fisica estado sólido
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capitulo3
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DETERMINACION DE ESTRUCTURAS CRISTALINAS
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Geometra de un experimento de scattering
- La radiacin incidente induce anillos circulares de radiacin que salen de cada tomo
- La radiacin dispersada desde los tomos se suman constructivamente en ciertas direcciones.
Campo de radiacin real debido a un cristal cuadrado de 25 tomos. El rango angular de la interferencia constructiva es mucho mas angosto para cristales grandes
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
-
K,3,2,1,sin2 == nndhkl
dhkl
dhkl sin
2
Existen reflexiones de Bragg solo para 2 dhkl
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Formulacin de Bragg
Inte
nsity
(%)
2 ()10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
=1.540562 o 2
1,1,1
2,0,0
2,2,0
2,2,2
4,0,0
4,2,04,2,2
4,4,0 6,0,04,4,2
a
lkh 222sin2
++=
o366.272 =64.5= aCla o444.312 =
o444.452 =
100 1110 2111 3200 4210 5211 6220 8
222
222
2
2
sin
sin
iiii lkh
lkh
++++
=
1.333
2.666
(1.312)
(2.666)
Difraccin de Bragg del NaCl
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
-
kk
k
k
( )'kkd rrr m2=Interferencia constructivade los dos dispersores:
Interferencia constructiva de todos los dispersores de una red de Bravais:
( ) RmkkR rrrr = 2'El espacio de los vectores G que cumplen con la condicin anteriorse le conoce como RED RECIPROCA.
dkd
r
'kd r
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Formulacin de Von Laue
)(2
321
321
aaa
aab rrr
rrr
=
)(2
321
132
aaa
aab rrr
rrr
=
)(2
321
213
aaa
aab rrr
rrr
=
Demostracin:
ijji ab 2=rr
Sea 332211 bkbkbkGrrrr
++=
y332211 anananRrrrr
++=
Entonces
mnknknkRG 2)(2 332211 =++=rr
ik
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Red Recproca
-
sc [a] sc [2/a]
bcc [a] fcc [4/a]
fcc [a] bcc [4/a]
hcp [ca
2,
3
4 ] rotado 30 alrededor del eje chcp [a,c]
Ejemplos de Redes Recprocas
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
- A todo plano reticular (h k l) le corresponde un vector del espacio recproco, de componentes proporcionales a los ndices h, k, l.
1ar
2ar
3ar
11anr
33anr
22anr
)()( 11223311 ananananq
rrrrr
=
r
)( 131323232121 aannaannaannqrrrrrr
+=
)(2
2131233210 bnnbnnbnn
qV rrr++=
++=
3
3
2
2
1
13210
2 n
b
n
b
n
bnnnqVrrr
con se tiene 3210
2
nnnVq
=
321 blbkbhGrrrr
++= (vector recproco normal al plano)
),,( lkh
3
2
1
1
1
1
nl
nk
nh
=
=
=
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Propiedades de la Red Recproca
-
d- El espaciado entre planos reticulares cristalinos viene dado por la relacin
),,(
2
lkhGdhkl r
=
Rr
Gr
),,(
),,(
lkhG
lkhGRd r
rr
=
),,(
2
lkhG
md r
=
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
La distancia ms corta se obtiene para m = 1
Formulacin equivalente:
Gkkkrrrr
== ' 221 GGk =
rr
Interferencia constructiva ocurrir si el cambio en el vector de onda es un vector de la red recproca.
Gkkkrrr
== '
Gkrr
=
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Interpretacin de la condicin de Difraccin de Von Laue
que es la ecuacin de un plano perpendicular a G ( ) en la posicin G/20=Gkrr
la condicin de Laue se satisface si y solo si el extremo del vector de onda
incidente est en el plano bisector que une el origen con un punto de la red
recproca
-
dhkl
kk
-k
G/2
sin2/ kG =
hkldmG /2=
sin2sin2/2 dmkdm ==
El mximo de difraccin de Von Laue corresponde a un cambio en el vector de onda dado por el vector de la red recproca G que corresponde a una reflexin de Bragg desde la familia de planos de la red directa perpendiculares a G
G
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Equivalencia de la formulacin de Bragg y de Von Laue
k
kG
2
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Construccin de Ewald
-
cuarzo
Mtodos experimentales: Mtodo de Laue
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
K2CrO4cuarzo
Mtodo del cristal rotante
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
-
aCl
alumina
Mtodo de polvo (debye-Scherrer)
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
La forma de una onda dispersada que interacta con un solo tomo en el origen estdada, lejos del tomo, por
+
r
erfeeA
rkirkiti
0
0 )(rr
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Teora del scattering desde cristales
0kr
rkk 0
=r
2
Factor de forma atmica(contiene detalles de la interaccin entre el potencial de scattering y la onda dispersada)
2)(rf
d
dI
atom
a =
razn de la amplitud dispersada por un tomo y la de un electrn aislado
= )(1
)( 3 rerde
kf rkirr rr
Para scattering de rayos X, el potencial es proporcional a la densidad electrnica:
-
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
Para un ensamble de dispersores, la dependencia angular del scattering es el producto de 2 partes:
1. Cada dispersor emite radiacin con diferentes intensidades en diferentes direcciones, descritos por f
2. Existe interferencia entre la radiacin que llega de los distintos objetos y por tanto contiene informacin de su correlacin espacial.
+
Rr
erfeeeA
Rrki
RrkiRkitirr
rr
rrrrr0
00 )(~ )(
cmo cambia la onda dispersada de una partcula que se encuentra en en lugar del origen?
Rr
Rr
rkrkRrk
rr
rr 000 para distancias suficientemente grandes
+
+
r
erfeeA
Rqirkirkiti
rrrr
rr 0
0 )(~ con kkq
rrr= 0
( )sen2 0kq =
describe la transferencia de momento entre la onda incidente y la dispersadaqr
h
+
r
erfeeA
rkirkiti
0
0 )(rr
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Consideremos ahora toda la red, despreciando mltiples scattering y scatteringinelstico:
+
+
n
Rqirki
n
rkiti
r
erfeeA
n
r
rrrr
r
rrr
0
0 )(~
La intensidad por unidad de ngulo slido dividido por la intensidad incidente es
( )
=nn
RRqi
nnnneffI
rr
rrr
rrrr
,
*
Para el caso de cristales monoatmicos
2
=n
Rqi
aneII
r
rrr
Mximo s , i.e., mGR 2=rr
Gqrr
=
-
Rr
1dr
2dr
Amplitud total =
+
n
m
j
dRqi
jjnef
r
rrrr
1
)(
=
=n
m
j
dqi
j
Rqi jn efer
rrrrr
1
Factor de estructura geomtrica:
=
=m
j
dGi
jG
jefS1
rr
r
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Scattering desde una red con base
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
GRat
f/Z
[ ])cos()sin(3)(33 atatat
at
GRGRGRRG
ZGf =r
Factor de forma atmica para una distribucin uniforme de Z electrones en una esfera de radio Rat
2
)2(cos1 2
422
4
0
+=
cmr
eII
e
e
Modelo de Thomson de la onda esfrica dispersada por un electrn
= =
==n
j
n
j
ddGi
jjGSjjeffSI
1 1'
)(*'
2'
rrr
rRelacionado al factor de estructura
2
321
=nnn
RGi
R eIrr Efecto de la interferencia debido a la
estructura tridimensional de la red
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-
0200
400
600
800
1000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
q/a
f2
iaq
iaq
l
ilaq
R
nnn
Rqi
Re
eeAeA
=
=== 1
11
0321
rr
En una cadena unidimensional de parmetro :a
)2(sin
)2(sin2
22
aq
aqAR =
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Planos extras
sc fcc
En la fcc se eliminan ciertos mximos debido a los planos extras.
En el caso de una bcc:
imparsi0
parsi2
=++=
=++=
lkhS
lkhfS
G
G
r
r
En el caso de una fcc:
contrario caso elen ),,(si0
impares todoso pares son todos),,(si2
lkhS
lkhfS
G
G
=
=
r
r
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-
Zonas de Brillouin
22 GGk =rr
221
21 )()( GGk =rr
Condicin Laue para la difraccin
O
Gr
2G
'kr
Las Zonas de Brillouin
exhiben todos los vectores
de onda incidentes que
pueden ser reflejadas
(Bragg) por el cristal
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Zonas de Brillouin
= celda de Wigner-Seitz en la red recproca.
Primera zona de Brillouindel bcc (dodecaedro rmbico)
Primera zona de Brillouindel fcc (octaedro truncado)
22 GGk =rr
221
21 )()( GGk =rr
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-
Zonas de Brillouin en una red cuadrada
JML fiz3600JML fiz3600--20102010
