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1 Espacios fractales La geometría como instrumento generador de diseño Diseño de Interiores Florencia van den Berg 80476 Creación y Expresión Diseño y producción de objetos, espacios e imágenes 22/02/19
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Espacios fractales
La geometría como instrumento
generador de diseño
Diseño de Interiores
Florencia van den Berg
80476
Creación y Expresión
Diseño y producción de objetos, espacios e imágenes
22/02/19
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Índice
Índice de Figuras 4
Introducción 5
Capítulo 1. Elementos y unidades del diseño espacial 15
1.1 El espacio como envolvente 15
1.2 Forma 19
1.3 El lenguaje arquitectónico 24
1.3.1 Escala y proporción 24
1.3.2 Luz y sombra 26
1.3.3 Color 28
1.3.4 Textura y materialidad 29
Capítulo 2: Geometría como necesidad de organizar y comprender el mundo 32
2.1 Los Elementos de Euclides 33
2.1.1 La recta del infinito 37
2.2 La consolidación de la geometría no euclidiana 39
2.2.1 Formas de medir el espacio 43
2.3 La composición de la naturaleza 45
Capítulo 3: Una dimensión desconocida 50
3.1 Conceptos preliminares 50
3.2 Fractales clásicos 53
3.3 Conjunto de Julia y de Mandelbrot 58
3.4 El caos 61
Capítulo 4: Una nueva forma de proyectar 66
4.1 Precedentes arquitectónicos 66
4.2 Diseños contemporáneos 71
4.2.1 Zvi Hecker 72
4.2.2 Toyo Ito 74
4.2.3 Daniel Libeskind 76
4.3 Detrás del diseño 78
Capítulo 5: Traducción de fractales al espacio 83
5.1 Principios básicos para diseñar 83
5.2 Memoria descriptiva 86
3
5.2.1 Implantación 88
5.3 Proceso morfológico 91
5.4 Materialización 94
Conclusiones 98
Imágenes seleccionadas 100
Lista de referencias bibliográficas 108
Bibliografía 111
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Índice de Figuras
Figura 1: El Modulor 100
Figura 2a: Tractriz 100
Figura 2b: Pseudoesfera 100
Figura 3: Triángulo en geometría elíptica 101
Figura 4: Representación del movimiento browniano 101
Figura 5: Modelo de Peano 102
Figura 6: Curva de Peano 102
Figura 7 Curva de Hilbert 103
Figura 8: Curva de Hilbert 3D 103
Figura 9: Conjunto de Cantor 104
Figura 10a: Triángulo de Koch 104
Figura 10b: Curva de Koch 104
Figura 11: Triángulo de Sierpinski 105
Figura 12: Alfombra de Sierpinski 105
Figura 13: Esponja de Menenger 106
Figura 14: Curva Dragón 106
Figura 15: Curva de Levy 107
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Introducción
El presente Proyecto de Graduación, titulado Espacios fractales, La geometría como
instrumento generador de diseño propone abordar este tipo de geometría presente tanto
en la arquitectura como en el diseño de espacios.
La pregunta problema que atraviesa la totalidad de las indagaciones expuestas en este
trabajo es ¿cómo diseñar un espacio aplicando los principios y características de la
geometría fractal? Es decir, como crear un lugar aplicando dicha rama de la geometría y
que a su vez se relacione con el exterior e interior del mismo.
Este proyecto abordará un problema que se puede encontrar frecuentemente en las
áreas de Arquitectura y Diseño de Espacios, que es la falta de uso de las matemáticas,
puntualmente de la geometría para diseñar. Si bien un anteproyecto surge del interior del
diseñador y de la propia imaginación y creatividad, es necesario poder encontrarle una
lógica que responda a ciertas reglas para poder ser llevado a cabo. En este caso, se
tratará de encontrar las respuestas de construcciones en relación a lo morfológico,
puntualmente a los diseños que apliquen la Geometría Fractal.
La arquitectura es el escenario de la forma en que se vive y refleja todo lo que el ser
humano piensa. Expresa como se ve el mundo para luego habitarlo y la geometría no es
un elemento neutral, es necesario que se fusione a través de formas complejas
adaptables a diferentes niveles. Si bien se utilizan sistemas diferentes para dicha
adaptación, todos tienen una lógica y origen similar.
El Proyecto de Grado corresponde al área de Diseño de Interiores, carrera dictada en la
Facultad de Diseño y Comunicación perteneciente a la Universidad de Palermo. Está
vinculado con la carrera ya que se basa en utilizar las distintas herramientas del diseño
para crear un espacio armónico que mejore la percepción de los usuarios y de esta forma
se genere un bienestar en ellos.
El trabajo se enmarca dentro de la categoría Creación y Expresión y se ubica bajo la
línea temática Diseño y Producción de Objetos, Espacios e Imágenes. La elección tanto
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de la categoría como de la línea temática responde a la motivación de realizar un
proyecto que pueda ser tomado en cuenta por otros diseñadores de interiores o hasta
incluso por arquitectos que deseen realizar proyectos y brindar nuevas propuestas en
relación con esta rama de la ciencia. La morfología utilizada en los espacios interiores
puede hacer una gran diferencia a la hora de percibir espacios y generar emociones en el
usuario. La finalidad es encontrar un punto de equilibro entre el vacío y la geometría
fractal, y demostrar cómo ésta puede crear una armonía en el espacio generando
comodidad y una sensación de confort en el que la transita.
En función de lo antedicho, los objetivos que persigue este proyecto son, en primer lugar
diseñar un espacio en el que se aplique una morfología que responda a la Geometría
Fractal tanto a nivel arquitectónico como de Diseño Interior y al mismo tiempo poder
relacionarlo con el entorno en el que se sitúe.
Para abordar adecuadamente este propósito, se buscará en primer lugar, determinar las
características de la Geometría y la importancia que tiene la misma en la Arquitectura y
en el Diseño y se analizarán ejemplos de ello. Luego para lograr una mejor precisión se
investigará puntualmente sobre la Geometría Fractal, la historia de la misma, sus
fundamentos y características. Por último, se indagará sobre ejemplos y antecedentes de
dicha rama de las matemáticas aplicada en distintas áreas del diseño y específicamente
en la Arquitectura y en el Diseño de Espacios.
La hipótesis que se postula en este escrito es que intencional o no, la Geometría siempre
está presente en el entorno, no sólo se encuentra en cuestiones relacionadas a lo
científico sino que también en las cosas menos pensadas que aparecen en la
cotidianeidad. Partiendo desde objetos ligados a la naturaleza, la Geometría Fractal es
necesaria para la construcción y comprensión de diversas situaciones y fenómenos,
éstos pueden ser tangibles o intangibles como lo es la música entre otras cosas. El
presente escrito se centrará en aplicar los Fractales partiendo desde una estructura
arquitectónica y buscará analizar como ella es determinante para el Diseño de Interior.
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Respecto al diseño metodológico que se utilizará en este proyecto, la estrategia será de
tipo descriptivo – explicativa, puesto que pretende describir en parámetros generales a la
Geometría, haciendo énfasis en la Geometría Fractal y su importancia en las distintas
ramas del Arte, Diseño y Arquitectura.
La metodología aplicada para realizar el análisis de los puntos ya mencionados se hará
mediante la recopilación de información a través de fuentes bibliográficas tanto del ámbito
académico como en el ambiente externo y sitios web especializados en dichos temas.
En efecto, la revisión de los antecedentes permite contemplar el carácter innovador de la
temática. En principio, en lo que refiere a los antecedentes institucionales, un conjunto de
Proyectos de Grado elaborados por estudiantes de la Universidad de Palermo se
consolidan como uno de los puntos de partida más importantes.
Entre ellos, puede citarse el proyecto profesional realizado por Zizzi, Candelaria (2017)
Interiorismo orgánico (Valoración de las técnicas de Gaudí para el diseño de interiores
contemporáneo). Este trabajo lleva a cabo un análisis de las formas orgánicas y como las
mismas se integran en los espacios interiores. Si bien el mobiliario y otros aspectos
decorativos aportan características de dicho movimiento, se centra en el uso morfológico
específicamente en la manera que lo implementaba Antonio Gaudí. Busca destacar los
beneficios posibles que tiene dicha técnica en la práctica profesional para la creación de
diseños en espacios interiores. Este escrito es de gran ayuda para el futuro Proyecto de
Grado a realizar ya que se basa en la incidencia morfológica en el diseño, puntualmente
ligada a la naturaleza.
En segundo lugar se tomará el escrito de Yiu, Diana (2012) Toyo Ito, la naturaleza y los
espacios interiores diseñados. El mismo describe, al igual que el anterior mencionado,
soluciones para el desarrollo y construcción de un proyecto partiendo desde un elemento
de la naturaleza. Se basa en conceptos tales como la forma, la estructura, color, textura,
uniones, proporciones, adaptación y flexibilidad. Crea una conexión directa entre el
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espacio diseñado y la naturaleza que se encuentra en zonas urbanas ya sea de manera
consciente o inconsciente para el usuario.
Partiendo de la misma idea del uso de la morfología en diferentes ámbitos se cree
conveniente tomar el Proyecto de Grado de Vittori, María Caterina (2013) Habilitación de
espacios de exposición convencionales (La alternativa de un diseño interior
deconstructivista). El escrito describe el movimiento deconstructivista aplicado en la
arquitectura e interiores y toma como referente principal a Frank Gehry. Propone cambiar
el dinamismo de espacios culturales resaltando a través del uso de la morfología las
emociones durante los recorridos espaciales. Esta idea está ligada al escrito a realizar
porque ambos tienen el mismo objetivo: generar nuevas emociones y sensaciones a
través del uso de la forma y sus variables.
En cuarto lugar se cita el trabajo realizado por Silvia, Cynthia Belén (2013) Del lienzo a la
tridimensionalidad (Arquitectura efímera desde la plástica y en relación al diseño gráfico)
el cual se basa en el diseño morfológico de Stands. Si bien en él se hace hincapié en la
relación de los stands con el Diseño Gráfico, también se plantean conceptos que aportan
al presente Proyecto de Grado, ya que busca construir espacios partiendo desde la
morfología utilizando variables innovadoras. Tiene como finalidad lograr que los
interioristas se animen a explorar nuevas formas de representación basadas en un
referente determinado, ya sea una persona o una temática. Estas nuevas perspectivas
para crear un stand serán de gran ayuda para el diseño de un nuevo espacio
determinado por su morfología.
Siguiendo con la idea de destacar el uso de la forma y la geometría a la hora de diseñar,
se tomará como antecedente el Proyecto de Graduación de Zapata Uran, Claudia Helena
(2011) Órbita deconstructivista (Proceso y construcción de las formas). Este tiene como
objetivo principal describir la evolución de la forma mediante un profundo análisis de la
composición de la misma partiendo desde la rama de la arquitectura. Destaca la
importancia del proceso de construcción aplicado también al Diseño de Interiores y como
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a través de ella se generan espacios funcionales y habitables. Analiza también el alcance
global que tiene el deconstructivismo en diferentes disciplinas como las artes plásticas,
filosofía, semiología, arquitectura y diseño.
Otro antecedente que será utilizado es el de Rojas Ospina, Angie (2015). Diseño con
identidad (Medios de exploración y reflexión en el diseño de interiores). El mismo
describe las nuevas técnicas de representación y su relación con el proceso de diseño.
Indaga sobre las técnicas más tradicionales y como ellas fueron evolucionando para
favorecer la creación de un proyecto completo con una identidad propia. Hace hincapié
en el uso de nuevas tecnologías como lo son el modelado 3d y la exploración morfológica
conceptual, y como estas ayudan al diseñador no sólo a representar sus proyectos sino
también a pensar y entender el espacio desde otra perspectiva. Además de las técnicas
mencionadas describe la importancia de la fotografía y como ella permite ampliar el
bagaje perceptivo del diseñador despertando así ideas nuevas. Si bien este escrito no
trata sobre el tema puntal que se abarca en el presente Proyecto de Grado, el mismo es
de gran utilidad para ampliar y entender de una nueva forma las técnicas de
representación presentes en el campo de la Arquitectura y Diseño de Interiores.
Para un estudio más profundo del espacio se tomará la investigación de Giordano Roux,
María Belén, (2012) El concepto de límite en el diseño de interiores, el cual aborda una
nueva comprensión entre la Arquitectura y el Diseño de Interiores. Dicho trabajo analiza
la importancia de los límites dentro de un diseño arquitectónico a la hora de diseñar un
espacio y como es percibido por el usuario. Describe distintas formas de crear un límite
ya sean concretos, virtuales, por medio de formas o materialidades y las dimensiones de
los volúmenes que ellos ocupan en el espacio tomando variables como la luz y la
naturaleza que los rodea. Estos factores que rigen la organización de un lugar
determinado son esenciales para crear un espacio urbano generado a través de la
Geometría Fractal, ya que no sólo es importante el uso de la geometría sino que son un
conjunto de factores los que hacen que un lugar sea eficiente y aprovechado al máximo.
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Otro antecedente que se utilizará es el escrito de Dadove, Marina (2013) Espacio cultural
itinerante alternativo, el cual tiene como objetivo diseñar un espacio cultural para explotar
al máximo su diseño interior. Este trabajo hace hincapié en espacios que tienen
cualidades tales como flexibilidad y adaptabilidad, factores que ayudan a un mejor diseño
de un lugar expositivo. Explica también la falta de relación que hay entre el ciudadano y el
arte, ya que en su mayoría los espacios expositivos no son amigables. Este Proyecto de
Graduación será de utilidad para un mejor análisis espacial y así lograr un espacio
adaptable y flexible, pero por sobre todo funcional.
Continuando con el análisis de la eficiencia en los espacios interiores se toma el PG de
Rizzo, Sabrina Alejandra (2014) La intervención de los sentidos en el Diseño de
Interiores. Centro de enseñanza de nivel inicial para autistas. Su objetivo principal es
utilizar el diseño interior como medio terapéutico, creando un espacio que incorpore
distintos elementos para la estimulación. Se basa en la utilización de herramientas como
el color, morfología y textura para transmitir distintas sensaciones. Se lo puede relacionar
con el presente escrito ya que analiza los factores del diseño interior desde un punto de
vista sensorial y cómo estos son de gran ayuda para la estimulación y bienestar del
usuario.
Por último se analiza el escrito de Ashardjian, Denise Andrea (2011) Diseño de
habitaciones infantiles y la arquitectura antroposófica. El mismo analiza la relación que
produce la decoración entre función y forma y como logra una estimulación creativa en la
persona. Tiene en cuenta la arquitectura antroposófica, la teoría de la Gestalt, el color, las
texturas entre otras herramientas de diseño para lograr la composición final. Afirma que
todo diseño debe tener una armonía, y una proporción correcta según su usuario.
En esta misma línea, el Proyecto de Graduación toma como marco teórico algunos
conceptos principales como lo son: forma y espacio, geometría, geometría fractal,
morfología y percepción del espacio.
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En lo que respecta al concepto de forma se tomará principalmente el texto Arquitectura:
forma, espacio y orden (1982) de Francis D. K. Ching. En este se describen la forma en
su totalidad, su composición, generación y hasta relación con el entorno. Este escrito
también se utilizara para el estudio del concepto de espacio. Además se analizará otro
texto llamado La forma visual de la arquitectura (1977) de Rudolf Arnheim. En el mismo
se plantea la definición de espacio desde diferentes puntos de partida. Como el mismo se
relaciona con su entorno y al mismo tiempo con la nada.
Otro concepto presente en el proyecto es el de geometría, se estudiarán y analizarán
varios escritos, todos ellos relacionados con la geometría euclidiana, la elíptica y la
hiperbólica. Entre ellos podemos mencionar Cuando las rectas se vuelven curvas, las
geometrías no euclideas de Juan Gomez (2010), y Una nueva manera de ver el mundo.
La geometría fractal de María Isabel Binimelis (2010). En ambos se describe n las
características de la geometría euclidea seguido de su evolución, es decir, como a parir
de ella surgen las nuevas ramas de esta disciplina.
El concepto de Geometría Fractal será abordado a través del estudio de varios ensayos,
usando como guía el libro escrito por Benoît Mandelbrot (1982) La geometría fractal de la
naturaleza (1982). Otros que se utilizarán también son Matemáticas en la vida cotidiana,
Fractales de Amir Al-Majdalawi Álvarez (2006) e Introducción a la Geometría Fractal de
Valdés Vásquez, Patricio Alejandro (2016).
Los últimos conceptos son percepción del espacio y morfología, el cual será estudiado a
partir de análisis de casos en los que se aplique esta geometría en diseños
arquitectónicos y espaciales. Para ello se analizaran arquitectos tales como Zvi Hecker,
Daniel Libeskind y Toyo Ito.
El proyecto se estructura en cinco capítulos, a continuación se detallarán los contenidos
que se incluirán en cada uno de ellos.
En el capítulo inicial del presente escrito se realiza un análisis de los elementos
fundamentales para todo diseño espacial. En primer lugar se debe entender el espacio
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como tal, ya que es el lienzo en el cual todo arquitecto o diseñador de interiores plasma
su diseño. Luego se describirá a la forma, concepto fundamental para la comprensión de
los objetos y estructuras. También se abordarán otros elementos que se deben tener en
cuenta tales como la escala y proporción, luz y sombra, color y textura.
El segundo capítulo abarcará el concepto de Geometría y sus características generales.
En él se describirá a la geometría euclidiana y su evolución, para lo cual se hace hincapié
en los cinco postulados y la problemática que surge con el quinto de ellos. La duda de la
veracidad del mismo es lo que genera que los matemáticos de la época traten de
comprobarlo o justificar su error. Es aquí cuando comienza el nacimiento de nuevas
geometrías como la elíptica y la hiperbólica las cuales abren un nuevo panorama al
mundo de las matemáticas.
En cuanto al tercer capítulo, éste se enfocará directamente en la Geometría Fractal y
todo lo que ella implica. Además de abordar su significado se analizarán conceptos tales
como la autosimilaridad, dimensión fractal o dimensión de Hausdorff y tipos de fractales
describiendo los más conocidos como lo son la Curva de Koch, Conjunto de Cantor,
Triángulo de Sierpinski, La Curva de Hilbert, entre otros. También se abordarán otros
términos como a la Naturaleza Fractal y la Teoría del Caos. Por último se hará un breve
análisis de la aplicación de ellos en distintos sistemas o disciplinas como en modelos de
población, fenómenos biológicos, imágenes y hasta en la música. Sin notarlo, los
Fractales siempre estuvieron presentes en el habitar, situados en pequeñas cosas que
pasan desapercibidas, existen desde la creación y seguirán vigentes por tiempos
indefinidos.
En el capítulo número cuatro se analizará cómo esta rama de la ciencia es fundamental
en la Arquitectura. Hay muchas obras que utilizan a los fractales como grilla constructiva
para lograr un resultado armónico y proporcional. Se describirá como la geometría fractal
es empleada desde los comienzos de la arquitectura hasta la actualidad en diseños
contemporáneos y la evolución que ha obtenido gracias al uso de las nuevas tecnologías.
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Para un mejor análisis de la Geometría Fractal se describirá también como esta es
aplicada en diferentes aspectos del diseño de espacios. No sólo en el aspecto
arquitectónico, sino también en múltiples aspectos del Diseño y Decoración de Interior. La
Geometría Fractal se encuentra en múltiples objetos de diseño industrial, en
revestimientos ya sea en forma gráfica o corpórea, en estampados, etc. Es una lógica de
diseño que merece ser estudiada en profundidad para poder ser comprendida y así
aprovecharla al máximo.
El quinto capítulo se centrará en una propuesta de diseño que pueda aplicar todo lo
analizado en el presente Proyecto de Graduación. Se diseñará un espacio que responda
objetivamente a la Geometría Fractal, desde cómo es percibida en relación a su entorno,
hasta la arquitectura de la misma junto a su diseño interior y todo lo que ello implica.
Limitaciones de espacios, revestimientos, texturas, mobiliario.
El Proyecto de Graduación se vincula con varias asignaturas dictadas en la carrera ya
que justamente se quiere aplicar en el trabajo la mayor cantidad de contenidos adquiridos
a lo largo de los años de estudio. En primer lugar se encuentra una relación directa con la
materia Taller de Interiores. Esta asignatura brinda diversas herramientas que ayudan a
reflexionar sobre la comprensión y la comunicación de la forma en diferentes espacios.
Ayuda a crear una conciencia morfológica espacial a través del estudio de la geometría,
de estructuras abstractas y de estructuras concretas. También analiza el espacio interior
como un sistema, teniendo en cuenta sus limitaciones y posibilidades de integración.
Todos estos aspectos son de gran importancia para el presente Proyecto de Grado ya
que la base de este estudio es la geometría y la forma tomada como objeto estático,
dinámico o como recurso para crear una interacción entre el espacio y el usuario.
Las materias troncales de la carrera como Diseño de Interiores y Diseño de proyectos
Integrales también son de suma importancia en esta propuesta de diseño. Éstas son la
base para comprender dicha disciplina en su totalidad ya que se basan en lograr un
diseño eficiente respetando las necesidades de los clientes, a través de la comprensión
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de la espacialidad y conceptos de diseño y teniendo en cuenta las limitaciones que
ocurren en el mundo laboral. Gracias a estos contenidos adquiridos se podrá diseñar lo
planteado en este Proyecto de Grado con grandes conocimientos previos para su mayor
eficiencia.
Este Proyecto de Grado aporta al campo del diseño interior, nuevos conocimientos y
técnicas a la hora de diseñar un espacio, ya sea interior o exterior. Gracias al contenido
que será analizado a lo largo de este estudio, se logrará entender la lógica de muchas
construcciones además de su significado a nivel conceptual. Se podrá llegar al diseño de
un pabellón que responda a la Geometría Fractal, aplicada en la relación con el entorno
donde se sitúe, en la Arquitectura del mismo y en su propio Diseño Interior.
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Capítulo 1: Elementos y unidades del diseño espacial
Todo diseño espacial está compuesto por una serie de elementos que otorgan a un
determinado proyecto una identidad propia. Esto se da gracias al uso del espacio y su
relación con diversos elementos generativos, estructurales y de diseño que tienen como
fin generar diversas sensaciones y estímulos en el receptor.
Una obra debe actuar sobre cada individuo, es decir, debe generar estímulos y
emociones que los modifique, que los conmueva. Este principio debe estar presente en
todo momento en el diseñador de modo tal que el conjunto de elementos a utilizar
generen un proyecto comunicativo y expresivo.
En otro orden, para que un proyecto arquitectónico tenga significación, deberá estar
orientado mediante un concepto, es decir, una idea que lo guie y lo sustente en un
contexto determinado, sin dejar de considerar las necesidades a resolver. Este concepto
no solo le dará contenido al proyecto sino que también lo guiara en el proceso de
materialización.
La primera etapa de cualquier diseño implica el reconocimiento de una situación
problemática y la decisión de resolverla, una vez identificados los puntos a resolver, es
primordial que el diseñador analice los elementos básicos de la forma y del espacio
arquitectónicos ya sea existentes o no existentes, comprendiendo cómo pueden
manipularse durante el desarrollo de una idea de diseño y se percate de sus
implicaciones visuales en la realización de una solución de diseño
1.1 El espacio como envolvente
Este concepto no tiene una única definición, ya que siempre ha estado cuestionado
debido a que cada filósofo, artista, arquitecto o hasta psicólogo aborda el concepto desde
un punto de vista diferente. Existen dos explicaciones de espacio, una de ellas es que el
mismo puede concebir como una entidad que se contiene a sí misma. Una entidad que
puede ser finita o infinita preparada para ser intervenida ya sea por la naturaleza o por el
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hombre. Arnheim (1977) cita a Platón para definir a este concepto como la madre y
receptáculo de todo lo creado y visible, y de algún modo sensible. Consideraba al mismo
como una naturaleza universal preparada para el recibimiento de todo cuerpo, pero jamás
asume la forma del mismo ya que siempre conserva su propia naturaleza. Lo define como
un recipiente natural de todas las impresiones, y el mismo puede ser percibido de
diferentes maneras debido a la intervención de las mismas. Una nada existente
contenedor de objetos, que en ausencia de ellos el espacio seguirá existiendo como
recipiente vacío e ilimitado. Se puede afirmar entonces, que es el medio en el que todo
objeto asume su lugar. En el campo de la física, el espacio es determinado por la
extensión de los cuerpos o campos contiguos unos con otros, por ejemplo un paisaje de
tierra limitado por una masa de agua y otra de aire. Por otro lado, la segunda explicación
de este concepto está ligada a la perspectiva psicológica. El espacio una vez establecido
está siempre presente y es autosuficiente, pero la percepción del mismo ocurre
únicamente cuanto existen elementos perceptibles, ya que de lo contrario es considerado
como la nada.
Estas concepciones de espacio tienen una gran diferencia entre sí, ya que al considerarlo
como recipiente existente a pesar de estar vacío interviene el supuesto newtoniano. El
mismo sostiene que existe una base absoluta de referencia, y a partir de ella las
distancias, tamaños y velocidades tienen medidas igualmente absolutas. De forma similar
ocurre en la geometría, ya que existe un sistema de coordenadas cartesianas a través del
cual se puede referir a todo lugar, tamaño o movimiento ubicado en un espacio
tridimensional. En contraposición, cuando se niega la existencia del espacio absoluto y
sólo existente gracias a la intervención de objetos, estos postulados carecen de sentido.
Sólo existe un centro único rodeado por un vacío en el que la velocidad, distancia y
tamaño no son determinables. Tampoco existe una izquierda o derecha, o un arriba o
abajo, el espacio es una esfera con un centro simétrico y con expansión infinita.
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Una vez descriptos los conceptos de espacio, y situando uno o más objetos en el mismo,
se debe analizar un factor fundamental: el observador. La conexión que se establece
entre el mismo y el objeto que observa es experimentada como una línea recta, ya que si
bien podrían ser, infinitos espirales, ondas o curvas, la recta es la relación más corta y
por ende la más simple.
Contemplando la definición de espacio como constelación resultante entre objetos
naturales e intervenciones del hombre, toda constelación arquitectónica tiene su propio
entramado espacial. Un ejemplo de estructura establecida puede ser el uso de una
directriz, utilizada como espina unidimensional a la que responden las ubicaciones y
orientaciones espaciales de los lugares construidos circundantes. Esto se complejiza en
menor escala, ya que los componentes del todo tienen un propio entramado espacial.
Tomando una ciudad como ejemplo, la misma está compuesta por barrios diferenciales,
que a su vez estos están subdivididos en partes aislables, en calles, plazas, edificios.
Cada construcción es otra constelación, divididos en pisos y a su vez en habitaciones.
Las habitaciones están también entramadas según su diseño interior, disposición de las
mesas, camas, estantes y proponen otra estructural espacial particular. Kevin Lynch
demuestra a través de un análisis que cuanto mayor sea el orden que tiene una
estructura espacial, más concuerdan las imágenes que forma la gente del lugar. Según
Ching (1982), existen cuatro tipos de relación espacial. La primera alude a la existencia
de un espacio dentro de otro, es decir, que todo espacio puede contener enteramente a
uno menor siempre y cuando las dimensiones se lo permitan. En este caso el espacio
contenedor es un campo tridimensional y es el único que tiene un nexo con el exterior,
haciendo que el espacio contenido dependa de él. Otro tipo de vinculación son los
espacios conexos, éstos solapan sus campos correspondientes, y de esta forma crean
una zona compartida. Cuando esto ocurre, los cuerpos pueden conservar su identidad o
bien la zona de enlace se puede insertar en uno de los espacios transformándose en
parte del mismo. La relación de espacios más frecuente es la determinada por la
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continuidad, este tipo de vinculación permite identificar claramente cada espacio dejando
que respondan positivamente a sus funciones preestablecidas. Las características del
plano que une a ambos espacios, son las que determinan el grado de continuidad que se
percibe entre ellos. Por último, dos espacios pueden estar vinculados a través de otro en
común, cuando ellos se encuentran separados a una cierta distancia se pueden enlazar
mediante un tercer espacio que actúa como intermediario. Este tercero puede diferir de
los otros dos en forma y orientación o bien pueden ser idénticos dando como resultado
una secuencia de espacios.
Paul Zucker (1959) afirma que el campo visual se extiende tanto en dirección horizontal
como en dirección vertical. Sugiere que la impresión subjetiva de la altura del cielo es
determinada por la relación que este tiene con la altura de los edificios y con la expansión
del suelo. Es aquí donde interviene la proxémica definida como la distancia establecida
por la naturaleza que debe tener una persona o cosa en relación a otra. En el campo de
la arquitectura, debe haber una distancia correcta entre las construcciones, la misma
regla de conducta se aplica para el observador. Éste debe respetar el campo de fuerzas
que rodean a un objeto, es decir, permanecer a la distancia apropiada de él para lograr
una percepción apropiada del mismo (Arnheim, 1977).
Por otro lado, el vacío es un concepto fundamental para una total comprensión del
espacio. Arnheim (1977) plantea que el vacío total es experimentado donde no hay
puntos de referencia o sentido de la orientación, los objetos son inexistentes y las
distancias no son definidas. Esto se puede ejemplificar con su equivalente social que es
la experiencia de una persona cuando se siente abandonada, nada la necesita y el medio
está completo sin ella. El sentido interno de identidad se destruye debido a la falta de
definición externa, ya que uno mismo se define de acuerdo al lugar que ocupa en un
sistema de relaciones personales.
Otro concepto que define el autor es el vacío perceptivo, lo toma como una propiedad de
un lugar determinado, cuyas características espaciales no están determinadas por los
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cuerpos que lo rodean. Sin embargo, cuando dos objetos que limitan un intervalo se
necesitan para completarse entre sí, este vacío resultante es más activo y tiene mayor
densidad que si las dos formas son independientes y autónomas. En otros casos, el vacío
no sólo se relaciona con la inexistencia de materia, ya que en un espacio en donde nada
hay construido, puede estar ocupado por fuerzas perceptivas y lleno de densidad las
cuales son llamadas sustancia visual. Por ejemplo, un monumento situado en un llano
vacío puede provocar en el espacio que lo rodea, un campo de fuerzas perceptivas, la
energía de las mismas disminuye con el aumento de la distancia desde el centro. En
conclusión, el efecto de vacío surge cuando en una superficie, las formas que lo rodean
no imponen una organización estructural, en consecuencia, la percepción del observador
siempre será la misma independientemente de su posición.
En síntesis, el espacio es creado y estructurado por los objetos que están presentes en
él. Las formas, límites y ejes que rigen a las masas, en este contexto a los edificios, y a
las respectivas distancias existentes entre ellos, son los factores que organizan los
lugares de morada del hombre ubicado dentro y fuera de él. No sólo se debe entender al
espacio como una ficción perceptiva, sino también como un sistema objetivamente
existente, una realidad establecida por hechos físicos como lo es el sol, la luna y las
condiciones climáticas. A su vez, estos elementos pueden ser descriptos como
componentes de constelaciones particulares que rigen el esqueleto del espacio en que
vivimos.
1.2 Forma
Para un análisis completo de la forma, es imprescindible tener en cuenta su composición.
Las partes, funciones y variables que la forma presenta son características
fundamentales a considerar para una mejor comprensión de la misma. Estos elementos
también son el principio que todo diseñador debe conocer para poder manipular la forma
y así lograr un diseño eficiente que tenga coherencia, eficiencia y armonía.
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El reconocido arquitecto Francis D. K. Ching, expone los principios básicos de la forma
en su texto Arquitectura: forma, espacio y orden (1982). Ching sostiene que los
elementos primarios para el desarrollo de la forma son el punto, la línea, el plano y el
volumen. El punto es el componente principal de la forma del cual nacen el resto de las
piezas. A partir de él se desarrolla la línea unidireccional, de la línea surge el plano
bidimensional y del plano nace el volumen tridimensional. Estos elementos conceptuales
no son diferenciados a simple vista, sino que los podemos percibir con la mente como
puntos unidos por líneas, líneas que marcan el contorno de un plano, un plano que cierra
un volumen o como un volumen que ocupa un lugar determinado.
El punto es un elemento estático, que señala una posición en el espacio. Es central y no
direccional ya que carece de anchura, longitud y profundidad. El mismo puede ser
utilizado para marcar los dos extremos de una línea, la intersección de dos líneas o el
encuentro de líneas en la arista de un plano o volumen. El punto también se puede
manifestar ocupando un lugar dentro de un campo. En el centro otorga estabilidad visual
y organiza los elementos que lo rodean, cuando está en movimiento se genera una
tensión visual en su campo y genera una lucha por la supremacía visual. Para que un
punto adquiera dimensión en el espacio debe ser proyectado como un elemento lineal
vertical, por ejemplo una columna o bien, como una esfera. En cualquiera de los casos, si
se ve en planta se leerá como un círculo, haciendo referencia al punto. Dos puntos
pueden definir una línea imaginaria que los une y de esta forma marcar los límites de un
segmento. Su representación en el entorno arquitectónico mediante columnas puede
definir un eje con el fin de organizar formas y espacios constructivos.
Otro elemento principal de la forma es la línea, la cual surge de la prolongación del punto.
Ésta puede expresar una dirección o movimiento ya que si bien tiene una longitud, carece
de anchura y profundidad. Se puede utilizar para unir, rodear o cortar a otros
componentes visuales, dar forma a los planos o hasta definir aristas. La orientación que
toman son fundamentales en relación con el entorno, ya que si las encontramos en forma
21
vertical expresan un estado de equilibro con las fuerzas de gravedad, y en forma
horizontal representan estabilidad gracias a que marcan un horizonte o representan a un
cuerpo en reposo. Cuando se presentan en forma oblicua transmiten dinamismo o
desequilibrio ya sea por ser una línea horizontal que asciende o una línea vertical que
cae.
Los elementos verticales lineales pueden ser columnas, torres u obeliscos, similar a lo
que ocurre con el punto. Son utilizados también para definir volúmenes ideales en el
espacio, por ejemplo si ubicamos cuatro columnas en los vértices de un cuadrado
imaginario, estarán delimitando un campo espacial simulando un cubo. Otro uso
fundamental de los componentes verticales es para soporte, de esta forma otorgan
dinamismo en las construcciones. En una escala menor, los elementos lineales pueden
articular tanto las artistas como las superficies de un plano o volumen. Se pueden
manifestar en materiales de construcción, marcos de ventanas o puertas o como una
trama de columnas y/o vigas. De esta forma se puede afirmar que dos columnas pueden
determinar un plano ya que se crea una membrana espacial transparente debido a la
tensión visual que existe entre las mismas. Cuanto más próximas estén unas de otras,
mayor será la percepción de plano que transmiten y los vacíos se leerán como simples
interrupciones de una superficie plana. Estos elementos pueden ser de gran utilidad para
delimitar zonas exteriores o interiores permitiendo el paso de la luz y circulación del aire.
El plano se puede definir como una prolongación de la línea en cualquier dirección que no
sea la que ella misma posee. Conceptualmente, el plano tiene longitud y anchura pero
carece de profundidad, gracias a estas cualidades permite definir los límites de un
volumen. Una de las características principales de este componente es la forma que él
posee, la cual está delimitada por el contorno de la línea que forman las aristas del plano.
En la arquitectura, los planos definen un volumen y brindan determinadas cualidades al
espacio que encierran según su tamaño, forma, color o textura. Pueden ser utilizados
como plano base, como plano pared o como plano superior. El primero brinda soporte y
22
apoyo físico, es lo que sustenta toda arquitectura. La topografía y condiciones climáticas
influyen en la forma de construcción, la misma puede estar asentada sobre el plano base
o bien elevada y separada del terreno. Con respecto a su uso interior, éste debe ser
estructuralmente sólido y duradero, su forma, modelo, color y textura son los que marcan
los límites de un espacio y determinan la forma en que caminamos sobre la superficie.
En cuanto al plano pared su función principal es crear cerramiento y de esta forma aislar
una porción de espacio creando un interior controlado. Los muros también configuran
espacios externos, ya sean utilizados como fachada o como delimitación de espacios
públicos. Además otra de sus cualidades es hacer de soporte en el sistema estructural de
carga. El plano superior en la construcción se encuentra como techo o cubierta, el mismo
puede manipularse para modificar la escala de un espacio, controlar la entrada de luz y
hasta de sonido. Con respecto al diseño, el mismo varía según la forma y los materiales
de su estructura.
El volumen surge de la prolongación del plano en un sentido que no sea en la dirección
inherente a sí mismo. En forma conceptual, este elemento posee tres dimensiones:
longitud, anchura y profundidad. Se puede afirmar entonces que todo volumen está
compuesto por los elementos ya mencionados: puntos como vértices, líneas como aristas
y planos como lados. Con respecto a la arquitectura, ésta comprende al volumen como el
fragmento de espacio contenido sólido o vacío, el cual está delimitado por los planos
base, verticales o superiores.
De la sucesión traslativa de figuras se logra entonces percibir visualmente una forma que
se convierte en una estructura que ocupa un espacio. Cuando estas formas se
interrelacionan, se transforman en nuevas formas la cuales permiten llevar a cabo el
proceso de diseño que permitirá llegar a la idea por realizar.
En el campo del arte y diseño, la forma es empleada para lograr una estructura formal en
cualquier tipo de obra, es el punto de partida del cual surge la organización y
coordinación de los elementos, y de esta manera lograr la producción de una imagen con
23
coherencia. Lo mismo ocurre al crear un proyecto arquitectónico, siempre existe un
concepto base del cual parte un buen desarrollo. Este núcleo generacional se basa en la
relación del contexto en el cual se sitúa dicha obra y la generación de la forma
matemático – geométrica, es una síntesis que sirve de guía para los procesos de
proyección y materialización (Coccato, 2001).
Desde la percepción visual, todos los elementos que se encuentran en nuestro entorno
tienen una forma, que estará dada por el aspecto exterior de las cosas, ya sea un
volumen tridimensional o bien una figura plana delimitada por un contorno.
En toda forma se pueden encontrar tres propiedades visuales: tamaño, color y textura.
Mientras el tamaño depende directamente de la comparación y relación de una forma con
otra, el color y la textura analizan el aspecto propio y superficial de la misma. El color
alude a la reacción de un objeto ante la luz, y cómo a través de ella adquiere un cierto
valor de tono e intensidad. La textura se relaciona con el tipo de tratamiento que se le da
a la superficie, intervienen las cualidades táctiles y condicionando la forma en que se
reflejara la luz. Toda forma posee también cualidades de relación y composición:
posición, orientación e inercia visual. La posición se determina de acuerdo con la
influencia que tiene dicha forma en el campo donde se desarrolla la percepción visual. La
orientación es la posición que adquiere en relación con un factor determinado, ya sea a
un plano, a los puntos cardinales o al mismo observador. Por último se define a la inercia
visual como la estabilidad y grado de concentración que tiene dicha forma.
La arista perimetral de un plano o de un volumen se puede definir como perfil, cuando
este es representado con bordes lineales se denomina contorno. Toda forma es percibida
según el grado de contraste visual que existe entre ella y el fondo, debido a esto, la
mente siempre trata de simplificar tanto el entorno como la figura para lograr una mejor
comprensión (Ching, 2001).
En síntesis, la forma no sólo es el centro de la arquitectura y del diseño, sino que
constituye la estructura esencial en la construcción de todo lo que el hombre percibe. Es
24
imprescindible que todo creador de espacios logre una comprensión absoluta de la forma
ya que a través de los sentidos se puede captar el mundo material que nos rodea. Lo que
se percibe a través de la vista se traduce en forma de imágenes que automáticamente
son analizadas en la mente. Una vez captadas, el hombre tiende a seleccionarlas y
clasificarlas para lograr captar lo esencial y de esta forma se lograr una simplificación de
las mismas.
1.3 El lenguaje arquitectónico
El medio que utiliza el hombre para comunicarse es el lenguaje, el cual transmite
mensajes a través de formas orales, escritos o visuales. Cada expresión artística utiliza
un medio para su expresión, en el caso de la arquitectura y diseño se utiliza el visual
como herramienta principal. Este lenguaje está compuesto por diferentes elementos
como lo son la escala y proporción, luz y sombra, color, textura, entre otros. Estos
elementos siempre deben estar presentes en todo diseño arquitectónico o espacial.
1.3.1 Escala y proporción
Son dos conceptos de medida que se basan en sistemas de relación para generar un
equilibrio. Ambos términos tienen un rol fundamental tanto en la arquitectura como en el
diseño. El concepto de escala refiere a las dimensiones de cualquier objeto en relación a
otro, es decir a una comparación permanente de tamaños. En el contexto arquitectónico,
la escala alude al vínculo existente entre el objeto y el individuo o entretylko., objeto y su
entorno (Santo, 2012). Es una herramienta que ayuda al hombre a comprender mejor su
hábitat natural y así lograr dominarlo a su propia medida. Cuando es entendida como
instrumento de medida, la misma determina una razón entre dos objetos que se
encuentran en un sistema abierto, o entre dos sistemas diferentes. Por ejemplo: la
construcción física y real de una edificación tendrá una escala determinada y su sistema
de representación gráfico y matemático será otra. La escala también puede ser entendida
25
como una noción que se adquiere en la mente y en el cuerpo por medio de los sentidos
durante el proceso de recorrido espacial. Los datos que quedan en el recuerdo del
individuo son registros de medidas que sirven como referencia para la noción de tamaño
en futuras experiencias y exploración de nuevos lugares. En este contexto, se puede
afirmar que dicho término es producto de la sensibilidad
La proporción, en cambio, es producto de la razón. Hace referencia a la relación de una
parte con otras o con el todo, dicha relación puede ser de magnitud, cantidad o grado.
Cuando este término es utilizado como regla en la composición de objetos
arquitectónicos, tiene siempre fundamentos matemáticos y geométricos, generando
dentro de un sistema cerrado, relaciones y vínculos entre las partes que componen un
objeto determinado por medio de la igualdad de las razones. Siempre está basado en un
pensamiento matemático y gracias a su uso en la geometría otorga equilibro y armonía
en cualquier ámbito, ya sea en una construcción arquitectónica o bien en la propia
naturaleza. Sin embargo, no es un referencial de medida en el espacio, la proporción no
dimensiona un lugar en concreto ya que no se basa en medidas físicas reales.
Existe una dependencia y relación constante entre ambos conceptos, ya que una regla de
proporción puede ser utilizada en varias escalas y aun así seguir teniendo las mismas
reglas de relación. Las reglas de proporción no establecen el tamaño de un objeto
arquitectónico, sino que definen medidas abstractas. Estas medidas pueden ser
aplicadas en un rascacielos y de la misma forma aplicadas a un prototipo pequeño, las
reglas de partida siempre serán las mismas independientemente del tamaño en que ellas
son aplicadas. Este conjunto de reglas abstractas crean un orden y equilibrio en el
espacio; sin embargo, ellas no son percibidas ni comprendidas por el utilizador. Lo que la
persona puede percibir es un espacio equilibrado y armonioso sin pensar en el origen de
estas características, por ello se puede afirmar que el usuario comprende el resultado de
la aplicación de las mismas y por ende, lo que ellas transmiten. A partir de la necesidad
de una interacción constante entre la escala y proporción y la importancia de ambos
26
conceptos en la composición de un espacio, en 1948 Le Corbusier inventa una regla que
facilita el uso de los mismos. La finalidad de la misma es crear un instrumento que facilite
el dimensionar espacios, ya sean exteriores o interiores. Según el autor, dicho
instrumento denominado El Modulor, es considerado la primera regla de escala universal
de fácil aplicación. Este tiene como sustento base las dimensiones estéticas de la sección
áurea y la serie de Fibonacci en relación a las proporciones del cuerpo humano. La trama
básica está compuesta por tres medidas: 113, 70 y 43 (cm), proporcionales a la sección
áurea (ver anexo imagen seleccionada fig. 1). En conclusión, la esencia de El Modulor se
contextualiza en el movimiento moderno, ya que dispone al hombre como centro de las
preocupaciones. Su objetivo principal es lograr adaptar el entorno para que quede al
servicio del ser humano de la manera más sencilla posible.
1.3.2 Luz y sombra
Se puede decir que sin luz no existiría la arquitectura y menos aún el diseño de interiores,
ya que sin ella, el hombre no podría visualizar ni percibir las formas con sus respectivas
cualidades ya mencionadas. “La luz es el agente físico que hace visible los objetos.
Claridad que irradian los cuerpos en combustión, ignición o incandescencia” (Selva, 2012,
p.44). Este elemento pertenece al dominio de lo visual y se desarrolla a través el sentido
de la vista, uno de los más relevantes a la hora de percibir obras arquitectónicas. Según
el origen, ésta puede ser natural emitida por los rayos solares o artificial, la cual se
presenta a través de iluminarias creadas por el hombre como focos, lámparas, tiras led,
entre otras. Las últimas provienen de uno o varios focos simultáneamente, las tramas
lumínicas que se pueden generar con esta condición son innumerables y se pueden
utilizar como material constructivo o de diseño. Es por ello que es de gran importancia
que el diseñador tenga un buen manejo de esta herramienta, ya que de lo contrario
podría otorgar efectos y sensaciones erróneas (Calduch, 2001c).
27
La sombra es un elemento bidimensional que proviene de un objeto tridimensional
ubicado en el espacio. Esta cualidad es la resultante de la emisión de luz en un cuerpo
determinado, la misma puede ser propia o bien arrojada. La sombra propia forma parte
del objeto, son variaciones que se presentan en la superficie de dicho cuerpo. La forma
del objeto que arroja la sombra es determinante en la proyección de la misma, como lo es
también la posición de la fuente de luz en relación a dicho objeto. Otro factor que se debe
tener en cuenta es la posición del observador en relación con los dos elementos
mencionados.
La relación existente entre este elemento y la arquitectura es inevitable, si bien algunas
veces se da de forma consciente y otras de forma inconsciente, nunca podrá ser excluida
o eliminada de la arquitectura. Se puede decir que la sombra es a la luz, lo que el silencio
a la música. La importancia radica en su ausencia, es por ello que la percepción de un
espacio se debe a ambas. Tanto la luz como la sombra alteran la forma en que se
visualiza el entorno, puede transformar los límites de los objetos o evidenciar el espacio
en relación al vacío. Es por esto que se puede afirmar que son elementos que
constituyen el espacio, generan movimiento y así dejan una huella en quien lo habita.
Una variante que se presenta al hablar de estos conceptos es el tiempo, a medida que
transcurre el día tanto la luz como la sombra van variando, por ello son efímeras. Gracias
a esta transformación la forma en que se ve un espacio será distinta de acuerdo con el
horario o día del año en que se perciba.
Uno de los postulados más relevantes del Movimiento Moderno (1920 - 1930) es generar
el paso de luz natural hacia el interior de las edificaciones. Si bien uno de los propósitos
de esto es el cuidado del medio ambiente, es importante generar una conexión con los
elementos existentes, ya sea la luz o el paisaje. Se debe entender que la naturaleza está
por sobre la arquitectura.
28
1.3.3 Color
Este concepto se puede definir como las sensaciones que se producen a través del
sentido de la vista tras la incidencia de la luz sobre la superficie de los objetos. Dicho
concepto tiene cuatro propiedades fundamentales: tono, saturación, brillo y luminosidad.
El tono es la propia cualidad del color. Todos los colores presentes en el círculo
cromático son tonos, siempre y cuando no se mezclen con el blanco o negro. Es la
variación cualitativa del color, en relación con la longitud de onda de su radiación. Este
concepto siempre hace referencia a los colores del espectro de la luz visible, del rojo al
violeta. El tono permite diferenciar y nombrar a los colores, ya que al referirse a
cualquiera de ellos por ejemplo color azul sólo se hace referencia a una de sus
cualidades. Por otro lado, la saturación está siempre determinada por la cantidad de luz
presente, hace referencia a su pureza. Un color está saturado cuando se encuentra
dentro del círculo cromático ya que tiene su pigmentación y coloración al máximo poder.
Para modificar dicha cualidad, se debe mezclar el color con su complementario, de esta
forma se obtiene una escala de grises del mismo. La saturación máxima de un color es
aquella que corresponde a la longitud de onda del espectro electromagnético, sin
agregado de blanco o negro. El brillo está relacionado con la intensidad o el nivel de
energía, ya que es la capacidad que tiene un color para reflejar la luz que se proyecta en
él. Éste puede ser capaz de alterar la apariencia del color, por ello es una condición
variable. Por último, la luminosidad es el grado que tiene un color de claridad u
obscuridad. La misma genera una escala cromática de valores que abarca desde el
negro hasta el blanco. Este fenómeno visual evidencia que lo que se percibe está ligado
a la incidencia de la energía, es por ello que es importante para comprender mejor el
entorno, ya que permite diferenciar la fisionomía de la naturaleza en su estado verdadero
(Selva, 2011).
La psicología del color es un factor determinante al momento de diseñar un espacio, la
misma alude a que cada color genera distintas sensaciones y emociones en el ser
29
humano que influyen en su conducta. Se pueden clasificar en cálidos y fríos. Los cálidos
son llamados de esta manera dado a que hacen revivir al individuo la sensación de calor
que experimenta al exponerse al rayo de luz, por eso evocan al fuego y al sol, dentro de
este grupo se sitúan los que van del amarillo al rojo. Debido a que se consideran colores
excitantes, generan una idea de cercanía entre el individuo y el objeto. Transmiten
alegría, dinamismo y fuerza. En contraposición, los colores fríos son los que evocan a las
sensaciones producidas por las temperaturas bajas. Dan sensación de lejanía y
distanciamiento de los objetos, y generan tranquilidad, relajación y seriedad en el
individuo que los percibe. Entre ellos se encuentra el intervalo de verdes y azules (Santo,
2012).
La elección del color en cualquier contexto espacial es de suma importancia ya que
puede resolver de forma eficiente problemáticas de diseño como por ejemplo, generar
amplitud o estrechez en un determinado lugar. También puede ayudar a una lectura clara
de los volúmenes o crear una ilusión de cambios donde no los hay. El color mismo no
debe ser seleccionado de manera arbitraria, para su correspondiente uso y lograr una
armonía se debe tener en cuenta varios aspectos del proyecto a realizar, como la
locación, ubicación, el clima y propiedades del terreno, costumbres del usuario entre
otros.
1.3.3 Textura y materialidad
Al igual que el color, la textura es un aspecto externo de la superficie de toda forma o
cuerpo. Esta característica está dada por la materialidad junto a su respectiva apariencia
y afecta tanto a sus cualidades visuales como a las táctiles. Puede ser el elemento
configurador de una composición o bien, a través de su uso generar un mayor
enriquecimiento de la obra. La clasificación principal de las texturas es visual o táctil. Las
texturas visuales son representaciones gráficas de las texturas táctiles, en todos los
casos son bidimensionales y sólo pueden ser percibidas por el ojo. En algunos casos
30
puede parecer tridimensional pero es sólo una ilusión óptica. En cuanto a las táctiles, son
aquellas percibidas no sólo por la visión, sino también mediante el tacto. Es aquí donde
entra en juego la importancia de la materialidad utilizada en el diseño. En un proyecto de
arquitectura existen tres tipos de materiales que se clasifican según su desempeño en el
diseño: estructurales, funcionales y decorativos. Los materiales estructurales son los que
se emplean como soporte o esqueleto de una construcción, y los funcionales que son los
más relevantes, son los encargados de cubrir el edificio. Por otro lado, los decorativos
son los más variados, su función en embellecer y enriquecer los materiales anteriormente
mencionados, ya que generalmente carecen de valor estético. Si bien parece un factor
menor, la textura tiene aspectos singulares que en ciertas situaciones de diseño son
esenciales y no deben ser descuidadas. Toda textura presente en las formas u objetos es
influyente en los sentidos del hombre y según sus características crea atracción o
rechazo.
En conclusión, se puede afirmar que el hombre se contacta tanto con la realidad material
en donde vive como con el entorno y el medio a través de los sentidos, al mismo tiempo,
genera una relación con el mismo este para desarrollar y satisfacer sus necesidades. Con
el fin de transformar la naturaleza para adecuarla a su propio hábitat, constantemente
crea objetos para la modificación de la misma, desde las herramientas más elementales
hasta máquinas robotizadas. En el desarrollo de las fuerzas productivas, el hombre va
comprendiendo los distintos fenómenos a los que se enfrenta, las propiedades y leyes de
la naturaleza y del el espacio establecido. También crea conciencia del vínculo que se
genera entre el mismo y el medio que lo rodea. Para una mejor comprensión de
fenómenos tales como la composición de elementos de la naturaleza o hasta objetos
artificiales, se puede utilizar la geometría, una de las ramas principales de la matemática.
Específicamente en este Proyecto de Grado se aborda el estudio de la geometría fractal
en relación con la arquitectura y diseño. A través de la geometría se le otorga un orden y
armonía que como resultante da un espacio más eficiente y en consecuencia responde a
31
las necesidades de todo usuario. Para lograr una comprensión absoluta de la geometría
fractal es necesario conocer a qué tipo de geometrías se enfrenta, ya que la misma
plantea grandes diferencias a las conocida hasta el momento.
32
Capítulo 2: Geometría como necesidad de organizar y comprender el mundo
El hombre siempre ha intentado encontrar una explicación adecuada para el
comportamiento y la estructura del cosmos. En general, el cosmos está subdividido en
dos aspectos: el macro y el micro. El macrocosmos es el conjunto de todo aquello que
forma parte del universo y es superior a la escala humana, por ejemplo el Sistema Solar,
la galaxia o las constelaciones. El microcosmos es en cambio, el conjunto de todo aquello
que tiene una escala igual o inferior a la del hombre, como los órganos del cuerpo, los
virus y hasta las moléculas. La curiosidad del hombre siempre lo ha llevado a investigar
todo lo que él no puede ver o predecir, por eso siempre se ha dedicado al estudio tanto
del macrocosmos como también de todo lo que abarca el microcosmos.
Desde tiempos pretéritos se entiende que estos dos sistemas guardan una relación entre
sí, esquemas de uno y otro reproducen las mismas pautas y patrones en diferentes
escalas. Así surge la alquimia, cuyo objetivo es la comprensión de esta misteriosa
relación para alcanzar la sabiduría.
En la actualidad, toda ciencia está basada en las matemáticas, de hecho, el grado de
madurez de cualquier objeto de estudio, ya sea una ciencia o civilización se mide de
acuerdo a su grado de matematización que el mismo ha alcanzado, es por esto que la
geometría es una de las herramientas principales para la evolución de la ciencia y
tecnología. En la historia de la evolución de la humanidad hay varios ejemplos que
permiten demostrar que la geometría es esencial para el desarrollo de la misma. Uno de
ellos es la construcción de las pirámides egipcias que necesitaron de esta rama de las
matemáticas para una construcción acertada, también los chinos hicieron uso de las
proyecciones cartográficas para lograr cruzar los océanos sin perderse. Por otro lado, fue
utilizada por el matemático y astrónomo Eratóstenes de Alejandría (276 a.C.-194 a.C.)
para calcular el diámetro de la Tierra, y por Aristarco de Samos (310 a.C.-230 a.C.)
también matemático y astrónomo, para calcular la distancia existente entre la Tierra y la
33
Luna, y así como estos ejemplos se pueden encontrar cientos que demuestran la
presencia de las matemáticas en progreso del hombre.
En el Antiguo Egipto la geometría estaba muy desarrollada, es por esto que los egipcios
son reconocidos por los griegos como los inventores de esta disciplina. Uno de los
objetivos principales de la misma era calcular la dimensión de las parcelas de tierra para
luego poder reconstruirlas en casos de inundaciones, es de aquí que proviene el nombre
geometría que significa medición de la tierra. Esta ciencia estudia las propiedades del
espacio proporcionando reglas para calcular longitudes, ángulos y superficies de los
objetos. Es por esto que determina la forma en que se percibe la realidad, todo lo que
conforma el mundo es procesado por el hombre en una primera instancia por formas
geométricas (Binimelis, 2010).
2.1 Los Elementos de Euclides
De la misma forma que ocurre con varios sabios de la Antigüedad, los datos relacionados
a Euclides de Alejandría sobre su fecha de nacimiento o ciudad natal son difícil de
confirmar. El más certero es su aparición en el año 800, cuando Proclo es el primer
filósofo que menciona al matemático, situando su nacimiento en el año 300 a.C. Gracias
a este dato se puede deducir que vivó antes que Arquímedes y fue contemporáneo a
Ptolomeo. De acuerdo a las características de su pensamiento se piensa que estudió en
Atenas con discípulos de Platón. Se sabe también que enseñó matemáticas en Alejandría
durante más de veinte años, ya que es dónde fundó una escuela en la cual desarrolló sus
actividades intelectuales más intensas. Se puede afirmar que este matemático es quien
puso orden en la matemática hasta entonces existente, perfeccionando trabajos y
realizando demostraciones irrefutables de teorías que otros matemáticos no lograron
completar. A partir de Euclides, la matemática se convierte en un conjunto de sistemas
relacionados unos con otros, ya que antes eran una serie de resultados inconexos.
Según los historiadores más conocidos de las matemáticas, se han perdido al menos la
34
mitad de las obras escritas por él, se especula que en estos libros y obras perdidas pudo
haber elementos de la geometría analítica. Las cinco obras que sobrevivieron hasta la
actualidad son Los Datos, La División de Figuras, Los Fenómenos, La Óptica y Los
Elementos, siendo esta última la obra más destacada. Este texto es obligatoriamente el
centro de todos los estudios matemáticos durante más de dos mil años. Es el primer libro
que obtuvo un gran impacto en la historia de la humanidad y uno de los primeros en ser
impreso, siendo en 1482 que aparece por primera vez en Venecia traducido del árabe al
latín, y en 1505 se publica la primera versión traducida en griego. Desde entonces se
puede afirmar que ha tenido más de mil ediciones, no existe ningún otro que alcance este
número salvo la Biblia. En él se encuentran 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y
cerca de 500 proposiciones.
Para una mejor comprensión del contenido de dicho libro se debe definir algunas de las
terminologías euclidianas:
Proposición: enunciación de una verdad demostrada o que trata de demostrar; Teorema: proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas; Axioma: proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Su evidencia es de mayor grado que la de un postulado; Postulado: proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base a ulteriores razonamientos; dicho de otro modo, supuesto que se establece para fundar una demostración. (Gómez, 2010, p.29).
Este libro plantea una exposición lógica, creativa y estructurada de los pensamientos
contemporáneos a la época basados en un estilo Platónico.
Los Elementos consta de trece libros, en ellos se demuestran todas las proposiciones
paso a paso, los primeros cuatro libros tienen contenido pitagórico ya que se basan en la
materia estudiada por Pitágoras y sus respectivos seguidores. Hacen hincapié en la
geometría plana como las circunferencias, los polígonos, las propiedades de los
triángulos y paralelogramos, el teorema de Pitágoras, entre otros contenidos.
35
Los dos libros siguientes se basan en el estudio de la semejanza y proporción de los
polígonos, es aquí donde aparece por primera vez una referencia a la proporción áurea,
la cual es expresada como la media y extrema razón.
Los libros séptimo, octavo y noveno están dedicados a la aritmética, en ellos se
desarrollan problemas pertenecientes a la teoría de los números, como por ejemplo, la
divisibilidad, los números perfectos, los números primos, entre otros. En ellos se define el
concepto de número según Euclides, que es comprendido como aquello que en la
actualidad se define como magnitud medible, o en otras palabras, como la longitud de un
segmento.
El libro número diez se basa en la clasificación de los números irracionales, es decir,
aquellos que no pueden expresarse en forma de fracciones. Los últimos tres libros tratan
el análisis de la geometría del espacio. Al final de ellos es donde se estudian en detalle
los cinco famosos poliedros regulares, que son los que presentan en sus caras polígonos
regulares idénticos. Debido a que existen sólo cinco poliedros regulares convexos, o
también llamados los cinco sólidos platónicos, los griegos les dan a cada uno de ellos un
significado especial relacionados con los elementos de la materia: el tetraedro representa
el fuego, el cubo la tierra, el octaedro el aire, el icosaedro el agua y el dodecaedro el
modelo del universo.
Los cinco postulados que plantea el matemático son:
1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto; 2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente; 3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo; 4. Todos los ángulos rectos son iguales; 5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos (Euclides, 300 a.C. citado por Gómez, 2010).
Esta obra expone las bases de la matemática, todos sus teoremas son inimaginables de
ser pensados en otra forma. Este estudio hasta entonces perfecto sólo se pudo superar a
finales del siglo XIX. En una primera instancia los postulados son bastante evidentes en
36
la geometría que conocemos. Los primeros cuatro están formulados de una manera clara
y sencilla pero el quinto es algo más complejo, y en consecuencia, llama la atención de
manera inmediata. Su redacción no tiene la simpleza que tienen los cuatro primeros, al
ser leído con atención comienza a despertar sospechas y se piensa que no es una
afirmación evidente sino que es una propiedad.
Otra característica que lo diferencia de los otros, es que no puede ser verificado
empíricamente si dos rectas se cortan. Sólo se pueden trazar segmentos de ellas y no la
recta en su totalidad, es decir, la recta no se puede extender infinitamente. Esto conlleva
a que el mismo matemático intenta evitar el uso de este postulado para la demostración
de sus proposiciones y teoremas (Gómez, 2010).
A pesar de los fundamentos teóricos, al poco tiempo surgen algunos naufragios
matemáticos relacionados con este postulado, es entonces cuando Euclides se da cuenta
que algunos enunciados matemáticos deben ser aceptados como suposiciones básicas,
ya que no todos pueden ser comprobados. Debido a esta problemática, establece por
primera vez un ejemplo de método axiomático, el cual marca un punto de inflexión en la
historia de las matemáticas. Trabaja con tres tipos de hipótesis: las definiciones, los
postulados, y los axiomas. Este sistema también es llamado axiomático-deductivo,
aunque también presenta algunos errores no descubiertos hasta principios del siglo XIX.
(Binimelis, 2010).
Esta cuestión llega a ser un escándalo en el mundo de las matemáticas, la idea del
concepto de paralelismo en relación a rectas prolongadas indefinidamente trae como
consecuencia la aparición del concepto del infinito. Al intentar evitar el uso del mismo, y
no poder demostrarse, los comentadores se dan cuenta de su carácter intuitivo, hecho
que incentiva a los matemáticos posteriores a verificarlo y/o corregir si es que existe, un
defecto. El resultado de estas búsquedas es una gran cantidad de enunciados que
resultan ser equivalentes al original. A continuación se presentan algunos de los ejemplos
más significativos y destacados:
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Una paralela a una recta dada dista de ella una longitud constante, postulado formulado
por el filósofo griego Proclo (410 – 485 a.C), uno de los más destacados de la escuela de
Atenas.
Existe un triángulo en el que la suma de sus ángulos vale dos rectos, éste es llamado el
postulado de los ángulos de un triángulo. El autor fue el matemático francés Adrien-Marie
Legendre (1752 – 1833 a.C), quien trabajó en él por más de cuarenta años.
Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia, denominado también
como el postulado del área de un triángulo, fue creado por el llamado príncipe de las
matemáticas, el alemán Johann Carl Friederich Gauss (1777 – 1855), quien comenzó a
trabajar en él desde los quince años.
Por un punto exterior a una recta, pasa una única recta paralela, este postulado de las
paralelas tuvo como autor al geólogo escocés John Playfair (1749 – 1819). Éste se ha
convertido en la forma en la que se enseña en la actualidad el quinto postulado, de
hecho, en muchos casos es tomando como la definición real de Euclides. Lo que lo
diferencia del original es que es más fácil de comprender gracias a su sencillez. (Gómez,
2010)
2.1.1 La recta del Infinito
En el Renacimiento surge la necesidad de lograr una representación más cercana a la
realidad, y en consecuencia algunos científicos investigan instrumentos geométricos que
permitan resolver dicha carencia. Esta problemática genera la unión de Leonardo Da
Vinci (1452 – 1519) y Alberto Durero (1471 – 1519) que no sólo son reconocidos por ser
grandes pintores correspondientes a esta época, sino que se terminan transformando en
grandes teóricos que cambiaron la historia de la pintura. Ambos tenían un mismo objetivo
basado en poder representar una visión de tres dimensiones en una de dos dimensiones.
Esta cuestión da origen a nuevos conceptos tales como proyección, perspectiva o
sección que configuran una nueva geometría llamada proyectiva. La base de la
38
geometría proyectiva aparece gracias al francés Gérard Desargues (1591-1661), quien
observa dos características primordiales: un círculo visto en perspectiva adopta forma de
elipse y que la sombra que proyecta un objeto circular sobre una pared es a su vez un
círculo, una elipse, una parábola o una rama de la hipérbola dependiendo la inclinación
de dicho objeto. A estos tipos de curva se los denomina cónicas.
Gracias a estas ideas, el francés introduce dos nuevos conceptos: el punto del infinito o
punto impropio y la recta del infinito o recta impropia. Existen infinitos puntos impropios
en un plano y cada uno de ellos corresponde a una dirección, todos ellos forman la recta
del infinito. Análogamente, en el espacio existen también infinitas rectas impropias tanto
como direcciones que en conjunto forman el plano del infinito. Por ejemplo, un par de
rectas paralelas siempre se van a cortar en un punto impropio, el cual está dado por la
dirección de la pendiente de dicha recta. Lo mismo ocurre con un par de planos paralelos,
ya que siempre se cortarán en una recta impropia.
Estos aportes de Desargues, fueron de gran utilidad para nuevos geómetras como
Gaspard Monge y Jean Victor Poncelet. Uno de los primeros tratados de perspectiva
inspirado en dichos aportes fue la perspectiva caballera o militar, descubrimiento que
surge a comienzos del siglo XVII de la mano de teóricos franceses. Monge describe en
1794 un nuevo método deniminado proyección diétrica ortogonal para representar en un
plano, figuras geométricas del espacio. La misma es bautizada como geometría
descriptiva, la cual generó una revolución para la ingeniería bélica, y en la actualidad es
utilizada para el dibujo técnico. El uso de este tipo de geometría en el campo de la
arquitectura se dio tardíamente, tanto la caballera como la axonométrica se dan a finales
del siglo XIX. Las perspectivas paralelas del renacimiento sostienen que los rayos
visuales son paralelos, pero gracias a Desargues, se puede decir que estos rayos se
encuentran en el infinito. (Binimelis, 2010)
39
2.2 La consolidación de la geometría no euclidiana
En el siglo XIX, Janos Bolyai y Nicolai Lobachevski demuestran que la geometría de
Euclides no es la única posible. Gracias a ellos nace la geometría hiperbólica, primer
geometría no euclidiana, la cual parte de la sustitución del quinto postulado de Euclides
por el siguiente: Por un punto exterior a una recta dada pasa más de una recta paralela a
la dada. Cabe destacar que no se conocían entre ellos, ni tenían conocimiento del trabajo
que estaba desarrollando el otro en paralelo, aun así, ambos comparten la autoría de la
misma. A pesar de ello, popularmente, el nombre que se asocia a la geometría
hiperbólica por encima de Bolyai es el de Lobachevski.
Nicolai Lobachevski era profesor de la Universidad de Kazan, el 23 de febrero de 1826
presenta su teoría de las paralelas la cual es publicada en la revista de la Universidad en
1829. Seis años más tarde publica el trabajo completo bajo el título de Nuevos elementos
de geometría, en el cual afirma que el famoso postulado no contiene una verdad, sino
que al igual que otras leyes de la física, sólo se puede verificar mediante experimentos y
da por resuelto al problema en cuestión. Como se menciona anteriormente, este
postulado crea un nuevo sistema de teoremas que en la actualidad se conoce como
geometría hiperbólica, a partir de la cual se llegan a conclusiones poco usuales para la
época. Si bien la aplicación de esta nueva geometría genera una crisis en el mundo de
las matemáticas del siglo XIX, dan fin al famoso dilema del postulado. Queda demostrado
que Euclides hace lo correcto al incluir el mismo como tal, es decir, como un postulado ya
que el mismo no se puede deducir de los anteriores.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), es el primer matemático que intuye la realidad de
una geometría diferente a la euclidiana. Gauss es reconocido como niño prodigio, su
carrera como matemático, astrónomo y físico comienza desde muy pequeño. A los siete
años, en sus estudios elementales, deja a sus maestros asombrados por su capacidad de
razonamiento y cálculo. Una vez estudiando en el Brunswick Collegium Carolinum
descubre una ley de astronomía de forma independiente, la misma es llamada ley de
40
Bode. Éste no es su único descubrimiento en el colegio, sino que también desarrolla
teoremas de álgebra como el del binomio. Inicia sus estudios de matemática en la
Universidad de Gotinga en 1795, y para los veintidós años lee su tesis doctoral. En 1807
con sólo treinta años de edad, asume la dirección del Observatorio de Gotinga, donde se
dedica a estudiar el magnetismo durante seis años.
Al igual que muchos matemáticos, Gauss se dedica a estudiar el quinto postulado de
Euclides en secreto por casi cuarenta años. La documentación más relevante que
evidencia dichos estudios es la correspondencia que mantiene con la familia Bolyai,
específicamente con Farkas, el padre de János, con quien establece una gran relación de
amistad. Farkas al igual que Gauss, también trabaja en la demostración del quinto
postulado aunque sin ningún éxito. El mismo aconseja a su hijo que no pierda el tiempo
en el estudio de este problema, pero aun así, no logra que lo deje.
János Bolyai (1802 – 1860) de nacionalidad húngara practicaba las matemáticas por
afición, ya que era oficial de caballería y un excelente violinista., además de destacarse
como lingüista. A la edad de trece años es su padre Farkas quien le enseña el cálculo
infinitesimal y la mecánica analítica. Si bien János sólo publicó un trabajo a lo largo de su
vida, se encontraron más de 20.000 páginas de manuscritos con análisis matemáticos,
los cuales están actualmente conservados en la ciudad de Targu – Mures en la biblioteca
Bolyai – Teleki. El húngaro llegó a un nivel de obsesión con el estudio de las paralelas,
sus resultados fueron publicados en el anexo del libro publicado por su padre en 1832
llamado Intento de introducir a la juventud estudiosa en los elementos de matemáticas
puras, en el cual desarrolla su idea en tan sólo veinticuatro páginas. Estas nuevas ideas
juegan un papel relevante para Gauss en el proceso de sus descubrimientos
mencionados, inmediatamente de leer el libro le escribe una carta a Farkas en la que
hace referencia a János como un genio del primer orden.
La geometría hiperbólica planteada tanto por Lobachevski como por Bolyai expone
nuevas conclusiones matemáticas, una de las más relevantes para la época es que la
41
suma de los ángulos de un triángulo no es necesariamente 180°, sino que puede ser
menor, ya que no todos los triángulos tienen la misma suma angular. Mientras mayor sea
el área del triángulo menor será la suma de sus respectivos ángulos. Si dos triángulos
tienen sus ángulos congruentes, dichos triángulos también serán congruentes. Otros
aportes de la geometría hiperbólica es la afirmación de que por un punto existen infinitas
rectas paralelas a otra dada, o dadas dos rectas paralelas existe una tercera
perpendicular a una de ellas y paralela a la otra.
Si bien ambos matemáticos presentan varias similitudes al analizar sus ideas, se pueden
apreciar diferencias entre las mismas. Bolyai dedica su estudio a diferenciar las
proposiciones geométricas que necesitan el quinto postulado de Euclides entre las que
no. Lobachevski en cambio, lo niega y lo reemplaza por uno nuevo ya mencionado.
La geometría de Euclides se sitúa en un modelo plano, en el cual el punto y la recta son
el centro del estudio. La geometría hiperbólica se ubica en un contexto diferente, el
mismo está dado por dos fuerzas que se mueven a una misma velocidad, una
desplazándose en forma recta y la otra en forma curva acercándose poco a poco a la
recta. En un lenguaje matemático se dice que la curva se desplaza asintóticamente hacia
la recta, en términos más cariñosos algunos matemáticos la llaman la curva del perro. La
curva mencionada se denomina tractiz definida como una curva que representa a un
objeto que es arrastrado por otro manteniendo una distancia constante y un
desplazamiento en línea recta (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 2a). Una vez
entendida esta relación de fuerzas, se debe imaginar que la curva gira alrededor de la
recta posicionada en forma horizontal, es decir PA, en otras palabras imaginar que la
curva rota sobre sí misma. Como resultado se obtiene una superficie llamada
pseudoesfera, la cual es el modelo en el que se sitúa la geometría hiperbólica. Por ello se
entiende que las figuras dibujadas sobre este modelo se comportan en términos
geométricos de una forma diferente al planteado por Euclides y de esta forma no entran
en contradicción con el mismo. Lobachevski plantea sus axiomas desde el análisis de los
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puntos y rectas ubicados sobre esta superficie. En la siguiente imagen se pueden ver las
líneas paralelas tal como las plantea el matemático (ver anexo imágenes seleccionadas
fig. 2b).
Al poco tiempo del surgimiento de esta nueva geometría, el matemático Bernhard
Reimann (1826 – 1866) crea otra geometría no euclidiana: la elíptica. La misma sustituye
el quinto postulado por: dada una recta r y un punto p no perteneciente a ella, no existen
rectas que pasen por p y sean paralelas a la recta r.
El matemático alemán nacido en Hannover, al igual que los anteriores fue niño prodigio.
Desde pequeño los profesores destacaban sus dotes matemáticos, y para 1846 ingresa
en la Universidad de Gotinga para estudiar Teología, pero al tiempo se traslada a la
Facultad de Filosofía donde se realizan también los estudios matemáticos. Gauss es uno
de sus profesores destacados y quien lo orienta para obtener su doctorado, unos años
más tarde logra ser miembro destacado de la Academia de Ciencias en Berlín. Se conoce
que en 1846, asistía a clases dirigidas por Gauss, en las cuales los alumnos debían
escoger un tema sobre el cual disertar tres horas. Reimann escoge Los Nuevos
elementos de la geometría, famosa obra de Lobachevski, sobre la cual afirma que a
diferencia de la geometría euclidiana y a la hiperbólica, por un punto exterior a una recta
no se puede trazar ninguna paralela. En el mismo discurso añade que no existe una línea
recta definida, ya que se termina convirtiendo en una curva. De la misma forma también
niega la existencia de un plano recto, porque al prolongarse tiende a seguir la curvatura
del universo.
En esta presentación expone los conceptos base de una geometría diferente a la
hiperbólica y a la de Euclides. Esta nueva geometría denominada elíptica se construye
sobre la superficie de una esfera, las rectas pasan a ser llamadas geodésicas las cuales
son los círculos máximos, es la circunferencia que divide a dicha esfera en dos
hemisferios iguales. La misma, niega la existencia de las rectas paralelas debido a que se
intersectan entre sí. Otra característica es que la suma de los ángulos internos de un
43
triángulo es mayor a 180° ya que los mismos pueden llegar a tener dos ángulos de 90°.
Mientras más grande es el área de un triángulo, mayor es la suma de sus ángulos (ver
anexo imágenes seleccionadas fig. 3).
Además de la geometría elíptica, Reimann se dedicó a analizar la curvatura presente en
cualquier espacio de tres dimensiones, e insinuó que dicha teoría podía ser
implementada en espacios de una dimensión superior. También estudió en profundidad
las expresiones algebraicas o ecuaciones diferenciales para minimizar distancias
(Gómez, 2010).
2.2.1 Formas de medir el espacio
Una vez analizadas las nuevas geometrías se puede plantear la siguiente pregunta ¿Cuál
de ellas es la real? Para ello se debe analizar cuál es la que encaja mejor con el mundo
físico: la euclidiana es correcta para ser trabajada en una escala terrestre, pero para
tomar la superficie de una esfera se debe aplicar la elíptica, esta es la que mejor se
ajusta a la métrica del universo.
Los trabajos realizados por Reimann alentaron las teorías de Albert Einstein (1879 –
1955). El famoso físico alemán plantea su teoría de la relatividad, una teoría física que
complementa los conceptos matemáticos del tiempo curvo y del espacio. A partir de esta
combinación Einstein pudo explicar los movimientos del Sol, de los planetas y de las
estrellas. La teoría de la relatividad describe el universo contemplando la relación espacio
– tiempo, relaciona la equivalencia entre la masa y la energía a través de la expresión
E=m.c ², siendo c la velocidad de la luz (299.792,458 km/s). Para establecer la distancia y
el movimiento relativo entre los objetos, utiliza como medidas físicas el espacio y el
tiempo. Esta teoría se basa en la utilización de un modelo matemático de geometrías no
euclidianas, para ello utiliza la elíptica para proporcionar una representación más exacta
del universo. El mismo es curvado como consecuencia de los obstáculos que provocan la
44
desviación de los rayos luminosos generando las curvas geodésicas. Según Einstein,
esta curvatura de espacio–tiempo está determinada por la gravedad.
Al estudiar lo analizado se puede llegar a la conclusión de que las tres geometrías son
válidas, ya que ninguna de estas posibilidades es descartada al tomar distancias
pequeñas. Cada una de ellas se adapta a un campo de aplicación determinado, es decir,
que cada una se adapta a una realidad diferente, es por ello que ninguna tiene un
carácter universal. Por ejemplo, al tratar las físicas modernas como la teoría de la
prolongación de ondas o la teoría de la relatividad las geometrías no euclidianas son las
correspondidas para su respectivo análisis. Por otro lado, Franz Berntano (1838 – 1917)
establece que los seres humanos ven en modo hiperbólico. Esta hipótesis pudo ser
demostrada empíricamente ya que la mayoría de los experimentos clásicos de
percepción y de ilusiones visuales demuestran llegan a resultados que afirman dicha
teoría.
En 1872 Felix Klein (1849-1925) escribe para la Universidad de Erlangen una memoria
que en la actualidad se considera uno de los puntos principales de la geometría junto con
el trabajo de Reimann y Los Elementos de Euclides. La misma es llamada Programa de
Erlangen, la cual busca una definición formal de la geometría, y para lograrlo clasifica a
cada una de ellas según las propiedades que mantienen con respecto a una serie de
transformaciones. Establece que la geometría euclidiana se dedica al estudio de las
propiedades que se mantienen invariantes por el grupo de movimientos rígidos. Se
entiende por movimientos rígidos a las simetrías, rotaciones, traslaciones y la
composición de ellos. Las invariantes son aquellas que no se modifican al aplicarle
alguna transformación, por ejemplo, las áreas de las superficies, los ángulos entre rectas,
la distancia entre puntos, entre otras cosas. La geometría proyectiva en cambio, dedica
su estudio a las invariantes con respecto al grupo de las proyectividades y a una
topología determinada. Establece también en su escrito que, tanto la geometría
euclidiana, como la hiperbólica y la elíptica pueden ser consideradas como casos
45
particulares de la proyectiva. Esto se debe a que se aplicará una u otra dependiendo de
la cónica del absoluto.
Así es como, a partir de este aporte de Klein, se abre un nuevo camino dedicado al
estudio de los espacios geométricos abstractos. No se limita a las figuras ubicadas en un
plano o al espacio tridimensional, sino que se comienza a pensar en varias dimensiones y
en variables no espaciales (Gómez, 2010).
2.3 La composición de la naturaleza
Como se describe previamente, desde los comienzos de la historia el hombre siempre ha
tenido una profunda curiosidad por entender la naturaleza y el origen de las cosas. Es por
ello que a lo largo de incontables generaciones se fueron creando los cimientos de las
ciencias tal y como las conocemos en la actualidad. Al intentar comprender la lógica
aparente de alguna cosa o hasta incluso como ella funciona, tendemos a hacer
simplificaciones. Un ejemplo claro es la forma en que se percibe en el alrededor desde
niños: el Sol con forma circular, las montañas triangulares o hasta las gaviotas con dos
arcos circulares. Sin embargo, no siempre esto resulta eficiente ya que no todo se puede
reproducir a simple vista en formas geométricas. Existen en la naturaleza estructuras muy
diversas y complejas a las cuales se les debe encontrar la forma de representarlas.
La geometría euclidiana no es la más conveniente para analizar las formas complejas
que existen en el entorno como podría ser una simple hoja de un helecho. Esta limitación
es debido a que la mayoría de las cosas pierden su estructura cuando las ampliamos. En
las formas naturales se mantiene una complejidad a varios niveles si se amplifica con un
microscopio, dentro de una parte existe otra más pequeña muy similar a la original y así
sucesivamente. La ampliación puede llegar a ser una versión distorsionada de la original,
aunque el esquema básico siempre será el mismo no importa cuantas veces sea
ampliado. Este tipo de formas geométricas que en cada una de sus partes contienen una
imagen de sí mismas son denominadas fractales. Los fractales están presentes en
46
innumerables cosas, es por ello que la geometría fractal es utilizada por diversos campos
para analizar distintos casos, ya sean físicos, biológicos, químicos, económicos, entre
otros.
Los fractales existen desde mucho antes de haberse creado la Geometría Fractal. Antes
de la aparición del Calculus, creado por Newton, en el siglo XVII, Leibniz y colaboradores
notan que había grandes irregularidades y discontinuidades a nivel matemático. Los
científicos de aquel entonces suponían que eran pocos los casos donde se presentaban
estas funciones irregulares y menos aún, que se los podía hallar en sistemas naturales. A
estas excepciones las ignoraban y utilizaban aproximaciones a través del redondeo para
lograr respuestas, pero estos redondeos pueden tornarse peligrosos creando sistemas
con una dinámica caótica (Al-Majdalawi, 2006).
Robert Brown, botánico escocés, descubre a principios del siglo XIX cómo una gota
queda atrapada en una roca ígnea durante su respectiva solidificación. Al ser observada
con un microscopio, se notan minúsculas partículas que presentan un movimiento
constante irregular. Este fenómeno es similar a los que ocurre con los granos de polen
suspendidos en el agua. Brown explica que la vitalidad de una molécula se mantiene
después de su muerte, pero luego se comienza a pensar que esto se debe no a un
fenómeno biológico, sino que a uno físico. La velocidad de la partícula es mayor cuanto
menor sea su tamaño o a mayor temperatura se encuentre. Esta teoría se puede explicar
recién en 1905 gracias a Albert Einstein, quien establece las primeras implicaciones de la
teoría cinética de los gases creada por James Clerk Maxwell y Ludwing Boltzmann y la
aplica al estudio de Brown. Un grano de polen suspendido en un fluido se encuentra
bombardeado por las moléculas de dicho fluido y al chocar, generan una inflexión en su
trayectoria.
El movimiento browniano es el primero que reconoce la autosimilitud de un fenómeno
natural en diferentes escalas de aumento. Esta característica es notada por el físico
francés Jean Baptiste Perrin en el año 1906, y para la explicación de ello realiza un
47
gráfico que muestra el movimiento browniano (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 4).
En el gráfico se pueden observar las líneas trazadas que unen a los puntos que
representan la posición de la partícula en movimiento cada 30 segundos, pero en
realidad, estas tangentes no existen. Como bien se muestra en la imagen, si se observa
el movimiento de la partícula cada 0,3 segundos, esta trayectoria se representa por una
sucesión de líneas quebradas de menor tamaño pero de igual complejidad, es una
particularidad que se repite sucesivamente en menor escala infinitamente. Este
comportamiento descubierto por Perrin fue ignorado hasta fines de la década de 1960
cuando fue retomado por el matemático francoamericano Benoit Mandelbrot. Nacido en
Polonia en 1924 en una familia judía de origen lituano, emigra a Francia en 1936, lugar
en el que se encontraba su tío Szolem, fundador del grupo Bourbaki. Este grupo
rechazaba el uso de las figuras ya sean gráficas o geométricas para la demostración de
conceptos ya que plantaba que la razón podría ser engañada por la vista. Para el año
1970, comienza el interés de Mandelbrot por la geometría a partir de la lectura de un
escrito recomendando por su tío. El mismo se llama Memoria sobre la iteración de las
funciones racionales, y su autor es el matemático francés llamado Gaston Julia. Con el
aporte de dicho escrito y la ayuda del desarrollo de la computadora digital en IBM,
Mandelbrot comienza el estudio de los fractales (Binimelis, 2010).
El matemático realiza un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas para los
laboratorios de IBM en 1958. Es en ese entonces cuando encuentra un patrón en su
comportamiento, es decir, jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas que no
pueden ser descritas por la matemática estadística que existe en aquella época.
Mandelbrot comienza a investigar otros sistemas en donde se pueden encontrar patrones
similares que se repiten y comportan de igual forma. Esto lo lleva a hacerse una pregunta
que carece de sentido: “¿Cuánto mide realmente la costa de Inglaterra?” (Mandelbrot
1977). Para ello el doctor toma tres escalas diferentes del país: visto desde un satélite,
visto desde un avión y la última parado sobre la propia costa de Inglaterra.
48
Como resulta evidente, se puede asegurar que los resultados de las tres mediciones
serán en todos los casos diferentes. Cuanto mayor nivel de detalle tengamos en cuenta a
la hora de realizar la medición, mayor será el valor numérico obtenido. Teóricamente, si el
nivel de detalle fuese infinito, el valor de la longitud tendería a ser infinito. Con este
ejemplo propuesto por Mandelbrot se logra extraer una importante conclusión: las
mediciones realizadas por el hombre dependerán de la escala que se utilice para
medirlas. Esas escalas como Mandelbrot reconoció, poseen un patrón, y ese patrón las
relaciona diciendo que si bien no son iguales a diferentes escalas, si lo son de manera
estadísticamente similar (Al-Majdalawi, 2006).
De esta forma, Mandelbrot junto con otros matemáticos que lo precedieron propone una
nueva manera de analizar el mundo a través de las matemáticas incorporando un
acontecimiento de primer orden: la geometría fractal.
Si bien la historia de los fractales surge a finales del siglo XIX, durante varios años
siguientes la humanidad permanece ajena a ellos. En los últimos años tanto los fractales
como los sistemas caóticos cobran un auge importante, convirtiéndose en un concepto
que está en permanente extensión, y el cual es utilizado en todas las ciencias. En 1962 el
matemático publica uno de sus libros más exitosos titulado La geometría fractal de la
naturaleza, en el mismo incorpora gráficos sorprendentes gracias a la ayuda de la
tecnología informática.
No es fácil dar una definición general de fractal ya que muchas de ellas no se aplican a
todos los tipos de fractales que existen. Una forma de describirlos puede ser a través de
los factores que todos ellos tienen en común en sus respectivos procesos matemáticos
para su generación. La estructura característica de los procesos que originan los
fractales, es uno de los puntos más interesantes y ricos a nivel matemático. Un fractal es
entonces, el resultado de la iteración infinita de un proceso geométrico elemental en la
mayoría de los casos de una naturaleza simple. A partir de esta descripción se puede
afirmar que hay grandes diferencias entre la geometría euclidiana y la fractal. La primera
49
es la tradicional, vigente hace más de dos mil años, y presenta una dimensión entera,
trata objetos hechos por el hombre y es descrita por fórmulas. La segunda está presente
sólo hace cincuenta años aproximadamente, y trabaja una dimensión fractal. Es la
apropiada para el análisis y estudio de las formas naturales y es descrita por algoritmos
recursivos como lo es la iteración o repetición. Si bien el proceso que genera dicho
fenómeno puede ser simple, no se debe subestimar sus consecuencias, que en general
son muy complejas. Mandelbrot plantea que las estructuras naturales que a simple vista
parecen complejas como las nubes o las montañas, en realidad presentan una misma
regularidad geométrica a diferentes escalas.
50
Capítulo 3: Una dimensión desconocida
Tratar de comprender el concepto de fractal ignorando el proceso dinámico que lo genera
no es la mejor opción. En dicha rama de la geometría el proceso responsable de su
generación puede llegar a ser muy simple. Sin embargo, no hay que subestimar el
resultado obtenido, ya que el mismo puede desencadenar figuras y estructuras altamente
complejas pero siempre con un patrón y orden oculto.
Tanto la geometría fractal como la teoría del caos han permitido que los científicos logren
comprender ciertos sistemas que anteriormente se creían caóticos, en la actualidad
gracias a estos descubrimientos se puede afirmar que en ellos existe un patrón posible
de predecir.
¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo «frío» y «seco»? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo… Algunos conjuntos fractales son curvas o superficies, otros «polvos» inconexos, y también los hay con formas tan disparatadas que no he encontrado, ni en las ciencias ni en las artes, palabras que los describieran bien. (Mandelbrot, 1962, p.16)
3.1 Conceptos preliminares
Todos los fractales cuentan con tres características principales que son indispensables
tanto para su generación como para su comprensión: autosimilitud, dimensión e iteración.
Se puede entender por autosimilitud a la forma en que los mismos están compuestos ya
que están formados por partes que se repiten constantemente en menor escala, estos
detalles se pueden repetir de manera infinita. La similitud puede ser geométricamente
estricta o puede ser una aproximación o estadística. En la actualidad se conoce que hay
una gran variedad de objetos que se contienen a sí mismos, algunos de ellos aparecen
en los elementos naturales y otros son teóricamente matemáticos. Los objetos
autosimilares son fáciles de detectar pero todavía no existe una técnica que permita
generar las funciones recursivas de manera automática.
Además de esta particularidad, todos los elementos fractales se caracterizan por tener
una dimensión fraccionaria. A principios del siglo XX, aparece una gran problemática para
51
los matemáticos que consiste en encontrar un significado para dimensión y determinar
sus propiedades. Existen varios tipos de dimensiones como por ejemplo la euclidiana, la
topológica, de Hausdorff, entre otras. Todas ellas están relacionadas entre sí, la elección
de cual usar dependerá de la situación a analizar. Si bien no existe una única definición
para dicho término, una forma para comprenderla es entendiendo que la dimensión de un
espacio cualquiera ya sea un punto, una línea, o una superficie, corresponde al número
mínimo de parámetros que se necesitan para cubrir los distintos puntos de dicho espacio.
La dimensión euclidiana se basa en el número de coordenadas que se requieren para
especificar un objeto, un punto representa la dimensión uno, un plano la dimensión dos y
un espacio la dimensión tres. Por otro lado, la dimensión topológica consiste en medir la
habilidad para cubrir un objeto con conjuntos abiertos de un radio pequeño. Si la
dimensión topológica de cualquier figura es cero, quiere decir que se trata de un conjunto
que puede ser cubierto por pequeños conjuntos abiertos que no tienen ningún elemento
en común. Si la dimensión topológica es uno, la figura puede ser cubierta por pequeños
conjuntos que presentan una sola intersección entre los adyacentes. Por último, se
considera que una figura tiene una dimensión topológica dos, cuando puede ser cubierta
por pequeños conjuntos abiertos que se intersectan tres veces. En la mayoría de los
casos, la dimensión topológica suele ser igual que la euclidiana.
En 1919 Félix Hausdorff sugiere una dimensión fractal definida como una propiedad de
un objeto que indica la capacidad que tiene para rellenar el espacio que lo contiene.
Puede tomar valores en el espacio de los números reales entre cero y tres. La dimensión
de Hausdorff o dimensión fractal se plantea entonces de la siguiente manera: D= log N /
log (l/p). D es la dimensión de Hausdorff, N es la cantidad de unidades que forman el
objeto, I es la altura del objeto, y P es la altura de las unidades que componen el objeto.
En otras palabras, esta dimensión consiste en un número que se utiliza para cuantificar el
grado de fragmentación que tiene un objeto natural o un conjunto geométrico.
52
Otra característica que se debe describir es la iteración. La misma alude a la repetición
de una misma figura o patrón n cantidad de veces. En el caso de los fractales, lo que se
repite constantemente son el patrón generador, ecuaciones o las fórmulas que se
realizan para su generación. La problemática que esta acción plantea es como iterar n
cantidad de veces dichas fórmulas ya que la gran mayoría están compuestos por
números complejos. La solución se encuentra con el uso de la tecnología, las
computadoras específicamente, esta es una de las razones por la cual la teoría de los
fractales surge hace no muchos años. En el caso de los fractales creados en un
ordenador llega un punto en el que la pantalla queda en negro ya que todavía no se han
creado los programas con una iteración infinita. La misma analogía ocurre al analizar los
fractales naturales como por ejemplo un árbol. Si se ve con un microscopio, se puede
apreciar que una misma estructura se repite en diferentes escalas, pero en un punto dado
la misma no se puede seguir descomponiendo. Esto genera la conclusión de que no son
fractales perfectos y que sólo existen en el campo teórico (Valdés, 2016).
Por otro, lado existen los fractales lineales y los no lineales. Los lineales son los que
están compuestos por un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto quiere decir,
que en todas sus escalas van a hacer exactamente idénticos. En general, son los
conjuntos fractales creados por el hombre a través del uso de figuras sencillas como las
rectas, cuadrados, entre otros, y la mezcla de las mismas. Algunos de los ejemplos
clásicos son el Conjunto de Cantor, la Curva de von Koch y el Triángulo de Sierpinski que
se analizarán más adelante. Al observar estas figuras en zoom se puede notar la
existencia de un patrón constante que se repite infinitamente.
En contraposición, los fractales no lineales son los que provienen de la matemática
caótica, son generados a partir de números complejos o como lo indica su nombre, por
distorsiones no lineales. Los mismos son reproducidos por computadoras como por
ejemplo el Conjunto de Mandelbrot, o bien el Conjunto de Julia.
53
3.2 Fractales clásicos
Giuseppe Peano matemático italiano, descubre en 1890 una curva continua que pasa por
todos los puntos de un cuadrado, la misma es llamada en honor a su creador Curva de
Peano. En el mismo año, se publica su artículo que fue el primero en describir como una
curva recubre un plano. En el mismo, define el concepto de curva como el camino que
sigue un punto al moverse continuamente. Para la construcción de la misma se debe
acudir a un método repetitivo que parte de un cuadrado inicial, se traza la curva en el
sentido que muestra en la ilustración, y simultáneamente los segmentos se sustituyen por
dicha curva (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 5). Esta aportación de Peano es sólo
analítica ya que no hay curva que dibujar y en consecuencia no se puede visualizar
gráficamente, sólo incluye el gráfico del ocho inclinado para la demostración de su teoría.
Se limita a la explicación del orden en que se debe trazar la curva para llenar un
cuadrado. Cabe mencionar que tampoco incluye el concepto de iteración. Los gráficos de
la Curva de Peano son creados por otros matemáticos que propusieron series iterativas
de curvas con el afán de lograr visualizar la teoría abstracta del matemático (ver anexo
imágenes seleccionadas fig. 6). Debido a ello, existen diferentes versiones de dicha curva
pero las cuales no recubren un plano. Una de ellas es aplicando una variación en los
nueve segmentos iniciales, de modo tal que los horizontales sean de mayor longitud que
los verticales.
Previamente a las publicaciones gráficas de la Curva de Peano, David Hilbert publica otro
ejemplo de curva que rellena un plano, esta es la Curva de Hilbert. Para la construcción
del módulo de este fractal se debe partir también de un cuadrado, pero esta vez dividido
en cuatro segmentos iguales, los cuales se unen mediante el uso de tres rectas.
Posteriormente se vuelve a subdividir el cuadrado en dieciséis para repetir el
procedimiento pero en una menor escala, agregando rectas que permiten la unión de
cada módulo (ver anexo imágenes seleccionadas fig.7).
54
De la misma forma que ocurre con diversos fractales, la Curva de Hilbert también tiene su
representación en tres dimensiones, en la cual se hace el mismo proceso descripto pero
esta vez en un cubo y no en un cuadrado (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 8)
(Binimelis, 2010).
El Conjunto o Polvo de Cantor, creado justamente por Georg Ferdinand Ludwing Philipp
Cantor en 1883, es el primer fractal descubierto por el hombre. Para su definición se toma
un segmento de una determinada longitud, y el mismo se divide en tres subsegmentos de
una misma longitud. El segmento ubicado en el centro se suprime, y el proceso se vuelve
a repetir con los dos segmentos restantes. Esta acción tiene como resultado la posibilidad
de iterar el proceso infinitas veces (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 9). Las
construcciones del mismo pueden variar, por ejemplo, el segmento inicial no debe estar
necesariamente dividido en tres segmentos y a su vez ellos pueden variar en proporción.
En la actualidad se sigue indagando acerca de las posibilidades de variación que tiene
este conjunto. La estructura de dicho fractal se puede encontrar en varias cosas del
mundo real. El mismo se utilizó como representación de la distribución de la nada
homogénea de los anillos de Saturno, en las variaciones que experimentó hace dos mil
años el Río Nilo, hasta incluso al extenderlo a tres dimensiones coincide con la
distribución de estrellas y galaxias en el universo. El conjunto de Cantor tiene una
dimensión de Hausdorff de 0.630905, esta es menor que la unidad ya que aparecen sólo
dos segmentos cada vez que el mismo se reduce en tres partes.
Tanto el Triángulo como la Curva de Koch llevan el nombre de su creador, el matemático
sueco Niel Helge von Koch (1870 – 1924) y fueron creados en 1904. Para la construcción
de este monstruo matemático, se debe partir del Triángulo de Koch, o también llamado
Copo de Nieve. El mismo consiste en dividir cada segmento de un triángulo equilátero en
tres partes iguales. Los segmentos del medio se suprimen y se agrega un triángulo
equilátero en cada vacío. Este proceso puede ser repetido infinitas veces en cada uno de
los segmentos que tendrá la figura nueva (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 10a).
55
La iteración de un solo lado de dicho módulo da como resultado la famosa Curva de Koch
(ver anexo imágenes seleccionadas fig. 10b). Una de las características principales del
Triángulo de Koch, es que en él no se puede trazar ninguna tangente en ningún punto de
su perímetro. Otro aspecto fundamental es que la longitud entre dos puntos de su
perímetro es infinita a pesar de que su área es finita. Tanto el Copo de Nieve como la
Curva de Koch, son entonces fractales simétricos con una autosimilitud estricta y lineal.
Esto quiere decir que si se toma una parte pequeña de la figura y se amplía, se verá
nuevamente la misma figura. Esta curva se puede reflejar en los contornos de las costas.
Un ejemplo es la medición de la costa de Gran Bretaña mencionada previamente. A partir
de esta pregunta se puede afirmar que cualquier costa no tiene forma de curva suave,
sino que al verla de cerca se deben notar una infinidad de puntas o picos. Dichos picos
son autosimilares, es decir, que se repiten en todas las escalas, particularidad que
también se presenta en el fractal analizado. Esta curva está más cerca de ser una recta
que un área, ya que la misma tiene una dimensión de Hausdorff de 1:2618.
El Triángulo de Sierpinski es creado como bien señala su nombre por el matemático
polaco Waclav Sierpinski (1882 – 1969) en el año 1919. La construcción clásica de este
fractal parte de la de un triángulo, en este caso equilátero, de lado 1 (no necesariamente
debe ser equilátero). El mismo se debe dividir en cuatro secciones iguales, para ello se
toman los puntos medios de cada lado y se deben unir para tener como resultado cuatro
triángulos internos de lado 1/2 cada uno. El triángulo que queda en el medio se elimina, y
en cada uno de los triángulos restantes se repite el proceso de división-eliminación que
se aplicó en el primero. Luego se repite con los nueve resultantes y así infinitamente (ver
anexo imágenes seleccionadas fig. 11).
Esta figura fractal tiene una versión en 3D, llamada Tetraedro de Sierpinski. Se trata de
una pirámide cuya base es cuadrada, cada lado es un Triángulo de Sierpinski, la iteración
de cada cara de dicho tetraedro es simultánea hasta llegar al infinito. Tanto el Triángulo
como el Tetraedro con figuras autosimilares.
56
Otra manera de lograr crear una imagen de dicho Triángulo es con el Triángulo de Pascal
o de Tartaglia. Este contiene en sentido de arriba hacia abajo la suma de los coeficientes
de cada uno de los términos del desarrollo de un binomio elevado a un número natural. Al
superponer ambos triángulos del mismo tamaño se puede notar una semejanza, ya que
si se marca cada número impar de color negro y cada número par de color blanco se
obtiene una figura similar. Lo mismo ocurre en el módulo 2, que consiste en colocar un
cero en donde hay números pares y un uno donde hay números impares se obtiene la
siguiente figura.
Además del triángulo, Sierpinski crea otro fractal denominado Alfombra de Sierpinski.
Para la construcción de dicha figura se debe hacer un proceso similar al del triángulo. Se
debe partir de un cuadrado y luego dividirlo en nueve cuadrados pequeños. Una vez
hecha la división, se suprime el cuadrado central y de esta forma quedan ocho cuadrados
restantes. Se repite el proceso de fraccionar cada uno de los cuadrados en nueve más
pequeños y suprimir el del medio. Esta acción se puede llegar a iterar infinitas veces, de
esta forma es como se obtiene la Alfombra de Sierpinski (ver anexo imágenes
seleccionadas fig. 12).
Al igual que el triángulo creado por el matemático, la Alfombra de Sierpinski también tiene
un modelo en tres dimensiones llamado la Esponja de Menger. Este fractal está
conformado por seis caras, cada una de ellas es la formar anterior analizada. Para su
generación las iteraciones de cada cara se deben realizar en simultáneo, pudiendo repetir
el proceso cuantas veces se desee, por eso mismo su área es infinita. Dicha figura tiene
un volumen cero y su dimensión es de 2,7268 (ver anexo imágenes seleccionada fig. 13)
(Valdés, 2016).
La Curva dragón es otro de los fractales clásicos dignos de estudiar. Esta curva es
estudiada por primera vez en 1960 por Heighway, Banks, y Harter, científicos de la
NASA, y fue publicada unos años después por Martin Gardner. La misma se construyó a
partir de la acción de doblar una cinta de papel reiteradas veces de una forma específica.
57
Siempre se debe doblar en valle (forma de V) al deshacer la figura, los dobleces quedan
en un ángulo de 90° y cuanto mayor sea el número de dobleces más se acercará a la
Curva Dragón (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 14). Sin embargo, hay dos
maneras en las que se puede plegar un papel: en valle como ya se mencionó, o bien en
montaña. Utilizando una combinación de estos modos, se obtienen grandes cambios en
la curva, es por ello que se pueden encontrar hasta dieciséis formas diferentes de crear
dicha curva aunque sólo cinco son las denominadas esenciales. Una de sus variaciones
es llamada la Curva de Levy la cual parte de un cuadrado cortado por su respectiva
diagonal (ver anexo imágenes seleccionadas fig. 15). Al utilizar un cuadrado y no la mitad
de él se obtiene lo que se denomina como Tapete de Levy. La curva entonces tiene una
dimensión de Hausdorff de 2 ya que si bien se puede notar que llena el plano, la región
de la misma no ocupa un cuadrado. Es una forma de perímetro irregular que tiene un
perímetro aproximado de 1,9340. Un dato interesante es la utilización de la Curva Dragón
en la novela Parque Jurásico de Michael Crichton. El encabezado de cada capítulo tiene
una iteración diferente de la curva, acompañado por comentarios de uno de los
personajes que se especializa en las matemáticas y puntualmente en el caos. Esta figura
fractal representa la complejidad de la clonación de los dinosaurios a partir de su ADN
(Binimelis, 2010).
Antes que Mandelbrot surgiera con el concepto de fractal y le pusiera nombre a esta
rama de la geometría, hubo muchos matemáticos, como los mencionados previamente,
que ya estaban analizando e investigando sobre distintos tipos de iteraciones. Ellos
lograron operar con los números complejos y por sobre todo, llegar más allá de la
geometría de Euclides la cual sólo se basa en el estudio de cubos, conos y esferas
construidas por rectas, superficies planas y círculos. Las nuevas figuras que se
mencionan en este capítulo junto con unas cuantas otras más fueron en contra de las
descripciones matemáticas convencionales, es por ello que en ese entonces las llamaron
monstruos matemáticos (Binimelis, 2010).
58
3.2.1 Conjunto de Julia y de Mandelbrot
Gaston Maurice Julia (1878 – 1929), matemático francés proveniente de Argelia es
considerado al igual que Mandelbrot uno de los padres de la geometría fractal. Sus
estudios se basaron en funciones complejas las cuales generaban extraños conjuntos
imposibles de dibujar a mano ya que los mismos son infinitos. En el año 1978, estas
funciones resultantes fueron llamadas Conjunto de Julia. Esto se debe gracias a que el
francés Adrien Douday (1935 – 2006) y el estadounidense John Hubbard (n. 1945)
lograron en el año mencionado, obtener unas imágenes de poco calidad y borrosas de
dicho conjunto a través del uso de un software específico.
Julia junto a Pierre Fatou (1878 – 1929) se dedicaron a estudiar el “comportamiento de
los números complejos cuando su iteración consiste en elevarlos al cuadrado y sumar al
resultado una constante” (Binimelis, 2010). Es decir, se toma un número, se multiplica por
sí mismo, se le suma la constante y se repite lo mismo n cantidad de veces sobre el
resultado previamente obtenido. Mientras mayor sea el módulo del número inicial más se
alejará del punto anterior. Partiendo de un círculo, y aplicando las operaciones
mencionadas, se puede notar que dependiendo el módulo, hay puntos que se encuentran
dentro de la figura y otros puntos que se encuentran fuera de la figura. El punto ubicado
fuera de la figura es denominado punto fijo atractor, mientras que el que se encuentra
fuera es un punto fijo repulsor. Al variar los valores de la contante, se obtienen distintos
conjuntos (ver cuerpo C fig.1). Al analizar dichos conjuntos se puede observar que
existen dos tipos diferentes: los que están formados por una sola figura y los que se
componen por conjuntos aislados. Los primeros tienen un área del cuerpo conexa, y los
últimos presentan un área del cuerpo disconexa.
El estudio de la clasificación de los conjuntos conexos y de los disconexos del Conjunto
de Julia tuvo como resultado un nuevo objeto matemático llamado Conjunto de
Mandelbrot o Conjunto M. Una de las características más interesantes de este conjunto
es que la complejidad que presenta su estructura está conformada por principios muy
59
sencillos basados en las acciones de sumar y multiplicar. Sin embargo, dichas
operaciones matemáticas se deben efectuar billones de veces para lograr un resultado
visible. Al comienzo, se pensaba que era imposible analizar todos los puntos de todos los
Conjuntos de Julia, pero Mandelbrot utiliza un teorema que permite resolver este
problema. El mismo fue planteado en 1919 por los mismos Fatou y Julia que establecen
que según cual sea la órbita del 0 se puede establecer si un conjunto está fragmentado o
no. Si dicha órbita escapa al infinito se dice que es disconexo, de caso contrario es
conexo. Junto con esta teoría y la incorporación de la tecnología, específicamente los
ordenadores, se logra crear el Conjunto de Mandelbrot (ver cuerpo C fig. 2). A simple
vista se puede describir a éste como una figura en forma de corazón (cardioide) con
infinitos círculos tangentes, el mayor de ellos ubicado a la izquierda de la figura está
ligado a la primera a través de filamentos lo que afirma que este conjunto se trata de una
figura conexa. Esta región en la que se encuentra la unión de las dos figuras es conocida
como valle de los hipocampos, donde se pueden encontrar figuras muy interesantes que
recuerdan a caballitos de mar entrelazados entre sí.
Para que este fractal adquiera belleza se utilizan distintos colores según la cantidad de
iteraciones que necesita un punto para salir del círculo de radio 2.
Una diferencia que cabe destacar entre el Conjunto de Julia y el de Mandelbrot, es que al
compararlos se puede notar que el primero tiene una autosimilitud estricta, mientras que
el segundo no la tiene. En el caso del primero, al ampliarlo n cantidad de veces, es
imposible descifrar en qué escala se está situado. De forma contraria, al observar
detalladamente el segundo se puede notar que a lo largo del mismo se pueden encontrar
copias en miniatura del conjunto mayor, pero lo que pone en duda su autosimilitud es que
los filamentos alrededor de la figura principal son más abundantes mientras más cerca se
observa. Esto permite detectar en qué escala está siendo visto dicho fractal, propiedad
que no debería estar presente al hablar de una figura autosimilar, es por ello que al
Conjunto de Mandelbrot se lo clasifica como cuasi-autosimilar.
60
A pesar de esta diferencia, los Conjuntos de Julia y Mandelbrot están estrechamente
relacionados ya que se pueden encontrar los conjuntos conexos del primero en puntos
específicos del segundo, de esta forma es como los Conjuntos de Julia pasan a ser sub-
conjuntos. Entonces, se puede afirmar que para cada punto del Conjunto M. hay un
Conjunto J. en versión reducida y en ocasiones deformada. Cuando el valor de la
constante cae dentro de la cardioide principal, la forma de Julia parecerá un círculo
arrugado, cuando la misma se encuentra en el interior de los círculos tangentes la forma
será lobulada. Si la constante está ubicada en los filamentos, la forma cobrará una forma
dendrítica, y si se encuentra fuera de la figura se deshará en infinitos pedazos.
Una vez analizados distintos tipos de fractales, se puede lograr una mejor comprensión
de los conceptos principales pertenecientes a esta nueva geometría. Debido a ello, es
inevitable volver a caer en la siguiente pregunta digna de analizar: ¿existe realmente una
definición de fractal? Como se explica en el capítulo anterior, ninguna de las definiciones
teóricas es totalmente satisfactoria. Según Kenneth Falconer la mejor definición de fractal
se construye mediante la enumeración de sus atributos, los cuales describe en su obra
La geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones, publicada en el año 1990.
Para este británico todo fractal debe satisfacer algunas de las siguientes propiedades.
Una de ellas es que debe ser lo suficientemente irregular como para poder ser descrito
en términos geométricos tradicionales, debe poseer también detalles en cualquier escala
de observación. Por otro lado, su dimensión de Hasudordd debe ser mayor que su
dimensión topológica, y por último se debe poder definir a través de un algoritmo
recursivo.
Según Judith Cederberg, cualquier definición que se le otorgue a los fractales, excluirá al
Conjunto de Mandelbrot. En su libro Curso de geometrías modernas correspondiente al
año 2001, Cederberg escribe sobre dicha problemática. Define al Conjunto M. como un
fractal que contiene muchos fractales y que al compararlo con los corrientes, sus
armonías son más ricas y sus estructuras son más numerosas.
61
Como se describe previamente, las reglas que permiten generar un fractal son muy
sencillas, pero pueden llegar a generar estructuras muy complejas. Dicha geometría
presenta analogías muy interesantes que tal vez en un futuro, permitan descubrir una ley
universal que rija el orden del cosmos. Sin embargo, para que esta ley pueda existir
siempre habrá que considerar como parte de ella, uno de los factores más importantes en
cualquier teoría: el caos (Binimelis, 2010).
3.3 El caos
Denominado también sistema caótico tiene un gran auge a finales del siglo XX
paralelamente a la geometría fractal. Ambos conceptos se convirtieron en grandes
descubrimientos estudiados por todas las ciencias.
La palabra caos siempre se relaciona con conceptos tales como el desorden y la
confusión. Según la 23ª edición del Diccionario de la Real Academia Española (2014) se
define a este concepto como “un estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la
ordenación del cosmos”. En el Génesis (primer libro bíblico) más precisamente en su
segundo versículo, se describe de la misma forma, pero en términos más abstractos: “La
tierra era un caos informe; las tinieblas estaban sobre la faz del abismo”. Si bien el
nombre de la teoría del caos está inspirado propiamente en la palabra caos, es algo
contradictorio, ya que la misma se basa en el uso de leyes que sirven para obtener un
orden en los conocimientos de ciertos fenómenos. La misma demuestra que es posible
establecer un orden en los comportamientos naturales.
Entonces, ¿qué es la Teoría del caos? Según Al-Majdalawi (2006) puede ser definida
como el estudio cualitativo del comportamiento dinámico aperiódico mostrado por
sistemas deterministas no lineales. Para una mejor comprensión de dicha definición,
primero se debe mencionar que el caos alude a sistemas dinámicos, los cuales está
compuestos por dos partes: un estado que es expresado en forma de coordenadas y una
dinámica que es la variación del mismo en el tiempo. Se denomina fase al conjunto de
62
posiciones y velocidades que presenta la evolución de un sistema dinámico ubicado en
un espacio de coordenadas. La evolución puede ser siempre la misma, es decir, que está
establecida por una o más leyes. Esto genera que se pueda saber cuál será el estado
posterior a partir de sus antecedentes, a este tipo de sistema se lo denomina
determinista. No siempre se puede lograr una predicción exacta para intervalos grandes
de tiempo, los errores aumentan mientras más iteraciones se realizan. Si ninguna de las
variables o propiedades que presentan los cambios se repite regularmente es imposible
determinar su posición futura. A estos sistemas que experimentan variaciones a través
del tiempo se denominan aperiódicos o más bien, caóticos. Para lograr una mejor
comprensión de la Teoría del Caos se debe entender también el concepto de sistema no
lineal. El mismo alude a cuando los efectos no son proporcionales a las causas. Los
problemas que presentan este tipo de sistema son difícil de resolver, ya que no hay un
comportamiento directo y por lo tanto no se pueden usar las técnicas tradicionales para
su resolución (Al-Majdalawi, 2006).
Una vez entendidos los conceptos principales de la Teoría del Caos, se puede indagar un
poco en su historia y los orígenes de la misma. En 1776, Pierre-Simon Laplace
matemático francés afirma que si se conoce la velocidad y posición de las partículas que
conforman la totalidad del universo en un momento dado, se puede establecer su pasado
y predecir su futuro. Esta teoría bautizada años más tarde como determinismo laplaciano
establece que, si las leyes y condiciones iniciales que componen cierto fenómeno se
pueden definir, es posible predecir el futuro del sistema estudiado, siempre y cuando se
tengan los medio para calcular dicha solución. Sin embargo, años más tarde la física
atraviesa un progreso distinguiéndose una nueva variante: la mecánica cuántica. Es
entonces cuando comienza el hundimiento del determinismo laplaciano. La mecánica
cuántica afirma que toda medición inicial no puede ser totalmente precisa, siempre habrá
una limitación en la exactitud con la que se mide la posición y la velocidad de una
determinada partícula. Otro factor fundamental que no aplica a las leyes del determinismo
63
es el ya explicado la dinámica caótica. Ésta asegura que las mínimas imprecisiones de
toda medición pueden ocasionar grandes transformaciones. Sin embargo, tiempo
después se puede demostrar que estas transformaciones obtenidas cumplen un patrón
constante, es aquí donde se plantea una gran paradoja, ya que a pesar de estas
variables el caos es determinista (Binimelis, 2010).
Para lograr una mejor comprensión de la dinámica caótica se analiza a continuación uno
de los ejemplos más famosos que aplican a esta Teoría: el Atractor de Lorenz. Edward
Lorenz (1917 – 2008) matemático y meteorólogo comienza en 1963 una serie de
investigaciones dedicadas a encontrar una herramienta que le permita la predicción
climática. Estas indagaciones están basadas en tres ecuaciones diferenciales que con la
ayuda de un ordenador, logra representarlas gráficamente obteniendo como resultado la
siguiente imagen (ver cuerpo C fig. 3). En un momento dado, el matemático quiere
reproducir la trayectoria que previamente había obtenido pero esta vez comienza la
secuencia a partir de un punto intermedio y no de los valores iniciales. Para ello introduce
en el ordenador los valores de las variables que corresponden a ese instante de tiempo,
pero el resultado no fue el esperado: la nueva trayectoria era distinta a la primera
obtenida. Lorenz descubrió que el sistema que él mismo había creado consistía en
introducir iniciales de un máximo de tres decimales, pero el programa trabajaba con seis
dado que los últimos tres se establecían de una forma aleatoria. Esto fue algo inédito, ya
que nunca se había visto el hecho de que una variación en la cuarta cifra decimal
generara grandes consecuencias en la evolución de cualquier sistema.
En 1972 Lorenz presenta una charla sobre dicha teoría en la Asociación para el Avance
de la Ciencia. Como no tenía título para la misma, un colega llamado Felipe Merilees le
sugiere que la titule: ¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil desencadenar
un tornado en Texas? Así es como surge el nombre del Efecto Mariposa, el cual hace
referencia a que tan sólo un aleteo de una mariposa puede modificar otros fenómenos a
mayor escala. En otras palabras se refiere a como pequeñas modificaciones en un
64
sistema dinámico pueden ocasionar comportamientos o resultados no esperados propios
de un sistema caótico. Las variables pueden entonces, presentar cambios haciendo que
sea imposible una predicción a largo plazo, las mismas se pueden hacer hasta un
determinado punto al cual se denomina horizonte de predicciones. Cualquier pronóstico
que supere este punto va a generar hipótesis poco confiables (Bruzco, 2012).
Una propiedad importante del caos determinista es la llamada constante de Feigenbaum.
En 1978, Mitchell Feigenbaum demuestra la existencia de un orden dentro del caos, es
decir, que un comportamiento caótico siempre responde a ciertas pautas comunes sin
importar el tipo de sistema del que se trate. En términos sencillos, si se mide la distancia
existente entre un par de bifurcaciones continuas y se calcula su respectivo cociente, se
puede obtener un valor de carácter constante: 4,6692016091029.
Por último, otro aspecto que se debe describir de la Teoría del Caos es su relación con
los fractales. Si bien caos no es sinónimo de fractal, ambos conceptos son dos ramas de
las matemáticas que están relacionadas entre sí, y es difícil lograr entender uno sin la
otro. Como bien se describe anteriormente la geometría fractal se encarga de describir
los sistemas caóticos que se encuentran en la naturaleza, los algoritmos se plantean en
los ordenadores y ellos los traducen a las figuras y patrones como los que se describen
previamente. Los sistemas caóticos por otro lado, por más que parezcan aleatorios y
desordenados no lo son, detrás de dicho comportamiento siempre hay un orden y sentido
en los patrones (Al-Majdalawi, 2006).
Cuando deja de funcionar un sistema dinámico un determinado lapso de tiempo,
aparecerá en el espacio de fases un conjunto de puntos denominado atractor. Este pude
ser un punto, una curva, una superficie o hasta una estructura compleja e irregular
llamada atractor extraño. Dentro de ellos es donde se logran encontrar a los fractales ya
que si se observan las órbitas que conforman a dicho atractor se puede notar la
autosmiliaridad propia de los fractales: una misma estructura aparece y reaparece
65
constantemente. Se puede afirmar entonces que en el caos hay fractales y los fractales
son utilizados para definir el caos.
En conclusión, tanto el caos como los fractales son ramas de la matemática relativamente
nuevas que no podrían haber sido estudiadas sin el uso de los ordenadores. El
descubrimiento de que el caos está presente en todos los sistemas puede considerarse
como uno de los hechos más relevantes de la física del siglo XX, junto con la mecánica
cuántica y la relatividad.
66
Capítulo 4: Una nueva forma de proyectar
Como bien se describe previamente, los fractales han estado presente en diversos
campos, ya sea en medicina, física, geografía, ingeniería y hasta incluso en predicciones
económicas por mencionar algunas disciplinas. El campo de la arquitectura, así como
también del urbanismo y diseño interior también aplica esta geometría. El uso de los
fractales en estas últimas áreas mencionadas logra ser una herramienta proyectual
estratégica llena de infinitas posibilidades para llevar a cabo distintos diseños. Si bien
este recurso es poco utilizado es uno de los más interesantes para analizar, es por ello
que este capítulo describe detalladamente las formas en que el mismo se implementa y
su evolución a lo largo de los años.
Cabe destacar que las construcciones arquitectónicas o espaciales no son fractales de la
misma forma que lo son los algoritmos que generan la Curva de Koch por ejemplo. Esta
tiene un nivel de autosimilitud absoluto, ya que no importa lo cerca que se mire la curva,
siempre va a presentar las mismas características (Bovill, 1996).
4.1 Precedentes arquitectónicos
Tanto la arquitectura como el arte son considerados grandes exponentes de belleza,
siempre con una característica indescriptible que genera inspiración y motivación en los
espectadores. Gracias a la evolución de las matemáticas y tecnologías se puede analizar
este factor desde una perspectiva fractal y así, lograr comprender la estructura principal
de las obras a nivel compositivo. La arquitectura revela una similitud en el modo que se
implementan los patrones de diseño, los mismos se iteran constantemente en escalas
cada vez más pequeñas las cuales son visibles en el proceso de construcción. De esta
manera se logra una estructura que repite una misma forma otorgándole a la obra una
distinción e identidad propia (Gómez Giménez, s.f).
Desde la antigüedad existen construcciones que se caracterizan por tener una base en la
geometría fractal. Para el análisis puntual del diseño de las estructuras generales de las
67
ciudades, se utiliza como referencia la Alfombra de Sierpinsky, ya que en este fractal se
pueden notar las relaciones entre lleno y vacío dentro de una misma estructura. Esta
particularidad permite abordar un estudio con mayor nivel de detalle la lógica que
presentan las grillas estructurales de las poblaciones así como también las circulaciones
interiores de los asentamientos. Las ciudades por ejemplo, presentan una autosimilitud
en diferentes escalas, ya sea en barrios, manzanas y hasta en las mismas casas. En
principio esta característica es de carácter intuitivo, pero luego se pudo probar de forma
teórica y más profunda. Dicha característica se puede notar en la forma de poblar
algunas regiones africanas ya que su organización fue en base a la geometría fractal y no
a la euclidiana. Existieron aldeas diseñadas de manera circular en las cuales sus límites
de territoriales también son circulares al igual que las parcelas y las viviendas que se
ubicaron en ellas. Un ejemplo es La Villa Ba-ila en Zambia, (ver cuerpo C fig. 4) o la
organización de los Kotoko en Logone-Birni, Camerún la cual a diferencia de la primera
tiene una estructura fractal rectangular y no circular (Martínez Requena, 2016).
Uno de los primeros estilos arquitectónicos en utilizar la geometría fractal como
generadora de estructura y diseño son las catedrales góticas. Si bien se utiliza la
geometría euclidiana para el desarrollo de su estructura, así como también para otorgarle
belleza y proporción, hay otros conceptos de mayor complejidad que responden a la
geometría fractal, en este caso el elemento característico es la utilización de arcos
apuntados en distintos tamaños iterados múltiples veces. Otra característica que
responde a los fractales es la similitud que se puede apreciar con el crecimiento
espontáneo de los bosques. Las catedrales parten del suelo seguido de inmensas
columnas que llegan al techo, surgiendo allí una primera jerarquización ya que mientras
unas alcanzan las bóvedas de mayor altura, otras se quedan entre estas y el muro
perimetral llegando a una altura intermedia. En el interior se aplica una estructura de tallo
arbóreo para el diseño de las columnas las cuales culminan en bóvedas jerarquizadas
por distintos tamaños, es aquí donde se puede apreciar la forma repetida constantemente
68
en escalas menores (ver cuerpo C fig. 5). Dicha estructura separa los componentes de
las ventanas donde aparece nuevamente una trama vegetal.
Contemporáneo a las catedrales góticas, aparece en el Castillo del Monte ubicado en el
sur de Italia una nueva construcción fractal que tiene como elemento iniciador el
octágono (ver cuerpo C fig. 6). La misma es una construcción militar que responde a una
obsesión del emperador Francisco II con el número 8. Al octágono principal se le agregan
octágonos de menor dimensión alrededor de su perímetro, creando así una iteración de
la figura.
Otro caso en el que se aplican los fractales son los templos hindúes construidos entre los
siglos V y XVIII. Dichos templos se destacan por sus aspectos esculturales de
construcción, de hecho es muy difícil lograr distinguir las formas esenciales de estructura
de las que son sólo ornamentales o de decoración.
Uno de los objetivos principales de estas construcciones es acercarse a la divinidad, y la
mejor manera de lograrlo es a través de la comprensión del cosmos. Por ello, parecen
haber sido diseñados a partir de una conciencia de la naturaleza fractal, representando la
idea de que la totalidad se encuentra en cada una de las partes ya que en ellas de repite
en menor escala la totalidad mencionada. Un concepto que es primordial en los templos
de la India, son los tammatras, entendido como cada una de las unidades que compone
la superunidad del templo.
Un ejemplo de templo hindú que utiliza elementos recursivos y autosemejantes es el de
Kandariya Mahadey ubicado en Madhya Pradesh (ver cuerpo C fig. 7). El mismo tiene
forma de montaña compuesto por pequeñas estructuras que presentan también la misma
forma. Éstas son denominadas Shikhara, y se construyen en un determinado orden
según su altura correspondiente, comenzando en el vestíbulo el cual se sitúa en el primer
nivel, hasta llegar al último donde se encuentra el santuario. Este concepto proviene de la
idea de que al caminar por una montaña, se puede encontrar en las piedras que la
componen la forma respectiva de la propia montaña. Para la creación del Kandariya
69
Mahadey se utilizó un método basado en el Vastu-Purusha Mandala, la cual responde a
los principios del cosmos. El matemático Paul Prudence ha utilizado este método junto
con iteraciones matemáticas (basadas en fórmulas de Mandelbrot) para lograr una
reproducción animada de dichos templos. Así se puede comprobar matemáticamente
que, pequeñas versiones del templo se reproducen en el mismo templo continuamente en
una menor escala. Esta característica es visible en la interacción de las montañas que lo
componen, ya que su masa se basa en una torre central sostenida por varias réplicas que
tienen la misma forma. Dicha configuración se repite en varias escalas en modo
decreciente, y al mismo tiempo cada una de estas réplicas está soportada por más
formas iguales a la primera pero cada vez en menor tamaño.
Estos templos son claros ejemplos de arquitectura y diseño fractal, su iteración constante
en diversas escalas y autosimilitud en todo nivel dejan entender dicha conclusión
(Serrentino, 2003).
Siglos después, en el siglo XIX, se construye en París la famosa Torre Eiffel, la cual a
simple vista se puede notar que presenta una similitud al Tetraedro de Sierpinski. Al
visualizarla en planta se ve como un rectángulo en el cual se sitúan cuatro inmensos
pilares en sus respectivos vértices, ubicados sobre enormes zócalos de hormigón. Sobre
los mismos se apoyan cuatro arcos base de un diámetro de 74 metros y una altura de 40
metros. Los pilares se curvan hacia el interior a medida que se elevan en altura hasta que
se encuentran los cuatro en un centro creando así un único elemento. La estructura está
generada por 18.000 piezas de hierro las cuales crean una red estructural de vigas que le
otorgan estabilidad y resistencia a la torre. Es por esto que es muy difícil diferenciar el
interior del exterior de la misma, además de que es un ejemplo de perfecta simetría tanto
a nivel de diseño como estructural. Esta última característica mencionada es esencial
para que la construcción tenga una estabilidad y equilibrio absoluto, principio que debe
estar casi obligatoriamente presente en obras de gran dimensión semejantes a la Torre
Eiffel. Otro punto esencial para su construcción es la ligereza, es en esta peculiaridad
70
donde se puede notar en mayor profundidad la similitud que tiene con el fractal
mencionado. Mientras más número de iteraciones presenta el Tetraedro de Sierpinski
más ligero se hace, puesto que dentro de una misma área se van generando mayores
caladuras otorgando así una mayor liviandad. Entonces, cuando el número de
operaciones realizadas en la figura es muy grande al igual que la cantidad de triángulos
resultantes, su masa total encerrada es muy pequeña o casi nula. La torre está
constituida por cuatro lados iguales, los cuales tienen una forma de letra A, los mismos
no están materializados con vigas sólidas sino que con armaduras de gran tamaño. Estas
armaduras están formadas por otras armaduras, que están formadas por otras armaduras
y así sucesivamente, particularidad que permite notar que es una construcción
autosimilar, característica esencial de los fractales (ver cuerpo C fig. 8). Este análisis deja
en claro que se pueden crear estructuras ligeras que pueden soportar grandes cargas y
alcanzar inmensas alturas, ya sea utilizando un método similar al de construcción del
Tetraedro de Sierpinski o incluso al de la Esponja de Menger, fractal que responde a los
mismos principios.
Otro arquitecto precedente que cabe destacar es Le Corbusier. En 1922 propone un
nuevo concepto de inmueble villa, basado en la construcción en altura de centros
urbanos. Este proyecto se presenta finalmente en 1925 con el objetivo de brindar la
mayor cantidad de luz y aire posible en las viviendas, para lo cual se incorporan jardines
colgantes en cada una de ellas. Como se trata de una construcción pesada, esta fue la
solución más eficiente para resolver dicho problema. Las villas tienen una superficie de
168 m2, se trata de un rectángulo de 150x50 metros, a su vez, cada bloque contiene 5
piezas superpuestas que cuentan con una profundidad de 15 metros y una altura de 5,2
metros. Esto permite que cada vivienda cuente con dos alturas.
La propuesta de Le Corbusier puede compararse fácilmente con la Esponja de Menger ya
que su recurso principal son las aperturas en el volumen inicial construido, para de esta
forma lograr su objetivo. Como bien se describe previamente, mientras más caladuras
71
tiene un cuerpo, más liviano se hace, y así habrá consecuentemente una mayor entrada
de luz y ventilación (Gómez Giménez, s.f.).
4.2 Diseños contemporáneos
En 2002, se crea el Simmons Hall del Massachusetts Institute of Techonolgy, el cual fue
diseñado por Stevens Holl (ver cuerpo C fig. 9). Este parte de un cubo y tiene como
concepto principal una esponja natural, de hecho, su distribución fractal está dada por
agujeros y caladuras. Para lograr plasmar este concepto de manera eficiente se utilizan
algoritmos que permiten diseñar el proyecto con exactitud. Es decir, utilizar repeticiones
en diversas escalas del mismo objeto para de esta forma lograr un patrón que es también
repetido pero de una forma más sencilla.
Gracias a las nuevas morfologías generadas por los fractales, surge un gran espectro de
posibilidades que permiten otorgar a un diseño mayor belleza y atractivo a nivel visual
(Iturriaga y Jovanovich, 2012).
Por otro lado, otro proyecto que se destaca por utilizar la geometría fractal, en forma
similar al caso anterior analizado, es uno de los proyectos finalistas para el Centro de
Artes Escénicos de Taipei ubicado en China. El mismo fue presentado por el estudio
llamado NL Architects el cual utiliza como punto de partida este fractal creado por Menger
(ver cuerpo C fig. 10). Si bien no fue seleccionado para la construcción, vale la pena
analizar la relación que presenta respecto a llenos y vacíos. El mismo tiene como objetivo
crear un espacio público implementando como recurso principal perforaciones en el
interior determinadas por una estructura permeable para los peatones. Esta propuesta
contiene una plaza en su interior la cual se sitúa en un espacio abierto en el que los
usuarios pueden recorrer libremente en todas las direcciones y al mismo tiempo está de
una manera parcial, protegido por agentes meteorológicos. Además de esta plaza central
presenta varios caminos (escaleras) que permiten al usuario moverse en forma vertical,
es decir, subir de niveles creando así una interacción social constante. En cada uno de
72
los pisos se instalan múltiples espacios destinados a diferentes actividades como bares,
salas de música, restaurante, entre otras cosas.
4.2.1 Zvi Hecker
Este arquitecto nacido en Cracovia en 1931 se destaca principalmente por dejar en cada
una de sus obras una impronta geométrica inigualable. Explota al máximo diferentes
recursos como las asimetrías, los espirales y las formas de la naturaleza plasmadas en la
arquitectura urbana. Comenzó sus estudios de arquitectura en Cracovia hasta 1950, que
fue cuando emigró a Israel para terminarlos en el Technion en 1955. En 1991 funda su
propio estudio en la ciudad de Berlín, (Alemania) de hecho, actualmente es reconocido
por su participación en proyectos destinados para la comunidad judía alemana, entre
otros.
Actualmente sus obras son comparadas con las de Antonio Gaudí debido a su
expresividad y a la implementación de nuevas formas geométricas en la arquitectura.
Uno de sus proyectos que implementa la geometría fractal es la llamada Casa Espiral
ubicada en Ramat Gan, Israel construida en 1989 (ver cuerpo C fig. 11). La misma está
situada sobre un terreno con declive, en ella predomina el eje vertical ya que está
diseñada a partir de una serie de escalones que inician en el suelo y ascienden en forma
de espiral. Es por ello que la zona principal que rige esta construcción es el centro, en
donde se ubica un patio interior. Por otro lado, la planta baja tiene una parte destinada a
terrazas de cielo abierto y otra a galerías sombreadas y frescas en las cuales se sitúan
pasillos que contienen las entradas a los departamentos, rampas y asesores. De la
misma forma que funcionan los fractales, la idea principal del diseño es simple pero las
variaciones resultantes son muy complejas. A medida que el proyecto fue avanzando se
debieron incorporar cambios continuamente ya que surgían inconvenientes que no fueron
concebidos en la planificación, por ejemplo la utilización de piedra o concreto en crudo
debido a las paredes circulares.
73
El aspecto geométrico del diseño parte de una forma logarítmica, la cual primordial para
el orden del proyecto, aunque paradójicamente se trata de una obra de precisión
incompleta, ya que los espirales al igual que los fractales, son infinitos. La forma de
espiral determina la división de los espacios interiores, la posición de las columnas, entre
otros aspectos. Esta obra arquitectónica presenta también una autosimilitud exacta ya
que parte de un centro del cual surgen ramificaciones, estas van dando lugar a espacios
habitables iguales pero cada vez en mayor escala a medida que se asciende de nivel. Es
decir, los departamentos ubicados más arriba serán más amplios que los que se
encuentran en el inferior.
Por último la Casa Espiral tiene un dinamismo absoluto, por ende jamás será estática. La
fachada representa el aspecto caótico de la obra, mientras que el interior está
cuidadosamente ordenado respetando los espacios y sus limitaciones, característica
principal del caos (Alvarado, Saravia y Zamora, 2016).
Otra obra de Hecker que utiliza los fractales es Heinz Galinski Shule (Escuela Heinz
Galinski), construida en 1995 en Berlín (ver cuerpo C fig. 12). La misma está basada en
la representación de las formas y estructuras presente en la naturaleza. Puntualmente
parte del concepto de los pétalos de un girasol dispuestos en su forma típica de espiral.
Contiene un círculo ubicado en el centro del proyecto alrededor del cual rotan los
elementos que simulas los pétalos, combina una retícula ortogonal con otra concéntrica
creando así una simbiosis entre el caos controlado de la naturaleza y el pensamiento
rígido del hombre (García Muriel, 2014). En los pétalos es donde se sitúan las aulas, es
por ello, que la orientación de los mismos está planificada de acuerdo a la orientación del
sol, y así poder aprovechar al máximo la luz natural.
A medida que la construcción fue avanzando su forma empezó a tornarse a la de un libro
abierto, por eso también es conocida como La casa del libro. La gran mayoría de sus
paredes son curvas, los pasillos y plazas resultantes quedan fragmentadas en formas
74
irregulares, particularidad que es reforzada con los techos de diferentes alturas, que
generan también una fragmentación constante en el espacio.
4.2.2 Toyo Ito
Nacido en Japón en 1941 es considerado uno de los arquitectos más influyentes e
innovadores en la actualidad. La gran mayoría de sus proyectos tienen bases en la
naturaleza, fractales y algoritmos. Uno de los más emblemáticos es el pabellón temporal
de verano para la Serpentine Gallery 2002 en los jardines de Kensington en Londres, el
cual fue construido y diseñado junto con el reconocido ingeniero Cecil Blamond (ver
cuerpo C fig. 13). El mismo se trata de una estructura liviana que no cuenta con una
fachada ni un diseño estructural ubicado detrás, sino que es una estructura que genera el
todo del proyecto. La idea de partida de dicho proyecto consta en crear para la
composición de la estructura, un entramado de líneas que pareciera diseñado de forma
totalmente arbitraria, pero en realidad está basado en una geometría compleja. A través
de un simple algoritmo geométrico, se pudo lograr esta idea, dejando como resultado una
estética novedosa. Este algoritmo parte de un cuadrado, en el cual se conectan los
puntos medios de cada lado, con el punto medio del lado adyacente. Una vez realizados
estos trazos, los mismos se desfasan para evitar que los cuadrados futuros queden
inscritos dentro del cuadrado base. Para ello, en vez de unir los lados desde los puntos
medios, se unen desde la tercera parte de los mismos. Este algoritmo se repite siete
veces en menor escala pero con una variación constante en su ángulo, de esta forma se
genera una sucesión en espiral de cuadrados. Una vez obtenido este espiral, todas las
líneas resultantes se extienden indefinidamente para así, lograr el patrón total que sigue
por el techo y continúa por las paredes hasta llegar al suelo.
Para poder materializar esta grilla estructural final, las líneas de la cubierta se extruyen
550mm de forma perpendicular y así, estas se convierten en barras horizontales que
actúan como vigas. De la misma forma ocurre con las líneas situadas en las paredes que
75
pasan a ser barras en diagonal que ayudan a soportar la obra. Las conexiones entre una
viga principal con la siguiente son geométricamente idénticas, característica que facilita
su proceso de construcción (García Ballesteros, 2017).
La iteración sucesiva del algoritmo principal deja más que claro que, la base de esta
construcción son los fractales. Si bien no está diseñado a partir de ningún fractal clásico,
Toyo Ito con Cecil Balmond lograron crear una nueva retícula generadora de espacios.
De la misma manera ocurre con otra obra del mismo arquitecto: Omotesando (Tod's) (ver
cuerpo C fig. 14). Se trata de una tienda para una exitosa cadena de calzado italiana
llamada Tod la cual está situada muy cerca de Omotesando Hills (centro comercial) en
Tokio, Japón. El terreno presenta forma de L y tiene apenas 10 metros de frente, Ito lo
plantea como un edificio de 7 niveles y un sótano pero lo que lo diferencia es su fachada.
La misma está inspirada en la arboleda de Omotesando, pero como toda obra del
arquitecto, la generación de ella se basa en un algoritmo. Parte de la lógica estructural de
la botánica ya que el recurso principal que se utiliza es un árbol. El mismo se multiplica 9
veces, se va doblando siguiendo el perímetro en L y de esta forma logra cubrir la totalidad
del edificio. Este tiene las columnas más anchas en la parte inferior del edificio, puesto
que representa el tronco principal del árbol, luego sus ramificaciones se van haciendo
más esbeltas a medida que asciende en altura. Al mismo tiempo, aumenta también, el
número de elementos estructurales, es decir, ramificaciones. Gracias a este recurso, en
los espacios interiores se crean diferentes atmósferas en relación a los usos previstos. A
su vez, el cristal es opaco para que la visión de los compradores que están dentro de la
tienda se focalice en la estructura de hormigón.
La entrada de luz natural en el edificio es abundante, ya que cuenta con 270 aberturas,
200 de ellas son sólo cristal y 70 combinadas con aluminio. En algunos casos, la
estructura de hormigón se utiliza también como separador de espacios en el interior,
combinándola con materiales naturales como la madera, piedra y hasta incluso cuero,
para de esta forma lograr resaltar la calidad de los productos que se exhiben.
76
En la noche, gracias a la iluminación interna se logran distinguir aún más las
ramificaciones orgánicas de su fachada, creando un gran punto de atención en su
entorno (Edificio Tod Omotesando, s.f.).
4.2.3 Daniel Libeskind
Este arquitecto estadounidense de origen polaco nació en 1946 en la ciudad de Lodz.
Estudió música en Nueva York pero finalmente se decidió por la arquitectura. En la
actualidad es uno de los más destacadas en este campo, se destaca por su estilo
deconstructivista. Junto a su esposa Nina Libeskind fundó el Studio Danidl Libeskind en
1989 situado en Berlín, para luego en 2003 trasladarlo a la ciudad de Nueva York.
Una obra particular del polaco que responde a los fractales es el Victoria and Albert
Museum Espiral (ver cuerpo C fig. 15). Esta es una propuesta arquitectónica que es
diseñada junto con Cecil Balmond en el barrio de South Kensington en la ciudad de
Londres, consiste en una ampliación de dicho museo que fue construido en el siglo XIX.
Plantea una ruptura en el tiempo y espacio ya que se destaca fácilmente en su contexto
gracias al uso de la lógica matemática basada en la complejidad y el caos. Dicha
propuesta se basa en una única tira tectónica plegada que genera como resultado un
espiral ascendente de seis capas de altura. Si bien parece que carece de organización,
todos sus movimientos tienen una lógica en el proceso organizacional. Mientras se
asciende en altura, la tira compuesta por formas trapezoidales y romboidales se
comienza a chocar consigo misma creando especies de cajas puestas unas sobre otras
que al mismo tiempo se entrelazan. Si bien a simple vista parece que dicha estructura
tiene escamas no es así, esta estética está dada por principios matemáticos que
subyacen su generación. El espacio interior queda totalmente abierto y exento de
columnas, gracias a que las paredes son estructurales. Las mismas canalizan la fuerza a
través del ángulo abrupto que presentan, característica que se pudo lograr gracias a la
utilización de modelos computacionales digitales avanzados. Esta ingeniería es llevada a
77
cabo por Cecil Balmond al igual que el trabajo que conlleva la piel exterior de la
construcción. Presenta un patrón de azulejos en mosaico que está dispuesto por un
orden matemático, es decir, al igual que la totalidad del edificio, el concepto que rige el
diseño es el de caos y control simultáneo, en otras palabras la geometría fractal.
La prepuesta de rediseño del Victoria and Albert Museum fue negada debido a su
elevado costo y falta de fondos. Además recibió críticas basadas en que rompería la
estética victoriana de su entorno, eclipsando las estructuras más antiguas ubicadas cerca
del mismo. A pesar de ello, Libeskind no se dio por vencido, ya que logró construir dicho
diseño en una escala más pequeña para una escultura permanente (Langdon, 2015).
Para la materialización del proyecto, el arquitecto trabaja junto con el Grupo Cosentino,
empresa líder mundial en fabricación y distribución de superficies innovadoras para la
arquitectura y diseño. Dicha obra se ubica en la sede central del Grupo en Almería, y
conlleva el nombre de Beyond The Wall (Más allá de la Pared). En el año 2013 se exhibe
en la Semana de Diseño su versión temporal en la Universidad Statale de Milán (ver
cuerpo C fig. 16). Esta está realizada con una superficie de cuarzo Silestone en un
acabado mate llamado Suede. Dicha instalación al igual que el proyecto arquitectónico
analizado anteriormente, se basa en infinitas posibilidades de espiral policéntrico, es
decir, que no tiene un único centro ni un único eje, sino que se abre en varias direcciones
que siguen diversas trayectorias. El revestimiento tiene la misma lógica que la propuesta
anterior de Cecil Balmond, una disposición de mosaicos modernos ordenados en forma
fractal que se relacionan también con el número áureo. Toda la obra está revestida con
esta configuración que crea una lógica estructural, una misma modulación llevada a
diferentes escalas y proporciones. El patrón de dicho material presenta una semejanza
constante que si bien se repite múltiples veces, nunca lo hace de forma exacta, ya que
además de diferir en escala, difiere en la orientación. De esta forma se crea un diseño
aperiódico pero que aun así, encaja perfectamente sin fisuras debido a su lógica de
diseño (El proyecto, 2013).
78
Otra obra similar, que responde a los mismos principios es The Crown, ubicada en la
entrada del distrito de producción de materiales cerámicos en La Emilia, Italia (ver cuerpo
C fig. 17). Se trata de una estructural escultural que presenta las mismas características
que Beyond The Wall, una torre con un diseño fractal que presenta forma de espiral
ascendente recubierta en su totalidad por cerámicos que tienen también una lógica de
diseño que responde a esta geometría. Esta estructura de 25 metros de alto hace énfasis
en la verticalidad generando una tensión volumétrica (Vulijscher, 2017).
En conclusión, Libeskind crea estos diseños a partir de la geometría fractal, no sólo con
respecto al acabado de la estructura, sino que también en la morfología. Como bien se
describe previamente se basa en una estructura que puede ser prolongada infinitamente
en escalas cada vez más pequeñas: un espiral. Al no tener un eje central son infinitas las
posibilidades de desarrollo de la misma.
4.3 Detrás del diseño
La construcción existente detrás de toda obra es primordial para el proceso de diseño.
Mencionado anteriormente, el ingeniero británico Cecil Balmond es uno de los más
destacados en relación a la arquitectura y diseño fractal. Nacido en Sri Lanka en 1943,
viaja al Reino Unido en 1962 para el estudio de ingeniería. A lo largo de su vida se ha
dedicado a la música, escritura y diseño, pero sus mayores alcances los logra justamente
a través de la construcción, ya que crea un nuevo paradigma a nivel compositivo entre los
ingenieros y arquitectos contemporáneos. En 1968 se une a la compañía internacional
Arup y años más tarde comienza a dirigir su propio estudio de diseño e investigación
Advenced Geometry Unit (AGU). Aquí se dedica a estudiar y desarrollar nuevas ideas de
proyección basadas en la teoría del caos, o en otras palabras una mezcla de diversos
estados de orden. Además basa sus estudios en nuevas formas y estructuras
relacionadas con la naturaleza, tales como los fractales. Su objetivo siempre será lograr
llegar más allá de las estructuras corrientes con las que la sociedad se familiariza,
79
instauradas desde las civilizaciones griegas basadas en geometría y proporción
euclidiana.
Las bases y fundamentos de su forma tanto de diseñar como de proyectar se pueden ver
en la exposición The Hidden Order (El orden oculto) que tuvo lugar en el Museo de Arte
Moderno de Louisiana, Dinamarca en 2007. En ella se exponen las fuentes de inspiración
de Balmond, además del análisis sistemático y estético de sus creaciones a través de
materiales interactivos, modelos y bocetos dibujados a mano. Es una especie de
laboratorio en el cual los conceptos toman forma y se relacionan tanto en el espacio
como en el tiempo
La exposición está dividida en tres partes llamadas Rainbow, Flux y Network. El primer
espacio muestra a través de modelos 3D la evolución del desarrollo de la geometría y las
matemáticas a través de la historia y como las mismas se utilizan en la arquitectura e
ingeniería. El segundo espacio, Flux, está diseñado por paredes en las cuales se
proyectan películas que plasman el dispositivo geométrico preferido del ingeniero: los
fractales. Se trata de imágenes en movimiento que muestran su composición y la lógica
que rige a los mismos. Por último, en la tercera sala llamada Network, se muestra la
forma en que esta complejidad de ideas se combinan para poder lograr nuevas
estructuras y diseños (Balmond Studio, s.f.).
En 2010 presenta por primera vez su famosa instalación llamada H_edge, la cual se situó
en la Galería del Foro del Museo de Arte Carnegie en Pittsburgh (ver cuerpo C fig. 18).
Esta consiste en una instalación conformada por aproximadamente 6.000 placas de
aluminio, las cuales se encuentran suspendidas entre cadenas de acero inoxidable. Se
trata de paneles que se elevan desde el suelo, aunque a simple vista parecen que están
colgados, este recurso junto con el uso de la luz y los reflejos que genera el aluminio da
como resultado una estructura que simula un laberinto. A simple vista se puede notar que
las placas están organizadas de cierta forma que generan huecos en ciertos puntos,
algunos de los cuales son destinados a espacios de recorrido, si bien parece ser una
80
decisión aleatoria no es así. Los fundamentos de la disposición y organización de la
instalación están basados en teorías matemáticas complejas del el fractal Polvo de
Cantor en tres dimensiones y de la Esponja de Menger.
El H_edge, es presentado nuevamente en distintos lugares y eventos relacionados al
diseño. Uno de ellos tiene lugar en Tokio Opera City Art Gallery, Japón, en 2010. En esta
galería se expone una exhibición llamada The Element (El Elemento) también diseñada
por Balmond. En la misma, al igual que The Hidden Order, se exponen tres salas en las
que se explica los procesos morfológicos, retículas provenientes de la naturaleza que
influyen como inspiración, modelos 3D, entre otras cosas. Junto a la instalación
mencionada, se presenta una nueva que responde también a la geometría estudiada.
Uno de ellos es llamado Danzer, se trata de una especie de rompecabezas tridimensional
de grandes dimensiones (ver cuerpo C fig. 19). Está formado por cuatro tipos de
tetraedros, que a su vez, cada uno de ellos está incrustado con varias versiones en
miniatura de los mismos. Obviamente, a dicha instalación le corresponde un orden fractal
de organización, ya que son elementos que contienen elementos iguales pero en menor
escala.
Al igual que esta instalación, el ingeniero recurre a logaritmos matemáticos para la
realización de sus obras arquitectónicas, obviamente con un nivel superior de
complejidad. En la mayoría de los casos, la lógica de sus construcciones y su forma de
proyectar se basa en la geometría fractal. Balmond ha trabajado con grandes arquitectos
aparte de los mencionados, tales como Rem Koolhaas para la realización de la Casa de
Música en Oporto en 2005, o Anish Kapoor con quien diseñó el Marsyas, para la Tate
Modern ubicado en Londres en 2002. (Forum 64: Cecil Balmond, 2009).
Además de obras arquitectónicas, Balmond ha diseñado interiores que implementan esta
geometría como por ejemplo un espacio de exposición en Fuorisaleone, Milan (ver
cuerpo C fig. 20). Éste está creado a partir de una caja estructural que hace de
revestimiento en la sala, se trata de techos, paredes y pisos falsos que generan un
81
ambiente totalmente conectado. Son estructuras de madera liviana las cuales están
revestidas con paneles de acrílico facetados, este es reflectante pero al mismo tiempo
opaco. El espacio está destinado a la muestra de joyas por ende, uno de los objetivos es
representar una naturaleza reflectante y refractiva que destaque las piezas exhibidas.
Para ello, cada panel de acrílico está cubierto por una película de transferencia acrílica
cortada con láser dejando fisuras que también son reflectantes. Tanto el patrón de los
paneles como el diseño interno de cada uno de ellos dados por las caladuras del láser se
repiten constantemente en diferentes direcciones aunque siempre en la misma escala.
De la misma forma se construye una escultura en forma de pantera que responde a la
misma lógica de construcción, la cual se complementa perfectamente con la
ambientación generando así una conexión entre los elementos. Esta iteración constante
tanto de los paneles acrílicos como de la trama que se presenta dentro de ellos, es lo que
hace que al espacio se lo considere fractal, además de la fragmentación y rotura
permanente (Balmond Studio s.f.)
Muchos arquitectos reconocidos quieren trabajar con el famoso ingeniero, ya que es muy
aclamado debido a que no sólo da forma a la idea que los arquitectos le presentan, sino
que también lleva las mismas a un nivel más elevado en términos constructivos dando
como resultado creaciones innovadoras.
La geometría fractal planteada por Balmond da lugar a un aumento de posibilidades de
diseño tanto arquitectónico como interior, ya que permite dejar de lado el concepto de
estático y cerrado basado en formas corrientes euclidianas como el cuadrado o
rectángulo. Así se crea una nueva forma de construir diseños dinámicos y orgánicos
basados en la complejidad. Las ideas base del ingeniero son algoritmos simples, pero
que sin el uso de la tecnología moderna de computación y construcción no se podrían
realizar.
Uno de los objetivos de él, es despertar en el espectador, instintos que se encuentran
adormecidos, a través del estímulo de sus mentes y sus sentidos. En vez de imitar la
82
geometría de la naturaleza de forma literal, desarrolla a partir de la misma una geometría
compleja de organización para el proyecto. De esta forma, logra liberar el diseño de los
marcos convencionales a través del encuentro de un orden y ritmo que residen dentro de
la naturaleza. Logra transformar la belleza que se plasma en ella en geometría pura para
su perfecta racionalización y realización.
En la arquitectura, la estructura brinda un modelo organizativo, a través del cual se deben
soportar las cargas del edificio, así como también a todos los elementos que lo
componen. El propósito de la misma es proporcionar un esqueleto el cual pueda
fortalecer a la construcción de la forma más eficiente que sea posible. A pesar de ello, el
ingeniero siempre encuentra la forma de crear dicha estructura con fluidez y flexibilidad,
particularidad que le otorga al diseño una gran distinción frente a otros. De esta forma
logra que el diseño no sea inmóvil, sino que la estructura genera una energía cinética
desbordante. Blamond es influenciado por los ritmos incluidos en los códigos genéticos
de diferentes organismos presentes en su ambiente circundante. A partir de ello se
cuestiona constantemente si es posible trasladar esta ley de composición natural a la
construcción, es decir, si la arquitectura puede surgir de forma natural a través de sus
propios códigos a través de respuestas que se adapten a factores y condiciones
complejos que surgen constantemente en el proceso de materialización (Etherington,
2013).
83
5.1 Traducción de fractales al espacio
Para una mejor comprensión de las diversas formas que existen de implementar la
geometría mencionada al entorno creado por el hombre, se debe comenzar desde el
principio de todo diseño. El mismo puede ser percibido recién en el ciclo final de la
construcción, es el resultante de varias operaciones y manipulaciones de distintos
elementos geométricos. Estos se expresan mediante la composición de espacios
compuestos por volúmenes, creando de esta forma un juego entre llenos y vacíos, en
otras palabras, la forma aparente y oculta al mismo tiempo. Esta particularidad da como
resultado, una estructura que forma recorridos dados por intercepciones ondulantes o
angulosas, bordes cóncavos y convexos y porque no, por el juego de luces y sombras
que la misma genera.
5.1 Principios básicos para diseñar
La primera etapa de todo diseño se la denomina proyecto, en esta, la geometría juega un
papel fundamental, ya que se impone como condición para proyectar y determinar la
espacialidad biológica del mismo. Se asume que la forma es contenedora y también
contenida de un espacio. La misma es limitante y limitada, y se define como la parte
tangible de la geometría. Estas limitaciones no son incuestionables, ya que son creativas
y se apropian del espacio siempre de formas diferentes dependiendo el concepto del
proyecto.
Los fractales se plasman en un diseño tanto a nivel bidimensional como tridimensional
generalmente aplicando una forma sencilla y una determinada lógica estructural. Los
elementos esenciales que están presentes en este tipo de proyectos son la no
lineabilidad, la rotura, la fragmentación y por sobre todo la autosimilitud de diferentes
elementos en diversas escalas dando como resultado que el conjunto de todos ellos se
pueda leer como la totalidad de la obra. Otra característica que también puede estar
presente es la utilización de un patrón de transformación y de crecimiento progresivo al
84
cual se lo puede llamar módulo o semilla de transformación. Éstos se pueden repetir
constantemente ya sea alterando sus proporciones o bien su posicionamiento. El mismo
puede variar haciendo rotar sus ejes o bien espejándolo creando así, un juego de
encastre entre los mismos para lograr como resultado final una grilla estructural que guíe
la totalidad del proyecto. Los movimientos y alteraciones de estos módulos dan como
resultado morfologías orgánicas. Cabe destacar que las morfologías orgánicas no
siempre están dadas por la lógica fractal, en algunos casos se implementan las que
conllevan una dimensión exacta como lo es el círculo. A pesar de ello, la mayoría están
estructuradas a partir de operaciones geométricas que guían la totalidad del proyecto
desde su esqueleto de construcción hasta sus mobiliarios y ornamentos.
El intento de trasladar la lógica fractal de forma literal y mecánica al diseño de espacios
es un pensamiento ingenuo, ya que es imposible que presenten una autosimilitud infinita
en variaciones de escalas. Al utilizar este tipo de geometría se captan las esencias, leyes
estructurales, y significados que tiene dicho orden. Se pueden utilizar también analogías
para su representación o bien metáforas naturales como por ejemplo mediante el uso de
la morfología de un árbol, una flor o hasta incluso una montaña. De hecho, uno de los
objetivos de esta rama del diseño es aproximarse a las apariencias del mundo natural
mediante la imitación, dejando como resultado que un diseño pueda ser fácilmente
identificado con su elemento de inspiración. Diseñar con los lenguajes naturales permite
crear una armonía entre la obra resultante y su propio entorno ya que ambos presentan
mismas leyes de organización. A través de este lenguaje se puede representar lo
ondulado, lo cristalino y hasta lo catastrófico entre otras particularidades.
Al momento de organizar las herramientas de proyección para diseños fractales se
pueden distinguir tres tipos de conjuntos diferentes: contenedor, contenido y dualidad. El
contenedor es el que define de manera abrupta el perímetro de la forma y lo que la
misma contiene con el entorno en el que se encuentra, generalmente es utilizado en
climas fríos ya que se obtiene como resultado una estructura totalmente cerrada a nivel
85
conceptual. El contenido es la suma y asociación de las partes homólogas, de esta forma
se crean estructuras dadas por el patrón de crecimiento que genera una geometría de
carácter auto-semejante. Aquí la parte está contenida en el todo, y el todo está presente
en la parte. La dualidad se caracteriza por reunir dos tipos de morfologías diferentes o
bien elementos que contienen principios de generación totalmente distintos. A diferencia
de la tipología anterior, los dos elementos se mezclan y/o cruzan ya sea mediante el roce
de los mismos, es decir, una tangente o por la intersección de ellos. De esta forma se
evidencia con claridad la contraposición de dos tipos de morfologías que dan como
resultado una sola.
Por otro lado, toda expresión fractal destinada al diseño responde a una de las siguientes
analogías: la geométrico – matemáticas y la perceptual. La primera busca reconocer los
principios geométricos y morfológicos en los procesos constructivos de la naturaleza
animal, vegetal y mineral a través de esquemas matemáticos abstractos. Las analogías
perceptuales en cambio, se basan en la captación intuitiva de los principios que rigen a
los fractales y a las leyes complejas que estos poseen y en la forma en que se aplican al
diseño. Estas leyes pueden ser un patrón de crecimiento, organicidad, movimiento, entre
otras variables.
Una vez determinada la analogía a seguir existen también dos maneras diferentes de
generar dichos fractales. Éstas pueden ser a través un diseño paramétrico o bien por
medio de recursos gráficos. El uso del primero consta en crear diseños a través de
puntos, líneas, curvas o superficies, dicho de otra forma a través de una o más variables
que son determinadas por el creador. Las mismas se encuentran dentro de intervalos
definidos y aplican a cierta fórmula propuesta, para la representación de este tipo de
generación se utilizan diferentes softwares tales como Rhinos o SketchUp. La segunda
forma de generación se implementa por medio de trazados o métodos como la sección
áurea.
86
Aunque parezca difícil de racionalizar, las características mencionadas no sólo se pueden
aplicar al momento de diseñar un proyecto, sino que también a los aspectos
constructivos, tecnológicos y de distribución o dicho en otras palabras, de constitución de
espacios arquitectónicos. Por ejemplo, la auto-semejanza puede estar dada en el interior
de una casa al relacionar cada espacio a una misma morfología que los conecta entre sí,
o bien, esta relación puede estar generada por la presencia de patrones geométricos en
todos los ambientes. También se puede apreciar una variedad de escalas en múltiples
objetos, tales como el vano de una abertura, una estantería, lámparas colgantes,
estampados o hasta incluso la morfología de un techo. La iteración por otro lado, se
puede notar cuando los espacios de una vivienda siguen un patrón de crecimiento
armónico que los unifica bajo una misma lógica o un algoritmo de generación simple. La
simetría es otra característica que también se puede plasmar en estos espacios. Ésta es
la que origina los fractales deterministas mediante movimientos de transformación, es por
ello que le otorga a una vivienda un equilibrio excepcional, junto con una compensación
formal y espacial.
5.2 Memoria descriptiva
Esta propuesta espacial está inspirada a partir de un elemento natural que está
conformado por fractales, los árboles. La trama que estos mismos generan cubren la
totalidad de la persona, por debajo de ella se manifiestan las raíces, por sus costados los
enormes troncos, y por encima las ramificaciones junto con sus hojas que parecen cubrir
el cielo dejando pequeñas caladuras entre ellas, pudiendo de esta manera visualizar el
cielo. A partir de estas características, se busca generar diferentes sensaciones en el
usuario para explotar al máximo sus sentidos, tanto visuales, como los relacionados con
la percepción del entorno.
87
Como bien se explica en capítulos anteriores, la geometría fractal es la correspondiente a
la naturaleza, es por ello que se toma el árbol como punto de partida para ser
representado a través de la misma.
La idea de que un árbol es fractal parte desde la explicación de su crecimiento, es decir,
inicia desde el tronco, el cual se va ramificando en micro estructuras similares
reiteradamente. Esto quiere decir, que tienen una autosimilitud, ya que su estructura
geométrica es recursiva. Dentro de cada elemento de orden mayor está compuesto por
otros elementos de orden menor, de hecho, una rama por si sola podría considerarse
como un árbol pequeño.
Cabe destacar que sus hojas, son también, elementos fractales. Las de tipo reticuladas
por ejemplo, contienen una red de venas de distintos tamaños organizadas por una
jerarquía: una vena central o principal que atraviesa la hoja en forma vertical dividiéndola
en dos, de la cual nacen las venas laterales o secundarias. De la misma forma, de las
venas secundarias nacen las terciaras, las de cuarto orden nacen de estas últimas, las de
quinto orden de las de cuarto orden, y así sucesivamente.
Si bien estos elementos no son fractales creados por el hombre, presentan dicha
geometría dispuesta de manera natural. A pesar de ello, el proyecto se basa en
representar los árboles pero no a través de su generación natural, sino que su utilizarán
fractales matemáticos, específicamente una trama compuesta por hexágonos los cuales
se van ramificando de manera similar a lo que ocurre con el crecimiento de las ramas y
las raíces. Esto quiere decir que se respeta su carácter autosimilar para que de esta
manera se pueda percibir la esencia de la estructura original de los mismos.
Mediante la utilización de éstos recursos se busca crear un espacio en el cual los
usuarios frecuentes del perímetro elegido para su instalación, se sientan atraídos por la
forma que estos se proyectan al complementarse entre sí y con su al rededor. Si bien se
trata de un pabellón artificial y no de un elemento natural, se logra una fusión del mismo
con su entorno creando así, un juego con respecto la percepción de los límites.
88
Uno de los objetivos principales de dicho diseño es crear una relación del mismo con el
entorno, no sólo a nivel constructivo sino que también a nivel conceptual. Es por ello, que
además de ser un proyecto caracterizado por implementar la geometría fractal en su
proyección, se lo ubica también bajo la categorización de diseño orgánico, ya que genera
una armonía entre el mundo natural y el hábitat del ser humano. La obra resultante es
una clara proyección de la naturaleza y lejos se encuentra de desafiar a la misma. Uno de
los principios que se aplica de dicha rama de la arquitectura, es que el resultado final
termina siendo parte de un todo, y sin ese todo, la misma no sería nada. Esto quiere
decir, que si la ubicación del proyecto fuera otra, no tendría el mismo valor y riqueza ya
que carecería de significado. Al situarse en un ambiente verde, rodeado de grandes
árboles se complementa a la perfección creando una unificación sutil entre el contenido y
el contenedor.
5.2.1 Implantación
El proyecto está situado en la Plaza República del Ecuador, ubicada dentro del perímetro
del Parque 3 de Febrero. La misma se encuentra en Capital Federal en el barrio de
Palermo y está delimitada por calles Avenida Dorrego y en el punto justo donde se abre
la importante Avenida Pres. Figueroa Alcorta. Dicho parque es uno de los más
importantes de la ciudad, su acto de inauguración oficial tuvo lugar el 11 de Noviembre de
1875, en el mismo se contó con la presencia de Nicolás Avellaneda, en ese entonces
Presidente de la Republica. El proyecto fue iniciativa de Domingo Faustino Sarmiento, y
llevado a cabo por los arquitectos Ernesto Oldendorf, Fernando Mauduit y Jordan
Wysocky, en 1876 fue su finalización oficial realizada por el también arquitecto Jules
Dormal. Durante 1892 y 1913 se realizaron ampliaciones las cuales estuvieron a cargo
del paisajista Carlos Thays.
El Parque 3 de Febrero se encuentra ubicado entre las avenidas Leopoldo Lugones y Del
Libertador, ocupando un total de 370 hectáreas. Además de contener zonas de acceso
89
libre las cuales abarcan la mayor proporción del terreno, también se incluyen en el mismo
el Campo de Golf y el Hipódromo. Además contiene atracciones para visitar tales como el
Planetario, el Rosedal, el Jardín Japonés y el Museo Sívori. (Parque 3 de Febrero, 2015).
Por otro lado, cuenta con cuatro lagos que fueron creados como parte del diseño
paisajístico que si bien son lagos artificiales contienen diferentes especies de vegetales y
animales. Algunas de las especies que se pueden encontrar dentro de ellos son bagres,
mojarras, anguilas, morenitas, camarones de agua dulce, tarariras, dientudos, mojarras y
palometas. También cuenta con la presencia de varias aves tales como el carau, el
marca y los gansos (Buenos Aires Ciudad, s.f.).
Los mismos reciben el nombre de Lago Victoria Ocampo, el Lago del Planetario, el Lago
del Rosedal y el Lago Regatas, siendo éste último el que ocupa mayor superficie por lo
cual contiene el ecosistema acuático más grande de Capital Federal. El paisaje del
Parque en su totalidad es uno de los más ricos de la ciudad. En primavera florecen los
jacarandas, el perfume de los eucaliptos se intensifica y los ceibos aportan un color rojo
que se apropia del lugar. Sin embargo, en invierno la imagen del mismo no se queda
atrás ya que es la estación en la cual florecen las rosas que predominan en una gran
parte del espacio.
La elección del lugar para ubicar la propuesta espacial, está dada debido a las
condiciones de esta plaza. Se trata de una manzana entera de espacio verde despojado
conformada por 44.430 metros cuadrados aproximadamente. En la misma se haya un
gran número de árboles, cerca de 200, los cuales corresponden a diversas especies.
Entre ellas se puede nombrar tres arboles latifoliados caducifolios tales como el Celtis
ehrembergiana (Celtis tala) proveniente de la familia de las Ulmaceas, Jacarandá
mimosifolia (Jacarandá) de la familia de las Bignoniáceas y Quercus palustris (Roble
palustre) de la familia de las Fagáceas. Otras especies que se pueden encontrar son la
Casuarina cunninghamiana (Casuarina) latifoliado perennifolio correspondiente familia de
las Casuarinaceas y Schinus areira (Aguaribay) latifoliado perennifolio de la familia de las
90
Anacardiáceas. Dichos árboles se encuentran dispuestos en los perímetros de la plaza,
de modo que queda el centro totalmente libre, son alrededor de 16.125 metros cuadrados
de espacio disponible para la instalación del proyecto, este espacio tiene alrededor de
Los artefactos de iluminación están instalados también de la misma forma con el
propósito de iluminar las calles que la bordean.
Potro lado, es un punto caliente de la ciudad, ya que es un lugar muy recurrido ubicado
en una intersección de avenidas de alto tránsito. Además de ser un lugar utilizado para
sentarse a disfrutar del espacio verde o de paseo, una actividad frecuentemente realizada
por los usuarios es la práctica de deporte, tales como correr o bien la propia ejercitación,
es por ello que el proyecto se ubicará en el medio de la plaza dejando libre los
alrededores para la realización de dichas actividades.
Cabe destacar que un elemento ausente en este espacio y de suma importancia y utilidad
es el mobiliario urbano, el lugar no cuenta con bancos para que los usuarios puedan
descansar. Debido a ello se cree de suma importancia crear un espacio de encuentro en
el que los peatones puedan interactuar con el mismo en diferentes niveles. Además de
cumplir la función de un espacio de recorrido, el pabellón diseñado tiene como finalidad
también, ser un espacio de estadía gracias a la implementación de bancos e iluminación.
Otra característica de la Plaza elegida es que no se encuentra sobre ninguno de los
cuatro lagos mencionados. Si bien el Lago Regatas y el Lago del Rosedal se encuentran
cerca, desde la plaza no es posible apreciarlos. Ésta es otra particularidad que se toma
en cuenta para la ubicación del diseño, ya que si bien no se plantea un lago artificial, el
proyecto está conformado por espejos de agua, siendo este un reemplazo de los lagos.
La presencia de agua en el entorno se cree de suma importancia para lograr un espacio
con mayor armonía dentro de tanto pastizal y arboleda. Éstos elementos mencionados se
complementan entre sí para generar en el usuario una sensación de mayor relajación y
bien estar.
91
5.4 Proceso morfológico
La geometría cumple un rol fundamental en cualquier proyecto, puntualmente en el
proceso de diseño que se plantea a continuación tiene un papel fundamental en relación
a la totalidad de su morfología.
Como se explica previamente, existen diferentes tipos de conjuntos en relación a las
herramientas utilizadas para proyectar, en este caso, el diseño es de contenido. Se crea
una estructura en la que se pueden apreciar diferentes partes por separado pero que al
mismo tiempo se complementan y hacen el total de la envolvente. Es decir, se utiliza un
patrón auto-semejante determinado por el crecimiento de un elemento que interviene en
la totalidad del espacio. En este caso en particular es la forma hexagonal que se
encuentra presente en la estructura del techo y también del solado.
Se puede afirmar que la analogía que se utiliza para la creación del pabellón es tanto
geométrico matemática, como perceptual. Se la cataloga bajo el concepto de geométrico
matemática debido a la morfología del mismo, ya que está basada en los principios
constructivos de un elemento natural, en este caso, un árbol. Si bien se toma esta
analogía como base, la misma se plasma a través de principios y leyes presentes en los
fractales tales como la organicidad, la iteración y escalonamiento de un mismo patrón, es
por ello que también es de tipo perceptual.
Para la generación del pabellón se recurre al diseño paramétrico, ya que está diseñado a
partir del uso de líneas dispuestas según el propio criterio del diseñador. Estas se utilizan
de modo que responden a una variable constante y a un intervalo definido.
En el proceso morfológico del presente diseño se toma como elemento base la forma
hexagonal, la cual rige la totalidad del proyecto ya que está presente en todas sus partes.
Se crea una trama principal que responde al orden fractal, la cual está compuesta de la
siguiente manera: se plasma un hexágono inicial, a continuación se multiplica el mismo
seis veces pero en una escala inferior, exactamente se realiza una reducción a la mitad.
Los mismos serán llamados hexágonos de segundo orden y son colocados en los
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vértices del primero (ver imagen21a). Esta composición es el sistema de orden principal
del fractal tomado para el proyecto. Una vez realizadas estas operaciones se toman los
hexágonos de segundo orden y dentro de ellos se vuelve a repetir el patrón. De esta
forma da un resultado de 6 hexágonos de tercer orden y 36 de cuarto orden (ver imagen
21b). Si bien la repetición de este logaritmo podría ser infinita, se reduce hasta este
punto, ya que es hasta donde puede ser percibido de forma clara una vez materializado.
A partir de la obtención de la trama fractal, se agregan entre los hexágonos segundos los
de tercer y cuarto orden para crear una trama más continua, de la misma forma que
ocurre con el resto de los espacios vacíos del hexágono inicial (ver cuerpo C fig. 22). Esta
composición resultante conforma un hexágono mayor el cual será llamado hexágono
principal o de primer orden.
Una vez creado el patrón generador principal se lo multiplica ocho veces, estos se
disponen de cierta manera para crear una interconexión entre ellos generando así, una
gran ampliación de la trama inicial (ver cuerpo C fig. 23). El resultado de esta operación
es la grilla morfológica con la cual se proyecta todo el diseño. Cada uno de los
hexágonos principales en la trama representa un módulo que hace de envolvente
espacial tanto en sentido horizontal, como vertical, es decir, atraviesa al usuario por
arriba del él mismo, por los costados y por debajo. Estos módulos representa un árbol y
está compuesto por cuatro elementos: el techo o copa del árbol, los soportes que
representan el tronco, y las raíces, los tres generados por la trama mencionada. El último
elemento es una pasarela, la cual está ubicada estratégicamente de modo que las
personas puedan recorrer el espacio con la sensación de que caminan por encima de las
raíces.
Tanto las estructuras que corresponden al solado como a las del techo, proyectan dicha
trama, solo que a partir de ciertas transformaciones para su materialización quedan
levemente modificadas. En primer instancia, los hexágonos de primer orden son
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subdividas en seis piezas iguales para poder manipularlos más fácilmente (ver cuerpo C
fig. 24).
En cuanto a la representación de las copas de los árboles, es decir, al techo, lo que se
incorpora son seis estructuras verticales para que actúen como soporte. Estas se
encuentran ubicadas en el centro del hexágono y se unen al mismo mediante una
curvatura (ver cuerpo C fig. 25).
Para el diseño del solado, la trama se dobla también en el centro para incorporar un eje
Y, es decir, en sentido vertical y de esta forma encajar con las estructuras anteriormente
descriptas (ver cuerpo C fig. 26a). Luego se incorpora una pasarela sobre la trama
también en forma hexagonal (ver cuerpo C fig. 26b).
Una vez modificados y encastrados estos elementos, se da forma al módulo mencionado,
el cual va a ser repetido ocho veces (ver cuerpo C fig. 27).
Para agregar dinamismo al diseño, las copas de los árboles no quedan en posición
horizontal, sino que se curvan creando ondulaciones en el plano que se encuentra por
encima de los peatones (ver cuerpo C fig.28). Estas ondulaciones se amoldan a las
siguientes operaciones: se toman los ocho hexágonos y sobre el eje Z se crea una
curvatura cóncava. Luego, se toma el eje X y se divide imaginariamente en dos. En el
lado derecho se genera otra curva cóncava pero en menor escala, la misma se reduce un
25 por ciento. En el lado izquierdo se aplica la misma operación con igual escala pero
esta vez en forma convexa (ver cuerpo C fig. 29).De acuerdo a la ubicación de cada
módulo dependerá las curvas que este plasme, es por ello que las piezas no son
constantes con respecto a su altura. Las mismas varían desde 2,80 metros hasta 7,50
metros.
Para comenzar la realización del proyecto, se definen en primer lugar las dimensiones del
mismo. El largo de cada lado de cada uno de los módulos, tienen una medida
correspondiente a 6 metros. Estos son colocados sobre espejos de agua que tienen
también una forma hexagonal. Los mismos son levemente más grandes que los módulos
94
ya que miden 6,30 metros por lado, dejando una separación de 60 centímetros entre las
raíces de cada módulo (ver cuerpo C fig. 30). Para poder lograr una conexión entre cada
uno de ellos se deben diseñar dos subtipos de módulos. Ambos presentan otras tres
pasarelas ubicadas exactamente sobre los hexágonos de cuarto orden ubicados en el
centro de los lados correspondientes al extremo de la forma, estas tienen un largo de 90
centímetros y un ancho de 1,95 metros. Lo que diferencia a uno del otro es la ubicación
de las mismas, el módulo A las contiene en tres lados contiguos, mientras que el módulo
B las contiene en tres lados opuestos. Se implementan cuatro repeticiones de cada uno
dispuestos estratégicamente para que de esta manera se logre que todos se conecten
entre sí, y al mismo tiempo con el exterior, dejando cuatro caminos de ingreso y salida al
pabellón (ver cuerpo C fig. 31).
Otra de las medidas principales en el proyecto son las de la pasarela ya descripta, ya que
corresponde a las dimensiones que tiene el circuito por el cual el usuario se puede
trasladar. La misma mide 5,10 metros de largo y 2,10 metros de ancho.
Por otro lado, se decide generar una elevación de 90 centímetros justo en la mitad del
diseño, esto se produce para otorgar mayor dinamismo al recorrido interior de la
instalación. Para ello se debe hacer una elevación del terreno que respeta la medida
mencionada, creando así, una pequeña rampa generada por el mismo entorno para
acceder al espacio diseñado. Se implementan dos escaleras dentro del diseño para el
ascenso y descenso de los niveles, las cuales se colocan sobre dos de las últimas
pasarelas descriptas .
5.4 Materialización
La totalidad de la trama está materializada por una estructura metálica ya que se
considera el material más adecuado para su construcción debido a las grandes ventajas
que posee. Se trata de una estructura en la cual todas sus partes están compuestas por
materiales metálicos, mayormente de acero. Éste tipo de estructuras permite al
95
diseñador, crear con gran libertad debido a que es altamente manipulable. En cuanto a lo
estético, aporta una elegancia, simplicidad y colorido que genera en las personas una
sensación de esbeltez y ligereza de la construcción. También es fácil de combinar con
otros materiales, facilitando así, el proceso que respecta al diseño de revestimientos. Por
otro lado, cuenta con una gran resistencia y una alta tecnología de rendimiento. Su peso
es reducido y el montaje se puede controlar fácilmente de manera visual. Para cumplir
con la categorización de diseño orgánico, se tuvieron en cuenta las ventajas ambientales
que las estructuras metálicas poseen. Se trata de un material reciclable que no contamina
el entorno durante todo su ciclo de vida útil, ni tampoco al final del mismo. Tiene una baja
tasa de polución ambiental tanto en el proceso de traslado como en el de construcción.
Por último se considera un factor importante las ventajas económicas que este ofrece, su
montaje es rápido y de fácil realización al igual que la construcción de las instalaciones.
Brinda también la posibilidad de realizar mejoras o cambios fácilmente, lo mismo ocurre
con su mantenimiento y desmontaje ya que es de bajo costo. Tiene una larga vida útil y
hasta puede ser reutilizado. Otra ventaja que ofrece dicha estructura es que puede ser
fácilmente diseñada mediante el softwore CAD, herramienta de la cual todo diseñador
tiene conocimientos.
En lo que respecta a las pasarelas, se materializan con hormigón que cuenta con un
acabado de microcemento para exteriores color perla con terminación mate. La elección
del material se debe a las grandes ventajas que éste posee. Solo se aplica en una fina
capa de 2 a 3 milímetros de grosor y su composición ofrece una alta adherencia a casi
todas las superficies, entre ellas al hormigón. La aplicación del mismo permite que el
espacio recubierto pueda ser transitable en un corto periodo de tiempo luego de su
instalación, se estima aproximadamente 24 horas, esto se debe a su rápida ejecución.
Este material también es antideslizante y completamente impermeable, característica que
permite colocarlo en exteriores sin que sufra desgaste. Es muy resistente a la fuerza
mecánica, abrasión y hasta incluso a los rayos ultravioletas. Además no se agrieta ni se
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cuartea. Otra gran ventaja es que este sistema no requiere juntas de dilatación, es decir,
que no se deben colocar piezas movibles por lo cual, no hay posibilidad de que se
produzcan futuros inconvenientes tales como roturas o desprendimientos. Por último se
tiene en cuenta su costo, el micro cemento es una de las mejores opciones en relación a
calidad-precio, ya que su valor es bajo de la misma forma que lo es su mantenimiento:
económico y por sobre todo fácil de realizar.
Otro de los elementos dentro del módulo son los espejos de agua. Los estanques que
contienen a los mismos, están ubicados por encima de la tierra y son realizados también
con hormigón respetando una profundidad de 20 centímetros. De esta forma se evita la
realización de pozos en la tierra con el fin de intervenir lo menos posible en el espacio
elegido. Cabe destacar que este recurso de diseño es el de mayor valor en relación a los
anteriores ya que necesita un bombeo y desagüe constante para mantener el agua
limpia. La utilización de los espejos de agua es un elemento de suma importancia en el
proyecto debido a que continúa con el juego de percepción de límites del espacio. Al
mismo tiempo refuerza el concepto fractal de todo el diseño ya que simula más
repeticiones de la trama, creando así la sensación de infinito y generando en el usuario
una confusión de donde empiezan y terminan tanto las estructuras reales como las
reflejadas.
Una vez resuelto los materiales que se utilizarán en cada uno de los módulos, se
prosigue con los elementos restantes que decoran y realzan la trama envolvente. En las
partes que quedan libres por resultado de la disposición elegida para los hexágonos se
implementan cuatro cascadas, las cuales están revestidas también por micro cemento
impermeable color negro (ver cuerpo C fig. 32). La estructura tiene una altura de 1,90
metros de la cual desciende el agua y cae en un estanque de 55 centímetros de alto.
Este elemento también es utilizado en el muro que reviste la elevación pero en este caso,
el agua cae sobre los espejos de agua.
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Otro elemento de diseño que se incorpora es el arbusto boj, al cual le corresponde el
nombre científico de Buxus sempervirens. Originario de Europa, alcanza entre dos y doce
metros de altura, es tolerante al sol y soporta temperaturas bajas hasta -15ºC. Es una
especie ideal para el arte topario, su hoja es perenne, pequeña, brillante y resistente de
color verde oscuro. Se adapta a todos los tipos de suelo y su riego debe ser moderado.
En este diseño, la poda escultural del boj le da una altura de 2,30 metros y una forma
oval. Los arbustos son ubicados en los módulos A descriptos anteriormente. Se colocan
cuatro unidades por módulo dando un total de 16 en todo el diseño. En los lados que se
ubican los mismos se suprime la trama para su mejor instalación. (ver cuerpo C fig. 33).
Por último pero no menos importante, se instalan bancos para que la gente que circula
pueda permanecer en el espacio. Éstos están construidos con hormigón del mismo color
que el solado para de esta forma evitar el corte y crear una continuación entre los dos
elementos. Los bancos no son colocados de forma aleatoria sino que también responden
a los módulos A y B. Se ubica uno por módulo dispuesto en el lado que se cree más
convenientes para aprovechar al máximo la visual y comodidad de los usuarios (ver
cuerpo C fig. 34).
El resultado final del diseño responde en todos sus aspectos la geometría fractal. Esta
particularidad se puede notar tanto en su composición generativa como en la morfología
que representa.
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Conclusiones
A partir de lo estudiado se puede llegar a un análisis de mayor profundidad acerca del
uso de la geometría fractal en el diseño espacial. Como bien se describe en el presente
Proyecto de Grado, es primordial entender en primera instancia los elementos que
componen al espacio. De esta forma se facilita la elección de los recursos disponibles
para crear un lugar que responda a las necesidades del usuario. Estos elementos pueden
ser desde formas abstractas, uso de llenos y vacíos, iluminación, hasta revestimientos o
mobiliarios.
Por otro lado también se considera importante el estudio panorámico de la geometría, los
principios básicos que la misma conlleva y su evolución. Es por ello que se analiza la
euclidiana seguido de la elíptica y la hiperbólica. De esta forma se logra racionalizar de
una manera más clara ante que se enfrentan los novedosos fractales. Una vez entendida
su historia, la forma en que los mismos son generados, sus características esenciales y
hasta su relación con el caos, se puede entender como aparecen en diversos diseños.
Cabe destacar el uso de este recurso previamente a ser descubierto. Esto se puede
reflejar en algunas de las construcciones analizadas, así como también, está presente
con seguridad en muchas otras que no fueron mencionadas. Dicha característica deja
entender como la geometría fractal es requerida de forma inconsciente ya sea por su
practicidad o bien, por la armonía que ella transfiere al ser implementada.
El lenguaje fractal es capaz de transmitir una gran diversidad de mensajes mediante
diferentes acciones formales: sustracción, superposición, adición, rotación, traslación y
hasta incluso la variación de escala. De esta forma se articulan las ideas complejas de
iteración constante, infinidad y totalidad, principios que rigen este tipo de geometría.
Como resultado de este conjunto de acciones de construcción y de diseño, se logra crear
un espacio que plasma una armonía dada por la presencia de la proporción en todas las
partes que componen la pieza final.
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En la actualidad, los fractales se consideran un orden de diseño indispensable para lograr
una traducción de formas y organizaciones naturales en el entorno en el cual el hombre
habita. Esta forma de diseñar puede ser la consecuencia de querer realizar entornos
vivos para seres vivos, lo cual es sólo posible a través del estudio, observación, análisis y
experimentación de las geometrías que se encuentran en los elementos biológicos que
rodean al ser humano.
Gracias a la proporción de todas sus partes se genera una belleza innata además de un
dinamismo y efecto de movimiento dado por su carácter orgánico. Esta belleza está dada
también, por a la utilización de códigos que permiten una expresión libre de los
diseñadores para configurar espacios y de esta forma lograr una mayor eficiencia y
calidad espacial.
A lo largo del proyecto se puede comprender como los fractales se materializan en
morfologías y así ser interpretados en objetos tridimensionales. Es de gran importancia
que el diseñador logre el entendimiento de este conjunto de herramientas que tiene a su
disposición y así aplicarlas de forma consciente respetando tanto sus ventajas como
limitaciones.
Por otro lado, se debe mencionar que esta geometría es relativamente nueva, por lo cual
genera una revolución en la forma de pensar, de sentir y de habitar. Los diseñadores que
implementan esta manera de proyectar son una minoría, por ello es de suma importancia
lograr que este número crezca. No sólo para ofrecer espacios resultantes armoniosos,
sino que también para que el pensamiento de diseño avance a la par que los nuevos
alcances de toda ciencia.
100
Imágenes seleccionadas
Figura 1: El Modulor. Fuente: Le Corbusier (1953). El Modulor, ensayo sobre una medida armónica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la
mecánica. Buenos Aires: Poseidón.
Figura 2a: Tractriz – Figura 2b: Pseudoesfera. Fuente: Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclideas. España: Editec.
101
Figura 3: Triángulo en geometría elíptica. Fuente: Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclideas. España: Editec.
Figura 4: Representación del movimiento browniano. Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal. España: Editec.
102
Figura 5: Modelo de Peano. Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal. España: Editec.
Figura 6: Curva de Peano. Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal. España: Editec.
103
Figura 7: Curva de Hilbert. Fuente: Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la vida
cotidiana. Fractales. Recuperado de:
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
Figura 8: Curva de Hilbert 3D Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el
mundo. La geometría fractal. España: Editec.
104
Figura 9: Conjunto de Cantor. Fuente: Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la vida
cotidiana. Fractales. Recuperado de
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
Figura 10a: Triángulo de Koch – Figura 10b: Curva de Koch. Fuente: Al-Majdalawi, A.A.
(2006). Matemáticas en la vida cotidiana. Fractales. Recuperado de
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
105
Figura 11: Triángulo de Sierpinski. Fuente: Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la
vida cotidiana. Fractales. Recuperado de
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
Figura 12: Alfombra de Sierpinski. Fuente: Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la
vida cotidiana. Fractales. Recuperado de
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
106
Figura 13: Esponja de Menger. Fuente: Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la
vida cotidiana. Fractales. Recuperado de
https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/im
ages/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
Figura 14: Curva Dragón. Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el
mundo. La geometría fractal. España: Editec.
107
Figura 15: Curva de Levy. Fuente: Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el
mundo. La geometría fractal. España: Editec.
108
Lista de referencias bibliográficas Akira Suzuki (Ed.) (2005). Conversaciones con estudiantes: Toyo Ito. Barcelona: Gustavo Gili. Al-Majdalawi, A.A. (2006). Matemáticas en la vida cotidiana. Fractales. Recuperado el
15/09/18 de https://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/images/curiosidades/Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf
Alvarado, Saravia, Zamora (2016). Arquitectura y fractales. [Diapositivas]. Recuperado el
12/11/18 de https://es.slideshare.net/pedroms5/arquitectura-y-fractales Arnheim, R. (1977). La forma visual de la arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili. Baker, G.H. (1991). Análisis de la forma. Barcelona: Gustavo Gili. Baker, G.H. (1999). Le Corbusier. Análisis de la forma. Barcelona: Gustavo Gili. Binimelis, M.I. (2010). Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal. España:
Editec. Balmond Studio (s.f.). Fuorisalone Milan. Recuperado el 12/11/18 de
http://www.balmondstudio.com/work/The-Fuorisalone-Milan.php Balmond Studio (s.f.) Louisiana Exhibition. Recuperado el 12/11/18 de
http://www.balmondstudio.com/work/louisiana-exhibition.php Bovill, C. (1996). Geometría fractal en arquitectura y diseño. Boston: Birkhäuser. Bruzco, M.L. (2012). El efecto mariposa y sus implicaciones estratégicas en el contexto
organizacional. [Revista en línea]. Recuperado el 15/09/18 de http://www.redalyc.org/pdf/1513/151325816003.pdf
Buenos Aires Ciudad (s.f.). Los Lagos. Recuperado el 06/01/19 de https://www.buenosaires.gob.ar/ciudadverde/espaciosverdes/parquetresdefebrero/los-lagos Calduch, J. (2001a). Temas de composición arquitectónica: espacio y lugar. Alicante:
Editorial Club Universitario. Disponible en: https://www.editorial-club- universitario.es/pdf/265.pdf
Calduch, J. (2001b). Temas de composición arquitectónica: forma y percepción. Alicante:
Editorial Club Universitario. Disponible en: https://www.editorial-club- universitario.es/pdf/265.pdf
Calduch, J. (2001c). Temas de composición arquitectónica: luz, sombra, color, contorno.
Alicante: Editorial Club Universitario. Disponible en: https://www.editorial-club- universitario.es/pdf/266.pdf
Ching, F.D.K. (1982). Arquitectura: forma, espacio y orden. Barcelona: Gustavo Gili.
109
Coccato, J.C. (2001). El concepto de forma en arquitectura. Recuperado el 16/08/18 de http://arq.unne.edu.ar/publicaciones/areadigital/area5/anteriores/area1pdf/Jccoccato.PDF
Edificio Tod Omotesando. (s.f.). Recuperado el 12/11/18 de
https://es.wikiarquitectura.com/edificio/edificio-tod-omotesando/ El proyecto “Beyond The Wall”, diseñado por Daniel Libeskind para Cosentino, se exhibe
durante la Semana del Diseño de Milán. (2013). Recuperado el 12/11/18 de https://www.cosentino.com/es/noticias/el-proyecto-beyond-the-wall-disenado-por-daniel-libeskind-para-cosentino-se-exhibe-durante-la-semana-del-diseno-de-milan/
Etherington, R. (2010). Element – Cecil Balmond en la Tokio Opera City Art Gallery.
Recuperado el 12/11/18 de https://www.dezeen.com/2010/02/23/element-cecil-balmond-at-tokyo-opera-city-art-gallery/
Forum 64: Cecil Balmond. (2009, Noviembre 05). [Revista en línea]. Recuperado el
12/11/18 de: https://www.canadianarchitect.com/architecture/forum-64-cecil-balmond/1000346724/
García Ballesteros, L.M. (2017). La parametrización del espacio: Procesos de diseño
paramétrico. Recuperado el 12/11/18 de http://oa.upm.es/47562/1/TFG_Garcia_Ballesteros_LuisMiguel.pdf
García Muriel, J.M. (2014). Fractales. Recuperado el 12/11/18 de
https://jorgmblog.files.wordpress.com/2016/01/fractales.pdf Gómez Giménez, J.M. (s.f.). Arquitectura fractal. Una nueva geometría y sus
consecuencias. Recuperado el 12/11/18 de https://innovacioneducativa.upm.es/sandbox/pensamiento/chip_geometrico/arquitectura_fractal.pdf
Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclideas.
España: Editec. Iturriaga, F. y Jovanovich, C. (2012). Los fractales y el diseño en las construcciones.
Recuperado el 12/11/18 de http://www5.uva.es/trim/TRIM/TRIM5_files/FRACTALES.pdf
Langdon, D. (2015). AD Classics: V&A Spiral / Daniel Libeskind + Cecil Balmond.
Recuperado el 12/11/18 de https://www.archdaily.com/768565/ad-classics-v-and-a-spiral-daniel-libeskind-plus-cecil-balmond
Lanzilotta, J.M. (Ed.). (2010). Forma y comunicación en arquitectura: conceptos básicos.
La Plata: Edulp. Disponible en: https://issuu.com/jmlanzi/docs/libro_com_noche´
Le Corbusier (1953). El Modulor, ensayo sobre una medida armónica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica. Buenos Aires: Poseidón.
Mandelbrot, B.B. (1962). La geometría fractal de la naturaleza. Barcelona: Tusquets
Editores, S.A.
110
Martínez Requena, C. A. (2016). Objetos fractales y arquitectura. Recuperado el 12/11/18 de https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/58637/MART%C3%8DNEZ%20-%20MAT-F0020.%20Objetos%20fractales%20y%20arquitectura.pdf?sequence=1
Montaner, J.M. (2002). Las formas del siglo XX. Barcelona: Gustavo Gili. Parque 3 de Febrero: lagos, jardines y paseos atraen a disfrutar de un oasis en la Ciudad (2015). Recuperado el: 06/01/19 de http://www.telam.com.ar/notas/201505/105186-turismo-argentina-el-parque-tres-de-febrero.php Peytaví, C.R. (2017). Le Corbusier frente a Louis Kahn. Recuperado el 17/08/18 de
http://oa.upm.es/47073/1/TFG_Ribagorda_Peytavi_Concepcion.pdf
Ramchurn, R. (2014). Installation by Cecil Balmond opens in Spitalfields. Recuperado el 19/08/18 de: https://www.architectsjournal.co.uk/news/culture/installation-by-cecil-balmond-opens-in-spitalfields/8669742.article
Real Academia Española (2014). Diccionario de la lengua española (23ª ed.). [Versión en
línea]. Recuperado el 20/08/18 de https://dle.rae.es/?w=diccionario Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. Breve historia de una gran revolución
intelectual. Costa Rica: Editorial de la Universidad de Costa Rica. Santo, D. (2012). Fractales: el envolvente como código visual. Recuperado el 16/08/18 de
https://issuu.com/arqplal/docs/tesis_plal Selva, E. (2011). Tono, saturación y luminosidad. Recuperado el 20/08/18 de
http://naturpixel.com/2011/08/17/tono-saturacion-y-luminosidad/
Taboada, M.F. (s.f.) El Modulor de Le Corbusier. Recuperado el 19/08/18 de https://ruc.udc.es/dspace/bitstream/handle/2183/5278/ETSA_20-
6.pdf;jsessionid=95D145F692D5A7646F17D3DF2B2CEE34?sequence=1 Tenka, M.N. (2011). Vacíos urbanos. Hacer posible lo cotidiano. Recuperado el 17/08/18
de http://repositorio.ub.edu.ar/bitstream/handle/123456789/653/502_Tenca.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Valdés, V.P.A. (2016). Introducción a la geometría fractal. Recuperado el 15/09/18 de
http://repobib.ubiobio.cl/jspui/bitstream/123456789/1998/3/Valdes_Vasquez_Patricio.pdf
Vulijscher, J. (2017). The Crown. Daniel Libeskind diseña una escultura para
Casalgrande. Recuperado el 12/11/18 de https://www.roomdiseno.com/the-crown-daniel-libeskind-disena-una-escultura-casalgrande/
Zucker, P. (1959) Town and Square: from the Angora to the Village Green. Citado en:
Arnheim, R. (1977). La forma visual de la arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili.
111
Bibliografía Arnheim, R. (1977). La forma visual de la arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili. Calduch, J. (2001c). Temas de composición arquitectónica: luz, sombra, color, contorno. Alicante: Editorial Club Universitario. Disponible en: https://www.editorial-club-
universitario.es/pdf/266.pdf Ching, F.D.K. (1982). Arquitectura: forma, espacio y orden. Barcelona: Gustavo Gili. Coccato, J.C. (2001). El concepto de forma en arquitectura. Recuperado el 16/08/18 de
http://arq.unne.edu.ar/publicaciones/areadigital/area5/anteriores/area1pdf/Jccoccato.PDF
Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclideas.
España: Editec.
Mandelbrot, B.B. (1962). La geometría fractal de la naturaleza. Barcelona: Tusquets Editores, S.A.
Real Academia Española (2014). Diccionario de la lengua española (23ª ed.). [Versión en
línea]. Recuperado el 20/08/18 de https://dle.rae.es/?w=diccionario Santo, D. (2012). Fractales: el envolvente como código visual. Recuperado el 16/08/18 de https://issuu.com/arqplal/docs/tesis_plal Selva, E. (2011). Tono, saturación y luminosidad. Recuperado el 20/08/18 de http://naturpixel.com/2011/08/17/tono-saturacion-y-luminosidad/ Serrentino, R. (2003). Contribuciones a los sistemas de diseño, 20 años del Laboratorio
de Sistemas de Diseño: Conceptos fractales en ejemplos históricos de Arquitectura. Tucumán: Ediciones Magna.
Zucker, P. (1959) Town and Square: from the Angora to the Village Green. Citado en:
Arnheim, R. (1977). La forma visual de la arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili.
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