Fluctuaciones de Polarización en

Óptica Cuántica

Memoria del Trabajo de Investigación realizado por

Ángel Rivas Vargas

para la obtención del título de Máster.

Madrid, Septiembre 2007

Trabajo dirigido por :

Dr. Alfredo Luis Aina

Departamento de ÓpticaFacultad de Ciencias Físicas

Agradecimientos

A Alfredo por su interés y dedicación en la realización del trabajo, así como su dili-

gencia para sobrellevar algún que otro contratiempo inesperado.

A mi familia siempre.

A amigos y colegas, por los buenos momentos que pasamos juntos, y por los no tan

buenos.

A Bach, Beethoven, Chopin, Brahms, Mozart, Rachmaninov, y otros muchos, , ,

por su inestimable ayuda.

Dixitque Deus: Fiat lux. Et facta est lux.

Ed vidit Deus lucem quod esset bona.

Génesis 1, 3-4.

i

Índice

1. Introducción 1

2. Descripción Cuántica de la Polarización 1

2.1. Operadores de Stokes y Distribución de Polarización . . . . . . . . . . . . 12.2. Fluctuaciones de Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1. Varianzas de Operadores de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2. Certidumbres de Operadores de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.3. Grado de Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Distancia No-Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Varianzas Principales 5

3.1. Matriz de Covarianza Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Matriz de Covarianza Hermítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3. Relaciones de Incertidumbre Invariantes SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Resolución Interferométrica 9

4.1. Resolución Interferométrica y Límite de Heisenberg . . . . . . . . . . . . 94.2. Resolución Interferométrica Intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Estados con Máxima Resolución Interferométrica 10

5.1. Estados Coherentes SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Estados Coherentes SU(2) Comprimidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3. Estados Gaussianos en el Límite Brillante . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4. Estados Número Gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5. Estados |ψ〉Y2 = 1√

2(|n〉1|n〉2 + |n+ 1〉1|n− 1〉2) . . . . . . . . . . . . . . 13

5.6. Estados |ψ〉Y3 = 1√2(|n+ 1〉1|n− 1〉2 + |n− 1〉1|n+ 1〉2) . . . . . . . . . . 14

5.7. Estados NOON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Conclusiones 15

ii

1. Introducción

Desde que en 1900 Max Planck formulara la hipótesis de la cuantización de la energíaen la radiación del cuerpo negro y con ello el nacimiento de la teoría cuántica, se hadescubierto el comportamiento cuántico de otros muchos observables. Dentro del marcode la óptica cuántica es común tratar la polarización de la luz como un parámetro clásico,perfectamente denido. Esta visión es sucientemente válida en determinadas y muycomunes situaciones; sin embargo la naturaleza real de la polarización es muy distinta.Está regida también por las reglas de la física cuántica [1] de tal manera que ningúnestado de luz resulta tener la polarización bien denida.

El objetivo del presente trabajo es estudiar las relaciones entre grado de polarización,uctuaciones de los operadores de Stokes y resolución interferométrica, como manifesta-ciones de las uctuaciones cuánticas de la polarización. A nivel práctico nos centraremosen los estados con buena resolución interferométrica. Dentro de esta familia parece sercomún la aparición de estados con valor medio nulo en los operadores de Stokes, peculia-ridad que hace inservibles algunos de los métodos usuales hasta la fecha, siendo necesariala aplicación de otros enfoques. A tal efecto hemos desarrollado dos propuestas, para dosproblemas diferentes, que se discuten en las secciones 3 y 4.

Así el trabajo abarca una primera sección 2 donde se exponen las ideas y conceptosde los que vamos a hacer uso a lo largo de él, las dos secciones 3 y 4 antes citadas, yuna nal 5 con el análisis de las uctuaciones en estados de interés metrológico, amén delapartado de conclusiones.

2. Descripción Cuántica de la Polarización

2.1. Operadores de Stokes y Distribución de Polarización

Hay varias maneras de caracterizar las propiedades de polarización en óptica cuántica.De la misma manera que en óptica clásica, la polarización es el efecto de superponer doscampos ortogonales de la misma frecuencia, cuyos modos vienen dados en la descripcióncuántica por sus operadores destrucción a1 y a2. Los operadores básicos de polariza-ción son así la versión cuántica de los parámetros de Stokes clásicos, llamados por ellooperadores de Stokes, [2]

S0 = a†1a1 + a†2a2, Sx = a†1a2 + a†2a1,

Sy = i(a†2a1 − a†1a2), Sz = a†1a1 − a†2a2,(1)

que satisfacen el álgebra del grupo SU(2) como un momento angular,

[Sx, Sy] = 2iSz, [S0,S] = 0, (2)

y permutaciones cíclicas. Además cumplen la relación de cierre

S2x + S2

y + S2z = S0(S0 + 2). (3)

La equivalencia entre operadores de Stokes y un momento angular puede ser establecidaasí por medio del modelo de los dos osciladores desacoplados de Schwinger.

La falta de conmutatividad de los operadores de Stokes conlleva que ningún estadode luz puede tener polarización bien denida (dejando a un lado el vacío a dos modos),

1

esto es, el vector campo eléctrico no puede describir una elipse bien denida, de la mismamanera que las particulas cuánticas no siguen trayectorias determinadas [3].

Por otra parte los valores medios de los operadores de Stokes corresponderían a losparámetros de Stokes clásicos que tienen una representación gráca sobre una esferaunidad llamada esfera de Poincaré [4]. Y así como los momentos angulares generan lasrotaciones, los operadores de Stokes son generadores de las rotaciones en la esfera dePoincaré, Uj = eiθSj ∈ SU(2), conservando estas transformaciones la energía representadapor S0.

Como es sabido, otra manera de caracterizar un estado cuántico es mediante unadistribución en el espacio de fase. A efecto de analizar la polarización es suciente ceñirsea la subvariedad del espacio fásico formada por la esfera de Poincaré. Debido a la noconmutatividad de los observables no hay una única distribución asociada a un estado, sibien la distribución más apropiada para nuestros intereses es la función de Husimi Q(Ω),que corresponde al caso s = −1 (orden antinormal) de la familia Ws(Ω) de distribucioness-ordenadas. La razón es su cercanía con el comportamiento de las distribuciones deprobabilidad clásicas. Esta distribución puede ser evaluada [5] mediante la fórmula

Q(Ω) =∞∑

n=0

n+ 1

4π〈n,Ω|ρ|n,Ω〉, (4)

donde |n,Ω〉 son los llamados estados coherentes SU(2) cuya expresión en términos delos estados de Fock es:

|n,Ω〉 =n∑

m=0

(n

m

)1/2(cos

θ

2

)m(sin

θ

2

)n−m

e−imφ|m〉1|n−m〉2. (5)

Estos estados son autoestados del número total de fotones S0|n,Ω〉 = n|n,Ω〉, y son laproyección de los estados coherentes cuadratura |α〉1|β〉2 sobre el subespacio Hn ∈ H de nfotones. Además, cada uno de ellos en particular es autoestado de la proyección del vectorde Stokes sobre el vector unitario de ángulo sólido Ω que lo dene (S ·uΩ)|n,Ω〉 = n|n,Ω〉.

2.2. Fluctuaciones de Polarización

En vista de que la polarización no está totalmente denida para cualquier estado deluz, la caracterización de sus uctuaciones juega un papel esencial a la hora de obternerla máxima información sobre su estado de polarización.

2.2.1. Varianzas de Operadores de Stokes

La manera más usual y común de cuanticar uctuaciones sería la varianza estadísticade los operadores de Stokes, (∆Sj)

2 = 〈S2j 〉 − 〈Sj〉2, las cuales satisfacen la relación de

incertidumbre estándar de Schrödinger-Robertson [8, 9] en términos del conmutador:

∆Si∆Sj ≥1

2|〈[Si, Sj]〉| ⇒ ∆Sx∆Sy ≥ |〈Sz〉|, (6)

y permutaciones cíclicas. No obstante esta expresión tiene algunos inconvenientes. Elprimero es la no invariancia SU(2), esto es, dos estados conectados por una transformaciónSU(2) son de hecho el mismo estado visto desde dos sistemas de referencia de Stokes, S y

2

S′, uno rotado respecto del otro S′ = RS = U †SU . Sin embargo estados que son mínimosde (6) no lo son de su versión rotada. En particular, entre los estados coherentes SU(2),que están todos conectados por rotaciones, sólo algunos de ellos logran ser mínimos de(6), por ejemplo |n; θ = 0〉 = |n〉1|0〉2.

Es evidente que detrás de la no invariancia SU(2) de (6) está el sistema privilegiadode ejes (Sx, Sy, Sz) que se toma para denirlas. Por tanto un método que garantiza la ci-tada invariancia es usar componentes de Stokes referidas al valor medio 〈S〉. Estas son lacomponente paralela S‖ a la dirección 〈S〉, con |〈S‖〉| = |〈S〉|, y dos componentes perpen-diculares a 〈S〉, denotadas por S⊥1 y S⊥2, con 〈S⊥(1,2)〉 = 0. Además estas componentesreducen las relaciones (6) a sólo una no trivial

∆S⊥1∆S⊥2 ≥ |〈S‖〉|, (y ∆S‖∆S⊥(1,2) ≥ 0), (7)

siendo ahora todos los estados coherentes SU(2) mínimos de estas relaciones. Este métodotambién permite denir criterios de compresión invariantes SU(2) [10,11].

Si bien, el más profundo problema de estas relaciones tiene su origen en que en espaciosde dimensión nita no hay operadores canónicamente conjugados [12, 13], y la cota delproducto de dos varianzas es siempre el valor medio de un operador. En nuestro casotodo el interés del desarrollo cae cuando 〈S〉 = 0, lo que sucede con frecuencia. Entonceslas direcciones paralela y perpendicular no están denidas lo que nos lleva de nuevo alproblema de la invariancia SU(2), y además todas las acotaciones para el producto devarianzas se vuelven triviales ∆Si∆Sj ≥ 0.

2.2.2. Certidumbres de Operadores de Stokes

El problema de las cotas no canónicas para el producto de varianzas ha llevado, nopocas veces durante las últimas dos décadas, a proponer relaciones de incertidumbre conotros cuanticadores de uctuaciones. A estas relaciones se ha hecho costumbre llamarlasrelaciones de incertidumbre entrópicas, puesto que la primera propuesta fue formuladacon un par de entropías [14].

Con las relaciones de incertidumbres no triviales que damos en la sección 3, este pro-blema ya no exige el uso de otros cuanticadores. Sin embargo es interesante considerarlosen orden a dar una caracterización más completa de las uctuaciones [15, 16], ya que lavarianza sólo depende del primer y segundo momento de la distribución de probabilidad,lo que puede ser insuciente en algunas situaciones [17].

Entre otras medidas de uctuaciones la conocida como certidumbre esquiva estosinconvenientes, siendo a la par no demasiado complicada. Hay varias contextos distintosde la polarización donde surge esta cantidad [1822]. Si P (x) es la probabilidad asociadaa la variable aleatoria discreta x ∈ X , su certidumbre puede denirse como la inversa dela raíz cuadrada de la exponencial de su entropía de Rényi de segundo orden

H2 = − log

(∑x

P 2(x)

)⇒ C =

√∑x

P 2(x). (8)

De esta manera la máxima certidumbre C = 1 se alcanza cuando la variable está total-mente determinada P (x) = δx,x0 , mientras que la mínima ocurre en el caso de uniformidadP (x) = 1/|X | (siendo |X | el rango de valores de x) y C = 1/

√|X |. Además si NP 6=0 es el

3

número de puntos cuya probabilidad es distinta de 0, se tiene NP 6=0 ≈ 1/C2 (en realidadNP 6=0 = b1/C2c ó d1/C2e dependiendo del caso).

Para los operadores de Stokes, si ρ es un estado cuántico, la certidumbre de Su seobtiene por medio de la expresión:

C2u =

∑m

P 2u (m) =

∑m

|u〈m|ρ|m〉u|2 (9)

donde |m〉u son los autoestados de la componente Su.Relaciones de certidumbre que indiquen el límite de precisión alcazable simultanea-

mente por estas cantidades fueron obtenidas por [23]. Para dos componentes de momentoangular o del vector de Stokes se tiene

C21 + C2

2 ≤2 + (d− 1)(1 + r(A))

d, (10)

siendo d = 2j + 1 la dimensión del espacio y r(A) el radio espectral de una matrizque contiene productos escalares de los autovectores de ambos operadores Am′,m =|1〈j,m′|j,m〉2|2 − 1

d= |dj

m′,m(π/2)|2 − 1d. Donde los coecientes d de Wigner se de-

nen como djm,m′(θ) = z〈jm| exp(−iθJy)|jm′〉z, que en el caso de direcciones ortogonales

θ = π/2 pueden encontrarse algunas expresiones cerradas en [24].Estas relaciones de certidumbre no son invariantes SU(2), porque la suma de certi-

dumbres no es constante bajo transformaciones SU(2), como hemos comprobado usandoestados coherentes localizados en distintos puntos de la esfera de Poincaré. Así que se-rá útil considerar certidumbres respecto a componentes longitudinal y perpendicularescuando las haya.

2.2.3. Grado de Polarización

Hay otra medida de uctuaciones de polarización que es atractiva por su cercanía aun concepto clásico: el grado de polarización. En óptica clásica éste se dene como uncociente entre valores medios de operadores de Stokes:

Pclass =|〈S〉|〈S0〉

. (11)

Sin embargo esta denición es insactisfactoria fuera del caso de luz térmica, donde laspropiedades de polarización están totalmente determinadas por 〈S〉. En especial en ópticacuántica se tiene Pclass = 1 para un estado coherente SU(2), a pesar de que ningún estadode luz puede tener polarización bien denida como hemos visto.

Se han propuesto otras deniciones del grado de polarización en donde intervengantodos los momentos de la distribución y no sólo el primero; algunas de ellas están dis-cutidas en [25]. En este trabajo nos concentramos en la medida dada en [26], donde elgrado de polarización de un estado cuántico de luz ρ es expresado como una distanciaentre su función Q(Ω) y la distribución uniforme Q(Ω) = 1/4π correspondiente a la luztotalmente despolarizada:

D = 4π

∫dΩ

[Q(Ω)− 1

4π

]2

, (12)

4

normalizando:PQ =

D

D + 1= 1− Σ

4π, (13)

así que 1 ≥ PQ ≥ 0, y

Σ =1∫

dΩQ2(Ω). (14)

Es interesante advertir que Σ es la inversa de la certidumbre de la distibución de proba-bilidad Q(Ω), siendo así una medida del área efectiva sobre la esfera de Poincaré ocupadapor Q(Ω). Si bien hay diferencias entre certidumbres en variables aleatorias discretas ycontinuas, estas últimas no están acotadas y tienen unidades.

Hay familias de estados para los cuales PQ → 1 cuando su intensidad aumenta. Si bien,los estados con máximo grado de polarización a número de fotones jo son los coherentesSU(2) [27].

Por otra parte, el grado de polarización es un cuanticador de uctuaciones globalesinvariante SU(2).

2.3. Distancia No-Clásica

La clasicidad de un estado cuántico, en sentido de Titulaer y Glauber [28] está aso-cidada al carácter de distribución de probabilidad auténtica de todas sus distribucioness-ordenadas. Ello requiere que su función P (caso s = 1) sea no negativa en todo sudominio y menos singular que una delta.

Hay varias maneras de cuanticar cuánto de no-clásico es un estado, una de ellases conocida como profundidad no-clásica [2933], cuyo cálculo es complicado, apartede no ser demasiado discriminativa. Otras medidas han sido propuestas en términos dela mínima distancia a los estados clásicos [3437]; resultando fácilmente calculables paraestados puros, ya que los únicos estados clásicos son los coherentes [38]. En estados dedos modos de campo puede expresarse esta medida en función de la distribución Q(Ω),que en el caso de estados con número de fotones n bien denido, toma la forma:

K = mınΩ

√1− |〈n,Ω|ψ〉| =

√1−max

Ω

√4π

n+ 1Q(Ω). (15)

siendo K = 1 el caso más no clásico y K = 0 el caso clásico de los estados coherentes.Así, puesto que Q(Ω) muy picada signica estrecha (y así Σ pequeña), un estado

(puro) más no clásico que otro, tiene también menor grado de polarización. Es importantereseñar que estas comparaciones han de hacerse a número de fotones jo, de hecho no escierto que menores uctuaciones de polarización (PQ grande) impliquen mayor clasicidad,ya que varias familias de estados tienen PQ → 1 cuando 〈S0〉 1 y K → 1 al mismotiempo.

3. Varianzas Principales

Los problemas de la falta de invariancia SU(2) de las varianzas pueden resolversepara cualquier estado con la utilización de direcciones principales. Este método toma sunombre del análisis multivariante [39] y está basado en la diagonalización de la matriz decovarianza, que describe la estadística completa a segundo orden de una variable aleatoria

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y que analizaremos en dos versiones, simétrica y hermítica, cuyas diferencias son debidasa la no conmutatividad de los observables cuánticos.

3.1. Matriz de Covarianza Simétrica

Para un estado cuántico ρ, la matriz de covarianza simétrica del vector de Stokes Sse dene como:

Mi,j =1

2(〈SiSj〉+ 〈SjSi〉)− 〈Si〉 〈Sj〉 , i, j = 1, 2, 3; (16)

siendo real, simétrica y denida positiva. Algunas de sus propiedades son las siguientes:i) La varianza de una componente de Stokes arbitraria Su = u · S, donde u es un

vector unitario real, puede calcularse como

(∆Su)2 = utMu, (17)

y de manera análoga la correlación simétrica de dos componenetes cualesquiera.ii) Puesto que M es simétrica puede ser diagonalizada por una matriz ortogonal Rd:

M = Rd

(∆S1)2 0 0

0 (∆S2)2 0

0 0 (∆S3)2

Rtd. (18)

Los autovalores (∆Sk)2, k = 1, 2, 3, son las varianzas de los operadores Sk = uk ·S, donde

uk son los tres autovectores ortonormales,Muk = (∆Sk)2uk, y siguiendo la nomenclatura

estándar en estadística nos referiremos a Sk = uk · S como componentes principales y asus varianzas como varianzas principales.

iii) Las varianzas principales aportan una caracterización invariante SU(2) de lasuctuaciones, puesto que los autovalores y autovectores son invariantes bajo cambios debase de la matriz M . Y en particular este método puede aplicarse independientementedel valor de 〈S〉.

iv) Las varianzas principales son los extremos de la varianza de las componentes deStokes Su = u · S para ρ jo cuando variamos u. Más concretamente, de la ecuación(17), teniendo en cuenta que M es real y simétrica e introduciendo un multiplicador deLagrange λ para la ligadura u2 = 1 se llega a la ecuación de autovalores:

Mu = λu. (19)

v) Es inmediato preguntarse por la relación entre componentes principales y las longi-tudinal y perpendiculares que se denieron en la sección 2. En general los dos conjuntosde direcciones no coinciden, pues los primeros vienen denidos por los segundos momen-tos de la distribución, y los últimos dependen sólo de los primeros momentos. Ahora bienpueden coincidir de existir determinadas simetrías de la distribución bastante comunes,como por ejemplo, invariancia bajo giros en eje 〈S〉 implica que S‖ es una componenteprincipal.

6

3.2. Matriz de Covarianza Hermítica

Otra opción para construir una matriz de covarianza para los operadores de Stokes esmediante la combinación

Mk,` = 〈SkS`〉 − 〈Sk〉 〈S`〉 , (20)

siendo ahora M hermítica en vez de simétrica. Las dos matrices M y M contienen esen-cialmente la misma información puesto que dieren sólo en un factor 〈S〉

Mk,` = Mk,` − i3∑

m=1

εk,`,m〈Sm〉, (21)

coincidiendo ambas en el caso 〈S〉 = 0. En contraposición con las propiedades de M , Mtiene algunas diferencias:

i) M aporta una manera de denir varianzas de combinaciones complejas de opera-dores de Stokes, Su = u ·S para vectores unitarios complejos u con u†u = 1. En concretopara u∗ 6= u se tiene que Su no es hermítico, S†u 6= Su, así que la varianza debe serredenida, por ejemplo en la forma [40,41]

(∆Su)2 = 〈S†uSu〉 − |〈Su〉|2, (22)

y de manera análoga para las correlaciones según la ecuación (20). Así queda generalizadala relación (17) a combinaciones complejas

(∆Su)2 = u†Mu. (23)

ii) Dada su hermiticidad, M admite diagonalización D por una matriz unitaria Ud,esto es M = UdDU †d , siendo ahora los elementos diagonales las varianzas (22) de losoperadores Sk = uk · S, donde uk son los tres autovectores complejos ortonormales deM . De nuevo utilizaremos la denominación direcciones principales y varianzas principalespara autovectores y autovalores respectivamente.

iii) Las relaciones de conmutación usuales (2) no son preservadas bajo la aplicaciónde una matriz unitaria S = UdS, sin embargo considerando sin pérdida de generalidadque Ud tiene determinante uno, puede verse que las reglas de conmutación invariantes sonmuy parecidas a las usuales:

[Sk, S`] = 2i3∑

m=1

εk,`,mS†m, [S0, S] = 0, (24)

que se reducen a (2) para operadores hermíticos.iv) Análogamente al caso de M , las varianzas principales de M son invariantes SU(2)

y son extremos de la varianza (∆Su)2 de cualquier combinación compleja de operadores

de Stokes Su = u · S donde u es un vector unitario complejo. De esta manera el procesode variación para el caso hermítico incluye las proyecciones sobre u real como un casoparticular, así las varianzas principales de M son más extremas que las de M .

v) En la misma línea se puede probar que detM ≥ det M mientras que el otroinvariante, la traza, coincide para ambas matrices(

∆S)2

= (∆S)2 = 〈S0 (S0 + 2)〉 − 〈S〉2 > 0. (25)

7

por lo que al menos una varianza principal compleja debe ser no nula. Por otro ladodos de ellas pueden anularse para el mismo estado, como pasa en los estados coherentesSU(2).

iv) Es cuestionable si ∆Su para S†u 6= Su representa realmente uctuaciones observa-bles. Por ejemplo, para Su = S1 + iS2 se tiene

(∆Su)2 = (∆S1)

2 + (∆S2)2 − 〈S3〉2, (26)

luego es posible que ∆Su = 0 con ∆Sk 6= 0 para k = 1, 2, 3. No obstante la (25) implica que∆S contiene todas las uctuaciones de operadores de Stokes. Por otra parte operadoresno hermíticos están relacionados con procesos experimentales, como se demuestra en elesquema de la doble detección homodina para el operador amplitud compleja de un solomodo de campo [4254]. En este sentido, por ejemplo los autoestados de Su = S1+iS2 sonestados coherentes SU(2) rotados, que denen por proyecciones (4) la función Q(Ω), quees una distribución de probabilidad observable, por ejemplo vía doble detección homodinade dos modos de campo [5563].

3.3. Relaciones de Incertidumbre Invariantes SU(2)

En orden a buscar relaciones de incertidumbre invariantes SU(2), el desarrollo de lamatriz de covarianza parece sugerir el uso de la suma de cuadrados de variazas [64], quepor ser la traza es ya de por sí invariante SU(2)

(∆Sx)2 + (∆Sy)

2 + (∆Sz)2 = 〈S0(S0 + 2)〉 − 〈S〉2. (27)

Se pueden dar relaciones de incertidumbre para esta cantidad, por ejemplo usando ladesigualdad 〈S2

0〉 ≥ 〈S〉2, que puede probarse por medio de la representación bosónica(1), se obtiene

(∆S1)2 + (∆S2)

2 + (∆S3)2 ≥ 2〈S0〉, (28)

independientemente de a qué direcciones correspondan las varianzas ∆S1, ∆S2 y ∆S3.Además, en estados donde existan las componentes longitudinal y perpendiculares de

manera similar puede derivarse que

(∆S⊥1)2 + (∆S⊥2)

2 ≥ 2〈S0〉, (29)

con cualquier par de componentes perpendiculares. Nótese que esta desigualdad es másfuerte que la que se puede obtener a partir de (7): (∆S⊥1)

2 + (∆S⊥2)2 ≥ 2〈S‖〉. Por

otra parte en el caso en que S‖ sea dirección principal, aunque (29) es independientede las direcciones perpendiculares que tomemos, no así (7) que alcanza el mínimo paralas dos direcciones perpendiculares principales, como puede probarse vía invariancia deldeterminante.

Por otra parte en el caso 〈S〉 = 0 tanto la ecuación (28) como la (29), que se cumplepara cualquier par de varianzas ortogonales, proporcionan relaciones de incertidumbreinvariantes SU(2) y no triviales. Si bien por motivos tanto históricos como prácticos elreto está en dar una cota para el producto de dos varianzas que no predice la relaciónde Schrödinger-Robertson. Para asegurar la invariancia SU(2) consideremos varianzasprincipales con el orden ∆S1 ≥ ∆S2 ≥ ∆S3, si 〈S〉 = 0. Aunque no de manera inmediata,

8

a partir de (29) y de la relación de cierre (3) es posible dar con la deseada expresión

∆S1∆S2 ≥√〈S0〉〈S2

0〉, (30)

no trivial e invariante SU(2). Siendo además la mejor cota posible, pues veremos mástarde que la igualdad la alcanzan los estados gato de Schrödinger.

4. Resolución Interferométrica

4.1. Resolución Interferométrica y Límite de Heisenberg

El concepto de resolución interferométrica en óptica cuántica está ligado a la sensibi-lidad que proporciona un estado de luz ante un desfase φ producido en un interferómetro.En los llamados interferómetros SU(2), este desfase es generado por un operador de StokesSj, esto es una rotación sobre la esfera de Poincaré con ángulo φ en torno a la direcciónSj, Uφ = exp(iφSj).

De esta forma las uctuaciones cuánticas de los observables de polarización jueganun papel clave en la precisión alcanzable en una medida de φ. Más concretamente, si ladetección es llevada a cabo a través de la medida del observable Λ, la incertidumbre ∆φen la inferencia del parámetro de la transformación φ resulta ser [6567]:

∆φ =

∣∣∣∣∂〈Λ〉∂φ

∣∣∣∣−1

∆Λ =∆Λ

|〈[Λ, Sj]〉|≥ 1

2∆Sj

, (31)

donde hemos usado la relación de incertidumbre ∆Λ∆Sj ≥ |〈[Λ, Sj]〉|/2. Así pues lavarianza principal ∆Smax aporta un límite natural para la resolución alcanzable por sucorrespondiente estado en metrología. Por otra parte, la mejor resolución que puede seralcanzada en un dispositivo SU(2) es ∆φmin ∝ 1/〈S0〉, que se conoce como límite deHeisenberg [68].

Generalmente el observable medido Λ es también un operador de Stokes y la relaciónanterior se escribe como

∆φ =∆Si

|〈Sk〉|≥ 1

∆Sj

. (32)

Es necesario puntualizar que estas cotas en función de varianzas son sólo signicativaspara estados puros, pues de lo contrario la igualdad no puede alcanzarse. La caracteriza-ción de la resolución interferométrica en estados mezcla requiere métodos más sosticados,por ejemplo basados en la versión cuántica de la información de Fisher [69, 70], o en lageneralización a estados no puros del método de la siguiente sección.

Por otra parte los estados coherentes SU(2) cumplen la desigualdad (32) como igual-dad (Sk = S‖ y Si = S⊥) pero están lejos de alcanzar el límite de Heisenberg. En ordena este n se llaman estados comprimidos a los que presentan menores uctuacionesde alguna componente perpendicular que los coherentes, si bien la manera exacta decuanticarlas responde a diversos criterios [10, 11,75].

4.2. Resolución Interferométrica Intrínseca

Aunque el límite interferométrico depende únicamente del estado de luz, la expresiónconcreta de la resolución interferométrica usual depende también en cada caso particular

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del observable a medir Λ. Esto hace que no se tenga una expresión general aplicable paracualquier estado. En este sentido, la ecuación (32) no es válida en estados donde 〈S〉 = 0,y sin embargo estos estados son muy útiles, pues puede demostrarse a partir del análisisde las varianzas principales que todos tienen capacidad de saturar el límite de Heisenberg.

En este trabajo proponemos una alternativa a la resolución interferométrica usual,que depende únicamente del estado en sí, a la denominamos resolución intrínseca y quees una alternativa fácilmente computable de [69,71]. La idea del método es que un estadoρ proporcionará buena resolución interferométrica si es muy distinguible de su rotadoρφ = UφρU

†φ. En el caso de ρ puro esta medida de distinguibilidad entre los dos estados

se expresa como:

IRφ =√

1− |〈ψ|Uφ|ψ〉|2 (33)

de modo que un estado proporciona resolución nula si coincide con su rotado, i.e. IRφ = 0.Sin embargo en orden a usar la anterior expresión como caracterización de la resolu-

ción de φ, ésta no debiera depender del propio ángulo φ. Una manera de eliminar estadependencia es considerar la trasformación SU(2) arbitraria y tomar el ángulo φ y ladirección de Sj de manera que IRφ sea máxima. De hecho esta cantidad es consideradacomo un grado de polarización por varios autores [72]:

Pd ≡ maxφ,Sj

IRφ =√

1−mınφ,Sj

|〈ψ|Uφ|ψ〉|2. (34)

En particular todos los estados que aparecen en este trabajo tienen Pd = 1.Otro método es no dar preferencia a ningún ángulo y promediar sobre todos obte-

niendo curiosamenteIR =

√1− C2

j , (35)

donde C2j es la certidumbre de Sj en el estado |ψ〉.

Ahora bien, para medidas precisas φ 1, que es donde las uctuaciones cuánti-cas tienen relevancia, puede hacerse el desarrollo de Taylor hasta segundo orden de laexponencial en (33) que conduce a

IRφ1 ' φ∆Sj, (36)

resultado que es coherente con (31), pues indica que la resolución intrínseca de un estadodepende sólo de su varianza principal máxima.

5. Estados con Máxima Resolución Interferométrica

Finalmente en esta sección analizamos las uctuaciones de polarización y la no clasi-cidad (15) en estados que alcanzan el límite de Heisenberg. Entre ellos analizaremos losestados de Fock con el mismo número de fotones en ambos modos, algunas superposicio-nes de estados cercanos a él, que a veces se denominan tipo Yurke [65, 7375], y losestados gato de Schrödinger o NOON [7581].

Todos los resultados se dan escuetamente y las certidumbres se representan conjun-tamente en la Figura 1, ya que, salvo para los estados coherentes SU(2), no hemos en-contrado relaciones cerradas para ellas. La letra N designa el número total de fotones〈S0〉 del estado. Y siempre que aparezca el signo de aproximación ('), se sobrentenderá

10

la validez en el límite brillante N 1. También se obtendrán relaciones aproximadasen este límite brillante para estados gaussianos y se contrastará su validez para los otrosestados.

5.1. Estados Coherentes SU(2)

En orden a comparar resultados exponemos primero el caso de los estados cohenentesSU(2) que son mínimos de las relaciones de incertidumbre (7), (29), (28), así como delgrado de polarización y la no clasicidad, si bien no son estados de máxima resolucióninterferométrica. Para un estado coherente |n,Ω〉 se tiene 〈S〉 = nuΩ y las direccionesprincipales coinciden con la longitudinal y cualquier par de transversales. Tenemos N = ny

∆S‖ = 0, ∆S⊥1 = ∆S⊥2 =√N ; (37)

C2⊥1 = C2

⊥2 =1

22N

(2N

N

), C2

‖ = 1; (38)

Q(Ω) =N + 1

4πcos2N

(Θ

2

); (39)

PQ = 1− 2N + 1

(N + 1)2' 1− 2

N; (40)

K = 0; (41)

donde Θ es el ángulo entre 〈S〉 y el vector unitario en la dirección especicada porΩ = (θ, φ).

Quizá el resultado más sorprendente de los estados coherentes SU(2) sea que no sonmáximos de las relaciones con certidumbres (Figura 1), a pesar de serlo de todos losdemás cuanticadores de uctuaciones; especialmente baja es la suma componentes orto-gonales (gráco de la derecha). A similar conclusion se ha llegado con estados coherentescuadratura en espacios de dimensión innita [17].

Figura 1: Suma de certidumbres principales y perpendiculares.

11

5.2. Estados Coherentes SU(2) Comprimidos

Este nombre designa los estados mínimos de la relación de incertidumbre (7) invarianteSU(2) en los que las dos varianzas perpendiculares son distintas entre sí. Tales estadoscumplen la ecuación (S⊥1 + iλS⊥2)|ψ〉 = 0 reduciéndose a los coherentes SU(2) cuandoλ = 1 y a los estados de la sección 5.4 en el límite λ = 0. Y son comprimidos respecto atodos los criterios usuales de compresión SU(2) [75]. La solución exacta de la ecuación sepuede encontrar por ejemplo en [67], pero es de complicada expresión en cualquier base.En el caso de λ pequeño (mucha compresión) puede obtenerse una aproximación a primerorden en λ, que correctamente normalizado toma la expresión

|ψ〉Y 1 = isinϕ√

2|n− 1〉1|n+ 1〉2 + cosϕ|n〉1|n〉2 − i

sinϕ√2|n+ 1〉1|n− 1〉2, (42)

con ϕ perqueño (tanϕ ∝ λ). La superposición de estos tres estados ya era conocida porsus buenas propiedades metrológicas [74, 75].

Para |ψ〉Y 1, 〈S〉 = (0, sin 2ϕ√

2n(n+ 1), 0), con direcciones principales (Sx, Sy, Sz) ypudiendo por tanto hacerlas coincidir con las longitudinal y transversales. Se tiene

∆Sx =√

N4(N + 2) (1 + cos2 ϕ)− 2 sin2 ϕ

∆Sy =√

N4(N + 2)

[2 + sin2 ϕ(1− 8 cos2 ϕ)

]− 2 sin2 ϕ

∆Sz = 2 sinϕ

; (43)

Q(Ω) =2n+ 1

22n+3π

(2n

n

)sin2n θ

[sin2 ϕ

n

n+ 1

(tan2(θ/2) + cot2(θ/2)− 2 cos(2φ)

)+

+ sin(2ϕ) sinφ

√2n

n+ 1(tan(θ/2) + cot(θ/2)) + 2 cos2 ϕ

];

(44)

PQ ' 1− 2

(6 cos2 ϕ+ 3− 7 cos4 ϕ)

√π

N; (45)

K =

√√√√1−

√2n

n+1sinϕ+ cosϕ

2n

√(2n

n

)'

√1− (

√2 sinϕ+ cosϕ)

(2

πN

)1/4

; (46)

con N = 〈S0〉 = 2n.Es patente aquí cómo la compresión, que aumenta K, aunque mejora la resolución

interferométrica (disminuye las uctuaciones en una dirección), reduce el grado de pola-rización (aumenta las uctuaciones globalmente).

5.3. Estados Gaussianos en el Límite Brillante

Los dos estados anteriores responden bien de una aproximación en el caso de que ladistribución Q(Ω) se concentre en un pequeño entorno de un sólo punto de la esfera dePoincaré al aumentar el número de fotones. En tal caso 〈S0〉 = n 1 puede aproximarse[25] la distribución según Q(Ω) ' n

2Q(x, y), siendo (x, y) las coordenadas en el plano

tangente.Además, el estado coherente SU(2) y el coherente SU(2) comprimido (para poca com-

presión) tienden a estados gaussianos en Q(x, y), para los cuales se puede establecer la

12

relación aproximada

PQ ' 1− 2

n(1−K2)2. (47)

Se aprecia así cuantitativamente el efecto de la compresión en el grado de polarización:al aumentar la no clasicidad disminuye el grado de polarización, como hemos observadoen los resultados de los dos estados anteriores.

5.4. Estados Número Gemelos

El estado |n, n〉 = |n〉1|n〉2 puede alcanzar el límite de Heisenberg [82], pero como〈S〉 = 0 no hay direcciones longitudinales y ortogonales, mientras que las principales sonS3 = Sz y cualquier par de ellas en el plano transversal. Teniendo N = 2n y

∆S1 = ∆S2 =

√N

2(N + 2), ∆S3 = 0; (48)

Q(Ω) =2n+ 1

4π22n

(2n

n

)sin2n θ; (49)

PQ = 1− 4n+ 1

(2n+ 1)2

(4n

2n

)(2n

n

)−2

' 1−√π

N; (50)

K =

√√√√1− 1

2n

√(2n

n

)'

√1−

(2

πN

)1/4

. (51)

Quedando lejos del mínimo de las relaciones de incertidumbre de varianzas (28), (28)y (30).Este estado corresponde al límite de compresión innita (λ = 0) de los estadoscoherentes SU(2) comprimidos. Por tanto no es de extrañar que el grado de polarizaciónsea menor que el de los estados de las secciones 5.1 y 5.2. Además se aprecia en la gráca1 que la suma de tres certidumbres de este estado (en direcciones principales Sx, Sy,Sz) es bastante elevada, y está por encima del estado comprimido a primer orden. Estorearma de nuevo el destacado comportamiento de las certidumbres, en particular, máscompresión de un estado coherente SU(2) no implica menor valor de la suma de trescertidumbres, a diferencia de lo que ocurre con el grado de polarización.

Por otra parte, aunque este estado ni siquiera se concentra en un punto de la esferade Poincaré es sorprendente la cercanía de la relación (47) con el resultado en el límitebrillante.

5.5. Estados |ψ〉Y2= 1√

2(|n〉1|n〉2 + |n+ 1〉1|n− 1〉2)

Estos estados tienen 〈S〉 = (√n(n+ 1), 0, 1) y componentes principales S1 = Sy,

S2 = Sx y S3 = Sz, coincidiendo con las longitudinal y perpendiculares sólo en el lími-te brillante. También presentan compresión SU(2) [11, 75], aunque no son mínimos deninguna relación de incertidumbre de varianzas. Para ellos N = 2n y se obtiene

∆S1 =

√N

2(N + 2)− 1, ∆S2 =

√N

4(N + 2)− 1, ∆S3 = 1; (52)

13

Q(Ω) =2n+ 1

22n+3π

(2n

n

)sin2n(θ)

[1 + 2

√n

n+ 1cot

(θ

2

)cos(φ) +

n

n+ 1cot2

(θ

2

)]; (53)

PQ ' 1− 2

3

√π

N; (54)

K '

√1−

√4π

2n+ 1Q(π/2, 0) '

√1−

(8

πN

)1/4

. (55)

La función Q(Ω) se concentra en un punto en el límite brillante, pero sólo tiende a unagaussiana en una coordenada, lo que los hace diferir en un ligero factor en la fórmula (47)válida para un estado gaussiano.

En la Figura 1 puede apreciarse que estos estados tiene menor suma de tres certidum-bres que cualquiera de los demás a estudio, aunque la suma de las dos permendiculareses mayor que los coherentes.

5.6. Estados |ψ〉Y3= 1√

2(|n+ 1〉1|n− 1〉2 + |n− 1〉1|n+ 1〉2)

Estos estados tienen propiedades similares a los considerados en 5.5 pero con 〈S〉 =0. Las direcciones principales son S1 = Sx y cualquier par de operadores en el planotransversal. Se tiene N = 2n y

∆S1 =

√3

4N (N + 2)− 2, ∆S2 =

√N

4(N + 2)− 2, ∆S3 = 2; (56)

Q(Ω) =2n+ 1

22n+3π

(2n

n

)sin2n(θ)

[cot2 (θ/2) + 2 cos(2φ) + tan2 (θ/2)

]; (57)

PQ ' 1− 2

3

√π

N; (58)

K =

√√√√1− 1

2n

√2

(2n

n

)=

√1−

(8

πN

)1/4

; (59)

con idénticas expresiones aproximadas en el límite brillante para varianzas, grado depolarización, no clasicidad y certidumbres (ver gura) que los estados 5.5. Cumplen asíla relación (47) razonablemente bien, a pesar de no concentrarse en un sólo punto de laesfera de Poincaré a diferencia del caso anterior. Tampoco alcanzan el mínimo de (28),(28) y (30).

5.7. Estados NOON

El estado NOON es denido como la superposición de dos estados coherentes SU(2)opuestos en la esfera de Poincaré

|ψ〉NOON =1√2(|n〉1|0〉2 + |0〉1|n〉2), (60)

también se llaman estados gato de Schrödinger por ser la superposición coherente dedos estados macroscópicamente distinguibles. Dejando fuera los casos n = 1 (por ser un

14

estado coherente SU(2)), y n = 2 (que corresponde a un caso de los estados vistos en5.6), estos estados tienen 〈S〉 = 0 y sus direcciones principales son S3 = Sz y cuaquierpar de direcciones en el plano transversal, obteniéndose (con N = n)

∆S1 = N, ∆S2 = ∆S3 =√N ; (61)

Q(Ω) =N + 1

8π

[cos2N (θ/2) +

1

2N−1sinN(θ) cos(Nφ) + sin2N (θ/2)

]; (62)

PQ ' 1− 4

N, y K =

√1− 2

−12 . (63)

Estos estados alcanzan el límite de la relación de incertidumbre (30) conrmandoque ésta es la cota más alta posible, y también es estado mínimo de la suma de las dosvarianzas menores. Cuenta con grado de polarización y clasididad altos, herencia de losestados coherentes SU(2) que lo componen y, a pesar de concentrarse en los dos polos dela esfera de Poincaré, cumplen perfectamente la relación (47). Por otra parte, con bajonúmero de fotones ganan en la suma de certidumbres a los estados coherentes (Figura 1).

6. Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado maneras de caracterizar las uctuaciones de polari-zación y la resolución metrológica que proporcionan estados cuánticos de luz, así comosu aplicación en aquellos de interés metrológico.

Hemos propuesto métodos novedosos para ambas cuestiones, motivados por la ine-cacia de los ya existentes en estados con 〈S〉 = 0. Esto es, el método de las varianzasprincipales y el de la resolución interferométrica intrínseca. Además con el primero hemossido capaces de establecer relaciones de incertidumbre no triviales que hasta ahora no secreían factibles, conrmando incluso el carácter inmejorable de ellas por obtención de susestados mínimos.

Y hemos establecido conexiones entre el grado de polarización y la distancia no-clásica,así como con la compresión SU(2) de estados coherentes, dando relaciones aproximadasentre ellas en el límite brillante.

No obstante, en la presente memoria se han omitido no sólo deducciones y pasosintermedios sino también varios resultados más. Entre ellos pudieran destacarse la gene-ralización de la resolución interferométrica intrínseca a estados mezcla, o casos concretosde la utilización del método de la matriz de covarianza hermítica para caracterizar uc-tuaciones. Todas estas cuestiones están debidamente contenidas en las siguientes comu-nicaciones cientícas en proceso de elaboración

A. Rivas y A. Luis, Characterization of quantum angular-momentum uctuations

via principal components, arXiv:0710.4699.

A. Rivas y A. Luis, Intrinsic metrological resolution as a distance measure and

nonclassical light.

A. Rivas y A. Luis, Polarization uctuations in maximum interferometric resolution

states.

15

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