Curso: H

OR

MIG

ÓN

E

ST

RU

CT

UR

AL 1

MÓ

DU

LO 8:

FLE

XIÓ

N C

OM

PU

ES

TA

Luis Segura (lsegura@

fing.edu.uy)

1erS

emestre -

2019

Universidad de la R

epública -U

ruguay

FLE

XIÓ

N C

OM

PU

ES

TA

1erS

emestre 2018 Luis S

egura Curso: H

ormigón E

structural 12

RE

SU

ME

N

•In

trod

ucció

n a

flexió

n co

mp

uesta

–E

jemplos de elem

entos en flexión compuesta

•T

racció

n sim

ple o

com

pu

esta (T

racció

n d

om

ina

nte)

–D

isposiciones constructivas y ejemplo de cálculo

•T

eorem

a d

e Eh

lers(F

lexió

n d

om

ina

nte)

–E

cuaciones adimensionales

de flexión compuesta

–Interpretación por superposición y R

ango de validez del teorema de E

hlers

–E

jemplos

–E

jemplos

•P

resoflex

ión

(Co

mp

resión

do

min

an

te)

–E

jemplos y criterios para arm

ado simétrico

–D

iagramas de interacción

–Á

bacos de diagramas de interacción adim

ensionales

AC

LA

RA

CIÓ

N:

Estas transparencias se preparan únicam

ente como una guía para las clases, las cuales

cumplen la función de ser una presentación de los tem

as que el estudiante debe aprender para aprobar el curso, indicados en la bibliografía.

Bib

liog

rafía: Jim

énez Montoya –

15ª Ed. –

Cap. 14.5; 15.5.1; 16.6; 16.4; 15.7

1erS

emestre 2018 Luis S

egura Curso: H

ormigón E

structural 13

Rep

aso: E

sfuerzo

s intern

os (S

olicitacio

nes)

–E

n los cursos de resistencia de materiales tom

ábamos a las solicitaciones (esfuerzos

internos), por definición, referidas al baricentro de la sección equivalente.

•E

n hormigón arm

ado, las so

licitacio

nes está

n referid

as a

l centro

de g

rav

eda

d

de la

sección

bru

ta (sección de horm

igón suponiendo despreciable el área de acero).

•E

sfuerzo

s intern

os eq

uiv

alen

tes:

–Si bien norm

almente se expresan en el baricentro de la sección, para resolver el

equilibrio de la sección a veces es conveniente expresar los esfuerzos internos como un

torsor estáticamente equivalente.

•R

EP

AS

O: P

ara que dos sistemas de fuerzas (iy j) sean estáticam

ente equivalentes, se debe cum

plir que los efectos que producen son equivalentes. Esto es:

–Σ

Fi =

ΣF

i

–Σ

Mi,P =

ΣM

j,P; p

ara

tod

o p

un

to P

1erS

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ormigón E

structural 14

Intro

du

cción

•F

lexió

n C

om

pu

esta

–H

asta ahora hemos resuelto elem

entos sometidos únicam

ente a flexión pura (Nd =

0).

–A

mpliarem

os ahora la teoría para resolver elementos som

etidos a flexión compuesta, es

decir, cuando actúan simultáneam

ente flexión (Md ) y directa (N

d ).

•D

istinto

s caso

s

–Por las características del horm

igón armado, diferenciarem

os el estudio de la flexión com

puesta en 3 casos, que analizaremos de distinta form

a:a) T

racción centrada o con pequeñas excentricidades (resultante entre las armaduras).

a) Tracción centrada o con pequeñas excentricidades (resultante entre las arm

aduras).

b) Com

presión centrada o con pequeñas excentricidades (aprox.: resultante dentro de la sección), o “grandes” com

presiones.

c) Directa con grandes excentricidades (tanto de tracción, com

o “pequeñas” compresiones).

Para el cálculo

consideraremos

que la sección inferior está m

ás traccionada,o m

enos com

primida, que

la superior.

1erS

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ormigón E

structural 15

Alg

un

os ejem

plo

s

Pila

resE

fectos d

e ba

nd

eras en

losa

s y v

iga

s

1erS

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structural 16

Alg

un

os ejem

plo

s

Ten

so-flex

ión

Preso

-flexió

n

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structural 17

Alg

un

os ejem

plo

s

1erS

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ormigón E

structural 18

Alg

un

os ejem

plo

s

1erS

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structural 19

TR

AC

CIÓ

N S

IMP

LE

O C

OM

PU

ES

TA

•D

efinició

n:

–E

n tracció

n sim

ple o

com

pu

esta la L

N se ubica fuera de la sección, con: -∞

≤ x ≤ 0.

•P

or lo

tan

to:

–T

odas las fibras de la sección están en tracción.•

Las tensiones del horm

igón serán, por lo tanto, nulas.

•A

mbas arm

aduras trabajan a tracción.

–L

as rectas de deformación corresponden al d

om

inio

1, con pivote en A.

–E

n esta situación podremos tener tracciones centradas o con pequeñas excentricidades.

–E

n esta situación podremos tener tracciones centradas o con pequeñas excentricidades.

Po

r no

rma

: As1≥

As2

¿C

uál es la pareja de deform

aciones lím

ites en este caso?

Cuando diseñam

os, para aprovechar el acero, usam

os: σs2

= f

yd

1erS

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structural 110

Co

nsid

eracion

es con

structivas y ejem

plo

•N

o es h

ab

itua

l el uso

de tira

ntes en

estructu

ras d

e ho

rmig

ón

arm

ad

o.

•S

i es necesa

rio su

uso

, se deb

en to

ma

r preca

ucio

nes.

–M

ucho cuid

ad

o co

n el a

ncla

je y el em

palm

e de las barras.

–Si hay co

rtan

te, considerar sus efectos n

egativ

os.

–E

fectos n

egativ

os respecto a la d

ura

bilid

ad

(comprobar fisuración, resistencia al fuego).

•E

jemp

lo d

e cálcu

lo: D

eterminar T

uy pareja de deform

aciones•

Considerar: fck

= 20 M

Pa y fyk

= 420 M

Pa.

¿C

ómo se

podría mejorar

la durabilidad?

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structural 111

Arm

adu

ra mín

ima en

tracción

simp

le o co

mp

.

•A

rt. 42

.3.4

1erS

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structural 112

Flexió

n co

mp

uesta: T

eorem

a de E

hlers

•T

eorem

a d

e Eh

lers:

–L

os problemas de flexión com

puesta (MU , N

U ) se pueden analizar como problem

as de flexión pura, diseñando para el m

omento (M

su ) proporcionado por el torsor equivalente (M

su , Nu ) en el que la directa (N

u ) se ubica en la posición de la armadura de tracción y,

posteriormente, m

odificando la armadura de tracción para considerar el aporte que

realiza dicha directa.M

odifico las ecuaciones de equilibrio del módulo 5 para considerar la directa:

1) La ec. d

e mo

men

tos queda igual, pero considerando M

su

=>

Determ

ino si es simple o doblem

ente armada, A

s2y x

como antes.

2) En la ec. d

e directa

s, ahora debo considerar el aporte de Nu .

=>

Determ

ino As1 .

1erS

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structural 113

Ecu

acion

es adim

ensio

nales

–N

uevamente, se pueden expresar las ecuaciones de

equilibrio en forma adim

ensional, incluyendo la directa.D

irecta reducida propor-

cionado por el hormigón:

Directa reducida:

cd

ufd

b

N..

=νν

c=

0.8ξ

1erS

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structural 114

Ecu

acion

es adim

ensio

nales

–O

bservaciones:–

La

ecua

ción

redu

cida

de m

om

ento

s qu

eda

igu

al a

l caso

de flexió

n p

ura

, pero

con

sidera

nd

o el

mo

men

to (“µ

su ”) d

el torso

req

uiva

lente exp

resad

o en

As1 .

–E

n la

ecua

ción

de d

irectas se d

ebe co

nsid

erar la

com

po

nen

te redu

cida

de la

directa

.

–L

as rela

cion

es entre lo

s términ

os (ξ, µ

c , νc ) en

“E

hlers”

son

las m

isma

s qu

e entre lo

s términ

os (ξ, µ

,

ω) p

ara

el caso

de flexió

n p

ura

, po

r eso, n

orm

alm

ente só

lo se d

an

(o se ta

bu

lan

) las fó

rmu

las d

e

flexión

pu

ra, q

ue sirven

tam

bién

pa

ra reso

lver las ecu

acio

nes d

e Eh

lers.

–S

i Nu

es de co

mp

resión

(“ν”

neg

ativa

),ésta

redu

cirá la

arm

ad

ura

inferio

r necesa

ria.

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structural 115

Interp

retación

(u o

tra form

a de reso

lució

n)

•S

e pu

ede in

terpreta

r el dim

ensio

na

mien

to en

flexió

n co

mp

uesta

:

•1) S

e obtiene el armado (A

s1 ay As2 ) de M

su , cómo en el caso de flexión pura.

–L

a flexió

n p

ura

se pu

ede a

na

lizar ta

mb

ién co

mo

la su

ma

de d

os co

mp

on

entes:

»A

) El m

omento (M

u SA) llevado por el hormigón y una parte de la arm

adura inferior (As1 a1)

»B

) El m

omento (M

u DA) llevado por un par de arm

aduras (As1 a2)

–E

ste estad

o d

etermin

a la

s defo

rma

cion

es existentes en

la secció

n.

•2) P

or como diseñam

os la flexión pura (1), se tiene a la armadura inferior (A

s1 ) en fluencia. Para

poder equilibrar la directa resultante (Nu ), debem

os agregar (o quitar) armadura inferior (A

s1 b).

La resultante de

¿E

n que caso no se cum

pliría?

La resultante de

fuerzas debe ser com

patible con el estado de defor-m

aciones planteado.

Adem

ás:

por norma: A

s1≥ A

s2

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structural 116

Ran

go

de valid

ez del teo

rema d

e Eh

lers

•P

ara

qu

e se pu

eda

ap

licar el teo

rema

de E

hlers, d

ebem

os cu

mp

lir las d

os

con

dicio

nes señ

ala

da

s en la

tran

spa

rencia

an

terior:

–D

ebe haber coherencia entre las deformaciones de la sección las tensiones resultantes en

los materiales. E

s decir, la armadura inferior debe estar en tracción (o ser nula):

•A

s1≥

0 =

> ω≥

0

–Por norm

a, la armadura inferior (A

s1 ) debe ser mayor o igual a la arm

adura superior (As2 )

•A

s1≥

As2

=>

ω≥ω

’E

jercicio: Determ

inar para que excentricidades (en

Reg

la práctica

Utilizarem

os Ehlers si:

-Tensoflexión-P

resoflexión, con com

presiones pequeñas (m

enores a ν=

0.3

6) que caen fuera de la sección.

que excentricidades (en función de la directa reducida) deja de cum

plirse el teorém

a de Ehlers.