Fısica Contemporanea

I. Relatividad Especial

Luis Moraga

15 de Abril de 2008

N. B. Las secciones maradas con un asterisco (*) pueden ser ignoradas en unaprimera lectura.

1 Invariantes:

De acuerdo con la opinion generalizada, la teorıa de Relatividad de Einstein sepuede resumir en una sola frase: ”Todo es relativo”. Por el contrario, una fraseque mejor retrata tanto la intencion como el contenido de esta teorıa es otra: ”Haycosas absolutas y solo ellas son interesantes”.

Cuando uno de estos absolutos es un numero, se llama invariante. Con estose quiere decir que una cierta magnitud fısica —aunque sea medida por diferentesobservadores que pueden estar moviendose unos con respecto a otros con veloci-dades arbitrarias— resulta tener, para todos ellos, el mismo valor. Aunque estasmagnitudes no son numerosas, son las importantes.

Una de estos invariantes es la velocidad de la luz c = 300 000 km/s = 3,0 ×108

m/s. Uno podrıa imaginarse el experimento siguiente (no enteramente fantastico):Una nave espacial se mueve de derecha a izquierda (con respecto a nosotros) conuna velocidad de 200 000 km/s. Un foco en su proa lanza un haz de luz por delantede la nave, con una velocidad —con respecto a la nave— de 300 000 km/s. Laintuicion mas basica dice que el haz de luz se mueve de derecha a izquierda, conrespecto a nosotros, con una velocidad combinada de 500 000 km/s. El resultadode experimentos cuidadosos muestra que esta intuicion es falsa.1 En realidad, elhaz de luz se mueve con respecto a nosotros tambien a una velocidad de 300 000km/s. En el hecho, el haz de luz se mueve con respecto a cualquier observador con

1Por supuesto, a falta de naves espaciales rapidas, este experimento no se ha realizado todavıa.Pero si se han llevado a cabo muchos otros que le son equivalentes. El mas famoso fue imaginadoy realizado por Albert Abraham Michelson y Edward Williams Morley:A. A. Michelson y E. W. Morley, ”On the relative motion of the Earth and the luminiferousether,” The American Journal of Science, volumen 34 (Tercera Serie), pp. 333-345 (Noviembrede 1887).

1

2 EL INTERVALO: 2

la misma velocidad c = 300 000 km/s —aunque el observador se desplace hacia laderecha o la izquierda con una velocidad arbitraria.

2 El intervalo:

Para poder explicar el papel de estos invariantes en la descripcion del universo,Taylor y Wheeler comienzan contando la siguiente fabula:2

Dos topografos son contratados para levantar el mapa de un terreno, situadoen Transilvania. Uno de los topografos es chileno y el otro, transilvano. Ambostrabajan con gran aplicacion, y terminan determinando las coordenadas precisasde los diversos accidentes notables del terreno: la abadıa (A), el paso de Borgo(B), la cripta (C) etc.

La tabla siguiente resume el resultado de las mediciones de los topografos.

Topografo chilenoSistema coordenado orientado

al norte magnetico

Topografo transilvanoSistema coordenado orientado

a la Estrella PolarCoordenada xde oeste a este

(metros).

Coordenada yde sur a norte(kilometros).

Coordenada x′

de oeste a este(metros).

Coordenada y′

de sur a norte(kilometros).

A 993,72 4,3210 2078,2 3,9166B 538,45 1,2067 832,42 1,0262C 3201,0 1,0043 3351,9 1,4160D 6040,3 2,5423 6492,5 892,33

Claramente, las coordenadas determinadas por un topografo no coinciden enningun caso con las determinadas por el otro. ¿Cual de los topografos esta equivo-cado? En realidad, ninguno de los dos. Resulta que el topografo chileno medıa solode dıa, mientras que el topografo transilvano trabajaba solo de noche. Para orien-tar su sistema coordenado hacia el norte, el topografo chileno usaba una brujula.El topografo transilvano orientaba el eje norte-sur de su sistema coordenado en ladireccion de la Estrella Polar. Como estas direcciones no coinciden, los sistemascoordenados resultaron estar rotados uno con respecto al otro. Pero, a pesar deesto, no se puede afirmar que ninguno de estos (u otros) sistemas coordenados seamas veraces o intrınsicamente superior a cualquier otro.

Notamos que, aunque los valores numericos de las coordenadas difieran al pasarde un sistema coordenado a otro, las distancias entre los puntos medidos no puededepender del sistema. Las coordenadas son relativas, pero la red de distancias

2Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler, Spacetime Physics: Introduction to SpecialRelativity, Second Edition, W. H. Freeman and Company, Nueva York, 1992, pp. 1-3. Nuestraversion de la fabula tiene pequnos retoques comparada con la original.

2 EL INTERVALO: 3

mutuas son absolutas. Por ejemplo, consideremos la distancia entre el objeto Ay el D. Dadas los respectivos pares de coordenadas xA, yA y xD, yD, podemoscalcular la distancia entre dAD A y D mediante el teorema de Pitagoras3

d2AD = (∆x)2 + (∆y)2, en donde ∆x = xD − xA y ∆y = yD − yA.

(∆x y ∆y son dos catetos de un triangulo rectangulo del cual dAD es la hipotenusa.)Utilizamos, primero las coordenada obtenidas por el topografo chileno.

∆x = 5046, 6 m; ∆y = −1778, 7 m; dAD = 5350, 9 m.

Con los datos del topografo transilvano obtenemos:

∆x = 4414, 3 m; ∆y = −3024, 2 m; dAD = 5350, 9 m.

Como se comprueba facilmente, lo mismo vale para la distancia entre otrocualquier par de accidentes geograficos.

En tres dimensiones, para especificar la situacion de cada punto se requierentres coordenadas x, y, z. Es facil ver que la distancia dAB entre un par de puntosA y B, con coordenadas xA, yA, zA y xB , yB , zB , respectivamente, es

dAB =√

(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2; con∆x = xB − xA, ∆y = yB − yA, ∆z = zB − zA.

Esta es la generalizacion del teorema de Pitagora a tres dimensiones.Una serie de experimentos realizados a comienzos del siglo xx mostraron que

el Universo en realidad tiene cuatro dimensiones. Se encontro que, ademas delas tres dimensiones espaciales x, y, z, hay que agregar una cuarta dimension ct.Esto significa que, ademas de especificar la posicion de cada suceso proporcio-nando sus coordenadas espaciales, es necesario decir cuando ocurre este suceso;proporcionando el numero t de segundos transcurridos desde un dado origen decoordenadas. (Multiplicamos este t, que esta en segundos, por la velocidad de laluz c, en metros/segundo, para que las cuatro coordenadas esten en una unidadcomun, que es metros.)

Agregar el tiempo como una cuarta coordenada a las tres espaciales no esuna operacion arbitraria.4 Los experimentos realizados a fines del siglo xix ya comienzos del siglo xx conducen a la conclusion ineludible que el tiempo estaconstruido casi del mismo material del que esta hecho el espacio. En el hecho (comomostraremos en la seccion siguiente) la transformacion de coordenadas desde un

3Existe la complicacion adicional que una de las coordenadas esta en metros, mientras que laotra se expresa en kilometros. Pero esta dificultad no es grande, porque podemos transformarfacilmente todas las medidas a una unidad comun (metros, por ejemplo) al hacer los calculos.

4Quizas podrıa imaginarse la posibilidad de agregar una quinta dimension representando, porejemplo, la temperatura o la presion. Pero este agregado serıa incoherente y arbitrario. Latemperatura o la presion son magnitudes intrınsicamente diferentes del espacio o el tiempo.

3 GRUPO DE LORENTZ: 4

observador a otro equivale a una rotacion que mezcla, hasta cierto punto, el espaciocon el tiempo. Ası, el presente de un observador puede ser, a la vez, el pasado yel futuro de otro.

Las cuatro coordenadas espaciotemporales de definen un evento ct, x, y, z son,por supuesto, relativas al sistema coordenado al cual estan referidas. Lo absoluto,o invariante, es la distancia dAB entre dos pares de eventos A, B —distancia quepuede ser calculada mediante la generalizacion del teorema de Pitagoras a cuatrodimensiones. Los datos experimentales muestran que esta generalizacion es

d2AB = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − c2(∆t)2; con∆x = xB − xA, ∆y = yB − yA, ∆z = zB − zA, c∆t = c(tB − tA).

Lo espectacular o inesperado de esta formula reside en el signo negativo delultimo sumando. Para calcular el cuadrado de la hipotenusa, es necesario sumarlos cuadrados de los tres catetos espaciales, pero restar el cuadrado del catetotemporal. (El tiempo es muy semejante al espacio, pero no identico a el.)

Para partıculas que deben moverse necesariamente a velocidades menores quela de la luz, las distancias calculadas con esta formula resultan ser imaginariaspuras —una caracterıstica que no es absurda pero que es molesta. Para evitareste problema, utilizaremos de aquı en adelante el intervalo ∆s en lugar de ladistancia dAB , definido por (∆s)2 = −d2

AB . Ası, este intervalo resulta ser

(∆s)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2. (1)

Por cierto, el intervalo ∆s es invariante, porque la distancia lo es.

3 Grupo de Lorentz:

El grupo de Lorentz es el conjunto de todas las transformaciones de coordenadasque dejan invariante el intervalo (1). Claramente una de estas transformacioneses una rotacion en un angulo θ en el plano x− y, que deja invariantes los ejes z yct. Esta transformacion es

x′ = x cos θ + y sin θ, y′ = −x sin θ + y cos θ, z′ = z, ct′ = ct. (2)

En notacion matricial, esta transformacion se escribe:

ct′

x′

y′

z′

=

1 0 0 00 cos θ sin θ 00 − sin θ cos θ 00 0 0 1

ctxyz

. (3)

De un modo mas abstracto podemos escribir

x′ = Rx,y(θ)x;

3 GRUPO DE LORENTZ: 5

en donde x′, Rx,y(θ) y x denotan, respectivamente, las tres matrices de la ecuacion(3).

Demostraremos explıcitamente que esta transformacion deja invariante el in-tervalo. En efecto, a partir de (2), tenemos que

∆x′ = cos θ∆x + sin θ∆y, ∆y′ = − sin θ∆x + cos θ∆y, ∆z′ = ∆z, c∆t′ = c∆t;(∆s)2 = c2(∆t′)2 − (∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2

= c2(∆t)2 − (∆x)2 cos2 θ − (∆y)2 sin2 θ − 2(∆x)(∆y) cos θ cos θ

−(∆x)2 sin2 θ − (∆y)2 cos2 θ + 2(∆x)(∆y) cos θ cos θ − (∆z)2

= c2(∆t)2 − (∆x)2(cos2 θ + sin2 θ

)− (∆y)2(sin2 θ + cos2 θ

)− (∆z)2

= c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2,

porquesin2 θ + cos2 θ = 1. (4)

De la misma manera, comprobamos que pertenece tambien al grupo de Lorentzuna rotacion en un angulo χ en el plano x− z, que deja invariantes los ejes y, ct.Explıcitamente, esta es

Rx,z(χ) =

1 0 0 00 cos χ 0 sin χ0 0 1 00 − sin χ 0 cos χ

.

Ası, es facil construir matrices que provoquen rotaciones espaciales arbitrariasalrededor de los ejes coordenados y, combinandolas, alrededor de cualquier ejeespacial. Pero ¿es posible construir rotaciones semejantes, pero que involucren eltiempo? Claramente esto es posible. Por ejemplo, la siguiente es una rotacion enun angulo ϑ en el plano ct, x, que deja invariante los ejes y, z:

Rt,x(ϑ) =

cosh ϑ − sinhϑ 0 0− sinhϑ cosh ϑ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (5)

Notamos que, en contraste con el caso de la rotacion espacial (3), aparecen aquıfunciones hiperbolicas en lugar de circulares.

Demostraremos, ahora, que la rotacion (5) tambien deja invariante el intervalo.Al aplicarla a las coordenadas de un sistema, se tiene que

c∆t′ = c∆t cosh ϑ−∆x sinhϑ; ∆x′ = −c∆t sinhϑ + ∆x cosh ϑ;∆y′ = ∆y; ∆z′ = ∆z.

(∆s)2 = c2(∆t′)2 − (∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2

4 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: 6

= c2(∆t)2 cosh2 ϑ + (∆x)2 sinh2 ϑ− 2c(∆t)(∆x) sinh ϑ cosh ϑ

−c2(∆t)2 sinh2 ϑ− (∆x)2 cosh2 ϑ + 2c(∆t)(∆x) sinh ϑ cosh ϑ

−(∆y)2 − (∆z)2

= c2(∆t)2(cosh2 ϑ− sinh2 ϑ

)+ (∆x)2

(sinh2 ϑ− cosh2 ϑ

)

−(∆y)2 − (∆z)2

= c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2,

porquecosh2 ϑ− sinh2 ϑ = 1. (6)

Es la necesidad de satisfacer esta ecuacion, en lugar de (4), la que obliga autilizar rotaciones hiperbolicas en lugar de circulares cuando en las rotacionesinterviene el tiempo.

4 Las transformaciones de Lorentz:

Investigaremos aquı mas ajustadamente la naturaleza de la rotacion hiperbolicaen un angulo ϑ que deja invariantes los ejes y y z. Por (5),

x′ = x cosh ϑ− ct sinhϑ,

y′ = y,

z′ = z,

ct′ = −x sinhϑ + ct cosh ϑ. (7)

Resulta que no es el angulo de rotacion ϑ el que posee una interpretacion fısicadirecta, sino su tangente hiperbolica β = tanh ϑ. La transformacion (7) describeel caso en que el sistema coordenado x′, y′, z′, t′ se mueve con respecto al sistemax, y, z, t con velocidad uniforme V en direccion paralela al eje x. Ası, la tangentedel angulo de rotacion es esta velocidad V en unidades de la velocidad de la luz c

tanh ϑ = β =V

c. (8)

La trigonometrıa hiperbolica permite calcular el seno y el coseno hiperbolicodada la tangente del angulo. En este caso tenemos que

cosh ϑ =1√

1− β2= γ

sinh ϑ =β√

1− β2= γβ. (9)

4 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: 7

(La notacion β = V/c y γ = 1/√

1− β2 = 1/√

1− (V/c)2 es hoy univer-salmente usada en este contexto.) Escrita en terminos de estas cantidaes, la trans-formacion de Lorentz es

x′ = γ(x− βct)y′ = y

z′ = z

ct′ = γ(ct− βx). (10)

La transformacion inversa se obtiene cambiendo V por −V o, lo que es lomismo, β por −β. γ permanece invariable. Ası,

x = γ(x′ + βct′)y = y′

z = z′

ct = γ(ct′ + βx′). (11)

Finalmente, escrita en funcion de la velocidad V del sistema con primas conrespecto al sin primas, se tiene una forma equivalente de la transformacion deLorentz

x′ =x− V t√1− (

Vc

)2,

y′ = y,

z′ = z,

t′ =t− V

c2 x√1− (

Vc

)2. (12)

Esta es la forma usual en que se suelen presentar las transformaciones deLorentz. Notamos que, si V/c es mucho menor que 1, γ ' 1 y las transforma-ciones de Lorentz devienen en las mas intuitivas transformaciones de Galileo:

x′ = x− V t,

y′ = y,

z′ = z,

t′ = t. (13)

5 *BREVE HISTORIA DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: 8

5 *Breve historia de las transformaciones de Lorentz:

6 *Forma vectorial de las transformaciones de Lorentz:

En esta seccion determinaremos la forma de las transformaciones de Lorentz entredos sistemas coordenados, cuyos ejes son paraleleos entre sı, y que se mueven convelocidad uniforme uno con respecto al otro con una velocidad V cuya direcciones arbitraria.

Para esto suponemos inicialmente que V esta en la direccion del eje x y escribi-mos las tres ultimas ecuaciones (10) en terminos de los vectores tridimensionalesr (de componentes x, y, z) y r′ (de componentes x′, y′, z′)

r′ = r + [γ (x− βct)− x]VV

.

Para poder eliminar la aparicion explıcita de la coordenada x aquı y en la primeraecuacion (10) utilizamos la identidad

x =V · rV

.

Ası, las transformaciones de Lorentz adquieren su forma vectorial

ct′ = γct− γ(β · r) (14)

r′ = r +β(β · r)

β2(γ − 1)− γβct;

en donde hemos utilizado β=V/c.Estas relaciones fueron deducidas suponiendo que la velocidad relativa V es-

taba en la direccion del eje x. Sin embargo, en su forma vectorial, son validas paraun direccion arbitraria de V. Si las componentes de esta velocidad son Vx, Vy, Vz;y ponemos βx = Vx/c, βy = Vy/c, βz = Vz/c, esta transformacion de Lorentz enel espacio de Minkowski se puede escribir en forma matricial ası:

ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβx −γβy −γβz

−γβx ∆xx + 1 ∆xy ∆xz

−γβy ∆xy ∆yy + 1 ∆yz

−γβz ∆xz ∆yz ∆zz + 1

ctxyz

, (15)

en donde se ha definido

∆µν = (γ − 1)βµβν

β2; con µ, ν = x, y, z.

7 ABERRACION DE LA LUZ: 9

7 Aberracion de la luz:

La primera evidencia experimental directa en favor de la hipotesis que la Tierragira alrededor del Sol —en lugar de la que supone que es el Sol quien gira alrededorde la Tierra— resulto de las cuidadosas mediciones de las posiciones de las estrellasrealizadas por el astronomo ingles James Bradley a partir de 1725. Bradley notoque la direccion en que se observa una estrella fija parecıa variar periodicamente enel curso del ano en un angulo uniforme (despues de eliminar otras correcciones) deunos 40,5 segundos de arco. Este fenomeno se llama aberracion de la luz estelar.5

La aberracion de la luz proveniente de una estrella no es producto de sumovimiento propio, sino el resultado de componer la velocidad de la luz con lavelocidad de la Tierra en su orbita alrededor del Sol. Si nos paramos, por ejem-plo bajo una lluvia que cae verticalmente, lo mejor es mantener el paraguas endireccion vertical. Pero si nos movemos con una velocidad V bajo esta misma llu-via, en nuestro sistema coordenado la lluvia adquiere una componente horizontalde velocidad −V y la mejor manera de no mojarnos consiste en inclinar el paraguasen un angulo cuya tangente sea el cociente entre V y la velocidad vertical de lalluvia. De la misma manera, arguyo Bradley, el hecho que el angulo de aberracionsea uniforme y del orden de 10−4 radianes muestra que este es el cociente entre lavelocidad de la Tierra y la velocidad de la luz.

Supongamos que la estrella esta en el origen del sistema coordenado x, y, z,ct, ligado a ella. Las coordenadas de un haz de luz emitido por la estrella son

x = 0, y = 0, z = −ct.

El sistema x′, y′, z′, ct′, ligado a la Tierra, se mueve con velocidad VT en ladireccion x. Por (10), las coordenadas del mismo haz de luz son

x′ = −γβct; y′ = y = 0; z′ = z = −ct; t′ = γt.

El angulo α de inclinacion del haz en el sistema ligado a la Tierra esta dadopor

tan α =−x′

−z′= γβ =

VT /c√1− (VT /c)2

' VT

c,

puesto que VT /c ' 10−4.

8 Suma de velocidades:

Supongamos que un sistema coordenado S′ se mueve con respecto a nuestro sistemaS con una velocidad V1. Una partıcula se mueve con una velocidad V2 con respecto

5J. Bradley, ”A new apparent motion discovered in the fixed stars; its cause assigned; thevelocity and equable motion of light deduced,” Proccedings of the Royal Society of London,volumen 35, pp. 308-321 (1728).

8 SUMA DE VELOCIDADES: 10

al sistema S′. ¿Con que velocidad V se mueve la partıcula con respecto a nuestropropio sistema S? (Para simplificar supondremos que V1 y V2 tienen la mismadireccion y sentido.)

El sentido comun (y la cinematica de Galileo) sugiere que

V = V1 + V2. (16)

El formalismo de la relatividad de Einstein proporciona una respuesta distinta.Para realizar la transformacion desde nuestro sistema coordenado S hasta el sis-tema S′ es necesario realizar una rotacion hiperbolica en un cierto angulo, quellamaremos θ1. De la misma manera, el paso desde el sistema S′ hasta otro sistemavinculado a la partıcula requiere de una segunda rotacion (alrededor del mismoeje) en un angulo θ2. El efecto combinado de estas rotaciones es equivalente a unarotacion en angulo θ

θ = θ1 + θ2.

Entonces,

V

c= tanh(θ1 + θ2) =

tanh θ1 + tanh θ2

1 + tanh θ1 tanh θ2=

V1c + V2

c

1 + V1c

V2c

,

es decir,

V =V1 + V2

1 + V1V2c2

. (17)

Esta es formula para la suma de velocidades. Notamos que, si tanto V1 comoV2 son pequenas comparadas con la velocidad de la luz c, se puede aproximar poruno el denominador de esta ecuacion y obtener ası la prescripcion aproximada(16).

Por el contrario, si sumamos la velocidad de la luz c a cualquier velocidad V1,tenemos que

V1 + c

1 + V1c/c2= c

V1/c + 11 + V1/c

= c.

Ası, c aparece como una velocidad lımite que no puede ser superada por el movimientode ninguna partıcula real.

Problema: Una partıcula se mueve hacia la derecha con velocidad +0,95crespecto a un cierto sistema coordenado S′. Una segunda partıcula se muevehacia la izquierda, en la misma direccion que la primera, con velocidad - 0,95ccon respecto al mismo sistema coordenado S′. ¿Cual es la velocidad de la primerapartıcula con respecto a la segunda?

Solucion: Sea S el sistema coordenado unido a la segunda partıcula. EntoncesS′ se mueve con respecto a S con velocidad V1 = 0, 95c, mientras que la primera

9 LA CONTRACCION DE LORENTZ-FITZGERALD: 11

partıcula se mueve con respecto a S′ con velocidad V2 = 0, 95c. Por (17), lavelocidad combinada V es

V =0, 95c + 0, 95c

1 + (0, 95c/c)2= 0, 999c.

9 La contraccion de Lorentz-Fitzgerald:

Consideremos una regla en reposo en la direccion del eje x con longitud ∆x =x2−x1 = L0. (x1 y x2 son las respectivas coordenadas de los extremos de la regla.)Se trata de medir la longitud L de la misma regla en un sistema de coordenadasS′ que se mueve con respecto a S con una velocidad V en la direccion del eje x.

Como queremos que esta medicion proporcione la longitud correcta, tendremoscuidado que (i) la medicion de cada una de las coordenadas de los extremos deregla x′1, x′2 sea hecha en forma simultanea; de modo que ∆t′ = t′2 − t′1 = 0. (ii)Como la luz puede tardar tiempos distintos al viajar desde un extremo u otro de laregla hasta nuestro aparato de medicion, producto de diferencias en distancias, laforma de la regla puede aparecer distorsionada. Suponemos que estas diferenciasen tiempos de transito han sido correctamente consideradas al calcular el verdaderolargo ∆x′ = x′2 − x′1 = L en S′.

Por (10), poniendo ∆t′ = 0, ∆x = L0 en

∆x = γ(∆x′ + βc∆t′)

se tiene L0 = γL, L = L0/γ, esto es

L =L0

γ=

√1− β2L0. (18)

Por lo tanto, en general L es menor que L0.6

6Esto no significa que una fotografıa tomada a una regla moviendose a gran velocidad lamuestre mas corta que una en reposo. Tambien, por ejemplo, la fotografıa de una esfera enmovimiento mostra una figura esferica y no un elipsoide.V. F. Weisskopf, ”The visual appearance of rapidly moving objects,” Physics Today, volumen13, numero 9, pp. 24-27 (septiembre de 1960).G. D. Scott y H. J. van Driel, ”Geometrical appearances at relativistic speeds,” AmericanJournal of Physics, volumen 38, numero 8, pp. 971-977 (agosto de 1970).En la red se puede encontrar vıdeos de la apariencia de objetos vistos por observadores enmovimiento rapido. Por ejemplo:www.adamanton.com/warp/,www.fourmilab.ch/cship/lorentz.html,www.fourmilab.ch/cship/timedial.html ,www.fourmilab.ch/cship/doppler.html,www.fourmilab.ch/cship/aberration.htmlwww.youtube.com/watch?v=JQnHTKZBTI4&feature=related.

10 LA DILATACION DEL TIEMPO: 12

10 La dilatacion del tiempo:

Consideramos ahora un reloj que esta en reposo en un sistema de referencia S.Sea ∆t = τ un intervalo de tiempo medido con este reloj. (Los tiempos τ medidospor un reloj en reposos en un sistema coordenado se denomina su tiempo propio.)Por (11), poniendo ∆x = 0 y ∆t = τ en

∆t′ = γ

(∆t− β

c∆x

),

obtenemos que

∆t′ = γτ =∆t√1− β2

. (19)

Por lo tanto, los relojes en movimiento suelen correr mas lentamente que losque no lo estan (Esto vale para todos los relojes: el tiempo que un nucleo radiactivotarda en decaer, el proceso de envejecimiento, o la sensacion misma del paso deltiempo en un humano.)

11 El efecto Doppler:

Se trata aquı de un emisor de ondas electromagneticas situado en el sistema coor-denado S en el punto x = 0, y = 0, z = 0, que emite ondas con un perıodo T . Lasondas son detectadas en un sistema de referencia S′ que se mueve con respectoa S con una velocidad V . El perıdo T ′ de la onda medida en S′ no es el mismoque en S. (Por lo tanto, tambien varıa la frecuencia y la longitud de onda de unoal otro sistema de referencia.) Esta variacion, que es un efecto combinado de ladilatacion del tiempo y la diferencia en distancias que debe recorrer la luz entre laemision de dos pulsos sucesivos, constituye el llamado efecto Doppler.

Supongamos que el detector esta en el punto x′ = 0, y′ = 0, z′ = 0 del sistemaS′. Ademas, suponemos que este sistema se mueve con respecto a S con unavelocidad V en la direccion del eje x y que ambos coinciden momentanemente enen el instante inicial. Se emite un pulso en x = 0 en el instante t1 = 0. Se emiteun segundo pulso, tambien en x = 0, en el instante t2 = T . El primer pulso esrecibido en el punto x′ = 0 en el instante t′1 = 0. El segundo pulso es recibido enel mismo punto x′ = 0, pero, por (10), en el instante

t′2 = γ

(t2 − V

c2x

)= γT,

Esta cantidad no es el perıodo en S′, porque el emisor se ha movido con respectoal detector en el intervalo, y la luz debe recorrer otra distancia para recorrer el

12 TIEMPO PROPIO: 13

camino entre uno y otro. En el instante t2 = T el detector se ha desplazado unadistancia, dada por (10)

x′ = γ(x− V t2) = −γT.

El tiempo que necesita la luz para recorrer esta distancia es

∆t′ =γV T

c.

El perıodo T ′ es, entonces,

T ′ = t′2 + ∆t′ = γT

(1 +

V

c

),

esto es,

T ′ = T

√1 + β

1− β. (20)

La frecuencia ν es el inverso del perıodo, ν = 1/T , de donde,

ν′ = ν

√1− β

1 + β. (21)

Finalmente, notamos que la frecuencia, la longitud de onda λ y la velocidad cestan relacionadas por

λν = c, (22)

de modo que

λ′ = λ

√1 + β

1− β. (23)

Cualquiera de estas tres formulas describe cuantitativamente el efecto Doppler.

12 Tiempo propio:

Cada sistema de referencia tiene un tiempo propio τ , que es el medido por un relojque esta inmovil en el sistema. Sea este el sistema de coordendas S′, y supongamosque el reloj que mide el tiempo propio esta situado en el origen x′ = 0, y′ = 0,z′ = 0. El intervalo (1) es, en este caso, (ds)2 = c2(dτ)2, esto es

dτ =1cds. (24)

13 LA CUADRIVELOCIDAD: 14

Por otra parte, en un sistema S de coordenadas x, y, z, ct que se mueve conrespecto a S′ con una con velocidad V , que tiene componentes Vx, Vy, Vz, elintervalo por (1) resulta ser

(ds)2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2

= c2(dt)2{

1− 1c2

[(dx

dt

2)+

(dy

dt

2)+

(dz

dt

2)]}

= c2(dt)2[1− 1

c2

(V 2

x + V 2y + V 2

z

)]

= c2(dt)2(

1− V 2

c2

)=

c2(dt)2

γ2,

esto es,dt =

γ

cds,

o, en vista de (24),dt = γdτ. (25)

13 La cuadrivelocidad:

La cuadrivelocidad es el correlato relativista de la velocidad no relativista. Adiferencia del concepto ordinario de velocidad, debe ser un vector que habite enun espaciotiempo de cuatro dimensiones. Ademas, no puede contener derivadasde las coordenadas con respecto al tiempo, porque este ultimo es un concepto rel-ativo. Una posibilidad clara consiste en contemplar derivadas de las coordenadascon respecto al intervalo ds, que si es invariante. Pero una cantidad tal comodx/ds es una cantidad sin dimensiones; mientras que, para muchos propositos, esconveniente que esta velocidad relativista tenga tambien dimensiones de metrosdivididos por segundo.7 Para esto, multiplicamos esta derivada por la velocidadde a luz c (otro invariante), y obtenemos, ası las cuatro componentes de la cuadriv-elocidad u

u0 = cdx0

ds; u1 = c

dx1

ds; u2 = c

dx2

ds; u3 = c

dx3

ds,

o, en notacion mas compacta,

uα = cdxα

ds; con α =0, 1, 2, 3. (26)

7Sin embargo, para muchos propositos de la Fısica Teorica, una velocidad adimensional espreferible. Esta es la eleccion que propone, por ejemplo, Landau y Lifshitz en su celebre cursode fısica:L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Teorıa Clasica de Campos, Segundo Volumen del Curso deFısica Teorica, Izdatelstevo Nauka, Moscu, 1960.

14 LA METRICA DE MINKOWSKI: 15

Una ventaja adicional de este procedimiento reside a que la velocidad asıdefinida satisface el principio de correspondencia, que afirma que las magnitudesrelativistas deben coincider con las respectivas magnitudes clasicas en el lımitede velocidades bajas con respecto a la de la luz. En efecto, por (24), de unmodo equivalente, la velocidad se puede escribir como una derivada con respectoal tiempo propio τ

uα =dxα

dτ= γ

dxα

dt, (27)

o bien en con respecto al tiempo ordinario por (25).Ası, la componente 0 de la cuadrivelocidad es

u0 = γdx0

dt= γ

dct

dt= cγ.

Las otras tres componentes espaciales consisten en γ multiplicando la componenterespectiva de la velocidad ordinaria. A velocidades bajas, γ es sensiblemente iguala uno. Ası, esta parte del cuadrivector coincide con el vector de velocidad norelativista.

Otra diferencia entre la cuadrivelocidad y la velocidad ordinaria consiste en quela cuadrivelocidad u tiene modulo o magnitud fija |u| = c, independientemente desi el movil se traslada lenta o rapidamente. En efecto, por (26),

|u|2 = (u0)2 − (u1)2 − (u2)2 − (u3)2

= c2

[c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2

(ds)2

]= c2,

14 La metrica de Minkowski:

Consideremos un vector A con componentes A0, A1, A2 y A3. Su mdulo |A| estadado, en el espacio de cuatro dimensiones, por

|A|2 = (A0)2 − (A1)2 − (A2)2 − (A3)2.

Notamos que esta magnitud se puede obtener multiplicando las siguientes matrices:

|A|2 = [A0, A1, A2, A3]

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

A0

A1

A2

A3

(28)

= [A0, A1, A2, A3]

A0

−A1

−A2

−A3

= (A0)2 − (A1)2 − (A2)2 − (A3)2.

15 EL CUADRIMOMENTUM: 16

De un modo mas abstracto, este producto matricial se puede escribir

|A|2 =3∑

α=0

3∑

β=0

ηαβAαAβ ,

en donde ηαβ denota las dieciseis componentes de la matriz de 4× 4 en el centrode la formula (28); esto es

ηαβ =

1 si α = β = 0;−1 si α = β = 1, 2, o 3;0 en otro caso.

Esta matriz (o tensor) se llama metrica de Minkowski.Es usual utilizar en todas estas expresiones la llamada convencion de Einstein,

que dice que se debe sumar siempre cuando se encuentra lado a lado el mismoındice repetido, una vez como subındice y otra vez como superındice, sin necesidadde escribir explıcitamente una sumatoria. Ası, la expresion precedenta se puedeescribir en forma mas compacta:

|A|2 = ηαβAαAβ . (29)

Junto con introducir la convencion de Einstein es importante recalcar el con-cepto de ındice mudo. Por ejemplo el producto AαBα representa — por definicion—

AαBα = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B4.

¿Que representa, entonces AβBβ (u otro ındice cualquiera que reemplaze a α ensus dos posiciones de subındice y superındice)? Claramente, representa la mismasuma, de donde concluimos que, en a notacion de Einstein,

AαBα = AβBβ .

Ası, un ındice repetido, una vez como subındice y otra como superındice es unındice mudo, en el sentido que puede ser reemplazado en ambas apariciones porcualquier otro sımbolo (que no este, naturamente, siendo utilizado con otro sentidoen el mismo termino).

15 El cuadrimomentum:

Aprovechando que la masa m de una partıcula es un invariante,8 podemos definirsu cuadrimomentum p como el vector con componentes

pα = mdxα

dτ= mγ

dxα

dt. (30)

8Antiguamente se solıa llamar a la masa m ’masa en reposo’, mientras que la cantidad γm sedenominaba ’masa en movimiento’. Pero esta laboriosa nomenclatura no cumple ahora finalidadalguna. Nosotros no la utilizaremos.

15 EL CUADRIMOMENTUM: 17

Notamos que, cuando la velocidad de la partıcula es pequena, γ es semejantea uno y las componentes espaciales del cuadrimomentum coinciden con las delmomentum ordinario. Ademas, el modulo de este vector es fijo,

|p|2 = ηαβpαpβ = m2c2, (31)

de modo que |p| = mc. Notamos tambien que

p0 = γmc =Ec

c,

en donde Ec denota la energıa cinetica de la partıcula. Esta ultima igualdad sedemuestra utilizando de nuevo el principio de correspondencia. En efecto, paravelocidades bajas comparadas con la de la luz,9

p0 =mc√

1− (V/c)2' mc

(1 +

12

V 2

c2

)=

Ec

c,

conEc = mc2 + 1

2mV 2, (32)

con la misma aproximacion. El segundo termino es la energıa cinetica ordinariade la partıcula. Pero, notamos, la partıcula contiene energıa aun cuando V = 0.Esta cantidad primordial se denomina energıa en reposo E0

E0 = mc2. (33)

Ante un cambio de coordenadas, ¿como transforman las componentes del cuad-rimomentum? Consideramos el caso especial de un sistema de referencia S′ que semueve paralelamente al sistema S con una velocidad relativa V en la direccion deleje x y que coinciden en t = 0. En este caso valen las familiares transformacionesde Lorentz; esto es, por (11),

dx′0 = γ(dx0 − βdx1

); dx′1 = γ

(dx1 − βdx0

); dx′2 = dx2; dx′3 = dx3.

Para obtener las ecuaciones de transformacion de las componentes del momen-tum, multiplicamos estas ecuaciones por mc y dividimos por ds (dos invariantes).El resultado es

p′0 = γ(p0 − βp1

); p′1 = γ

(p1 − βp0

); p′2 = p2; p′3 = p3. (34)

De aquı en adelante llamaremos vector solo a un objeto tal que, ante un cam-bio de coordenadas, sus componentes transformen de la manera prescrita por las

9Estos lımites se pueden calcular a menudo utiizando el teorema del binomio (1 + z)n '1 + nz + · · ·, valido si z es mucho menor que uno. Aquı n es un numero positivo o negativo,entero o fraccionario.

16 *BREVE HISTORIA DE E = MC2: 18

transformaciones de Lorentz. Ası, de acuerdo con las dos ecuaciones precedentes,tanto dx como p son vectores en este significado fısico.

Finalmente, por (31), se tiene que la relacion entre la energıa y el momentumpara una partıcula relativista es

E2 = c2(p2 + m2c2), (35)

en donde p = γmV son las componentes espaciales del momentum.

16 *Breve historia de E = mc2:

17 *Partıculas con masa nula:

Sabemos que la Mecanica Cuantica afirma que las partıculas tienen tambien as-pectos ondulatorios. Por ejemplo, existen desde hace muchos anos los microscopioselectronicos que —aprovechando que en condiciones favorables los electrones sonondas— forman imagenes de objetos minusculos manipulando estas partıculas me-diante lentes electrostaticos. De la misma manera, las ondas tienen aspectos cor-pusculares. En especial, las partıculas que constituyen las ondas electromagneticasse llaman fotones.

Se sabe que los fotones transportan energıa y momentum, pero tienen masanula.10 Por lo tanto, la construccion del cuadrumomentum realizada en la seccionanterior no es valida en este caso. Los argumentos apropiados son los siguientes:

La propagacion de la luz esta descrita por un vector tridimensional k, concomponentes kx, ky, kz —llamado vector de onda— cuya direccion apunta a ladireccion de propagacion de la onda y cuya magnitud k = |k| describe la longitudde onda de la luz λ

k =2π

λ.

(Note que las dimensiones de cada componente de este vector de onda es metro−1.)El momentum transportado por cada foton es hk, en donde h es la llamada con-stante de Planck, h = (1, 05450± 0, 00007)× 10−34 J s.

Del mismo modo, si T es el periodo entre dos maximos sucesivos de la ondaluminosa, su frecuencia ν es el inverso del perıodo. Para muchos efectos practicoses a menudo mas util usar la frecuencia angular ω, que es igual a 2π veces lafrecuencia ordinaria. Esto es,

ω = 2πν =2π

T.

La dimension de esta frecuencia angular es segundo−1. Finalmente, la energıa quetransporta cada foton es hω. Ası, las componentes del cuadrivector momentum

10Por este motivo deben, obligatoriamente, moverse a la velocidad de la luz.

17 *PARTICULAS CON MASA NULA: 19

es, para un foton

p0 =hω

c; p1 = hkx; p2 = hky; p3 = hkz.

Notamos para terminar que, para fotones que se propagan en el vacıo se tieneque λν = c; esto es, que

k =ω

c.

Problema: Calcule a apariencia del cielo estrellado para un cosmonauta quese desplaza con velocidades comparables con respecto a la velocidad de la luz.

Solucion:11 Sea S un sistema de coordenado fijo con respecto a las estrellaslejanas y supongamos que la nave estelar se mueve en direccıon del eje x positivocon velocidad V . Consideremos un foton proveniente de una de las estrellas yque llega al origen de coordenadas. En lugar de utilizar coordenadas cartesianas,usaremos el angulo ϑ que hace el haz de luz con el eje x y el angulo ϕ que hace laproyeccion de este haz sobre el plano y−z con el eje y. (Un tal sistema coordenadose llama esferico. El angulo ϑ se llama colatitud, y angulo ϑ se llama azimut oangulo polar.) Ası, las componentes de vector de onda son

kx = −k cos ϑ; ky = −k sin ϑ cosϕ; kz = −k sinϑ sinϕ.

Las correspondientes componentes del cuadrimomentum del foton son

p0 = hk; p1 = −hk cosϑ; p2 = −hk sinϑ cos ϕ; p3 = −hk sin ϑ sin ϕ.

Por (34), el vector de onda k′ en el sistema de referencia S′ de la nave estelarsatisface

k′ = γk(1 + β cosϑ); (36)k′ cosϑ′ = γk(cos ϑ + β); (37)

k′ sin ϑ′ cos ϕ′ = k cos ϑ cosϕ; (38)k′ sin ϑ′ sin ϕ′ = k cos ϑ sinϕ. (39)

Las ultimas dos ecuaciones, (38) y (39), dicen que ϕ′ = ϕ, de modo que elangulo polar de cada estrella permanece el mismo para el obervador de la naveestelar. La ecuacion (36) prescribe que la luz proveniente de cada estrella sufre unefecto Doppler dependiente del angulo

k′ = kD(ϑ); o bien ω′ = ωD(ϑ); λ′ =λ

D(ϑ);

11John M. McKinley y Paul Doherty,”In search of the ’starbow’: the appearance of thestrafield from a relativistic spaceship,” American Journal of Physics, volumen 47, numero 4, pp.309-316 (abril de 1979).John M. McKinley,”Relativistic transformation of light power,” American Journal of Physics,volumen 47, numero 7, pp. 602-605 (julio de 1979).

17 *PARTICULAS CON MASA NULA: 20

con D(ϑ) = γ(1 + β cos ϑ). (40)

Las estrellas hacia la proa de la nave tienen D > 1, de modo que su luz se de-splaza hacia hacia longitudes de onda mas corta, esto es hacia el azul. El maximodesplazamiento ocurre para aquellas situadas en la direccion del movimiento de lanave y esta dado por el factor D(0) =

√(1− β)/(1 + β). Las estrellas que dan

hacia la popa de la nave tienen D < 1, y su luz sufre un desplazamiento hacia longi-tudes de onda mas larga (desplazamiento hacia el rojo). El maximo desplazamientohacia el rojo ocurre para aquellas estrellas situadas en la direccion directamenteopuesta a la del movimiento de la nave, con D(π) =

√(1 + β)/(1− β). (Existen

ciertos valores de la colatitud para los cuales las estrellas no sufren desplazamuientoDoppler.)

Dividiendo la ecuacion (37) por (36), tenemos la ecuacion para la aberracionde la luz estelar

cosϑ′ =β + cos ϑ

1 + β cos ϑ. (41)

De este modo todas las estrellas, excepto las que estan directamente en ladireccion de movimiento de la nave, se ven desplazadas hacia esta direccion, sincambiar su azimut. En el hecho, todas las estrellas situadas enfrente al hemisferiodelantero de la nave son apinadas en un cono que hace un angulo ϑ′ = arccos β consu direccion de movimiento. Claramente, este desplazamiento aumenta a medidaque aumenta V .

Finalmente, aumenta la intensidad I de la luz que proviene de las estrellas pordelante de la nave. Este aumento puede ser mas facilmente calculado del modosiguiente: El frente de onda de la luz incidente sobre la nave esta compuesto porun campo continuo de fotones. Con el proposito de contarlos, suponga que, en elsistema de referencia ligado a la estrella, estan ordenados en los nodos de una redtrimensional cubica, de arista `. En el sistema de referencia de la nave estelar,la red de fotones se ve deformada. Las aristas en las direcciones perpendicularesa la direccion de propagacion de la onda siguen midiendo `; pero le distanciaentre planos de fotones en la direccion de propagacion de la onda ha disminuıdoa `/D (tal como lo hace, por ejemplo, la longitud de onda λ). El punto es que,en el sistema de referencia de la nave, el numero de fotones por metro cubicoaparece aumentado en un factor D. Como la energıa de cada foton aparece tambienaumentada en otro factor D (porque pasa de hω a Dhω), encontramos que laintensidad I de la luz estelar proveniente de una direccion dada aparece, vistadesde la nave interestelar, tener una intensidad I ′, donde

I ′ = D(ϑ)2I. (42)

18 LA CUADRIACELERACION: 21

18 La cuadriaceleracion:

Definimos la cuadriaceleracion a como la derivada del cuadrivector velocidad conrespecto al tiempo propio. Sus componentes son, entonces,

aα =duα

dτ. (43)

Es facil ver que la cuadriaceleracion ası definida es un vector.A diferencia del caso no relativista, la cuadriaceleracion es perpendicular a la

cuadrivelocidad.ηαβaαuβ = 0. (44)

El punto de partida para demostrar esto es la ecuacion que dice que el modulode la velocidad es siempre c,

ηαβuαuβ = c2. (45)

Derivando ambos miembros de esta ecuacion con respecto a el tiempo propioτ tenemos que, por (43),

0 = ηαβaαuβ + ηαβuαaβ

= (ηαβ + ηβα)aαuβ , intercambiando los ındices mudos α y β,= 2ηαβaαuβ ,

porque la metrica de Minkowski es simetrica

ηαβ = ηβα. (46)

(En el hecho, todas las metricas son simetricas.)

19 Movimiento con aceleracion constante:

Resolveremos aquı el problema de una partıcula relativista en movimiento rec-tilıneo con aceleracion constante g. Supongamos que la aceleracion es en la di-reccion x1 = x y que x2 = y = 0, x3 = z = 0.

La velocidad y la aceleracion deben satisfacer tres ecuaciones:

ηαβuαuβ = c2; ηαβuαaβ = 0; ηαβaαaβ = −g2;

o, en este caso,

(u0)2 − (u1)2 = c2;u0a0 − u1a1 = 0;

(a0)2 − (a1)2 = −g2.

20 *LA CUADRIFUERZA: 22

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que

du0

dτ= a0 =

g

cu1;

du1

dτ= a1 =

g

cu0.

La integracion de estas ecuaciones es inmediata:

dx0

dτ= u0 = c cosh

(gτ

c

);

dx1

dτ= u1 = c sinh

(gτ

c

).

Integrando una segunda vez obtenemos (despues de elegir arbitrariamente lasdos constantes de integracion)

ct = x0 =c2

gsinh

(gτ

c

);

x = x1 =c2

gcosh

(gτ

c

).

La segunda de estas ecuaciones registra la posicion de la partıcula acelerada comofuncion de su tiempo propio. La primera, la relacion entre este tiempo propio yel tiempo t del sistema de referencia del laboratorio. Alternativamente, el par deecuaciones es la expresion parametrica (el parametro es τ) de la trayectoria de lapartıcula en el espaciotiempo. Esta trayectoria es la hiperbola

c2t2 − x2 = − c4

g2,

que tiene por asıntotas las rectas ct = ±x. Por este motivo, el movimiento conaceleracion constante se llama a veces movimiento hiperbolico.

20 *La cuadrifuerza:

Al igual que en la dinamica usual, suponemos que las componentes Kα de lacuadrifuerza son tales que cumplen con la segunda ley de Newton

Kα =d

dτpα. (47)

En muchas de las aplicaciones fundamentales, la masa de la partıcula no varıacon el tiempo propio τ , de modo que tenemos, alternativamente:

Kα = md2xα

dτ2. (48)

20 *LA CUADRIFUERZA: 23

En un sistema de referencia S′ en que la partıcula esta instantaneamente enreposo, el tiempo es lo mismo que el tiempo propio, de modo que tenemos paralas componentes de la cuadrifuerza en ese sistema:

K′0 = 0; K

′1 = Fx; K′2 = Fy; K

′3 = Fz,

en donde Fx, Fy y Fz son las tres componentes de a fuerza ordinaria F.Suponga que, instantaneamente, el sistema S′ se este moviendo relativamente

a S con velocidad V. Sabiendo que la cuadrifuerza es un vector, podemos calcularsus componentes en este sistema por medio de las transformaciones de Lorentz (11).Escritas en forma vectorial, la componente temporal K0 y las tres componentesespaciales K de la cuadrifuerza son:

K0 = γ(β · F) = (β ·K);

K = F +β (β · F)

β2(γ − 1). (49)

(Aquı β=V/c. Estas formulas se deducen primero suponiendo que V esta, como en(11), en la direccion del eje x. Pero una vez escrita en forma vectorial, claramentevale para cualquier direccion de V.)

Por la primera de las ecuaciones precedentes, la componente cero de la cuadri-fuerza tiene una interpretacion simple: En el lımite de velocidades pequenas com-paradas con la de la luz, γ ' 1 y K ' F. Entonces, con esta aproximacion

cK0 ' (F ·V),

que es la potencia (o la tasa temporal de trabajo) realizada por la fuerza sobre lapartıcula. Para una partıcula sin estructura interna, esta es simplemente la tasade incremento temporal de su energıa cinetica.