Física general +I

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Sumario Introducción 03

Capítulo Nº 01: Sistema de Unidades. Factores Numéricos de Conversión. 04

1.1. Unidades Básicas del Sistema Internacional (SI) 05 1.2. Unidades SI y derivadas. 1.3. Unidades SI derivadas, expresadas a partir de Unidades Básicas y

Suplementarias. 05 1.4. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. 07 1.5. Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen

nombres especiales 08 1.6. Nombres y Símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos

decimales de unidades SI autorizados. 09 1.7. Unidades definidas a partir de las unidades SI pero que

no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades. 09 1.8. Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor

en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. 09 1.9. Múltiplos y Submúltiplos decimales. 10 1.10. Sistema Inglés de Unidades. 10 1.11. Factores numéricos de conversión. 10 1.12. Factores de conversión entre unidades de Longitud, Masa,

Densidad, Energía y Energía Específica. 11 Actividad Nº 01: Sistema de Unidades. Factores Numéricos de Conversión. 12

Capítulo Nº 02: Dimensión de una magnitud. Principio de Homogeneidad. 16 2.1. Análisis Dimensional. 17 2.2. Propiedades de las ecuaciones dimensionales. 17 2.3. Principio de homogeneidad de la suma y la resta. 17 Actividad Nº 02: Dimensión de una magnitud. Principio de Homogeneidad. 18

Capítulo Nº 03: Cinemática de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 21 3.1. Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas

Rectangulares. 22 3.2. Características de la velocidad de una partícula en una y dos

dimensiones en coordenadas rectangulares. 22 3.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en una y

dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 24 3.4. Problemas complementarios. 30 Actividad Nº 03. Cinemática de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 34

Capítulo Nº 04: Cinemática de una partícula en el plano en coordenadas polares. 40 4.1. Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas polares. 41 4.2. Características de la velocidad de una partícula en el plano en

coordenadas polares. 41 4.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en el plano en

coordenadas polares. 43 Actividad Nº 04. Cinemática de una partícula en el plano en coordenadas polares. 51

Apéndice de Tablas y Constantes Físicas 53 Tabla N° 01: Factores de conversión entre unidades de presión. 54 Tabla N° 02: Densidades de algunas sustancias corrientes. 54 Tabla Nº 03: Módulo de Young, Límite elástico y Resistencia a la

rotura de algunos sólidos corrientes. 55 Bibliografía 55

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INTRODUCCIÓN

La física, como tal, es el estudio de la naturaleza. Pero hay que verlo en el sentido amplio de la palabra. De hecho, la palabra proviene del griego, que quiere decir naturaleza. Dentro de los estudios que se realiza en la física, podemos encontrar diversos temas, los cuales son desarrollados, de manera empírica, ya que la física, es una ciencia empírica y se le considera, como la más exacta de su tipo.

Por lo mismo, es que la física, estudia los fenómenos naturales, las moléculas, el universo, el tiempo, la energía y todo aquello, que podamos considerar, como efecto de la naturaleza. En consecuencia la física es el estudio de la naturaleza, pero en su sentido más amplio.

Fueron los griegos, quienes comenzaron a desarrollar, incipientemente, la física. Ya que ellos dejaron de entender todo, como un hecho de los dioses, por lo que quisieron comprender la naturaleza que los rodeaba. Al igual que el espacio y su composición. Claro que los primeros atisbos de la física, fueron bastante pobres. Pero hay que tomar en cuenta, las nulas o precarias herramientas, con que contaban los griegos. De hecho, la mayoría de las investigaciones realizadas, tuvieron un corte, netamente filosófico. Fueron ellos, quienes desarrollaron la teoría, de que la tierra era el centro del universo. La cual fue derribada, recién en el siglo XVII, por Galileo Galilei, el que apoyó férreamente las teorías de Copérnico, sobre el sistema heliocéntrico. O sea, la tierra no era el centro del universo e incluso algo peor, que los astros no giraban alrededor de la tierra, sino que esta giraba alrededor del sol. Debido a esto, Galileo, sufrió la furia de la Inquisición Católica, por proponer tal aberración. Teniendo que negar aquello, que el sabía como algo cierto e irrefutable.

Uno de sus grandes aportes a la ciencia y a la física, fue el desarrollo del telescopio. Con el cual, pudo ver mucho más allá, de lo que nunca antes se había visto. Incluso descubrió, que Júpiter poseía diversas lunas. Posteriormente, Isaac newton, realizó grandes descubrimientos en el campo de la física. Aportando con invalorables teorías. Como la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación. Asimismo, desarrolla el cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Luego vendrían otros aportes a la estructura de la física, como la termodinámica y la física de los fluidos.

Fue durante el siglo XIX y el XX, que la física llegó a ser lo que es hoy en día. En el fondo, pasó de la juventud a la adultez plena. Gracias a la teoría del electromagnetismo, el comienzo de la física nuclear, la teoría de la relatividad general, de Einstein, quien hasta el día de hoy, goza de un sitial privilegiado dentro de la física.

Ahora, dentro de la física, existen dos ramas. La física clásica y la moderna. Todo aquello que fue descubierto antes del siglo XX, se inserta en la clásica. Los posterior a éste siglo, es física moderna. La diferencia está, en que en la primera, se estudian fenómenos que ocurren a una velocidad menor que la de la luz. En la moderna, los fenómenos, ocurren a la velocidad mencionada.

Los autores

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CAPÍTULO Nº 01:

SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN

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CAPÍTULO Nº 01. SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN

1.1. Unidades Básicas del Sistema Internacional (SI)

Magnitud Nombre Símbolo Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo S

Intensidad de corriente eléctrica

Ampere A

Temperatura termodinámica Kelvin K Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candela cd

Unidad de longitud: El metro (m), es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la

luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Unidad de masa: El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del

kilogramo Unidad de tiempo: El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la

radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que

manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 210-7 newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura Termodinámica: El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción

1/273.15 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvin, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 , donde T0 = 273.15 K por definición.

Unidad de cantidad de Sustancia: El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene

tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Unidad de intensidad Luminosa: La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de

una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 5401012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

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Unidades derivadas si dimensión

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano Radián Rad mm-1= 1 Ángulo sólido Estereorradián Sr m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano: El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de

un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

Unidad de ángulo sólido: El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice

en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

1.2. Unidades SI derivadas.

Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton por metro.

1.3. Unidades SI derivadas, expresadas a partir de Unidades Básicas y Suplementarias. Magnitud Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2 Número de onda metro a la potencia menos uno m-1 Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3 Velocidad angular radián por segundo rad/s Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Unidad de velocidad: Un metro por segundo (m/s o ms-1) es la velocidad de un cuerpo

que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleración: Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o ms-2) es la aceleración

de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de Ondas: Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas

de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad

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Angular: Un radián por segundo (rad/s o rads-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Unidad de aceleración Angular: Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rads-2) es la

aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo

1.4. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en

otras unidades SI

Expresión en unidades SI básicas

Frecuencia hertz Hz s-1 Fuerza newton N mkgs-2 Presión pascal Pa Nm-2 m-1kgs-2 Energía, trabajo, cantidad de calor

joule J Nm m2kgs-2

Potencia watt W Js-1 m2kgs-3 Cantidad de electricidad, Carga eléctrica

coulomb C sA

Potencial eléctrico, Fuerza electromotriz

volt V WA-1 m2kgs-3A-1

Resistencia eléctrica

ohm Ω VA-2 m2kgs-3A-2

Capacidad eléctrica

farad F CV-1 m-2kg-1s4A2

Flujo magnético weber Wb Vs m2kgs-2A-1 Inducción magnética

tesla T Wbm-2 kgs-2A-1

Inductancia henry H WbA-1 m2kg s-2A-2 Unidad de frecuencia: Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo

periodo es 1 segundo. Unidad de fuerza: Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una

masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado

Unidad de presión: Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una

superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor: Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton,

cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.

Unidad de potencia, flujo radiante: Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de

energía igual a 1 joule por segundo. Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica: Un coulomb © es la cantidad de electricidad transportada en 1

segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.

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Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz: Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre

dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt

Unidad de resistencia Eléctrica: Un ohm (Ω ) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos

de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Unidad de capacidad Eléctrica: Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre

sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético:

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de inducción Magnética: Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida

normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

Unidad de inductancia: Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el

que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

1.5. Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en

unidades SI básicas

Viscosidad dinámica pascal segundo Pas m-1kgs-1 Entropía joule por kelvin J/K m2kgs-2K-1 Capacidad térmica másica joule por

kilogramo kelvin J/(kgK) m2s-2K-1

Conductividad térmica watt por metro kelvin

W/(mK) mkgs-3K-1

Intensidad del campo eléctrico

volt por metro V/m mkgs-3A-1

Unidad de viscosidad Dinámica: Un pascal segundo (Pas) es la viscosidad dinámica de un fluido

homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía: Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema

que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura

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termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de capacidad térmica másica: Un joule por kilogramo kelvin (J/(kgK) es la capacidad térmica

másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad Térmica: Un watt por metro kelvin W/(mK) es la conductividad térmica de

un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo eléctrico: Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico,

que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

1.6. Nombres y Símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI

autorizados. Magnitud Nombre Símbolo Relación Volumen litro l o L 1 dm3=10-3 m3 Masa tonelada t 103 kg Presión y tensión bar bar 105 Pa

1.7. Unidades definidas a partir de las unidades SI pero que no son múltiplos o

submúltiplos decimales de dichas unidades.

1.8. Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. Magnitud Nombre Símbolo Valor en

unidades SI Masa unidad de masa

atómica u 1,6605402 10-27 kg

Energía electronvoltio Ev 1,60217733 10-19 J

Magnitud Nombre Símbolo Relación Ángulo plano vuelta 1 vuelta= 2π rad grado º (π /180) rad minuto de ángulo ‘ (π /10800) rad segundo de ángulo “ (π /648000) rad Tiempo minuto min. 60 s hora h 3600 s día d 86400 s

10

1.9. Múltiplos y Submúltiplos decimales. Factor Prefijo Símbolo 1024 1000 000 000 000 000 000 000 000 yotta Y 1021 1000 000 000 000 000 000 000 zeta Z 1018 1000 000 000 000 000 000 exa E 1015 1000 000 000 000 000 peta P 1012 1000 000 000 000 tera T 109 1000 000 000 giga G 106 1000 000 mega M 103 1000 kilo K 102 100 hecto H 10 10 deca Da 10-1 0.1 deci d 10-2 0.01 centi c 10-3 0.001 mili m 10-6 0.000001 micro µ 10-9 0.000000001 nano n 10-12 0.000000000001 pico p 10-15 0.000000000000001 femto f 10-18 0.00000000000000001 atto a 10-21 0.0000000000000000001 zepto z 10-24 0.000000000000000000001 yocto y

1.10. Sistema Inglés de Unidades En las unidades del Sistema Inglés la longitud se mide en pies, la fuerza en libras (lb) y el tiempo en segundos (s). Éstas son las unidades básicas de este sistema. En este sistema de unidades la masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa del material acelerado a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra. La segunda Ley de Newton establece que: 1 lb = (1 sulg)(1 pie/s2). De esta expresión obtenemos que: 1 slug = 1 lb – s2/ pie Se tiene también otras unidades de longitud, tales como la milla: (1 mi = 5280 pie); el pie: (1 pie = 12 pulg), así como la kilolibra (1 klb = 1000 lb). En algunas aplicaciones de ingeniería se usa una unidad alternativa de masa llamada libra masa (lbm), que es la masa de un material cuyo peso es de una libra al nivel del mar. El peso al nivel del mar de un cuerpo que tiene una masa de un slug es: W = mg = (1slug)(32.2 pie/s2) = 32.2 lb, por lo que 1 lbm = (1/32.2) slug. Cuando se usa la libra masa, una libra fuerza suele denotarse con la abreviatura lbf.

1.11. Factores numéricos de conversión Existen ciertos factores que todavía se siguen utilizando en los sistemas de medidas locales o regionales, si bien existen acuerdos internacionales de utilizar los pesos y medidas, según el sistema internacional o más conocido como SI. A continuación, presentamos algunos factores de conversión: 1 cm = 10-2 m 1 km = 103 m 1 milla terrestre = 1.6094 km = 1609.4 m ≈ 1760.06 yd ≈ 5280 pies 1 milla marina = 1.852 km = 1852 m 1 pulgada ≈ 2.54 cm 1 pie = 12 pulgadas ≈ 30.48 cm ≈ 0.3048 m 1 yd = 3 pies ≈ 91.44 cm 1 Å = 0,1 nm 1 m = 1015 fm = 1010 Å = 109nm 1 año-luz = 9,461 x1015m 1 h = 60 min = 3600 s 1 día = 24 h = 86400 s 1 cm2 = 10-4 m2

1 km2 = 106 m2

1 cm/s = 10-2 m/s 1 cm/s2 = 10-2 m/s2

1 N = 1 kg.m/s2 1 kg-f ≈ 9.8 N 1 dina = 10-5 N 1 ergio = 10-7 J 1 HP ≈ 746 W 1 atm = 1.01325x105 Pa = 760 Torr = 760 mm Hg = 1000 mb 1 mm Hg = 1 Torr ≈ 133.32 Pa 1 cal ≈ 4.1868 J 1 kcal ≈ 4186.8 J 1 kcal/(kg.k) ≈ 4186.8 J/(kg.k) 1 dina/cm = 10-3 N/m

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1 M.e.V ≈ 1.6021x10-13 J 1 W.h = 3600 J 1 Kw.h = 3.6 x106 J = 3.6 MJ 1 acre = 43560 pie2; 1 mi2 = 640 acres 1 l = 1000 cm3= 10-3 m3

1 gal ≈ 3.786 l ≈ 231 pulg3 1 kg = 1000 g 1 Tm = 1000 kg 1 slug ≈ 14.59 kg ≈ 32.2 lbm 1 lbm ≈ 0.453 kg

1 kg ≈ 6.852 x 10-2 slug 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 = 1 kg/l 1 lb-f ≈ 4.4482 N ≈ (1 slug)(1 pie/s2) 1 lb-f/pulg2 ≈ 6895 Pa ≈ 6.895 k pa 1 bar = 100 kpa = 750 Torr = 105 N/m2 1 pie.lb-f ≈ 1.356 J 1 b.t.u = 778 pie.lb-f ≈ 252 cal ≈ 1054.35 J 1 e.V ≈ 1.6021x10-19 J 1 b.t.u /min ≈ 17.58 W

1.12 Factores de conversión entre unidades de Longitud, Masa, Densidad, Energía y Energía

Específica Longitud

1 m = 102 cm. 1 km = 103 m 1 milla terrestre = 1.6094 km 1 milla marina = 1.852 km 1 pie = 12 pulgadas 1 pulgada = 2.54 cm 1 yarda = 3 pies 1 pie = 0.3048 m

Masa y Densidad

1 kg = 2.2046 lb 1 lb = 0.4536 kg 1 g/cm3 = 103 kg/m3 1 lb/ft3 = 0.016018 g/cm3 1 g/cm3 = 62.428 lb/ft3 1 lb/ft3 = 16.018 kg/m3

Energía y Energía Específica

1 J = 1 N.m = 0.73756 ft.lbf 1 ft.lbf = 1.35582 J 1 kJ = 737.56 ft.lbf 1 Btu = 778.17 ft.lbf 1 kJ = 0.9478 Btu 1 Btu = 1.0551 kJ 1 kJ/kg = 0.42992 Btu/lb 1 Btu/lb = 2.326 kJ/kg

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ACTIVIDAD Nº 01. SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN.

1. Las computadoras usan comúnmente muchos millones de transistores, cada transistor ocupa un

área de aproximadamente 21266 101010 mmmx −−− = ¿Cuántos de estos transistores pueden acomodarse en un chip de silicio de 21cm ? Las computadoras de generaciones futuras pueden explotar un acomodo tridimensional de los transistores. Si cada transistor tiene un espesor de

m710− ¿Cuántos transistores podrían acomodarse en un cubo de silicio de 31cm ?

2. Los núcleos de todos los átomos tienen aproximadamente la misma densidad de masa. El núcleo de un átomo de cobre tiene una masa de kgx 251006.1 − y un radio de mx 15108.4 − . El núcleo de

un átomo de plomo tiene una masa de kgx 25105.3 − . ¿Cuál es su radio? El núcleo de un átomo de

oxígeno tiene una masa de kgx 26107.2 − . ¿Cuál es su radio? Suponga que los núcleos son esféricos.

3. Las unidades inglesas usan la libra ordinaria, llamada también libra avoirdupois, para especificar la masa de la mayoría de clases de cosas; sin embargo, a menudo se usa la libra troy para medir piedras preciosas, metales preciosos y medicinas donde 1 libra troy = 0.82286 libras avoirdupois. Si adoptamos estas libras diferentes, ¿cuántos gramos hay en una libra troy de oro?, y ¿cuántos en una libra avoirdupois de plumas?

4. La pica es una unidad de longitud que usan los impresores y los diseñadores de libros; 1 pica 6

1=

pulgada, que es la distancia estándar entre una línea de dos tipos producida en una máquina de escribir y la siguiente línea (a reglón seguido). ¿Cuántas picas de longitud y anchura mide una

hoja estándar de papel de 11 pulgadas de largo y 2

18 pulgadas de ancho?

5. Cuando se diluye una muestra de sangre humana hasta 200 veces su volumen inicial y se

examina microscópicamente en una capa de 0.10 mm de espesor, se encuentra un promedio de 30 glóbulos rojos por cada 100 x 100 µm² (a) ¿Cuántos de estos glóbulos rojos hay en un mm3 de sangre? (b) Los glóbulos rojos de la sangre tienen un promedio de vida de 1 mes y el volumen de sangre de un adulto es de aproximadamente 5 litros. ¿Cuántos glóbulos rojos se generarán cada segundo en la médula ósea de un adulto?

6. Cuando se diluye una muestra de sangre humana hasta 200 veces su volumen inicial y se examina microscópicamente en una capa de 0.10 mm de espesor, se encuentra un promedio de 30 glóbulos rojos por cada 100 x 100 µm² (a) ¿Cuántos de estos glóbulos rojos hay en un mm3 de sangre? (b) Los glóbulos rojos de la sangre tienen un promedio de vida de 1 mes y el volumen de sangre de un adulto es de aproximadamente 5 litros. ¿Cuántos glóbulos rojos se generarán cada segundo en la médula ósea de un adulto?

7. Cuando dos placas de vidrio húmedas se mantienen juntas, al sumergirlas en agua se observa que el agua asciende hasta una altura h dentro del espacio entre las dos placas. Esta altura está relacionada con la distancia d entre las placas; la tensión superficial σ ; la densidad del fluido ρ

y el ángulo de contacto φ , a través de la expresión: dg

hρφσ cos2

= . Determine el espaciamiento

entre las placas, si se tiene que para una altura de 49 pies el ángulo de contacto es 0° y la tensión superficial del agua es de 5x10-3 lbf/pie ( =aguaρ 1 g/mL; =g 32.2 pies/s2)

8. Una partícula de radio 0.04 pulg, que se desplaza en el seno de un fluido (agua), desarrolla una

potencia motriz de 6.711x10-3 HP. Determine la velocidad de la partícula en pies/s. La viscosidad del agua es 0.105x10-2 kg.m-1.s-1 (Observación: La potencia motriz se utiliza para vencer la resistencia hidrodinámica al movimiento. Al utilizar la Ley de Stokes para describir la fuerza de resistencia resulta que la potencia necesaria para moverse a velocidad v , es: 26 RvP πµ= )

13

9. Nuestro Sol tiene un radio de mx 8100.7 y una masa de kgx 30100.2 . ¿Cuál es la densidad promedio? Exprese su respuesta en gramos por centímetro cúbico.

10. Los púlsares o estrellas de neutrones tiene comúnmente un radio de 20 km y una masa igual a la masa del Sol )100.2( 30kgx ¿Cuál es la densidad promedio de un púlsar como estos? Exprese su respuesta en toneladas métricas por centímetro cúbico.

11. Fuerza de arrastre: Cuando un cuerpo esférico se mueve en un fluido a velocidad elevada, la fuerza de resistencia )(F , es proporcional al cuadrado de la velocidad )( 2v . Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de esta fuerza con la viscosidad µ ; densidad ρ del líquido; y radio r de la esfera.

12. Para grandes velocidades la fuerza de arrastre, viene dado por: fxa AvCF2

2

1ρ= , donde xC

representa el Coeficiente de arrastre, y fA el Área frontal en la que el flujo de fluido incide.

Determine el valor de este coeficiente de resistencia para un objeto que se mueve en el agua (Densidad del agua = 1 g/cm3), y desarrolla sólo un 60% de su potencia útil: 0.54 HP. La velocidad es de 500 cm/s y su sección máxima en la dirección del movimiento es 15.5 pulg2. (Observación: La potencia mecánica para un movimiento uniforme se define como el producto de la Fuerza por la Velocidad)

13. Ley de Poiseuille: La pérdida de carga )(A para un Flujo de Fluidos en una tubería, es proporcional al caudal (Q ). Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de ésta pérdida

de carga con la viscosidad µ ; densidad ρ del líquido; y radio r del tubo cilíndrico.

(Observación: l

PA∆= , donde =−=∆ 21 PPP Caída de presión, y =l Longitud de la tubería)

14. El flujo de un fluido laminar en una tubería, establece que la pérdida de carga viene determinado

por:

=

4

8

r

QA

µπ

, donde Q representa el caudal, µ la viscosidad y r el radio de la tubería.

Determine el valor de este radio para un fluido que desarrolla una velocidad de 1060.3 l/s. La pérdida de carga es de 89.58 Pa/m y la Viscosidad del agua es de 0.105x10-1 g.cm-1s-1; (Observación: 1l = 103 cm3)

15. El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R , definido

como k

d, donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad térmica. Por

ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, 30.0=k Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como 10−R . ¿Qué espesor de (a) Espuma de poliestireno y (b) Madera pino, daría un valor R de 10−R ?, sí: kEspuma de poliestireno

= 1.0x10-5 kcal/(m.s.ºC); kMadera pino = 2.9x10-5 kcal/(m.s.ºC) [Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos que están a diferentes temperaturas se denomina conducción

de calor. La tasa de flujo de calor por conducción está dada por: d

TkA

t

Q ∆=

∆

∆]

16. El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R , definido

como k

d, donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad térmica. Por

ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, 30.0=k Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como 10−R . ¿Qué espesor de (a) aglomerado y (b) tabique, daría un valor R de 10−R ?, sí: kAglomerado = 1.4x10-5 kcal/(m.s.ºC); kTabique

= 17x10-5 kcal/(m.s.ºC) [Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos

14

que están a diferentes temperaturas se denomina conducción de calor. La tasa de flujo de

calor por conducción está dada por: d

TkA

t

Q ∆=

∆

∆]

17. [A] En la biblia, Noé debe construir un arca de 300 cúbitos de largo, 50.0 cúbitos ancho y 30.0

cúbitos de altura. Los registros históricos indican que un cúbito mide media yarda. (a) ¿Qué dimensiones tendría el arca en metros? (b) ¿Qué volumen tendría el arca en metros cúbicos? Para aproximar suponga que el arca es un paralelepípedo. [B] La densidad del mercurio metálico es de 13.6 g/cm3. (a) Exprese esta densidad en kg/m3. (b) ¿Cuántos kilogramos de mercurio se necesitarían para llenar un recipiente de 0.250 L?

18. [A] El túnel del Canal, o “Chunnel”, que cruza el canal de la Mancha entre Gran Bretaña y Francia tiene 31 mi de longitud. (En realidad, hay tres túneles individuales.) Un tren de transbordo que lleva pasajeros por el túnel viaja con una rapidez media de 75 mi/h en promedio, ¿cuántos minutos tarda el tren en cruzar el Chunnel en un sentido? [B] El material sólido más ligero es el aerogel de sílice, cuya densidad típica es de aproximadamente 0.10 g/cm3. La estructura molecular del aerogel de sílice suele incluir 95% de espacio vacío. ¿Qué masa tiene 1 m3 de aerogel de sílice?

19. (a) Una muestra de tetracloruro de carbono, un líquido que solía usarse para el lavado en seco, tiene una masa de 39.73 g y volumen de 25.0 mL a 25ºC. Calcule su densidad a esa temperatura. ¿El tetracloruro de carbono flota en agua? (Los materiales menos densos que el agua flotan en ella) (b) La densidad del platino es de 21.45 g/cm3 a 20ºC. Calcule la masa de 75.00 cm3 de platino a esa temperatura. (c) La densidad del magnesio es de 1.738 g/cm3 a 20ºC. Calcule el volumen de 87.50 g de este metal a esa temperatura.

20. (a) Un cubo de metal de Osmio de 1.500 cm por lado tiene una masa de 76.31 g a 25ºC. Calcule su densidad en g/cm3 a esa temperatura. (b) La densidad del metal de titanio es de 4.51 g/cm3 a 25ºC. ¿Qué masa de titanio desplaza 65.8 mL de agua a 25ºC? (c) La densidad del benceno a 15ºC es de 0.8787 g/mL. Calcule la masa de 0.1500 L de benceno a esa temperatura.

21. (a) Para identificar una sustancia líquida, una estudiante determinó su densidad. Empleando una probeta graduada, midió una muestra de 45 mL de sustancia. A continuación, determinó la masa de la muestra, encontrando que pesaba 38.5 g. Ella sabía que la sustancia tenía que ser alcohol isopropílico (densidad = 0.785 g/mL) o bien tolueno (densidad = 0.866 g/mL). ¿Cuál fue la densidad calculada y cuál es la probable identidad de la sustancia? (b) Un experimento requiere de 45.0 g de etilenglicol, un líquido cuya densidad es de 1.114 g/mL. En vez de pesar la muestra en una balanza, un químico opta por medir el líquido en una probeta graduada ¿Qué volumen de líquido deberá usar? (c) Un trozo cúbico de metal mide 5.00 cm por lado. Si el metal es níquel, con densidad de 8.90 g/cm3, ¿qué masa tiene el cubo?

22. (a) Habiéndose desprendido la etiqueta de un frasco que contiene un líquido transparente el cual se piensa que es benceno, un químico midió la densidad del líquido con objeto de verificar su identidad. Una porción de 25.0 mL del líquido tuvo una masa de 21.95 g. En un manual de química se indica que la densidad del benceno a 15ºC es de 0.8787 g/mL. ¿La densidad calculada concuerda con el valor tabulado? (b) Un experimento requiere 15.0 g de ciclohexano, cuya densidad a 25ºC es de 0.7781 g/mL. ¿Qué volumen de ciclohexano debe usarse? (c) Una esfera de plomo tiene 5.0 cm de diámetro. ¿Qué masa tiene la esfera si la densidad del plomo es de 11.34 g/cm3?

23. (a) La temperatura en un tibio día de verano es de 87ºF. Exprese esta temperatura en ºC. (b) El punto de fusión del bromuro de sodio (una sal) es de 755ºC. Exprese esta temperatura en ºF. (c) El tolueno se congela a -95ºC. Exprese su punto de congelación en Kelvin y en grados Fahrenheit. (d) Muchos datos científicos se reportan a 25ºC. Exprese esta temperatura en Kelvin y en grados Fahrenheit. (e) El neón, el elemento gaseoso empleado para fabricar anuncios luminosos, tiene punto de fusión de – 248.6ºC y un punto de ebullición de – 246.1ºC. Exprese estas temperaturas en Kelvin.

15

24. Las distancias astronómicas son tan grandes comparadas con las terrestres, que se emplean unidades mucho mayores para facilitar la comprensión de la distancia relativa de los objetos astronómicos. La unidad astronómica (AU) es igual a la distancia promedio entre la Tierra y el Sol, 1.50x108 km. Un pársec (pc), es la distancia en que 1 AU subtendrá un ángulo de 1 segundo de arco. El año luz (ly), es la distancia que la luz, viajando a través de un medio con una velocidad de 3.00x105 km/s, recorrería en un año. a) Exprese la distancia entre la Tierra y el Sol en parsecs en un año luz. b) Exprese en kilómetros un año luz y un pársec. Aunque el año luz se usa mucho más en las obras divulgativas, el pársec es la unidad preferida por los astrónomos.

25. Una moneda de 25 centavos de dólar tiene una masa de 5.67 g y un espesor aproximado de de 1.55 mm. (a) ¿Cuántas de estas monedas tendrían que apilarse para alcanzar una altura de 575 ft, la misma que tiene el monumento a Washington? (b) ¿Cuánto pesaría esta pila? (c) ¿Cuánto dinero contendría esta pila? (d) En 1998 la deuda nacional de Estados Unidos era de 4.9 billones de dólares. ¿Cuántas pilas como la se describe aquí se necesitarían para saldar esta deuda?

26. El oro se mezcla (formando una aleación) con otros metales para aumentar su dureza y fabricar joyería con él. (a) Considera una alhaja de oro que pesa 9.85 g y tiene un volumen de 0.675 cm3. La alhaja sólo contiene oro y plata, cuyas densidades son 19.3 g/cm3 y 10.5 g/cm3, respectivamente. Suponiendo que el volumen total de la alhaja es la suma de los volúmenes del oro y de la plata que contiene, calcule el porcentaje de oro (en masa) de la alhaja. (b) La cantidad relativa de oro en una aleación normalmente se expresa en unidades de quilates. El oro puro es de 24 quilates, y el porcentaje de oro en una aleación se da como un porcentaje de este valor. Por ejemplo, una aleación que tiene 50% de oro es de 12 quilates. Exprese la pureza de la alhaja en quilates.

27. La distancia entre dos átomos o moléculas contiguas en una sustancia sólida, puede estimarse calculando dos veces el radio de una esfera con volumen igual al volumen por átomo del material. Calcule la distancia entre los átomos contiguos en (a) Hierro y (b) sodio. La densidad de ambos son 7870 kg/m3 y 1013 kg/m3 respectivamente; la masa de un átomo de hierro es 9.27x10-26 kg, y la masa de un átomo de sodio es 3.82x10-26 kg.

28. Los granos de arena fina de las playas de California tienen un radio promedio de 50 mµ . ¿Qué masa de granos de arena tendrá un área superficial total igual a la de un cubo exactamente 1 m en un borde? La arena se compone de dióxido de silicio, 1 m3, el cual tiene una masa de 2600 kg.

29. Durante la noche, una inhalación contiene cerca de 0.3 L de oxígeno (2O , 1.43 g/L a temperatura

y presión ambiente). Cada exhalación contiene 0.3 L de dióxido de carbono (2

CO , 1.96 g/L a temperatura y presión ambiente). ¿Cuánto peso en libras se pierde con la respiración en una hora de sueño?

30. El valor de la aceleración de la gravedad para cualquier latitud φ está dada por:

)0053.01(7807.9 2φseng += m/s2, donde el efecto de la rotación de la tierra, así como el hecho de que la Tierra no es esférica, se han tomado en cuenta. Si se ha establecido oficialmente que la masa de una barra de oro es de 2 kg, determine con cuatro dígitos de precisión su masa en kilogramos y su peso en newton a una latitud de: (a) 0º, (b) 45º, (c) 60º

16

CAPÍTULO Nº 02:

DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

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CAPÍTULO Nº 02. DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

2.1. Análisis Dimensional.

Las ecuaciones dimensionales son expresiones algebraicas, igualdades que expresan las relaciones entre magnitudes Fundamentales y Derivadas. Permiten verificar la validez de un resultado y diferenciar una magnitud física de otra. Las dimensiones de las magnitudes fundamentales y derivadas son el resultado de resolver las ecuaciones dimensionales. Por ejemplo [a]: se expresa ecuación dimensional de “a”.

Las ecuaciones dimensionales de las magnitudes fundamentales en el SI son: [Longitud] = L, [Masa] = M, [Tiempo] = T, [Temperatura termodinámica] = θ, [Intensidad de corriente] =I, [Intensidad luminosa] = J, Cantidad de sustancia] = N, donde L, M, T, θ, I, J, N son las respectivas dimensiones de las Magnitudes Fundamentales (Longitud, Masa, Tiempo, Temperatura Termodinámica, Intensidad de Corriente, Intensidad Luminosa, Cantidad de Sustancia)

La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el SI tiene la forma: [Z] = La Mb Tc θd Ie Jf Ng, donde: a, b, c, d, e, f, g pertenecen al conjunto de los números reales. Las ecuaciones dimensionales de magnitudes fundamentales para el sistema absoluto tienen la forma: [longitud] = L; [masa] = M; [tiempo] = T. La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el sistema absoluto tiene la forma: [ ] cba

TMLY = , donde a, b, c pertenecen al conjunto de los números reales. Las ecuaciones dimensionales de magnitudes fundamentales para el sistema técnico o gravitacional, tienen la forma: [longitud] = L; [fuerza] = F; [tiempo] = T. Donde: L, F, T, son las dimensiones de la longitud, fuerza y el tiempo. La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el sistema técnico tiene la forma: [ ] cba

TFLY ..= ; donde a, b, c pertenecen al conjunto de los números reales.

2.2. Propiedades de las ecuaciones dimensionales. Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra excepto para la suma y la resta.

[ ] [ ][ ]BABA =. ; [ ][ ]BA

B

A=

; [ ] [ ]nnAA = ; [ ]m nm n AA

Las ecuaciones dimensionales de constantes numéricas, ángulos, funciones trigonométricas son igual a uno; es decir las dimensiones de cualquier cantidad numérica es igual a uno. Por ejemplo: [sen30°] = 1; [π] = 1; [90°] = 1

2.3. Principio de homogeneidad de la suma y la resta. Para toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada término debe tener la misma ecuación dimensional (dimensión) al igual que la suma total o la diferencia. Ejemplo: Si:

FZDYX =−3 , es dimensionalmente correcta, se cumple: [ ] [ ] [ ] [ ]DYXFZDYX −=== 33 . Las constantes físicas tienen ecuaciones dimensionales diferentes a la unidad por contener unidades físicas, por ejemplo: Dado g = 9,8m/s2, entonces: [ ] 2−= LTg

18

ACTIVIDAD Nº 02. DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD.

1. La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una pared vertical viene dada por la siguiente

fórmula empírica: Zyx AdkQP = , siendo: =k Constante numérica; =d Densidad del agua; =A Área de la placa; =Q Caudal =Área x Velocidad. Determinar la expresión final de dicha fórmula.

2. Una estrella puede vibrar entorno de su posición de equilibrio debido a las fuerzas de autoatracción gravitatoria. Este movimiento se puede caracterizar mediante la densidad de la materia que compone la estrella ""ρ , su radio ""R , y la constante de gravitación universal ""G . Demostrar, mediante análisis dimensional, que las vibraciones deben tener frecuencias del tipo

2

1

)( Gf ρ≈ . (No depende del radio de la estrella)

3. La potencia de un molino de aire es función del radio de las paletas )(R , velocidad angular )(ω y densidad del aire )(D . Hallar la fórmula empírica que establece ésta relación. =k Constante numérica.

4. Si la expresión dada es dimensionalmente correcta, calcular la ecuación dimensional de “A”; n n n eeekvA ∞=+ ... , donde: =e espacio, =v velocidad

5. Se da el nombre de acuífero, a la roca porosa por donde pasa el agua subterránea. El volumen V

del agua que, en el tiempo t , se desplaza por una sección transversal del área A de un acuífero

está dado por: L

kAH

t

V= , donde H , es la caída vertical del acuífero sobre la distancia horizontal

L . A esta relación se le llama ley de Darcy. La cantidad k es la conductividad hidráulica del acuífero. ¿Cuáles son las unidades SI de k ?

6. Cuando un cuerpo se mueve a través de un fluido (líquido o gas) experimenta una fuerza de fricción (o arrastre) que aumenta con la velocidad ""v del cuerpo relativo al fluido, es decir: Fuerza de Fricción del Fluido = vkη− ; donde: =η Coeficiente de viscosidad del fluido; =k Coeficiente de arrastre. Determine la dimensión y unidad de k

7. Hallar el valor de “E”, si se sabe que la expresión es dimensionalmente homogénea:

=

−

−−

33

22

11

a

aaE

., sí:

3

33

2

22

2132

αααω

kaakkav ++= , donde: =ω Velocidad angular; =v Velocidad

lineal; =α Aceleración angular; =k Constante numérica

8. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dado por la siguiente fórmula: zyx DWkRP = , donde: “K” es un número, “R” el radio de la hélice, “W” la velocidad angular, “D”

la densidad del aire. Halle: x, y, z

9. La velocidad crítica cv a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad ""η , de la densidad ""ρ del fluido, del diámetro “D” del tubo y de una constante adimensional “R”. Halle la relación para calcular dicha velocidad.

10. La velocidad “V” de onda en un fluido esta dada por la fuerza “F”, densidad “ρ” y área “A”, con estos datos hallar la formula de dicha velocidad.

11. La siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: )/..log(. 22 wmvxCpx = , donde: =v velocidad, =m masa, =C Constante adimensional. La dimensión de “P” es:

19

12. La siguiente ecuación es dimensionalmente correcta. Hallar el valor dimensional de ""x , sí:

yh

axVHtVF

+

+=

3

32

, donde: =F Fuerza, =a aceleración, =v velocidad, =h altura.

13. Si se sabe que la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar la ecuación dimensional de “m”,

sí:3

2

10

32

kP

m=

µ, donde: =P Presión; =µ cantidad de movimiento = masa x velocidad;

=k Caudal = área x velocidad.

14. En la siguiente expresión: cvc

bavF ++= )( , siendo: =F Fuerza, =v Velocidad lineal. Hallar las

dimensiones de “a” y “b”.

15. Si la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar la fórmula dimensional de R ; sí:

pCBxAghmvw +−+= °60secα , donde: =w Trabajo; =m Masa; =v Velocidad lineal; =g Aceleración; =h Altura; =x Distancia; =p Potencia.

α

αα

C

BAR =

16. En la siguiente ecuación: °=° 60302

1

cosBhA sen , siendo: =A Aceleración; =h Altura. Calcular la dimensión de “B”

17. Si se sabe que la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar las dimensiones de “E” y “x”; sí

∞+++= ...xxxE

18. En la expresión dada, calcular la dimensión de “k”,sí: DdPk

C2

= , donde: =C Velocidad

=P Presión =D Distancia =d Longitud

19. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar la dimensión de “k”, sí: 2

222 2

−+= xxb

mkb

A ; donde: =A Área; =x Longitud; =m Masa

20. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, se tiene:2

30

2

−=+ ° P

senABC

kZ sen

α donde:

=P Presión. Hallar la ecuación dimensional de “Z”

21. En la siguiente ecuación homogénea: )cos(Rvt

qvRdh

2

3 1=− , donde: =d Densidad

=v Velocidad =t Tiempo =R Magnitud Física. Hallar la ecuación dimensional de “q”

22. Si: ).(tx

vv −= 3021 . Determinar la dimensión de “y” en la ecuación dimensional siguiente:

Ywaa

Fx=

−

°

21

30 )( csc

, donde: =w Trabajo; =x longitud; =F Fuerza; =2a ,1a aceleraciones;

=2 v,1v velocidades; =t tiempo.

23. La velocidad crítica cv a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad ρ del fluido, del diámetro D del tubo y de una constante adimensional k . Determine la expresión final a partir de la siguiente fórmula empírica: zyx

c Dkv .ρη=

20

24. La rapidez con que fluye el calor por conducción entre dos capas paralelas se expresa por la

relación:

2

2

1

1

12 )(

k

L

k

L

TTA

t

Q

+

−=

∆

∆, donde: =Q Calor, =t Tiempo, =T Temperatura, =L Longitud.

Determine la ecuación dimensional de la constante de conductividad )(k

25. La ecuación empírica: RTbn

V

V

naP =

−

+

2

, donde: P es la Presión, V es el volumen y n

el número de moles, representa la ecuación de estado de muchos gases ideales. Determine las dimensiones y unidades de las constantes a y b

26. El Efecto Fotoeléctrico es descrito por la ecuación: 20

2

1)( mvffh =− , donde 0f es la frecuencia

umbral del material, m es la masa del electrón y v su velocidad. Determine la dimensión y la unidad de h , denominada constante de Planck.

27. El ascenso capilar tiene un gran interés en el transporte de fluidos en los seres vivos. Este efecto es proporcional a la tensión superficial σ . Mostar mediante el análisis dimensional, que el

ascenso o descenso es proporcional a gr

hρσ

≈ , siendo r el radio del capilar, ρ la densidad del

líquido y g la aceleración de la gravedad [Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de longitud (N/m)]

28. Una gota puede vibrar alrededor de su forma esférica de equilibrio. Estos movimientos pueden caracterizarse mediante la densidad ρ , la tensión superficial σ del líquido que la compone, y del

radio R de la gota. Demostar que las frecuencias deben tener la forma: 2

1

3

≈

Rf

ρ

σ

[Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de longitud (N/m)]

21

CAPÍTULO Nº 03:

CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN UNA Y DOS DIMENSIONES EN

COORDENADAS RECTANGULARES

22

CAPÍTULO Nº 03: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN UNA Y DOS DIMENSIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES

3.1. Introducción a la cinemática de una partícula

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de

movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen – todos estos son fenómenos de fenómenos de movimiento. Prácticamente todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. La tierra y los planetas se mueven alrededor del sol; los electrones se mueven en el interior del átomo, dando lugar a la absorción y a la emisión de luz, o se mueven en el interior de un metal, produciendo una corriente eléctrica; las moléculas de un gas se mueven, dando lugar a la presión. Nuestra experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos que lo rodean, esto es por sus interacciones con ellos. Lo que el físico y el ingeniero hacen, esencialmente, es ordenar las cosas de tal manera que bajo la interacción mutua de las partículas, se produzca una cierta clase de movimiento.

En un tubo de televisión, el haz de electrones debe moverse de una cierta manera para producir una imagen en la pantalla. En una máquina térmica, las moléculas del combustible quemado deben moverse de tal manera que un pistón o una turbina se muevan a su vez en una dirección deseada. Una reacción química es la consecuencia de ciertos movimientos atómicos que dan por resultado un nuevo ordenamiento, formando nuevas clases de moléculas. El papel del físico es descubrir las razones de todos estos movimientos y el papel del ingeniero es ordenar las cosas de modo que se produzcan movimientos útiles, movimientos que hagan la vida más fácil. Hay varias reglas generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que lo sustenta, se denomina Mecánica

Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes, tales como los de momentum, fuerza y energía. Si el momentum, la fuerza, y/o la energía se conocen y expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. El momentum, la fuerza y la energía son tan importantes que raramente podemos analizar un proceso sin expresarlo en función de ellos.

La mecánica, que es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía. Es una de las áreas fundamentales de la física, y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideración de interacciones particulares. En tiempo de Galileo ya se reconocía este papel básico de la mecánica.

Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales.

3.2. Características de la velocidad de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares.

1. Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el

desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales.

2. El vector →r apunta desde el origen arbitrario a la posición de la partícula. En el intervalo

de tiempo t∆ , →r cambia en

→∆ r . El vector velocidad

→v representa el cambio en el

tiempo del vector posición. Su magnitud es el módulo de la velocidad y apunta en la dirección del movimiento, tangente a la curva a lo largo de la cual se mueve la partícula.

El vector velocidad instantánea viene dado por: dt

rdtr

vt

→→

→∆

→=

∆

∆=

0lim

23

3. El vector aceleración representa el cambio en el tiempo del vector velocidad. El vector

velocidad instantánea, viene dado por: dtvd

tv

at

→→

→∆

→=

∆

∆=

0lim . Una partícula acelera cuando

su vector velocidad varía en magnitud, dirección o ambas cosas.

4. Si una partícula se mueve con velocidad pAv respecto a un sistema de coordenadas A ,

el cual a su vez se mueve con velocidad ABv respecto a otro sistema de coordenadas B , la velocidad de la partícula respecto a B es: ABpApB vvv +=

5. En el movimiento de proyectiles, los movimientos horizontal y vertical son

independientes. El movimiento horizontal tiene la velocidad constante y es igual a la componente horizontal de la velocidad original: θcos.00 vvv xx == ; tvx x .0=∆

6. El movimiento vertical es el mismo que el correspondiente a una dimensión con

aceleración constante debida a la gravedad g y dirigido hacia abajo: gtvv yy −= 0 ;

20

2

1gttvy y −=∆ .

7. La distancia total descrita por el proyectil, llamada R se determina calculando primero el

tiempo total que el proyectil está en el aire y multiplicando después este tiempo por la componente horizontal constante de la velocidad. Para el caso especial en que las elevaciones inicial y final son iguales, el alcance está relacionado con el ángulo de tiro θ

por la expresión: θ220 seng

vR .= y tiene su valor máximo para °= 45θ

8. Cuando un cuerpo se mueve en un círculo con velocidad constante, está acelerando, ya

que su velocidad varía en dirección. Esta aceleración se denomina centrípeta y apunta

hacia el centro del círculo. La magnitud de la aceleración centrípeta es: r

va

2

= , donde

""v es la velocidad y ""r el radio del círculo.

24

3.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en coordenadas rectangulares.

1. La velocidad de un punto material está dado por: 50100202 +−= tttv )( , donde ""v son

metros por segundo y ""t son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo ""t , la velocidad ""v , y la aceleración ""a para los seis primeros segundos de su movimiento y calcular la velocidad cuando a es nula.

SOLUCIÓN 5010020

2 +−= tttv )(

10040)5010020( 2 −=+−== tttdt

d

dt

dva

Por condición: 0=a . Entonces: 010040 =−t , de donde: st 5.240

100==

Por lo tanto: 50521005220522 +−= ).().().(v

755025012552 −=+−=).(v m/s Cálculo de los valores de velocidad y de aceleración en los instantes de [ ]6 ,0∈t segundos T, s 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 V, m/s -30 -55 -70 -75 -70 -55 -30 5 50 105 170 a, m/s2 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140

Gráfico N°01 Velocidad y Aceleración vs Tiempo

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (s)

Velocidad, Aceleración (m/s; m/s

2)

Velocidad vs Tiempo Aceleración vs Tiempo

25

2. El movimiento curvilíneo de un punto está definido por tvx 1650 −= e 24100 ty −= , donde xv son metros por segundo, y son metros y t son segundos. Se sabe además que 0=t es 0=x . Representar la trayectoria y determinar la velocidad y la aceleración

cuando alcanza la posición 0=y

SOLUCIÓN

tvx 1650 −= . Por lo tanto: xvdt

dx= Entonces: ∫∫ =

t

t

x

x

vdtdx

00

∫ −=−t

t

dttxx

0

)1650(0 Por condición: 000 == tx

[ ]tttxx 02

0 850 −=− de donde: 2850 ttx −=

En consecuencia: ∧∧→

+= jtyitxtr )()()(

∧∧→

−+−= jtitttr )()()( 22 4100850

∧∧→

−−= jtittv 81650 )()(

∧∧→

−−= jita 816)(

Cuando alcanza la posición 0=y , se tiene: 04100 2 =− t , de donde: 5254

100===t s

Por lo tanto: [ ]∧∧

−−= jiv )5(8)5(1650)5(

∧∧

−−= jiv 4030)5( En consecuencia: 50)40()30(22 =−+−=v m/s

∧∧

−−= jia 816)5( En consecuencia: 58)8()16(22 =−+−=a m/s

3. En el instante 65.3=t s la velocidad de un punto que se mueve en el plano yx − es

∧∧+ ji 24.312.6 m/s. Su aceleración media durante los 0.02s siguientes es

∧∧+ ji 63 m/s2.

Hallar su velocidad v en el instante 67.3=t s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo instante.

SOLUCIÓN

En 65.3=t s ∧∧→

+= jiv 243126653 ..).(

Se sabe: ∧∧→

+= jiam 63)67.3( ; de donde: º43.63)3

6(1 == arctα

La aceleración media, viene dada por: t

vam ∆

∆=

02.0

)65.3()67.3(63

vvji

−=+

∧∧; de donde:

02.0

)24.312.6()67.3(63

∧∧∧∧ +−=+

jivji

)24.312.6()67.3(12.006.0∧∧∧∧

+−=+ jivji

∧∧

+= jiv 36.318.6)67.3( ; de donde: 037363186 22 .).().( =+=v m/s

de donde: º53.28)18.6

36.3(2 == arctα

El ángulo entre los vectores es: º53.28º43.6321 −=−= ααθ º35º9.34 ≈=θ

26

4. La aceleración de un punto está dado por 304 −= ta , donde ""a son metros por segundo al cuadrado y ""t son segundos. Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones del tiempo. El desplazamiento inicial cuando 0=t es ms 50 −= y la velocidad inicial

smv /30 =

SOLUCIÓN La Función de aceleración viene dada por: 304 −= tta )(

Se sabe: dt

dva =

En consecuencia: ∫∫ =t

t

v

v

adtdv

00

; de donde: ∫∫ −=tv

dttdv

03

)304(

Por lo tanto: ttv 3023 2 −=− 3302)( 2 +−= tttv

También: t

dsv =

En consecuencia: ∫∫ =t

t

s

s

vdtds

00

; de donde: ∫∫ +−=t

t

s

s

dtttds

00

)3302( 2

Por lo tanto: ttts 3153

2)5( 23 +−=−−

53153

2)( 23 −+−= tttts

5. En el instante 60.3=t s el vector posición de un punto que se mueve en el plano yx − es

∧∧− ji 28.376.2 m/s. En el instante 62.3=t s el vector posición ha cambiado a

∧∧− ji 33.379.2 m. Hallar el módulo ""v de la velocidad media en ese intervalo y el ángulo

θ que la misma forma con el eje ""x

SOLUCIÓN

En 60.3=t s, se tiene: ∧∧→

−= jir 28.376.2)60.3(

En 62.3=t s, se tiene: ∧∧→

−= jir 333792623 ..).(

Velocidad Media: tr

v m ∆

∆=

→→

020

283762333792

603623

603623

.

)..()..(

..

).().(∧∧∧∧→→

→ −−−=

−

−=

jijirrv m

∧∧

∧∧→

−=−

= jiji

vm 5.25.102.0

05.003.0

Por lo tanto: 92.25.825.625.2)5.2()5.1(22 ==+=−+=mv m/s

Cálculo del ángulo que forma el vector velocidad media:

º59)67.1()5.1

5.2( −=−=−

= arctarctθ ó °=°+° 41959360 con respecto al eje

positivo de las “x”

27

6. La aceleración de un camión está dado por ta α= , donde 51.=α m/s3. a) Si la velocidad del camión en 1=t s es 5m/s, ¿cuál será en 2=t s? b) Si la posición del camión en

1=t s es 6m. ¿cuál será en 2=t s?

SOLUCIÓN Por condición del problema, se tiene: ta 51.=

Se sabe también: dtdv

a =

∫∫ =ttV

adtdv15

)(

; de donde: ∫∫ =ttV

tdtdv15

51.

)(

75075052

..)( −=− ttv

2547502

..)( += ttv

Cálculo de la velocidad en st 2= , se tiene: 257254275022

..)(.)( =+=v m/s

Se sabe también: dtds

v =

∫∫ =tts

vdtds16

)(

; de donde: ∫∫ +=tts

dttds1

2

6

254750 )..(

)(

)..()..()( 25425025425063 +−+=− ttts

512542503

...)( ++= ttts

Cálculo de la posición del camión en st 2= , se tiene: 512254225023

.)(.)(.)( ++=s 5112 .)( =s m

7. Las coordenadas de un punto en el plano xy son 02.=x m- tα , 2ty β= ; 63.( =α m/s,

81.=β m/s2). a) Calcule los vectores velocidad y aceleración en función de ""t . b) La

magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en 03.=t s. En ese instante, ¿el ave está acelerando, frenando o su rapidez no está cambiando instantáneamente?

SOLUCIÓN

Vector posición del ave en función del tiempo, se tiene: ∧∧→

+= jtyitxtr )()()(


+−= jtittr 22 βα )()( Por condición: 63.=α m/s;

81.=β m/s2. Por consiguiente: ∧∧→

+−= jtittr 281632 .).()(

a) Cálculo de los vectores velocidad y aceleración en función de ""t

Se sabe: dt

rdv

→→=

∧∧∧∧→

+−=

+−= jtijtit

dtd

tv 6363816322

...).()(

También: dtvd

a→

→=

∧∧∧→

=+−= jjtidtd

ta 636363 .)..()(

b) Cálculo de la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en 03.=t s

∧∧→

+−= jiv 810633 ..)( ; de donde: 411810633 22 .).().()( =+−=v m/s

28

°−=−=−= 5671363

810.)arctan()

.

.arctan(θ

∧→

= ja 633 .)( , de donde: 633 .)( =a m/s2

°== 900

63)

.arctan(φ

8. La aceleración de una motocicleta está dada por 2BtAta −= con 21.=A m/s3 y

120.=B m/s4. La moto está en reposo en el origen 0=t . a) Obtenga su posición y velocidad como funciones de ""t . b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.

SOLUCIÓN a) De la expresión dada, se tiene: 2

12021 ttta ..)( −= Por condición: 000 == )()( vs

Se sabe: dtdv

a =

∫∫ =ttV

v

adtdv00

)(

; de donde:

∫∫ −=ttV

v

dtttdv0

212021

0

)..(

)(

3204060 ttovtv ..)()( −=−

3204060 tttv ..)( −=

Se sabe también: dtds

v =

∫∫ =tts

s

vdtds00

)(

; de donde:

∫∫ −=tts

s

dtttds0

32 04060

0

)..(

)(

43010200 ttsts ..)()( −=−

Por lo tanto: 4301020 ttts ..)( −=

b) La velocidad máxima que alcanza la motocicleta se da cuando la aceleración es

cero. 012021 2 =− tt .. , de donde: 010121 =− ).(. tt . De ésta expresión se obtiene: 0=t y st 10=

En consecuencia: 2010040106010 32 =−== )(.)(.)(vv mac m/s

9. Un punto material tiene componentes de velocidad 83.=xv m/s y 62.=yv m/s en

0101 .=t s. Para el intervalo de 1t a 0202 .=t s, la aceleración media del punto material tiene una magnitud de 550. m/s2 y una dirección de 52.0° medida desde el eje x+ al y+ . En 2t , a) ¿Cuáles son las componentes ,x y de la velocidad del punto material? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad?

SOLUCIÓN

De la condición dada, se tiene: ∧∧

+== jivtv 6283101 ..)()( ; Por dato: 550.=ma m/s2;

°= 52θ . Por lo tanto: 12

12

tttvtv

a m−

−=

→→→ )()(

, de donde:10

62832 )..()(∧∧

→ +−=

jitva m

29

También: 222yxm aaa += ; y

x

y

aa=°52tan ; de donde: xy aa )(tan °= 52

Al reemplazar en la expresión anterior, se tiene: °+= 522222tan.xxm aaa

34052 ..cos =°= mx aa m/s; 44052 ..tan =°= xy aa m/s

Por lo tanto: 10

6283440340 2 )..()(..

∧∧∧∧ +−=+

jitvji

)..()..()(∧∧∧∧→

+++= jijitv 628344432

a) Las componentes de la velocidad del perro en 2tt = , son: ∧∧→

+= jitv 7272 .)(

b) Cálculo de la magnitud y dirección de la velocidad del perro en 2tt =

041084100727 222 ..).()( ==+=tv m/s

°≈== 4427

7)

.arctan()arctan(

x

y

vv

θ

10. En la figura mostrada el bloque ""B se mueve con aceleración constante. Si el sistema

inicia su movimiento cuando ""B está en O , determinar la aceleración de ""A cuando ""B está a 3m de ""O si su aceleración es de 4m/s2 hacia la derecha

SOLUCIÓN

La aceleración del bloque ""B , viene dada por: 4=••

x ( I )

Al integrar la expresión, se tiene: 14 Ctx +=•

Por dato: Cuando 0=t , 00 =)(x , 00 =•)(x , entonces: 01 =C y ttx 4=

•)( ( II )

Al integrar la expresión ( II ), se tiene: 222 Ctx += , de donde: 02 =C y 2

2ttx =)(

Cuando ""B , se encuentra en 3=x m, habrán transcurrido: 2212

3.==t s

Por lo tanto: 8842214221 .).().( ==•x m/s

Las trayectorias lineales ""A y ""B , están relacionadas por: 2522 =+ yx ( III ) De la expresión ( III ), se tiene que cuando 3=x m, 4=y m Al derivar respecto del tiempo de manera implícitamente la expresión ( III ), se tiene:

022 =+••yyxx , de donde: 0=+

••yyxx ( IV )

Por lo tanto: 6634

8843.

).(−=−=−=

••

yxx

y m/s

De la expresión ( IV ), se tiene: 022 =+++••••••

yyyxxx )()( Por lo tanto:

3124

663884432222

.).().())(()()(−=

−++−=

++−=

••••••

yyxxx

y m/s2

30

3.4. Problemas Complementarios: 3.4.1. La coordenada “y” de un punto animado de un movimiento curvilíneo está dada por:

tty 34 3 −= , donde “y” son metros y “t” son segundos. Además, el punto posee una aceleración en la dirección x que vale tax 12= m/s2. Si la velocidad en la dirección x es

de 4m/s cuando 0=t , calcular los módulos de la velocidad →v y la aceleración

→a del

punto cuando st 1= . Dibujar →v y

→a en la solución.

SOLUCIÓN

Condiciones Iniciales: En 0=t s, se tiene: 40 =)(xv m/s; )( 312 2 −== tdtdy

v y

Se sabe: dt

dva x

x = , de donde: ∫∫ =t

x

v

x dtadvx

04

. . Luego de tiene: [ ] [ ]tvx tv x

02

46=

)( 46 2 += tv x

El vector velocidad, y aceleración, viene determinado por: ∧∧→

−++= jtittv )()()( 31246 22 y ∧∧→

+= jtitta 2412)(

Por lo tanto: ∧∧→

+= jiv 9101)( , de donde: 45131819101 22 .)()()( ≈=+=v m/s

∧∧→

+= jia 24121)( , de donde: 51272024121 22 ==+= )()()(a m/s2

t, (s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 V, (m/s) 5.00 5.50 13.45 29.70 53.00 83.10 119.95 163.53 213.82 270.83 334.55 a, (m/s2) 0.00 13.42 26.83 40.25 53.66 67.08 80.50 93.91 107.33 120.75 134.16

Gráficos Velocidad y Aceleración de una Partícula

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Tiempo (s)

Velocidad (v); Aceleración (a)

Velocidad vs. Tiempo

Aceleración vs. Tiempo

31

3.4.2. En el instante st 6= la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es

)(∧∧

+ ji 54 m/s, y en el instante st 16.= la velocidad ha cambiado a )..(∧∧

+ ji 4534 m/s.

Hallar el módulo de →a de la aceleración media durante el intervalo de 0.1s y el ángulo θ

que la misma forma con el eje x.

SOLUCIÓN

Según las condiciones, se tiene: )()(∧∧→

+= jiv 546 m/s; )..().(∧∧→

+= jiv 453416 m/s 10.=∆t s

∧∧∧∧∧∧→→

→+=

+−+=

−= ji

jijivvam 43

10

544534

10

616

.

)()..(

.

)().(

543 22 =+= )()(ma m/s2 El cálculo del ángulo )(θ que forma la aceleración media )( ma , con el eje “x”, viene

determinado por: °=

= 53

3

4arctanθ

3.4.3. Un carguero se mueve a 8 nudos cuando sus motores se paran bruscamente. Sabiendo

que son necesarios 10 minutos para que el carguero reduzca su velocidad a 4 nudos, determinar y representar gráficamente la distancia s en millas náuticas recorridas por el carguero y su velocidad v en nudos, durante dicho intervalo como funciones del tiempo t. La desaceleración del buque es proporcional al cuadrado de su velocidad, de forma que

2kva −=

SOLUCIÓN 80 =v nudos; 4=v nudos; 10=t min. Por condición del problema, se tiene:

De la expresión: 2kva −= , se tiene: 2kvdtdv

−=

∫∫ −=tv

v

kdtdvv

0

2

2

1

1. En consecuencia: kt

v

v

v−=

−

0

1, de donde: kt

vv−=+−

0

11 (I)

11

20

0

80

1

1032

4 −−==−

= min.min))((.

nudosnudos

nudosvtvvv

k

Por lo tanto: 2

80

1va −=

De (I), se tiene:

ktvv

−=+−0

11, lo que implica: kt

vv+=

0

11, de donde:

tkvv

v0

0

1+= (II)

Reemplazando los datos, se tiene: t

tv101

8

.)(

+=

El desplazamiento, viene determinado por: ∫∫ =ts

dttvds00

)(

De donde: ∫∫

+=

ts

dttkv

vds

0 0

0

01

. En consecuencia: )ln()( tkvk

ts 011

+= (III)

Reemplazando los datos, se tiene: ).ln()( tts 10180 +=

32

Gráfica Velocidad vs. Tiempo

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (min)

Velocidad (nudos)

Desplazamiento vs. Tiempo

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (min)

Desplazamiento (millas naúticas)

p

33

3.4.4. La aceleración vertical de un cohete de combustible sólido está dada por: gcvkea bt −−= − , donde k , b y c son constantes, v es la velocidad vertical en cada

instante y g es la aceleración de la gravedad, esencialmente constante para vuelos en la atmósfera. El término exponencial representa el efecto de la disminución del empuje conforme se quema combustible y el término cv− estima el retardo debido a la resistencia de la atmósfera. Hallar la expresión de la velocidad vertical del cohete, ""t segundos después del disparo.

SOLUCIÓN

De la expresión: gcvkea bt −−= − , se tiene: gcvkedtdv bt −−= −

Por lo que ordenando la información, se tiene: gkecvdtdv bt −=+ − ( I )

Una Ecuación diferencial de Primer Grado, viene determinado por: )()(' xQyxPy =+ ,

donde: ∫=dxxP

exR)(

)( , y ∫= dxxQxRyxR )()()(

Al comparar la expresión (I), con la Ecuación Diferencial de Primer Grado, se tiene: ctP =)( ; gketQ bt −= −)(

Por lo tanto: ctcdteetR == ∫)(

En consecuencia: ∫= dttQtRtvtR )()()().(

∫ −= − dtgkeetve btctct)()(.

∫∫ −= −t

ctt

tbcct dtgedtketve00

)()(. , de donde: )()()(. )( 11 −−−

−= − cttbcct e

cg

ebc

ktve

Por lo tanto: )()()( 1−+−−

= −−− ctctbt ecgee

bcktv

34

ACTIVIDAD Nº 03. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN COORDENDAS RECTANGULARES

1. El vector posición y el vector velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y está dado por: ∧∧→

+

−= j

titttr122

3

3

2)(

423 y

∧∧→+−= jtitttv 32

3

1)32()( , respectivamente, donde

→r , está en metros

y ""t , está en segundos. Hallar el ángulo que forma el vector de posición →r y el vector velocidad

→v cuando (a) st 2= y (b) st 3= .

2. El vector posición y el vector velocidad de un de un punto que se mueve en el plano x-y está

dado por: ∧∧→

+

−= j

titttr122

3

3

2)(

423 y

∧∧→+−= jtitttv 32

3

1)32()( , respectivamente, donde

→r , está

en metros y ""t , está en segundos. Hallar el ángulo que forma el vector de posición →r y el

vector de velocidad →v cuando (a) st 1= y (b) st 2= .

3. En el instante st 6= la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es )(∧∧

+ ji 54 m/s, y

en el instante st 16.= la velocidad ha cambiado a )..(∧∧

+ ji 4534 m/s. Hallar el módulo de →a de la

aceleración media durante el intervalo de 0.1s y el ángulo θ que la misma forma con el eje x.

4. En el instante 65.3=t s la velocidad de un punto que se mueve en el plano yx − es ∧∧

+ )..( ji 243126 m/s. Su aceleración media durante los 0.02s siguientes es ∧∧

+ )( ji 63 m/s2. Hallar su velocidad v en el instante 67.3=t s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo instante.

5. Una partícula que se mueve con velocidad inicial =→v (30m/s)

∧i sufre una aceleración =

→a [5m/s2

+ (3m/s5)t3]∧i + [45m/s2 - (1m/s4)t2]

∧j . ¿Cuál es la posición y la velocidad de la partícula a los

4s, suponiendo que parte del origen?

6. Una partícula se mueve con velocidad =→v [4m/s + (2m/s3)t2]

∧i + [-10m/s - (4m/s2)t]

∧j . (a)

¿Cuál es la posición y velocidad de la partícula después de 3s, suponiendo que parte del origen? (b) ¿Cuál es la dirección de la partícula, con respecto al eje x?

7. El punto A oscila con una aceleración )25.0(100 xa −= , donde a y x se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el tiempo 0=t con 0=v y 2.0=x m, determine la posición y la velocidad de A cuando 2.0=t s.

8. El punto A oscila con una aceleración xa 16040 −= , donde a y x se expresan en m/s2 y metros respectivamente. La magnitud de la velocidad es de 0.3 m/s cuando 4.0=x m. Determine (a) la velocidad máxima de A , (b) las dos posiciones en que la velocidad de A es cero.

35

9. La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación: 212 va −−= , donde a y

v se expresan en ft/s2 y ft/s. El sistema inicia en el tiempo 0=t con 5.1=x ft y 0=v . Determine la posición de A cuando (a) 6.0−=v ft/s y (b) La posición de A cuando 3.0=t s.

10. La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación: 222 vkka −−= , donde a

y v se expresan en ft/s2 y ft/s, respectivamente, y k es constante. El sistema inicia en el tiempo 0=t con 5.1=x ft y 0=v . Sí 2.1=x ft cuando 2.0=t s, determine el valor de k .

11. La aceleración del punto A se define mediante la relación: ktsenkta cos32.424.3 −−= , donde a y t se expresan en ft/s2 y segundos, respectivamente, y 3=k rad/s. con 48.0=x ft y 08.1=v ft/s cuando 0=t . Determine la velocidad y la posición del punto A cuado 5.0=t s.

12. La aceleración del punto A se define mediante la relación: senkta 4.5−= , donde a y t se expresan en ft/s2 y segundos, respectivamente, y 3=k rad/s. Sí 0=x y 8.1=v ft/s cuando 0=t . Determine la velocidad y la posición del punto A cuado 5.0=t s.

36

13. Una bola que cae en el aire tiene una aceleración: 2003.081.9)( vva −= m/s2 donde la velocidad se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si lleva una velocidad hacia debajo de 3 m/s cuando 0=y . Determine también la velocidad de régimen de la bola.

14. Un carrito unido a un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario xxa 2)( −= m/s2,

pasa por el punto 3=x m con velocidad positiva cuando 3=t s. Determinar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

15. Una bola lanzada hacia arriba verticalmente en el aire tiene una aceleración: 2003.081.9)( vva −= m/s2 donde la velocidad se expresa en metros por segundo

y el sentido positivo es hacia arriba. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se ha lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Determine también la máxima altura que alcanza la bola.

16. Un carrito unido a un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario xxa 2)( −= m/s2. Determinar la velocidad del carrito cuando

3=x m si su velocidad era 5=v m/s cuando 0=x m.

17. Usted programa un punto en la pantalla de un computador de modo que su posición esté dada

por: ∧∧→

++= jtitr 3251 2).( , con r , en cm y t en s. En 020 >t , el desplazamiento del punto

respecto de la posición en 0=t tiene una magnitud de 52. cm. (a) Determine la magnitud y la dirección de la velocidad media del punto entre 0=t y 20t . (b) Determine la magnitud y la

dirección de la velocidad instantánea →v en 0=t y en 250.=t s

18. Una partícula se mueve en línea recta con aceleración constante de -2m/s2 durante 6s, con

aceleración cero en los siguientes 4s, y con aceleración constante de +2m/s2 en los 4s posteriores. Si la partícula inicia desde el origen y su velocidad es igual es igual a -4 m/s durante

37

el intervalo de aceleración cero. (a) Construya las curvas tv − y tx − para st 140 ≤≤ . (b) Determine la posición y la velocidad de la partícula y la distancia total recorrida cuando st 14=

19. Una partícula se mueve en línea recta con la velocidad que indica la figura. Si 48−=x ft en 0=t , trace las curvas ta − y tx − para st 400 << , y determine: (a) el valor máximo de la coordenada de posición de la partícula. (b) los valores de t para los cuales la partícula se encuentra a 108 ft del origen.

20. En una prueba realizada en un tanque de agua para la botadura de un pequeño bote a escala, la velocidad horizontal inicial del modelo es de 20 ft/s y su aceleración horizontal varía linealmente desde -40 ft/s2 en 0=t hasta – ft/s2 en 1tt = , después se mantiene igual a -6 ft/s2 hasta que

st 4.1= . Si 6=v ft/s cuando 1tt = , determine (a) El valor de 1t . (b) La velocidad y la posición del modelo en st 4.1= .

21. Un registro de acelerómetro correspondiente al movimiento de cierta pieza de un mecanismo se aproxima mediante un arco de parábola durante 0.2s y una línea recta por los siguientes 0.2s, como se indica en la figura. Si 0=v cuando 0=t y 3.0=x m cuando st 4.0= . (a) Construya la curva tv − para st 4.00 ≤≤ (b) Determine la posición de la pieza en st 2.0= y st 3.0=

22. El movimiento amortiguado de una partícula que vibra se describe mediante el vector de posición ∧−∧→

+

+

−= jteyit

xr

t

)2cos(1

11 2

11 ππ

, donde t se expresa en segundos. Para 301 =x in y 201 =y in,

determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando: (a) st 0= y )(b st 5.1=

38

23. El movimiento tridimensional de una partícula se define mediante el vector de posición ∧∧∧→

+++= kBtsentjtAitAtr )()1()cos( 2 donde r y t se expresa en pies y segundos,

respectivamente. Demuestre que la curva descrita por la partícula se encuentra sobre el

hiperboloide 1

222

=

−

−

B

z

A

x

A

y. Para 3=A y 1=B , determine: (a) Las magnitudes de

velocidad y aceleración cuando 0=t . (b) El valor de cero más pequeño de t para el cual los vectores de posición y velocidad son perpendiculares entre sí.

24. La velocidad de un objeto sometido al campo gravitacional de la Tierra es:

2

1

0

20

112

−+=ss

gRvv E , donde s es la posición del objeto respecto del centro de la Tierra, 0v

es la velocidad en la posición 0s , y ER es el radio de la Tierra. Usando esta ecuación, muestre

que la aceleración del objeto está dado como una función de s por 2

−=

s

Rga E

25. Las pistolas de agua se usan para investigar las propiedades de materiales sometidos a impactos

de alta velocidad. Un proyectil se acelera a través del cañón de la pistola mediante un gas a lata

presión. Suponga que la aceleración del proyectil en m/s2 está dada por s

ca = , donde s es la

posición del proyectil en el cañón en metros y c es una constante que depende de la presión inicial del gas detrás del proyectil. El proyectil parte del reposo en ms 5.1= y acelera hasta llegar al extremo del cañón en ms 3= . Determine el valor de la constante c necesaria para que el proyectil salga el cañón con una velocidad de 200 m/s.

39

26. El vehículo de retroimpulso que se muestra en la figura parte del reposo y acelera con ta 230 += en m/s2 hasta que su velocidad es de 400 m/s. En ese momento encuentra un freno de agua y su aceleración es 2003.0 va −= hasta que su velocidad disminuye a 100 m/s. (a) ¿Qué distancia total recorre el vehículo de retroimpulso? (b) ¿Cuál es el tiempo total del viaje del vehículo?

27. Suponga que el misil mostrado despega desde el suelo y, debido a que se vuelve más ligero conforme gasta el combustible, su aceleración (en número de g ) está dado como una función del

tiempo en segundos por: t

a2.01

100

−= . ¿Cuál es la velocidad del misil, en millas por hora, 1s

después de haber despegado?

28. La aceleración de un automóvil se relaciona con su posición mediante sa 01.0= , en m/s2. Cuando 100=s m, el automóvil se mueve a 12 m/s. ¿Qué tan rápido se mueve el automóvil cuando 420=s m?

29. La aceleración de un avión regional durante su carrera de despegue es 20003.014 va −= pies/s2,

donde v es la velocidad en pies/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad de despegue de 200 pies/s? (b) ¿Qué distancia requiere el avión para despegar?

30. La velocidad del trineo es tv 10= pies/s. cuando st 2= , su posición es 25=s pies. ¿Cuál es su posición cuando st 10= ?

40

CAPÍTULO Nº 04:

CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN COORDENADAS

POLARES

41

CAPÍTULO Nº 04: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN

COORDENADAS POLARES

4.1. Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas polares. El estudio de la cinemática de una partícula en coordenadas polares resulta importante porque nos muestra las componentes de las magnitudes cinemáticas, tal es el caso de la velocidad y la aceleración para una partícula que describe una trayectoria curva, la misma que tendría componente radial y transversal a lo largo de todo su movimiento.

4.2. Características de la velocidad de una partícula en Coordenadas Polares.

1. Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales.

2. En ciertos casos de moviendo en el plano, resulta ventajoso expresar el vector posición

en coordenadas polares. En este Sistema de coordenadas, el radio vector →r está

relacionado está relacionado con el ángulo θ por: )(θfr =→

, siendo θ el ángulo →r con el

eje polar y cuyo valor varía con el tiempo, es decir: )(tf=θ

3. El vector velocidad y aceleración en este sistema, queda determinado en dos componentes, una en la dirección del vector OP y otra perpendicular a él, que reciben el nombre de componentes RADIAL y TRANSVERSAL de la velocidad y la aceleración.

4. El vector unitario ∧

ru tiene la misma dirección y sentido que OP , en tanto que ∧

θu es ortogonal al primero, y que será positivo si su giro en torno del polo ""O tiene el mismo sentido que el giro del radio vector.

5. El vector velocidad →v , de un punto material, en coordenadas polares viene determinado

por: ∧•∧•→

+= θθ ururv r , donde: ∧•→

= rr urv , representa la Velocidad Radial y ∧•→

= θθ θ urv , la

Velocidad Transversal. En tanto que la aceleración →a de dicho punto, está dado por:

∧••••∧•••→++−= θθθθ urrurra r )()( 2

2

, donde: ∧•••→

−= rr urra )(

2

θ , representa la Aceleración

Radial y ∧••••→

+= θθ θθ urra )(2 , la Aceleración Transversal.

6. En la solución de problemas relacionados con la cinética de una partícula, es necesario

determinar el ángulo que forma la tangente a la curva con el radio vector →r . Por lo que

si se conocen las componentes rv y θv de la velocidad ""v , y como ésta última es

tangente a la trayectoria, se tiene: rv

v θφ =tan

42

7. El análisis del movimiento de una partícula usando coordenadas polares, quedan definidos por los gráficos que a continuación se muestran. En el primero de ellos, una partícula ""A

se mueve hacia la derecha, y el vector posición →r forma con la dirección horizontal un

ángulo ""θ cuyo valor disminuye a medida que transcurre el tiempo, durante el cual ""A cambia de posición. En el segundo caso, el ángulo ""θ que forma la barra AB cuyo extremo ""A se mueve hacia la derecha y que se apoya sobre el cilindro ""C aumenta su valor.

43

4.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en el plano en Coordenadas Polares.

1. El movimiento curvilíneo de un punto material está regido por las coordenadas polares

3

3tr = y )cos(

62

tπθ = , donde ""r está en metros, ""θ en radianes y ""t en segundos.

Especificar la velocidad →v y la aceleración

→a del punto cuando 2=t s

SOLUCIÓN

o Velocidad de un punto material en Coordenadas Polares: ∧•∧•→

+= θθ ururv r ; donde:

Velocidad radial: ∧•→

= rr urv ; y Velocidad Transversal:∧•→

= θθ θ urv

En consecuencia: 3

3ttr =)( , de donde: 2ttr =

•)(

)cos()(6

2t

tπ

θ = , de donde: )()(63

tsent

ππθ −=•

)(69

3 tsen

tr

ππθ −=•


−= θππ

ut

sent

uttv r )()(69

32

∧∧→−= θuuv r 42242 .)(

o Aceleración de un punto material en Coordenadas Polares:∧∧→

+= θθ uauaa rr ; donde:

Aceleración radial: ∧•••→

−= rr urra )(

2

θ ; y Aceleración transversal: ∧••••→

+= θθ θθ urra )(2 En consecuencia:

ttr 2=••)( ; )()(

69

222 t

sentππ

θ =•

Por lo tanto: )(627

2 232 t

senttarππ

−=

)cos()(618

2 tt

ππθ −=••

Por los tanto: )cos()(65463

2 32

2 tt

tsenta

ππππθ −−=


+−

−= θ

ππππ

ππu

tt

tsentu

tsenttta r )cos()()()(

65463

2

6272

32

2232

∧∧→−= θuua r 9878112 ..)(

2. En un instante dado, un punto material posee las siguientes componentes de la posición,

la velocidad y la aceleración respecto a un sistema de coordenadas fijo yx − : 4=x m,

2=y m, 32=•x m/s, 2−=

•y m/s; 5−=

••x m/s2; 5=

••y m/s2. Determinar los valores

siguientes asociados a las coordenadas polares: θ , •θ ,

••θ , r ,

•r ,

••r

SOLUCIÓN

De las condiciones dadas, se tiene: ∧∧→

+= jyixr , de donde: ∧∧→

+= jir 24

522422 =+=r m

En consecuencia: °=== 6264

2.)arctan()arctan(

xy

θ

∧∧→

+= jvivv yx , es decir: ∧∧∧•∧•→

−=+= jijyixv 232

Por lo tanto: 4232 22 =−+= )()(v m/s

44

x

y

vv=φtan , de donde: )arctan()arctan()arctan(

3

1−===

•

•

x

yvv

x

yφ

°−= 30φ

El ángulo que forma el vector Velocidad Total →v con el eje radial

∧

ru es:

°−=°+°−=+− 65630626 .).()( φθ Por lo tanto:

).cos( °−==•

656vrv r , esto es: ).cos(. °=•

656vr ; ya que: )cos()cos( xx =− : Función Par

2025504 .).( ==•r m/s

•=°−= θθ rvsenv ).( 656 , esto es:

74608305

2

52

6564656.).(

).()./−=−=

°−=

°−=• sen

rvsen

θ rad/s, ya que: )()( xsenxsen −=− :

Función Impar

También: ∧∧→

+= jaiaa yx , es decir: ∧∧∧••∧••→

+−=+= jijyixv 55

Por lo tanto: 2555 22 =+−= )()(a m/s2

x

y

aa=βtan , de donde:

)arctan()arctan()arctan()arctan( 15

5−=

−===

••

••

x

yaa

x

yβ

°−= 45β

El ángulo que forma el vector Aceleración Total →a con el eje radial

∧

ru es: °=°+°=°+°−° 4108454634562690 ..).(

Por lo tanto:

).cos( °=−=•••

4108

2

arrar θ , de donde: 2

4108•••

+°= θrar ).cos(.

274605231025 ).)(().)(( −+−=

••r

2580492232 ... =+−=••r m/s2

).(. °=+=••••

41082 senarra θθθ , de donde:

52

746020229502524108 ).)(.().)(().(. −−=

−°=

••••

rrsena θ

θ

242274

283726.

.

..=

+=••θ rad/s2

45

3. Una barra AB de longitud igual a ""L se apoya sobre un piso horizontal y sobre un semicilindro C , se mueve de tal forma que su extremo A tiene una velocidad constante de 5 m/s hacia la derecha. Sabiendo que el radio del semicilindro es 52. m. Determinar: a) La velocidad angular de la barra cuando se encuentra a una distancia ""x del punto ""O . b)¿Qué valor tendrá la velocidad cuando 3=x m?

SOLUCIÓN Respecto de la gráfica, se tiene que el Radio vector ""R es perpendicular a la tangente

AB en todo punto de la circunferencia. En consecuencia: xR

sen =θ , donde R , es

constante y ""x varía en el tiempo.

Al derivar respecto del tiempo, se tiene: 2−•

−= Rxθθ cos ( I )

Por identidad Pitagórica: 122 =+ θθ cossen ; de donde: θθ 21 sen−=cos

x

RxxR 22

21

−=−= )(cos θ ( II )

Al reemplazar la expresión ( II ) en la expresión ( I ): 2

22

xR

xRx

−=−•

θ

a) Velocidad angular de la barra en función de la distancia ""x :

22 Rxx

Rx

−−=

•)(θ ; donde:

∧−= ix 3

b) Velocidad angular de la barra cuando ""x se encuentra a 3m a la izquierda del punto O:

50025693

523 .

.

.)( =

−=

•θ rad/s

4. Mientras el brazo ranurado gira en torno al punto ""O , el cursor ""P puede desplazarse

hacia el interior mediante el cordel ""S . La posición angular de un brazo está dado por:

2080

2tt −= .θ , donde θ está en radianes y ""t en segundos. Cuando 0=t , el cursor se

halla en 61.=r m, instante a partir del cual es llevado hacia adentro a razón de 0.2 m/s. Hallar el módulo, dirección y sentido del cursor cuando st 4=

46

SOLUCIÓN

Cuando: 0=t , se tiene: 610 .)( =r m; ∧→

−= rr uv 200 .)( m/s

También: 20

802t

tt −= .)(θ ; de donde: 10

80t

t −=•

.)(θ Por lo tanto: 800 .)( =•θ rad/s

En consecuencia: •→

= θθ rtv )( ; sí: 0=t , se tiene: )()()( 000•→

= θθ rv

28180610 .).)(.()( ==→

θv m/s

Módulo de la velocidad total del cursor: 222

θvvv r +=

3128120 2222.).().( ≈+−=+= θvvv r m/s

5. La pluma OAB gira en tormo al punto ""O a la vez que el tramo AB se extiende desde

el interior del tramo OA . Hallar la velocidad y la aceleración del centro B de la polea

para las condiciones siguientes: °= 20θ , °=•5θ s-1, °=

••2θ s-2, 2=l m, 50.=

•l m/s,

21.=••l m/s2. Las cantidades

•l y

••l son las derivadas temporales primera y segunda,

respectivamente, de la longitud del tramo ABl =

SOLUCIÓN

De la gráfica mostrada, se tiene: )( lr += 7 Por lo tanto: ••= lr

o Velocidad de un punto material en Coordenadas Polares: ∧•∧•→

+= θθ ururv r

Para nuestro caso, sería: ∧∧→

+= θπ

uuv r ))((.1805950 de donde:

∧∧→+= θuuv r 785050 ..

47

o Aceleración de un punto material en Coordenadas Polares: ∧••••∧•••→

++−= θθθθ urrurra r )()( 2

2

Para nuestro caso sería: ∧∧→

++

−= θ

πππuua r ))(())(.())((.

18029

1805502

1805921

2

∧∧→++−= θuua r )..()..( 31400870068021

∧∧→+= θuua r 40101311 ..

6. La posición del cursor ""P en el brazo ranurado giratorio OA está controlada por un

tornillo motorizado tal como se muestra. En el instante representado 8=•θ rad/s y

20−=••θ rad/s2. También, en ese instante, 200=r mm, 300−=

•r mm/s y 0=

••r . Hallar en

ese instante, las componentes de r y θ de la aceleración de ""P

SOLUCIÓN

Según datos del problema, se tiene que en el instante mostrado: 8=•θ rad/s,

20−=••θ rad/s2, 200=r m 20.= m, 300−=

•r mm/s 30.= m/s y 0=

••r m.

Por lo tanto:

Componente radial de la aceleración: 22

8200 ))(.(−=−=•••θrrar

8128120 .. −=−=ra m/s2

Componente transversal de la aceleración: ••••

+= θθθ rra 2 ))(.())(.( 20208302 −+−=θa 88484 .. −=−−=θa m/s2

El vector aceleración, vendría dado por: ∧∧→

−= θuua r 88812 ..

7. Cuando el cilindro hidráulico rota en torno al punto ""O , la precisión del aceite en su

interior controla la longitud ""l al descubierto de la biela ""P . Si la velocidad uniforme de rotación del cilindro es 60 °/s y disminuye constantemente a razón de 150 mm/s. Calcular

los módulos de la velocidad →v y la aceleración

→a del extremo B cuando 125=l mm

48

SOLUCIÓN: Según los datos del problema, se tiene: 60=ω °/s

)(180

60π

ω = rad/s, de donde: 3

πωθ ==

•rad/s; 0=

••θ rad/s2

Del gráfico, se tiene: llmmr +=+= 3750375 . Por lo tanto: 150.==••lr m/s

0=••

r m/s2 En consecuencia: Para cuando 125=l mm Entonces: 50500 .== mmr m

o Cálculo de la velocidad de la longitud ""l del cilindro hidráulico en Coordenadas

Polares: ∧•∧•→

+= θθ ururv r , de donde:∧∧→

+= θπ

uuv r ))(.(.3

50150 , esto es:∧∧→

+= θuuv r 5240150 ..

En consecuencia: 54505240150 22 .).().( =+=v m/s

o Cálculo de la aceleración de la longitud ""l del cilindro hidráulico en Coordenadas Polares:

∧••••∧•••→++−= θθθθ urrurra r )()( 2

2

, de donde:

∧•••→−= rr urra )(

2

θ , lo que implica: ∧→

−= rr ua 2

3500 ))(.(π

∧→

= rr ua 5480. ∧••••→

+= θθ θθ urra )(2 , lo que implica: ∧→

+= θθ

πua ))(.())(.( 050

31502

∧→

= θθ ua 3140.


+= θuua r 31405480 ..

632031405480 22 .).().( =+=a m/s2

8. El cohete ha sido disparado verticalmente y es seguido por el radar que se representa.

Cuando θ llega a 60°, las otras mediciones correspondientes dan los valores 9=r Km.,

21=••

r m/s2 y 020.=•θ rad/s. Hallar la velocidad y la aceleración del cohete para esta

posición.

49

SOLUCIÓN

Respecto de los datos del problema, se tiene: 3

60π

θ =°= rad; 9=r km 9000= m,

21=••

r m/s2 020.=•θ rad/s

La Velocidad del cohete para ese instante de tiempo es:∧•∧•→

+= θθ ururv r

1800209000 ===•

).)((θθ rv m/s

De la figura, se tiene: rv

v θ=°30tan Por lo tanto: θvv r °=

30

1

tan, de donde:

7731173118030180 .).)(()(. ==°= ctgv r m/s

Entonces: 222θvvv r +=

36018077311 2222 =+=+= )().(θvvv r m/s

La aceleración del cohete para ese instante de tiempo es:

∧••••∧•••→++−= θθθθ urrurra r )()( 2

2

417020900021 22

.).)(( =−=−=•••θrrar m/s2

De la figura, se tiene: ra

aθ=°30tan Por lo tanto: °= 30tanraaθ

0410577041730417 .).)(.(tan).( ==°=θa m/s2

En consecuencia: 222θaaa r +=

10200410417 2222.).().( =+=+= θaaa r m/s2

50

9. Un jugador de béisbol lanza una pelota según las condiciones dadas. En el instante 0=t , la pelota sale proyectada con una velocidad inicial de 30 m/s que forma un ángulo de

30° con la horizontal. Halla los valores de r , •r ,

••r , θ ,

•θ ,

••θ en el sistema de

coordenadas yx − indicado para el instante 50.=t s [Considere: Altura desde la superficie del suelo a la mano del beisbolista 2= m]

SOLUCIÓN: Según datos del problema, se tiene: En 0=t , 300 =v m/s; °= 30α (ángulo de tiro). Por lo tanto: o Componente horizontal de la velocidad inicial:

9825303000 .))(cos(cos =°== αvvx

m/s

o Componente vertical de la velocidad inicial: 15303000 =°== ))(( sensenvv

yα m/s

En consecuencia: ttvtxx

98250 ..)( == 1350982550 ≈= ).)(.().(x m

200

2

1gttvyty

y−+= .)(

27850819505015250 2 .).)(.)(.().().( =−+=y m El vector posición, para ese instante de tiempo, viene determinado por:

∧∧∧∧→+=+= jijyixr 27813 . , de donde: 41427813 22 .).()( =+=r m

Se sabe, también: xy=θtan , de donde: °== 532

13

278.)

.arctan(θ

o Cálculo de la componente horizontal y vertical de la velocidad en 50.=t s; esto es: 98250 .== xx vv m/s; 091050819150 .).)(.( =−=−= gtvv

yy m/s


+= jiv 09109825 .. , de donde: 872709109825 22 .).().( =+==•

vr m/s

También: rv

v θθ =tan , de donde: 75178727532 .).)(.(tan).(tan =°== rvv θθ m/s

Se sabe: •

= θθ rv , de donde: 21414

7517.

.

.===

•

rv θθ rad/s

o En el eje ""x , se tiene que el movimiento es rectilíneo uniforme, esto es 0=xa y en el eje ""y el movimiento es rectilíneo uniformemente variado, esto es:

819.== gay m/s2. Por lo tanto: 81981902222

.).( =+=+= yxr aaa m/s2

Se sabe: 2•••

−= θrrar . En consecuencia:

221414819 ).)(.(. −=

••r . Por lo tanto: 530.=

••r m/s2

También: ra

aθθ =tan . En consecuencia: 256819532 .).)(.(tan)(tan =°== raa θθ m/s2

Se sabe:••••

+= θθθ rra 2 . En consecuencia: ••

+= θ).().)(.(. 4142187272256

214.−=••θ rad/s2

51

ACTIVIDAD Nº 04. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN COORDENADAS POLARES

1. Un proyectil se lanza con una velocidad inicial 250 =v m/s y un ángulo inicial º450 =α . (a)

Calcule el instante T en que el proyectil está en su altura máxima. (b) En 011 .−= Tt s, Tt =2 y 013 .+= Tt s, obtenga las componentes ""x , ""y del vector de posición. (c) En los instantes

,1t ,2t y 3t obtenga las componentes del vector velocidad. (d) En esos instantes, la componente del vector aceleración que es paralela (o antiparalela) a la velocidad, y también la componente perpendicular a la velocidad. (e) Dibuje la trayectoria del proyectil, rotulando la posición del proyectiles ,1t ,2t y 3t . En esas posiciones, dibuje el vector velocidad y las componentes paralela y perpendicular del vector aceleración.

2. La velocidad de un cuerpo móvil sobre el eje ""x está dado por: 228 tv += , estando ""y

medida en centímetros y ""t en segundos. Cuando 3=t s, el cuerpo está 52 cm. a la derecha del origen. (a) Encontrar las expresiones de la aceleración y la posición del cuerpo en cualquier instante. (b) ¿Cuál es la velocidad inicial? (c) ¿Cuál es la posición inicial?

3. Utilice la velocidad de una partícula como función del tiempo, que se tabula abajo, para calcular la posición de la partícula en cada uno de los tiempos; suponga que cuando 0=t s, la partícula se encontraba en el origen y en reposo. (Sugerencia: lo más fácil es hacer una gráfica)

Tiempo (s) Velocidad (m/s)

0.5 0.75 1.5 1.75 2.5 8.75 3.5 21.75 4.5 39.75 5.5 62.75 6.5 90.75 7.5 122.75

4. La posición de una partícula está expresada por tBeAtx α+= 2 . La partícula se encuentra

inicialmente, cuando 0=t s en 01.=x m y tiene una 4=v m/s. Después de 0.2s, se observa que la velocidad es 10m/s. ¿Cuál es la aceleración después de 1.0s?

5. Un punto material ""P se mueve a lo largo de la trayectoria )(θfr = simétrica respecto a 0=θ . Cuando el punto pasa por la posición 0=θ , donde el radio de curvatura de la trayectoria es ""ρ ,

su velocidad es ""v . Deducir una expresión de •r en función de v , r , ρ para el movimiento del

punto en esa posición.

Rpta: )(r

vr112 −−=

•

ρ

6. En el instante 0=t el pequeño bloque ""P parte del reposo en el punto ""A y sube por el plano

inclinado con una aceleración constante ""a . Expresar •r en función del tiempo.

52

7. El bloque ""P se desliza por la superficie representada a la celeridad constante 60.=v m/s y pasa

por el punto ""O en el instante 0=t . Siendo 21.=R m, hallar los valores de r , θ , •r y

•θ en el

instante )(3

12π+=t

Rpta: 322.=r m; 4240.=•r m/s; 13450.−=

••r m/s2

°=15θ ; 18300.=•θ rad/s; 0250.=

••θ rad/s2

8. El bloque ""C se desliza a lo largo de una barra ranurada OA se desliza en la canaleta lisa

horizontal. Los bloques ""C y ""D están articulados entre sí que les permite girar uno con respecto al otro. Si ""D se mueve con velocidad constante 0v hacia la derecha, determinar: A) La velocidad y la aceleración angular del brazo OA en función de h , 0v , y θ . B) Si 60.=h m,

200 =v m/s, °= 20θ determinar el valor de la velocidad y la aceleración angular en ese instante, y C) La aceleración de ""C

Rpta: a) h

senv θθ

20.−=

•;

2

3202

hsenv θθ

θcos.

=••

b) 8993.−=•θ rad/s; 54783.=

••θ rad/s2

53

APÉNDICE:

TABLAS Y CONSTANTES FÍSICAS

54

TABLA N° 01 FACTORES DE CONVERSIÓN ENTRE UNIDADES DE PRESIÓN

Pascal

(N/m2 o Pa)

dinas/cm2 lb/pie2 lb/pulg2 atm bar mbar mm Hg (Torr) a 0°C

cm H2O a 4°C

N/m2 1 10 2.09x10-2 1.45x10-4 9.87x10-6 10-5 10-2 7.50x10-3 1.02x10-2

dinas/cm2 10-1 1 2.09x10-3 1.45x10-5 9.87x10-7 10-6 10-3 7.50x10-4 1.02x10-3

lb/pie2 47.9 47.9 1 6.94x10-3 4.73x10-4 4.79x10-4 0.479 0.359 0.488 lb/pulg2 6.89x103 6.89x104 144 1 6.80x10-2 6.89x10-2 6.89 51.7 70.3 atm 1.01x105 1.01x106 2.12x103 14.7 1 1.01 1.01x103 760 1.03x103

bar 105 106 2.09x103 14.5 0.987 1 103 750 1.02x103

mbar 102 103 2.09 1.45x10-2 9.87x10-4 10-3 1 0.750 1.02 mm Hg (Torr) a 0°C cm H2O a 4°C

133 98.1

1.33x103 981

2.78 2.05

1.93x10-2 1.42x10-2

1.32x10-3 9.68x10-4

1.33x10-3 9.81x10-4

1.33 0.981

1 0.736

1.36 1

Cada cifra indica el valor de una unidad de la columna de la izquierda en las unidades de encabezamiento de cada columna. Por ejemplo: 1 lb/pulg2 equivale a 51.7 mm Hg.

TABLA N° 02

DENSIDADES DE ALGUNAS SUSTANCIAS CORRIENTES

Sustancia Densidad, kg/m3 Peso específico, lb/pie3

Acero 7,7x103 4,8 Agua

Pura (0°C) 1,000x103 62,4 Pura (20°C) 0,998x103 62,4

De mar (15°C) 1,025x103 64,0 Aire (20°C) 1,20 7,5x10-2

Aluminio 2,7x103 1,7x102

Cobre 8,9x103 5,5x102

Granito 2,7x103 1,7x102

Hielo 0,197x103 0,57x102

Hierro 7,7x103 4,8x102

Hueso 1,6x103 1,0x102

Madera, Meple 0,7x103 44

Mercurio 13,6x103 8,5x102

Plomo 11,3x103 7,1x102

Silicio 2,33x103 1,46x102

Vapor de agua (100°C) 0,596 3,7x102

Vidrio 2,6x103 1,6x102

55

TABLA N° 03 MÓDULO DE YOUNG, LÍMITE ELÁSTICO, Y RESISTENCIA A LA ROTURA DE

ALGUNOS SÓLIDOS CORRIENTES

Sustancia Módulo de Young 109 N/m2

Límite de Elasticidad 107 N/m2

Rotura a la Tracción 107 N/m2

Rotura a la Compresión 107 N/m2

Acero 200 30 50 - Aluminio 70 18 20 - Cobre 120 20 40 - Cuarzo 70 - - - Granito 50 - - 20 Hierro, forjado 190 17 33 - Huesos - - -

Tracción 16 - 12 - Compresión 9 - - 17

Ladrillo 20 - - 4 Madera 10 - - 10 Mármol 60 - - 20 Poliestireno 3 - 5 10 Vidrio, cuarzo fundido

70 - 5 110

[Obs: Los valores consignados son representativos de cada material; los valores reales para una muestra particular pueden diferir a causa de diferencias en composición o preparación]

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