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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD TÉCNICA

CURSO PREUNIVERSITARIO (TURNO VESPERTINO)

DOCENTE:

Ing. Jhonny Freddy Copa Roque ASIGNATURA:

FÍSICA TEMARIO: TEMA 1: SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO. TEMA 2: VECTORES EN EL PLANO. TEMA 3: FUERZAS. TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO. EVALUACIÓN: ASISTENCIA: 10 %. PRÁCTICAS: 20 %. DOS EXÁMENES PARCIALES: 30 %. EXÁMEN FINAL: 40 %.

TOTAL 100 %.

SEMESTRE 2/2010

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TEMA 1

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO DEFINICIÓN Llamado también coordenadas rectangulares. Un sistema de coordenadas rectangulares es un sistema de dos ejes o rectas que se cortan en un punto O, siendo perpendiculares entre si.

- Al eje horizontal, le llamaremos el eje de las X o abscisas y las distancias de O serán positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda.

- Al eje vertical, le llamaremos el eje de las Y u ordenadas y las distancias de O serán positivas hacia arriba y negativas hacia abajo.

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Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.

X O Y : es el primer cuadrante. Y O X’ : el segundo cuadrante. X’ O Y’ : el tercer cuadrante. Y’ O X’ : el cuarto cuadrante.

El origen O divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y otro negativo. O X : Semieje positivo del eje X. O X’ : Semieje negativo del eje X. O Y : Semieje positivo del eje Y. O Y’ : Semieje negativo del eje Y. PAR ORDENADO Es un conjunto formado por dos elementos a y b anotados así:

(a, b)

Donde a se llama primera componente del par ordenado y b es la segunda componente. Un par ordenado se utiliza para representar un punto en un sistema de coordenadas; donde la primera componente representa la distancia de O en dirección horizontal, y la segunda componente representa la distancia desde O en dirección vertical.

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(x, y) DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS

1. Determinar el punto (2,3). 2. Determinar el punto (-3,5). 3. Determinar el punto (-2,-4). 4. Determinar el punto (4,-2).

RESUMEN

CUADRANTE ABSCISA (X) ORDENADA (Y)

PRIMER CUADRANTE X o Y + + SEGUNDO CUADRANTE Y O X’ - + TERCER CUADRANTE X’ O Y’ - - CUARTO CUADRANTE Y’ O X’ + -

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EJERCICIO 1 Determinar los puntos: P1 (4,2), P2 (-3,4), P3 (-3,-3), P4 (2,-5), P5 (0,3) y P6 (-2,0).

EJERCICIO 2 Trazar la línea que pasa por los puntos: a) (-2,1) y (-4,4) b) (2,-4) y (5,-2) c) (-4,0) y (0,-2) d) (-3,-6) y (0,1)

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EJERCICIO 3

a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,6), (3,0) y (-3,0).

b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (4,4), (-4,4), (-4,-4) y (4,-4).

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c) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son: (1,-1), (1,-3), (6,-1) y (6,-3).

PRÁCTICA 1 1. Determinar gráficamente los puntos: P1 (-1,2), P2 (2,-3), P3 (3,-4), P4 (-3,-4), P5 (-

3,0) y P6 (-4,-3).

8

2. Trazar la línea que pasa por los puntos: a) (1,2) y (3,4) b) (-3,-2) y (-1,-7) c) (3,0) y (0,4) d) (-4,5) y (2,0) e) (-3,-2) y (3,2).

3. Dibujar las siguientes figuras geométricas:

a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,-5), (-4,3) y (4,3).

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b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (-1,-1), (-4,-1), (-4,-4) y (-1,-4).

c) Dibujar el rombo cuyos vértices son: (1,4), (3,1), (5,4) y (3,7).

d) Probar gráficamente que la serie de puntos (-3,5), (-3,1), (-3,-1), (-3,4), se halla paralela a la línea que contiene a los puntos (2,-4), (2,0), (2,3), (2,7).

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TEMA 2

VECTORES EN EL PLANO DEFINICIÓN Vector es aquel elemento matemático, indicado por un segmento orientado que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. En la escritura, una letra del abecedario mayúscula o minúscula en negrilla como por ejemplo:

A (en negrilla o tipo grueso)

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ELEMENTOS DE UN VECTOR Los elementos de un vector son:

A

B

L

O

C

PUNTO DE APLICACIÓN Llamado también origen, es el punto donde se supone actúa el vector. En el gráfico es el punto O. MÓDULO O INTENSIDAD Representa el valor de la cantidad física vectorial. En el gráfico esta representado por L. SENTIDO Es la orientación del vector y se representa por una flecha. En el gráfico el sentido es de O a C. DIRECCIÓN Esta representada por la recta que contiene al vector. En nuestro caso, la recta que contiene al vector es la recta A B. REPRESENTACIÓN DE VECTORES Los vectores pueden representarse en las siguientes formas:

a) REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Un vector se representa gráficamente por un segmento de recta dirigido.

A a

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b) REPRESENTACIÓN RECTANGULAR O CARTESIANA: Para esta forma de representación es necesario tomar como referencia un sistema de ejes coordenados rectangulares; en estas condiciones, se dice que un vector está representado en forma rectangular o cartesiana cuando viene definido por un par ordenado (x,y). su notación es:

A = (Ax, Ay) representa un vector en el plano. Ejemplo 1, representar los siguientes vectores:

)4,3();2,5();4,3();5,2();3,4( −=−−=−===→→→→→

EDCBA

c) REPRESENTACIÓN POLAR: Un vector está representado en forma polar cuando viene definido por un par ordenado (A, θ), donde A representa su magnitud y θ el ángulo que forma con una recta de referencia (por lo general el eje positivo x).

( )θA,A =→

Ejemplo 2,

( )°=→

60,0A ( )°=→

90,35B ( )°=→

180,220C

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CLASES DE VECTORES Estudiaremos las siguientes clases:

1) VECTORES LIBRES, son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.

2) VECTORES PARALELOS, dos o mas vectores son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas.

A

L1 L2

B

3) VECTORES COPLANARES, dado un conjunto de vectores se dice que son coplanares cuando las rectas que los contienen están en un mismo plano.

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4) VECTORES CONCURRENTES O DISCURRENTES, cuando sus líneas de acción (dirección) se cortan en un solo punto.

5) VECTORES COLINEALES, cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.

6) VECTORES IGUALES, si tienen igual magnitud y dirección.

→→

= BA

7) VECTORES OPUESTOS, se llaman opuestos si tienen igual magnitud, la misma dirección y sentido contrario u opuesto.

→→

= B-A OPERACIONES CON VECTORES MÉTODOS GRÁFICOS SUMA DE VECTORES La suma de dos o más vectores es otro vector resultante. La resultante es aquel vector que al reemplazar a un conjunto de vectores produce el mismo efecto que el conjunto. Se tienen los siguientes métodos gráficos:

a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO, válido para dos vectores, consiste en trazar los dos vectores con sus magnitudes, direcciones y sentidos de modo que sus orígenes coincidan, luego se trazan paralelas a cada vector; la suma R estará representada por la diagonal del paralelogramo, cuyo origen es el de los vectores dados.

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EJERCICIO 1:

→→→

+= BAR EJERCICIO 2:

→→→

+= NMR

b) MÉTODO DEL TRIÁNGULO, es una deducción del método del paralelogramo. Consiste en formar un triángulo con los vectores dados, colocándola una a continuación del otro. La resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo final del segundo, en este sentido.

EJERCICIO 3:

→→→

+= BAR EJERCICIO 4:

→→→

+= DCR

c) MÉTODO DEL POLÍGONO, se emplea para sumar más de dos vectores. El

método es análogo al del triángulo.

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EJERCICIO 5:

→→→→→

+++= DCBAR DIFERENCIA DE VECTORES La diferencia de vectores es un caso particular de la suma; pues, si se tiene los vectores

→→

ByA .

−+=−

→→→→

BABA

O sea que se convierte en adición al sumar el primer vector al opuesto del segundo.

EJERCICIO 6: Hallar →→

− BA

−+=

→→→

BAR

METODOS ANALÍTICOS Para realizar operaciones con vectores mediante los métodos analíticos, primeramente es necesario conocer o tener nociones generales sobre las funciones trigonométricas. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para hablar de funciones trigonométricas, específicamente debemos referirnos aun triángulo rectángulo.

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Respecto al ángulo α: a es el cateto opuesto b es el cateto adyacente. Respecto al ángulo β: a es el cateto adyacente b es el cateto opuesto.

Respecto al ángulo α:

b

aTan

c

bCos

c

aSen === ααα ,,

Respecto al ángulo β:

a

bTan

c

aCos

c

bSen === βββ ,,

TEOREMA DE PITÁGORAS Este teorema se aplica para hallar la resultante de dos vectores si estos forman un ángulo de 90° entre si.

222 BAR +=

TEOREMA DE LOS COSENOS Este teorema se utiliza para hallar la resultante de dos vectores en el caso de que formen entre si un ángulo diferente de 90°.

βα −°= 180

)180(22 22222 βα −°−+=−+= ABCosBAABCosBAR

)180(222 β−°−+= ABCosBAR

TEOREMA DE LOS SENOS Para aplicar este teorema se construye gráficamente la resultante de la suma o diferencia de dos vectores, formando de esta manera un triángulo.

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αδγ Sen

R

Sen

B

Sen

A==

EJERCICIO 7: DATOS: A = 75 Kp (180° con la horizontal), B = 100 Kp (35° con la vertical).

)(66.155)125(10075210075)125(2 2222 KpCosABCosBAR =°⋅⋅⋅−+=°−+=

EJERCICIO 8: En el siguiente gráfico A = 600 N. determinar el valor de la componente B y el de la resultante R.

( )NSen

SenB

SenSen

B41.346

120

30600

120

600

30=

°°⋅

=⇒°

=°

( )NSen

SenB

SenSen

R41.346

120

30600

120

600

30=

°°⋅

=⇒°

=°

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORES Es expresarlo en función de otros vectores ubicados sobre rectas perpendiculares entre si.

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DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS

O A = B C (Por construcción). O C B Es triángulo (Por construcción).

Por trigonometría

αα CosVVxV

VxCos ⋅=⇒= Componente en el eje x.

αα SenVVyV

VySen ⋅=⇒= Componente en el eje y.

La resultante se obtendrá con la siguiente relación:

( ) ( )22VyVxV +=

El ángulo que forma la resultante con el eje de abscisas (eje x) viene dado por la fórmula:

=Vx

VyTanArcα

EJERCICIO 9: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, α = 20°, θ = 50°, hallar la R y φ.

°=°−°=−°= 40509090 θβ

20

( )∑ −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−= N4.0320Cos6540Cos85α CosAβ CosBRx

( )∑ =°⋅+°⋅−=⋅+⋅−= N76.8720Sen6540Sen85αSen AβSen BRy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )KpRyRxR 98.7687.7603.4 2222=+−=+= ∑∑

°=

=

=

∑∑

8703.4

87.76TanArc

Rx

RyTanArcθ

EJERCICIO 10: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, C = 120 Kp, D = 30 Kp, α = 45°, β = 30°, φ = 60°. Hallar la R y δ.

( )∑ =+°⋅−°⋅+°⋅=+°⋅−°⋅+°⋅−= KpCosCosCosDCosBCosCCosARx 6.145303060301204590303045

( )∑ −=°⋅−°⋅+°⋅=°⋅−°⋅−°⋅−= KpSenSenSenSenBSenCSenARy 36.263060301204590303045

( ) ( ) ( ) ( ) ( )KpRyRxR 97.14736.266.145 2222=−+=+= ∑∑

°=

=

=

∑∑

26.106.145

36.26TanArc

Rx

RyTanArcθ

21

PRACTICA 2 1.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del paralelogramo. a)

b)

2.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del triángulo. a)

22

b)

3.- Sumar los siguientes vectores por el método del polígono. a)

23

b)

24

PRÁCTICA 3 EJERCICIO 1.- DATOS: A = 100 (N), B = 125 (N), C = 75 (N), D = 50 (N), E = 150 (N).

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( )N31.2145Cos5040Cos15060Cos7520Cos10012545CosD40CosE60CosC20CosABRx

=°⋅−°⋅−°⋅−°⋅+==°⋅−°∑ ⋅−°⋅−°⋅+=

( )N160.2245Sen5040Sen15060Sen7520Sen10045SenD40SenE60SenC20SenARy

=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅=∑ =°⋅−°⋅+°⋅+°⋅=

( )NRx 21.31=∑

( )NRy 22.160=∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )NRyRxR 23.16322.16021.31 2222=+=+= ∑∑

°=

=

=

∑∑

98.7821.31

22.160TanArc

Rx

RyTanArcθ

26

EJERCICIO 2

( )Kp-13.3430Cos1145Cos1606Cos5 =°⋅−°⋅−°⋅=∑Rx

( )Kp6.81203Sen1145Sen1606Sen15 =−°⋅−°⋅+°⋅=∑Ry

( )KpRx 34.13−=∑

( )KpRy 8.6=∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )KpRyRxR 97.148.634.13 2222=+−=+= ∑∑

°=

=

=

∑∑

01.2734.13

8.6TanArc

Rx

RyTanArcθ

27

EJERCICIO 3

( )Kp330Cos430Cos43 =°⋅−°⋅+=∑Rx

( )Kp430Sen403Sen4 =°⋅+°⋅=∑Ry

( )KpRx 3=∑

( )KpRy 4=∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )KpRyRxR 534 2222=+=+= ∑∑

°=

=

=

∑∑

13.534

3TanArc

Rx

RyTanArcθ

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EXAMEN PRIMER PARCIAL

1. Ubicar los siguientes puntos en el eje cartesiano: (5,0), (1,1), (0,5), (-1,1), (-5,0), (-1,-1), (0,-5), (1,-1).

2. Dibujar la recta que pasa por (4,0) y (0,6) y la recta que pasa por (0,1) y (4,5) y

hallar el punto de intersección de las dos rectas.

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3. El siguiente grupo de vectores resuelva por:

a) Por el método del polígono.

30

b) Por el método de descomposición rectangular.

( )m34.445Cos330Cos43 =°⋅−°⋅+=∑Rx

( )m88.145Sen303Sen42 =°⋅−°⋅+=∑Ry

( )mRx 34.4=∑

( )mRy 88.1=∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mRyRxR 73.488.134.4 2222=+=+= ∑∑

°=

=

=θ

∑∑

42.2334.4

88.1TanArc

Rx

RyTanArc

31

TEMA 3

FUERZAS FUERZAS COPLANARIAS PARALELAS - MOMENTO DE UNA FUERZA (O PAR) Con respecto a un eje es una medida de la efectividad de la fuerza para producir una rotación alrededor de dicho eje. MOMENTO = MÓDULO DE LA FUERZA x DISTANCIA DEL EJE DE ROTACIÓN

Si la fuerza se expresa en Kilopondios (Kp) y la distancia en metros (m), la unidad de momento es el Kilopondio-metro (Kp-m). DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO Un cuerpo sobre el que actúa un sistema de fuerzas está en equilibrio cuando dicho sistema no produce cambio alguno ni en su movimiento de traslación (rectilíneo), ni en el de rotación. CONDICIONES DE EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS COPLANARIAS PARALELAS

1. La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera debe ser cero. Ello equivale a decir que la suma de las fuerzas hacia arriba sea igual a la de abajo y lo mismo para las fuerzas actuando en otras direcciones.

00 == ∑∑ FhFv

2. La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con

respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene debe ser cero.

0=∑Mo

EJERCICIO 1 Una barra AC de 1 m de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas verticales. Encontrar:

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a) La suma algebraica de las fuerzas. b) La suma algebraica de los momentos con respecto a un eje que pase por cada uno de

los puntos A, B y C. c) La resultante y equilibrante del sistema de fuerzas.

a) 0=∑Fv

( ) ( )KpKp 5423 −=−+−=

b)

( ) ( )mKpmKpM A ⋅−=⋅⋅−⋅=∑ 8.2146.02

( ) ( )mKpmKpM B ⋅=⋅⋅−⋅=∑ 2.04.046.03

( ) ( )mKpmKpM C ⋅=⋅⋅−⋅=∑ 2.24.0213

c)

Si la resultante R = - 5 Kp, la equilibrante E = 5 Kp

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0=∑ AM

( )mxx 56.05

2.1405146.02 =

−=⇒=⋅+⋅−⋅

0=∑ BM

( )myy 44.05

8.03054.0213 =

−=⇒=⋅−⋅−⋅

Entonces:

( )mL 144.056.0 =+= EJERCICIO 2 Hallar la longitud de los brazos de una palanca de 36 cm de largo, sabiendo que permanece en equilibrio cuando de sus extremos cuelgan dos pesos de 10 Kp y 20 Kp respectivamente. Se supone que la palanca no tiene peso.

0=∑ AM

( ) ( )mxxxxx 2430

720020720100362010 ==⇒=⋅+−⋅⇒=−⋅−⋅

Entonces: ( )mxy 12243636 =−=−=

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EJERCICIO 3 Una varilla AB, de peso despreciable y 100 cm de longitud, se encuentra sometida a la acción de las fuerzas horizontales de 8, 4, 2 y 2 Kp representadas en la figura. ¿Qué es necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio?

0=∑ HF

( ) ( )KpKpR 88422 −=−+−−= Hacia la izquierda.

Entonces la equilibrante será: E = 8 (Kp) Hacia la derecha.

35

0=∑ AM

( )myy 358

80160200020488021002 =

−+=⇒=⋅−⋅−⋅+⋅

EJERCICIO 4 Una barra uniforme AB de 100 cm de longitud y 5 Kp de peso, está sometido a la acción de una fuerza vertical hacia debajo de 2 Kp aplicada a un punto situado a 20 cm del extremo A, y a las fuerzas verticales hacia arriba de 5, 3 y 8 Kp aplicadas respectivamente. ¿Qué es fuerza es necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio?.

0=∑Fv

( ) ( )KpKpR 952835 =−−++= Hacia arriba. Entonces la equilibrante será: ( )KpE 9−= hacia abajo.

0=∑ AM

( )cmxx 67.769

25040800180010086039505202 =

−++=⇒=⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−

EJERCICIO 5 Una barra AB de 100 cm de longitud, apoyada en sus extremos, tiene su centro de gravedad a 20 cm del extremo A. teniendo en cuenta que el peso de la barra es de 100 Kp, calcular las fuerzas ejercidas sobre los apoyos A y B.

36

0=∑ AM

( )KpFF BB 20100

20100010020100 =

⋅=⇒=⋅+⋅−

0=∑ BM

( )KpFF AA 80100

80100080100100 =

⋅=⇒=⋅+⋅−

EJERCICIO 6 Una tabla uniforme de 3 m de longitud y 50 Kp de peso está soportada en posición horizontal por dos cuerdas verticales unidas a sus extremos. Calcular la tensión en cada cuerda cuando un hombre de 90 Kp permanece sobre ella a una distancia de 1 m de uno de los extremos.

0=∑ AM

( )KpTT BB 553

7590035.150190 =

+=⇒=⋅+⋅−⋅−

0=∑ BM

( )KpTT AA 853

7518005.1502903 =

⋅=⇒=⋅+⋅+⋅−

EJERCICIO 7 Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejes perpendiculares al plano que pasen por B.

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( ) ( )mKpmKpSenM B ⋅=⋅⋅°⋅+⋅−=∑ 02030502010

PRÁCTICA 4 1. Una barra uniforme de 4 m de longitud y 15 Kp de peso se mantiene en posición

horizontal sobre un apoyo, cuando de sus extremos cuelgan pesos de 20 y 25 Kp. Calcular la posición del punto de apoyo.

0=∑Fv

( )KpPP 602515200251520 =++=⇒=−+−−

0=∑ AM

( )cmxxP 17.260

100300425215 =

⋅=⇒=⋅−⋅+⋅−

38

2. Hallar la resultante R de las tres fuerzas indicadas en la figura y la distancia x de la resultante R.

0=∑Fv

( )KpR 100205030 −=−−−= Hacia abajo.

Entonces la equilibrante será: ( )KpE 100= hacia arriba.

0=∑ AM

( )cmxxE 92100

300050001200015020100504030 =

++=⇒=⋅−⋅+⋅−⋅−

3. Una barra uniforme AB, de 100 cm de longitud y 60 Kp de peso, está sometida a la

acción de una fuerza vertical hacia arriba de 50 Kp aplicada en un punto a 20 cm del extremo A, y a las fuerzas verticales hacia debajo de 60 y 30 Kp en A y B respectivamente. Hallar la equilibrante del sistema y su punto de aplicación.

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0=∑Fv

( ) ( )KpKpR 10030606050 −=−−−= Hacia abajo.

Entonces la equilibrante será: ( )KpE 100= hacia arriba.

0=∑ AM

( )cmxxE 50100

10003000300001003050602050 =

++=⇒=⋅−⋅+⋅−⋅

4. Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejes

perpendiculares al plano y que pasen por C en la figura.

( ) ( ) ( )mKpcmKpcmKpSenM C ⋅=⋅=⋅⋅−⋅°⋅−=∑ 5.2727505025503060

40

FUERZAS COPLANARIAS NO PARALELAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO

1. FUERZAS: La resultante o suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo debe ser cero.

00 == ∑∑ FyFx

2. MOMENTOS: La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas, con

respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano de las mismas debe ser cero.

0=∑Mo

EJERCICIO 8 Un peso de 100 Kp se mantiene en equilibrio suspendido de dos cuerdas, como se presenta en la figura. Una de las cuerdas tira en dirección horizontal y la otra forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcular la tensión en las cuerdas.

0600 12 =−°⋅⇒=∑ TCosTFx (1)

0100600 2 =−°⋅⇒=∑ SenTFy (2)

De (2) despejando T2 se tiene:

( )KpSen

T 47.11560

1002 =

°=

Reemplazando en (1) tenemos: ( )KpCosCosTT 74.576047.1156021 =°⋅=°⋅=

41

EJERCICIO 9 Un peso de 600 Kp está suspendido de un poste por medio de la barra OA, de 4 m de longitud, articulado en A, y de la cuerda OB, unida al poste en el punto B situado a 3 m por encima de A. calcular la tensión T en la cuerda OB y el empuje P de la barra AO.

Calculando la longitud L

( ) ( ) ( )mL 52534 22 ==+=

Hallando las funciones trigonométricas respecto de α.

5

4

5

3== αα CosSen

00 =⋅+−⇒=∑ αCosTPFx (1)

06000 =⋅+−⇒=∑ αSenTFy (2)

De (2) despejando T se tiene:

( )KpSen

T 1000

5

3600600

===α

Reemplazando en (1) se tiene:

( )KpCosTP 8005

41000 =⋅=⋅= α

EJERCICIO 10 El extremo B de una barra AB está articulada a un mástil, mientras que del otro extremo A cuelga un peso de 80 Kp, como se representa en la figura. La barra se mantiene en posición

42

horizontal por medio de un acuerda unida al extremo A y al mástil, formando con la barra un ángulo de 50°. Hallar la tensión en la cuerda AC y el empuje de la barra contra el mástil.

0500 =°⋅+−⇒=∑ CosTRFx (1)

080500 =−°⋅⇒=∑ SenTFy (2)

De (2) despejando T se tiene:

( )KpSen

T 43.10450

80=

°=

Reemplazando en (1) se tiene: ( )KpCosCosTR 13.675043.10450 =°⋅=°⋅=

EJERCICIO 11 Los extremos de una cuerda de 11 m de longitud se unen a dos ganchos colocados en un techo horizontal y separados entre si 9 m. A los 4 m de uno de los extremos de la cuerda se une un peso de 100 Kp. Calcular la tensión en los dos segmentos de la cuerda.

43

Hallando los ángulos α y β utilizando el teorema de los cosenos.

°=

−+=⇒⋅⋅⋅−+= 19.48

72

498116942947 222 CosArcCos αα

°=

−+=⇒⋅⋅⋅−+= 21.25

126

164981792794 222 CosArcCos ββ

021.2519.480 21 =°⋅+°⋅−⇒=∑ CosTCosTFx (1)

010021.2519.480 21 =−⋅+°⋅⇒=∑ SenTSenTFy (2)

De (1) despejando T1 se tiene: 212

1 36.119.48

21.25TT

Cos

CosTT ⋅=⇒

°

°⋅= (3)

Reemplazando en (2) se tiene:

( ) 10043.001.110021.2519.4836.1 2222 =⋅+⋅⇒=⋅+°⋅⋅ TTSenTSenT

( )( )KpT 44.69

43.001.1

1001 =

+=

Reemplazando en (3) se tiene: ( )KpTT 44.9444.6936.136.1 21 =⋅=⋅= EJERCICIO 12 El extremo superior de una barra uniforme de 2 m de longitud y 80 Kp de peso está articulado a un soporte mientras que el inferior se halla unido a un soporte mientras que el inferior se halla unido a una cuerda horizontal que mantiene a la barra formando un ángulo de 40° con la vertical. Calcular la tensión T en la cuerda.

0=∑ OM

( ) 024014080 =⋅⋅°⋅+⋅°⋅− mKpCosTSen

44

( )KpTanCos

SenT 56.334040

402

40801 =°⋅=

°⋅°⋅

=

PRÁCTICA 5 1. El extremo B de una barra uniforme AB de 100 Kp de peso está unido a un mástil por

medio de una articulación. La barra se mantiene en posición horizontal, como indica la figura, mediante un cable unido al extremo A y al mástil que forma con la barra un ángulo de 34°. Hallar la tensión en el cable AC y la reacción de la articulación.

0340 =+°⋅−⇒=∑ ABACx RCosTF (1)

0100340 =−°⋅⇒=∑ SenTF ACy (2)

De (2) despejando TAC se tiene: ( )KpSen

TAC 83.17834

100=

°=

Reemplazando en (1) se tiene: ( )KpCosTR ACAB 26.14834 =°⋅=

2. El extremo inferior de una escalera se apoya contra la pared vertical y sobre un suelo

horizontal, como se representa en la figura. El extremo superior está unido a la pared por medio de una cuerda horizontal de 9 m de longitud. La escalera tiene una longitud de 15 m, pesa 50 Kp y su centro de gravedad se halla situado a 6 m de su extremo inferior. Calcular la tensión en la cuerda cuando un hombre de 75 Kp de peso se encuentra a una distancia de 3 m del extremo superior.

45

°=

=⇒= 87.3615

9

15

9SenArcSen αα

°=

=⇒= 13.5315

9

15

9CosArcCos ββ

0=∑ AM

( ) 01587.361287.3675687.3650 =⋅⋅°⋅+⋅°⋅−⋅°⋅− mKpCosTSenSen BC

( )KpCos

SenSenT 60

87.3615

1287.3675687.36501 =

°⋅⋅°⋅+⋅°⋅

=

3. Una barra uniforme AB de 2 m de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20

Kp como se representa el diagrama adjunto. Calcular: a) Esfuerzo en el tirante b) Compresión en la barra.

46

Calculando el ángulo α se tiene:

°=

=⇒= 87.365.2

5.1

5.2

5.1SenArcSen αα

0=∑ AM

( ) 01105.120287.36 =⋅⋅−⋅−⋅°⋅ mKpSenTBC

( )KpSen

TBC 33.3387.362

1105.120=

°⋅⋅+⋅

=

087.360 =+°⋅−⇒=∑ ABBCx RCosTF

( )KpCosCosTR BCAB 67.2687.3633.3387.36 =°⋅=°⋅=

EJERCICIO 13 La viga uniforme de 120 (N) de peso mostrada en la figura está soportado por dos cuerdas, un peso de 400 (N) está suspendida a ¼ de separación desde el extremo izquierdo. Encuéntrese T1 y T2.

47

0=∑ AM

04

1400

2

11201301 =

⋅−

⋅−⋅°⋅CosT

( )NCosCos

T 75.18430

160

30

100601 =

°=

°+

=

0=∑ BM

02

1120

2

1

4

14001142 =

⋅+

+⋅−⋅°⋅− CosT

( )NCosCos

T 02.37114

360

14

603001 =

°=

°+

=

EJERCICIO 14 Una barra uniforme AB de 2 M de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20 Kp, como se representa en la figura. Calcular: a) El esfuerzo en el tirante. b) Compresión en la barra.

48

Calculando el ángulo α se tiene:

°=

=⇒= 13.535.2

5.1

5.2

5.1CosArcCos αα

0=∑ AM

( ) 01105.113.53220 =⋅⋅−⋅°⋅+⋅− mKpSenTCD

( )KpSen

TBC 67.4113.535.1

110220=

°⋅⋅+⋅

=

013.530 =°⋅−⇒=∑ CosTRF CDABx

( )KpCosCosTR CDAB 2513.5367.4113.53 =°⋅=°⋅=

49

EJERCICIO 15 En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formando ángulos de 60° y 30°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan sus pies, está aplicada una carga de 100 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se hallan unidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada barra, el esfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo, sobre los soportes. El peso de la armadura se supone despreciable.

Asumiendo una longitud entre apoyos de 1 m, se tiene: En el triángulo grande:

( ) ( )mmSenLL

Sen2

15.0301

130 ==°⋅=⇒=°

En el triángulo pequeño:

( )mCosxx

Cos4

1

2

1

2

160

2

1

2

160 =⋅=°⋅=⇒=°

01000 21 =−+⇒=∑ RRFV (1)

( )KpRRM A 254

1000

4

110010 22 ==⇒=⋅−⋅⇒=∑ (2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

( )KpRR 7525100100 21 =−=−=

50

En A

∑ = 0yF

( )KpSenSen

RTSenTR ACAC 6.86

60

75

60060 1

1 =°

=°

=⇒=°⋅−

∑ = 0xF

( )KpCosCosTTCosTT ACAC 3.43606.8660060 =°⋅=°⋅=⇒=°⋅−

En B

∑ = 0yF

( )KpSenSen

RTSenTR BCBC 50

30

25

30030 2

2 =°

=°

=⇒=°⋅−

EXAMEN SEGUNDO PARCIAL

1. El brazo de un par formado por una fuerza de 6 Kp es de 10 cm: a) Determinar el

brazo que debe tener un par formado por una fuerza de 12 Kp para equilibrar al anterior. b) Hallar cual debe ser la fuerza del par que equilibra si tiene un brazo de 8 cm.

Para a)

51

0=∑ AM

( ) ( )cmxcmKpx 512

106010612 =

⋅=⇒=⋅⋅−⋅

Para b)

0=∑ AM

( ) ( )KpFcmKpF 5.78

10601068 =

⋅=⇒=⋅⋅−⋅

2. En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formando

ángulos de 70°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan sus pies, está aplicada una carga de 120 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se hallan unidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada barra, el esfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo, sobre los soportes. El peso de la armadura se supone despreciable.

Como se trata de un triángulo isósceles los ángulos en los vértices A y B serán los mismos, de la misma forma las reacciones en A y B. Entonces RA = RB = R

( )KpRRRRRRRRF BABAV 60120212001200 ===⇒=⋅⇒=+⇒=−+⇒=∑

Los tirantes AC y BC son iguales por lo que solo se operará un lado.

52

0550 =°⋅−⇒=∑ CosTRF ABx (1)

0550 =°⋅−⇒=∑ SenTRF Ay (2)

De (2) despejamos T, entonces se tiene:

( )KpSenSen

RT A 25.73

55

60

55=

°=

°=

Reemplazando en (1) se tiene:

( )KpCosCosTRAB 01.425525.7355 =°⋅=°⋅=

EXAMEN TERCER PARCIAL (SEGUNDA INSTANCIA PARCIALES)

1. La bola liza homogénea pesa 50 Kp y descansa sobre el plano inclinado 30° en A,

apoyándose contra la superficie vertical en B. calcular las fuerzas de contacto en A y B.

°=°−°=−°= 60309090 αβ

53

∑ = 0xF 060 =−°⋅ BA RCosR (1)

∑ = 0yF 060 =−°⋅ WSenRA (2)

De (2) despejamos RA.

( )KpSenSen

WRA 74.57

60

50

60=

°=

°=

Reemplazando en (1)

( )KpCosCosRR AB 87.286074.5760 =°⋅=°⋅= 2. En la figura AB es una barra rígida y CB un cable, si W es 2000 Kp ¿Cuál es la

reacción del pasador en A sobre la barra AB? ¿Cuál es la tensión en el cable?

TRTRF HHx =⇒=−⇒=∑ 00 (1)

( )KpRRF VVy 2000020000 =⇒=−⇒=∑ (2)

Calculando la distancia x

( )mTanxx

Tan 66.86055

60 =°⋅=⇒=°

0=∑ AM

( ) ( )KpTmKpT 1.34645

66.820000566.82000 =

⋅=⇒=⋅⋅+⋅−

3. El perno B se mantiene sujeto por una fuerza de agarre de 5 Kp perpendicular a las

mandíbulas del alicate que se ve en la figura. ¿Qué fuerza P deben aplicarse perpendicularmente a sus mangos para suministrar la fuerza de agarre?

54

( )KpP

PPPM O 13.28.11

03.5'08.1103.5'0 =

⋅=⇒=⋅−⋅⇒=∑

TEMA 4

VECTORES EN EL ESPACIO

DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS Consideremos un vector V actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z. para definir la dirección de V, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a V. este plano pasa a través del plano vertical Y, su orientación está definida por el ángulo Φ que éste forma con el plano XY. La dirección V dentro del plano esta definida por el ángulo Φy que V forma con el eje y. el vector V se puede descomponer en una componente vertical Vy a lo largo del eje Y y en una componente horizontal Vxz contenida en el plano horizontal XZ; esta operación mostrada en la Fig. 1, se efectúa en el plano OBAC siguiendo las reglas desarrolladas en el tema 2.

55

Las componentes escalares correspondientes son:

YY CosVV θ⋅= (A)

YXY SenVV θ⋅= (1)

Pero VXZ se puede descomponer en dos componentes rectangulares Vx y Vz a lo largo de los ejes X y Z, respectivamente. Esta operación, mostrada en la Fig. 2, se efectúa en el plano XZ. De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes escalares correspondiente a VX y VZ:

56

COMPONENTE VX:

Φ⋅= CosVV HX (2)

Reemplazando (1) en (2): Φ⋅⋅= CosSenVV YX θ (B) COMPONENTE VZ:

Φ⋅= SenVV HZ (3)

Reemplazando (1) en (3): Φ⋅⋅= SenSenVV YZ θ (C)

Por lo tanto, el vector dado V se ha descompuesto en tres componentes vectoriales rectangulares VX, VY y VZ, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados; cuyos valores se muestran en las ecuaciones (A), (B) y (C) respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD de la Fig. 3 se tiene:

( ) ( ) ( ) 222222222XZYXZY VVVVVBAOBOAV +=⇒+=+==

222YXZ VVV −= (4)

57

( ) ( ) ( ) 222222222ZXXZZX VVVVVDCODOCV +=⇒+=+== (5)

Igualando los segundos miembros de (4) y (5)

2222ZYx VVVV ++= (6)

Para despejar V extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros.

222ZYx VVVV ++= (D)

La ecuación (C) representa la magnitud de V en función de sus componentes rectangulares. Si en la Fig. 1, en vez de θX o θZ como los ángulos que V forma con los ejes X y Z respectivamente, se puede deducir dos fórmulas similares a la ecuación (A), esto es:

XX CosVV θ⋅= (E)

ZZ CosVV θ⋅= (F) Los ángulos θX o θY y θZ son los que definen la dirección del vector V. Los cosenos de estos ángulos se conocen como los cosenos directores del vector V, esto es:

V

VCos X

X =θ (G)

V

VCos Y

Y =θ (H)

V

VCos Z

Z =θ (I)

Elevando al cuadrado ambos miembros de estas tres ecuaciones y sumando miembro a miembro se tiene:

2

2

2

2

2

2222

V

V

V

V

V

VCosCosCos ZYX

ZYX ++=++ θθθ

El segundo miembro de esta ecuación es una fracción homogénea, por tanto:

2

222222

V

VVVCosCosCos ZYX

ZYX

++=++ θθθ

En el segundo miembro de esta ecuación, el numerador de la fracción, según la ecuación (6) de esta sección es igual a V2, esto es:

58

1222

2

2222 =++⇒=++ ZYXZYX CosCosCos

V

VCosCosCos θθθθθθ (J)

EJEMPLO 1 Descomponer la fuerza F = 600 Kp en sus componentes rectangulares y expresarlas en forma vectorial. DATOS: F = 600 Kp, α = 25°, β = 30°

Descomponemos F en una componente contenida en el eje Y (FY) y otra contenida en el plano XZ (FXZ), aplicando funciones trigonométricas.

( )KpCosKpFCosFF YY 78.54325600 =°⋅=⇒⋅= α

αSenFFXZ ⋅= (1)

Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z. βCosFF XZX ⋅= (2) Reemplazando (1) en (2):

( ) ( )KpCosSenKpCosSenFFX 60.2193025600 =°⋅°⋅=⋅⋅= βα

βSenFF XZZ ⋅= (3) Reemplazando (1) en (3):

( ) ( )KpSenSenKpSenSenFFZ 79.1263025600 =°⋅°⋅=⋅⋅= βα

59

EJERCICIO 2 Determinar los ángulos θX, θY y θZ que la fuerza F = 450 (Kp) forma con los ejes coordenados. DATOS: F = 600 (Kp), β = 40°, α = 35°.

Descomponemos F en una componente a lo largo del eje Y (FY) y otra contenida en el plano XZ (FXZ) en forma directa aplicando funciones trigonométricas.

( )KpSenKpFSenFF YY 11.25835450 =°⋅=⇒⋅= α

αCosFFXZ ⋅= (1)

Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z. βSenFF XZX ⋅= (2) Reemplazando (1) en (2):

( ) ( )KpSenCosKpSenCosFFX 94.2364035450 −=°⋅°⋅−=⋅⋅−= βα

βCosFF XZZ ⋅= (3) Reemplazando (1) en (3):

( ) ( )KpCosCosKpCosCosFFZ 38.2824035450 =°⋅°⋅=⋅⋅= βα Los ángulos buscados según las ecuaciones G, H e I son:

°=

−=

=⇒= 77.121

450

94.236CosArc

F

FCosArc

F

FCos X

XX

X θθ

60

°=

=

=⇒= 55

450

11.258CosArc

F

FCosArc

F

FCos Y

YY

Y θθ

°=

=

=⇒= 13.51

450

38.282CosArc

F

FCosArc

F

FCos Z

ZZ

Z θθ

61

EXAMEN FINAL DE FÍSICA (PREUNIVERSITARIO)

1. Probar gráficamente a) Que la línea que pasa por (-4,0) y (0,-4) es perpendicular a la línea que pasa por (-1, -1) y (-4,-4) b) Halle el punto de intersección entre ambas rectas.

Respuesta a) Son perpendiculares. Respuesta b) El punto de intersección es (-2,-2). 2. Halle la resultante del siguiente grupo de vectores mediante el método del polígono.

62

3. Sobre un cuadrado de 2 m de lado están aplicadas las fuerzas de 2, 6, 5, 4, 3 y 9 (Kp), como se muestra en la figura. Hallar la suma de momentos de dichas fuerzas

a) Con respecto al punto A, b) Con respecto al punto B.

a) ( )KpM A 6106418251614290 −=++−−=⋅+⋅+⋅−⋅−⇒=∑

b) ( )KpM B 13952131915120 =+−+=⋅+⋅−⋅+⋅⇒=∑

63

4. Encontrar las tensiones T1 y T2 según el gráfico mostrado.

0450 12 =−°⋅⇒=∑ TCosTFx (1)

0450 2 =−°⋅⇒=∑ WSenTFy (2)

De (2) despejamos T2, entonces se tiene:

( )KpSenSen

WT 27.226

45

160

452 =°

=°

=

Reemplazando en (1) se tiene:

( )KpCosCosTT 1604527.2264521 =°⋅=°⋅=

64

BIBLIOGRAFÍA

1. Colección SCHAUM: Física General. 2. Ing. Angel Salgado G. Prof. Mery Choque T.: FÍSICA 3° de Secundaria. 3. Aurelio Baldor: Algebra. 4. Ing. Juan Goñi Galarza: Física General. 5. Alonzo Finn: Física General.