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CÁLCULO DEL VALOR REAL DE DIFERENTES MEDICIONES

Carolina Vesga Hernández

Universidad del Atlántico

Física

RESUMEN

En la práctica se tomaron varias medidas a diferentes elementos con ayuda de los instrumentos necesarios

a fin de calcular y conocer los errores experimentales existentes obteniendo así el intervalo en el cual el

hallar el valor real de las medidas es mucho más probable.

PALABRAS CLAVE

Medición, error, incertidumbre, valor observado, valor real.

ABSTRACT

In practice, several steps were taken to different items using the tools to calculate and understand the

existing experimental errors thus obtaining the interval in which to find the real value of the measures is

much more likely.

KEY WORDS

Measurement error, uncertainty, observed value, real value.

1. INTRODUCCION

En la práctica se requieren medidas precisas para un óptimo trabajo siendo el objetivo de esta

determinar de la forma más exacta posible la magnitud de lo que se ha de medir, conociendo

también el margen de error que se tenga, sus causas y la incertidumbre de la medida.

2. DISCUSIÓN TEORICA

Siempre que se efectúa una medición, aunque el método y los sistemas para realizarla sean de

gran precisión, el resultado numérico obtenido tiene una precisión limitada. La precisión siempre

se ve afectada por alguna inexactitud o error.Para calcular esta inexactitud se han de utilizar

diferentes fórmulas según sea el caso.

Lo referente al verdadero valor del objeto a medir se expresa como un intervalo expresando la

mayor probabilidad en la que se encuentre el valor real así:

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Siendo Vo el valor observado y ±∆V el margen de error que se cree que hay, la incertidumbre,

expresada en ± pues se puede dar el error por exceso o por defecto.En algunas ocasiones se puede

acudir a un método no ortodoxo para asignar el valor de incertidumbre, a ∆V asignar la mitad de

la división más pequeña del instrumento, por ejemplo:

División menor: 1mm

Vo: 3.34mm

∆V = 1mm/2 = 0.5mm, por tanto Vr = (3.34 ± 0.5) mm

Si lo primero no se puede, se recurre al método matemático, tomado valores en la medición, se

usan los dos valores extremos, es decir el mayor y el menor, suponiendo que el valor real se

encuentre entre estos dos valores se tiene que V1≤ Vr ≤V2:

Obteniendo así la forma de reporte que se quiere

Al realizar mediciones indirectas como la densidad, por ejemplo, se deben tener en cuenta los

valores de las incertidumbres con que vienen los datos, pues el error involucrado en las

cantidades usadas conlleva a un error en el dato calculado. Es por esto que se debe conocer cómo

se propaga el error en una medición indirecta al hacer una operación entre dos cantidades

medidas directamente; siendo el caso para cada operación con incertidumbres:

(x= xo ± ∆x; y= yo ± ∆y)

Potencia

Z= x2 = xo

2 ± 2xo∆x + ∆x

2

Z= Zo± ∆Z

∆Z = 2xo∆x se puede despreciar ∆x2 pues será muy pequeño

Suma y Resta

S= x + y = (xo ± ∆x) + (yo ± ∆y) = (xo + yo) ± (∆x + ∆y)

S= So ± ∆S

∆S= ∆x + ∆y

Producto

P= xy = (xo ±∆x) (yo ± ∆y) = xoyo ± (yo∆x + xo ∆y) + ∆x∆y

P= Po ± ∆P

∆P = yo∆x + xo ∆y

División

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Despreciando el denominador yo∆y la incertidumbre relativa es:

Producto de variables elevadas a distintas potencias

Z= xm

yn

LogZ = mLogx + nLogy

3. METODOS EXPERIMENTALES

Como ya se ha mencionado en la práctica se tomaron diferentes medidas a diversos objetos y

sucesos con el objetivo de hallar para cada cual el intervalo en donde se encuentre su respectivo

valor real.

Se comenzó con un cilindro al cual se le determino la masa, el diámetro y la altura; la masa fue

hallada con una balanza de una sensibilidad de 0.01g, siendo la balanza una balanza analítica, se

deben tener en cuenta errores de calibración de aproximadamente 0.01g; respecto al diámetro y

altura fueron tomados con u pie de rey con sensibilidad de 0.05mm.

Posteriormente se hacen unos cálculos indirectos para determinar la densidad y el volumen del

cilindro.

Se pasa a un segundo objeto, una hoja, tomando medidas del espesor, lado mayor y lado menor.

Para medir el espesor de la hoja se usa un esferómetro con una sensibilidad de 0.01mm,

destacando también la calibración de este, pues se tenía que hallar el punto cero para las

posteriores medidas; el ancho y el largo se determinan con una cinta métrica de 1mm de

sensibilidad.

Luego se miden 30 hojas de las mismas dimensiones del pasado, esta vez tomando medidas del

espesor de estas con dos instrumentos diferentes el calibrador pie de rey y el esferómetro, el cual

es usado por la ausencia de un micrómetro, pero que tiene la misma función que este, dando dos

espesores relativamente diferentes, esto quizás por la presión ejercida en cada medida a las 30

hojas. Indirectamente se halla el área de las hojas y el espesor de una hoja con esferómetro.

Se pasa a estudiar un péndulo, el cual se arma debidamente con cierta distancia y soltando desde

un ángulo de aproximadamente 15° se hacen mediciones a 1, 10 y 30 oscilaciones. Comenzando

por las de menor cantidad se hacen varias mediciones a cada uno (10 mediciones), promediando

el tiempo para las oscilaciones. Indirectamente se determina el periodo y el valor de la

aceleración de la gravedad.

Terminando con la medida para un casquete esférico de su altura y distancia, determinando

indirectamente el radio del casquete.

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4. ANALISIS DE RESULTADOS

Cabe destacar que la incertidumbre se calcula por medio del método no ortodoxo, exceptuando

las incertidumbres respecto al tiempo que se miden teniendo en cuenta la velocidad de reacción

de la persona como se muestra debajo de la tabla. Además que los tiempos se toman por

promedio.

De la práctica realizada se obtienen los siguientes datos:

Tabla 1. Mediciones Directas

Número

De La

Medición

Objeto Y

Cantidad

A Medir

Instrumento Resultado De La Medición Unidades

Nombre Sensibilidad VO ∆V ER

CLINDRO

1 Masa Balanza 0.01 562.38 0.005 8.89*10

-

6

g

2 Diámetro Calibre 0.05 39.66 0.025 6.30*10

-

4

mm

3 Altura Calibre 0.05 58.55 0.025 4.27*10

-

4

mm

UNA

Pie de Rey

Cinta Métrica

Cronometro

Cronometro Balanza

Cilindro

Casquete Esférico

Péndulo

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5

HOJA

4 Espesor Esferómetro 0.010 0.069 0.005 0.07 mm

5 Lado

Mayor Cinta Metr. 0.10 27.70 0.05

1.80*10-

3 cm

6 Lado Menor

Cinta Metr. 0.10 21.70 0.05 2.30*10

-

3 cm

30 HOJAS

7 Espesor Calibre 0.050 3.250 0.025 7.69*10

-

3 mm

8 Espesor Esferómetro 0.010 3.890 0.005 1.28*10

-

3 mm

PENDULO

9 Longitud Cinta Metr. 1 1000 0.05 5.00*10

-

4 mm

10 Tiempo 1 osc Cronometro 0.01 0.97 0.12 0.12 s

11 Tiempo 10

osc Cronometro 0.01 10.08 0.12 0.01 s

12 Tiempo 30

osc Cronometro 0.01 30.72 0.12

3.91*10-

3 s

CASQUETE

ESFERICO

13 Altura (a) Esferómetro 0.010 3.82 0.005 1.31*10

-

3 mm

12 Distancia

(x) Calibre 0.050 291 0.025

8.59*10-

5

mm

El promedio de las atrapadas de una regla se dieron a los 8 cm (0.08 m) de esta forma se calcula

la incertidumbre respecto al tiempo sabiendo que:

Teniendo presente todo lo anterior se pueden expresar entonces las medidas tomadas en sus

respectivos intervalos más probables en la siguiente tabla:

Tabla 2. Magnitud de medición.

Número de la Medición Intervalos Unidades de Medida

1 ( 562.380 0.005 ) g

2 ( 39.650 0.025 ) mm

3 ( 58.550 0.025 ) mm

4 ( 0.070 0.005 ) mm

5 ( 27.70 0.05 ) cm

6 ( 21.70 0.05 ) cm

7 ( 3.250 0.025 ) mm

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6

8 ( 3.890 0.005 ) mm

9 ( 1000.0 0.05 ) mm

10 ( 0.97 0.12 ) s

11 ( 10.07 0.12 ) s

12 ( 30.72 0.12 ) s

13 ( 3.820 0.005 ) mm

14 ( 291.000 0.025 ) mm

Luego de hacer las diferentes medidas se usan para calcular otros datos indirectamente como:

volumen y densidad del cilindro; área y espesor con calibrador y con esferómetro de una hoja;

radio del casquete esférico; periodos del péndulo con diferentes oscilaciones y la aceleración de

la gravedad. A los cuales se les calcula también la incertidumbre; están dadas por las siguientes

operaciones:

Volumen del Cilindro:

Siendo a la altura del cilindro y temiendo en cuanta que el radio (r) es la mitad del diámetro (r =

d/2) se tiene entonces que el volumen de un cilindro es igual a:

Se halla la incertidumbre aplicando los métodos de la discusión teórica, siendo entonces:

Por tanto V = (72330.62 ± 122.071) mm3

Densidad del Cilindro:

Luego por los métodos de la discusión teórica se tiene que la incertidumbre respecto a la

densidad es:

Siendo que la densidad se encuentra en el intervalo (7.77 ± 0.01)g/cm3

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Área de una hoja

Luego para hallar la incertidumbre se tiene por los métodos de la discusión teórica que:

Siendo que el área de la hoja se encuentra en el intervalo (601.09 ± 2.47) cm2

Espesor de una hoja con calibrador

Siendo entonces la incertidumbre, en base a la discusión teórica, igual a:

Siendo que el valor se haya en el intervalo (0.11 ± 9.17 *10-5

) mm

Espesor de una hoja con Esferómetro

Y la incertidumbre:

Siendo el intervalo mas probable (0.13 ± 2.17 * 10-5

) mm

Radio del casquete esférico

Se tiene que el radio esférico es igual a:

Para hallar la ∆R se suman las incertidumbres halladas de cada dato elevado al cuadrado del

numerador y se dividen por el numerador siendo esto de la siguiente manera:

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Siendo el intervalo de la medida (11085.81 ± 1.90) mm

Periodo de un péndulo (1 oscilación)

Se tiene que el periodo es igual a:

Y la incertidumbre:

Siendo el intervalo (0.97 ± 0.11) s

Periodo de un péndulo (10 oscilaciones)

Siguiendo los métodos anteriores se tiene que el intervalo es (1.01 ± 0.01) s

Periodo de un péndulo (30 oscilaciones)

Se tiene que el intervalo de la medida es (1.02 ± 0.004) s

Aceleración de la gravedad (1 oscilación)

Siendo ∆g:

Siendo el intervalo (13.35 ± 3.03) m/s2

Aceleración de la Gravedad (10 oscilaciones)

Siguiendo lo anterior se tiene que el intervalo de la medida es (12.32 ± 0.24) m/s2

Aceleración de la gravedad (30 oscilaciones)

Se tiene que para las 30 oscilaciones el intervalo es (12.08 ± 0.09) m/s2

Recogiendo todo lo anterior se tiene la siguiente tabla:

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Tabla 3. Mediciones indirectas

Numero

De La

Medición

Magnitud

Intervalo De Las Medida

1 Volumen del cilindro ( 72330.62 ± 122.071 ) mm3

2 Densidad del cilindro ( 7.77

± 0.01 ) g/cm3

3 Área de una hoja ( 601.09

± 2.47 ) cm2

4 Espesor de una hoja

(calibrador) ( 0.11 ± 9.17*10

-5 ) mm

5 Espesor de una hoja

(esferómetro) ( 0.13 ± 2.17*10

-5 ) mm

6 Radio del casquete esférico ( 11085.81 ± 1.90 ) mm

7 Periodo de un péndulo (1

osc.) ( 0.97 ± 0.11 ) s

8 Periodo de un péndulo (10

osc.) ( 1.01 ± 0.01 ) s

9 Periodo de un péndulo (30

osc.) ( 1.02

± 0.004 ) s

10 Aceleración de la gravedad

(1 osc.) ( 13.35 ± 3.03 ) m/s

s

11 Aceleración de la gravedad

(10 osc.) ( 12.32 ± 0.24 ) m/s

s

12 Aceleración de la gravedad

(30 osc.) ( 12.08 ± 0.09 ) m/s

s

5. CONCLUSIONES

A la hora de medir un objeto o situación se deben tener en cuenta los errores que puedan ocurrir,

se deben tomar varias medidas para mayor seguridad además de tener en cuenta la propagación

de errores efectuando los cálculos necesarios.

REFERENCIAS 1. E. Coral. Guía para análisis de experimentos. Uniatlántico. Versión corregida febrero del

2010.