente: Mc Cabe, 1998

1.3 Flujo totalmente desarrollado Entendemos que el flujo está totalmente desarrollado, si en una tubería o conducto de área

constante, el perfil de velocidad es el mismo en todas las secciones transversales.

Entre sus características se pueden nombrar las siguientes:

• Es unidimensional (la velocidad varia con la distancia transversal de la tubería pero

no a lo largo de ella)

• Es unidireccional (única dirección llamada de dirección del flujo, las componentes de

velocidad perpendiculares a esta dirección son cero)

• Las líneas de corrientes son rectas y paralelas

• El esfuerzo constante es el mismo en todos los puntos y factores de corrección de

cantidad de movimiento y energía cinética (β y α) son constantes.

La longitud aproximada de tubería recta que se necesita para alcanzar la distribución final de

velocidad, viene expresada por:



0.00575

Cualquier perturbación como un codo, válvula o cambio de diámetro de la tubería ocasiona

que el flujo se salga de la condición de totalmente desarrollado y vuelva a esa condición a

varios diámetros corriente abajo.

1.4 ECUACION DE BERNOULLI En esta sección estudiaremos la corrección de la Ecuación de Bernoulli debida a los efectos

de superficies sólidas y la ecuación de Ecuación General para evaluar las pérdidas de carga

por fricción, en función del factor de fricción conocida como la Ecuación de Darcy-Weisbach.

Para determinar las pérdidas de energía en el flujo de fluidos en conducciones cerradas, se

aplica un balance de energía, el cual proviene de la primera ley de la termodinámica;

¿Y que establece la primera ley de la termodinámica?

Establece que el calor añadido a un sistema menos el trabajo hecho por el sistema, depende

única y exclusivamente de los estados inicial y final. Si aplicamos dicha ley a un volumen de

control se reduce a una ecuación llamada ECUACIÓN DE BERNOULLI bajo ciertas

condiciones: Flujo continuo, incompresible, no viscoso, no hay transferencia de calor, no hay

cambio en la energía interna, estado estacionario e isotérmico. La ecuación de Bernoulli sin

fricción podemos plantearla en la ecuación 1.

(Ec 1)

Esta ecuación involucra 3 formas de energía mecánica:

1. Energía de presión, que lleva el fluido como resultado de su introducción al sistema.

2. Energía cinética, debido al movimiento del fluido

3. Energía potencial, debido a la posición con respecto al plano de referencia.

Cada término representa un efecto sobre la energía mecánica basado sobre la unidad de

masa del fluido que circula. La ecuación muestra también que, en ausencia de fricción

cuando se reduce la velocidad, la altura o la presión, o ambas tienen que aumentar. Si se



modifica la altura tiene que haber una compensación mediante una variación de la presión o

velocidad.

1.4.1 Corrección debida a los efectos de superficies solidas En la mayor parte de los problemas de flujo de fluidos, que se presentan en ingeniería,

intervienen corrientes que están influenciadas por superficies sólidas y que por tanto

contienen capas límite. Esto ocurre especialmente en el flujo de fluidos a través de tuberías y

otros aparatos, en los que toda la corriente puede poseer flujo de capa límite.

Para aplicar la ecuación de Bernoulli a estos casos prácticos, es preciso introducir dos

modificaciones. La primera, generalmente de menor importancia, es una corrección del

término energía cinética debida a la variación de la velocidad local u con la posición en la

capa límite, y la segunda, que es de más importancia, consiste en una corrección de la

ecuación, debido a la existencia de fricción del fluido, que tiene lugar siempre que se forma

una capa limite.

Por otra parte, la ecuación de Bernoulli, resulta de mayor utilidad para que la resolución de

problemas de flujo de fluidos incompresibles, si se incluye en la ecuación el trabajo

comunicado al fluido mediante una bomba. (Mc Cabe, 1998)

Ec 2

Factor de corrección de la energía cinética

Considerando que dentro de la tubería existe un perfil de velocidades y no solo una. Es

necesario introducir un factor de corrección (α). Este factor se denomina factor de corrección

de la energía cinética y se ha evaluado experimentalmente para diversos flujos y es para

flujo laminar α=2, para aplicaciones prácticas usualmente es asumido α =1 para flujo

turbulento y flujo altamente turbulento α =1.06.

Corrección de la ecuación de Bernoulli debido a la fricción del fluido La fricción se manifiesta por la desaparición de energía mecánica. La fricción de un fluido se

podemos definirla, como la conversión de energía mecánica en calor que tiene lugar en el

flujo de una corriente.



Para fluidos incompresibles, la ecuación de Bernoulli se corrige para tener en cuenta la

fricción.

El término representa toda la fricción que se produce por unidad de masa de fluido.

Donde:

Perdida de carga por fricción debida a la tubería

Perdida de carga por fricción debida a la presencia de accesorios.

En la sección 1.5.1 y 1.5.3 respectivamente desarrollaremos las ecuaciones que permitirán

su determinación.

Corrección de la ecuación de Bernoulli debido a la presencia de bombas Si la corriente atraviesa una o varias maquinas que le suministran energía (bombas)

experimenta un incremento de energía que, expresada en forma de altura la llamaremos . Asimismo si la corriente atraviesa una o varias maquinas a las que cede energía (turbinas)

experimenta un decremento de energía, que expresada en forma de altura, la llamaremos

. En este curso, solo nos enfocaremos en la Unidad III a las bombas centrifugas.

1.4.2 Ecuación de Bernoulli corregida en unidades de longitud, presión y energía

En unidades de longitud:

2 2

Notemos que cada término de la Ec. 2 está dividido por el peso especifico γ, por ende cada

termino esta en dimensiones de longitud. El resultado es llamado “Cabezal” y cada término

entonces representa la cantidad equivalente de energía potencial en una columna de líquido

de altura especificada. Por ejemplo, el término de presión se conoce como Cabezal de



presión, el término de energía potencial se conoce como Cabezal estático, el término de

energía cinética como Cabezal de velocidad, el término de pérdidas por fricción como

Cabezal de pérdida y el término de trabajo es típicamente llamado Cabezal de la bomba.

(Darby, 2001)

En unidades de presión:

(Multiplicamos la ecuación Ec 2 por el peso específico del fluido de proceso para expresar la

ecuación de Bernoulli en unidades de presión)

2 2

..

..

En unidades de energía: (Multiplicamos la ecuación Ec 2 por la gravedad para expresar la ecuación de Bernoulli en

unidades de energía). Recordemos que el peso especifico

2 2

..

..

..

..

..

..

. .

El gradiente total de presión en cualquier punto en una tubería, está compuesto por:

1. Los efectos de la aceleración

2. Los efectos de la posición

3. Los efectos debidos a la fricción

La Ecuación de Bernoulli (Ec. 2) podemos escribirla como:

∆ ∆ ó ∆ ó ∆ ó Ec.3



1.5 Ecuación General para evaluar las pérdidas de carga por fricción, en función del factor de fricción Las pérdidas de carga en las tuberías son de dos clases: primarias y secundarias.

Las perdidas primarias son las pérdidas de superficie en el contacto del fluido con la

tubería (capa limite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen laminar) o de

las partículas de fluido entre sí (régimen turbulento). Tiene lugar en flujo uniforme, por tanto

principalmente en los tramos de tubería de sección constante.

Las perdidas secundarias o también llamadas perdidas menores son las pérdidas de

forma, que tiene lugar en transiciones (estrechamientos o expansiones de la corriente),

codos, válvulas y en toda clase de accesorios de la tubería. A continuación, estudiaremos la

ecuación que gobierna las perdidas primarias o también llamadas perdidas mayores.

1.5.1 Ecuación de Darcy -Weisbach El flujo de los fluidos en tuberías está siempre acompañado de rozamiento de las partículas

del fluido entre sí y, consecuentemente, por la pérdida de energía disponible; en otras

palabras, tiene que existir una pérdida de presión en el sentido del flujo. Si se conectan dos

manómetros Bourdon a una tubería por la que pasa un fluido, según indicamos en la Figura 5, el manómetro P1, indicaría una presión estática mayor que el manómetro P2.

Figura 5. Pérdida por fricción debida la tubería. Fuente. Crane, 1976

La ecuación general de la pérdida de presión, conocida como la fórmula de Darcy-Weisbach

y que se expresa en unidades de longitud es:

2 4

Esta ecuación también podemos escribirla para obtener la pérdida de presión sustituyendo

las unidades correspondientes de la manera siguiente:

∆ .2

. 5

Donde = Factor de fricción de Darcy

= Longitud de la tubería

= Diámetro de la tubería



= Velocidad del fluido

= gravedad

La ecuación de Darcy es válida tanto para flujo laminar como turbulento de cualquier líquido

en una tubería. Con las restricciones necesarias la ecuación de Darcy podemos utilizarla con

gases y vapores, las cuales estudiaremos en la Unidad II. Flujo en fase gaseosa.

1.5.2 Factor de fricción Cuando un fluido circula por un tubo parte de su energía mecánica se disipa por fricción. La

razón de esta pérdida friccional a la energía cinética del fluido circulante se define como el

factor de fricción (Levenspiel, 1993). El factor de fricción, refleja la resistencia ofrecida por las

paredes del tubo al movimiento del fluido. Puede ser determinado experimentalmente

mediante el Diagrama de Moody o mediantes formulas empíricas.

El factor de fricción depende de la velocidad del flujo V, las propiedades del fluido, densidad

ρ y viscosidad µ, el diámetro de la tubería D, y su rugosidad e, la cual, como observamos en

la Figura 6, puede expresarse en unidades de longitud. Dicha figura representa

macroscópicamente la rugosidad de la tubería y con ello explicamos el significado del

parámetro e o k dependiendo de la bibliografía consultada. Este parámetro podemos

obtenerlo en la guía de tablas y gráficos del Tema 1. Flujo en fase liquida

Figura 6. Rugosidad de una tubería. Fuente: Mataix, 1993

La rugosidad relativa (e/D) es el cociente entre la rugosidad absoluta e y el diámetro de la

tubería.



Número de Reynolds y regímenes de flujo El número de Reynolds Re mide la importancia de la disipación de energía por efectos

viscosos. Así,

Sistema internacional Sistema inglés . .

6 124. . .

7

; ; ; . ; ; ;

Cuando el flujo está representado por un número de Reynolds grande significa que los

efectos viscosos son relativamente poco importantes y contribuyen poco a la disipación de

energía; un número de Reynolds pequeño significa que las fuerzas viscosas dominan y son

el mecanismo principal de disipación de energía. (Levenspiel, 1993)

Regímenes de flujo Los newtonianos que circulan por tubos exhiben dos tipos distintos de flujo, laminar (o líneas

de corriente paralelas) cuando Re < 2100, y turbulento cuando Re > 4000. Entre Re = 2100 y

Re = 4000 observamos un régimen de transición con flujo incierto y algunas veces fluctuante.

Calculo del factor de fricción: Formulas empíricas Para flujo laminar (Re < 2100) (tuberías lisas y rugosas), el factor de fricción y la

pérdida friccional pueden encontrarse a partir de las siguientes expresiones teóricas

sencillas deducidas por Poiseuille

16 8

64 9 ∆

32. . . 10

En régimen laminar fD y ff no es función de la rugosidad

Actualmente utilizamos en la práctica dos factores de fricción diferentes: (i) ff, factor de fricción de Fanning



(ii) fD, factor de fricción de Darcy.

No debemos confundir estas dos definiciones; además, es importante resaltar que el factor

de fricción de Darcy equivale a 4 veces el factor de fricción de Fanning

4 11

En régimen turbulento (Re > 4000), el factor de fricción y las pérdidas friccionales se

encuentran mediante las expresiones experimentalmente comprobadas de Nikuradse,

Von Karma, Colebrook.

- Ecuación de Nikuradse (Tubería lisa)

1fD

2Log Re. fD2.51

Ec 12

- Ecuación de Colebrook (Tubería rugosa)

1fD

2Log e/D3.7

2.51Re fD

Ec 13

- Ecuación de von Karma (Tubería rugosa)

1f

4.06LogDe

2.16 Ec 14

En todos los regímenes de flujo (Flujo laminar o turbulento)

- Ecuación de Churchill

28 1

. 15

. ..

donde , ,

2.457 / . . /



Calculo del factor de fricción: Diagrama de Moody Figura 7. Factores de fricción para cualquier tipo de tubería comercial (Crane, 1976)

0.026



Figura 8. Factores de fricción par cualquier tipo de tubería comercial (Darby, 2001)



El Diagrama de Moody - Resuelve todos los problemas de pérdida de carga primarias en tuberías con

cualquier diámetro, cualquier material de tubería y cualquier caudal.

- Puede emplearse con tuberías de sección no circular sustituyendo el Diámetro

equivalente

- Se usa para determinar el factor de fricción ya sea de fanning o Darcy; la manera más

sencilla de saber cuál se está utilizando en el grafico (cuando no lleva subíndice) es

observar el gráfico para el régimen laminar (Figura 7 y 8 ). En este caso, si 16

64

En el Diagrama de Moody presentado en la Figura 7 y 8 podemos observar tres zonas: la

zona laminar, la zona de transición y la zona de turbulencia total. En la zona laminar

laminar, podemos observar que la determinación del factor de fricción solo depende del

número de Reynolds (es independiente de la rugosidad relativa); en la zona de transición depende de la rugosidad relativa y del numero de Reynolds (si el fluido alcanza esta zona

se dice que el flujo está parcialmente desarrollado) y en la zona de turbulencia total

podemos observar que solo depende de la rugosidad relativa, ya que es prácticamente una

línea recta la cual está separada de una línea punteada (ésta separa la zona de transición de

la zona de turbulencia total).

Por ejemplo, determinemos el factor de fricción para una tubería de acero fundido (e=0.127)

de 250mm de diámetro interno, para un numero de Reynolds= 30000. (Figura 7)

La rugosidad relativa es (e/D=0.001), entonces el factor de fricción de Darcy es igual a 0.026

Diámetro equivalente Las formulas de Poiseuille y Colebrook o bien el Diagrama de Moody, estrictamente

hablando, solo sirven para calcular el factor de fricción y, mediante la ecuación de Darcy-

Weisbach en conductos cerrados de sección circular constante.

El concepto de radio hidráulico Rh, nos servirá para poder utilizar aquellas formulas con

aproximación al cálculo de pérdida de carga en conductos de sección no circular constante.

Llamamos Radio hidráulico Rh al cociente del área transversal ocupada por la corriente por

el perímetro mojado de esta sección. (Mataix, 1993)

4 16



Aplicando la formula deduciremos fácilmente, por ejemplo:

El radio hidráulico de una sección cuadrada es /4

El radio hidráulico de una sección rectangular es donde a, b y c son lados

1.5.3 Perdidas de carga debida a los accesorios (perdidas secundarias)

La perdida de carga por fricción solo es parte de la perdida de carga total que

debe superarse en las líneas de tuberías y en otros circuitos de flujo de fluidos. Otras pueden

ocurrir a causa de la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que producen un

cambio en la dirección del flujo o en el tamaño del conducto del flujo. (Welty, 2001)

Cualquier obstáculo en la tubería cambia la dirección de la corriente en forma total o parcial,

altera la configuración característica de flujo y ocasiona turbulencia, causando una pérdida

de energía mayor de la que normalmente se produce en un flujo por una tubería recta. Ya

que las válvulas y accesorios en una línea de tuberías alteran la configuración de flujo,

producen una pérdida de presión adicional. La pérdida de presión total producida por una

válvula (o accesorio) consiste en:

- La pérdida de presión dentro de la válvula.

- La pérdida de presión en la tubería de entrada es mayor de la que se produce

normalmente si no existe válvula en la línea. Este efecto es pequeño.

- La pérdida de presión en la tubería de salida es superior a la que se produce

normalmente si no hubiera válvula en la línea. Este efecto puede ser muy grande.

Figura 8. Perdida de energía debida a la presencia de accesorios. Fuente: Crane, 1976



La Figura 8 nos muestra dos tramos de tubería del mismo diámetro y longitud. El tramo

superior contiene una válvula de globo. Si las pérdidas de presión ∆P1, y ∆P2 se miden entre

los puntos indicados, se encuentra que ∆P1, es mayor que ∆P2. Para que ∆P2 sea igual a

∆P1 se debe aumentar la longitud de la tubería.

Las perdidas secundarias podemos calcularla por dos métodos:

- Primer método: por una formula especial y un coeficiente de perdidas adimensional

de perdidas secundarias.

- Segundo método: por la misma fórmula de las perdidas primarias (Ecuación de

Darcy-Weisbach), sustituyendo en dicha formula la longitud de la tubería L, por la

longitud equivalente Le.

Primer método: Ecuación fundamental de las perdidas secundarias

Una primera aproximación se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios

puede ser

2 17

Donde K es el coeficiente de resistencia para válvulas y accesorios, este valor expresa los

cabezales de velocidad que se pierden debido a la fricción cuando un fluido fluye a través de

uno de estos elementos. Este método también es conocido como Método CRANE.

Según este método, por ejemplo, para una válvula de compuerta 8

Para un codo de 90º 30

Donde ft es el factor de fricción para un régimen de turbulencia total (completamente

desarrollado tal como se estudió en la primera parte de este tema)

Teóricamente, el coeficiente de resistencia es independiente del factor de fricción o del

número de Reynolds, y se le puede tratar como una constante para cualquier obstrucción

dada en un sistema de tubería con cualquier régimen de flujo.

Cuando las condiciones actuales existentes en la tubería no corresponden a flujo turbulento

completamente desarrollado, PDVSA en sus prácticas de diseño recomienda hacer la

corrección



18

Donde

Coeficiente de resistencia para las condiciones actuales de flujo

Coeficiente de resistencia para flujo turbulento completamente desarrollado (En el

Apéndice A-24 del Crane encontramos los coeficientes de resistencia validos para válvulas y

accesorios, los cuales son mostrados en la guía de tablas y gráficos de la Unidad I. Flujo en

fase liquida)

Factor de fricción para las condiciones actuales de flujo (Podemos obtenerlo mediante

el Diagrama de Moody)

Factor de fricción para flujo completamente turbulento (Podemos obtenerlo mediante el

Diagrama de Moody en la zona de turbulencia total, gráficos y tablas ilustrados en la guía de

tablas y gráficos de la Unidad I. Flujo en fase liquida)

Segundo método: Método de la longitud equivalente

Este segundo método consiste en considerar las pérdidas secundarias como longitudes

equivalentes, es decir longitudes en metros de un trozo de tubería del mismo diámetro que

produciría las mismas perdidas de carga que los accesorios en cuestión. Así en la ecuación

de Darcy-Weisbach cada codo, válvula se sustituirán por su longitud de tubería equivalente,

Le.

.

∑2

19

El coeficiente de resistencia o longitud equivalente de cada accesorio podemos obtenerlo en

la guía de tablas y gráficos del Tema 1. Flujo en fase liquida.

Pérdidas por fricción de forma en la ecuación de Bernoulli.

Las pérdidas por fricción de forma se incorporan en el término , de la Ecuación (2). Se

combinan con las pérdidas por fricción de superficie de la tubería recta para dar lugar a la

pérdida total de fricción. Consideremos, por ejemplo, el flujo de un fluido no compresible a

través de dos cabezales ensanchados, del tubo que los une, y de la válvula de asiento que

mostramos en la Figura 9.



Figura 9. Flujo de un fluido no compresible a través de una instalación típica. Fuente: Mc

Cabe, 1996

Sea V la velocidad media en el tubo, D el diámetro del tubo y L su longitud. La pérdida por

fricción de forma en el tubo recto, de acuerdo con la Ecuación de Darcy-Weisbach es

las pérdidas de contracción a la entrada del tubo son ; las pérdidas de

expansión a la salida del tubo, son ; y la pérdida por fricción en la válvula de asiento,

viene dada por . Consideremos también la fricción de superficie a la entrada y salida de

los cabezales, la fricción total es

í ó ó 2

ó 2

Cuando un fluido pasa desde un depósito hacia una tubería, se generan pérdidas que

dependen de la forma como se conecta la tubería al depósito (condiciones de entrada) y

viceversa. Las diferentes formas de entradas y salidas las observamos en la Figura 10.



Figura 10. Condiciones de flujo de entrada y salida.

b) Entrada a una tubería interna proyectada

a) Entrada aguda

d) Entrada ligeramente redondeada c) Entrada bien redondeada

a) Salida de tubería tipo proyección b) Salida aguda

d) Salida redondeada c) Salida bien redondeada



En la Figura 11 podemos observar la presencia de válvulas y accesorios en una instalación

típica, además de la instalación de medidores de flujo tal como lo es una placa orificio.

Considerando que para determinar las pérdidas totales por fricción es necesario considerar

todos los accesorios incluidos en el sistema de tuberías, se debe incluir en dichas pérdidas

las originadas por los medidores de flujo instalados en la línea. En la sección 1.6

abordaremos las mediciones en el flujo de fluidos en fase liquida, incluyendo la clasificación

de los medidores, los tipos de medidores de flujo y específicamente estudiaremos los

medidores de flujo volumétrico por presión diferencial tales como placa orifico, tubo venturi y

tubo pitot.

Figura 11. Instalación para medir pérdidas de presión en válvulas y accesorios en tuberías

para agua o vapor de agua. Fuente: Crane, 1976



1.6 Mediciones en el flujo de fluidos en fase liquida

La medición de flujo o caudal es un factor de suma importancia en la industria, ya que

representa el balance de los procesos: se mide lo que entra al proceso, lo que sale del

mismo y el desperdicio o merma, con la finalidad de obtener información exacta de los

costos de producción, garantizando la eficiencia de la planta, la calidad de los productos y la

cantidad vendida a los clientes. Es igualmente importante en trabajos de prueba de planta,

para aumentar la producción y para los efectos de obtención de información para nuevos

diseños o para eliminar dificultades en la operación del proceso.

Existen muchos métodos confiables y precisos para medir flujos, algunos aplicables

solamente a líquidos, otros a gases y vapores o ambos, el fluido puede ser limpio o sucio,

seco, húmedo, corrosivo o erosivo. Todos estos factores afectan la medición y deben ser

tomados en cuenta a la hora o en el momento de seleccionar un medidor de flujo. Para

seleccionar un medidor en una determinada aplicación, es necesario que conozcamos el

principio de operación característicos de funcionamiento de los medidores de flujo

disponibles.

1.6.1 Medidor de flujo Entendemos que es un dispositivo colocado en una línea de proceso que proporciona una

lectura continua de la cantidad de fluido que atraviesa la misma, por unidad de tiempo.

Los factores que mayormente afectan el flujo de un fluido a través de una tubería son:

La velocidad: El fluido en una tubería se puede mover de acuerdo a un patrón de flujo determinado,

dependiendo en alto grado, de su velocidad. Estos patrones de flujo se conocen como

laminar y turbulento.

El flujo laminar es referido algunas veces como un flujo viscoso, se distingue por el hecho de

que las moléculas del fluido siguen trayectorias paralelas cuando el fluido se mueve a través

de la tubería.

El flujo turbulento, por otra parte, se caracteriza por patrones erráticos debido a que la

turbulencia crea remolinos que mueven las moléculas del fluido a lo largo de trayectorias

irregulares.



El término de velocidad, cuando se aplica al flujo de fluido en tuberías se refiere a la

velocidad promedio del fluido. Debemos utilizar la velocidad promedio ya que la velocidad del

fluido varía a través de la sección transversal de la tubería.

Fricción del fluido en contacto con la tubería: La fricción de la tubería reduce la velocidad del fluido, por lo tanto, se considera un factor

negativo. Debido a esta fricción, la velocidad del fluido es menor cerca de la pared que en el

centro de la tubería. Mientras más lisa es una tubería, menor es el efecto de la fricción sobre

la velocidad del fluido.

La viscosidad: La viscosidad es una medida cuantitativa de la tendencia del fluido a resistir la deformación.

Los fluidos que fluyen libremente tienen viscosidades bajas; los fluidos que parecen resistir a

fluir libremente tienen viscosidades altas.

Algunos medidores de flujo se calibran para un valor de la viscosidad del fluido que pasa por

el medidor. Si la viscosidad cambia, también lo hace el factor de calibración, afectando la

exactitud de la medición.

Otros medidores de flujo, como los medidores que utilizan el principio de diferencial de

presión, tienen limitaciones de viscosidad. Esto se debe a que por encima de ciertos valores

de viscosidad, los factores de flujo que intervienen en la ecuación del medidor, ya no pueden

ser considerados constantes.

La viscosidad de un líquido depende principalmente de su temperatura y en menor grado de

su presión. La viscosidad de los líquidos generalmente disminuye al aumentar la temperatura

y la viscosidad de los gases normalmente aumenta al aumentar la temperatura. La presión

tiene un poco efecto sobre la viscosidad de los líquidos. Su efecto sobre la viscosidad de

gases solamente es significativo a altas presiones.

La densidad: La densidad de una sustancia se define como su peso por unidad de volumen. La densidad

de los líquidos cambia considerablemente con la temperatura, mientras que los cambios por

variaciones en la presión son despreciables. La densidad de los gases y vapores es

mayormente afectada por los cambios en la presión y la temperatura.

La temperatura y presión



1.6.2 Clasificación general de los medidores de flujo

Medidores de flujo volumétrico

Dispositivo que mide la cantidad de volumen que pasa por una sección transversal de la

tubería en una unidad de tiempo (es un medidor de caudal). Dentro de esta categoría se

encuentran el Tubo Venturi, Placa orificio, Tubo Pitot, Tobera de Flujo, Rotámetro.

Clasificación de los medidores de flujo volumétrico

Presión diferencial:

Estos medidores miden el flujo de un fluido indirectamente, creando y midiendo una presión

diferencial por medio de una obstrucción al flujo. El principio de operación se basa en medir

la caída de presión que se produce a través de una restricción que se coloca en la línea de

un fluido en movimiento. Esta caída de presión está relacionada al flujo, siendo este

proporcional a la raíz cuadrada del diferencial de presión.

NOTA: La presión y la velocidad de un fluido que circula por la tubería es casi la misma en

cualquier punto del tubo. Cuando en la tubería se coloca una restricción se observa

claramente que hay una caída de presión a través de dicha restricción y un aumento en la

velocidad del fluido. Esto es conocido como el teorema de Bernoulli.

Los medidores de flujo de tipo diferencial generalmente están constituidos por dos

componentes:

Elemento primario: Es el dispositivo que se coloca en la tubería para obstruir el flujo y

generar una caída de presión

Elemento secundario: Mide la caída de presión y proporciona una indicación o señal de

transmisión a un sistema de indicación o control.

Medidores de flujo

Medidores de flujo volumétrico

Presión diferencial De velocidad

Área variable Desplazamiento positivo

Medidores de Flujo másico

Medidor térmico Medidor de coriolis



El elemento primario se calcula y se selecciona de acuerdo al fluido y las características del

proceso. Se han desarrollado ecuaciones que toman en cuenta casi todos los factores que

afectan la medición de flujo a través de una restricción, la ecuación básica a partir de la cual

fueron desarrolladas estas ecuaciones, es la ecuación de Bernoulli.

Dentro de este grupo se ubican la Placa Orificio, el Tubo Pitot, Tubo venturi, Tobera y el

medidor de Impacto (Target). Figura 12

a) b) c) Figura 12. Medidores de flujo por presión diferencial a) Placa orificio b) Tubo Venturi c)

Tubo Pitot

Área variable

Son medidores de flujo volumétrico en los que varía el área, para mantener una caída de

presión relativamente constante. De estos medidores el más conocido es el Rotámetro.

Un rotámetro está constituido por un tubo vertical de área interna variable, a través del cual

se mueve el flujo en sentido ascendente y un flotado, bien sea esférico o cónico que tiene

una densidad mayor que la del fluido. El flotador crea una abertura anular entre su máxima

circunferencia y el interior del tubo. A medida que el flujo varia, el flotador sube o baja para

variar el área de flujo. La caída de presión permanece constante, y la posición del flotador

indica la tasa de flujo. (Figura 13)



Figura 13. Rotámetro

De desplazamiento positivo

Son dispositivos que separan la corriente de flujo en segmentos volumétricos individuales.

Un volumen conocido de fluido se aísla mecánicamente en el elemento del medidor, y es

transportado desde la entrada de éste hasta su salida, llenando y vaciando alternadamente

los compartimientos o cámara del medidor. Las partes mecánicas del medidor se mueven

aprovechando la energía del fluido. El volumen total del fluido que pasa a través del medidor

en un periodo de tiempo dado es el producto del volumen de la muestra por el número de

muestras.

Los medidores de desplazamiento positivo se adaptan excelentemente a aplicaciones de

procesos discontinuos y a aquellos que requieren una totalización del volumen que pasa a

través del medidor.

Los usos comunes de los medidores de desplazamiento positivo son la distribución de

agua de los sistemas municipales a los hogares o negocios, el gas natural que se entrega a

los consumidores y la gasolina que se vende en las estaciones de servicio.

Este medidor encuentra su mayor aplicación en agua y en servicios donde la precisión no es

de mayor importancia.

Los medidores de desplazamiento positivo pueden clasificarse, de acuerdo al movimiento del

elemento de medición en: Disco oscilante, pistón oscilante, tipo rotación, pistón reciprocante.



De velocidad

Es un medidor en el cual la señal del elemento primario es proporcional a la velocidad del

fluido. La señal generada es lineal con respecto al flujo volumétrico según

Q= A*V

Son medidores menos sensibles a las variaciones del perfil de velocidad del fluido cuando se

les compara con los medidores de flujo tipo diferencial, es decir no existe una relación de

raíz cuadrada si no lineal, lo cual explica su mayor relación de flujo máximo a flujo mínimo,

tienen una amplia aplicación industrial.

Ejemplo: Tipo Turbina, Tipo Electromagnético, Ultrasónico de flujo, (onda ultrasónico mide

Tiempo de viaje de la onda) y tipo Doppler y Tipo Torbellino Vortex.

Tipo Turbina: Es adecuado para medir flujos de líquidos, gases y vapores y es

especialmente útil en sistemas de mezclas en la industria del petróleo. Es uno de los

medidores más exactos para servicio de líquidos.

Electromagnético: Es capaz de medir los fluidos mas erosivos. Son muy adecuados para

medir químicos, lodos, sólidos en suspensión y otros fluidos extremadamente difíciles de

medir. La única limitación que tienen es que el fluido debe ser eléctricamente conductor y no

magnético. El principio de operación de un medidor de flujo magnético está basado en la ley

de Faraday.

Ultrasónico de flujo: Se utiliza principalmente en fluidos limpios ya que es recordable que el

fluido esté libre de partículas que pueden producir la dispersión de las ondas del sonido.

Tipo Doppler: Normalmente no se utilizan en fluidos limpios, ya que se requiere que una

mínima cantidad de partículas o burbujas de gas estén presentes en la corriente del fluido.

Medidor de flujo másico

Dispositivo que mide la cantidad de masa que pasa por una sección transversal de la tubería

en una unidad de tiempo. Se ubican dentro de esta clasificación el Medidor Térmico y el

Medidor de Coriolis.

Clasificación de los medidores de flujo másico

Medidor térmico:

Los hay de dos tipos, uno mide la velocidad de pérdida de flujo de calor de un cuerpo

caliente debido al paso de una corriente de fluido a través de él; el otro mide el incremento



de temperatura. Para estos casos el flujo de masa se determina por las propiedades del

fluido (conductividad y calor específico), que hasta ciertos límites son independientes de la

Presión y la Temperatura.

Medidor de Coriolis:

Depende de la aceleración de Coriolis. El fluido se acelera radialmente hacia fuera entre las

volutas de un impulsor. El impulsor tiene tendencia a retrasase con respecto a la cubierta

que gira con él y este retraso proporciona un momento de torsión medible que es, que es

indicativo de la proporción del flujo de masa.

1.6.3 Placa orificio Descripción:

La placa orificio está constituida por una placa delgada perforada la cual se instala entre

bridas en la tubería. Cada una de las cuales están unida a la parte correspondiente de la

tubería, entre placas y la brida se usa empacaduras para sellar los escapes de fluido. Se

hace generalmente de acero inoxidable, material que resiste satisfactoriamente la acción

química de los fluidos bajo medición, salvo algunos fluidos corrosivos que requieren una

aleación especial como monel o níquel, etc.

Estos medidores constan de dos componentes, el elemento primario, es el dispositivo que se

coloca en la tubería para obstruir el flujo y generar una caída de presión y un elemento

secundario que mide la caída de presión

.

Las tomas para medir la caída de presión se colocan antes y después de la placa, en

cualquiera de las siguientes posiciones (Figura 14):

Tomas en las bridas: cuando se instalan las conexiones a 1pulg de cada cara de

la placa, es el tipo de conexión más utilizado y no hay que perforar la tubería.

Tomas en la vena contracta: la toma de alta presión se coloca en un punto que

dista un diámetro nominal de la tubería, mientras que la toma de baja presión,

depende de la relación entre el diámetro del orificio y el de la tubería ( β = d / D),

(las graficas que se utilizan están a D/2 de la placa). Hay que perforar la tubería, no

se recomienda para diámetros de 2 pulg debido a que la vena contracta puede



estar a menos de 1 pulg de la placa orificio y se usa cuando se desea la máxima

presión diferencial para un mismo flujo.

Tomas en la tubería: están localizadas a una distancia de 2½ D nominales aguas

arriba y 8D nominales aguas debajo de la placa. Miden la perdida de presión

permanente a través de un orificio, requiere mayor cantidad de tramos rectos de

tubería, hay que perforar la tubería, se usa en la medición de gases y es la que

permite mayor estabilidad en la presión diferencial.

Figura 14. Diferentes tomas de presión de una placa orificio

El orificio de la placa puede ser de tres tipos (Figura 15):

Figura 15. Tipos de orificios



Tipo concéntrica: Para aplicaciones de líquidos limpios, de baja viscosidad para la mayoría

de los gases y vapor a baja velocidad.

Tipo excéntrico y segmental: se utilizan principalmente en aplicaciones de fluidos que

contienen materiales en suspensión o condensado de vapor.

El orificio los hay de dos formas: de bordes cuadrados y de bordes biselados, siendo este el

más común por ser la más barata y más fácil de cambiar. Su popularidad se debe a su

simplicidad y al bajo mantenimiento pero desafortunadamente no es el método de medición

más preciso estando la incertidumbre en la medida entre el 0.5% y el 3% dependiendo del

fluido, la configuración de la tubería aguas arriba y si las correcciones por diversos efectos

se hicieron o no en la fórmula del flujo volumétrico

Definición y principio de funcionamiento: Son dispositivos que consisten en una reducción en la sección de flujo de una tubería, de

modo que se produzca una caída de presión, a consecuencia del aumento de velocidad.

Consiste en una placa perforada instalada en la tubería.

Figura 16. Medidor de orificio. Fuente: Mc Cabe, 1998

En la Figura 16 podemos apreciar cómo cambia la sección transversal de la vena fluida en

movimiento. Principalmente, el diámetro de la vena fluida se reduce hasta igualar el diámetro

∆P

Presión recuperada



del orificio. Después que el fluido ha pasado a través de la placa, el diámetro sigue

disminuyendo hasta alcanzar un valor mínimo para luego aumentar inmediatamente en

forma gradual, hasta tomar de nuevo el valor que tenia originalmente. El punto, donde el

diámetro sufre la máxima reducción, se conoce como vena contracta.

Mientras mayor sea la reducción del diámetro, mayor será la velocidad del fluido y

mayor la presión diferencial.

Inmediatamente después del orificio, la presión se reduce de manera apreciable y todavía

hay una ligera reducción adicional al llegar a la vena contracta. A partir de allí, la presión

aumenta gradualmente hasta estabilizarse en cierto valor indicado por las columnas de

arriba y a la derecha en donde, es inferior al valor que la presión tenía en las columnas a la

izquierda del orificio, debido a la perdida de energía ocasionada por las turbulencias. (Mc

Cabe, 1998)

De esta manera, podemos considerar dos clases de caídas o pérdidas sufridas por la presión

estática; una caída temporal, que ocurre solo mientras subsiste la reducción del diámetro de

la vena fluida, y una caída permanente, la cual es causa por las perdidas por fricción debido

a los remolinos que se generan en la expansión del chorro una vez sobrepasada la vena

contracta

El diámetro del orificio no guarda una relación fija con el diámetro de la tubería. Sin embargo,

la relación entre ellos β ( ) debe conservarse dentro de ciertos límites, que dependen

del diámetro de la tubería y de los puntos en que se hagan las tomas de presión. En ningún

caso el valor de β debe ser menor que 0.1 mayor que 0.8.

Recuperación de presión: A causa de las elevadas pérdidas por fricción, debido a los remolinos que se generan en la

reexpansión del chorro, una vez sobrepasada la vena contracta, la recuperación de presión

en un medidor de orificio es muy deficiente. La pérdida de potencia que se origina es una de

las desventajas del medidor de orificio. La fracción de la presión diferencial que se pierde

permanentemente depende del valor de β. Para un valor de β de 0.5 la perdida de carga es

aproximadamente un 73 por 100 de la presión diferencial.

Cuando la toma de presión posterior está situada a ocho diámetros de la tubería aguas

abajo del orificio, la diferencia de presión que se mide entre las tomas es en realidad

una medida de la perdida permanente, en vez de la presión diferencial en el orificio.

(Mc Cabe, 1998)



Ventajas y desventajas.

VENTAJAS DESVENTAJAS

- Costo más bajo entre los distintos

elementos primarios.

- Excelente servicio en muchas

aplicaciones.

- Maneja la mayoría de los fluidos

limpios.

- No está limitado para aplicación a

temperaturas altas.

- Gran simplicidad y fácil aplicación.

- Fácil instalación y reemplazo.

- No requiere mantenimiento excesivo.

- Puede variarse la relación entre el

diámetro del estrechamiento y el de la

tubería, permitiendo acomodarse a

nuevas velocidades de flujo.

- Debido a la formación de la vena contracta se

produce la más alta pérdida de presión

permanente.

- Su exactitud no es muy elevada (± 1 a ± 2%).

- Sufre permanente desgaste debido a la

erosión del fluido.

- Baja capacidad.

- Difícil ubicación (idónea) de las tomas de

presión.

- La dificultad para predecir el área de la vena

contracta y la velocidad en ese punto.

- Instalación entre bridas.

- Requiere longitudes extensas de tuberías

aguas arriba y aguas abajo.

- Precisión limitada por el uso y la densidad.

- No se mide directamente el caudal.

- El mínimo flujo está limitado por encima de

30% y el máximo flujo por encima de 95%

1.6.4 Tubo Venturi Descripción

Consiste en un conjunto de bridas y tuberías, el cual tiene un cono de entrada convergente,

que guía el fluido hacia el estrechamiento central y un cono divergente de salida que guía el

fluido hacia la continuación de la tubería. La unión de los conos se denomina garganta, o

sea, la parte más contraída del tubo. A la primera sección, o cono de entrada, se conecta la

toma de alta presión. La toma de baja presión se coloca en la garganta del tubo. El cono de

salida es llamado, de recuperación, ya que recupera hasta cierto punto un gran porcentaje

de la perdida de presión provocada por esta restricción. (Figura 17)



Figura 17. Tubo Venturi. Fuente: Mc Cabe, 1998

En el tubo venturi, la velocidad aumenta en el cono anterior y la presión disminuye,

utilizándose la caída de presión. Pasado el estrechamiento, la velocidad disminuye y se

recupera en gran parte la presión original en el cono posterior. Con el fin de que la

recuperación de presión sea grande, el ángulo del cono posterior o de salida, es pequeño, de

forma que se evita la separación de la capa limite y la fricción es mínima.

Las principales limitaciones de los tubos venturi son su elevado coste y la longitud necesaria

para su instalación, sobre todo para grandes tamaños de tubería. Sin embargo, debido a su

baja pérdida de carga, son justificados en casos donde tienen que bombearse grandes

cantidades de líquido de forma continua. En un aparato bien diseñado la perdida permanente es el 10% de la diferencia de presión temporal (P1-P2) de forma que se recupera el 90% de esta diferencia. Cuando la pérdida de carga no es importante, suele prescindirse del tubo Venturi y

sustituirse por una placa de orificio debido a su menor costo y mayor facilidad de instalación

y mantenimiento.

La principal aplicación es para fluidos de gas y en donde se requiera desplazar grandes

volúmenes. El tubo venturi al guiar el fluido evita turbulencias, es por esta razón que el

venturi da lecturas más precisas que la placa de orificio.



Ventajas y desventajas:


- Alta exactitud (± 0,75%).

- Menor pérdida de presión permanente.

- Mínimo mantenimiento.

- Maneja entre el 25% y 50% de flujo mayor a

la placa orificio, para diámetros de tuberías y

pérdidas de presión comparables.

- Medición de grandes flujos.

- Manejo de fluidos sucios, con sólidos en

suspensión o viscosos.

- Se instala directamente en la tubería.

- No requiere grandes longitudes de tuberías

aguas arriba, ni aguas abajo.

- Ubicación exacta de las tomas de presión.

- Área de la garganta conocida.

- Alto costo (20 veces > al de la placa

orificio para el mismo flujo).

- Aplicabilidad limitada.

- Instalación complicada.

- Ocupa considerable espacio.

- Si el intervalo de velocidades cambia

considerablemente, se obtienen

diferenciales de presión poco precisa.

- Usado para altos números de Reynolds.

- No son medidores directos de caudal.

- El mínimo flujo está limitado por encima

de 30% y el máximo flujo por encima de

95%

Comparación entre la placa orifico y el tubo Venturi

Una placa orificio puede sustituirse fácilmente para ajustarse a diferentes ratas de flujo,

el diámetro del Venturi es fijo entonces el rango de medición está limitado por la caída

de presión causada por el Venturi.

La placa orificio genera una gran pérdida permanente de presión debido a la presencia

de remolinos aguas abajo del orificio, la forma del Venturi previene la formación de

remolinos lo cual reduce enormemente la pérdida permanente de presión.

El orificio es económico y fácil de instalar, el Venturi es costoso y debe ser

cuidadosamente diseñado. Una placa orificio se puede reemplazar fácilmente mientras

que un Venturi está diseñado para instalaciones permanentes.



1.6.5 Tubo Pitot

Definición Es un tubo hueco que se posiciona de modo que el extremo abierto apunta directamente a la

corriente de fluido. La presión en la entrada hace que se soporte a una columna de fluido.

Entonces, el fluido en o justo dentro de la punta esta estacionario o estancado, y esto se

conoce como punto de estancamiento. (Figura 18)

Principio de funcionamiento

El Tubo Pitot mide dos presiones simultáneamente, presión de impacto (medida por el tubo

de impacto interior a) y presión estática (medida por el tubo estático b exterior).

El principio del mismo se indica en la Figura 18. La abertura del tubo de impacto a es

perpendicular a la dirección de flujo. La abertura del tubo estático b es en cambio paralela a

la dirección de flujo. Los dos tubos están conectados a las ramas de un manómetro u otro

sistema equivalente de medida de pequeñas diferencias de presión. El tubo estático mide la

presión estática Ps, puesto que no existe componente de la velocidad perpendicular a la

abertura. La abertura de impacto contiene un punto de estancamiento B. La línea de

corriente AB termina en el punto de estancamiento B. Dentro del Tubo Pitot no existe un movimiento del fluido, el fluido queda a la entrada del tubo

interior, y este tubo transmite una presión de impacto equivalente a la energía cinética del

fluido. La diferencia de presión medida, representa la elevación de presión asociada con la

desaceleración del fluido.

Figura 18. Fundamento del Tubo Pitot. Fuente: Mc Cabe, 1998



Si el fluido es incompresible se utiliza la ecuación de Bernoulli para obtener el diferencial de

presión resultando ser proporcional al cuadrado de la velocidad del flujo, para gases se

puede utilizar para velocidades moderadas y con cambios de presión cerca del 10% o menos

de la presión total. En la sección 1.6.6 se deduce la ecuación para el tubo Pitot

Cuando un fluido en movimiento se detiene porque encuentra un objeto estacionario, se crea

una presión mayor que la de la corriente de fluido. La magnitud de esta presión

incrementada se relaciona con la velocidad del fluido en movimiento. Es preciso tener en cuenta que, así como los medidores de orificio y el tubo de Venturi

miden la velocidad media de toda la corriente de fluido, el tubo de Pitot mide

solamente la velocidad en un punto.

Ventajas y Desventajas:


- Bajo costo.

- Bajas pérdidas de presión.

- Utilización en ductos irregulares.

- Bueno para mediciones de velocidad

puntual.

- Para una amplia gama de Números de

Reynolds, el error en la medición es de

1%.

- Aplicabilidad limitada.

- Precisión afectada por la densidad del fluido.

- Bajas caídas de presión.

- No miden directamente la velocidad

promedio.

- No son medidores directos de caudal.

- Cambios significativos en la velocidad puede

ocasionar errores significativos.

- Limitada aplicación industrial, por su fácil

obstrucción



1.6.6 Ecuación general de medidores de flujo

Suposiciones:

• Flujo estacionario

• Flujo incompresible

• Flujo a lo largo de una línea de corriente

• Ausencia de rozamiento

• Velocidad uniforme en las secciones 1 y 2

• Ausencia de curvatura en la línea de corriente de modo que la presión sea uniforme

en ellas.

• Z1 aproximadamente igual a Z2

• No hay transferencia de calor ni trabajo de eje

Fluidos incompresibles Fluidos compresibles

21

222111

21

....QQ

AvAvmm

==

=ρρ

222111

21

.... AvAvmm

ρρ ==

Deducción de la ecuación para el tubo Venturi

La ecuación de la energía y la ecuación de continuidad pueden utilizarse para derivar la

relación a través de la cual se puede calcular la velocidad del fluido.

1 2



Utilizando las secciones 1 y 2 como puntos de referencia podemos escribir las siguientes

ecuaciones:

Ecuación de Bernoulli: g

vz

Ph

gv

zP

L 22

22

22

21

11 ++=−++

γγ Ec 20

Como el caudal viene dado por: oAvAv .. 211 =

Estas ecuaciones son validas solamente para fluidos incompresibles (líquidos). Para el flujo

de gases, debemos dar especial atención a la variación del peso específico con la presión.

De la ecuación de Bernoulli se lleva a cabo dos simplificaciones:

• La diferencia de elevación z es pequeña, aun cuando el medidor se encuentre

instalado en forma vertical.

• Lh es la perdida de energía del fluido conforme este corre de la sección 1 a la 2

gvv

gPP

.2.

21

2221 −

=−ρ

Ec 21

al despejar la velocidad teórica, 1v de la ecuación de continuidad se tiene:

21

22

22

1 AA

vv o= Ec 22

2

1 21

22

2

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=− A

Av

PPo

ρ Ec 23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

21

221

2

1

/)(2

AAPPv

o

ρ

El caudal teórico esta dado por 222 .AvQ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

21

221

1

/)(2

AAPPAQ

ooideal

ρ Ec 24

Esta ecuación puede ser reescrita de la siguiente forma:



22

2

2

1

4.4

.

βπ

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Dd

D

d

AA o

o

o Ec 25

Donde β es la relación entre el diámetro del orificio o garganta (para el caso del Tubo Venturi) y el diámetro de la tubería

Ec 26

La ecuación 26 es aplicable solamente al flujo sin fricción de fluidos no compresibles. Para

tener en cuenta la pequeña perdida por fricción entre los puntos 1 y 2, es preciso corregir la

ecuación 26 introduciendo un factor empírico Cd. De este modo, la formula anterior se

corrige con un coeficiente adicional, 1≤dC , llamado coeficiente de descarga, que tiene en

cuenta las pérdidas de carga en el tramo 1-2.

Dicho coeficiente de descarga (Cd) se define como la relación entre el caudal real y el

caudal teórico de un flujo de agua que pasa por un determinado orificio.

( )ρβ

21

4

.2

1

PPACdQ o−

×−

= Ec 27

Simplificando la ecuación anterior

21 PPPtemporal −=Δ Ec 28

ρβtemporal

o

PACdQ

Δ×

−=

.2

1 4 Ec 29

El coeficiente de descarga venturi se determina experimentalmente. El efecto de la velocidad

de aproximación se tiene en cuenta en el término 41

1β−

.

Cuando el ( od ) es menor que 4D

, la velocidad de aproximación y el termino β pueden

despreciarse, puesto que el error que se comete es menor del 0.2 por 100.

ρβ).(2

121

4

PPAQ oideal

−

−=



• Para tubos venturi bien diseñados:

98.0≅Cd para tuberías de 2 a 8 pulgadas

99.0≅Cd para diámetros mayores

El valor del coeficiente depende del número de Reynolds y de la geometría real del medidor y se determina mediante la grafica correspondiente al coeficiente para tubo venturi (Figura 19). En la mayoría de los casos se suele utilizar los coeficientes de descarga antes mencionado.

Figura 19. Coeficiente de descarga del Tubo Venturi

β = 0.25

β = 0.5

β =0.75



Deducción de la ecuación para la placa orificio

En la placa de orificio, para calcular el flujo volumétrico real se deben considerar el

coeficiente de contracción y velocidad.

El coeficiente de velocidad (Cv) es la relación entre la velocidad media real en la sección

recta del chorro y la velocidad media lineal que se tendría sin efectos de rozamiento.

ideal

real

vv

Cv2

2= Ec 30

idealreal vCvv 22 .= Ec 31

El coeficiente de contracción (Cc) es la relación entre el área de la sección recta contraída

de un chorro y el área del orificio por el cual pasa el fluido.

oA

ACc 2= Ec 32

oACcA .2 = Ec 33

El caudal real está dado por 222 .AvQ realreal =

oidealreal ACcCvvQ ...2=

∆P

Presión recuperada



El coeficiente de descarga

de la placa orificio es,

CcCvCd .=

ρβtemporal

o

PACdQ

Δ×

−=

.2

1 4 Ec 34

La ecuación 10.6 es útil con fines de diseño porque Cdo es prácticamente constante e

independiente de β cuando el Reynolds, es mayor que 20000. En estas condiciones, Cdo

puede tomarse igual a 0.61. No es recomendado cuando el Reynolds es menor de 20000 ya

que el coeficiente de descarga cambia mucho con el Reynolds y por consiguiente con el

flujo.

Es importante que antes y después del orificio exista suficiente longitud de tubería recta con

el fin de que el tipo de flujo sea normal y no esté distorsionado por válvulas, accesorios u

otros aparatos, si no ocurre así la distribución de velocidad es anormal y el coeficiente de

descarga del orificio no se puede predecir.

El valor de C es mucho más bajo que el del tubo venturi puesto que el fluido se fuerza a

realizar una contracción repentina seguida de una expansión repentina. Asimismo, debido a

que las mediciones están basadas en el diámetro del orificio, la disminución en el diámetro

de la corriente de flujo en la vena contracta tiende a reducir el valor de C.

De manera general, la ecuación del medidor puede simplificarse de la siguiente manera:

41 β−=

CdC donde C= Coeficiente de flujo

ρtemporal

o

PACQ

Δ×=

.2 Ec 35

ρ..2 temporalo PACm Δ×= Ec 36

El valor del coeficiente de flujo depende del número de Reynolds y de la geometría real del medidor y se determina mediante la grafica correspondiente al coeficiente de flujo

ρβ

).(2

1

. 21

4

PPAoCcCvQreal

−

−=



0.998

para orificios (Figura 20). En la guía Tablas y gráficos de la unidad I Flujo en fase liquida se

encuentran disponibles. Es importante resaltar que la selección del grafico depende de

las tomas de presión estudiadas en las secciones anteriores. Por ejemplo, se debe

especificar si las tomas están en bridas o en vena contracta, y en función de ello se

selecciona el grafico.

Por ejemplo, si una placa de orificio de bordes biselados de 12 in se instala en una línea de

24 in de diámetro interno para transportar agua a 90 pie3/s. Las dos variables que se

necesitan para leer el coeficiente de flujo, es el número de Reynolds y la relación de los

diámetros (β). 1224

0.5

Para conocer el Número de Reynolds es necesario conocer las propiedades del fluido,

suponga para el ejemplo 2.10 . El Coeficiente de flujo es 0.998

Figura 20. Coeficiente de flujo para orificios. Fuente: Crane, 1976



Deducción de la ecuación para el tubo pitot

Podemos utilizar la ecuación de la energía para relacionar la presión en el punto de

estancamiento con la velocidad del fluido. Si el punto 1 está en la corriente quieta adelante

del tubo y el punto s esta en el punto de estancamiento, entonces,

gv

zP

hg

vz

P ss

sL 22

221

11 ++=−−+

γγ Ec 37

Observe que 0=sv , 21 zz = o casi iguales, y 0=Lh . Por consiguiente tenemos que,

γγsP

gvP

=+2

211 Ec 38

La cabeza de presión total es igual a la suma de la cabeza de presión estática y la cabeza de

presión de velocidad.

ρPCpv Δ

×=2

1 Ec 39

El coeficiente adimensional Cp del tubo pitot varia entre 0.98 y 1 para pitot bien diseñados,

este corrige las desviaciones por cambio de energía cinética ya que los cambios de presión

son pequeños.

Para obtener la velocidad media verdadera para toda la sección transversal, se utiliza uno de

los dos procedimientos siguientes. Puede situarse el tubo, exactamente centrado en el eje de



la tubería y calcular la velocidad media a partir de la velocidad máxima mediante la figura

(Figura 21). Si se utiliza este procedimiento, es preciso tomar la precaución de instalar el

tubo pitot por lo menos 100 diámetros aguas debajo de cualquier perturbación del flujo, de

forma que la distribución de velocidad sea normal. Si se sitúa el tubo Pitot en el centro de

la tubería, mide la velocidad máxima

Figura 21. Relación velocidad máxima y velocidad promedio de una tubería

En la Figura 21 nos muestra la relación de la velocidad máxima y la velocidad promedio en

función del número de Reynolds máximo y el Reynolds promedio. En el eje x inferior se ubica

el Reynolds máximo, éste se obtiene sustituyendo en la ecuación del Reynolds la velocidad

máxima obtenida mediante la Ec 39 y con este valor de Re se corta con la curva B tal como

lo indica la flecha y se lee el valor correspondiente a la relación / y ese valor se

despeja el que corresponda. La curva A se corta cuando se lea en el eje inferior el Reynolds

a la velocidad promedio.



El otro procedimiento consiste en efectuar medidas en un cierto número de localizaciones

conocidas de la sección transversal de la tubería y calcular la velocidad media para toda la

sección mediante integración grafica. Este último método se utiliza principalmente para medir

flujos de gases, ya que en este caso los cambios de velocidad no representan un

inconveniente serio.

)..(..

2

2

rvddQrvQπ

π

=

=

∫= drrVQ ....2π Ec 40

Tabla 1. Mediciones de caída de presión a diferentes posiciones de la tubería

r PΔ V V.r

r1 PΔ 1 V1 v.r1

r2 PΔ 2 V2 v.r2

En la Tabla 1 se puede observar las mediciones del radio a diferentes posiciones del tubo

pitot en la tubería y para cada uno de ellos su respectiva caída de presión. Con estos datos

se determina la velocidad del fluido mediante la Ec 39, sustituyendo en la misma la caída de

presión correspondiente a cada posición. Una vez que se tiene ese valor, se necesita para

resolver la integración gráficamente el resultado de V.r para cada posición (1, 2, 3, etc).

Luego se procede a graficar tal como nos muestra la Figura 22. La aplicación del Método

es contenido de Matemática V, no es competencia de Operaciones Unitarias I.

Con el PΔ calculo ρPCpv Δ

×=2

1

Figura 22. Área bajo la curva para la integración del método de Simpson

V.r

r



Área bajo la curva

Método de Simpson

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑ ∑

= =5,3,1 4,2)()(.2)(.4)(.

3 j kXnfXkfXjfXofhI

1.6.7 Procedimiento general para determinar flujo másico y volumétrico, diámetro del medidor, caída de presión temporal y permanente, potencia no recuperada

Caso 1: Flujo másico y volumétrico

Datos conocidos: 11 ,),/(,,, ρμβ DddDPP =Δ

ρgcPAoCQ ..2** Δ

=

gcPAoCm ...2** ρΔ=

1. Asumimos 6.0=C

2. Calculamos el flujo másico )(m

3. Calculamos el caudal ρmQ = , para determinar la velocidad

AQv =

4. Calculamos el numero de Reynolds, μ

ρ DV ..Re =

5. Con el valor del Reynolds y relación de diámetros ( β ) leemos el coeficiente de flujo C

mediante la grafica correspondiente.

6. Cuando el valor de C supuesto en el paso 1 no concuerda debemos ajustarlo hasta

alcanzar la concordancia razonable, repitiendo los pasos 1 al 5.



ρπ gcPC

Qdo.2..

4Δ

=

Caso 2: Diámetro del medidor

Datos conocidos: 11 ,,,,, ρμmDPPΔ

1. Asumimos 6.0=β

2. Leemos Coeficiente de flujo (C) en función del Re, μ

ρ DV ..Re = y β

3. Calculamos el diámetro del orificio

4. Calculamos β

5. Comparamos calculadoasumido ββ =

6. Cuando el valor de asumidoβ en el paso 1 no concuerda debemos ajustarlo hasta

alcanzar la concordancia razonable, repitiendo los pasos 1 a 5.

Caso 3: Caída de presión temporal y permanente

21 PPPtemporal −=Δ

)(*31 rPPPP temporalpermanente Δ=−=Δ donde

P1= Presión corriente arriba

P2= Presión en vena contracta o en garganta

P3= Presión corriente abajo

Factor de recuperación (Se determina gráficamente (Figura 23) o mediante la fórmula)

r= Factor de recuperación= (1-β2) Ec 41

Esta fórmula solo aplica a la placa orificio, para el caso del Tubo Venturi se considera el 10% según la teoría o se determina mediante el siguiente grafico Para leer el factor de recuperación es necesario conocer la relación de los diámetros (β) y el

tipo de medidor (placa orificio o venturi).

Potencia no recuperada o pérdida de potencia: Es la potencia necesaria para operar el medidor de flujo con todo su flujo y viene dado por:

∆ Ec 42



Figura 23. Factor de recuperación para orificios, venturi y boquillas. Fuente: Darby, 2001



1.7 CAIDA DE PRESION TOTAL Los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias perdidas secundarias

así como perdidas de energía debido a la fricción conforme el fluido es entregado de un

punto a otro. Puede utilizarse más de un tamaño de tubería.

Si un sistema de línea de tubería se dispone de tal forma que el fluido corra en una línea

continua sin ramificaciones se le lama Sistema en serie. Por el contrario, si el sistema

provoca que el fluido se ramifique en dos o más líneas, se le llama Sistema en

paralelo. (Mott, 2006)

Esta sección presenta los métodos de análisis para sistemas de líneas de tuberías reales en

los cuales el fluido fluye a través de una trayectoria continua única y cuando se ramifica en

dos o más líneas.

1.7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMAS La mayoría de los sistemas de flujo de tubería involucran grandes pérdidas de energía de

fricción y perdidas menores.

Sistema en Serie

Si el sistema es arreglado de tal forma que el fluido fluye a través de una línea continua sin

ramificaciones, este se conoce con el nombre de Sistema en Serie (Mott, 2006). En la

.Figura 24 nos muestra un sistema en serie

Figura 24. Sistema en serie. Fuente: White, 2001

Ec 43

. . . Ec 44

Ec 45



• El caudal que circula por los tramos 1, 2 y 3 de diámetro D1, D2 y D3 es el mismo. (Ec

43)

• La pérdida total es la suma de las perdidas parciales. (Ec 45)

• Y se cumple la ecuación de continuidad. (Ec 44)

Procedimiento de solución para determinar la velocidad del flujo volumétrico con dos tuberías.

1. Escribimos la ecuación de energía del sistema.

2. Evaluamos las cantidades conocidas tales como las cabezas de presión y las

cabezas de elevación.

3. Expresamos las pérdidas de energía en términos de dos velocidades desconocidas

y los dos factores de fricción .

4. Utilizando la ecuación de continuidad, expresamos la velocidad en la tubería más

pequeña en términos de los de la tubería más grande.

. .

.

5. Sustituimos la expresión del paso 4 en la ecuación de energía, por ende, eliminando

una velocidad desconocida.

6. Despejamos la velocidad que queda en términos de los dos factores de fricción.

7. Expresamos el número de Reynolds de cada tubería en términos de la velocidad de

esa tubería.

8. Calculamos la rugosidad relativa / para cada tubería.

9. Seleccionamos valores de prueba para en cada tubería, utilizando los valores

conocidos de / como una guía. En general, los dos factores de fricción no serán

iguales.

10. Calculamos la velocidad en la tubería más grande, utilizando la ecuación del paso 6.

11. Calculamos los dos números de Reynolds.

12. Determinamos el nuevo valor del factor de fricción en cada tubería.

13. Comparamos los nuevos valores de con los asumidos en el paso 9 y repitimos los

pasos 9-14 hasta que no se detecten cambios significativos. Las velocidades que se

encontraron en los pasos 10 y 11 son correctas entonces. (Mott, 2006)



Calculo de diámetro de tubería.

Los requerimientos del sistema se especifican en términos de una caída de presión permitida

o perdida de energía, una velocidad de flujo volumétrico deseado, las propiedades del fluido

y el tipo de tubería que se utilizará. Después, se determina el tamaño de tubería adecuado

que cumpla estos requerimientos.

Se requiere de iteración para resolver problemas de determinación de diámetro debido a que

existen tantas incógnitas para permitir una solución directa. La velocidad de flujo, el número

de Reynolds y la rugosidad relativa / son todas ellas dependientes del diámetro de la

tubería. Por lo tanto, el factor de fricción no puede determinarse en forma directa.

Procedimiento de solución para determinar el diámetro de la tubería. 1. Escribimos la ecuación de la energía del sistema.

2. Despejamos la perdida de energía total y evaluamos las cabezas de presión y

elevaciones conocidas.

3. Expresamos la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación de

Darcy-Weisbach:

2

4. Expresamos la velocidad en términos de la velocidad de flujo en volumen y el

diámetro de la tubería: 4.

5. Sustituimos la expresión de V en la ecuación de Darcy

162

8

.

6. Despejamos el diámetro:

8.

. /

7. Expresamos el numero de Reynolds en términos del diámetro:

pero 4.

4. .



8. Asumimos un valor de prueba inicial para . Puesto que tanto como / son

incógnitas, no existen procedimientos específicos para seleccionar el valor inicial. Al

menos que existan condiciones específicas o que la experiencia dicte otra cosa,

asuma 0.02.

9. Calculamos el diámetro D del paso 6.

10. Calculamos el número de Reynolds Re del paso 7.

11. Calculamos la rugosidad relativa / .

12. Determinamos el nuevo valor para el factor de fricción del diagrama de Moody.

13. Comparamos el nuevo valor de con el que se asumió en el paso 8 y repetimos los

pasos 8 al 12 hasta que no se pueda detectar un cambio significativo en . El

diámetro calculado en el paso 9 es entonces correcto. (Mott, 2006)

Sistema en paralelo.

Cuando dos o más tuberías partiendo de un mismo punto A vuelven a reunirse en otro punto

B, se dice que el sistema constituye una conducción en paralelo (Ocon, 1978). En la Figura 25 se muestra la distribución de un sistema en paralelo

Figura 25. Sistema en paralelo. Fuente: White, 2001

Ec 46

Ec 47

• El caudal total Q se reparte en todas las tuberías (Ec 46)

• Las pérdidas de energía por unidad de fluido entre los puntos A y B es igual a las

pérdidas de energía por unidad de fluido en cada rama del sistema h1, h2 y h3. (Ec 47)



La resolución práctica de este problema se efectúa por tanteo cuando se conoce el caudal

total y las características del fluido y las de la tubería correspondientes a cada una de las

ramas.

Método de solución para sistemas con dos ramas, cuando se conocen el flujo volumétrico total y la descripción de las ramas

1. Igualamos el flujo volumétrico total con la suma de los flujos volumétricos en las dos

ramas, como se enuncia en la ecuación 46. Después, expresamos los flujos en las

ramas como el producto del área de flujo y la velocidad promedio; es decir,

. .

2. Expresamos la perdida de carga en cada rama en términos de la velocidad de flujo en

ella y del factor de fricción. Debemos incluir todas las pérdidas significativas debido a

la fricción, así como las perdidas menores.

3. Para cada una de las ramas, calculamos la rugosidad relativa / , estimamos el

valor del factor de fricción y terminamos el cálculo de la perdida de carga en términos

de las velocidades desconocidas.

4. Igualamos la expresión para las pérdidas de carga en las dos ramas una con otra,

como lo plantea la ecuación 47.

5. Resolvemos para una velocidad en términos de la otra, a partir de la ecuación del

paso 4.

6. Sustituimos el resultado del paso 5 en la ecuación del flujo volumétrico que se

desarrollo en el paso 1, y despejar cada una de las velocidades desconocidas.

7. Despejamos la segunda velocidad desconocida de la relación que se obtuvo en el

paso 5.



8. Si hubiera duda sobre la exactitud del valor del factor de fricción que empleamos en

el paso 2, calculamos el número de Reynolds para cada rama y reevaluamos el factor

de fricción a partir del diagrama de Moody, o calculamos los valores para el factor de

fricción por medio de las ecuaciones empíricas, vistas en la sección 1.5.2.

9. Si los valores del factor de fricción cambian en forma significativa, repetimos los

pasos 3 a 8, con el empleo de los valores nuevos del valor de fricción.

10. Si logramos precisión satisfactoria, utilizamos en cada rama la velocidad que ahora

ya se conoce para calcular el flujo volumétrico en ellas. Comprobamos la suma de los

flujos volumétricos para asegurarnos de que es igual al flujo volumétrico total en el

sistema.

11. Utilizamos la velocidad en cualquier rama para calcular la perdida de carga a través

de ella, con el empleo de la relación apropiada del paso 3. Esta pérdida de carga

también es igual a la de todo el sistema ramificado. Si se desea, podemos calcular la

caída de presión a través del sistema, por medio de la relación ∆ . (Mott,

2006)

Método de solución para sistemas con dos ramas cuando se conoce la caída de presión a través del sistema, y ha de calcularse el flujo volumétrico en cada rama y el flujo total

1. Calculamos la perdida de carga total a través del sistema, con el empleo de la caída

de presión conocida ∆ en la relación ∆ .

2. Escribimos expresiones para la perdida de carga en cada rama, en términos de la

velocidad y el factor de fricción en cada una.

3. Calculamos la rugosidad relativa / para cada rama, suponemos una estimación

razonable para el factor de fricción, y completamos el cálculo para la perdida de carga

en términos de la velocidad en cada rama.

4. Al igualar la magnitud de la perdida de carga en cada rama con la perdida de carga

total, según encontramos en el paso 1, despejamos para la velocidad en la rama por

medio de la expresión que hallamos en el paso 3.

5. Si hubiera alguna duda sobre la exactitud del valor del factor de fricción utilizando en

el paso 3, calculamos el numero de Reynolds para cada rama y volvemos a



determinar el factor de fricción con el diagrama de Moody o calculamos mediante las

formulas empíricas, vistas en la sección 1.5.2.

6. Si los valores de factor de fricción cambian de manera significativa, repetimos los

pasos 3 y 4, con el empleo de los valores nuevos de aquel.

7. Una vez lograda la precisión satisfactoria, utilizamos la velocidad que ahora ya se

conoce en cada rama, para calcular el flujo volumétrico en cada una de estas.

Después, calculamos la suma de los flujos volumétricos, que es igual al flujo

volumétrico total en el sistema. (Mott, 2006)



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

DARBY R. (2001). “Chemical Engineering Fluid Mechanics”. 2da Edition. Marcel

Dekker Inc, New York, Chapter 7 y 10

MATAIX C. (1993). “Mecánica de fluidos y maquinas hidráulicas”. Ediciones del

Castillo, Madrid, capitulo 6 y 9

Mc Cabe W. (1998). “Operaciones Unitarias en Ingeniería Química”. 4ta Edición. Mc

Graw Hill, Madrid, sección 2.

Geankoplis C. (1998). “Procesos de transporte y Operaciones Unitarias” 3era Edición.

Editorial Continental, México, Capitulo 3.

Crane (1976). “Flujo de fluidos en válvulas, accesorios y tuberías” . Mc Graw Hill

Shames I. (1995). “Mecánica de fluidos” 3era Edición. Mc Graw hill, Bogotá,

Capitulo 13

Levenspiel O. (1993). “Flujo de fluidos e intercambio de calor” Editorial Reverte.

España, Capitulo 2.

Mott R. (2006). “Mecánica de fluidos”. 6ta Edición. Editorial Person Educación,

México, Capitulo 11 y 12.

White, F. (2001). “Fluid Mechanics” 4ta Edition Editorial Mc Graw Hill

Unidad I. Flujo en fase liquida - Operaciones Unitarias I · PDF fileEsto ocurre especialmente...

Documents

Transcript of Unidad I. Flujo en fase liquida - Operaciones Unitarias I · PDF fileEsto ocurre especialmente...