Química Física del Estado Sólido: Propiedades Vibracionales de los Sólido

Propiedades vibracionales de los sPropiedades vibracionales de los sóólidoslidos

Luis SeijoLuis Seijo

Departamento de Química

Universidad Autónoma de [email protected]

http://www.uam.es/luis.seijo

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Química Física del Estado Sólido. Propiedades vibracionales de los sólidos.

ContenidosContenidos

•• Ec. de Estado de MieEc. de Estado de Mie--GrGrüüneisen. Parneisen. Paráámetro de Grmetro de Grüüneisenneisen

•• Modelo de Einstein de la capacidad calorModelo de Einstein de la capacidad calorííficafica

•• Coeficiente de dilataciCoeficiente de dilatacióón tn téérmicarmica

•• Modelo de Debye de la capacidad calorModelo de Debye de la capacidad calorííficafica

•• Modelos mModelos máás precisos, modelos mixtos y contribucis precisos, modelos mixtos y contribucióón n electrelectróónica nica

2

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BibliografBibliografííaa

• The Physical Chemistry of Solids, R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic Press, San Diego, 1992).

• Fisicoquímica, Ira N. Levine, (McGraw Hill, Madrid, 2004).

3

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EcuaciEcuacióón de estado de Mien de estado de Mie--GrGrüüneisenneisen……

2010≈NSea un cristal de átomos unidos por fuerzas elásticasN

NN 363 ≈− grados de libertad vibracionales

Supongamos armónicas las vibraciones de los átomos en torno a su posición de equilibrio en el cristal

Energía de los estados estacionarios vibracionales permitidos:

∑=

=N

j

jEE3

1jj

N

j

hnE ν

++= ∑

= 2

13

1

0 jj

N

j

jN

j

hnh

E νν

∑∑==

++=3

1

3

1

02

( ) Njn j 3,,2,1;,,2,1,0 �� =∞=

jj

N

j

N hnEnnnE ν∑=

+=3

1

00321 ),,,( �

( ) Njn j 3,,2,1;,,2,1,0 �� =∞=

¿Se está aceptando alguna aproximación adicional al utilizar esta expresión?

[Problema 8a]

4

U n i v e r s i d a d A u t U n i v e r s i d a d A u t óó n o m a d e M a d r i dn o m a d e M a d r i d

Química Física del Estado Sólido. P

ropiedades vibracionales de los sólidos.

00

E1e

0E

E=

2e

E

3e

E

5

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Ejemplos de modos normalesEjemplos de modos normales

un modo longitudinal (de red)

un modo transversal (de red)

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Ejemplos de modos normalesEjemplos de modos normales

tres modos locales:

ga1 )(θge )(εge

desplazamiento simultáneo por los tres modos locales:

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FunciFuncióón de particin de particióón de sn de sóólidoslidos

vibelecinterna EEEE +≈≡

kT

EE

eZeve

eve

+−

∑∑≈

ZTkF ln−=

≈

−−

∑∑ kT

E

kT

E

eeev

e

e

ve

;0e1

eleckT

E

kT

E

eeZ−−

≡≈

TkEE >>− e1e2Si

0elecln EZTk ≈− cte., sin utilidad en el cálculo de incrementos

vibelec lnln ZTkZTk −−≈ vib0 ln ZTkE −≈

vib0 ln ZTkEF −≈ Ecuación de estado⇒

kT

E

kT

E

eeeve

eve

−−

∑∑= kT

E

kT

E

eeev

e

e

ve

−−

∑∑=

vibelecZZ= [¿Bajo qué aproximación?]

[¿En qué materiales no se cumple?]

[Problema 8b]

[Problema 8c]

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FunciFuncióón de particin de particióón de sn de sóólidoslidos

vibelecinterna EEEE +≈≡

vibelecZZZ ≈

.)exp( 0elec ctekTEZ =−≈

vib0 ln ZTkEF −≈

Ecuación de estado del sólido

Si la energía térmica es mucho menor que las excitaciones electrónicas

(¿en metales?)

TV

FP

∂

∂−=

La termodinámica del sólido está en gran medida determinada por las vibraciones de sus átomos

Si las vibraciones son similares en todos los estados electrónicos

Otras propiedades termodinámicas

VT

FS

∂

∂−=

TSFE +=

9

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FunciFuncióón de particin de particióón vibracional (aprox. armn vibracional (aprox. armóónica)nica)

Tk

nnnE

nnn

N

N

eZ

),,,(

vib

321vib

321

�

�

−

∑∑∑=

( )Tk

hnhnhn

nnn

Tk

EE NN

N

ee

332211

321

000 ννν +++−

−−

∑∑∑=

�

�

( )Tk

hn

nn

Tk

hn

Tk

hn

n

Tk

EE NN

N

eeee

33

32

2211

1

000 ννν−−−

−−

∑∑∑= �

=

−−−−

−

∑∑∑ Tk

hn

n

Tk

hn

n

Tk

hn

n

Tk

EE NN

N

eeee

33

3

22

2

11

1

000 ννν

�

10

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FunciFuncióón de particin de particióón vibracional (aprox. armn vibracional (aprox. armóónica)nica)

Tk

h

N

j

Tk

EE

j

e

eZν

−=

−−

−

= ∏1

13

1

vib

000

a

aa

n

na

exxxeee

−

−−

∞=

−

−=

−=+++=+++=∑

1

1

1

111 22

,,2,1,0

��

�

=

−−−−

−

∑∑∑ Tk

hn

n

Tk

hn

n

Tk

hn

n

Tk

EE NN

N

eeeeZ

33

3

22

2

11

1

000

vib

ννν

�

−−

−−=

−

=

∑ Tk

hN

j

j

eTk

EEZ

ν

1lnln3

1

000vib

[Fin de LM7]

11

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EcuaciEcuacióón de estado de Mien de estado de Mie--GrGrüüneisenneisen

vib0 ln ZTkEF −≈

−−

−−=

−

=

∑ Tk

hN

j

j

eTk

EEZ

ν

1lnln3

1

000vib

−+≈

−

=

∑ TkhN

j

jeTkEF/

3

1

00 1lnν

Ecuación de estado: ;TV

FP

∂

∂−=

V

X

V

X j

j ∂

∂

∂

∂=

∂

∂ ν

ν

( )dV

dkTheeTk

dV

dEP

jTkhTkhN

j

jjννν

−−

−−−=

−−

−

=

∑ /1/

1/

3

1

00

dV

deeh

dV

dEP

jTkhTkhN

j

jjννν

1//

3

1

00 1−

−−

=

−−−= ∑

12

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EcuaciEcuacióón de estado de Mien de estado de Mie--GrGrüüneisenneisen

dV

deeh

dV

dEP

jTkhTkhN

j

jjννν

1//

3

1

00 1−

−−

=

−−−= ∑

;1

1

1 1 −=

− −xx

x

dx

dy

y

x

xd

dx

dx

dy

yxd

dy

dy

yd

xd

yd===

ln

1

ln

ln

ln

ln

Vd

d

Ve

h

dV

dEP

jj

Tkh

N

jj ln

ln

1/

3

1

00νν

ν−

−−= ∑=

dV

dV

Vd

dV

j

j

j

jj

ν

ν

νγγ −=−=≡

ln

ln)(Definición: Parámetro de

Grüneisen del modo normal j

1

1

/

3

1

00

−+−= ∑

=Tkh

j

j

N

jje

h

VdV

dEP

ν

νγ

[¿orden de magnitud?]

internaP térmicaP

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PresiPresióón internan interna

dV

dEP 00

interna −=

ZPEEE += 000

)(00 bVE

E

{ }jQ

)(0 bVE

0

)(00 aVE

E

{ }jQ

)(0 aVE

0

0E

VaVbV

)(0 bVE

)(0 aVE

Y.-N. Xu et al., Phys. Rev. B, 59 (1999) 10530

Con corrección del punto cero

Sin corrección del punto cero

Ejemplo de la literatura

14

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ParParáámetros de Grmetros de Grüüneisen de modos normalesneisen de modos normales

Fig. 2. Comparison of the present high resolution Raman spectra of phase IV at two different pressures with the low

temperature spectra reported by Crain et al. [1] for the metastable phase of cyclohexane. Results at 1.4 GPa were

obtained in sample 2 in the downstroke run, while results at 2.8 GPa were obtained in the upstroke run of sample 4.

Vibrational assignment is included for the relevant Raman features of the spectrum.

V. García Baonza, Chem. Phys. Lett. 398 (2004) 175.

Ciclohexano

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ParParáámetros de Grmetros de Grüüneisen de modos normalesneisen de modos normales

Fig. 3. Pressure shifts of the Raman bands ν5 and ν21 of cyclohexane assigned to fundamental modes involving the

carbon skeletal and methylene deformation modes. Filled squares correspond to measurements on samples 1 and 2,

and filled circles to those on samples 3 and 4. Grey crossed symbols correspond to measurements reported by Pravica

et al. [2]. Vertical lines at 0.5, 1.3 and 3.2 GPa indicate approximate pressures for the I–III, III–IV and IV–V phase

transitions, respectively.

V. García Baonza, Chem. Phys. Lett. 398 (2004) 175.

dV

dV j

j

j

ν

νγ −≡

Ciclohexano

νj vs. P

[¿Cómo obtener los parámetros de Grüneisen?]

[Problema 9a]

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EcuaciEcuacióón de estado de Mien de estado de Mie--GrGrüüneisen a T altaneisen a T alta

;1

1

1lim

0 axeaxx

=−→

1

1

/

3

1

00

−+−= ∑

=Tkh

j

j

N

jje

h

VdV

dEP

ν

νγ

;1

1lim

/j

TkhT h

Tk

e j νν=

−∞→

j

N

jV

kT

dV

dEP γ∑

=

+−=3

1

00;>>T

Def.: Parámetro de Grüneisen del sólido j

N

jNγγ ∑

=

=3

13

1

;>>TV

TkN

dV

dEP γ300 +−=

V

TkNVP γ3)(int +=

O si aprox. de Grüneisen

γγγγ ==== N321 �

Tke

h

Tkh

j

T j

=−∞→

1lim

/ν

ν

Usada para conversión de Hugoniots en datos P-V-T

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EOS de MieEOS de Mie--GrGrüüneisen: resumenneisen: resumen

Modelo microscópico

M. Estadística

Límite T alta

Ec. Mie-Grüneisen

Parámetro de GrüneisenConversión de Hugoniots en datos P-V-T empírico significado físico

vínculos entre datos diversos

límites de compresión

frecuencias vibracionales

⇓

[Problema 9b]

[Fin de LM8]

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EOS de MieEOS de Mie--GrGrüüneisen y coefs. del virial: Pneisen y coefs. del virial: P00(T)(T)

),()( 0int VPVP T =≡

)0(0

=≡ Tjj PP

2) es mínima a 00E 0V

0

0

00 =

=VVdV

dE0)()( 0

000int ,0 === = PPP VTV⇒

1

1)(

/

3

1

int

−+= ∑

=Tkh

j

j

N

jje

h

VVPP

ν

νγ

fVV

VVP

V

VVPP

12

0

00

2

0

00

1 ++

−+

−= �

�+

−+

−+=

2

0

00

2

0

00

1

0

0V

VVP

V

VVPP

1) EOS del virial de V, a T=0

3) EOS de Mie-Grüneisen

1/

3

1 −=∑

=Tkh

j

j

N

jje

hf

ν

νγ

22

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EOS de MieEOS de Mie--GrGrüüneisen y coefs. del virial: Pneisen y coefs. del virial: P00(T)(T)

;1

2

0

00

2

0

00

1 fVV

VVP

V

VVPP ++

−+

−= �

1

1)(

/

3

10

0

−≈ ∑

=Tkh

j

j

N

jje

h

VTP

ν

νγ

0

3V

NkTγ≈

>>T

+

−+

−+= �

2

0

0

0

0

0

111

V

VV

V

VV

VV

�+

−

++

−

++=

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

1

0

1

V

VV

V

fP

V

VV

V

fPf

VP

en rigor, depende de Vpor lo que no es exactamente )(0 TP

[comprobar]

23

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Otras funciones termodinOtras funciones termodináámicasmicas

VT

FS

∂

∂−=

−+≈

−

=

∑ TkhN

j

jeTkEF/

3

1

00 1lnν

2

/1

/3

1

1Tk

heeTk

jTkhTkhN

j

jjννν

−

−−

−−

−

=

∑1

1

1 1 −=

− −xx

x

−−=

−

=

∑ TkhN

j

jekS/

3

1

1lnν

1

1

/

3

1 −+ ∑

=Tkh

jN

jje

h

T ν

ν

1/

3

1

00

−+=+= ∑

=Tkh

jN

jje

hETSFE

ν

ν

−−=

−

=

∑ TkhN

j

jek/

3

1

1lnν

24

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n o

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EnergEnergíía interna y capacidad calora interna y capacidad caloríífica a T altafica a T alta

1/

3

1

00

−+= ∑

=Tkh

jN

jje

hEE

ν

ν

jhkT ν>> Tkhe j

Tkh j /1/ νν

+≈

TkNVETkNEE 3)(300 +=+≈

Tke

h

Tkh

j

j

≈−1

/ν

ν

kNT

EC

V

V 3=

∂

∂= Dulong y Petit, T alta,

sólidos elementales

RCV 3molKcal6 11 ≈≈ −−

)( ANN =

(Predicciones teóricas de la mecánica estadística clásica; equipartición de la energía)

25

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n o

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Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modelo de EinsteinModelo de Einstein

¿Si se acepta la cuantización de niveles vibracionales, se aproximan por los de un oscilador armónico, y se supone que todos los modos normales de vibración tienen la misma frecuencia, aparecerán las características esenciales de CV-T?

EN νννν ==== 321 � Frecuencia característica de Einstein

1

3

/00

−+=

Tkh

E

Ee

hNEE

ν

νDef.: Temperatura característica de Einstein

EΘ

1

3

/00

−

Θ+=

Θ T

E

Ee

kNEE

( )

Θ−−Θ−=

∂

∂= Θ

−Θ

2

/2

/ 13T

eekNT

EC ETT

E

V

VEE

(Las predicciones de la mecánica estadística clásica fallan estrepitosamente a T muy bajas)

EE hk ν=Θ

[Problema 11]

26

U n

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A

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A

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d

e M

a d

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n o

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d

e M

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( )2/

/2

1

3

−

Θ=

Θ

Θ

T

T

EV

E

E

e

e

TkNC

Sin la aproximación de Einstein

;

12

/

/23

1

−

Θ=

Θ

Θ

=

∑T

Tj

N

j

V

j

j

e

e

TkC

k

h EE

ν=Θ

k

h j

j

ν=Θ

Elementos:

Universal en ET Θ/

1/

3

1

00

−+= ∑

=Tkh

jN

jje

hEE

ν

ν

ANN =

27

U n

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A

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U n

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A

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n o

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d

e M

a d

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n o

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e M

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Dulong y Petit; cristales elementales

RCV 3molKcal6 11 ≈≈ −−

28

U n

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A

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U n

i v

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A

u t óó

n o

m a

d

e M

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n o

m a

d

e M

a d

r i d



( );

1

32

/

/2

−

Θ=

Θ

Θ

T

T

EV

E

E

e

e

TkNC

k

h EE

ν=Θ

Medida CV a una T

EΘ Estimación de CV a otras T (inexacta a T muy bajas)

K300200 −≈ΘE

en muchos elementos, que están en régimen de T alta a T de laboratorio

;>>T ;/1/Te E

TE Θ+→Θ kNCV 3→ R3=cristales elementales (Dulong-Petit)

;<<T ;1/ >>Θ TEe 03 /

2

→

Θ→ Θ− TE

VEe

TkNC

en acuerdo cualitativo con los experimentos

(o a varias T +ajustes min.cuad.)

Procedimiento

Límites asintóticos

[Problema 12]

[Fin de LM9]

29

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Coeficiente de dilataciCoeficiente de dilatacióón tn téérmicarmica

1

1

/

3

1

00

−+−= ∑

=Tkh

j

j

N

jje

h

VdV

dEP

ν

νγ

2

/

2/

3

1 1

1

kT

he

e

h

VT

P jTkh

Tkh

j

j

N

jV

j

j

ννγ

χ

α ν

ν

−

=

∂

∂= ∑

=

2/

/23

1 1

−

= ∑

= Tkh

Tkhj

j

N

j j

j

e

e

kT

hk

V ν

ννγ

χα

2/

/23

1 1

−

Θ=

Θ

Θ

=

∑T

Tj

N

j

V

j

j

e

e

TkC

2/

/23

1 1

−

Θ=

Θ

Θ

∑= kT

Tj

j

N

j j

j

e

e

Tk

Vγ

χ

α - T cualitativamente similar a CV - T

La aprox. de Grüneisen conduce a:

VCV

γχ

α =

(el límite de T alta también)

(Observar el paralelo formal con la capacidad calorífica)

[Problema 10]

30

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Modelo de variaciModelo de variacióón continua de frecuenciasn continua de frecuencias

Se justifica una aproximación en la que la variación discreta de modos normales se sustituya por una variación continua, desde 0 hasta un límite superior

ννννν

dgff j

N

j

)()()(max

0

3

1∫∑ →

=

>>>N3

Definición: distribución de frecuencias de los modos normales de vibración )(νg

(Una función tal que el número de modos normales cuya frecuencia está comprendida entre y es: )

maxν

ν νν d+ νν dg )(

( )ν

νν

ν

ννν

ν

d

e

ge

kT

hkC

kTh

kTh

V 2/

/2

0 1

)(max

−

= ∫

=

=

2/

/23

1 1

−

= ∑

= kTh

kThj

N

j

V

j

j

e

e

kT

hkC

ν

νν

¿Qué función de distribución de frecuencias es razonable?

31

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modelo de DebyeModelo de Debye

Elegir la función de distribución de vibraciones elásticas de un sólido continuo homogéneo

2

3

sv

12)( ν

πν

Vg =

sv : velocidad de propagación media (de las ondas de frecuencia ) ν

y hacerlo solamente hasta una frecuencia máxima.

)(νg

νEν

N3

)(νg

νmaxν

Modelo de Einstein Modelo de Debye

32

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



Ndg 3)(max

0

=∫ ννν

;3v

12 2

0

3

s

max

NdV

=∫ ννπ

ν

;33v

12 3

max

3

s

NV

=νπ

3/13

smax

4

v3

=

V

N

πν

2

3

s

2

3

s

33v3

4

v

12)( ν

πν

πν N

N

VVg ==

max0 νν ≤≤

( )νν

ν

ν

ν

ννν

ν

dh

Tk

Tk

hN

e

e

kT

hkC

kTh

kTh

V 2

22

22

22

3

max

2/

/2

0

9

1

max

−

= ∫

=

=

Número total de modos vibracionales:

;9

)( 2

3

max

νν

νN

g =

33

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



( )ν

ν

ν ν

ννν

ν

d

e

e

kT

h

h

kTkNC

kTh

kTh

V 2/

/4

0

3

max

2

1

19

max

−

= ∫

=

=

;kT

hx

ν= ;νd

kT

hdx =

kT

hx max

max

ν=

( )dx

e

ex

h

kTkNC

x

xkThx

x

V 2

4/

0

3

max 19

max

−

= ∫

=

=

ν

ν

Def.: Temperatura característica de Debye

k

hD

maxν=Θ

( )dx

e

exTkNC

x

xTx

xD

V

D

2

4/

0

3

19

−

Θ= ∫

Θ=

=

Universal en DT Θ/

34

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



métodos de integración numérica

;DT Θ>>

;DT Θ<<

34

5

12

Θ≈

D

V

TkNC

π

( );

19

2

4/

0

3

dxe

exTkNC

x

xTx

xD

V

D

−

Θ= ∫

Θ=

= k

hD

maxν=Θ

( );

15

4

1

4

2

4

0

/

0

π=

−→ ∫∫

∞=

=

Θ=

=

dxe

ex

x

xx

x

Tx

x

D

�Ley T3

de Debye

Usada para extrapolar Cv a T≈0 y, con ella, calcular S a T≈0 .

;<<x

;1 xex ≈−

3

2

/

0

/

03

1

Θ=→ ∫∫

Θ=

=

Θ=

=T

dxx D

Tx

x

Tx

x

DD

�

Medida CV a una T

DΘ Estimación de CV a otras T (o a varias T +ajustes min.cuad.)

Procedimiento

kNCV 3→ R3=Cristales elementales (Dulong-Petit)

Límites asintóticos

[Problema 13]

35

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modelos de Einstein y de DebyeModelos de Einstein y de Debye

36

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modelo de Debye y experimentosModelo de Debye y experimentos

37

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Algunas temperaturas caracterAlgunas temperaturas caracteríísticassticas

1320diamante

KE /Θ KD /Θ

2230

Cu

Ag

Au

Fe

Al

343

225

165

470

428

NaCl 320

SiO2 470

Pb 10567

240

38

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modelos mModelos máás precisoss precisos

Variación continua de frecuencias

Distribución de frecuencias de los modos normales de vibración )(νgcalculada con métodos mecanocuánticos (semiempíricos, ab initio,…)

)(νg

ν

39

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos Modos de red y modos localesModos de red y modos locales

Modelo de Debye para los modos de red (frecuencias bajas)

Modelo de Einstein para cada uno de los modos locales (frecuencias altas)

Ejemplo:

iones

iones

+K−3NO

1 mol 3KNO

AN

AN

Mod. Debye

ANN 2= ( )dx

e

exTRC

x

xTx

xD

V

D

2

4/

0

3

vib.red,

118

−

Θ= ∫

Θ=

=

cada ion−3NO

3 modos de libración

3x4-6=6 modos de vibración locales

Mod. Einstein para cada uno 2

/

/2

,

m.local,

1

3,

,

−

Θ=

Θ

Θ

T

TjE

jV

jE

jE

e

e

TRC

khD /maxν=Θ

kh jjE /, ν=Θ∑

=

+=9

1

m.local,vib.red,

j

jVVV CCC

parámetros empíricos: 911 ,,,, EEED ΘΘΘΘ �

921 ,,, ννν �

40

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Capacidad calorCapacidad caloríífica de los sfica de los sóólidos lidos ContribuciContribucióón electrn electróónicanica

;<<<T

TCV /

2T

b B DΘ→

• Muy pequeña a T ordinarias • Importante (dominante) a T extremadamente bajas en metales• Se puede obtener teóricamente utilizando estadística de Fermi-Dirac

(colectivo de electrones)• A T extremadamente baja, en metales, es lineal en T [Cap. Cristales metálicos]

• Se puede medir experimentalmente descontando la contribución vibracional.

3

,, TBTbCCC vibVelectVV +=+=

[Problema 14]

[Fin de LM10]

41

Química Física del Estado Sólido: Propiedades Vibracionales de los Sólido

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