FISICA GENERAL Responsable: Ing. Samuel Adolfo Dueas AparicioHorario:Clases: Martes : Aula C45, 7:00 a 8:50 a.m.Jueves: Aula C36, 7:00 a 8:50 a.m.Contenido General:Unidad 1: lgebra Vectorial (2 y 3D)Unidad 2: Cinemtica de la partculaUnidad 3: Dinmica de la partculaUnidad 4: Trabajo y EnergaUnidad 5: Conservacin de la EnergaUnidad 6: Propiedades Trmicas de la materiaUnidad 7: AcsticaUnidad 8: EstaticaUnidad 9: Dinmica de los Cuerpos RigidosBibliografia: Sear-Zemansky tomo 1, 11 12aedicin. fsica para Ingenieros Resnick/Halliday/Walker, Fundamentos de fsica 6 edicin Serway , Fsica Universitaria 5 , 6a y 7a edicin Russel Hibbeler, Mecnica Vectorial 9 edicinEvaluaciones por periodo:Exmen Parcial ---------------- 50 %Exmenes Cortos---------------- 15 % c/uLaboratorio Prctico --------------20 %REPASO DE TRIGONOMETRIAING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 1 Donde: A, B Y C son los vrticesa,b y c son los catetosAlgunas funciones trigonomtricas que conocemos:sin()=catetoopuestohipotenusa =accos()=catetoadyacentehipotenusa=bctan()=catetoopuestocateto adyacente=absec()=cos1()=cbcosec ()=sen1()=cacot ()=tan1()=baPitgorasa2+b2=c2El teorema de pitgoras nos brinda algunas identidades :Dividiendo cada miembro porc2a2c2+b2c2=c2c2|ac2+|bc2=c2c2sen2+cos2=1Dividiendo ahora la ecuacin de pitgoras pora2yb2ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 2 ABCabcDe poco uso en la fisica

a2a2+b2a2=c2a2 a2b2+b2b2=c2b2 1+|ba2=|ca2 |ab2+1=|cb2 1+cot2=cosec2tan2+1=sec2LEY DEL COSENOSe utiliza para encontrar la magnitud de un lado de un triangulo no rectngulo conociendo la magnitud de los dos lados y el ngulo entre ellos (se utiliza tambin en vectores) C=. A2+B22ABcosoLey del cosenoLEY DE LOS SENOSSe utiliza para calcular la magnitud y ngulos de tringulos (sean rectngulos o no). Se utilizan tambin en vectores. Rsen =Aseno=BsenING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 3 A CBRBATriangulo normalTriangulo vectorialRBALey de los senosEjemplo # 1: Desde una determinada posicin en un camino, una persona observa la parte ms alta de una torre de alta tensincon un angulo de elevacin de 25. Si avanza 45 m en linea recta hacia la base de la torre, divisa la parte mas alta con un angulo de elevacin de 55. Considerando que la vista del observador est a unos 1.70 m. Encuentre la altura h de la torre.Solucin:xsen 25=45msen30,x=45msen30 sen25 ,x=38.04 mTrabajando con el siguiente triangulo, para encontrar la altura de la torre.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 4 h45 m1.70 m552525 1253045 m?X = ?55h38.04 m9035

38.04msen90 =hsen55 ,h=31.16m ,htotal=31.16+1.70mhtotal=32.86 m R/UNIDAD 1 LGEBRA VECTORIAL1.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALESCANTIDADES ESCALARES: Una cantidad escalar, consiste en un nmero y una unidad de medida.Ejemplos:Temperatura (T) 98.6 FVolumen (V) 125 mlMasa (m) 58 kgrea (A) 500 m2 Tiempo 5.25 seg.Etc.Operaciones con escalares: Aritmtica ordinaria.CANTIDADES VECTORIALES: Una cantidad vectorial queda totalmente determinada slo cuando se conoce su magnitud (modulo), su direccin (orientacin angular) y su sentido (punta de la flecha)Ejemplos:Desplazamiento (x) 14.5 m al suroesteVelocidad (v) 98 km/h hacia el surAceleracin (a) 9.80 m/s2 hacia abajoFuerza (F) 57 N, 45 al norte del esteMomento (t) 38 N.m entrando al planoEtc.REPRESENTACIN GRFICA DE UN VECTORING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 5 12TrayectoriasNEOSDireccinMagnitud SentidoNSEOEl desplazamiento no depende de la trayectoria sino de los puntos extremos inicial y final.1.2 CLASES DE VECTORESVector Fijo: Vector que no se mueve de su punto de aplicacin no modifica las condiciones del problema.Vector Libre: Vector que puede desplazarse libremente en el espacio a lo largo de su linea de accin y se conoce como vector deslizante.VectoresIguales:Sedicequedosvectores son iguales cuando tienen la misma magnitud y direccin, tengan o no el mismo punto de aplicacin. Los vectores iguales pueden representarse con la misma letra.Vector Negativo: Sedefinecomounvector quetienelamismamagnituddeotrovector ydireccin opuesta.Vector Paralelo: Vectores que tienen la misma direccin.1.3 OPERACIONES CON VECTORES (PROPIEDADES) GRFICAMENTE1.3.1 SUMAING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 6 F1 F2FFA Su negativo- APor equilibrio A + (-A) = 0ABABABRBARMtodo del triangulo AR=A+B R=B+AA+B B+A Ley conmutativaR=A+BMtodo del paralelogramoSUMAR LOS VECTORESR=A+B+C ; R=D+CR=RA+B+C=D+CLey Asociativa1.3.2 DIFERENCIA (RESTA DE VECTORES)R=A+( B)R=ABING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 7 ABRA BCABCRDABA- BR A E + +MTODO ANALTICO 1.4 COMPONENTES DE LOS VECTORES (C. R.) EN 2DLa proyeccin de un vector sobre un eje, se denomina componente de un vector.A Tendr dos componentesAx y Ay Si conocemosA y . Utilizando funciones trigonomtricas bsicas:coso=AxA,Ax=Acoso , Componente del vector A en la direccin xseno=AyA,Ay=Aseno , Componente del vector A en la direccin ypor pitgoras:A=. Ax2+Ay2, Magnitud del vector A. Por definicin siempre es positiva.tan o=AyAx, Angulo de direccin del vector A depender de la posicin del vector en el planoLas componentes de un vector no son vectores. Son nmeros positivos negativos en algunos casos son cero en uno de los ejes. Bx=Bcos By=BsenPor pitgoras B=. Bx2+By2ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 8 AAxAyxyBBxByyx E + +Si nosotros queremos sumar el vector A con el vector B por sus componentes rectangulares, lo hacemos as:Rx=Ax+Bx; Ry=Ay+By;R=. Rx2+Ry2;tan 0=RyRx(no siempre)Si tenemos n vectores, entonces:Rx=Ax+Bx+........ +nxRy=Ay+By+........+nyNomenclatura a utilizar:Ejemplo # 1:Un atleta de alto rendimiento en un da de entrenamiento realiza los siguientes desplazamientos: 5 km hacia el sur, 4.5 km al noreste, 3 km hacia el este y 2.5 km 35 al norte del este. Muestre en undiagrama vectorial losdesplazamientos del atleta yproporcione el desplazamiento total querealiz.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 9 N E OS + +--ENSOEOS45ABEN NS SC35DRResolviendo el problema por componentes rectangulares y utilizando la nomenclatura vista, tenemos:Ax=0, Ay=5kmBx=Bcos45 ; Bx=4.5kmcos 45; Bx=3.18kmBy=Bsen 45; By=4.5 kmsen 45; By=3.18kmCx=3km, Cy=0Dx=Dcos35; Dx=2.5kmcos35; Dx=2.05kmDy=Dsen35; Dy=2.5kmsen35;Dy=1.43 kmCalculando las componentes rectangulares del vector resultanteRx=Ax+Bx+Cx+Dx; Rx=(0+3.18+3+2.05) km; Rx=8.23 kmRy=Ay+By+Cy+Dy; Ry=(5+3.18+0+1.43) km; Ry=0.39kmComo la componente del vector resultante en el eje x es positiva y la de y es negativa, el vector resultante esta ubicado en el cuarto cuadrante.Encontrando la magnitud del vector resultante:R=. Rx2+Ry2 ;R=. (8.23km)2+(0.39km)2;R=8.24km R/ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 10 RxRRyENSOtan =RyRx;=tan1( RyRx);=tan1(0.39km8.23km );=2.71=2.71 del este al sur R/1.5 VECTORES CONCURRENTESLa magnitud de la suma de dos vectores concurrentes que forman entre ellos un angulo , se determina utilizando la siguiente expresin:R=. A2+B2+2ABcos01.6 VECTORES UNITARIOSUn vector unitario es un vector con magnitud 1, adimensional su nico fin es apuntar, osea describir una direccin y siempre estar asociado a un vector. Se utiliza ms en sistemas 3DING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 11 RABi X YjZ kVectores unitariosxyzijkA=AXi +Ay j +Azk ; B=BX i +By j +BzkR=A+BR=( Ax+Bx)i+( Ay+By) j +( Az+Bz) kR=Rxi+Ry j+Rz kR=. Rx2+Ry2+Rz21.7 MULTIPLICACIN DE VECTORES1. Producto Escalar (Punto)2. Producto Vectorial (Cruz)Si multiplicamos:Vector x Escalar = VectorEscalar x Escalar = EscalarVector x Vector = Vector1.7.1 PRODUCTO ESCALAR (Producto punto)Denotado por A.B A.B=ABcos0ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 12 ABABBcosB.A=BAcos0A.B=B.Aley conmutativa parala multiplicacinCARACTERSTICAS:El producto punto es una cantidad escalar, y puede ser positiva, negativa o ceroPositiva0090Negativa900fkExperimentalmente, fsmx y fk sonoa N( fuerza normal )ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 50 ffEsttica; ReposoCintica; Movimientof s=js N(friccin esttica)js=coeficiente de friccinesttico(reposo)f k=jk N(friccin cintica)jk=coeficiente de friccin cintica( movimiento)Los coeficientes defriccinjs yjkdependendela naturalezadelas superficies. Por logeneral jkjsLos coeficientes de friccin son casi independientes del rea de contacto.js yjkno poseenunidades (adimensionales)Y fs>fkF x=0mgsen0 f s=0fs=mgsen0(1)F x=0Nmgcos 0=0ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 51 ++N=mgcos 0 (2)Sustituyendo 2 en 1 tenemos:fs=mgsen 0js N=mgsen 0jsmgcos 0=mgsen0js=mg sen0mgcos 0js=tan0 , yjk=tan 0Ejemplo # 1: Dos bloques de masas 4.00 kg y 8.00 kg estn conectados por un cordel y bajan resbalando por un planoinclinado30(comose muestra en la figura). El coeficiente de friccin cintica entre el bloque de 4.00 kg y el plano es de 0.25, y entre el bloque de 8.00 kg y el plano, 0.35. Cul es la tensin en el cordel que une a las cuerdas?Diagrama de Cuerpo Libre (bloque de 4.00 kg): Diagrama de Cuerpo Libre(bloque de 8.00 kg): ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 52 xyTfk1W130W1yW1xN1xyTfk2W230W2yW2xN22 Fx=m1a 2 Fx=m2aW1x fk1T=m1a W2x+Tfk2=m2am1g sen30jk1N1T=m1a m2g sen30+T jk2N 2=m2aEncontrando la fuerza normal para ambos bloques:2 Fy=0 2 Fy=0W1yN1=0 W2yN2=0W1y=N1W2y=N2N1=m1g cos 30 N2=m2g cos30Sustituyendo la fuerza normal:m1g sen30jk1(m1 gcos 30)T=m1a m2g sen30+T jk2(m2gcos 30)=m2aa=m1g sen30jk1(m1g cos 30)Tm1a=m2g sen30+Tjk2(m2g cos 30)m2Ya que las aceleraciones de ambos bloques son las mismas:m1g sen30jk1(m1g cos30)Tm1=m2g sen30+Tjk2(m2g cos30)m2Despejando T:m2| m1g sen30jk1(m1 gcos 30)T =m1| m2g sen30+Tjk2(m2g cos 30)m2m1g sen30m2jk1m1g cos30m2T=m1m2g sen30+m1Tm1jk2m2g cos30ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 53 m1T +m2T=m2jk1m1 g cos30+m1jk2m2g cos30T=m1m2 g cos30 (jk1+jk2)( m1+m2)=(4.00kg )(8.00 kg)(9.8m/ s2)(cos30)(0.25+0.35)(4.00 kg+8.00 kg)=2.26 N R/UNIDAD IV TRABAJO Y ENERGA CINTICAING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 54 TrabajoCotidiano: Actividad de esfuerzo muscular o mental.Fisico: Producido por fuerzas externas.mgcos30mgsen30 hEnerga Cintica: Energa relacionada con el movimiento.4.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.W=Trabajo ,W=F.d [N.m] = Joules[J] [Lb. pie]W=Fdcos = W=F.d(Producto Escalar)W=+,, ceroING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 55 FxydFxyd3015Fdyx3030N1m1gm1 gcos30m1 gsen30D.C.L.Fsen15Fcos15fkmgcos30mgsen30 hmgcos25mgsen25W = ?Wtotal=Wc/ FWtotal=(WFsen15+WFcos15+WN1+W m1gcos30+W m1gsen30+WFk)CARACTERSTICAS1.Wtotal=WF1+W F2+W F3+...+W Fn2. Solamente las fuerzas paralelas al desplazamiento realizan trabajo. F perpendicular a d = 03. Si F = 0 ; W = 0.4. S d = 0 ; W = 0.5. Si el ngulo entre F y d es de 90 ; W = 0.6. Si el ngulo entre F y d es igual a 0; W = F.d (Wmximo Positivo.)7. Si el ngulo entre F y d es igual a 180 ; W = -F.d (Wmximo Negativo.)8. Matemticamente: El trabajo es igual al rea bajo la curva.9. ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 56 yx3030NFm1gmgcos30mgsen30m30Fd habcFFmgymgcos25mgsen25Trabajo realizado de a hacia c Trabajo realizado de b hacia cWac=F.d Wbc=F.hFx=0 F y=0Fmgsen30 =0Fmg=0F=mgsen30F=mgWac=mgsen30.d

Wbc=mg.hsen30=hd h=sen30.d

Wbc=mgsen30.dWac=mgsen30.d= Wbc=mgsen30.dConclusin: El trabajo no depende de la trayectoria, sino de los puntos inicial y final.Trabajo realizado por la gravedadW g=mg hEjemplo#1:Untransportadordeequipajetira de unamaleta de 20.0kg para subirla porunarampa inclinada 25.0sobre la horizontal con una fuerza F de magnitud 140 N que acta paralela a la rampa. El coeficiente de friccin cintica entre la rampa y la maleta esjk=0.300 . Si la maleta viaja 3.80 m en la rampa, calcule el trabajo realizado sobre la maleta por a) F ; b) la fuerza gravitacional, c) la fuerza normal, d) la fuerza de friccin , e) todas las fuerzas(trabajo total hecho sobre la maleta). f) si la rapidez de la maleta es cero en la base de la rampa, qu rapidez tiene despus de haber subido 3.80 m por la rampa?ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 57 25Fd =3.8 myx2525NFmgmgcos25mgsen25D.C.L.(m)fk3.8 ma) WF=?b) Wgravedad=?WF=F.dcos o Wg=mgsen0. d cosoWF=(140 N )(3.8mcos0) Wg=(20 kg)(9.8m/ s2)( sen25 )(3.8mcos 180)WF=532 N.m532 JR/W g=315 JR/c) Wnormal=?Wnormal=0R/d) Wfriccin=?Wf= fk. d cos oWf=jk N . d coso, peroN=mg cos 0Wf=jk mgcos0. d cosoWf=(0.300)(20 kg)(9.8m/ s2)(cos25 ). (3.8mcos180 )W f=203JR/e) Wtotal=?Wtotal=W F+W g+Wnormal+WfWtotal=(532315+0203) JWtotal=14 JR/f) vfinal=?Fx=maFy=0Fmg sen0fk=maNmg cos 0=0 ,N=mg cos 0Fmg sen0jk N=maING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 58 Fmg sen0jkmg cos0=maFmg| sen0+jkcos0m=aa=140 N(20kg)(9.8m/ s2)| sen 25+0.300cos 2520kga=0.194m/ s2v2=vo2+2adv=. 2adv=. 2(0.194 m/ s2)(3.8m)v=1.21m/ s R/4.2 ENERGA CINTICA Y SU RELACIN CON EL TRABAJOEnerga cintica (K): Es aquella asociada con el estado de movimiento de un objeto.K=12 mv2| kg. m2s2 | kg. ms2. m| N.mJPara dos estadosInicialKo=12 mvo2FinalKf=12 mvf2ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 59 Cambio de energa cintica entre los dos estados:AK=KfKoAK=12 mvf212 mvo2FNeta=cte ,a=ctev2=vo2+2axv22=v12+2axa=v22v122xFNeta=maFNeta=m( v22v122x)FNeta x=m(v22v122)WT=12 mv2212 mv12WT=KfKoWT=A KTeorema del Trabajo y la Energa Cintica.4.3 TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS VARIABLESCaractersticas:FnetaCte.F cambia conforme se va desplazando [Magnitud]ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 60 FNetaxyx1 2X Desplazamiento rectilneoW=x1x2F ( x) dxWneto=x1x2F( x) dx+y1y2F ( y) dy+z1z2F ( z)dz4.3.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE RESORTEING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 61 Fext ( x)o xFext ( x)=K x | Fuerza requerida para estirar unresorte leyde HookeDonde:K=Cte derigidez del resortex=Longitud ( Elongacin, estiramiento , deformacin)Fr=Fuerza restauradora y3 ley de Newton: Fr=Fext; Fr=KxW=?a)WFext ( x)=0xF ( x) dxWFext ( x)=0xKx dxWFext ( x)=K0xx dxWFext ( x)=K|x22 | de0 hasta xWFext ( x)=12 K | x202ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 62 WFext ( x)=12 K x2WFr=12 K x2b)WFext ( x)=x1x2F ( x) dxWFext ( x)=12 K | x22x12WFext ( x)=12 K x2212 K x12WFr ( x)=12 K | x22x12 WFr ( x)=12 K x1212 K x22Ejemplo # 1: Un resorte ideal y sin masa S puede comprimirse en 1.0 m con una fuerza de 100 N. El mismo resorte se coloca en la base de un plano inclinado sin friccin que forma un angulo de 30 con la horizontal (ver figura). Se suelta una masa M de 10 kg. que estaba en reposo en la parte superior del plano inclinado y esta queda momentneamente en reposo despus de comprimirse el resorte en 2.0 m. a) Qu distancia recorrer la masa antes de detenerse? b) Cul es la rapidez de la masa justo antes de tocar el resorte?ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 63 F=K x ,K=F / x ,K=(100 N /1m) ,K=100 N / ma) d =?WT=AKmgsend12 K x2=0d =(1/ 2) K x2mgsend =(1/ 2)(100 N / m)( 2m)2(10kg)(9.8m/ s2)( sen30)d=4.1m R/b) vf=?WT=AKING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 64 D.C.L. (M)30mg30mgcos mgsenNxyGravitatoria: Cuando existe separacin de objetos que se atraen entre si.Elastica: compresin o extensin de un objeto elsticoEn el descenso:K1= 0W21=W.K2= m 1 2. EPG = > Kmgsend12 K x2=12 mvf212 mvo2mgsend=12 mvf2vf=.(2| mgsend m)vf=.(2|(10kg)(9.8m/ s2)( sen30)(2.1 m)10kg)vf=4.54 m/ sR/4.4 POTENCIADefinicin: Es la rapidez con la que una fuerza realiza un trabajo.Pmed=AWAt[Potencia media]P=lim AWAt =dWdt[Potencia instantnea]Unidades: P = [S.I] [J/s] = W(watt); as quehay kW y MW.P = [S. Britnico] = pie-lb/s.1 hp(caballo de Fuerza)= 746 W = 0.746 kW = 550 pie-lb/s.La potencia instantnea tambin se define por:P=dWdtP=( F )(dx )cosdtP=F cosdxdtP=F cosP=F .UNIDAD 5 CONSERVACIN DE LA ENERGAING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 65 Gravitatoria: Cuando existe separacin de objetos que se atraen entre si.Elastica: compresin o extensin de un objeto elsticoEn el descenso:K1= 0W21=W.K2= m 1 2. EPG = > K5.0 ENERGA POTENCIAL Y CONSERVACIN DE LA ENERGAEs la energa asociada a la posicin.5.1 ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA O GRAVITACIONALDefinicin: Energa asociada al peso de un cuerpo y a su altura sobre el suelo. Sistema Tierra- partculaU g=mgy | Joules m: masa (kg)g: gravedad (m/s2)y: altura (m)Ejemplo:el movimiento de lanzar una pelota al aire. Entonces,la energa potencial gravitatoria (U), se define como U=mgyEl trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es:Wgrav=U1U2, AU=U2U1Wgrav=(U2U1)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 66 ENERGIA POTENCIALGravitatoria: Cuando existe separacin de objetos que se atraen entre si.Elastica: compresin o extensin de un objeto elsticoEn el ascenso:K1= m 1 2. W12= - W.K2= 0.K = > EPG (U)En el descenso:K1= 0W21=W.K2= m 1 2. EPG = > K21W grav=AU5.2 CONSERVACIN DE LA ENERGA MECNICA (FOTRAS = 0)La nica fuerza que actu es el peso del objeto (ascenso o descenso)Wtotal=AKWtotal=W gWtotal=WtotalAK=AUK2K1=(U2U1)K2K1=U1U2AcomodandoK1+U1=K2+U2Conservacin de la Energa Mecnica.Nota: Si slo la fuerza de gravedad efectu trabajo, la energa mecnica total es constante. (se conserva)EFECTO DE OTRAS FUERZAS (Fuerzas no conservativas)Wtotal=W g+WotrasWtotal=AKWg+Wotras=AK(U2U1)+Wotras=K2K1U1U2+Wotras=K2K1K1+U1+Wotras=K2+U212 mv12+mgy1+Wotras=12mv22+mgy2ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 67 Fotras 0 * Fuerzas externas..* Fuerzas de friccin y de resistencia.SWotrases positivo ; EAumenta.Wotrases negativo; EDisminuye.Ejemplo # 1: En un puesto de carga de camiones de una oficina de correos, un paquete de 0.200 kg se suelta del reposo en el punto A de una va que forma un cuarto de circulo con radio de 1.60 m (ver figura). El paquete es tan pequeo relativo a dichoradio que puede tratarse como partcula. El paquete se desliza por la va y llega al punto B con rapidez de 4.80 m/s. A partir de ah, el paquete se desliza 3.00 m sobre una superficie horizontal hasta el punto C, donde se detiene. a) Que coeficiente de friccin cintica tiene la superficie horizontal? b) Cunto trabajo realiza la friccin sobre el paquete al deslizarse ste por el arco circular entre A Y B ?Datos:vA=0

vB=4.80m/ sL=3ma) jk=?KB+UB+Wotras=KC+UC12 mvB2+0 ff L=0+0ff L=12 mvB2ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 68 jkm gL=12 mvB2jk=(12 vB2gL )jk=(12(4.80 m/ s)2(9.8m/ s2)(3 m))jk=0.392R/b) W AB=?KA+UA+Wotras=KB+UB0+UA+Wotras=KB+0Wotras=K BU AWotras=12 mvB2mghAWotras=12 mvB2mgRAWotras=12(0.200 kg)(4.80 m/ s)2(0.200 kg)(9.8m/ s2)(1.60m)Wotras=0.832 JR/5.3 ENERGA POTENCIAL ELSTICAE.P.E. : Energa almacenada en un cuerpo elstico durante una deformacin (compresin o expansin).Cuerpo elstico : Resortes ideales (cumplan la ley de Hooke)Uelastica=12 K x2[J] (Energa potencial elstica)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 69 WFext=12 K x1212 K x22Welast=U1U2Welast=AUPara una deformacin: Resorte se relaja:Uelast=Aumenta Uelast=DisminuyeWelast=Negativo Welast=PositivoSi la nica fuerza que realiza trabajo es una fuerza elstica (Fotras = 0) Wotras=0Wtotal=W elasticaAK=AUK2K1=(U2elasU1elas)K2K1=U1elasU2elasK1+U1elas=K2+U2elasSi se considera el efecto del trabajo realizado por otras fuerzas:Wtotal=W elastica+WotrasAK=AU +WotrasK2K1=U1U2+WotrasK1+U1elas+Wotras=K2+U2elasEjemplo#1: Unbloquede0.500kgdemasaes empujadocontraunresortehorizontal demasa despreciable hasta que el resorte se comprime una distanciaAx (ver figura). La constante de rigidez del resorteesde450N/m. Cuandoesliberado el bloque viaja a lo largo de una superficie horizontal sin friccin hasta el punto B,en la parte baja de un aro circular de radio R = 1.00 m, y continua movindose hasta arriba del aro. La velocidad del bloque en la parte baja del aro es de vB=12.0 m/ s, y el bloque experimenta una fuerza de friccin promedio de 7.00 N mientras se desliza por el aro a) Cul es el valor de Ax ?b) Quvelocidad sepuede predecir para el bloque en lo alto de la pista? c) El bloque alcanza a llegar a lo alto de la pista o caer antes de alcanzarlo?ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 70 a)Ax=?K1+U1=KB+U B0+12 kx2=12 mvB2+012 k (Ax)2=12 mvB2k (Ax)2=mvB2Ax=. mvB2kAx=vB. mkAx=(12.0m/ s). (0.500 kg)(450 N / m)Ax=0.4m R/b) vT=?KB+UB+WOTRAS=KT+UT12 mvB2+0 f.d =12 mvT2+mgh12 mvB2f nR=12 mvT2+mg2RING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 71 12 mvB2f nR2mg R=12 mvT2(multiplicando x 2 y dividiendo / m)mvB22nRf 4mg Rm=vT2vT=. mvB22nRf 4mgRmvT=. ( 0.500kg)(12.0m/ s)22n(1.00 m)(7.00 N )(4)(0.500 kg)(9.8 m/ s2)(1.00 m)0.500kgvT=4.10 m/ sR/c) El bloque caer antes de llegar a lo alto de la pista?El bloque cae si argar=vT2R,ar=( 4.10m/ s)2(1.00 m),ar=16.81m/ s2como ar>g, el bloque permanece sobre la pistaEjemplo # 2: Un bloque de 10 kg de masa es soltado desde el punto A ver figura. En el camino no hay friccin excepto en la porcin entre B y C, el cual tiene una longitud de 6.00 m. el bloque viaja hacia abajo del camino y golpea el resorte de k = 2250 N/m y lo comprime 0.300 m desde la posicin de equilibrio. Determine el coeficiente de friccin cintico entre el bloque y la superficie spera entre B y CING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 72 KA+UA=KB+U B0+mg hA=12 mvB2+0m g hA=12mvB2g hA=12vB2vB=.(2g hA)vB=. (2(9.8m/ s2)(3.00m))vB=7.67m/ sKC+UC=KD+U D12 mvC2+0=0+12 K x212 mvC2=12 K x212 mvC2=12 K x2mvC2=K x2vC=.K x2m, vC=. (2250 N / m)(0.300 m)210 kg, vC=4.5m/ sKB+UB+WOTRAS=KC+UCING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 73 12 mvB2+0jk mg d=12 mvC2+012 mvB2jkmg d=12 mvC212 mvB2jkm g d=12 mvC212 vB2jk g d=12 vC212 vB212 vC2=jk g d1/ 2( vB2vC2)g d=jk1/ 2((7.67m/ s)2(4.5m/ s)2)(9.8m/ s2)(6.00m)=jkjk=0.328R/UNIDAD 6 Y 7 TERMODINMICA6.1 TEMPERATURA Y EQUILIBRIO TRMICOTEMPERATURA: Es la descripcin cualitativa de caliente y fro basadas en el sentido del tacto. Esto es bastante bago porque los sentidos pueden engaar.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 74 Ej: Tocar en un da fro una barra de metal y una barra de madera.En esta seccin se desarrollara una definicin macroscpica de la temperatura.EQUILIBRIO TRMICO LEY CERO DE LA TERMODINMICALA LEY CERO Todo cuerpo tiene una propiedad llamada temperatura. Cuando dos cuerpos estn en equilibrio TRMICO, sus temperatura son iguales6.2 TERMMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURALacomparacindelas temperaturas delos cuerpospor mediodel tacto, sloproporcionaunaidea cualitativadedichas cantidades. Paraquelatemperaturapuedaconsiderarseunacantidadfsicaes necesario que podamos medirla a fin de que se tenga un concepto cuantitativo de la misma. Esta medicin de la temperatura se hace con termmetros.6.2.1 TIPOS DE TERMMETROSContacto fsico Sin contacto fsicoTermmetro de gas Pirmetro pticoTermmetro clnico* Comn* Colocado en la frenteTermmetro de odo.(Termopila) radiacininfrarrojaemitidapor el tmpano.Termmetro metlico Cmara webING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 75 6.2.2 ESCALAS DE TEMPERATURA1 Escala Celsius2 Escala Fahrenheit3 Escala Absoluta Kelvin 1 ESCALA CELSIUS (Anders Celsius 1701 1744)Experimentalmente:P=1atmTemperatura de fusin del agua 0 CTemperatura de ebullicin del agua 100 C Al utilizar un Termmetro de mercurio Li=0C y Lf=100CObteniendola pendienteLfLi1000, 10001001C=Centesima parte dela longitudTc=Temperatura en gradosCelsius37C=Temperatura normal del cuerpo humano2 ESCALA FAHRENHEIT (G.D. FAHRENHEIT 1686 1736)ExperimentalmenteP=1atmAl utilizar un Termmetro de mercurio Punto de fusin 32 FPunto de Ebullicin 212 FTF=Temperatura en grados Fahrenheit96F=Temperaturanormal del cuerpo humanoING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 76 L (cm)T CLfLi0 1003 ESCALA ABSOLUTA O KELVIN (LORD KELVIN 1824 1907)Basado en el principio de un Termmetro de gas.La presin P aumenta cuando aumenta la temperatura manteniendo el volumen del gas constante.Limiteinferior 0 K=273.15C ( ceroabsoluto)273.15 K=0CT K=TC+273.15Por definicinTtriple=273.16 KTtriple: Coexiste agua solida, agua liquida y vapor de agua.T=TtriplePPtriple, T=(273.16 K )PPtripleING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 77 CONVERSIN DE ESCALAS DE TEMPERATURA (CELSIUS -FAHRENHEIT)Temperatura de fusin del agua Temperatura de ebullicin del agua0 C = 32 F 100 C = 212 Fm=y2y1x2x1,m=212321000,m=180100,m=95y=mx+bTF=(95) TC+32 TC=59(TF32)T K=5TF+22979TF=9TK22975ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 78 T FT C212320 100(100, 212)(0, 32) lEjemplo #1 : Supngase que en una escala lineal de temperatura X, hierve agua a -53.5 X y se congela a -170 X. Cul es una temperatura de 340 K en la escala X?Solucin:Calculando la pendiente de la recta:m=y2y1x2x1,m=|53.5X(170X )1000,m=1.165Xy=mx+by=(1.165X )(66.85)170Xy=92.11X R/7.1 DILATACIN TRMICADILATACIN: Todos los cuerpos, independientemente de que sean slidos, lquidos o gases, se dilatan cuando aumenta la temperatura.Por qu se dilatan?Aplicaciones: Frascos de vidrio. Termmetros Odontlogos Ingenieros Arquitectos Etc.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 79 YX-53.5 X-170 X0 100 l7.1.1 DILATACIN LINEALAl oAT yAl oloAl oloATAl =oloAT (cambio deongitud ) donde:Al =Cambio delongitudAT=Cambiode Temperatura ,AT=TfToo=Coeficiente de dilatacinlineal , depende del material ,| S.I. ,|1/C C1Al =oloATl lo=oloATl =lo+oloATING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 80 Dilatacion LinealSuperficialVolumtricoSi aumentamos la temperaturaloTo llTfl =lo(1+oAT )(longitudfinal )7.1.2 DILATACIN SUPERFICIALl =lo(1+oAT )h=ho(1+oAT )lh=lo(1+oAT )ho(1+oAT )lh=loho(1+oAT )(1+oAT )A=Ao(1+oAT )2A=Ao(1+2oAT +o2AT2)A=Ao(1+2oAT )(rea final )A=Ao+2o AoATAAo=2o AoATA A=2o AoAT (cambio derea)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 81 holoTohlTf ?7.1.3 DILATACIN VOLUMTRICAl =lo(1+oAT )h=ho(1+oAT )p=po(1+oAT )lhp=lo(1+oAT )ho(1+oAT )po(1+oAT )lhp=loho po(1+oAT )(1+oAT )(1+oAT )V =Vo(1+oAT )3V =Vo(1+2oAT +o2AT2+oAT+2o2AT2+o3AT3)V =Vo(1+2oAT +o2AT2+oAT+2o2AT2+o3AT3)V =Vo(1+2oAT +oAT )V=Vo(1+3oAT )(volumen final ) ,=3o( coeficientede expansinvolumtrica)V=Vo(1+AT )(volumen final )V =Vo+VoATV Vo=VoATAV=VoAT (cambiode volumen)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 82 TOTflopoholhp ?Ejemplo #1: Unanillo de oro tieneun dimetro interior de 2.168 cm a una temperatura de 15.0 C . Determine su dimetro interior a 100 C Datos:To=15.0CTf=100Co(interno)=2.168cmf(interno)=?ooro=1.42x105C1Solucin:A=Ao(1+2oAT )n4 f2=n4 o2(1+2oAT)n4 f2=n4 o2(1+2oAT )f2=o2(1+2oAT )f=.o2(1+2oAT )f=o.(1+2oAT )f=2.168cm. (1+2(1.42x105C1)(10015)C)f=2.171cm R/ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 83 2.168 cm ?To = 15 C Tf = 100 CTS > TEEjemplo # 2: Un frasco de vidrio con volumen de 1000.00 cm3 a 0.0 C se llena al tope con mercurioa esta temperatura. Si el frasco y el mercurio se calientan a 55.0 C, se derraman 8.95 cm3 de mercurio. El coeficiente de expansin de volumen del mercurio es de 18.0x10-5 K-1; calcule el coeficiente de expansin de volumen del vidrio.Datos:To=0oCTf=55oCvo=100cm3vhg(derramado)=8.95cm3hg=18.0x105C1vidrio=?Avvidrio=VovATAvhg=VohgATAvhg( derramado)=8.95cm3Avhg( derramado)=AhgAvidrio8.95cm3=VohgATVoVATVoVAT=VohgAT8.95cm3V=| VohgAT8.95cm3| VOATV=|(1000cm3)(18x105C1)(55C)8.95cm3| (1000cm3)(55C)V=1.73x105C1R/7.2 TEMPERATURA Y CALORING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 84 TS > TETS < TEEste cambio de temperatura se debe a la transferencia de energa entre la energa trmica del sistema y el entorno. Energa trmica es una energa interna formada por las energas cintica y potencial asociadas conlosmovimientosaleatoriosdelostomos, molculasyotroscuerposmicroscpicosdentrodeun objetoLa energa transferida se llama Calor (Q)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 85 SistemaEntornoSistemaEntornoTS < TETS> TETS = TETS = TEEquilibrio trmicoSistemaEntornoTeTS > TEQ < 0QQ - ; Cuando se libera calorSistemaEntornoTeTS= TEQ = 0Q = 0, Cuando no exista transferencia de calor; es decir cuando ambos estn en equilibrio trmicoTS < TECalor:Eslaenergatransferidaentreunsistemay suentorno debido a unadiferenciadetemperatura existente entre ellos.7.2.1 LA ABSORCIN DE CALOR POR SLIDOS Y LQUIDOSCapacidad Calorfica (C)La capacidad calorfica (C)de un objeto es la constante de proporcionalidad entre el calor Q y el cambio de la temperaturaAT del objetoQ=C AT | JoulesCalor Especifico (c)El calor especifico c, que se refiere no a un objeto sino a una unidad de masa del material del cual esta hecho el objeto.Q=cmATDonde cagua=1cal / gr. C=1 BTU/ lb. F=4190 J / Kg.K7.2.2CALORIMETRIA Y CAMBIO DE FASECambios de fase: Cuando un slido o un liquido absorben energa como calor, la temperatura de la muestra no necesariamente se eleva. En lugar de ello, la muestra podra cambiar de una fase, o estado a otro.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 86 SistemaEntornoTeTS < TEQ > 0QQ+ , Cuando hay transferencia de energa trmicaParaconvertir1kgdehieloa0Cen1 kg de agua liquidaa0 Cy presinatmosfrica normal se necesitan 3.34x105 J/Kg de calor.Experimentalmente

pAtmosfricaNormal y para el aguaLf = Calor latente de fusinLf = 3.34 x105 J/kg = 79.6 cal/gr. = 143 BTU/lbQ=!mLfde Slido a Lquido o Viceversa.Lv = Calor latente de vaporizacinLv = 2.256x106 J/kg = 539 cal/gr = 970 BTU/lbSe necesitan 2.256x106 J/kg para convertir 1 kg de agua a 100 C en 1 kg de vapor a 100CQ=!mLvde Liquido a Gas o Viceversa. Ejemplo # 1: S 200 g de agua estn contenidos en un recipiente de aluminio de 300 g a 10 C y 100 g adicionales de agua a 100 C se vierten en el recipiente, Cul es la temperatura de equilibrio final del sistema? (ignore la capacidad Calorfica del recipiente)cAluminio=900 J / kg.K, cagua=4190 J / kg. CING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 87 SlidoLquidoGasFusinSolidificacin CondensacinVaporizacinSublimacinSublimacinAQGANADO=AQPERDIDOQAGUA+QALUMINIO=QH2OADICIONALmaguacaguaAT+malcalAT =mh2Och2OATmaguacagua(TfTi)+malcal(TfTi)=mh2Och2O(TfTi)maguacaguaTfmaguacaguaTi+malcalTfmal calTi=mh2Och2OTf+mh2Och2OTimaguacaguaTf+malcalTf+mh2Och2OTf=mh2Och2OTi+maguacaguaTi+malcalTiTf( maguacagua+malcal+mh2Och2O)=mh2Och2OTi+maguacaguaTi+malcalTiTf=| mh2Och2OTi+maguacaguaTi+malcalTi| maguacagua+malcal+mh2Och2OTf=|(0.1kg)( 4190 J / kg.C)(100C)+(0.2kg)( 4190 J / kg.C)(10C)+(0.3kg)(900 J / kg.K)(10C)|(0.2 kg)(4190 J / kg.C)+(0.3kg)(900 J / kg.K)+(0.1kg)( 4190 J / kg.C)Tf=| 41900 J +8380 J +2700 J |838 J / C+270 J / K+419 J / CTf=52980 J1527 J / CT f=34.7CR/Ejemplo # 2: Un lingote de plata de 4.00 kg se saca de un horno a 750 C y se coloca sobre un gran bloque de hielo a 0 C . Suponiendo que todo el calor cedido por la plata se usa para fundir el hielo Cunto hielo se funde? cplata=234 J / kg.KSolamente hay un cambio de fase de solido a liquidoING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 88 QGANADO=QPERDIDOQhielo=Qplatamhielo LF=mplatacplataATmhielo=mplatacplataATLFmhielo=(4.00 kg)(234 J / kg. K)(0750C)3.34x105J / kgmhielo=2.10 kg R/7.3 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR La energa calorfica se puede transferir de un lugar a otro de tres maneras distintas ; por conduccin, por conveccin y por radiacin. Sin embargo, cualquiera que sea el proceso, no se llevaa cabo transferencia de alguna de calor entre un sistema y su entorno cuando los dos estn a la misma temperatura.CONDUCCIN ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 89 Ejemplo: Acercando una barra de cobre a una flama.Los tomos de cobre prximos a la flama comienzan a vibrar con amplitud cada vez mayor. Estos tomos que vibran alocadamente chocan con sus vecinos y transfieren parte de su energa en las colisiones. Poco a poco, la amplitud de vibracin de los tomos de cobre cada vez ms arriba de la varilla aumenta hasta llegar al extremo sostenida por la mano.Rapidez de Transferencia de Calor. (H)H= QAt| S.I | J / s |WattsDonde:Q: Cantidad de calor transferida de un lugar de un objeto a otro.At : Tiempo en el que seda la transferencia de calor. H: Rapidez de transferencia de calor.QAto AATAXH=kA T2T1Lk: Conductividad trmica del material| J / s.m.CA: rea del objeto.L: Longitud del objeto espesorT2: Temperatura mayor.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 90 T1: Temperatura menor.Ejemplo # 1: Calcule la cantidad de calor que se transfiere en 1.00 h por conduccin a travs de un muro de concreto de 2.0 m de altura, 3.65 m de longitud y 0.20 m de espesor si un lado del muro se mantiene a 20 C y el otro est a 5 CH= QAtQ=HAtQ=kA(T2T1L)AtQ=(1.3 J / s.m.C)(2.0m)(3.65m)(20C5C0.20m)3600sQ=2.6x106JR/CONVECCINCuando el movimiento de calor es producto de diferencias de densidad, como en el caso del aire que rodea a una fogata, se describe como una conveccin natural. Cuando un ventilador o una bomba obligan a la sustancia caliente a moverse, como en ciertos sistemas de calefaccin de aire y agua calientes, el proceso se conoce como conveccin forzada.La transferencia de calor convectiva es un proceso muy complejo, y no puede describirse con una ecuacin simple:Aplicaciones: Pronsticos del clima Aeronutica.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 91 Hervir agua Refrigeradores Aires acondicionados Enfriamiento de motores Aparatos de cocinaRADIACINLa radiacin es la transferencia de calor por onda electromagntica como: la luz visible, el infrarrojo y la radiacin solar y el intenso asador de carbn o las brasas de un hogar.Todocuerpo, aunatemperaturasordinarias, emiteenergaenformaderadiacinelectromagntica. A temperaturas ordinarias, digamos 20Ccasi toda la energa transporta en ondas deinfrarrojocon longitudes de onda mucho mayores que la luz visibleLa razn de radiacin de energa de una superficie es proporcional a su rea A, y aumenta rpidamente con la temperatura, segn la cuarta potencia de la temperatura absoluta(K). La razn tambin depende de la naturaleza de la superficie. Esta dependencia se describe con una cantidad e llamada emisividad:un numero adimencional entre cero y uno ( 0e1 )P=c AeT4Donde:P: Potencia irradiada por el objeto en (Watts) (J/s): Constante de Stefan-Boltzmann. = 5.6696x10-8 W/m2. K4A: rea de la superficie del objeto en m2T: Temperatura absoluta (K)e: emisividade = 1 :Cuando un objeto est ms caliente que su entorno, irradia ms energa de la que absorbe y se enfra. Se define como absorbente ideal (Cuerpo negro)e = 0: Cuerpo que no absorbe parte de la energa que incide en l. Un objeto de este tipo refleja toda la energa incidente en y es, por tanto, un reflector perfecto.Aplicaciones: Ropa blanca y negraING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 92 Termos.(matraz de Dewar) Termografa Termmetro Proteccin de instrumentos sensibles de los SatlitesSi bien un cuerpo a temperatura T est radiando, su entorno a temperatura Te tambin lo hace, y el cuerpo absorbepartedeestaradiacin.Sielcuerpo est en equilibrio trmico con su entorno (T = Te) y las razones de radiacin y absorcin deben ser iguales. Entonces:Pneta=c Ae T4c AeTe4Pneta=c Ae(T4Te4)Pneta es positivo implica una salida neta de calor del cuerpo.Ejemplo # 1: Un estudiante intenta decidir qu ropa debe ponerse. El aire de su recmara est a 20 C. Si la temperatura de la piel del estudiante sin ropa es de 37.0 C, Cunto calor pierde su cuerpo en 10.0 min? Suponga que la emisividad de la piel es de 0.900 y que el rea de la superficie del estudiante es de 1.50 m2. Pneta=c Ae(T4Te4)Pneta=(5.6696x108 Wm2. K4)(1.50m2)(0.90)|(310 K)4( 293K)4Pneta=143 J / sPneta=QtQ=PnetatING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 93 Q=(143 Js)(600 s)Q=8.58x104J R/UNIDAD 8 ESTATICA8.1 CONCEPTO ESTTICO DE FUERZACuandolaresultantedetodaslasfuerzasqueactansobreunapartculacuerporgidoescero, la partcula est en equilibrio. Fx=0 ,Fy=0,Fz=0Partcula: Es un punto en el espacio, carece de dimensiones.Cuerpo Rgido: Es aquel que no se deforma.Las fuerzas que actan sobre cuerpos rgidos pueden separarse en dos cgrupos 1. Fuerzas externas, 2. Fuerzas internas (estructuras)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 94 8.2 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO8.2.1 MOMENTO DE UNA FUERZA (Formato escalar)El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto O (eje).Fx=Fuerza horizontal , perpendicular al mango dela llavedy=Distancia deOa FxSe ve que esta fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje zMo=Fd S.I.| N.m | lb. pieMo=Momentootorca conrespectoa O.F=Fuerza aplicadad =Distancia obrazode palancad F El sentido y direccin de Mo. loproporciona la regla de la mano derecha.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 95 Mo. siempre es perpendicular al plano formado por d y F.MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARESM RO=FdEjemplo # 1: 4.6 Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A con respecto al punto O. Encontrando el ngulo que el vector hace con respecto al eje x, utilizando el triangulo semejantetan =125,=tan1 125,=67.4Encontrando las componentes rectangulares del vector:ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 96 xy121356 m520 NAOFx=Fcos , Fx=520 Ncos 67.4, Fx=200 NFy=Fsen , F y=520 Nsen 67.4, F y=480 NEncontrando el momento total producido en el punto A por las componentes calculadas M A=Fxd +FydM A=(200 N )(0)+(480 N )(6m)M A=2880 N.mAntihorario M A=2.88 KN.mAntihorario R/8.2.2MOMENTO DE UNA FUERZA (FORMATO VECTORIAL)Denotado por:Mo=r X FDonde:r : Vector de posicin (trazado desde O, hasta cualquier punto que se encuentre sobre la linea de accin de FEl sentido y direccin se determina por medio de la regla de la mano derecha.PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDADING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 97 AOMoEje del momentoFrOA ij k-3-74 60 -30-20

MO= rA X F= rB X F= rC X FEn cualquier punto a lo largo de su linea de accin se producir el mismo momento con respecto al punto O. a esta caracterstica se le llama principio de transmisibilidad.MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZASM RO=(r X F )Ejemplo # 1: 4:34 Mecnica vectorialING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 98 yzxMOABFCrOArOBrOCOyzxF1F3F2r1r3r2OMRO ij k-3-74 60 -30-20

i jk330 21.38 -64.14-42.76

Determine el momento de la fuerza presente en A con respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano. R/ MO=| 260i+180 j+510 k N.mSolucin:Primero encontraremos un vector de posicin que se dirija de O hacia A rOA= rA rO, rA=|3i 7 j +4 k m , rO=| 0i+0 j+0k m rOA=|30i +|70 j +| 40 k rOA=|3i 7 j +4k mF=| 60i 30 j 20k NMO= rOA X FMO=MO=| 260i +180 j+510k N.m R/Ejemplo # 2: 4:38 La barra curva se tiende en el plano x-y y tiene radio de 3 m. Si una fuerza F=80 Nacta en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto al punto O.ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 99 rOA ij k-3-74 60 -30-20

i jk330 21.38 -64.14-42.76

R/ MO=|128i+128 j 257 k N.mUtilizaremos la siguiente expresin:MO= rOA X F rOA= rA rO, rOA=| 3i+3 j +0 k|0i +0 j +0 k, rOA=3i +3 j +0kTenemos que transformar la fuerza F en formato cartesiano, para ello, aplicaremos la siguiente transformacin:F=F| jAC jAC jAC= jC jA, jAC=| 4i+0 j2k | 3i +3 j +0k , jAC=1i 3 j 2 kF=F| jAC jAC , F=80 N|1i3 j2k | . (1)2+(3)2+(2)2, F=| 21.38 i 64.14 j 42.76k NAhora si. Podemos aplicar Kramer:MO= rOA X FMO = ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 100 i jk330 21.38 -64.14-42.76

MO=|128.28i +128.28 j 256.56k N.mR/8.3 EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS8.3.1 CONDICIONES DE EQUILIBRIOCuerpo rgido en reposo, no se traslada ni gira.1.F=0 : F x=0 F y=0 2.t=0 Alrededor de cualquier punto.Ejemplo # 1: El asta de una bandera horizontal de 5.00 m de longitud y peso de 200 N pivotea en una pared en un extremo, y una acrbata de 600 N cuelga del otro. El asta es sostenida por un cable que va de su extremo exterior a un punto en la pared directamente arriba del asta. Si la tensin en el cable no excede ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 101 Fuerzas internas y externas1000 N. A qu altura mnima sobre el asta puede fijarse el cable en la pared?Datos:L=5.00mWbandera=200 NW Acrbata=600 NTcable=1000 Ny=?+-Fx=0FhTx=0Fh=Tcos 0+!Fy=0Fv+Ty200 N600 N =0Fv+Tsen0200 N600 N=0t=0tTyt200t600=0tTy=t200+t600Ty L=200(L2)+600( L)Ty L=200(L2)+600( L)ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 102 5 my = ?D.E. (bandera)T TyTx FhFv200 N600 N 5 m5 mTy=2002 +600Ty=700 Nsen0=TyT0=sen1(TyT )0=sen1(700 N1000 N),0=44.43tan 0=y5my=(5m) tan 0y=(5m) tan 44.43y=4.90m R/ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 103 y5 m