Fisica 3 Por Hugo Medina Guzman Capitulo 1 Electrostatica

Electrostática Hugo Medina Guzmán

1

CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA

INTRODUCCIÓN. La primera observación de la electrización se remonta a la época de la Grecia antigua. A Tales de Mileto se le atribuye haber observado la atracción que el ámbar previamente frotado, ejerce sobre pequeños pedazos de fibra y paja. A pesar de que la electrización del ámbar por fricción fue transmitida de un escrito a otro, nada nuevo se descubrió hasta principios del siglo XVII en que Sir William Gilbert anunció el descubrimiento de que muchas sustancias podían ser electrizadas por frotamiento y que el ámbar es uno de los muchos materiales que manifiestan el efecto. EL ELECTROSCOPIO. Dispositivo que sirve para detectar y medir la carga eléctrica de un objeto. Los electroscopios han caído en desuso debido al desarrollo de instrumentos electrónicos mucho más precisos, pero todavía se utilizan para hacer demostraciones. El electroscopio más sencillo está compuesto por dos conductores ligeros suspendidos en un contenedor de vidrio u otro material aislante. Se puede utilizar un electroscopio para determinar si un objeto está cargado eléctricamente. Cuando un objeto cargado se acerca al bulbo, las hojas divergen. a) El electroscopio neutro tiene las cargas distribuidas uniformemente, las hojas están juntas.

(b) Las fuerzas electrostáticas causan que las hojas diverjan.

ELECTRIZACIÓN

Si frotarnos una barra de plástico con una piel de gato, o si frotamos una barra de vidrio con seda. Las barras adquieren la propiedad de atraer cuerpos ligeros corno pedacitos de papel a una pequeña bola hecha da material ligero como corcho o médula de saúco (Sambucus peruviana) suspendida por hilos de seda. Se dice que estos cuerpos están electrizados. Si frotarnos una barra de cobre sostenida por la mano, no habrá acción sobre los cuerpos ligeros, pero si frotamos la misma barra de cobre pero esta vez sostenida por un mango de vidrio, se electriza y ejercerá acción sobre los cuerpos ligeros. O sea que tenemos cuerpos de dos categorías, los primeros como al vidrio, plexiglás, ebonita, resina que se electrizan agarrándolos con 1a mano y otros cuerpos que necesitan un mango de un material de la primera categoría para poder ser electrizados La experiencia demuestra que en los cuerpos de la primera categoría la electricidad permanece localizada en los puntos frotados, no se propaga, estos cuerpos son malos conductores de la electricidad se conocen como aislantes o dieléctricos. Para los cuerpos de segunda categoría, las propiedades de la atracción sobre cuerpos ligeros no solo se manifiestan en los puntos frotados, sino en todos los puntos, a sea la electrización producida se transmite a todos los puntos del cuerpo, estos cuerpos son conocidos como conductores. El cuerpo humano y la tierra son conductores. Además de la electrización por frotamiento descrita, hay otras formas de electrización que indicamos a continuación. 1° Electrización por contacto La carga es transferida al electroscopio cuando la varilla cargada toca el bulbo. Entonces, cuando una


2

varilla con carga opuesta se acerca al bulbo, las hojas se colapsan y se juntan. El electroscopio neutro se toca con una varilla cargada negativamente; las cargas son transferidas al bulbo.

El electroscopio tiene una carga negativa neta.

La varilla cargada positivamente atrae los electrones; las hojas se colapsan.

2° Electrización por inducción Al tocar el bulbo se proporciona una trayectoria para la transferencia de carga, los electrones son transferidos a la tierra. Cuando el dedo se retira, el electroscopio tiene una carga neta, el electroscopio queda cargado positivamente.

Tierra eléctrica se refiere a la tierra (o sea al “suelo”) o a algún otro objeto que pueda recibir o suministrar electrones sin cambiar significativamente su propia condición eléctrica. Como esto se debe a electrones que han sido transferidos, usted puede preguntarse cómo se puede cargar positivamente un electroscopio. Esto se hace cargando por inducción. Al tocarse el bulbo con un dedo, el electroscopio hace

tierra, es decir, se da una trayectoria para que los electrones puedan escapar del bulbo. Entonces, cuando se acerca al bulbo una varilla cargada negativamente los electrones son repelidos del bulbo. Al retirar los dedos se deja al electroscopio una carga positiva neta. 3º Piezoelectricidad. Una lámina de cuarzo convenientemente tallada, se electriza por compresión o por tracción, el fenómeno es reversible. Estos cuerpos son conocidos como piezoeléctricos. 4° Electrización por las fuentes de electricidad. Si ponemos una pila o un acumulador, uno de sus polos se conecta a tierra y el otro a un conductor aislado, éste se electriza. Con una sola pila la electrización es débil, pero si se dispone de muchos elementos se obtiene electrización fácil de poner en evidencia. ELECTRICIDAD POSITIVA Y NEGATIVA Cuando frotamos entre sí dos sustancias diferentes y luego las separamos, nos encontramos con dos tipos de electricidad. Para ver mejor esto realicemos la siguiente experiencia. Dispongamos de dos barras de plástico y dos barras de vidrio. Se carga por frotamiento con una piel una de las barras de plástico y se la suspende mediante un gancho y un hilo de nylon como se muestra en la figura siguiente, pudiendo girar libremente.

Si acercamos a esta barra de plástico la otra frotada similarmente, observamos que gira alejándose, si acercamos la piel a la barra de plástico suspendida observamos que ésta gira acercándose. De igual modo si acercamos la barra de vidrio electrizada por frotación con seda observamos que el plástico gira acercándose y si acercamos la seda el plástico gira alejándose.


3

Puesto que la piel al igual que el vidrio, atraen al plástico electrizado, ambos tienen la misma clase de electrización. Se dice que estén cargados positivamente. De modo similar el plástico y la seda estarán carga dos negativamente. Las Cargas positivas las designamos por el signo (+) y las Cargas negativas por el signo (-). De esta experiencia también podemos describir que “Las Cargas iguales se repelen y las Cargas contrarias se atraen”. También es una observación experimental que la carga no puede ser creada ni destruida, la carga total de un sistema no puede ser cambiada. Del punto de vista macroscópico las cargas pueden reagruparse y cambiarse de diferentes maneras o sea que “La carga neta se conserva en un sistema cerrado”. TEORÍA DE LA ELECTRIZACIÓN La Carga es una propiedad característica y fundamental de las partículas elementales que forman luego materias. Las sustancias estén formadas por moléculas y estas por átomos. Cada átomo contiene un núcleo que tiene una cantidad conocida de carga positiva. Esta Carga positiva se debe a la presencia de un cierto número de protones. Todos los protones son semejantes y tienen la misma masa y la misma carga positiva. Alrededor de cada núcleo atómico hay un número de partículas cargadas negativamente, llamadas electrones.

Normalmente cada átomo de una sustancia es eléctricamente neutro, o sea que tiene cantidades

iguales de carga positiva y negativa, la carga de un electrón es igual pero opuesta a la carga de un protón. En cada núcleo hay tantos protones como electrones hay rodeándolo. Los átomos aislados o los grupos grandes de átomos y moléculas tienen una afinidad para adquirir electrones adicionales sobre el número exacto que neutralizan las cargas positivas del núcleo. Esta afinidad de los átomos para tener más electrones que el número suficiente de ellos, varía considerablemente de una sustancie a otra. Por lo tanto, cuando dos sustancias diferentes se ponen en contacto, la que tiene mayor afinidad toma las electrones próximos de la otra y adquiere una carga negativa, mientras que la otra queda cargada positiva mente, tal es el caso del Caucho cuando se frota con una piel. LA LEY DE COULOMB Esta ley de la fuerza entre los cuerpos cargados puede enunciarse como sigue: “Cuerpos con cargas similares se repelen y con cargas diferentes se repelen; para cargas puntuales (llamando puntual cuando sus dimensiones espaciales son muy pequeñas comparadas con cualquier longitud del problema en cuestión) la fuerza de interacción es proporcional al producto de lo cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.

La ley fue establecida en 1784 por Coulomb por medios experimentales utilizando una balanza de torsión. Podemos nosotros reproducir este experimento en una forma sencilla, para esto dispongamos de dos esferas pequeñas de médula de saúco (se puede usar esferas de tecknopor) suspendidas de hilo de nylon, como se muestra en la figura (a) donde la distancia puede variarse a voluntad. Al ponérsele carga a las esferas estas toman la posición mostrada en la figura (b).


4

Donde θ es el ángulo de deflexión, mg los pesos, FE. la fuerza electrostática y T la tensión en las cuerdas. De las leyes de la mecánica encontramos la relación entre FE y θ .

θtanmgFE = Variando la separación d entre los soportes podemos observar diferentes deflexiones. De las medidas de FE en función de la separación de equilibrio r de las cargas encontramos que

2

1r

FE ∝

esta evidencia experimental se presenta a continuación en forma de ecuación

221

rqqkFE =

Donde 1q y 2q representan las magnitudes de las cargas. La dependencia de la carga no fue establecida por Coulomb, puesto que no tenía medios independientes para juzgar la magnitud de la carga, r es la distancia entre los centros de las cargas. Como la fuerza es un vector la ley de Coulomb la podemos escribir de la siguiente forma, fuerza sobre la carga

→→

= 21321

211 r

rqq

kF O 21221

211 r

rqq

kF =→

Donde 21

2121ˆ

rrr→

= , vector unitario a lo largo de

21r Fuerza sobre la carga q

→→→

−== 112312

212 Fr

rqq

kF

UNIDADES Como la carga eléctrica es un concepto nuevo, no conocido en la mecánica es necesario introducir una nueva unidad fundamental. Sistema CGS. En este sistema hacemos k = 1 y la unidad de carga se llama el statcoulombio.

Sistema M.KS. En esta sistema la unidad de carga se define a partir de la corriente eléctrica, concepto que veremos más adelante en detalle, la unidad fundamental es el ampere y la carga está definida por ampere - segundo, y a esto se le llama Coulombio (C). Como FE está en Newton, q1 y q2 en Coulombios y r en metros, la constante k se fija por estas elecciones y toma el valor

9109874,8 ×=k 2

2

CNm

El cual puede aproximarse a 9x109 en la mayoría de los cálculos numéricos. Es útil expresar el valor de k en la forma

041πε

=k

Donde 0ε es una constante que se conoce como la permitividad del espacio libre y su valor es

120 1085415,8 −×=ε 2

2

NmC

Ejemplo 1. Se tienen dos cargas puntuales.

Cq 91 102 −×= , kjir ˆ3ˆˆ21 ++=

→

en metros y

Cq 92 103 −×= , kjir ˆˆ3ˆ

2 ++=→

en metros. ¿Cuál es esfuerzo sobre cada una de ellas? Solución.

Fuerza sobre 1q : →→

= 21321

21

01 4

1 rrqq

Fπε

→→→

−= 2121 rrr = ( ) ( )kjikji ˆˆ3ˆˆ3ˆˆ2 ++−++

= kji ˆ2ˆ2ˆ +−

( )[ ] 3922121222

21 ==+−+=r Luego

( )( )( )kjiF ˆ2ˆ2ˆ3

103102109 2

999

1 +−××

×=−−→

( )kjiF ˆ2ˆ2ˆ102 91 +−×= −

→

N Fuerza sobre 2q

( )kjiFF ˆ2ˆ2ˆ102 912 +−×−=−= −

→→

N El modulo es

( )[ ] 921222921 106221102 −− ×=+−+×== FF N

Ejemplo 2. ¿Cuál de las dos situaciones siguientes daría como resultado una mayor fuerza? a) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 100 C sobre una de 1 C.


5

b) La fuerza de repulsión que ejerce una carga de 1 C sobre una de 100 C. Solución. Las dos opciones nos conducen a la misma situación, ya que tienen la misma distancia. Y el producto de la carga es la misma

→→

= rrqqkF 2

21

Lo único que cambia es la dirección de la fuerza. Ejemplo 3. ¿Si deseo trasladar una carga de 1C del origen a el punto (100,100, 100) y luego del punto al origen, en cual de los dos la fuerza de atracción debe ser mayor? Solución. Al igual que en el problema anterior, la misma fuerza, en magnitud, que se requiere para trasladar la carga del origen al punto y del punto al origen es la misma. Por lo tanto la misma fuerza que se requiere para trasladar la carga del origen al punto es la misma que la que se requiere para trasladar la carga del punto al origen. Analicemos la siguiente relación.

→→

= rr

QqkF p

204πε

Donde qp es una carga llamada carga de prueba, que podemos utilizar para medir la fuerza necesaria del para trasladar la carga del origen al punto P. Analicemos ahora la fuerza para trasladar la carga del punto P al origen

→→

= rr

QqkF p

204πε

Observemos que ambas relaciones son las mismas. Ejemplo 4. Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de 20,0 cm tienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en exceso hay en cada esfera si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de 4,57x 10-21 N? Solución. Primero encontramos la carga de las esferas.

⇒= 2

2

041

rq

πεF

204 Frπεq =

2210 )2,0)(1057,4(4 −×= πε

C1043,1 16−×= Luego, el número total de electrones requerido es:

C106,1C1043,1

19

16

−

−

××

==eqn

894= Ejemplo 5. Determine la fuerza eléctrica, de atracción, ejercida por una carga C0,21 μ=Q que se encuentra en la posición (1, 1,1) sobre la carga C0,22 μ−=Q en el origen.

Solución. La fuerza, mediante la ley de Coulomb queda determinada por:

rr

QQF ˆ

4 20

21

πε=

→

Determinemos para ello el vector que existe entre las cargas:

( ) ( ) ( )kjir ˆ10ˆ10ˆ1012 −+−+−=→

kji ˆˆˆ −−−=

La magnitud del vector 12

→

r es:

( ) ( ) ( ) 3111 22212 =−+−+−==

→

rr

Por lo tanto el vector unitario

es:3

ˆˆˆˆ

12

12 kji

r

rr −−−==

→

→

rr

QQF ˆ

4 20

21

πε=

→

( )( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−×−×=

−−

3

ˆˆˆ

34

1021022

0

66 kji

πε

( )kji ˆˆˆ

31036 3

−−−×

=−

La magnitud de la fuerza es

331036 3−×

=F = 36 x 10-3 N

Es decir, el término:


6

20

21

4 rQQ

Fπε

= Ya que la magnitud del vector

unitario es 1 Ejemplo 6. Encuentra la fuerza de repulsión que existe entre dos cargas de 2 C cada una. Una de las cargas esta en el origen y la coordenada de la otra carga en (0, 0,0) Solución. Primeramente sabemos que las dos cargas no pueden estar en el mismo punto. Para estar en el mismo punto tendríamos r = 0, que en la ecuación de la ley de Coulomb nos conduciría a una indeterminación debido a la división entre cero.

( )04 0πεQq

kF p=

Sabemos del hecho que la fuerza eléctrica entre dos cargas es una ley

2

1r

F ∝

La fuerza crece muy rápidamente a medida que r es pequeña, como se puede observar en su gráfico

Ejemplo 7. Dos esferas idénticas pequeñas y conductoras tienen cargas de 3x10-9 C y -1x10-9 C, respectivamente. Cuando se colocan separadas 3 cm. a) ¿Cuál es la fuerza entre ellas? b) Si se ponen en contacto y luego se separan 3 cm, c) ¿cuál es la fuerza entre ellas? Solución. a) La fuerza entre las dos esferas cuando están separadas 3 cm. es:

( ) ( )

( )22

99

0 103101103

41

−

−−→

×

×−××=

πεF

= N 103 5−×− La fuerza es de atracción e igual a 3x10-5 N.

b) Cuando se ponen en contacto se produce equilibrio de las cargas diferentes o sea

999 102101103 −−− ×=×−× ⇒ Sería la carga

total, la que se distribuye por igual en cada una de las esferas, por ser idénticas.

C 1012102 9

9

21−

−

×=×

== qq

c) La fuerza entre las dos esferas cuando se colocan a 3 cm es:

( ) ( )

( )22

99

0 103101101

41

−

−−→

×

×××=

πεF = N 101 5−×

Ejemplo 8. Dos esferas conductoras iguales de tamaño insignificante se cargan con 16,0 x 10-14

C y -6,4 x 10-14 C, respectivamente, y se colocan separadas 20 centímetros. Luego se mueven a una distancia de 50 centímetros separación. a) Compare las fuerzas entre ellas en las dos posiciones. b) Las esferas se conectan por medio de un alambre fino. ¿Qué fuerza ejerce la una sobre la otra? Solución. La ecuación que da la fuerza entre las esferas, que se pueden considerar como cargas puntuales, es

221

041

rqqF

πε=

Luego

( )221

01 2,04

1 qqFπε

= y ( )2

21

02 5,04

1 qqFπε

=

∴ ( )( )

25,62,05,0

2

2

2

1 ==FF

b) Si las esferas se unen por un alambre, las cargas, que se atraen a una otra, pueden fluir por el alambre bajo influencia de las fuerzas que actúan en ellas. Las cargas neutralizarán lo más lejos posible y (16,0 x 10-14 – 6,4 x 10-14) = 9,6 x 10-14 C se distribuirán sobre el sistema. No tomar en cuenta el efecto del alambre, por simetría 4,8 x 10-14 C quedará en cada esfera. La fuerza entre las dos esferas ahora es:


7

2

2

041

rqF

πε=

= ( )( )( )2

2149

5,0108,4109,9 C−×

×

= N1029,8 17−× Ejemplo 9. Un electrón tiene una masa de 9,1 x 10-31 kg y una carga eléctrica de 1,6 x 10-19 C. Suponga que dos electrones están colocados cerca de uno de otro. Compare las fuerzas gravitacionales y eléctricas entre ellas. Solución. La fuerza de atracción gravitacional entre los electrones es:

2

2

rmGFG = = ( )( )

2

23111 101,9106,6

r

−××

= 22

72

m N106,54r

−×

La fuerza de repulsión entre los electrones es:

2

2

041

rqFe πε

= = ( )( )2

2199 106,1109,9

r

−××

= 22

29

m N1004,23r

−×

Luego

4272

29

102,4106,541004,23

×=××

= −

−

G

e

FF

La fuerza gravitacional entre los electrones es despreciable en comparación con la fuerza eléctrica. Ejemplo 10. Dos esferas conductoras pequeñas, cada uno de la masa 0,25 g, están colgando por medio de hilos aisladores de longitud 50 centímetros de modo que apenas se tocan. Se da una carga, que comparten igualmente, y a cada una toma una posición tal que el hilo por el cual cuelga forma un ángulo de 45º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada una? Solución.

Hay tres fuerzas que actúan en cada esfera, el peso mg que actúa hacia abajo, la fuerza

repulsiva de Coulomb F que actúa horizontalmente, y la tensión T en el hilo de soporte. Puesto que la esfera está en equilibrio, las componentes horizontales y verticales deben equilibrarse por separado. Así mg = Tcos 45º y F = Tsen 45º o F = mg tan 45º Pero

2

2

041

rqF

πε= =

( )22

0 º45sen241

hq

πε

Donde q es la carga sobre cada esfera. ∴ ( )mghq º45sen 24 0

2 πε=

= ( )8,95,22

15,021091

2

9 ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×

= 13,6 x 10-14 C2.⇒ q = 3,7 x 10-7C. Ejemplo 11. Las cargas puntuales de magnitudes 2,5 x 10-14 C, 1,0 x 10-14 C, -3,5 x 10-

14 C, y 2.0 x 10-14 C se ponen en las esquinas A, B, C, y D de un rectángulo respectivamente en el cual el AB tiene una de longitud 8 cm y BC tiene una longitud de 6 cm. ¿Qué fuerza actúa sobre la carga en D debido a las otras tres? Solución.

Las cargas en A, B, C, y D son q1, q2, - q3, y q4, respectivamente. Las fuerzas ejercidas sobre q4, por las otras tres se muestran en el diagrama como los vectores F1, F2, y F3, respectivamente. Los ejes x e y se han seleccionado en las direcciones mostradas.

241

01 4

1bqq

Fπε

= , ( )2242

02 4

1ba

qqF

+=

πε,

243

03 4

1aqq

Fπε

=

Las tres fuerzas que actúan sobre q4 se combinan en una sola fuerza F con componentes (Fx, Fy) a lo largo de los ejes elegidos. F2 se descompone a lo largo de los ejes x e y, y observamos que:


8

( ) ( ) cm 106cm8cmBD 22 =+= Obtenemos

θsen23 FFFx −= , θcos21 FFFy −= De estas ecuaciones, se obtiene

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+×

+−=

22222

23

0

4

4 baa

baq

aqqFx πε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+− 2322

223

0

4

4 ba

aqaqq

πε

= ( )( ) ( )( )( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

×

××−

×

×××

−

−−

−

−−

232

214

22

14149

1010108100,1

108105,3100,2109

= 8,40 x 10-16 N. Del mismo modo

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++= 2322

221

0

4

4 ba

aqaqqFy πε

= 13,58 x 10-16 N. El vector F tiene componentes: (8,40x10-16 N y 13,58x10-16 N), Cuya magnitud es:

22 58,1340,8 + = 15,97x10-16 N, a un ángulo de tan-1 (13,58/8,40) = 58°16’ con el eje x. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN - DISTRIBUCIÓN DE CARGAS Si más de dos cargas puntuales están presentes, las fuerzas mutuas se determinan por la aplicación repetida de la ley de Coulomb, esto viene a ser la ley de adición o principio de superposición y se demuestra experimentalmente. Si son n las cargas esto es q1, q2, q3. La fuerza sobre la carga es

31

1

1 011 4 i

in

i

i

rrq

qF→

≠

→

∑=πε

Donde la sumatoria so extiende sobre todas las cargas con excepción de la Carga q1. Ejemplo 12. Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de las x. La carga q1 = + 3,00 μC está en el origen, y la carga q2 = - 5,00 μC está en x = 0,200 m. La carga q3 = - 8,00 μC. ¿Dónde está situada q3 si la fuerza neta sobre q1 es 7,00 N en la dirección negativa x? Solución. Como la fuerza neta de q2 y q3 sobre q1 está sobre el eje x, la carga q3 necesariamente estará sobre el eje x.

Como F2→1 es negativa, F3→1 también debe ser negativa porque la fuerza neta sobre q1 es 7,00 N en la dirección negativa x.

q2 está a la derecha de q1.

( )j

qqF ˆ

20,041

212

0

12πε

=→

→

( )( ) j04,0

10310510966

9−− ××

×−=

N ˆ375,3 j−= q3 debe estar a la izquierda de q1.

( )( ) jx

F ˆ1031084

12

66

0

13

−−

→

→ ××=

πε

jx

ˆ216,02=

jFFF sobre ˆ00,713121 −=+= →

→

→

→→

jx

jj ˆ216,0ˆ375,3ˆ00,7 2+−=−

375,10216,02 =

x

m 144,0±=x Para que xF3 sea negativa, 3q debe estar en x = - 0,144 m.

Ejemplo 13. Se colocan cuatro cargas idénticas q en los vértices de un cuadrado de lado L. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas las fuerzas que actúan sobre una de las cargas. b) Halle la magnitud y dirección de la fuerza total que ejercen sobre una carga las otras tres. Solución. a) Consideremos la fuerza sobre la carga situada en el origen de coordenadas


9

b)

iLqF ˆ

41

2

2

0

1πε

=→

( )jiL

qF ˆˆ22

241

2

2

0

2 −=→

πε

jLqF ˆ

41

2

2

0

3πε

−=→

La fuerza total

321→→→→

++= FFFF Reemplazando

( )jiLqF ˆˆ

421

41

2

2

0

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

πε

El módulo

( ) 2

2

0 241221

Lq

πεF +=

Formando un ángulo de 45º debajo del positivo de eje x. Ejemplo 14. Dos cargas puntuales se encuentran separadas una distancia d. ¿Dónde y qué carga se debe colocar para que el sistema quede en equilibrio? So1ución. La posición de la tercera carga Q debe estar en la recta formada por la línea que une las dos cargas, de no ser así no habría equilibrio como muestra la figura la componente vertical no tiene anulación posible.

Para determinar la posición de la carga Q llamaremos x a esta posición.

Como Q está en equilibrio,

( )20

20

34

14

1xd

qQxqQ

−=

πεπε

⇒ ( ) 22 3xxd =−

⇒ 02

22 =−+

ddxx

Resolviendo: 23

21±−=x

hay dos posiciones posibles ( )dx

213

1−

= = d36,0 y

( )dx2

132

+−= = d36,1− ,

x1 está entre ellas a la derecha de q. x2 está fuera a la izquierda de q. Ahora encontramos el valor Q para x1, para que haya equilibrio es necesario que las fuerzas sobre q se anulen.

( ) ( )0

36,0413

41

20

20

=+d

qQdqq

πεπε

⇒ qQ 71,1−= La situación x2 = - 1,36 d, no es posible, porque estando Q a la izquierda de las dos cargas positivas, tendría que ser negativa y no habría forma de lograr el equilibrio con las dos cargas positivas en diferentes posiciones, como se muestra a continuación Fuerzas sobre q

Fuerzas sobre 3q

Ejemplo 15. Las cargas se colocan en el eje x como sigue: q1 = + 2 μ C en x = 0, q2 = - 3 μ C en x = 2 m, q3 = - 4μ C en x = 3m, y q4 = + μ C en x = 3,5 m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza en q3? Solución.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 2

43

42

23

22

13

13 r

qrq

rqkqF


10

= ( )( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−× 222

9

5,01

13

324109 CCCC μμμμ

= 2,44 x 10-10N/C Ejemplo 16. Tres cargas positivas idénticas q se colocan en las esquinas de un triángulo equilátero de lado L. ¿Qué fuerza experimenta una de las cargas? Solución.

F = 2F1cos 30° = 2

2

2

2

3º30cos2Lqk

Lqk =

Ejemplo 17. La sal de mesa (cloruro de sodio) es un cristal con una estructura cúbica simple con iones de Na+ y de Cl- que se alternan en sitios adyacentes del enrejado. La distancia entre iones es 2,82 x 10-10m = 0,282 nm (1 nm = 10-9 m). a) ¿Qué fuerza experimenta un ión del Na+ debido a uno de sus vecinos Cl- más cercano? b) ¿Qué fuerza experimenta un ión de Cl- debido a un ión de Na+ vecino? c) ¿En qué fuerza experimenta un ión de Na+ en el origen debido a los iones de Cl- en (a, 0, 0) y (0, a, 0)? d) ¿Cuál es el peso de un ión del Na+ de masa 3,82 x 1026 kg? Solución.

a) 2

2

1 rekF = =

( )( )29

2199

10282,0106,1109

−

−

×

××

= 2,90 x 10-9 N b) Por la tercera ley de Newton: La fuerza sobre el Cl- debido al Na+ es igual que la fuerza en el Na+ debido al Cl-.

c)→→→

+= 21 FFF = 2,90 x 10-9 ( )ji ˆˆ + N

22

21 FFF += = 4,10 x 10-9 N

d) W = mg = (3,82 x 1026)(9,8) = 3,7 x 105N Como las fuerzas eléctricas que actúan en objetos cargados pequeños son mucho más grandes que sus pesos, a menudo no se toman en cuenta. Ejemplo 18. Dos esferas idénticas de tecknopor, cada una de 0,030 kg, cada esfera atada a un hilo de 30 cm de largo y suspendidas de un punto. A cada esfera se le da una carga q (frotándola con un paño), las dos esferas se repelen formando un ángulo de 7º con la vertical. ¿Cuál es la carga en cada esfera? Solución. Dibuje el diagrama de fuerzas para una de las esferas. La esfera está en equilibrio, tal que: 0=∑ HF y 0=∑ VF

0cos =− mgT θ ⇒ mgT =θcos

0sen =− FT θ ⇒ FT =θsen

Dividiendo: mgF

TT

== θθθ tan

cossen , donde

( )2

2

sen2 θLqkF =

Resolviendo: ( )( )

kLmgq

22 sen2tan θθ=

= ( )( )( )( )( )( )9109

sen7º3,02º7tan8,903,0×

⇒ q = 0,146 x 10-6 C = 0,146 Cμ Ejemplo 19. Dos esferas idénticas de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L, como se muestra en la figura. Cada esfera tiene la misma carga; por tanto, q1 = q2 = q. El radio de cada esfera es muy pequeño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que éstas se pueden tratar como cargas puntuales. Demuestre que, si el ángulo θ es pequeño, la separación de


11

equilibrio d entre las esferas es 31

0

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mgLqd

πε .

(Sugerencia: Si θ es pequeño, θθ sentan ≅ ).

Solución. Examinando las fuerzas:

0sen e =−=∑ FθTFx y 0cos =−=∑ mgθTFy .

Luego 2

2

cossen

dkqFmg

e ==θθ . Pero

Ldθ

2tan ≈ . ⇒

mgLkqd

23 2= ⇒

31

0

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mgLqd

πε

Ejemplo 20. Dos esferas pequeñas de masa m = 15,0 g cuelgan de hilos de seda de longitud L = 1,20 m de un punto común. Cuando se les proporciona a las esferas cantidades iguales de carga negativa, de modo que q1 = q2 = q, cada hilo cuelga a θ = 25,0° respecto a la vertical, a) Dibuje un diagrama que muestre las fuerzas sobre cada esfera. Trate las esferas como cargas puntuales. b) Halle la magnitud de q. c) Ahora se acortan los dos hilos a una longitud L = 0,600 m, en tanto que las cargas q1 y q2 permanecen sin cambio. ¿Cuál es el nuevo ángulo que cada hilo forma con la vertical? (Sugerencia: Esta parte del problema se puede resolver numéricamente empleando valores de prueba de θ y ajustando estos valores hasta obtener una respuesta congruente consigo misma).

Solución. a)

b) Usando el mismo análisis que en el problema anterior, encontramos:

θmgdπεq tan4 20

2 = y 52(1,2)sen2=d ⇒

[ ] °°= 25tan)80,9)(015,0(25sen)2,1(24 20πεq

⇒ q = 2,79 x 10-6 C. c) Del problema anterior,

2

2

tandkqmg =θ .

Ldθ

2sen = ⇒

θLmgkqθ 22

2

sen)2(tan =

θ22

2-69

sen)6,0(4))(9,8015,0()10)(2,791099,8( ××

=

Luego

θθ 2sen

331,0tan = .

Hacemos

θtan=y y θ2sen

331,0=y

Graficamos las dos funciones


12

La intersección es la solución. Obtenemos .5,39 °=θ Ejemplo 21. Dos esferas idénticas se sujetan a hilos de seda de longitud L = 0,500 m y se cuelgan de un punto común. La masa de cada esfera es m = 8,00 g. El radio de las esferas es muy pequeño en comparación con la distancia entre ellas, por lo que se les puede tratar como cargas puntuales. A una esfera se le proporciona una carga positiva q1, y a la otra una carga positiva diferente q2 esto provoca que las esferas se separen de tal modo que cuando están en equilibrio, cada hilo forma un ángulo θ = 20,0° con la vertical. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada esfera en equilibrio, e identifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Halle la magnitud de la fuerza electrostática que actúa sobre cada esfera, así como la tensión en cada hilo. c) Con base en la información dada, ¿qué se puede afirmar acerca de las magnitudes respectivas de q1 y q2? Explique sus respuestas. d) Ahora se conectan las esferas mediante un alambre pequeño, lo que permite que se transfiera carga de una esfera a la otra hasta que ambas tienen la misma carga; después se retira el alambre. Cada hilo forma ahora un ángulo de 30,0° con la vertical. Halle las cargas originales. (Sugerencia: La carga total del par de esferas se conserva).

Solución. a)

b) N0834,020cos =°= mgT Luego

12

21N0285,020senr

qkqTFe ==°=

r1 es la separación entre las cargas m342,0sen20 m)500,0(21 =°=r c) De (b),

221

9

342,0109

0285,0qq×

= ⇒

.C1071,3 21321

−×=qq d) Las cargas sobre las esferas se igualan conectándolas con un alambre, pero aun tenemos

22

2

0e 4

1N0453,0tanrQθmgF

πε===

con 2

21 qqQ += .

La separación 2r es: º30m)sen500,0(22 =r = 0,500 m. Luego:

220

21 42

rFπεqqQ e=+

= = 1,12 x 10-6 C.

Esta ecuación, con la de la parte (b), nos da dos ecuaciones en 1q y q2.

C1024,2 621

−×=+ qq y

.C1070,3 21321

−×=qq Por eliminación, sustitución y después de resolver la ecuación cuadrática resultante, obtenemos:

C1006,2 61

−×=q y C1080,1 72

−×=q . Ejemplo 22. Se colocan tres cargas puntuales idénticas q en tres vértices de un cuadrado de lado L. Halle la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre una carga puntual - 3q situada a) en el centro del cuadrado; b) en el vértice vacío del cuadrado. En cada caso, dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que ejercen sobre la carga - 3q las otras tres cargas.


13

Solución.

a) ,64

1)2(

)3(4

12

2

02

0 Lq

πεLqq

πεF =+= hacia la

carga izquierda inferior. Las otras dos fuerzas son iguales y opuestas.

b) La carga izquierda superior y la carga derecha más baja tienen fuerzas de igual magnitud perpendiculares el uno al otro, dando por resultado una fuerza total 2 veces de la fuerza de una, dirigida hacia la carga izquierda más baja. Así pues, toda la suma de las fuerzas a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

220 )2(

)3(2)3(4

1Lqq

Lqq

πεF

N 2323

4 20

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Lπεq

.

Ejemplo 23 Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La velocidad inicial del protón tiene una magnitud

0v y está dirigida formando un ángulo α abajo de la horizontal. a) Halle la distancia máxima que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias. b) ¿Después de qué distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c) Dibuje la trayectoria del protón.

d) Halle los valores numéricos de hmax y d si E = 500 N/C, 0v = 4,00 x l05 m/s y α = 30.,0°. Solución.

eEFy = 0=xF

pp meE

mF

a yy == 0=xa

a) ymeEαvyavv

pyyy Δ+=Δ+=

2sin2 220

20

2

maxhy =Δ cuando 0=yv

eEαmv

h p

2sin22

omax =⇒

b) 20 2

1 tatvy yy +=Δ

origtt = cuando 0=Δy

origorig0 21sin0 ttaαv y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒

Luego 0=Δyyaαv

tsin2

,0 0orig =

o eE

αmvt

sen2 p0orig =

ααeE

mvtvd x sencos

2 p20

orig0 ==

c)

d)

)500)(106,1(230sen)1067,1()104(

19

22725

max −

−

×°××

=h

= 0,42 m.

)500)(106,1(30sen30cos)1067,1()104(2

19

2725

−×°°××

=d

= 2,49 m. CARGA DISTRIBUIDA. En el caso ya no de cargas puntuales sino de una distribución continua, a pesar que la carga eléctrica se


14

encuentre en múltiplos de una carga básica que es el electrón (e = 1,6x10-19 C), la cual es extremadamente pequeña. Esto significa que la carga macroscópica está compuesta de un número muy grande de electrones. Así podemos describir una distribución de carga en términos de una densidad de carga. Densidad de carga volumétrica definida por

dVdq

Vq

V=

ΔΔ

=→Δ 0

limρ

Densidad de carga superficial definida por

dSdq

Sq

S=

ΔΔ

=→Δ 0

limσ

Densidad de carga lineal definida por

lll ddqq

=ΔΔ

=→Δ 0

limλ

Ejemplo 24. ¿Cuál sería la fuerza sobre une carga q, debido a cargas distribuidas por volumen? Solución.

Sea al volumen V con densidad de Carga ( )'rρ . La fuerza sobre la Carga q es:

( ) ''

'4 '3

0

dVrr

rrqF rVq ρπε ∫ →→

→→→

−

−=

Del mismo para una distribución superficial, con densidad de Carga ( )'rσ

( ) ''

'4 '3

0

dSrr

rrqF rSq σπε ∫ →→

→→→

−

−=

y para una distribución lineal, con densidad de Carga ( )'rλ

( ) ''

'4 '3

0

ll

drr

rrqF rq λπε ∫ →→

→→→

−

−=

Ejemplo 25. La figura muestra un alambre infinito horizontal con densidad lineal de carga λ, y un alambre finito de largo y densidad lineal de carga λ’ = λ

0 (y + a), donde λ

0 es una constante

de unidad C/m2.

a) ¿Cuál es la fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l ? b) ¿Cuál es la fuerza que el alambre de largo l ejerce sobre el alambre infinito? Solución. a) La fuerza que el alambre infinito ejerce sobre el alambre de largo l :

→→

= EdqFd , ( ) jya

E ˆ2 0 +

=→

πελ

,

( )dyyadydq +== 0' σλ

Luego: ( ) ( ) jya

dyyaFd ˆ2 0

0 ++=

→

πελσ

= jdy ˆ

2 0

0

πελσ

∫∫ ==→→ l

00

0 ˆ2

dyjFdFπελσ

= j2 0

0

πελσ l

b) La fuerza que el alambre de largo l ejerce sobre el alambre infinito por la tercera ley de Newton es:

jF ˆ2 0

0

πελσ l

−=−→

Ejemplo 26. Una esfera maciza, no conductora de radio R, tiene una densidad de carga volumétrica rA=ρ , donde A es constante. Calcular la carga de la esfera. Solución.


15

Si dVdq

=ρ ⇒ dVdq ρ=

y ∫=

==

Rr

rdVq

0ρ , con

rA

=ρ y drrdV 24π= :

∫∫ ==RR

rdrAdrrrAq

0

2

044 ππ = 22 ARπ

Ejemplo 27. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma

( ) rer −= 20ρρ y radio R limitada

exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Determine la carga total en la esfera aisladora.

Solución. La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:

∫= VdVq ρ

En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma:

φθθρπ π

dddrrreq

rR sen2

2

2

0 0 0 0

−

∫ ∫ ∫=

= ∫ −R rdre004πρ = ( )Re−−14 0πρ

CAMPO ELÉCTRICO - INTRODUCCIÓN. Nosotros conocemos la existencia del campo gravitacional porque al dejar en un punto del espacio (cerca de la tierra) una masa m esta sufre

la acción de la fuerza gravitacional →

F , habiendo en ese punto una intensidad de campo

gravitacional →

g , donde

mFg→

→

=

Este valor en el punto no cambie con el tiempo, depende de la masa de la tierra y de la distancia

rr

mMGF T ˆ2=

→

y rr

GMg T ˆ2=

→

La Ley de Coulomb establece la fuerza de interacción entre dos cargas, pero cuando quitamos una de las cargas ¿qué hay en ese espacio? Similarmente al campo gravitacional podemos decir que el espacio que rodea a la carga esta afectado por lo que llamamos campo eléctrico. DEFINICIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO Sea una carga q1 fija en el espacio, la acción sobre la carga q2 es

12312

21

041 →→

= rrqq

Fπε

= rrqq ˆ

41

212

21

0πε

Sí variamos la posición de q2 la fuerza en cada punto dependerá de las coordenadas de su posición. Para eliminar la dependencia de la fuerza a q2, se especifica esta como carga unitaria y positiva. Así el campo fuerza se define como la fuerza por unidad de carga positiva en todos los puntos alrededor de q1, un resultado equiva1ente se obtiene dividiendo la fuerza en cada punto por el valor de q2, esto es

12312

1

02 41 →

→→

== rrq

qFE

πε = r

rq ˆ

41

212

1

0πε

Para el caso del Campo debido a cargas distribuidas. - Cargas puntuales. Campo producido por las n cargas puntuales ( 1q , 2q , 3q , 2q ….. 2q )en un

punto determinado por →

r .

∑= →→

→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

ii

i

i

rr

rrqE

13

041πε

- Distribución volumétrica

( ) '4

13'

0

dVrr

rrE

Vi

i

r∫ →→

→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ρπε

- Distribución superficial

( ) '4

13'

0

dSrr

rrE

Si

i

r∫ →→

→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= σπε


16

- Distribución lineal

( ) '4

13'

0

ll

drr

rrE

i

i

r∫ →→

→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= λπε

Ejemplo 28. Un dipolo eléctrico consiste en las cargas + q y - q separadas por una distancia. 2a Si las cargas se colocan en (0, 0, a) y (0, 0, - a) en el eje de z (el eje del dipolo), determine el campo eléctrico del dipolo en un punto a una distancia z del origen en el eje de z, donde z >> 2 a. Exprese el resultado en los términos del momento dipolo eléctrico, definido como

aqp 2= . Solución.

( )( )

( )20

20 4

14

1azq

azqE

+−

+−

=πεπε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

+−= 2222

0 21

21

41

aazzaazzq

πε

Como 22 2 zaza <<<< , podemos eliminar 2a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

zazzaz 21

12

12

2

Usando δδ

+≈−

11

1 , si 1<<δ :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − z

aZ

zaz

21121

12

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

za

za

zqE 2121

41

20πε

= 30z

aqπε

o 302 z

pEπε

=

La materia en la naturaleza es por general eléctricamente neutra, no se encuentra tan a menudo situaciones donde las fuerzas se deben a la carga neta en un objeto. Sin embargo, todo puede adquirir un momento dipolar cuando está colocado en un campo eléctrico porque las cargas negativas en los átomos son jaladas en una forma tirada y las cargas positivas en el núcleo son jaladas en la dirección opuesta. Así los dipolos eléctricos desempeñan un papel muy importante en nuestra comprensión de la materia. Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, tiende a alinearse con su eje paralelo al campo. Si no es paralelo al

campo, experimenta un torque →

τ . Asociado a este torque hay una energía potencial U, donde

→→→

×= Epτ y θcospEEpU −=⋅−=→→

Aquí θ es el ángulo entre el campo eléctrico y el eje del dipolo y el p = 2aq es el momento del dipolo. Ejemplo 29. Se coloca una carga positiva puntual q en x = a, y una carga negativa puntual - q en x = - a. a) Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = 0. b) Deduzca una expresión para el campo eléctrico en los puntos sobre el eje de las x. Con base en su resultado, grafique la componente x del campo eléctrico en función de x con respecto a valores de x entre - 4a y 4a. Solución. Una carga positiva y negativa, de igual magnitud q , están sobre el eje x, a una distancia a del origen.

a) En un punto entre ellas,

,24

12

0 aq

πεE = a la izquierda.

b) En cualquier posición x,

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=

axxa

qxaq

πε

axxa

qxaq

πε

axxa

qxaq

πε

E

, )()(4

1

, )()(4

1

|| , )()(4

1

220

220

220

con el sentido positivo hacia la derecha. Graficado a continuación.


17

Ejemplo 30. Disponemos de tres cargas q1, q2 y q3 (q1 = +5×10-5 C, q2 = q3= - q1/2) sobre una circunferencia de radio 1 m, como indica la figura.

a) Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga q1. b) Calcular la fuerza total ejercida sobre una carga de + 1 C situada en el centro de la circunferencia. Solución. a)

La fuerza ejercida por q2

( )jid

qqF ˆº30cosˆº30sen4 2

0

2121 +−=

→

πε

Con Rd 3= y q2 = - q1/2, 2/3º30cos −= y 2/1º30sen −=

Tenemos:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

→

jiR

qF ˆ23ˆ

21

382

0

21

21πε

( )jiR

q ˆ3ˆ48 2

0

21 +=

πε

La fuerza ejercida por q3

( )jid

qqF ˆº30cosˆº30sen4 2

0

3131 +−=

→

πε

Con Rd 3= , q3= - q1/2, 2/3º30cos −= 2/1º30sen =

Tenemos:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

→

jiR

qF ˆ23ˆ

21

382

0

21

31πε

( )jiR

q ˆ3ˆ48 2

0

21 −−=

πε

La fuerza neta es

3121→→→

+= FFF neta

( ) ( )jiR

qjiR

q ˆ3ˆ48

ˆ3ˆ48 2

0

21

20

21 −−+−=

πεπε

jR

q ˆ24

32

0

21

πε−=

Reemplazando valores

( ) ( )( )

jF neta ˆ00,161053109 2

259

−→ ××−=

j N 49519,6−= La fuerza neta sobre q1

jF neta ˆ N 49519,6−=→

b)

Fuerza debido a q1

jR

QqF Q ˆ4 2

0

11

πε−=

→

Fuerza debido a q2

( )jiR

QqF Q ˆº60cosˆº60sen4 2

0

22 +−=

→

πε

Con q2 = - q1/2, 2/1º60cos −= y 2/3º60sen −=

Tenemos:


18

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

→

jiR

QqF ˆ21ˆ

23

8 20

121

πε

( )jiR

Qq ˆ1ˆ316 2

0

1 +=πε

Fuerza debido a q3

( )jiR

QqF Q ˆº60cosˆº60sen4 2

0

33 +−=

→

πε

Con q3= - q1/2, 2/1º60cos −= y 2/3º60sen =

Tenemos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

→

jiR

QqF ˆ21ˆ

23

16 20

131

πε

( )jiR

Qq ˆˆ316 2

0

1 +−=πε

La fuerza neta es

QQQneta FFFF 321

→→→→

++= ( ) ( )[ ]jijij

RQq ˆˆ3ˆˆ3ˆ

16 20

1 +−+++−=πε

jR

Qq ˆ16

32

0

1

πε−=

Reemplazando valores

( ) ( )( )( )

jF neta ˆ 00,14

10513109 2

59

−→ ××−=

j N 105,67 4×−= La fuerza sobre la carga central Q es

jF neta ˆ N 105,67 4×−=→

Ejemplo 31. Campo eléctrico de una línea recta infinita con carga λ Coulombios/metro. Solución. Consideremos la línea como se muestra en la figura el punto P situado a una distancia r de la recta,

La carga del elemento dx es dxdq λ= El campo eléctrico en P producido por este elemento es:

1231204

1 →→

= rrdqEd

πε

Donde 1212→→→

−= rrr y →→

−= 1212 rrr con

ixr ˆ1 =→

y jrr ˆ2 =→

ixjrr ˆˆ12 −=→

⇒ ( ) 212212 xrr +=

Luego: ( )

( )ixjrxrdxEd ˆˆ

41

23220

−+

=→ λ

πε

o

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+=

→

ixr

xdxjxr

rdxEd ˆˆ4 23222322

0πελ

El campo eléctrico total lo encontraremos integrando desde −∞=x hasta ∞=x .

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

→

ixr

xdxjxr

rdxE ˆˆ4 23222322

0πελ

= [ ]2104

II −πελ

Integrando I1:

( )∫∞

∞− += 23221

xrrdxI

Cambiando variable: θtanrx = ⇒ θθdrdx 2sec=

Los límites −∞=x → 2πθ −=

y ∞=x .→ 2πθ =

De aquí

2

2

2

21

sencos1π

π

π

πθθθ

−−

== ∫ rd

rI =

r2

Integrando I2:

( )∫∞

∞− += 23222

xrxdxI

= ( )∫∞

∞− +2322 xr

xdx = ( )∞

∞−+− 2122

1xr

= 0

Valor que esperábamos para I2 ya que al haber simetría los componentes horizontales se anulan entre sí. Finalmente, reemplazando los valores de I1 e I2.

ir

E ˆ2 0πελ

=→

Como el campo sale radialmente, el resultado puede escribirse.

rr

E ˆ2 0πελ

=→


19

Recta finita. Para el caso de una recta finita la variación son los límites, veamos por ejemplo, encontrar el campo eléctrico en el punto P de la figura

Aquí x varía de 1l−=x a 2l=x Integrando

2

1

2

1

sencos11

θ

θ

θ

θ

θθθr

dr

I == ∫

= ( )12 sensen1 θθ −r

= ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+212

12

1212

22

21l

l

l

l

rrr

( )∫− += 2

123222

l

l xrxdxI =

( )2

1

2122

1l

l−+−

xr

= ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+− 212

12

1212

22

2

l

l

l

l

rr

El campo eléctrico es [ ]2104

IIE −=→

πελ

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+=

→

jrrr

E ˆ14 212

12

1212

22

2

0 l

l

l

l

πελ

+ ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+i

rrˆ

2121

2

1212

22

2

l

l

l

l

Si l1 = l2 = l

( ) jrr

E ˆ214 212

22

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

→

l

l

πελ

( ) jrr

Q ˆ4

1212

22

0 l+=

πε

Donde λl2=Q Ejemplo 32. La carga positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje de las x de x = 0 a x = a. Hay una carga puntual q situada sobre el eje de las x en x = a + r, una distancia r a la derecha del extremo de Q.

a) Calcule las componentes x e y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en puntos sobre el eje positivo de las x donde x > a. b) Calcule la fuerza (magnitud y dirección) que la distribución de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que si r >> a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamente

204/ rQq πε . Explique por qué se obtiene este

resultado.

Solución.

a) Sobre el eje x: 20 )(4

1ra

dqπε

dEx +=

⇒ ∫ =−+

=a

x xraaQdx

πεE

02

0 )(41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−rara

Qπε

114

1

0

y 0=yE .

b) Si xra =+ ,

luego ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

xaxaQ

πεE 11

41

0

⇒

ixaxa

qQπε

FqF ˆ 114

1

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==

→→

c) Para ax >> ,

)1)1(( 1 −−= −xaax

kqQF

)11( −⋅⋅⋅++= xaax

kqQ

≈≈ 2xkqQ .

41

20 r

qQπε

(Observe que para xaxrax ≈−=>> , ). La distribución de carga parece como la de un punto lejano. Ejemplo 33.La carga positiva + Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje positivo de las x de x = 0 a x = a. La carga negativa - Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje negativo de las x, de x = 0 a x = - a. Hay una carga puntual positiva q sobre el eje positivo de las y, a una distancia y del origen. a) Halle la fuerza (magnitud y dirección) que las distribuciones de carga positiva y negativa


20

ejercen en conjunto sobre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a y cuando y >> a. b) Suponga ahora que la carga puntual positiva q está sobre el eje positivo de las x, a una distancia x > a del origen. Halle la fuerza (magnitud y dirección) que la distribución de carga ejerce sobre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a x cuando x >> a. Solución. a)

Campo debido a la carga + Q

jEiEE QyQxQ ˆˆ +++

→

+−= Componente en x.

( ) 222204

1xy

xxy

dxdE Qx++

=+λ

πε

( ) 232204

1xy

xdx+

=λ

πε

Integrando

( )∫∫ +== ++

a

QxQxxy

xdxdEE0 2322

04πελ

( )

a

xyaQ

0

21220

14 +

−=πε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−= 21220 )(

114

1ayya

Qπε

Componente en y.

( ) 222204

1xy

yxy

dxdE Qy++

=+λ

πε

Integrando

( )∫∫ +== ++

a

QyQyxy

dxydEE0 2322

04πελ

( )a

xyyxy

0

2122204 +

=πελ

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

ya

aya

y 212204πε

λ

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

yayyQ 11

4 21220πε

Campo debido a la carga – Q

jEiEE QyQxQ ˆˆ −−−

→

−−= Componente en x.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=− 21220 )(

114

1ayya

Qπε

E Qx

Componente en y.

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−=− yayy

QE Qy11

4 21220πε

Las componentes y del campo eléctrico se cancelan, y las componentes en x de ambas cargas se suman

( )iEEE QxQxTotal ˆ−+

→

+−= ⇒

iayya

Qπε

ETotal ˆ)(

112

12122

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=→

La fuerza sobre la carga q debido a este campo eléctrico.

TotalEqF→→

=

iayya

Qqπε

F ˆ)(

112

12122

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=→

i

yaay

Qqπε

ˆ

1

112

121

2

20

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= ⇒

iy

aayQq

πεF ˆ...

211

21

2

2

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−=

→

Si ay >> ,

iya

πεQqF ˆ

4 3

2

0

−→

b) Si la carga puntual está ahora sobre el eje x las dos partes de la barra proveen fuerzas diferentes, aun en el eje x. Campo debido a la carga + Q


21

( )i

xxdx

πεEd Q ˆ

''

41

20 −

=+

→ λ

( )∫∫=

=+

→

+

→

−==

ax

xQQ i

xxdx

aQ

πεEdE

'

0' 20

ˆ'

'4

1

( ) ixxa

Qπε

ax

x

ˆ'

124

1'

0'0

=

=−=

( ) ixaxa

Qπε

ˆ112

10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

La fuerza sobre q es

ixaxa

Qqπε

EqF QQ ˆ112

10

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−== +

→

+

→

Campo debido a la carga – Q

( )i

xxdx

πεEd Q ˆ

''

41

20 −

−=−

→ λ

( )∫∫−=

=−

→

−

→

−−==

ax

xQQ i

xxdx

aQ

πεEdE

'

0' 20

ˆ'

'4

1

( )

ax

xxxaQ

πε

−=

=−−=

'

0'0 '12

41

( )[ ] ixaxa

Qπε

ˆ112

10 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

−=

( ) ixaxa

Qπε

ˆ112

10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−=

La fuerza sobre q es

ixaxa

Qqπε

EqF QQ ˆ112

10

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−== −

→

−

→

Luego,

QQTotal FFF −

→

+

→→

+=

iaxaxa

Qqπε

ˆ112

10

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

( )iaxQq

πεˆ4

41

220 −

=

Para ax >>

ixQq

πεF Total ˆ4

41

20

≈→

Ejemplo 34. Campo eléctrico en el eje de un anillo de radio R y carga λ Coulombios/metro

Solución. Consideremos un elemento de anillo ld , determinado por el ángulo θ y barrido por θd de tal manera que θRdd =l . La carga del elemento ld es

θλλ Rdddq == l El campo eléctrico producido por este elemento en P es

1231204

1 →→

= rrdqEd

πε

Donde 1212

→→→

−= rrr y →→

−= 1212 rrr

con jRiRjyixr ˆ senˆ cosˆˆ1 θθ +=+=→

y kzr ˆ2 =→

jRiRkzr ˆ senˆ cosˆ12 θθ −−=→

,

( ) 212212 Rzr +=

Luego

( ) ( )jRiRkzRz

RdEd ˆsenˆcosˆ4

12322

0

θθθλπε

−−+

=→

O

( )( )jdRidRkzd

RzRdE ˆsenˆcosˆ

4 23220

θθθθθπε

λ−−

+=

→

El campo eléctrico total lo encontramos integrando desde 0=θ hasta πθ 2= .


22

∫→→

=π2

0EdE =

La primera integral es π2 , las dos últimas son 0, como era de esperar ya que sobre el eje la resultante del campo eléctrico por simetría debe ser vertical. Finalmente el Campo es

( )k

RzRzE ˆ

2 23220 +

=→

ε

λ

Si el anillo tiene una carga total Q:

λπRQ 2= y ( )k

RzQzE ˆ

4 23220 +

=→

πε

Ejemplo 35. Un conductor de forma anular con radio a = 2,50 cm tiene una carga positiva total Q = + 0,125 nC distribuida uniformemente en toda su circunferencia, como se muestra en la figura. El centro del anillo está en el origen de coordenadas O. a) ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud y dirección) en el punto P, que está sobre el eje de las x en x = 40,0 cm? b) Se coloca una carga puntual q = - 2,50 �C en el punto P descrito en el inciso (a). ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la carga q sobre el anillo?

Solución. Para un anillo con carga, el campo eléctrico está dado por:

a) iax

Qxπε

E ˆ)(4

12322

0 +=

→

tal que

m0,025 C,10125,0 9 =×= − aQ y

.CNˆ0,7m4,0 iEx =⇒=→

b) →→→

−=−= EqFF q sobreanillo el sobre

)ˆ)(7,01050,2( 6 i−×−−=

Nˆ101,75 -5i×= Ejemplo 36. Un segmento de línea de carga positiva, tiene una densidad lineal de carga

uniforme λ . Este se dobla en la forma indicada en la figura.

Halle: a) el campo eléctrico generado por la semicircunferencia en el punto O. b) el campo eléctrico generado por cada porción recta en el punto O. c) la fuerza eléctrica que ejercerá una carga puntual positiva q ubicada en el punto O sobre la línea de carga completa. Solución. a)

( )ji

RdqEd ˆsenˆcos

4 20

θθπε

−−=→

= ( )jiR

d ˆsenˆcos4 0

θθπεθλ

−−

( )∫ −−=→ π

θθθπελ

00

ˆsenˆcos4

djiR

E

= jR

ˆ2 0πελ

−

b) Campo debido al lado izquierdo:

ix

dxix

dqEd ˆ4

ˆ4 2

02

0 πελ

πε==

→

Integrando:

∫−

−

→

=R

Rizquierda

xdxiE

3 20

ˆ4πελ

=R

Rxi

−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

30

1ˆ4πελ

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

RRi

311ˆ

4 0πελ = i

Rˆ

6 0πελ

Similarmente encontramos el campo debido al lado derecho:

iR

E derecha ˆ6 0πε

λ−=

→

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝ ⎛ − −

+ ∫ ∫∫ π π π

θθθ θ θ πε

λ 2 0

2 0

2 0 2 3 2 2

0 ˆsenˆcos ˆ

4 jdR id Rk d z

R z R


23

c) Si colocamos una carga q en el punto O,

totalEqF→→

= = jR

q ˆ2 0πε

λ−

Aplicando la tercera ley de Newton, la línea será empujada por una fuerza igual a:

jR

q ˆ2 0πε

λ

Ejemplo 37. En la figura se muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de carga λ constante. El hilo se encuentra en el plano yz y es un arco (de abertura 2α) de una circunferencia de radio R y centro en el origen. Determine el campo eléctrico que el hilo produce en el punto P (x, 0, 0).

Solución.

El campo en el punto P debido a la carga diferencial dq = λRdα es

kdEjdEidEEd zyxˆˆˆ ++=

→

Donde

βθλ cos)(4

122

0 xRRd

πεdEx +

=

2/1

)()(41

22220 xR

xxR

Rdπε ++

=θλ

θλ xd

xRR

πε 2/3220 )(4

1+

=

θβθλ sensen)(4

122

0 xRRd

πεdEy +

=

θθλ sen)()(4

12/12222

0 xRR

xRRd

πε ++=

θθλ dRxRR

πεsen

)(41

2/3220 +

=

θβθλ cossen)(4

122

0 xRRd

πεdEz +

=

θθλ cos)()(4

12/12222

0 xRR

xRRd

πε ++=

θθλ dRxRR

πεcos

)(41

2/3220 +

=

Reemplazando tenemos:

⎢⎣

⎡

++=

→

ixR

xxR

Rdπε

Ed ˆ)()(4

12/12222

0

θλ

⎥⎦

⎤

++

++ k

xRRj

xRR ˆcos

)(ˆsen

)(2/12/1 2222

θθ

( ixdxRR

πεˆ

)(41

2/3220

θλ+

=

)kdRjdR ˆcosˆsen θθθθ ++ Integrando

∫→→

= EdE

(∫+=

−=+=

απθ

απθθλ 2

22/322

0

ˆ)(4

1 ixdxRR

πε

)kdRjdR ˆsenˆsen θθθθ ++

( )kRixxRR

πεˆsenˆ

)(2

41

2/3220

ααλ−

+=

El campo eléctrico en el punto P es:

( )kRixxRR

πεE ˆsenˆ

)(2

41

2/3220

ααλ−

+=

→

Ejemplo38. La figura muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de cargaλ. El tramo be es la mitad de una circunferencia de radio R y


24

centro en O. El tramo ab es recto, de longitud 2R y paralelo a la línea bO

a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle la magnitud del campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O y el ángulo que forma con la dirección. Solución. a) Tramo ab Campo eléctrico en O debido a la carga del elemento diferencial dx

ixR

dxπε

ixR

dqπε

Ed ab ˆ)3(4

1ˆ)3(4

12

02

0 +=

+=

→ λ

Integrando

ixR

dxπε

EdERab

ab ˆ)3(4

0

2 20∫∫ −

→→

−==

λ

R

ixR

dxπε

2

00

ˆ)3(4

−

−−=

λ

iRRπε

ˆ131

4 0⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

λ

iRπεR

iπε

ˆ63

2ˆ4 00

λλ==

El campo eléctrico es

iRπε

Eab ˆ6 0

λ=

→

Tramo bc Campo eléctrico en O debido a la carga del elemento diferencial Rdθ

( )jiR

dqEd bc ˆsenˆcos4 2

0

θθπε

+=→

( )jiR

Rd ˆsenˆcos4 2

0

θθπε

θλ+=

( )∫∫ +==→→ π

θθθπελ

00

ˆsenˆcos4

djiR

EdEbc

bc

jR

jR

ˆ2

ˆcos4 0

00 πε

λθπελ π

==

El campo eléctrico es

jR

Ebc ˆ2 0πελ

=→

b)

El campo eléctrico total es

jR

iR

EEE bcabn ˆ2

ˆ6 00 πε

λπελ

+=+=→→→

Su magnitud 2

0

2

0 26 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RREn πε

λπελ

RR 0

220

2777,061

21

πελ

πελ

=+=

El ángulo que forma con el eje x

3

6

2tan

0

0 ==

R

R

πελπελ

β ⇒

º56,71=β Ejemplo 39. Campo eléctrico en el eje de un disco de radio R y carga σ C/m2.

Solución.


25

Consideremos un elemento anular de radio r y espesor dr cuya superficie es rdrdA π2= , con carga rdrdAdq 2 σπσ == . El Campo eléctrico producido por este elemento en P es: (Utilizando el resultado obtenido para un anillo).

( )k

rzzdqdE ˆ

4 23220 +

=→

πε

⇒ ( )k

rzrdrzdE ˆ

2

23220 +

=→

ε

σ

El Campo eléctrico total lo encontramos integrando desde 0=r hasta Rr = .

( )∫∫+

==→→ RR

krz

rdrzEdE0 2322

00

ˆ 2εσ

= ( )

krz

zR

ˆ1 2

0

21220 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

εσ

( )k

RzzE ˆ 1

2 21220 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

→

εσ

Si la carga total del disco es Q: 2 RQ πσ=

y ( )

kRzz

RQE ˆ 1

2 212220 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

→

πε

Para el caso de un PLANO INFINITO la integración se realiza desde 0=r hasta

∞=r y el campo eléctrico es

kE ˆ2 0εσ

=→

Ejemplo 40. Ahora veamos el Campo eléctrico en el eje producido por un cilindro de radio R, largo L y carga ρ C/m3.

Solución. Para evaluar el Campo eléctrico en el punto P, tomemos un elemento diferencial con forma de disco de radio R y espesor dz cuyo volumen es

dzRdV 2π= y su carga dzRdVdq 2ρπρ == .

El Campo eléctrico producido por este elemento en el punto P es: (utilizando el resultado del disco)

( )( )[ ] k

Rzz

zzRdzREd ˆ

12 2122

0

02

0

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−−=

→

περπ

El Campo eléctrico total lo encontramos integrando desde 2Lz −= hasta 2Lz = .

( )( )[ ] k

Rzz

dzzzdzEdE

L

L

L

L

L

Lˆ

22

2 21220

02

20

2

2 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−−== ∫∫∫ −−−

→→

ερ

( )[ ]{ } kRzzzEL

Lˆ

2

2

2

21220

0−

→

+−+=ερ

kRLzRLzLE ˆ222

21

22

0

21

22

00 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

→

ερ

Ejemplo 41. Campo eléctrico producido por una carga σ C/m2 distribuida sobre une superficie esférica de radio R.

Solución. Tomemos un anillo diferencial determinado por el ángulo θ y barrido por θd , su área es:

θθπ RdRdS )sen2(= , Donde R = radio de la esfera

θπ sen2 R = circunferencia del anillo θRd ancho del anillo

Su Carga es θθπσσ RdRdSdq )sen2(== El Campo producido por este elemento en el punto P es (utilizando la expresión del Campo eléctrico obtenido para un anillo)

[ ]( )kRdREd ˆ4

cos)sen2(3

0l

l

πεφθθπσ

=→

kdREd ˆ4

cossen2

0

2

θπε

φθσl

=→

(1)

Aplicando la ley de los cosenos al triángulo OPM

φcos2222 rrR ll −+= y θcos2222 RrrR −+=l

De la primera obtenemos:


26

rRr

l

l

2cos

222 −+=φ

Derivando la segunda:

θθdRrd sen22 =ll ⇒ Rrdd ll

=θθsen

Sustituyendo φcos y θθdsen en la ecuación (1)

kdRrr

REd ˆ14 2

22

20

ll ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

→

εσ

Para obtener el campo eléctrico total integrarnos entre

Rr −=l y Rr +=l

∫∫+

−

+

−

→→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+==

Rr

Rr

Rr

RrkdRr

rREdE ˆ1

4 2

22

20

llε

σ

= ( ) kRr

rR

Rr

Rr

ˆ4

22

20

+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

ll

εσ

= ( )kRrR ˆ4

4

20ε

σ = k

rR ˆ

20

2

εσ

Siendo la carga total 24 RQ πσ=

Tenemos para Rr > : krQE ˆ

41

20πε

=→

En el caso de entrar el punto P dentro de la esfera o sea Rr < , los límites son:

rR −=l y rR +=l

De aquí: ( ) kRr

rRE

rR

rR

ˆ4

22

20

+

−

→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

ll

εσ

= ( ) 0ˆ04

2

0

=krR

εσ

En resumen

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒<

=⇒=

=⇒>

→

→

→

0 Para

ˆ4

Para

ˆ4

Para

20

20

ERr

kR

QERr

kr

QERr

πε

πε

Ejemplo 42. Se tiene carga eléctrica distribuida uniformemente a lo largo de los lados de un cuadrado. Dos lados adyacentes tienen carga positiva total + Q en cada uno. a) Si los otros dos lados tienen carga negativa con una carga total - Q en cada uno, ¿cuáles son las componentes x e y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado? La longitud de cada lado es a.

b) Repita el cálculo del inciso (a) suponiendo ahora que los cuatro lados tienen cada uno una carga positiva + Q.

Solución. a) El campo eléctrico a una distancia x en el bisector de un segmento de recta de largo a y carga Q está dado por

( )222

041

axx

Qπε

E+

=

Campo eléctrico de las cargas positivas

220

222

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=+

aaa

QE Qx πε

20

2aQ

πε−=

220

222

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=+

aaa

QE Qy πε

20

2aQ

πε−=

( )jiaQE Q ˆˆ2

20

+−=+

→

πε

Campo eléctrico de las cargas negativas


27

( )jiaQE Q ˆˆ2

20

+−=−

→

πε

El campo eléctrico total

QQTotal EEE −

→

+

→→

+=

( )jiaQ ˆˆ22

20

+−=πε

b) Si todos los lados del cuadrado tienen cargas iguales, los campos eléctricos se cancelan por simetría en el centro del cuadrado. LÍNEAS DE FUERZA ELÉCTRICA Para una mejor visualización del campo eléctrico →

E Faraday ideó un modelo de campo eléctrico formado por líneas de fuerza. La relación entre las líneas de fuerza y el vector campo eléctrico son: a) La tangente a una línea de fuerza en un punto

cualquiera de la dirección de →

E en ese punto. b) Las líneas de fuerza se dibujan de tal manera que el número de ellas por unidad de área que

atraviesan sea proporcional a la magnitud de →

E ,

es decir donde las líneas están cercanas, →

E es

grande y donde están separadas, →

E es pequeño. Si tenemos una carga puntual positiva las líneas de fuerza salen de ella. En los puntos cercanos las líneas están más juntas que en los alejados lo que nos muestra que el campo eléctrico es más intenso cerca y se va disipando a medida que el punto se aleja de la carga.

Las líneas de fuerza de una carga negativa se representan como líneas que van hacia la carga.

Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando un pequeño electrodo cilíndrico que se carga con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo para una carga puntual

Si dibujamos los vectores del campo eléctrico →

E en los varios puntos alrededor de nuestra distribución de carga, una figura del campo eléctrico comienza a emerger.

En el caso de dos cargas diferentes la figura a continuación nos muestra las líneas de fuerza


28

Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando dos electrodos cilíndricos que se cargan de distinto signo con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo de dos cargas eléctricas puntuales de distinto signo.

En el caso de dos Cargas positivas iguales la figura siguiente nos muestra las líneas de fuerza.

Por medio del uso de aceite, semillas de grama y empleando dos electrodos cilíndricos que se cargan de igual signo con el generador de Wimshurt, se obtienen las líneas de campo para dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo.

FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO. Vemos que las líneas salen o entran hacia la carga en forma de un flujo de Campo eléctrico. Para poder encontrar una relación cuantitativa entre 1as líneas de fuerza y la intensidad del campo eléctrico definimos que el número de líneas ΔΦ que ocupa un elemento de superficie

SΔ , perpendicular a ésta, como el promedio de la intensidad de campo ( )nE en SΔ , es decir:

SEnΔ=ΔΦ

Para poder relacionar el número de líneas con el campo eléctrico en cualquier punto, hacemos que

0→ΔS y EdSd =Φ . Para quitar la restricción de perpendicularidad de la superficie a las líneas de fuerza (es decir el campo eléctrico) podemos escribir vectorialmente

→→

⋅=Φ SdEd El número de líneas a través de una superficie S será

∫∫→→

⋅=Φ=Φ SdEd

A esto se llama propiamente FLUJO ELÈCTRICO. Ejemplo 43. Encuentre el flujo total debido a una carga puntual q. Solución. A una distancia r de la carga el campo eléctrico

es: rrqE ˆ

41

20πε

=→

, ese campo atraviesa

una superficie dSrSd ˆ=→

.

El flujo eléctrico a través de →

Sd es

∫∫∫ ⋅=⋅=Φ=Φ→→

SSdSrr

rqSdEd ˆˆ

41

20πε

∫=ΦSdS

rq

204

1πε

El valor de ∫→

SSd , siendo el lugar geométrico de

un punto a una distancia r de la carga puntual es

el área de una esfera de radio r: 24 rSdS

π=∫→

Luego: 2

20

20

44

14

1 rrqdS

rq

Sπ

πεπε==Φ ∫


29

0εq

=Φ

Ejemplo 44. En el centro geométrico de un cubo de 2 m de arista tenemos una carga de 50 Cμ . Calcular el flujo eléctrico que atravesará a cada una de las caras del cubo. (El medio que se considera es el vacío).

Solución. El flujo total debido a la carga es

0εq

=Φ

Como el cubo tiene seis caras y la carga está en el centro geométrico de éste, el flujo que atraviesa una de ellas será:

066 εq

c =Φ

=Φ = ( )12

6

1085415,861050

−

−

××

= 0,94 x 106 C

Nm2

Ejemplo 45. Una superficie cuadrada plana con lados de longitud L se describe mediante las ecuaciones Lx = Ly ≤≤0 Lz ≤≤0 a) Dibuje este cuadrado mostrando los ejes x, y y z. b) Halle el flujo eléctrico a través del cuadrado debido a una carga puntual positiva q situada en el origen (x = 0, y = 0, z = 0). (Sugerencia: Piense en el cuadrado como en parte de un cubo centrado en el origen). Solución. a)

b) Imagine una carga q en el centro de un cubo de arista 2L.

La figura muestra la cara delantera del cubo, el flujo a través de esta cara es la sexta parte del flujo total.

06εq

=Φ

El cuadrado es 1/4 del área de la superficie de la cara del cubo imaginario, luego el flujo a través de la superficie cuadrada dada es

024εq

=Φ

Ejemplo 46. En la superficie cerrada de la figura a = 0,5 m, b = 0,4 m, c = 0,3 m e y0 = 0,2 m. El campo electrostático en que está sumergida no es homogéneo y viene dado en el SI por

( ) jyE ˆ34 2+=→

. Determinar la carga neta encerrada en la superficie.

Solución. Aplicando la definición de flujo a cada una de las áreas que forman el paralelepípedo las únicas en que éste no es cero son las paralelas al plano xz (en las demás es nulo puesto que el vector campo electrostático y los vectores área son perpendiculares); llamando A1 la que dista y0 del plano xz y A2 la que dista y0 + b, y teniendo en

cuenta que →

E y sus vectores área son paralelos:

∫∫∫→→→→→→

⋅+⋅=⋅=Φ21

2211 SSSSdESdESdE

( ) jyE ˆ34 201 +=

→

, jdSSd ˆ11 −=

→

y

( )[ ]jbyE ˆ34 202 ++=

→

, jdSSd ˆ22 =

→


30

Con esto: ( ) ( )[ ]∫∫ ++++−=Φ

212

201

20 3434

SSdSbydSy

= ( ) ( )[ ]acbyacy 20

20 3434 ++++−

= ( )023 ybabc + Como este flujo es debido a la carga encerrada

en la superficie tenemos: 0ε

q=Φ

Igualando: ( )0

023εQybabc =+

⇒ ( ) 0023 εybabcQ += Ejemplo 47. Una carga puntual q se encuentra a una distancia d en el eje de un disco de radio R. ¿Cuál es el flujo a través de este disco? Solución.

La figura muestra una sección dS perteneciente al disco de radio R.

El flujo a través de dS es: →→

⋅=Φ SdEd Donde:

( )( )kjidr

qE ˆ sensenˆ cosˆ cossen4 22

0

θββθβπε

+++

=→

jrdrdSd ˆ θ=→

:

De aquí ( )2204

cosdr

rdrdqd+

=Φπε

θβ, como

( ) 2122cos

drd+

=β :

( ) 232204

dr

rdrdqdd+

=Φπε

θ

E]. flujo a través del disco es:

( )∫ ∫+

=ΦR

drrdrdqd

0

2

0 232204

π

πε

θ

= ( )

π

θπε

2

00 2322

04

∫+

R

drrdrqd

= ( )∫+

R

drrdrqd

0 232202

ε

= ( )

R

drqd

0

212202

+

−ε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+− 2122

0

112 drdqdε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+− 2122

0

12 dr

dqε

Ejemplo 48. Los lados del cubo de la figura tienen una longitud L = 10,0 cm. El campo eléctrico es uniforme, su magnitud es E = 4,00 x 103 N/C, y es paralelo al plano xv con un ángulo de 36,9° medido desde el eje de las + x hacia el eje de las + y. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo S1, S2, S3, S4, S5 y S6? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo?

Solución.

a) →→

⋅=Φ AE

( )jiEE ˆ8,0ˆ6,0 +=→

, nAA ˆ=→

( )njiEA ˆˆ8,0ˆ6,0 +=Φ

E = 4,00 x 103 N/C, A= 0,12 = 10-2 m2 EA = 40 Nm2/C Cara S1:

jn ˆ1 −= ( ) ( )jjiEA ˆˆ8,0ˆ6,01 −⋅+=Φ

EA8,0−= = - 32 Nm2/C Cara S2:

kn ˆˆ2 =

( ) 0ˆˆ8,0ˆ6,02 =+=Φ kjiEA Cara S3:

jn ˆˆ3 =

( ) jjiEA ˆˆ8,0ˆ6,03 +=Φ EA8,0= = 32 Nm2/C


31

Cara S4:

kn ˆˆ4 −=

( )( ) 0ˆˆ8,0ˆ6,04 =−+=Φ kjiEA Cara S5:

in ˆˆ5 =

( )ijiEA ˆˆ8,0ˆ6,05 +=Φ EA6,0= = 24 Nm2/C Cara S6:

in ˆˆ6 −=

( ) ( )ijiEA ˆˆ8,0ˆ6,06 −⋅+=Φ EA6,0−= = - 24 Nm2/C b) El flujo total a través del cubo debe ser cero.

06543216 =Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ Todo flujo que ingresa al cubo debe también salir. Ejemplo 49. Las tres esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q1 = 4,00 nC, q2 = - 7,80 nC y q3 = 2,40 nC. Halle el flujo eléctrico neto a través de cada una de las superficies cerradas siguientes, las cuales se muestran en corte transversal en la figura: a) S1 b) S2 c) S3 d) S4 e) S5 f) ¿Dependen sus respuestas de (a) a (e) de cómo está distribuida la carga en cada esfera pequeña? ¿Por qué?

Superficie Cargas que

encierra S1 q1 S2 q2 S3 q1 y q2 S4 q1 y q3 S5 q1 y q2 y q3 Solución. a)

0

9

0

1 1000,41 εε

qS

−×==Φ

= 452 Nm2/C b)

0

9

0

2 1080,72 εε

qS

−×−==Φ

= - 881 Nm2/C c)

0

9

0

21 10)80,700,4()(3 εε

qqS

−×−=

+=Φ

= - 429 Nm2/C d)

0

9

0

21 10)40,200,4()(4 εε

qqS

−×+=

+=Φ

= 723 Nm2/C: e)

0

321 )(5 ε

qqqS

++=Φ

( )

0

91040,280,700,4ε

−×+−=

= - 158 Nm2/C: f) Toda que importa para la ley del gauss es la cantidad total de carga encerrada por la superficie, no su distribución dentro de la superficie LA LEY DE GAUSS Consideremos una carga puntual q y encontremos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la carga.

El Campo eléctrico de la esfera es producido por la carga en cada punto

rr

qE ˆ4 2

0πε=

→

El flujo a través de la esfera es →→

⋅=Φ ∫ SdES

donde dSrSd ˆ=→

y dSrrr

qS

ˆˆ4 2

0

⋅=Φ ∫ πε = ∫SdS

rq

204πε

= ( )22

0

44

rr

q ππε

= 0ε

q

En resumen:

0ε

qSdES

=⋅=Φ→→

∫

El flujo a través de la esfera es proporcional a la carga es independiente del radio de la superficie.


32

Consideremos ahora el caso de una carga q encerrada por una superficie arbitraria S como se muestra en la figura siguiente.

El flujo a través de le superficie S es

→→

⋅=Φ ∫ SdES

Como dSnSd ˆ=→

dSnES

ˆ⋅=Φ ∫→

= ∫S dSE cosθ

= ∫S dSr

q cos4 2

0

θπε

= ∫S rdSq

20

cos4

θπε

Pero

Ω= drdS 2cosθ ⇒ Ω= dr

dS2

cosθ , el

ángulo sólido subtendido por el elemento de

superficie dS , luego. ∫ Ω=Φ dq

04πε

como el ángulo sólido total es π4 :

( )00

44 ε

ππε

qq==Φ

Este resultado es el mismo que en el caso de una superficie esférica, por lo tanto válido para cualquier superficie. Si la carga está fuera de la superficie cerrada, el flujo a través de dS1 es igual pero opuesto al flujo a través de dS2

de aquí que el flujo neto es igual a cero. Si hay varias cargas dentro de la superficie arbitraria, el flujo total es igual a la suma de los flujos producidos por cada carga.

Con todo esto podemos establecer la ley de Gauss. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra varias cargas es:

∑∫ =⋅=Φ→→

0εi

S

qSdE

Esta ecuación derivada para cargas puntuales puede aplicarse para cualquier configuración, notando que la integral en caso que no exista simetría geométrica se complica en su solución.

∫∫ =⋅=Φ→→

QS

dqSdE0ε

Ejemplo 50. Deducir la ley de Coulomb para dos cargas puntuales q1 y q2 partiendo de la ley de Gauss. Solución. Aplicando la ley de Gauss y el concepto de flujo a una superficie esférica en cuyo centro se encuentra la carga eléctrica q1, deducimos:

0

1

041

επεq

E =

0

124ε

πq

rESdES

==⋅=Φ→→

∫

⇒ 21

041

rq

Eπε

=

Si colocamos la carga q2 en un punto en que el campo sea E, la fuerza electrostática sobre esta

carga será: 2

21

02 4

1rqq

EqFπε

==

Obsérvese que este ejemplo es lógicamente recíproco; sin embargo, demuestra la equivalencia entre las leyes de Gauss y de Coulomb. Ejemplo 51. Se tiene una línea infinita con una carga de densidad lineal uniforme λ C/m. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia r de la línea? Solución. En este caso la superficie gausiana conveniente es un cilindro de radio r y longitud l como se muestra en la figura siguiente.


33

Aplicando la ley de Gauss.

qSdE =⋅→→

∫0ε

La superficie la podemos suponer en 3 partes: (1) y (3) las tapas y (2) el cilindro propiamente dicho. La carga encerrada por la superficie es

lλ=q

lλε =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅∫ ∫∫

→→→→→→

1 320 SdESdESdE

Como E es perpendicular a la línea.

01

=⋅∫→→

SdE y ∫ =⋅→→

20SdE

Luego lλε =⋅∫→→

20 SdE ⇒ ( ) ll λπε =rE 20

y r

E02πε

λ=

Vectorialmente

rr

E ˆ2 0πελ

=→

Ejemplo 52. Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial. σ ¿Cuál es el Campo eléctrico a una distancia r del plano? Solución. Aquí conviene como superficie gausiana un cilindro de sección A y longitud 2r, como se muestra en la figura siguiente.

Aplicando la ley de Gauss

qSdE =⋅→→

∫0ε

Aquí nuevamente tenemos las tapas y el cilindro propiamente dicho, como el campo eléctrico es perpendicular al plano la integral en la superficie lateral es igual a cero, quedando solo la parte de las tapas, la carga encerrada es igual a Aq σ= .

( ) AEAEA 0 σε =+ ⇒ 02ε

σ=E

Vectorialmente rE ˆ2 0εσ

=→

El Campo es independiente de r.

Ejemplo 53. Una carga se distribuye con densidad uniforme ρ a través del volumen de una gran placa aisladora fina de espesor 4a. Calcule el campo en todo el espacio, suponga que la placa es paralela al plano xy y que el origen esta en el centro de la placa. Sugerencia, use la simetría del problema y evalúe para toda altura z. Solución. a) Para aza 22 ≥≤−

0

ˆεqdSnE =⋅∫

→

⇒

0

4ε

ρ aAEAEA =+ ⇒

aE0

2ερ

=

Para aza 22 <<−

0

ˆεqdSnE =⋅∫

→

⇒ 0

2ε

ρ zAEAEA =+

⇒ zE0ερ

=

Ejemplo 54. Dos láminas grandes de plástico, no conductoras, cada una con un espesor de 10,0 cm, tienen densidades de carga uniformes σ1, σ2, σ3 y σ4 en sus superficies, como se muestra en la figura . Los valores de estas densidades superficiales de carga son u1 σ1= - 6,00 μC/m2, σ2= + 5,00 μC/m2, σ3 = + 2,00 μC/m2 y σ4 = + 4,00 μC/m2. Utilice la ley de Gauss, para hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes, alejados de los bordes de estas láminas, a) Punto A, a 5,00 cm de la cara izquierda de la lámina de la izquierda. b) Punto B, a 1,25 cm de la superficie interna de la lámina de la derecha. c) Punto C, en medio de la lámina de la derecha.


34

Solución. a) en A:

iEE A ˆ1−=→


( )0

43211 2ε

σσσσ +++=E

Reemplazando valores ( )

20

1 mC

24256 μ

εE +++−

=

= 2,82 x 105 N/C El campo eléctrico en A:

iE A ˆ N/C 102,82 5×−=→

b) en B

( )iEEE B &&32 −−=→

( )

0

212 2ε

σσ +=E ,

( )0

433 2ε

σσ +=E


20

20

2 mC

21

mC

256 μ

εμ

ε−=

+−=E

= -0,56 x 105 N/C

( )2

02

03 m

C26

mC

242 μ

εμ

ε=

+=E

= 3,36 x 105 N/C El campo eléctrico en B:

( ) iEB ˆ N/C 1056,036,3 5×+−=→

i N/C 103,92 5×−= c) en C:

( )iEEEC &&54 −−=→

( )

0

3214 2ε

σσσ ++=E ,

0

45 2ε

σ=E


20

20

4 mC

21

mC

2256 μ

εμ

ε=

++−=E

= 0,56 x 105 N/C

20

20

5 mC

24

mC

24 μ

εμ

ε==E

= 2,24 x 105 N/C El campo eléctrico en B:

( ) iEB ˆ N/C 1056,024,2 5×−−=→

i N/C 101,68 5×−= Ejemplo 55. Se tiene dos planos conductores infinitos paralelos separados una distancia d, uno con densidad de carga σ+ y el otro con densidad de carga σ− . ¿Cuál será el valor del Campo eléctrico entre ellos y fuera de ellos?

Solución. Cálculo por la ley de Gauss directamente.


35

El campo fuera de las placas: Con la superficie gaussiana (a).

AASdESdESdE σσε −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅∫ ∫∫

→→→→→→

1 320

( ) 000 =++ EAEAε ⇒ 0=E El campo eléctrico fuera de las superficies es cero. El campo entre las placas: Primera manera: Usando la superficie gausiana (b).

ASdESdESdE σε −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅∫ ∫∫

→→→→→→

1 320

En la superficie que mira hacia afuera

E = 0: ⇒ 01

=⋅∫→→

SdE

En la cara lateral E es perpendicular a la superficie

∫ =⋅→→

20SdE

En la superficie que mira hacia adentro:

EASdE −=⋅∫→→

3

Luego:

AEA σε −=− 0 ⇒ 0εσ

=E

Segunda manera: Usando la superficie gaussiana (c).

ASdESdESdE σε =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅∫ ∫∫

→→→→→→

1 320

En la superficie que mira hacia afuera

E = 0: ⇒ 01

=⋅∫→→

SdE

En la cara lateral E es perpendicular a la

superficie ∫ =⋅→→

20SdE

En la superficie que mira hacia adentro:

EASdE =⋅∫→→

3

Luego:

AEA σε =0 ⇒ 0εσ

=E

Las cargas se colocan en las superficies interiores de los planos, frente a frente a frente como se muestra en la figura a continuación.

Cálculo por superposición. Este problema se puede resolver por el método de la superposición. El campo debido al plano con carga positiva se indica en la figura siguiente.

El campo debido al plano con carga negativa se indica en la figura siguiente.


36

Cuando los planos están uno frente al otro, los campos se superponen y obtenemos los campos tal como se muestra en la figura siguiente.

Fuera de los planos: 022 00

=−=εσ

εσE

Entre los planos 000 22 εσ

εσ

εσ

=+=E

Cálculo por distribución de las cargas. Originariamente las cargas están distribuidas como se muestra en las figuras siguientes: El plano con carga positiva.

El plano con carga negativa.

Cuando los planos están cercanos, El plano con carga positiva influye sobre el otro y recíprocamente, como se muestra en la figura

Aquí aplicamos la ley de Gauss a cualquiera de los planos y obtenemos los resultados anteriores. Ejemplo 56. Encontrar la distribución de cargas y el campo eléctrico en los espacios A, B, C y D en el dispositivo de la figura para: a) la llave S abierta. b) Después de cerrar la llave S.

Solución. a) La carga σ2+ se distribuye σ+ en cada cara y la carga σ− se distribuye 2σ− en cada cara e inducen las cargas tal como se muestra en la figura siguiente.


37

Los campos eléctricos se pueden hallar haciendo superficies gaussianas tal como se muestran en la figura siguiente.

b) Cuando se conecta a tierra tenemos una fuente inagotable y receptor de carga negativa y las cargas se acomodan tal como se muestra en la figura siguiente.

Los campos eléctricos se pueden hallar haciendo superficies gaussianas como las mostradas. Ejemplo 57. Tres láminas aislantes grandes paralelas tienen densidades superficiales de carga de σ 1 = + 0,0200 C/m2, σ 2 = + 0,0100 C/m2 y σ 3 = – 0,0200 C/m2, respectivamente. Las láminas adyacentes están a una distancia de 0,300 m una de la otra. Calcule el campo

eléctrico neto (magnitud y dirección) debido a las tres láminas en a) el punto P (0,150 m a la izquierda de la lámina I) b) el punto R (equidistante de las láminas I y II) c) el punto S (equidistante de las láminas II y III) d) el punto T (0,150 m a la derecha de la lámina III).

Solución. La figura muestra los campos eléctricos producidos por cada uno de los tres planos.

a) Campo eléctrico en P

0

3

0

2

0

1

2

22 εσ

εσ

εσ

EP

+−−=

000 2

0200,020100,0

20200,0

εεε+−−=

02

0100,0ε

−= CN1065,5 8×−=

⇒CNˆ1065,5 8iEP ×−=

→

b) Campo eléctrico en R

0

3

0

2

0

1

2

22 εσ

εσ

εσ

ER

+−+=

000 2

0200,020100,0

20200,0

εεε+−+=

02

0300,0ε

+= CN1069,1 9×=


38

⇒CNˆ1069,1 9 iEP ×=

→

c) Campo eléctrico en S

0

3

0

2

0

1

2

22 εσ

εσ

εσ

ES +++=

000 2

0200,020100,0

20200,0

εεε+++=

02

0500,0ε

+= CN1082,2 9×=

⇒CNˆ1082,2 9 iES ×=

→

d) Campo eléctrico en T

0

3

0

2

0

1

2

22 εσ

εσ

εσ

ET

−++=

000 2

0200,020100,0

20200,0

εεε−++=

02

0100,0ε

+= CN1065,5 8×=

⇒CNˆ1065,5 8 iET ×=

→

Ejemplo 58. Con respecto a la situación descrita en el problema anterior, halle la fuerza en cada unidad de área (magnitud y dirección) que ejercen sobre cada una de las láminas I, II y III las otras dos láminas,

Solución.

Sobre la lámina I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−==

0

321Ien

1I sobre

2εσσ

σEAq

AF

0

4

21000,2ε

−×= 2

7

mN1013,1 ×+=

Hacia la derecha. Sobre la lámina II

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++==

0

312IIen

2II sobre

2εσσ

σEAq

AF

0

4

21000,4ε

−×= 2

7

mN1026,2 ×+=

Hacia la derecha. Sobre la lámina III

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++==

0

213IIIen

3III sobre

2εσσ

σEAq

AF

0

4

21000,6

ε

−×−=

mN1039,3 7×−=

Hacia la izquierda. Ejemplo 59. Se tiene dos hojas infinitas ubicadas en x = d y x = − d con cargas σ y

σ2− respectivamente, tal como se muestra en la figura.

a) Determine el campo eléctrico en todo el espacio. b) Si entre las placas colocamos una placa infinita conductora descargada de espesor t. ¿Cuales son las densidades de carga superficiales inducidas sobre la placa?

c) Si con un alambre conductor muy delgado conectamos a la placa conductora con la hoja


39

que está ubicada en x = d, ¿cuál es la densidad de carga superficial de esta hoja? Solución. Nota: la solución es considerando como si la carga se distribuyera uniformemente en los planos infinitos, lo que no es así, ya que están frente a un borde, motivo es porque la carga debe estar concentrada en una línea e ir haciéndose mas tenue hasta cero en el infinito. Las densidades de carga en los bordes también tienen ese problema, aun más considerando que son de espesor muy pequeño (el que debería de ser conocido) a) Distribución de las cargas.

El campo eléctrico:

Para dx −< : iE ˆ2 0εσ

=→

Para dx −> : iE ˆ2 0εσ

=→

Para dxd <<− : iE ˆ23

0εσ

−=→

b) Las cargas se acumulan en los bordes tal como se muestra en la figura

c) Si se conecta con un alambre conductor muy delgado a la placa conductora con la hoja que está ubicada en x = d, la densidad de carga superficial de esta hoja queda tal como se indica en la figura siguiente.

Ejemplo 60. Se tiene una esfera no conductora de radio R con densidad de Carga por volumen ρ . ¿Cuál es el valor del campo eléctrico para todo punto? Solución.

Para Rr <

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒ ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 32

0 344 rrE πρπε

⇒ rE03ε

ρ=

Vectorialmente →→

= rE03ε

ρ

Para Rr =

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒ ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 32

0 344 RRE πρπε

⇒ RE03ε

ρ=

Vectorialmente rRE ˆ3 0ερ

=→

Para Rr >

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒

( ) QRrE =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 32

0 344 πρπε ⇒ 2

04 rQE

πε=

Vectorialmente rr

QE ˆ4 2

0πε=

→


40

Si la esfera fuera conductora toda la carga estaría concentrada en la superficie y el Campo eléctrico en el interior o sea para Rr < seria nulo.

Ejemplo 60. Como una variante veamos el caso de una esfera no conductora con una cavidad concéntrica. Solución.

Sean los radios de la esfera a y b. Para ar < Como no hay carga encerrada por la superficie gausiana

0=E Para bra <<

qSdE =⋅→→

∫0ε

⇒ ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 332

0 34

344 arrE ππρπε

⇒ ( )

2

33

03 rarE −

=ερ

Vectorialmente ( )r

rarE ˆ

3 2

33

0

−=

→

ερ

Para br >

qSdE =⋅→→

∫0ε

⇒ ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 332

0 34

344 abrE ππρπε

⇒ ( )

20

2

33

0 43 rQ

rabE

πεερ

=−

=

Vectorialmente rr

QE ˆ4 2

0πε=

→

En el ejemplo siguiente presentamos un caso de asimetría geométrica que es posible resolver con la ley de Gauss. Ejemplo 61. Para la configuración mostrada en la figura, suponga que a = 5,0 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Suponga también que se mide un valor de campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 3,6 × 103 N/C radialmente hacia adentro en tanto que el campo eléctrico en un punto a 50 cm del centro es 3,6 ×102 N/C radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre: a) la carga sobre la esfera aislante. b) la carga total sobre la superficie exterior de la esfera conductora hueca. c) la carga neta sobre la esfera conductora hueca d) el potencial eléctrico en un punto a 20 cm del centro.

Solución. La figura muestra la distribución de cargas en el sistema.

a) Para encontrar Q1


41

Encontremos el campo el eléctrico en un punto a 10 cm del centro.

rrQE ˆ

41

21

0πε=

→

Para r = 10 cm, N/C ˆ106,3 3rE ×−=→

( )rQr ˆ

1,0109ˆ106,3 2

193 ×=×−

C 104109

10106,3 99

23

1−

−

×−=×

××−=Q

b) Para encontrar Q2

Encontremos el campo el eléctrico en un punto a 50 cm del centro.

rrQE ˆ

41

21

0πε=

→

Para r = 50 cm, N/C ˆ106,3 2 rE ×=→

( )rQr ˆ

5,0109ˆ106,3 2

292 ×=×

C 1010109

25,0106,3 99

2

2−×=

×××

=Q

c) la carga neta sobre la esfera conductora hueca es QN = Q2 – Q1 = 10 × 10-9 – (- 4 × 10-9 = 14 × 10-9 C d) El potencial eléctrico en un punto a 20 cm del centro. El potencial en la superficie exterior de la esfera conductora es

V 36025,01010109

25,041 9

92

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××==

−QVπε

Como es una esfera hueca conductora el potencial es igual para todo punto del elemento, como un punto a 20 cm del centro pertenece a la esfera hueca su potencial es 360 V. Ejemplo 62. Campo eléctrico dentro de un átomo de hidrógeno. Un átomo de hidrógeno se compone de un protón con carga + Q = 1,60 x 10-19 C y un electrón con carga - Q = 1,60 x 10-19 C. Se puede considerar el protón como una carga puntual en r = 0, el centro del átomo. El movimiento del electrón provoca que su carga esté “difusa” en una distribución esférica en torno al protón, por lo que el electrón es equivalente a una carga en la unidad de volumen de

( )0/2

30

arr e

aQ −−=π

ρ

a0 = 5,29 x 10-11 m, llamado radio de Bohr. a) Halle la cantidad total de la carga del átomo de hidrógeno que está encerrada dentro de una esfera de radio r centrada en el protón. Demuestre que, cuando r → ∞, la carga encerrada tiende a cero. Explique este resultado. b) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) producido por la carga del átomo de hidrógeno en función de r. c) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. Fórmulas útiles.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=∫ 2

22 22aa

xxa

edxexax

ax

( )330

2 23aa

dxex ax =Γ

=−∞

∫

Solución. a) Carga del átomo de hidrógeno que está encerrada dentro de una esfera de radio r centrada en el protón

( ) ∫−= ρdVQQ r

( )0/2

30

arr e

aQ −−=π

ρ

drrdV 24π=

( ) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= −r ar

r drreaQQQ

0

2230

40 ππ

∫ −+=r ar drer

aQQ

0

2230

04

( ) ( ) ( )

rar

aarr

ae

aQQ

02

00

2

0

2

30 2

222

24 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−

−+=

−


42

r

ar arareaQQ

0

20

022

20 2

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= −

QarareaQQ ar +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= −

22 2

00

2220

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= −

222

20

022

20

0arare

aQQ ar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−= − 1222

020

222 00

ar

areQe arar

Cuando r tiende a infinito.

( ) ∫∞ −

∞ +=0

2230

04 dreraQQQ ar

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 3

0

30 2

24

a

aQQ

0=−= QQ b) El campo eléctrico es radialmente hacia afuera, y su magnitud es

( )2

041

rQ

E r

πε=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

−

12224 0

20

22

20

20

0

ar

are

rQeE ar

ar

πε

c) Grafico de la magnitud del campo eléctrico E en función de r.

Ejemplo 63. Una distribución de carga no uniforme, pero esféricamente simétrica, tiene una densidad de carga ( )rρ que es como sigue:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rr

r 10ρρ para Rr ≤

( ) 0=rρ para Rr ≥

Donde 303RQ

πρ = es una constante positiva,

a) Demuestre que la carga total contenida en la distribución es Q. b) Demuestre que el campo eléctrico en la región

Rr ≥ es idéntico al que produce una carga puntual Q en r = 0. c) Obtenga una expresión del campo eléctrico en la región Rr ≤ . d) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. e) Halle el valor de r en el que el campo eléctrico es máximo, y encuentre el valor de ese campo máximo. Solución. a) La carga total:

( )dVqV

r∫= 0ρ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rr

r 10ρρ

drrdV 24π=

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rdrr

Rrq

0

20 41 πρ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rdrr

Rr

0

20 14πρ

0

3

0

43

0 3434 ρππρ R

Rrr

R

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

Reemplazando 303RQ

πρ = :

QRQRq == 3

3 33 π

π

b) ,Rr ≥ .

Aplicando la ley de Gauss Toda la cargaQ está encerrada


43

0

24ε

π QrE = ⇒

2204

1rQ

rE

πε=

Igual que una carga puntual. c) Rr ≤

Carga encerrada

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

rdrr

Rrq

0

20 41 πρ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

rdrr

Rr

0

20 14πρ

r

Rrr

0

43

0 434 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= πρ

0

43

434 ρπ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Rrr

Reemplazando 303RQ

πρ = :

( ) 3

43 343

4RQ

Rrrq r π

π ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Rrr

RQ

434 4

33


0

43

32 4

34

4ε

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Rrr

RQ

rE ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

02 4

3Rr

Rr

RQEεπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rr

RQrE 34

41

30πε

d)

e) )(0 RrrE

≤=∂∂

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

=∂∂

Rr

RQr

rrE 34

41

30πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

=Rrr

rRQ 2

30

344

1πε

0644

13

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

=Rr

rRQ

πε ⇒

Rr32

máx = .

Luego

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3234

32

41

30

RR

RRQEmáx πε

( ) 2

02

0 34

4124

32

41

RQ

RQ

πεπε=−=

Ejemplo 64. Se tiene una esfera dieléctrica de radio a cargada con densidad de carga

volumétrica ar

0ρρ = , donde ρ0 es una

constante y r es la distancia al centro de la esfera. La esfera está rodeada por un cascarón conductor concéntrico de radio interior b y radio exterior c. La carga del cascarón es cero. a) Hallar la carga total de la esfera dieléctrica. b) hallar la densidad superficial de carga de cada superficie del cascarón conductor. c) Halle el campo eléctrico en todo punto del espacio. Solución. a) La figura muestra un elemento diferencial dV de la esfera dieléctrica.


44

La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:

∫= VdVQ ρ

drrdV 24π=

drrarQ

a 2

0 0 4πρ∫=

30

0

40

0

30

444 ar

adrr

a

aa

πρπρπρ=== ∫

En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma: b) La figura muestra la distribución de cargas del sistema.

2

3

02

30

2 444 ca

ca

cQ

ex ρπ

πρπ

σ ===

Densidad de carga de la superficie interior del cascarón conductor.

2

3

02

30

2 444 ba

ba

bQ

in ρπ

πρπ

σ −=−=−

=

c) El campo eléctrico en r < a

rrqE ˆ

41

20πε

=→

40

0

40

0

30

444 r

ar

adrr

aq

rr πρπρπρ

=== ∫

rra

rr

raE ˆ

4ˆ

41 2

0

02

40

0 ερ

πρ

πε==

→

El campo eléctrico en a < r < b

rrQE ˆ

41

20πε

=→

30aQ πρ=

rr

rr

raE ˆ4

ˆ4

12

0

02

430

0 ερπρ

πε==

→

El campo eléctrico en b < r < c

0=→

E El campo eléctrico en r > c

rrQE ˆ

41

20πε

=→

30aQ πρ=

rr

rr

raE ˆ4

ˆ4

12

0

02

430

0 ερπρ

πε==

→


45

Ejemplo 65. Una carga positiva Q está distribuida uniformemente en cada uno de los dos volúmenes esféricos de radio R. Una esfera de carga está centrada en el origen, y la otra, en x = 2R. Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos distribuciones de carga en los puntos siguientes sobre el eje de las x: a) x = 0; b) x = R/2; c) x = R; d) x = 3R.

Solución. Densidad de carga de las esferas

33 4

3

34 R

Q

R

Qππ

ρ ==

Aplicando la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico para r < R.

0

3

0

3

2 434

4ερπ

ε

πρπ rr

rE == ⇒

rE0ερ

=

→→→

== rRQrE 3

00 41

3 πεερ

a) Para x = 0

01 =→

E , ( )

iRQE ˆ

241

20

2πε

−=→

( ) iRQEEE x ˆ

441

20

210πε

−=+=→→

=

→

b) Para x = R/2

iRQiR

RQE ˆ

241ˆ

241

20

30

1πεπε

==→

( )i

RQi

RQE ˆ

94

41ˆ

2341

20

20

2πεπε

−=−=→

iR

QEEE Rx ˆ184

12

0

212 πε

=+=→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

→

c) Para x = R

iRQE ˆ

41

20

1πε

=→

, iRQE ˆ

41

20

2πε

−=→

( ) 021 =+=→→

=

→

EEE Rx Los campos de las dos esferas se cancelan, d) Para x = 3R

( )i

RQE ˆ

341

20

1πε

=→

, iRQE ˆ

41

20

2πε

=→

iRQEEE Rx ˆ

910

41

20

212

3

πε=+=

→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

→

Los campos de las dos esferas contribuyen al campo apuntando a la derecha. Ejemplo 66. Se tiene una esfera conductora con una cavidad esférica en su interior como se muestra en la figura, y densidad de carga ρ . ¿Cuál es el campo eléctrico en la cavidad?


46

Solución. Vamos a determinar el campo eléctrico en el punto P de la figura siguiente.

El Campo E en P es igual a: →→→

−= 21 EEE

Donde rE ˆ3 0

1 ερ

=→

y 'ˆ3 0

2 rEερ

=→

De allí que 'ˆ3

ˆ3 00

rrEερ

ερ

−=→

= ( )'ˆˆ3 0

rr −ερ

Pero iarr ˆ2'ˆˆ =−

Finalmente iaE ˆ23 0ερ

=→

Ejemplo 67. En un cilindro sólido aislante, muy largo y de radio R, se ha taladrado un hueco cilíndrico de radio a a todo lo largo del cilindro. El eje del hueco está a una distancia b del eje del cilindro, donde a < b < R. El material sólido del cilindro tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ . Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico E en el interior del hueco, y demuestre que E es uniforme en todo el hueco.

Solución. Primero encontramos el campo de un cilindro fuera del eje.

Aplicando la le de Gauss

0εencerradaqdE =⋅

→→

∫ l ⇒

0

2

2ερππ LrrLE = ⇒

rE02ε

ρ=

Vectorialmente →→

= rE02ε

ρ

Luego el campo eléctrico en un agujero en un cilindro.


47

Es la diferencia entre dos campos eléctricos de un cilindro sólido en el eje y otro fuera del eje.

→→

= rE0

12ερ

, →→

= '2 0

2 rEερ

→→→→→

−=−= '22 00

21 rrEEEερ

ερ

→→→

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= brr

00 2'

2 ερ

ερ

i2 0ερ=

Observe que →

E es uniforme dentro del hueco Ejemplo 68. Una carga se distribuye con densidad uniforme ρ a través del volumen de una gran placa aisladora fina de espesor 4a. Suponiendo que se quita algo de material, dejando una cavidad esférica de radio a colocada como se muestra en la figura, evalúe el vector de campo eléctrico en el punto P.

Solución.

jEkEE ˆˆ21 −=

→

Cálculo de 1E ⇒ aE0

1 ερ

=

Cálculo de 2E ⇒ 0

ˆεqdSnE =⋅∫

→

⇒ 0

3

22

34

4ε

πρπ

aaE = ⇒ aE

02 3ε

ρ=

22

21 EEE +=

= 2

0

2

0 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aa

ερ

ερ

= a0

05,1ερ

Ejemplo 69. Sea una esfera sólida aislante de radio a con una densidad volumétrica de carga

igual a ar

0ρρ = , donde 0ρ es una constante de

unidad C/m3. La esfera aislante está dentro de

una esfera conductora hueca concéntrica de radio interior b y radio exterior c. La carga neta de la esfera hueca conductora es igual a cero. a) Halle la carga total Q en la esfera aislante. b) ¿Cuál es la densidad superficial de carga en cada superficie de la esfera conductora? c) A partir de la ley de Gauss, deduzca las expresiones de la magnitud del vector campo eléctrico en términos de la distancia radial r, para las regiones: r < a, a < r < b, b < r < c y r > c. d) (1 punto) Grafique la magnitud del campo eléctrico en función de r desde r = 0 hasta r = 2c. Solución. a) La carga total Q en la esfera aislante es:

∫= VdVQ ρ ,

ar

0ρρ = y drrdV 24π=

drrarQ

a 2

0 0 4πρ∫= = ∫a

drra0

30 4πρ

= a

ra 0

40 πρ = 3

0 aπρ

b) La densidad superficial de carga en la superficie interior de la esfera conductora (r = b).

2

30

2

30

44 ba

ba

bρ

ππρσ −=−=

La densidad superficial de carga en la superficie exterior de la esfera conductora (r = c).


48

2

30

2

30

44 ca

ca

cρ

ππρσ ==

c) El campo eléctrico: r < a, Para ar <

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒

( ) 400

3020 44 r

adrr

arE

rπρπρπε ∫ == ⇒

2

0

0

4r

aE

ερ

=

Para a < r < b,

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒ ( ) QrE =20 4πε ⇒

204 r

QEπε

= = 20

30

20

30

44 ra

raE

ερ

πεπρ

==

Para b < r < c E = 0 Para r > c.

qSdE =⋅→→

∫0ε ⇒ ( ) QrE =20 4πε ⇒

204 r

QEπε

= = 20

30

20

30

44 ra

raE

ερ

πεπρ

==

d) Gráfico del campo eléctrico en función de r desde r = 0 hasta r = 2c

Ejemplo 70. Cargas por inducción en cáscaras esferas conductoras concéntricas. Si una carga +q se encuentra en el centro de una cáscara esférica de metal. Encontrar el campo eléctrico fuera de la esfera. a) Cuando la cáscara está libre. b) Cuando la cáscara se conecta a tierra. Solución. a) Se observan los campos eléctricos inducidos por q y los inducidos en las superficies de la cáscara. En el centro de la cáscara el campo es cero, pues ambos campos se anulan. El campo fuera de la cáscara no es cero.

rrqE ˆ

41

20πε

=→

b) Al conectarlo a tierra en la superficie exterior desaparece la carga. El campo exterior es cero.

0=→

E

Ejemplo 71. Una bola que conductora pequeña de la masa 10-3 g suspendida de un hilo por medio de aislador a una placa conductora grande en posición vertical. Cuando la placa lleva una carga eléctrica de densidad superficial 5 x 10-8 C.m-2, la bola es rechazada de la superficie y el hilo queda formando un ángulo de 30° con la vertical. ¿Cuál es la carga que ha pasado a la bola?

Solución. Hay tres fuerzas que actúan sobre la bola, el peso mg que actúa hacia abajo, la fuerza F ejercida por la placa que actúa horizontalmente, y la tensión T en el hilo. Puesto que la bola está en equilibrio, las componentes horizontales y verticales de las fuerzas deben balancearse por separado. Así:

θcosTmg = y θsenTF = Dividiendo: θtanmgF =


49

Pero F = Eq, donde E es el campo eléctrico debido a la placa y q es la carga en la bola. ¿Además, 0tan εσθ qEqmgF === , dónde σ es la densidad de la carga en la placa. Así

σθε tan0mg

q =

= ( )( )( )( )

8

612

105318,91011085,8

−

−−

×××

= 1,00 x 10-9 C. Ejemplo 72. Una gota de aceite cargada de masa 2,5 x l0-4 g está en el espacio entre dos placas, cada uno de área 175 cm2. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5 x l0-7 C y la placa más baja una carga negativa igual, la gota sigue estando inmóvil. ¿Qué carga lleva? Solución. El campo eléctrico entre placas paralelas con cargas iguales y opuestas está dado por la

ecuación 0

0 εεσ

AQE == ,

donde Q y A son la carga y el área de la placa positiva. La fuerza sobre la gota del aceite es

0εAqQqEF == ,

y como esto balancea el peso de la gota,

0εAqQmg = ⇒

Q

mgAq 0ε=

= ( )( )( )( )7

1247

105,41085,8101758,9105,2

×××× −−−

= 8,43 x 10-13 C MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Considere una carga q conforme a un campo eléctrico uniforme en la dirección z. No considere la fuerza de la gravedad puesto que normalmente es mucho más pequeña que la fuerza eléctrica. La fuerza qE da lugar a la aceleración mqEmFaz == y 0=xa . Podemos determinar el movimiento usando las ecuaciones de la cinemática. Ejemplo 71. Dos placas paralelas muy grandes de metal separaron por una distancia pequeña d tienen cargas opuestas uniformes, creando en el

espacio entre ellas un campo eléctrico E uniforme. Un electrón de carga - e se lanza con velocidad inicial 0v a través de un agujero pequeño en la placa positiva. Viaja hasta medio camino en el espacio entre las placas antes de detenerse y tomar dirección contraria. ¿Cuál es el valor de E en términos de la velocidad inicial

0v ? Solución.

meE

mFax

−== y 022

02 =+= axvv en

2dz =

Luego ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

220 2

0d

meEv ⇒

edmv

E o2

=

Se puede también solucionar esto usando los principios de la energía. Así: Pérdida en K = trabajo hecho contra el campo eléctrico E:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

221 2

0deEmv ⇒

edmv

E o2

=

Ejemplo 73. a) ¿Cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícula de 1,45 g para que ésta permanezca inmóvil al colocarla en un campo eléctrico dirigido hacia abajo y cuya magnitud es 650 N/C? b) ¿Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerza eléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso? Solución. a)

Para que permanezca estático

→→

−= gmEq ⇒ jmgjqE ˆˆ −=

⇒ E

mgq −=

CN650

)sm8,9(kg)00145,0( 2

−=

C1019,2 5−×−= b) Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerza eléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso?


50

Peso del protón )sm 9,8(kg)1067,1( 227−×=pW

N 1037,16 27−×=

C101,60N 37,16' 19−×

==p

p

qW

E

C/N1002,1 7−×= , hacia arriba.

Ejemplo 74. Campo eléctrico de la Tierra. La Tierra tiene una carga eléctrica neta que crea en los puntos cercanos a su superficie un campo igual a 150 N/C y dirigido hacia su centro. a) ¿De qué magnitud y signo debe ser la carga que un ser humano de 60 kg tendría que adquirir para compensar su peso con la fuerza que ejerce el campo eléctrico terrestre? b) ¿Cuál seria la fuerza de repulsión entre dos personas que tuviesen cada una la carga calculada en el inciso (a) y estuviesen separadas por una distancia de 100 m? ¿Es el uso del campo eléctrico terrestre un medio viable para volar? ¿Por qué? Solución. a) El campo eléctrico de la tierra apunta hacia el centro de la tierra, Luego una carga NEGATIVA se presentará sobre la superficie.

qEmg = ⇒

C.92,3CN150

)sm8,9(kg)0,60( 2

−=−=q

b) 2

2

041

rq

πεF = 2

2

0 m)00,100(C)92,3(

41πε

=

N1038,1 7×= . La magnitud de la carga es demasiado grande para usos prácticos. Ejemplo 75. Se proyecta un electrón con una rapidez inicial 0v = 1,60 x 106 m/s hacia el interior de un campo eléctrico uniforme entre las placas paralelas de la figura. Suponga que el campo entre las placas es uniforme y su dirección es vertical descendente, y que el campo afuera de las placas es cero. El electrón entra en el campo en un punto equidistante de las dos placas.

a) Si el electrón pasa casi rozando la placa superior al salir del campo, halle la magnitud del campo eléctrico. b) Suponga que el electrón de la figura se sustituye por un protón con la misma rapidez inicial U. ¿Golpearía el protón en una de las placas? Si el protón no golpeara una de las placas, ¿cuál seria la magnitud y dirección de su desplazamiento vertical al salir de la región comprendida entre las placas? c) Compare las trayectorias recorridas por el electrón y el protón y explique las diferencias, d) Comente si es razonable pasar por alto los efectos de la gravedad en cada partícula.

Solución. a) Pasando entre las placas cargadas el electrón siente una fuerza hacia arriba, y pasa justo por el borde de la placa superior. La distancia que viaja en la dirección y es 0,005 m. El tiempo de vuelo es

sm1060,1m0200,0

6×=t = 1,25 x 10-8s.

Su velocidad inicial en y es yv0 es cero. La ecuación del movimiento del electrón

221

0 attvy y += Con los datos

⇒×= − 2821 s)1025,1( m 005,0 a

.sm1040,6 213×=a Pero también

emeE

mFa == ⇒

emaE e=

Luego ( )( )

19

1331

1060,110401011,9

−

−

×××

=E

= 34 N/C b) Puesto que el protón es más masivo, acelera menos, y no golpea las placas. Para encontrar el desplazamiento vertical cuando sale de las placas, utilizamos las ecuaciones de la cinemática otra vez:

2

21 aty = 28

p

s)1025,1(21 −×=

meE

m.1073,2 6−×=


51

c) Como se menciona en b), el protón no golpeará una de las placas porque aunque la fuerza eléctrica sentida por el protón es igual que la fuerza del electrón, da como resultado una aceleración menor para el protón más masivo. d) La aceleración producida por la fuerza eléctrica es mucho mayor que g; es razonable no hacer caso de la gravedad Ejemplo 76. Dos placas paralelas cargadas grandes se utilizan a menudo para crear un campo eléctrico uniforme E. Una partícula cargada disparada entre las placas será desviada por el campo eléctrico. Esta técnica se utiliza para desviar electrones en un tubo catódico (como en un osciloscopio) o para desviar gotitas de tinta en una impresora de inyección de tinta. ¿Suponga una partícula de masa m, carga q, y velocidad inicial 0v , lanzada paralela a las dos placas donde el campo eléctrico es E. La longitud de las placas es L. ¿A través de qué ángulo se desviará la partícula?

Solución. No hay ace1eration en la dirección x, tal que

tvL 0= donde t = tiempo entre las placas.

0vvx = = constante:

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

00 0

vL

mqEatvv yy

2000

1tanmvqEL

mvqEL

vvv

x

y =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==θ

⇒ 20

1tanmvqEL−=θ

Ejemplo 77. Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La velocidad inicial del protón tiene una magnitud 0v y está dirigida formando un ángulo � abajo de la horizontal. a) Halle la distancia máxima que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación inicial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias.

b) ¿Después de qué distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c) Dibuje la trayectoria del protón. d) Halle los valores numéricos de hmax y d si E = 500 N/C, 0v = 4,00 x l05 m/s y � = 30.,0°. Solución.

eEFy = 0=xF

pp meE

mF

a yy == 0=xa

a) ymeEαvyavv

pyyy Δ+=Δ+=

2sin2 220

20

2

maxhy =Δ cuando 0=yv

eEαmv

h p

2sin22

omax =⇒

b) 20 2

1 tatvy yy +=Δ

origtt = cuando 0=Δy

origorig0 21sin0 ttaαv y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒

Luego 0=Δyyaαv

tsin2

,0 0orig =

o eE

αmvt

sen2 p0orig =

ααeE

mvtvd x sencos

2 p20

orig0 ==

c)

d)

)500)(106,1(230sen)1067,1()104(

19

22725

max −

−

×°××

=h

= 0,42 m.

)500)(106,1(30sen30cos)1067,1()104(2

19

2725

−×°°××

=d

= 2,49 m.


52

Ejemplo 78. Un disco delgado con un orificio circular en su centro, conocido como corona circular, tiene un radio interno R1 y un radio externo R2 . El disco tiene una densidad superficial uniforme de carga positiva σ en su superficie. a) Halle la carga total de la corona circular. b) La corona circular yace en el plano xy, con su centro en el origen. Con respecto a un punto arbitrario sobre el eje de las x (el eje de la corona circular), halle la magnitud dirección del campo

eléctrico →

E . Considere puntos situados tanto arriba como abajo de la corona circular de la figura. c) Muestre que, en los puntos sobre el eje z que están suficientemente próximos al origen, la magnitud del campo eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia entre el centro de la corona circular y el punto. d) Una partícula puntual de masa m y carga negativa - q puede moverse libremente a lo largo del eje de las z (pero no puede apartarse del eje). La partícula esta originalmente en reposo en z0 = 0,01 R1 y luego se deja en libertad, Halle la frecuencia de oscilación de la partícula.

Solución. a) σRRπAσQ )( 2

222 −==

b) Campo eléctrico en el eje de un disco con densidad de carga σ

( ) kRzzEdisco ˆ 1

2 21220 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

→

εσ

Campo de la corona circular

( ) ( ) kRzz

RzzE ˆ 1 1

2 2121

22122

20 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

→

εσ

( ) ( ) kRzRz

z ˆ1 1 2 212

22212

12

0 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+=

εσ

c) En los puntos sobre el eje de las x que están suficientemente próximos al origen (R1 >> z), la magnitud del campo eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia z.

kRR

zE ˆ1 1 2 210

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

→

εσ

d) Si se coloca una partícula puntual con carga – q y masa m sobre el eje z. Estará bajo la acción de la fuerza zz qEF −= . Para (R1 >> z)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

210

1 1 2 RR

zEz εσ

Aplicando la segunda ley de Newton

zz maF =∑

zz qEF −= ••

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− zmz

RRεqσ

210

112

⇒

0112 210

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

••

zRRmε

qσz

02 =+••

zz ω Con la frecuencia angular

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

210

112 RRmεqσω ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

210

1122

12 RRmε

qσππ

ωf

Si la carga – q se coloca en z0 = 0,01 R1, esta oscilará de z0 a - z0, de acuerdo a la ecuación

tRz ωcos01,0 1=

POTENCIAL ELÉCTRICO INTRODUCCIÓN ¿Cuál es el trabajo que se realiza para llevar una carga pequeña de un lugar a otro? El trabajo contra la fuerza eléctrica para transportar una carga a lo largo de una trayectoria con velocidad constante es igual al negativo de la componente de la fuerza eléctrica en la dirección del movimiento,

Integrando en la trayectoria


53

→→

⋅−= ∫ ldFW2

112 →

F es la fuerza eléctrica sobre la carga en cada punto.

→

ld es el vector desplazamiento diferencial a lo largo de la trayectoria. Como la definición de la energía potencial se hace en términos de la diferencia de energía potencial, podemos escribir:

→→

⋅−==− ∫ ldFWUU2

11212

Es conveniente para nuestros .propósitos considerar el trabajo por unidad de carga y en éste caso la energía potencial se denomina simplemente potencial eléctrico. Nuevamente aquí la definición la hacemos en términos de la diferencia de potencial eléctrico V2 – V1.

→→

⋅−==− ∫ ldqF

qW

VV2

112

12

Donde q es la carga positiva usada para evaluar el trabajo

Como →

→

= EqF

, podemos escribir

→→

⋅−==− ∫ ldEVVV2

11212

La unidad de potencial eléctrico es igual a la unidad de trabajo por unidad de carga, en el sistema internacional es Joule/Coulombio (J/C), a. la que se le ha dado el nombre de Voltio (V). A partir de potencial eléctrico, podemos definir una nueva unidad de energía

1212 qVW = Si un electrón se mueve a través de una diferencia de potencial de un voltio, gana o pierde un electrón-voltio (eV) de energía. La conversión a las unidades SI la hacemos de la siguiente manera: V12 = 1 V y q = 1,6 x 10-19 C 1 eV = 1,6 x 10-19 VC = 1,6 x 10-19 J En estudios que implican partículas atómicas tales como electrones y protones, el electronvoltio es una unidad conveniente y muy comúnmente usada. Si el electronvoltio es demasiado pequeño, podemos medir la energía de la partícula en MeV (millones de electrón voltios) o GeV (mil millones de electrón voltios o Gigavoltios). 1 M eV ≡ 106 eV 1 GeV ≡ 109 eV

Ejemplo 79. Una carga puntual q1 se mantiene fija en el origen. Se coloca una segunda carga q. en el punto a y la energía potencial eléctrica d par de cargas es + 5,4 x10-8 J. Cuando la segunda carga se traslada punto b. la fuerza eléctrica sobre la carga realiza -1,9 x10-8 J de ni bajo. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del par de cargas cuando la segunda está en el punto b? Solución.

ffi UUUUW ⇒−=Δ−=×−= − J109,1 8 = 7,3 x 10-8 J. Ejemplo 80. Una esfera metálica pequeña, con una carga neta de q1 = - 2,8 μC, se mantiene en una posición fija por medio de soporte aislantes. Se proyecta hacia q1 una segunda esfera metálica pequeña con una carga neta de q2 = -7,50 μC y una masa de 1,50 g. Cuando las dos esferas están a 0,800 m una de la otra, q2 se traslada hacia con una rapidez de 22,0 m/s. Suponga que las dos esferas se pueden tratar como cargas puntuales. No considere la fuerza de gravedad. a) ¿Cuál es la rapidez de q, cuando las esferas están 0,400 m una de la otra? b) ¿Cuánto es lo más que q2 se acerca a q1?

Solución. a) q1 = - 2,80 μC, q2 = -7,50 μC ri = 0,800 m, v = 22,0 m/s La energía de la esfera con carga q2 en ri = 0,800 m = Energía cinética + energía potencial eléctrica.

iii UKE +=

i

i rqqmv 12

0

2

41

21

πε+=

2)0,22)(0015,0(21

=

800,0

)1050,7)(1080,2(4

1 66

0

−− ××+

πε

= 0,59925 J La energía de la esfera con carga q2 en rf = 0,400 m.

fff UKE +=


54

f

f rqqmv 12

0

2

41

21

πε+=

2)0015,0(21

fv=

400,0

)1050,7)(1080,2(4

1 66

0

−− ××+

πε

4725,0105,7 24 +×= −fv

Por conservación de la energía fi EE = ⇒

4725,0105,759925,0 24 +×= −fv

4105,7725)4,059925,0(

−×−

=fv = 13 m/s.

b) En el punto más cercano la velocidad es cero:

rqq 21

04159925,0πε

= ⇒

59925,041 21

0

qqrπε

=

59925,0

)1050,7)(1080,2(4

1 66

0

−− ××=

πε

= 0,315 m. POTENCIAL ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA CARGA PUNTUAL. Consideremos el campo debido a una carga q. Tenemos que encontrar la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 determinados por r1 y r2 respectivamente.

La trayectoria más fácil está mostrada en la

figura, no hay trabajo de 1 a l’ ya que →

E y →

ld .tienen direcciones perpendiculares en cada punto, luego queda solo la trayectoria de 1’ a 2.

→→

⋅−==− ∫ ldEVVV2

11212

Donde: rr

qE ˆ4 2

0πε=

→

, drrd ˆ=→

l

Reemplazando drrrr

qVV ˆˆ4

2

1 20

12 ⋅−=− ∫ πε

∫−=−2

1 220

12 4 rdr

rqVV

πε =

2

10

14 r

qπε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

12012

114 rr

qVVπε

Así como tomamos la trayectoria 1, 1’, 2 podríamos haber tomado cualquier trayectoria de 1 a 2 a la que se divide fácilmente en tramos de trayectoria circular y radial como se muestra en la figura siguiente.

De la ecuación ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

12012

114 rr

qVVπε

=

1020 44 rq

rq

πεπε− que nos da la diferencia de

potencial entre 1 y 2, es conveniente identificar arbitrariamente los términos como

202 4 r

qVπε

= y 10

1 4 rqV

πε= .

Escribiéndose el caso general de la manera siguiente.

( ) rqV r

04πε=

Cantidad que algunas veces se le denomina potencial absoluto. Como resultado de esta elección el potencial en el infinito es igual a cero. Ejemplo 81. Una carga puntual q1 = 4,00 nC se coloca en el origen, y una segunda carga puntual q2 = -3,00 nC sobre el eje de las x en x = + 20,0 cm. Se va a colocar una tercera carga puntual q3 = 2,00 nC sobre el eje de las x, entre q1 y q2. (Tome como cero la energía potencial de las tres cargas cuando la separación entre ellas es infinita). a) ¿Cuál es la energía potencial del sistema de tres cargas si se coloca en x = + 10,0 cm?


55

b) ¿Dónde se debe colocar q3 para que la energía potencial del sistema sea igual a cero? Solución.

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

23

21

13

21

12

21

041

rqq

rqq

rqqU

πε

⎢⎣

⎡ ×−×=

−−

)m200,0()1000,3)(1000,4(

41 99

0πε

)m100,0(

)1000,2)(1000,4( 99 −− ××+

⎥⎦

⎤××−+

−−

)m100,0()1000,2)(1000,3( 99

= -3,60 x 10-7 J. b) Si

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++==xr

qqxqq

rqqU

12

3231

12

21

0410,,0πε

Resolviendo para x encontramos:

xx −−+−=

2.068600 ⇒

06,12660 2 =+− xx ⇒

.m360,0m074,0

⎩⎨⎧

=x

De aquí m074,0=x porque es el único valor entre las dos cargas. Ejemplo 82. Una partícula con una carga de + 4,20 nC está inicialmente en reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido hacia la izquierda. Al quedar en libertad, la partícula se desplaza a la izquierda y, después de recorrer 6,00 cm, su energía cinética resulta ser de + 150 x l0-6 J. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza eléctrica? b) ¿Cuál es el potencial del punto de partida con respecto al punto final? c) ¿Cuál es la magnitud de E? Solución. a) qEdUW =Δ−=

J1050,1 6−×=Δ= K . b) El punto inicial estaba en un potencial más alto, cualquier carga positiva cuando es libre de moverse, se moverá de mayor a menor potencial.

C104,20J1050,1

9

6

−

−

××

=Δ

=ΔqUV = 357 V.

c) J1050,1 6−×=qEd ⇒

m)06,0()1020,4(J1050,1

9

6

−

−

××

=E = 5,95 x 103 N/C.

Ejemplo 83. Dos cargas puntuales q1 = - 2,40 nC y q2 = - 6,50 nC están a 0,100 m una de otra. El punto A está a medio camino entre ambas; el punto B está a 0,080 m de q1 y a 0,060 m de q2. Tome el potencial eléctrico como cero en el infinito. Halle a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de 2,50 nC que viaja del punto B al punto A.

Solución. a) En A:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

2

1

1

041

rq

rqVA πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+

×=

−−

0,051050,6

05,01040,2

41 99

0πε

= -738 V. b) En B:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

2

1

1

041

rq

rqVB πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+

×=

−−

0,061050,6

08,01040,2

41 99

0πε

= -705 V c) VqW Δ= = 33)()1050,2( 9 −× − = - 8,25 x 10-8 J. El signo negativo indica que el trabajo se realiza sobre la carga. El trabajo realizado por el campo es - 8,25 x 10-8 J. Ejemplo 84. Una carga positiva q está fija en el punto x = 0, y = 0. y una carga negativa - 2q está fija en el punto x = a, y = 0. a) Muestre las posiciones de las cargas en un diagrama. b) Deduzca una expresión del potencial Ven puntos sobre el eje de las x en función de la coordenada x. Tome V como cero a una distancia infinita de las cargas. c) ¿En qué posiciones sobre el eje de las x es V = 0?


56

d) Grafique V en puntos sobre el eje de las x en función de x en el intervalo de x = - 2a a x = + 2a. e) ¿Cómo cambia la respuesta al inciso (b) cuando x >> a? Explique por qué se obtiene este resultado. Solución. a)

b) ax > :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=ax

qxqV 2

41

0πε

)()(

41

0 axxaxq

−+−=

πε

ax <<0 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=xa

qxqV 2

41

0πε

)()3(

41

0 axxaxq

−−=

πε

0<x :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=ax

qxqV 2

41

0πε

)()(

41

0 axxaxq

−+=

πε

Observe: Esto se puede escribir como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

axq

xqV 2

41

0πε

c) El potencial es cero en ax −= y 3ax = .

d)

e) Para ax >> :

xq

xqxV

02

0 41

41

πεπε−=−≈ , el cual es el

mismo potencial de una carga puntual –q. (Observe: Las dos cargas deben ser sumadas con el signo correcto.) Ejemplo 85. A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la magnitud del campo eléctrico debido a esa carga son de 4,98V y 12,0 V m, respectivamente. (Tome el potencial como cero en el infinito). a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿Cuál es la magnitud de la carga? c) ¿Está dirigido el campo eléctrico hacia la carga puntual, o en sentido contrario? Solución. a) Sea d la distancia a la carga puntual al punto.

dVE = ⇒

CN0.12V98,4

==EVd

= 0,415 m.

b) dqV

041πε

= ⇒

90 109

)m415,0)(V98,4(41 ×

==πε

Vdq

= 2,30 x 10-10 C. c) El campo eléctrico está dirigido alejándose de q porque es una carga positiva. POTENCIAL ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA Para calcular el potencial de n cargas q1, q2, q3 …….qn situadas en r1, r2, r3 …….rn. El potencial eléctrico en el punto situado en r es igual a la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas.

( ) ∑=

→→

−=

n

ii

ir

rr

qV

104πε

Cuando la distribución de carga es continua tendremos: - Distribución volumétrica

( )( ) '

'41 '

0

dVrr

VV

rr ∫ →→

−=

ρπε

- Distribución superficial

( )( ) '

'41 '

0

dSrr

VS

rr ∫ →→

−=

σπε

- Distribución lineal


57

( )( ) '

'41 '

0

ll

drr

V rr ∫ →→

−=

λπε

Ejemplo 86. En la figura siguiente calcular el potencial eléctrico en el punto P producido por las cargas. Donde: q1 = 1x10- 9 C, q2 = 3x10- 9 C, q3 = - 2x10- 9 C, q4 = 2x10- 9 C y a = 1 m.

Solución. El potencial en el punto P es

( ) ∑=

→→

−=

n

ii

ir

rr

qV

104πε

En este caso es conveniente tomar como origen

el punto P de tal manera que 0=→

r y →→

− irr

para los cuatro casos es 2

2a o sea

22

metros.

Luego ( )

2241 4321

0

qqqqV

+++=

πε


22102102103101109

99999

−−−− ×+×−×+××=V

232=V = 45,12 voltios. Ejemplo 87. Dipolo eléctrico. El dipolo eléctrico consiste en dos cargas iguales y opuestas q y - q separadas una distancia pequeña 2a. Queremos encontrar el potencial eléctrico para puntos situados a una distancia r, para el caso de r >> a. Solución. La figura siguiente muestra un dipolo

El potencial en el punto P es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

2102010

11444 rr

qr

qr

qVπεπεπε

De la figura vemos

( ) 21221 cos2 aarrr +−= θ

21

2

2cos21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ra

rar θ

y 21

2

2

1

cos2111−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ra

ra

rrθ

Usando la expresión binomial para n = - ½

( ) ...83

2111 221 ++−=+ − xxx

En nuestro caso 2

2cos2ra

rax +−=

θ

de allí

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= .....cos2

83cos2

21111

2

2

2

2

2

1 ra

ra

ra

ra

rrθθ

Expandiendo términos y manteniendo sólo los términos con r2 y menores en el denominador ya que r >> a.

21

cos211r

arr

θ+≈

Procediendo de igual manera para r2

( ) 21222 cos2 aarrr ++= θ

22

cos211r

arr

θ−≈

Sustituyendo 1

1r

y 2

1r

en V tenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 22

0

cos21cos214 r

arr

ar

qV θθπε

= 204

cos2r

aqπε

θ

En esta expresión al producto 2aq lo llamaremos momento dipolo p. Luego


58

204

cosr

pVπε

θ=

donde la orientación de p es de - q a q para considerarlo vectorialmente, con esto el potencial eléctrico puede expresarse como producto escalar.

30

20 44ˆ

rrp

rrpV

πεπε

→→→

⋅=

⋅=

Ejemplo 88. Sean tres cargas puntuales de magnitud q ubicadas en vértices de un cubo de lado L, tal como lo muestra la figura. Determine: a) El potencial eléctrico en el vértice a producido por las 3 cargas. b) El trabajo externo necesario para desplazar una carga Q del vértice a al vértice b. c) La fuerza eléctrica que ejercen las cargas q sobre la carga Q ubicada en el punto b. d) Estando la carga Q en el vértice b se la deja libre. Las tres cargas q permanecen fijas en los vértices del cubo durante el desplazamiento de Q. ¿Cuál es la energía cinética máxima que adquirirá Q por acción de las tres cargas q?

Solución. a)

( ) ( ) ( )242424 000 Lq

Lq

LqVa πεπεπε

++= =

Lq

0423

πε

b) ( )bba VVQQVW −== →

Lq

Lq

LqVb

000 444 πεπεπε++= =

Lq

043πε

Luego: ( )ab VVQW −=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

211

43

0LQqπε

=( )

LQq

08223

πε−

c)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

→

2220

ˆˆˆ4 L

kLj

LiqEb

πε

= ( )kjiL

q ˆˆˆ4 2

0

++−πε

La fuerza sobre la carga Q en el punto b:

( )kjiL

QqF ˆˆˆ4 2

0

++−=→

πε, 2

043

LQqF

πε=

d) El potencial del punto con respecto al infinito es:

Lq

Lq

LqVb

000 444 πεπεπε++= =

Lq

043πε

La diferencia de potencial entre el punto b y el infinito es:

LqVVV b

043πε

=−=Δ ∞

Luego:

LqQVQKmáx

043πε

=Δ=

Ejemplo 89. La figura muestra ocho cargas puntuales dispuestas en los vértices de un cubo con lados de longitud d. Los valores de las cargas son + q y - q, como se indica. Este es un modelo de la celda de un cristal iónico cúbico. En el cloruro de sodio (NaCl), por ejemplo, los iones positivos son Na+, y los iones negativos, Cl-. a) Calcule la energía potencial U de este arreglo. (Tome como cero la energía potencial de las ocho cargas cuando están infinitamente lejos unas de otras). b) En el inciso (a) usted debió haber hallado que U < 0. Explique la relación entre este resultado y la observación de que los cristales iónicos de este tipo existen en la naturaleza.


59

Solución. a) La energía potencial de la energía potencial U de este arreglo es igual al trabajo realizado para formarlo. Es decir para colocar todas las cargas en su posición trayéndolas del infinito. Vamos a colocar las cargas una por una. Trabajo para colocar a la carga 1.

01 =U

Trabajo para colocar a la carga 2.

( )14

1 2

02 −=

dqU

πε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

211

41 2

03 d

qUπε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

212

41 2

04 d

qUπε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

31

221

41 2

05 d

qUπε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

31

222

41 2

06 d

qUπε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

31

232

41 2

07 d

qUπε


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

31

233

41 2

08 d

qUπε

El trabajo total

∑=

=8

1iiTotal UU

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−=3

42

12124

1 2

0 dq

πε


60

dq 2

91037,4 ×−=

b) El hecho de que la energía potencial eléctrica es menor que cero significa que es energéticamente favorable para que los iones cristalinos estén juntos. Ejemplo 90. Tres cargas puntuales, que inicialmente están infinitamente lejos unas de otras, se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lados d. Dos de las cargas puntuales son idénticas y su carga es q. Si el trabajo neto que se requiere para colocar las tres cargas en el triángulo es cero ¿cuál es el valor de la tercera carga? Solución.

Trabajo para colocar la primera carga:

01 =W Trabajo para colocar la segunda carga:

dqVqW

0

2

12 4πε=Δ=

Trabajo para colocar la tercera carga:

dQq

dq

dqQVQW

0033 24 πεπε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Δ=

Trabajo neto para colocar las tres cargas: 0321 =++= WWWW

042

4 00

2

=+d

Qqd

qπεπε

⇒ 2qQ −=

Ejemplo 91. Se tiene una línea de longitud L y con densidad de carga linealλ . Calcular el Potencial eléctrico a una distancia R sobre la línea perpendicular bisectriz.

Solución. Considerar el elemento dx, el Potencial que produce este elemento en el punto P es

( ) 212204

1

xR

dxdV+

=λ

πε

El potencial de toda la línea es

( )∫− += 2

2220

214

L

LxR

dxVπελ

o ( )∫

+= 2

0 220214

2 L

xR

dxVπελ

( ) 2

0

22

0

ln42

L

xRxV ++=πελ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++

=R

LRL42ln

42

22

0πελ

Podemos notar en este resultado que para el caso de una línea infinita, es decir para ∞=L el potencial es infinito, esto es porque nosotros para el potencial del elemento diferencial estamos considerando como referencia el infinito con potencial cero y esta línea cargada va hasta el infinito. Luego pera una línea infinita tenemos que tomar otro punto como referencia. Ejemplo 92. Una línea de carga de longitud 2a tiene una carga total Q. a) Demuestre que, si x >>0, V(x) tiende a

zQ 04/ πε . Interprete este resultado.

(Sugerencia: Cuando 1<<z , → ( ) zz ≅+1ln . b) Considere los puntos muy próximos a la varilla, tales que x << a. Simplifique la expresión V(x) con respecto a este caso especial. Compare el resultado ( ) ( )rRV ln2/ 0πελ= obtenido en el ejemplo 23.10 (sección 23.3) con respecto a un cilindro infinitamente largo con carga. ¿Qué corresponde a R en este límite? ¿Puede explicar este hecho? Solución. a) El potencial en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular de la varilla, a una distancia x de su

centro,⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++=

2424

ln22

22

axaaxa

akQV

ln2

)(22

22

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++=

axa

axaa

kQxV


61

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++

xaxa

xaxaa

kQ22

22

1

1ln

2

Si xaxaxa ±+<< 221,

xa

xa

xa

+≈±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≈ 1

211

2

, y

⋅⋅⋅++≈+ 2

21)1(ln ααα

⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≈

22

21

21

2 )(

xa

xa

xa

xa

akQxV

= x

kQxa

akQ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡2

2.

Esto es, una varilla finita actúa como una carga puntual cuando se está a gran distancia de ella. b) Del ejemplo 23.12:

ln2

)(22

22

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++=

axa

axaa

kQxV =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++

11

11ln

2 22

22

ax

axa

kQ.

Si 2

22

211111, ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+±≈±+<<

axaxax , y

⋅⋅⋅++≈+ 2

21)1(ln ααα

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≈

)2()22(ln

2)( 22

22

axax

akQxV

= )2(In14ln2 2

2

xaa

kQxa

akQ

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= )2ln(4 0

xaaπε

Q = )/2(ln

2λ

0

xaπε

Luego a

Q2

λ ≡ , y aR 2= cuál es la única

longitud natural en el problema. Ejemplo 93. Se tiene carga eléctrica distribuida uniformemente a lo largo de una varilla delgada de longitud a, con una carga total Q. Tome el potencial como cero en el infinito. Halle el potencial en los puntos siguientes: a) punto P, a una distancia x a la derecha de la varilla. ¿A qué se reduce su resultado a medida que x se hace mucho más grande que a?

b) punto R, a una distancia y arriba del extremo derecho de la varilla. ¿A qué se reduce su resultado a medida que y se hace mucho más grande que a?

Solución. a)

( )xxdxdVP +

='

'4

10

λπε

( )∫∫=

−= +==

0'

'0 '

'4

1 x

axPP xxdxdVV λ

πε

( )ax

xxxa −=+=

−ln

4'ln

4 0

0

0 πελ

πελ

Cuando ax >>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≈

−=

xa

axxVP 1ln

4ln

4 00 πελ

πελ

x

Qxa

00 44 πεπελ

=≈

b)

220 '

'4

1yx

dxdVR+

=λ

πε

∫∫=

−= +==

0'

' 220 '

'4

1 x

axPRyx

dxdVV λπε

( )022

0

''ln4 a

yxx−

++=πελ


62

( )aayy

−+=

220

ln4πελ

( )

yaay ++

=22

0

ln4πελ

Cuando ay >>

( )y

aayVR++

=22

0

ln4πελ

y

Qya

00 4ln

4 πεπελ

=≈

Ejemplo 94. Cuatro segmentos rectilíneos de carga forman un cuadrado con lados de longitud a. El potencial es cero en el infinito. Calcule el potencial en el centro del cuadrado si a) dos lados opuestos tienen cada uno una carga positiva + Q, y los otros dos, una carga negativa – Q. b) Si cada lado tiene una carga positiva + Q. Solución. El potencial eléctrico en la bisectriz de un segmento rectilíneo de longitud a y carga uniformemente distribuida Q:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++

=x

axa

aQV 42ln

2

22

0πε

a)

Para un cuadrado con dos conjuntos de lados con cargas opuestas, los potenciales se cancelan y

0=V . b)

Si todos los lados tienen la misma carga tenemos:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++

=x

axa

aQV 42ln2

22

0πε

Para 2ax =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++

=

2

442ln2

22

0a

aaa

aQVπε

( )aQ

aQ 12

0

10174,021ln2×=+=

πε

Ejemplo 95. Potencial eléctrico en el eje de un anillo de radio R y Carga λ C/m. Solución.

Consideremos el elemento de anillo ld determinado por el ángulo θ y barrido por θd de tal manera que θRdd =l . El potencial eléctrico debido a esta carga en el punto P es:

( ) 212204

1Rz

RddV+

=θλ

πε

El potencial debido a todo el anillo es

( ) ∫+

=πθ

πε

λ 2

0212204

dRz

RV

= ( ) 212202 Rz

R+ε

λ

En términos de la Carga total λπRQ 2= .

( ) 212204 Rz

QV+

=πε

Ejemplo 96. Dos anillos coaxiales uniformemente cargados de radios iguales R está en planos paralelos separados una distancia a, el


63

trabajo que se realiza para traer una carga q del infinito al centro de cada uno de los anillos es respectivamente A1 y A2. Encontrar les Cargas q1 y q2 que tienen los anillos. Solución.

El potencial en 1:

( ) 21220

2

0

11

44 Ra

qR

qV

++=

πεπε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

21

0 /141

Ra

qqRπε

El potencial en 2:

( ) 21220

1

0

22

44 Ra

qR

qV

++=

πεπε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

12

0 /141

Ra

qqRπε

El potencial en el infinito 0=∞V Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 1:

( )∞−= VVqA 11

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

21

0 /14 Ra

qqR

qπε

(1)

Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 2:

( )∞−= VVqA 22

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

12

0 /14 Ra

qqR

qπε

(2)

(1) y (2) son dos ecuaciones con incógnitas q1 y q2. Resolviendo (1) y (2) obtenemos:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

11

11

1

4

22

2

1

2220

1

21

Ra

AA

RaqRAq πε

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

11

11

1

4

22

1

2

2210

2

21

Ra

AA

RaqRA

qπε

Ejemplo 97. Una carga Q = - 800 nC se distribuye uniformemente en un anillo de radio de 2,4 m. Una carga q = + 600 nC se pone en el centro del anillo. Los puntos A y B están situados en el eje del anillo.

a) ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza externa que transporta un electrón de B a A? b) si el potencial eléctrico es igual a cero en un punto en el eje del anillo. ¿Cuál es la distancia de este punto del centro del anillo? c) Si se un electrón se lanza a lo largo del eje del anillo desde el infinito. El electrón llega y se detiene momentáneamente en un punto en el eje que está a 5,0 m del centro del anillo. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón en el infinito? d) Si una fuerza externa retira la carga q del centro del anillo y la transporta al infinito. ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza externa? Solución. a) ( )BAAB VVeW −=→

= ( ) ( )⎢

⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− 2122

0 4,28,18,14Qqe

πε

- ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− 2122 4,22,32,3

Qq

= -700 eV

b) ( )

04,2 2122

=+

−x

Qxq

⇒ m 2,7=x

c) ( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= 2122

0

20

4,20,50,5421 Qqevme πε

⇒ m/s 109 60 ×=v

d) ( )OO VVqW −= ∞∞→


64

=( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+∞−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2122

0 4,24,24QQq

πε

= + 1,8 x 10-3 J Ejemplo 98. Potencial eléctrico en el eje de un disco de radio R y carga σ C/m2. Solución.

Consideremos el anillo diferencial de radio r y superficie rdrdS π2= . El potencial debido a este anillo en el punto P es:

( ) 21220

24

1rzrdrdV

+=

πσπε

El potencial debido a todo el disco es

( )∫+

=R

rzrdrV

0 212204

2πεπσ

= ( ) Rrz

0

2122

02+

εσ

= ( )[ ]zrz −+2122

02εσ

En términos de le Carga total σπ 2RQ =

( )[ ]zrzRQV −+=

2122

022 επ

En este caso al igual que para la línea infinita, para el plano infinito hay que tomar otro punto de referencia diferente al infinito. Ejemplo 99. Se tiene un plano infinito con densidad de carga superficial σ1 (en el plano xz), y un segundo plano infinito con densidad de carga superficial σ2 (interfecta perpendicularmente al plano xy formando un ángulo de 37º con el eje x). Determine. a) La fuerza que ejercen los planos sobre una carga qo ubicada en el punto (0, 5, 0) m. b) El potencial eléctrico en el punto (0, 5, 0) m, sabiendo que el potencial en el punto (0, 10, 0) m es igual a V0.

Solución. a) El campo eléctrico en (0, 5, 0)

jE ˆ2

11

σ=

→

, ( )jiE ˆ8,0ˆ6,02

22 +−=

→ σ

( )jijEEE ˆ8,0ˆ6,02

ˆ2

2121 +−+=+=

→→→ σσ

( ) ji ˆ4,05,0ˆ3,0 212 σσσ ++−=

( )[ ]jiqEqF ˆ4,05,0ˆ3,0 21200 σσσ ++−==→→

b) El potencial en el punto (0, 10, 0)

( ) ( ) ( )

( )

( )

→→

•−= ∫ sdEVV0,5,0

0,5,0

0,10,00,10,00,5,0

( )dyV ∫ +−=5

10 210 4,05,0 σσ

( )210 4,05,05 σσ ++=V Ejemplo 100. ¿Cuál es el potencial en el eje producido por un cilindro de radio R, largo L y carga ρ C/m3. Solución.


65

Para evaluar el potencial eléctrico en el punto P, tomaremos un disco de ancho diferencial dz, cuyo volumen es dzRdV 2π= . El potencial debido al disco en el punto P es

( )[ ] ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−+−= zzRzz

RdzRdV 0

2202

0

2 21

2περπ

El potencial debido al cilindro es

( )[ ] ( )∫− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−+−= 2

20

220

0

21

2

L

L dzzzRzzVερ

( ) ( )[ ]⎩⎨⎧ +−−−=

212200

0 21

2Rzzzz

ερ +

( ) ( )2

2

2

022

002

2log

L

L

zzzRzzzzR−

+−⎭⎬⎫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += LzRLzLz 0

21

22

000 224ε

ρ

21

22

00 22 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− RLzLz

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+2

2

00

22

002

22

22log

RLzLz

RLzLzR

Ejemplo 101. Se tiene una esfera de radio R con carga uniforme de densidad ρ C/m3. Encontrar el potencial para todo punto. Considerar el potencial en el infinito igual a cero. Solución. Para r > R Por la ley de Gauss

rr

Qrr

RE ˆ4

ˆ3 2

02

0

3

πεερ

==→

El potencial es

1CrdEV +⋅−=→→

∫ = 120

3

3C

rdrR

+− ∫ ερ

10

3

3C

rRV +=ερ

Para ∞=r ⇒ 0=V De aquí

y r

Qr

RV00

3

43 πεερ

==

Para r = R

⇒ R

QRV00

2

43 πεερ

==

Para r < R

Por la ley de Gauss →→

= rE03ε

ρ

El potencial es

2CrdEV +⋅−=→→

∫

= 203

Crdr +− ∫ ερ

= 22

06Cr +−

ερ

Como para r = R

⇒ 0

2

3ερRV =

20

2

0

2

63CRR

+−=ε

ρερ

⇒ 0

2

2 2ερRC =

y 0

2

0

2

26 ερ

ερ RrV +−=

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

32

22

0

rRVερ

La figura siguiente muestra la distribución de campo eléctrico y potencial eléctrico en el caso visto.

Ejemplo 102. Como una variante veamos el caso de una esfera conductora. La carga se encuentra en la superficie y el campo eléctrico en el interior es cero y por lo tanto el potencial es constante, igual al de la superficie. Lo mismo sucede cuando la esfera es hueca estos dos últimos casos se muestra en la figura siguiente


66

Ejemplo 103. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de un cascaron esférico no conductor tienen la misma densidad de carga σ. La densidad de carga en el resto del espacio es nula. a) Encuentre el campo eléctrico en las zonas r < a, a < r < b, y r > b. b) Calcule el potencial electrostático en cada una de las regiones mencionadas. Solución.

a) Para ar < ( ) ( )rEE rr ˆ=→

, donde ( ) 0=rE ¸

Para bra << ( ) 20

2 raE r ε

σ= ;

Para br > ( ) ( )222

0

bar

E r +=εσ

,

b) Para br > ( ) ( )22

0

bar

V r +=εσ

;

Para bra << ( ) ( )brar

V r += 2

0εσ

y

Para ar < ( ) ( )baV r +=0εσ

.

Ejemplo 104. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma

( ) rer −= 20ρρ y radio R limitada

exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Determine: a) La carga total en la esfera aisladora. b) el campo eléctrico en el exterior (r > 2R). c) a diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esfera conductora) y el centro de la esfera aisladora (considere V = 0 en r = ∞). d) la densidad de carga en la superficie exterior de la esfera conductora.

Solución. a) La carga total en una región del espacio donde hay una densidad de carga ρ está dada por la integral:

∫= VdVq ρ

En este caso, donde la simetría es esférica, la expresión toma la forma:

φθθρπ π

dddrrreq

rR sen2

2

2

0 0 0 0

−

∫ ∫ ∫=

= ∫ −R rdre004πρ = ( )Re−−14 0πρ

b) Dado que el potencial en esa región es

constante y que VE −∇=→

, entonces 0=→

extE . c) Obsérvese que las condiciones del problema dicen que para r > 2R , V = Cte. Igual cosa ocurre en el conductor, donde el campo eléctrico es nulo. Si consideramos que φ = 0 en el infinito, entonces, en el resto del espacio, incluido el conductor, V = 0, de este modo, la diferencia de potencial entre r = 3R/2 y el centro de la esfera estará dado por:

00230 ===

== =−=−= rRrrRrr VVVVVV

Es decir, ( ) ( )∫∫ −=−=∞

00

R rr drEdrEV

Para evaluar esta integral es necesario determinar E(r) en la esfera aisladora, lo que se realiza utilizando la Ley de Gauss. Dado que E(r) es radial, podemos escribir directamente:

( )2

04 rq

E r

πε= , donde ( ) ( )r

r eq −−= 14 0πρ . Así

∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∫

−

drre

rV

R

r0

220

0 14περ

d) Dado que el campo eléctrico exterior a la esfera conductora es nulo, la carga total, comprendiendo la esfera interior y la conductora debe ser nula. Además, para que el campo eléctrico en el conductor también sea nulo, la carga encerrada por cualquier superficie gaussiana en su interior debe ser nula, es decir, en la superficie interior del conductor debe haber una carga de igual magnitud a la de la esfera aisladora, con distinto signo, las que sumadas se anulan. En consecuencia, en la superficie


67

exterior del conductor no hay carga, es decir, σ = 0. Ejemplo 105. En la figura se ha representado parte de 2 cilindros muy largos, cada uno de radio ro, que tienen en su superficie densidades de carga constantes σ1 = σ y σ2 = -σ respectivamente. (No hay carga en el interior de los cilindros).

a) Encuentre el campo eléctrico sobre la línea AB, que equidista de los cilindros en una distancia igual a la separación entre ellos (D). b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los centros de los cilindros? c) Calcule el potencial en un punto sobre la línea AB. Solución. a) Utilizando una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y largo L concéntrica con un cilindro cargado, de similares características que los propuestos en este problema, por la ley de gauss,

se obtiene la expresión: 0

0 2 2

εσπ

πLr

rLE = de

donde 0

0 εσ r

E = , forma general para el campo

eléctrico para tales distribuciones de carga. Si los cilindros se observan en corte y se dibujan allí los campos eléctricos generados por cada cilindro se observaría lo siguiente:

Donde Dr

EE0

021

εσ

== , con lo cual, la suma

resulta ser un vector en la dirección horizontal cuyo valor es la superposición de las proyecciones de E1 y E2: en esa dirección

°=→

60cos

20

0

Dr

Eεσ

b) Para contestar esta pregunta es necesario considerar que el campo eléctrico en el interior de los cilindros es nulo, como se deduce directamente con la ley de Gauss. Ello nos dice que allí V es constante. De este modo, la diferencia de potencial entre los centros de los cilindros corresponde la diferencia de potencial entre sus mantos. Eligiendo como trayectoria de integración una recta paralela al eje y, que pasa por los centros de los cilindros, se tiene:

∫=2

1

y

yEdyV

= ∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

1

2

1

2

2

0

0

0

0 y

y

y

ydy

yDr

dyDy

r

ε

σ

ε

σ

Con 02 2rDy −= e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 01 2

rDy

Donde ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

0

0

Dy

r

ε

σ y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yD

r

2

0

0

ε

σ son las

magnitudes de los campos generados por los cilindros con centros en y = - D/2 e y = +D/2 respectivamente. Resolviendo estas integrales se llega a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0

0

0

0 ln 2

rrDr

Vεσ

c) El potencial eléctrico en general se puede calcular sumando los potenciales originados desde diversas fuentes. Utilizando esta idea, para responder a esta pregunta, basta con calcular el potencial de una de las distribuciones de carga, ya que la otra es similar, salvo el signo. (Además deben compatibilizarse los orígenes del potencial). Considerando un cilindro con densidad de carga

σ, el campo eléctrico es rr

E ˆ

0

0

εσ

=→

, siendo r la

distancia entre el centro de la distribución (cilindro) y el punto en que calculamos el potencial. Al calcular la integral de línea, eligiendo como trayectoria de integración una recta radial y una curva sobre el manto, como esta última no contribuye al potencial, se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

00

0 ln

rDr

Vεσ

y, para la otra distribución,


68

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

00

0 ln

rDr

Vεσ

, con lo cual 0=ABV . En

este caso se ha elegido el origen de ( )srV en un

punto equidistante de los cilindros (es arbitrario). Obsérvese que este resultado depende obviamente del origen de los potenciales y por lo tanto, su respuesta puede ser otra Ejemplo 106. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ se disponen como se indica en la figura. a) Determine el campo eléctrico total sobre la carga Q. b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno de los trozos de hilo. c) Determine la energía potencial de la carga Q (origen en ∞).

Solución. a) Para resolver este problema es conveniente dividirlo en tres, uno para cada distribución. Calculamos primero el campo eléctrico de la distribución lineal de la izquierda: Si ponemos un eje x conteniendo a este trozo, con el origen en Q se tiene que

( )i

xdxiEE

L

Lx ˆ'

'4

1ˆ2/

2/3 20

11 ∫−

−

→

==λ

πε

= ix

L

L

ˆ'

14

2/

2/30

−

−

−πελ

= iLL

ˆ322

4 0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πελ

= iL

ˆ3 0πελ

Si llamamos E2 al campo generado por la semicircunferencia, por simetría, éste debe apuntar hacia abajo (eje –y), luego, la única componente que, luego de integrar es diferente de cero, está dada por

( )''

41

230

yyrr

ddEy −−

=→→

lλπε

en nuestro caso 2/'23

Lrr =−→→

, 0=y ,

( ) θsen2/' Ly = con θ medido desde el eje x. A su vez ( ) θdLd 2/=l . Reemplazando estos valores en la integral se tiene.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= θθλ

πεsen

22

24

13

0

LL

dL

dEy

= θθλπε

dL

sen

24

1

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Integrando entre 0 y π se tiene

jL

E ˆ44

10

λπε

−=→

Para el tercer segmento operamos en forma similar. En este caso

0=→

r , jyiLr ˆ'ˆ2

' +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→

, 'dydq λ= , 2

' Lx =

Con lo que ( )

( )[ ] 23220

,'2/

'2/4

1yLdyLdE x

+−=

λπεδ

( )[ ] 2322

0,

'2/''

41

yLdyydE y+

−=λ

πεδ

Integrando en y’ ambas expresiones entre 0 y - L encontramos:

( )L

E x 5552

41

03

−=

λπε

y L

E y 554

41

03

λπε

=

De donde ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

→

jL

iL

E ˆ5

54ˆ5

5524

10

3λλ

πε

Obviamente →→→→

++= 321 EEEE b) Para responder a esta pregunta, basta con calcular la fuerza que realiza cada una de los trozos de hilo sobre Q, así, la fuerza que ejerce Q sobre el hilo estará determinada por el principio de acción y reacción, es decir, las respuestas a la pregunta son: Caso 1 F1 = - E1Q ; Caso 2 F2 = - E2 Q ; Caso 3 F3 = E3 Q c) Como son distribuciones finitas, podemos utilizar la expresión deducida para ese fin a partir del potencial de una carga puntual respecto de infinito


69

→→

−=

'41

0 rr

dqdVπε

En el primer caso tendremos

∫∫−

−

−

−−==

2/

2/30

2/

2/30

1 ''

41

''

41 L

L

L

L xdx

xdxV λ

πελ

πε el

cambio de signo es debido a que el dominio de integración. Comprende sólo valores de x < 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31ln

41

01 πε

V

Del mismo modo,

00

02 4

2

24

1ελ

θλ

πεπ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ∫ L

dL

V

y finalmente

( )∫−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=L

yL

dyV0

22

03

'2

'4

1 λπε

= ( )52ln4 0

+−πελ

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 52ln

31ln

4 0

ππελV

Ejemplo 107. Dos cáscaras cilíndricas conductoras largas son coaxiales y tienen radios de 20 mm y de 80 mm. El potencial eléctrico del conductor interno, con respecto al conductor externo, es + 600 V. a) (1 punto) Se lanza un electrón desde el reposo en la superficie del conductor externo. Encuentre la velocidad del electrón cuando alcanza al conductor interno. b) (1 punto) ¿Cuál es a magnitud máxima del campo eléctrico entre los cilindros? c) (1 punto) Si un electrón está en movimiento circular alrededor del cilindro interno en una órbita de radio 30 mm. ¿Cuál es a velocidad del electrón? d) (1 punto) Se lanza un electrón radialmente hacia afuera de un punto entre las cáscaras en las cuales el potencial eléctrico es + 350 V con respecto al conductor externo. La energía cinética inicial del electrón es 150 eV. ¿Cuál es a energía cinética del electrón, cuando alcanza cualquiera de las cáscaras? Solución.

a) 2

21

fee vmVq =Δ ⇒

e

ef m

Vqv

Δ=

2 =

( )( )31

19

101,9600106,12

−

−

××

= 1,45 x 107m/s b) Si consideramos que el conductor externo tiene 0

2=RV y el conductor interno

V6001=RV El potencial entre los conductores

es CrdrV +−= ∫

02πελ

= Cr +− ln2 0πελ

Cuando 2Rr = , 02=RV y

CR +−= 10

ln2

0πελ

⇒ 10

ln2

RCπελ

=

Cuando 1Rr = , V6001=RV y

⇒ ( )210

lnln2

600 RR −−=πελ

= 001

2

0 239,14ln

2ln

2 πελ

πελ

πελ

==RR

⇒ 8,43239,1

6002 0

==πελ

El campo entre los conductores es

rE

02πελ

= = r

8,432

El campo máximo se obtiene con el menor r.

V/m 216401020

8,4323 =

×= −máxE

c) r

vmEq ee

2

= ⇒ e

e

mErq

v =

C106,1 19−×=eq , kg101,9 31−×=em ,

mm30=r , 03,0

8,4328,432==

rE = 14426,7

V/m

( ) ( )31

19

101,9

0,030,03432,8106,1

−

−

×

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

=v

= 8,72 x 106m/s d) Se lanza un electrón radialmente hacia fuera desde el punto 1 al punto 2 El punto 1 esta a + 350 V, el punto 2 en la cáscara exterior a 0 V.

1221 KKW −=→

⇒ ( ) eV150V3500e 2 −=−− K ⇒ eV150eV3502 +=K = eV500 Ejemplo 108. Un electrón e (carga - e) incide con velocidad v a un pequeño agujero


70

practicado en el centro de dos placas cuadradas planas de lado a. (En sus cálculos utilice la aproximación de placas infinitas). a) Encuentre la expresión que da cuenta de la densidad de carga en las placas cuando entre ellas hay una diferencia de potencial V (inicialmente las placas están descargadas). b) ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial V para que el electrón llegue con velocidad v/2 al agujero O’? c) En las condiciones dadas en b). ¿Qué fuerza ejerce el electrón contra la placa positiva cuando ha recorrido una distancia δ/2 entre las placas?

Solución. a) Si inicialmente las placas tienen carga nula, al conectarlas a la diferencia de potencial V, cada una de ellas adquiere cargas de igual magnitud y distinto signo. Dichas cargas deben ser tales que generen un campo eléctrico tal que

→→

⋅= ∫ rdEVPlaca

Placa

2

1 integral que, al ser E = cte,

vale δEV = . Por otro lado, cada placa produce

un campo 02ε

σ=E , (Gauss) y, por lo tanto, el

campo total entre las placas resulta ser 0εσ

=E

,con lo cual Vδε

σ 0= .

b) La energía total del electrón antes de ingresar

a O es 202

1 vm y si llega a O’ con 2'vvO = ,

usando el teorema de conservación de la energía podemos escribir en O’,

20

2

0 21

221 vmvmeV =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ . A partir de esta

expresión, 2

83 mve

V = .

c) La fuerza que ejercen las placas sobre el electrón en cualquier punto interior a las placas

es →→

= EeF cuya magnitud es 0εσeF =

dirigida hacia la placa positiva. Por el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el electrón sobre las placas es igual, pero con sentido contrario a la anterior. Ejemplo 109. Una esfera pequeña con una masa de 1,50 g cuelga de un cordel entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de 5,00 cm. Las placas son aisladoras y tienen densidades de carga superficiales uniformes + σ y - σ . La carga de la esfera es q = 8,90 x 10-6 C. ¿Qué diferencia de potencial entre la placas hará que el cordel adopte un ángulo de 30,0° con respecto a la vertical?

Solución.

0=∑ xF

0º30cos =−TFe

º30cosTFe = (1)

0=∑ yF 0sen30º =−mgT

sen30ºTmg = (2) (2) : (1)

θmgFe tan=

)tan(30))(9,80101,50( 3 °×= − = 0,0085 N. También:

qdVEqFe == ⇒

61090,8)0500,0()0085,0(

−×==

qFdV

= 47,8 V


71

Ejemplo 110. Dos placas metálicas paralelas grandes tienen cargas opuestas de igual magnitud. Las separa una distancia de 45,0 mm y la diferencia de potencial entre ellas es de 360 V a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico (se supone uniforme) en la región entre las placas? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que este campo ejerce sobre una partícula con una carga de + 2,40 nC? c) Con base en los resultados del inciso (b) calcule el trabajo realizado por el campo sobre la partícula cuando ésta se traslada de la placa de mayor a la de menor potencial. d) Compare el resultado del inciso (c) con el cambio de energía potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial eléctrico. Solución. a) El campo eléctrico entre las placas

m0450,0360 V

dVE == = 800 N/C.

b) La fuerza que este campo ejerce sobre una partícula con una carga de + 2,40 nC

)10)(2,408000( 9−×== EqF = 1,92 x 10-5 N. c) El trabajo realizado por el campo sobre la partícula cuando ésta se traslada de la placa de mayor a la de menor potencial

(0,0450))1092,1( 5−×== FdW = 8,64 x 10-7 J. d) Cambio de energía potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial eléctrico

)1040,2)(360( 9−×−=Δ=Δ VqU = - 8,64 x 10-7 J. Ejemplo 111. Sea un gas de átomos neutros entre dos placas a BA VVV −=Δ 1 , la separación es tal que el campo eléctrico entre ellas es uniforme. Cuando un átomo de masa m choca con A queda inicialmente en reposo y pierde una carga − e (la carga de un electrón).

a) Determine 1VΔ cuando el átomo que chocó con A pasa con una velocidad en P igual a 0v

(suponga que el agujero en P es pequeño y no afecta la forma del campo) b) ¿Cual placa, A ó B, estaría a mayor potencial?, ¿Cuál placa cargada negativamente? c) Luego el átomo pasa por condensador 0C de placas paralelas con cargas iguales pero de signo opuesto entre E y D. Determine el valor las cargas en E y D cuando DE VVV −=Δ 2 es responsable de la desviación mostrada. d) ¿Es posible que el átomo no sufra desviación alguna entre E y D? ¿Una desviación en sentido opuesto? Solución.

a) 201 2

1 mvVe =Δ ⇒ m

Vev 1

02 Δ

=

b) Como el átomo tiene carga positiva la placa A es positiva y la placa B es negativa, por lo tanto A está a mayor potencial que B. c) 20 VCQ Δ= d) Si es posible que el átomo no sufra desviación alguna entre E y D

eEmg = También es posible, invirtiendo las cargas de las placas. Ejemplo 112. Los tubos de rayos catódicos (TRC) suelen formar parte de los osciloscopios y los monitores de computadora. En la figura se proyecta un electrón con una rapidez inicial de 6,50 x 106 m/s a lo largo del eje que pasa por el punto medio entre las placas de desviación de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas tiene una magnitud de 1,10 x 103 V/m y es ascendente. a) ¿Cuál es la fuerza (magnitud y dirección) sobre el electrón cuando éste se halla entre las placas? b) ¿Cuál es la aceleración del electrón (magnitud y dirección) cuando actúa sobre él la fuerza del inciso (a)? c) ¿A qué distancia por debajo del eje ha descendido el electrón cuando alcanza el extremo de las placas? d) ¿Con qué ángulo con respecto al eje se desplaza el electrón cuando sale de entre las placas? e) ¿A qué distancia por debajo del eje incidirá en la pantalla fluorescente P?


72

Solución. a) EqF = )1060,1()1010,1( 193 −××= = 176 x 10-16 N, hacia abajo.

b) em

Fa = = 31

16

109,11101,76

−

−

××

= 1,93 x 1014 m/s2, hacia abajo.

c) sm1050,6

m060,06×

=t , = 9,23 x 10-9 s,

20 2

1 atyy =−

2914 )109,23()101,93(21 −××=

= 8,22 x 10-3 m. d) Ángulo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

x

y

vv

θ tan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

xvattan

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

50,678,1tan 1 = 15,3º.

e) La distancia debajo del centro de la pantalla es:

tvdD yy +=

6

63

106,500,120)101,78(108,22

××+×= −

= 0,0411 m. Ejemplo 113. Responda los casos siguientes justificando cada respuesta. a) Un plano cargado con densidad de carga σ− se coloca en el plano x y (z = 0). Halle el campo eléctrico en todo el espacio por medio de la ley de Gauss. b) Usando el principio de superposición y el resultado en a), halle el campo eléctrico en todo el espacio cuando añadimos un segundo plano infinito con densidad de carga σ2+ paralelo, en z = 2. c) Usando la definición, evalué la diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1, 5. d) Se coloca un tercer plano infinito descargado en z = 3 y se une al plano en z = 0 con un alambre conductor muy delgado, puede suponer que lo hace atravesando el plano z = 2 por un agujero muy pequeño, de manera de no afecta la geometría del sistema. Calcule la diferencia de potencial pedida en c). Solución. a)

Sea la superficie gausiana de área A

0εqdSE =⋅∫

→

⇒ 0

2εσAEA −

= ⇒ 02ε

σ−=E

Para 0>z kE ˆ2 0εσ

−=→

Para 0<z kE ˆ2 0εσ

=→

b) El campo producido por el plano en z = 0:

El campo producido por el plano en z = 2:

Para z > 2:

kkkE ˆ2

ˆˆ2 000 ε

σεσ

εσ

=+−=→

Para 0 < z > 2:

kkkE ˆ23ˆˆ

2 000 εσ

εσ

εσ

−=−−=→

Para z < 0:

kkkE ˆ2

ˆˆ2 000 ε

σεσ

εσ

−=−=→


73

c) La diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1, 5.

( ) ( ) ( )[ ]kkVVV ˆ30ˆ2 0

031 −−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ − ε

σ

= 02

3εσ

−

( ) ( ) [ ]0ˆ5,1ˆ23

05,102 −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ kkVVV

εσ

= 02

5,4εσ

−

00021 2

5,725,4

23

εσ

εσ

εσ

−=−−=Δ+Δ=Δ VVV

d) Con el tercer plano infinito descargado en z = 3, el campo eléctrico queda distribuido como se muestra a continuación.

La diferencia de potencial V (x1) - V (x2) entre x1 = -3 y x2 = 1. Tomando en cuenta la nueva disposición:

( ) ( ) ( )[ ]kkVVV ˆ30ˆ2 0

031 −−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ − ε

σ

= 02

3εσ

−

( ) ( ) [ ]0ˆ5,1ˆ0

5,102 −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ kkVVVεσ

= 0

5,1εσ

−

00021

35,123

εσ

εσ

εσ

−=−−=Δ+Δ=Δ VVV

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Como hemos podido observar, el potencial es solamente función de las coordenadas de posición, de tal manera que un potencial constante define una superficie equipotencial. En esta superficie no se realiza trabajo al mover una carga de prueba sobre ella, el campo eléctrico es perpendicular a estas superficies. Los equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza, un campo eléctrico puede representarse también por medio de las equipotenciales. Las equipotenciales de una carga puntual están

dadas por V

qr04πε

= , las que se muestran en la

figura siguiente.

A continuación se muestra las líneas equipotenciales producidas por dos cargas iguales y opuestas.

Ejemplo 114. Se tiene dos cargas puntuales q y - 2q situadas en los puntos (0, 0, 0) y (a, 0, 0), respectivamente, encontrar la superficie equipotencial. Solución.

El potencial en el punto P (x, y, z) es:

( ) 2220

2220

24

14

1

zyax

qzyx

qV++−

−++

=πεπε

Cuando 0=V

( )02

41

41

2220

2220

=++−

−++ zyax

qzyx

qπεπε


74

( ) ( )222222 4 zyxzyax ++=++−

332 2

222 azyaxx =+++

Sumando a ambos miembros 92a :

2222

94

3azyax =++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Ecuación de la superficie equipotencial que corresponde a una esfera con centro en 3a− , 0 y radio 32aR = , la figura siguiente muestra la superficie equipotencial 0=V .

CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DEL POTENCIAL. Como las fuerzas están dadas por el campo

eléctrico →

E , ésta puede obtenerse inversamente a partir del potencial V. Consideremos dos puntos orientados con el eje x uno en x y el otro en xx Δ+ , la diferencia de potencial entre estos dos puntos es VΔ . ( ) ( )zyxVzyxxVV ,.,,,. −Δ+=Δ Por definición, escribimos en función de la derivada parcia1

xxVV Δ∂∂

=Δ

(Derivada parcial: Es la derivada de una función de dos o más variables con respecto a una de ellas, considerando en el desarrollo a las demás como constantes). Simultáneamente en la misma trayectoria

XEdEV xΔ−=⋅−=Δ→→

∫ l

Fácilmente podemos deducir que

xVEx ∂∂

−=

Similarmente, podemos hacer a lo largo de los ejes z e y.

yVE y ∂∂

−= y zVEz ∂∂

−=

El Campo resultante es la suma vectorial de sus componentes:

kEjEiEE zyxˆˆˆ ++=

→

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

− kzVj

yVi

xV ˆˆˆ

o Vkz

jy

ix

E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

−=→ ˆˆˆ

En notación abreviada

VE −∇=→

donde el operador ∇ llamado nabla es

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Ejemplo 115. Dos esferas metálicas de diferente tamaño están cargadas de modo tal que el potencial eléctrico es el mismo en la superficie de cada una. El radio de la esfera A es tres veces más grande que el de la esfera B. Sean QA y QB las cargas de cada esfera y EA y EB las magnitudes del campo eléctrico en la superficie de cada esfera. a) ¿Cuál es la proporción QB/QA?; b) ¿Cuál es la proporción EB/EA? Solución. a) Para la esfera A

B

B

RQV

041πε

=

Para la esfera B

341

41

00 A

B

A

A

RQ

RQV

πεπε==

Se concluye que

BA QQ 3= ⇒ 31

=A

B

QQ

.

b)

204

1

A

BA R

QrVE

πε=

∂∂

−=

20

20

3

34

14

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==∂∂

−=A

A

B

BB R

Q

RQ

rVE

πεπε

204

13A

A

RQ

πε=

Luego

AB EE 3= ⇒ 3=A

B

EE

.


75

Ejemplo 116. Una carga Q está distribuida uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2a. El potencial V en un punto sobre la bisectriz perpendicular de la varilla a una distancia x de su centro está dado por.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+++

=axaaxa

aQV

22

22

0

ln24

1πε

a) Diferenciando esta expresión, halle la componente x del campo eléctrico en ese punto. (Sugerencia: Escribir el logaritmo natural de la fracción como la diferencia de dos logaritmos para simplificar el cálculo). b) Por simetría, en un punto sobre la bisectriz perpendicular de la varilla yE = 0 y zE = 0. Explique por qué no seria correcto sacar estas conclusiones con base en las ecuaciones

(xVEx ∂∂

−= , yVEy ∂∂

−= , zVEz ∂∂

−= .)

Solución.

a) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

++∂∂

−=∂∂

−=axa

axaa

kQxx

VEx 22

22

ln2

⇒ )ln(24

1 22

0⎢⎣⎡ ++∂∂

= axaxa

QEx πε

⎥⎦⎤−+

∂∂

− )ln( 22 axax

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+−

++

+−=

−−

axaxax

axaxax

aQ

22

2/122

22

2122

0

)()( 24

1πε

22

041

xaxQ+

=πε

⇒

220 14

)λ2(axxaπε

aEx+

=

22

0 1λ

21

axxπε +=

b) El potencial fue evaluado en y y z igual a cero, y no demuestra así ninguna dependencia de ellos. Sin embargo, el campo eléctrico depende de la derivada del potencial y el potencial podría aún ser una función dependiente de las variables y y z, y por lo tanto yE y zE pueden ser diferentes a cero. Ejemplo 117. El potencial eléctrico en cierta región del espacio está dado por V(x, y, z) = A (x2 - 3y2 + z2), donde A es una constante.

a) Deduzca una expresión del campo eléctrico →

E en cualquier punto de esta región. b) Se mide el trabajo realizado por el campo cuando una carga de prueba de 1,5 μC se desplaza del punto (x, y, z) = (0, 0, 0,250 m) al origen, el cual resulta ser de 6,00 x 10-5 J. Determine A. c) Determine el campo eléctrico en el punto (0, 0, 0,250 m). d) Demuestre que en todo plano paralelo al plano xz los contornos equipotenciales son círculos. e) ¿Cuál es el radio del contorno equipotencial que corresponde a V = 1280V e y = 2,00m? Solución. a) Tenemos

( ) )3( 222,, zyxAV zyx +−= .

Luego:

kzVj

yVi

xVE ˆˆˆ

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=→

= kAzjAyiAx ˆ2ˆ6ˆ2 −+− b) Una carga se mueve a lo largo del eje z . Luego el trabajo realizado está dado por:

∫∫ −=⋅=→ 00

00

)2(ˆzz

dzAzqdzkEqW

20)( zAq+= ⇒

20zq

WA =

26

5

)250,0)(105,1(1000,6

−

−

××

=A 2mV640=

c) ( ) kE ˆm)250,0(mV6402 2250,0,0,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

→

kmV-320= .

d) En cada plano paralelo al plano xz, y es constante, luego:

CAzAxzyxV −+= 22),,( ⇒

222 RA

CVzx ≡+

=+ ,

La cual es la ecuación de la circunferencia porque R es constante mientras el potencial sea constante en aquellos planos. e) V = 1280 V e y = 2 m:

640)00,2)(640(31280 2

22 +=+ zx

= 14 m2. Luego el radio de la circunferencia es 3,74 m.


76

Ejemplo 118. Encontrar el campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico a partir del potencial. Solución. El potencial del dipolo es

20

cos4

1r

pV θπε

=

El Campo eléctrico es

VE −∇=→

Para este caso es conveniente trabajar con coordenadas esféricas,

φφθ

θθ

ˆsen

1ˆ1ˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

rr

y

φφθ

θθ

ˆsen

1ˆ1ˆ∂∂

−∂∂

−∂∂

−=→ V

rV

rr

rVE

En esta ecuación el último término vale cero ya que no existe variación de potencial respecto a φ , entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= 20

cos4

1r

pr

Erθ

πε =

rp θ

πεcos

21

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= 20

cos4

11r

pr

E θπεθθ = 2

0

sen4

1r

p θπε

θθ ˆˆ ErEE r +=→

Ejemplo 119. Encontrar el campo eléctrico en el eje de un anillo de radio R y con carga Q, a partir del potencial. Solución.

Para el anillo ( ) 212204 Rz

qV+

=πε

El Campo eléctrico es VE −∇=→

0=xE , 0=yE y

( ) 212204 Rz

qz

Ez+∂

∂−=

πε

= ( ) 2122

00 42

21

4 Rzzq+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

πεπε

= ( ) 212200 44 Rz

zq+πεπε

Finalmente: ( )k

RzqzE ˆ

441

212200 +

=→

πεπε

Ejemplo 120. Encontrar el Campo eléctrico en el eje de un disco de radio R y con carga Q a partir del potencial. Solución. Para el disco

( )[ ]12

21222

0

−+= RzR

qVπε

El Campo eléctrico es VE −∇=→

0=xE , 0=yE

( )[ ]12

21222

0

−+∂∂

−= RzR

qz

Ez πε

= ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

− 1221

22122

20

zRzR

qπε

= ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+− 21222

0

12 Rz

zR

qπε

y ( )

kRzz

RqE ˆ1

2 212220 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

→

πε

Ejemplo 121. Perpendicular al eje x hay tres placas delgadas de metal, A en x = 0, B en x = 1 m, y C en z = 3 m. A se mantiene conectado a tierra, B tiene un potencial de 200 voltios, y C tiene un potencial de 100 voltios. a) Encuentre el campo eléctrico entre A y B y entre B y C. b) Encuentre la densidad de la carga en cada placa.

Solución. a) Los campos se asumen uniformes. A la izquierda (entre A y B).

1200

−=ΔΔ

−=xVE = - 200 V/m.

A la derecha (entre B y C). ( )

2100' −

−=E = + 50 V/m

b) Teniendo en cuenta que nE0εσ = , vemos que

Aσ = -200 0ε C/m2


77

Cσ = - 50 0ε C/m2 La placa B tiene una densidad de carga de +200 0ε C/m2 a su izquierda y de - 50 0ε C/m2 a

su derecha, o una densidad de carga neta Bσ = + 150 0ε C/m2. Ejemplo 122. Un anillo de radio R se encuentra en el plano xy, donde centro del anillo coincide con el origen de coordenadas. La densidad lineal de carga λ en el anillo es variable e igual a

θλλ cos0= , donde θ es el ángulo que hace un

radio respecto al eje x, y 0λ es una constante de unidad C/m, Determine: a) La carga total en el anillo y el potencial eléctrico en el centro del anillo. Suponga: ( )∞V = 0,0V.

b) El vector campo eléctrico en el centro del anillo. Solución. a) La carga total en el anillo

∫= ldQ λ

θλλ cos0= y θRdd =l

∫=π

θθλ2

0 0 cos dRQ = 0sen 2

00 =πθλ R

La carga total es cero, porque la distribución de la carga es como se muestra en el dibujo siguiente

El potencial eléctrico en el centro del anillo, con ( )∞V = 0,0V.

RdqdV

04πε= , lddq λ= =

0

0

4cosπε

θθλ d

∫= dVV = 0cos4

2

00

0 =∫π

θθπελ d

b) El vector campo eléctrico en el centro del anillo.

rR

dqEd ˆ4 2

0πε=

→

= rRd

ˆ4cos

0

0

πεθθλ

jsenˆcosˆ θθ −−= ir

( )jsenˆcos4cos

0

0 θθπε

θθλ+−=

→

iRd

Ed

∫→→

= EdE

= ( )∫ +−π

θθθθπελ 2

0

2

0

0 jsencosˆcos4

diR

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +− ∫ ∫

π πθθθθθ

πελ 2

0

2

0

2

0

0 jsencosˆcos4

ddiR

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +− ∫ ∫

π πθθθθθ

πελ 2

0

2

0

2

0

0 jsencosˆcos4

ddiR

= 21 II +

∫−=π

θθπελ 2

0

2

0

01 ˆcos

4di

RI

= ( )∫ +−π

θθπελ 2

00

0 ˆsen218

diR

= iR

ˆ4 0

0

πελ

−

∫−=π

θθθπελ 2

00

02 jsencos

4d

RI = 0


78

iR

E ˆ4 0

0

πελ

−=→

Ejemplo 123. Sea un anillo de radio R con densidad lineal de carga λ = λ0 senθ (ver figura). a) Halle el potencial eléctrico en el centro del anillo. b) ¿Es el campo eléctrico en el centro del anillo igual a cero? Si no lo es diga cual es su dirección y sentido.

Solución. La distribución de carga en el anillo varía de acuerdo a senθ, como se muestra en la figura siguiente

a) Sea el elemento diferencial de carga

θλRddq =

El potencial que produce en el punto O(o,o,o) es

θλπεπε

RdRdqdV

00 41

41

==

θθπελθθλ

πεddR sen

4sen

41

0

00

0

==

Integrando para todo el anillo

0sen4

2

00

0 === ∫∫π

θθπελ ddVV

El potencial debido a la parte superior se anula con el potencial debido a la parte inferior. b) Campo eléctrico debido a la parte superior

∫=→ π

θθπελ

00

0 senˆ4

drR

E S

jr ˆ2

cosˆ4 0

00

0

0

πελθ

πελ π −==

Campo eléctrico debido a la parte inferior

jrdrR

E I ˆ2

cosˆ4

senˆ4 0

02

0

02

0

0

πελθ

πελθθ

πελ π

π

π

π−=== ∫

→

El campo total es

jEEE IS ˆ0

0

πελ

−=+=→→→

Ejemplo 124. Una esfera metálica de radio ra está sostenida sobre un soporte aislante en el centro de una coraza metálica esférica hueca de radio rb. La esfera interior tiene una carga + q y la coraza esférica exterior una carga - q. a) Calcule el potencial V(r) para r < ra , ra < r < rb y r > rb. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a las esferas individuales). Tome V como cero cuando r es infinito. b) Demuestre que el potencial de la esfera interior con respecto a la exterior es


79

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

baab rr

qV 114 0πε

c) Con base en la ecuación ( ) rVE r ∂∂

−= y el

resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto entre las esferas es

( ) ( ) 21

11 rrrVE

a

abr −=

d) Con base en la ecuación rVEr ∂∂

−= y el

resultado del inciso (a), halle el campo eléctrico en un punto situado afuera de la esfera más grande a una distancia r del centro, donde r> rb. e) Suponga que la carga de la esfera exterior no es - q sino una carga negativa de diferente magnitud, por ejemplo, - Q. Demuestre que las respuestas a los incisos (b) y (c) siguen siendo las mismas pero la respuesta al inciso (d) es diferente. Solución. a)

Para brr > :

( ) 0=rV , puesto que fuera de una esfera el potencial es igual que para la carga puntual. Por lo tanto tenemos el potencial idéntico a dos cargas puntuales opuestas en la misma posición. Estos potenciales se cancelan. Para ba rrr << :

( ) CrqV r +=

041πε

En r = ra el potencial es 0

Crq

b

+=04

10πε

⇒brqC

041πε

−=

Luego

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

br rr

qV 114 0πε

Para arr < : Como no hay carga el potencial es ( ) CV r =

En r = ra el potencial es

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

baa rr

qV 114 0πε

Luego

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

bar rr

qV 114 0πε

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

baa r

qrq

πεV

041

y 0=bV

Luego

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

baab rr

qπε

V 114

1

0

.

c) Para :ba rrr <<

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−=∂∂

−=b

r rrrπεq

rVE 11

4

0

= 220

1114

1r

rr

Vrq

πε

ba

ab

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= .

d) De la ecuación ( ) rVE r ∂∂

−= :

( ) ,0=rE desde que ( )rV es cero fuera de las esferas. e) Si la carga externa es diferente, fuera de la esfera externa el potencial ya no es cero, es

( ) rQq

πεrQ

πεrq

πεV r

)(4

14

14

1

000

−=−=

Todos los potenciales dentro de la cáscara externa apenas son cambiados por una cantidad

brQ

πε041

− . Por lo tanto los potenciales

relativos dentro de las cáscaras no cambian. Luego (b) y (c) no cambian. Sin embargo, ahora que el potencial varía fuera de las esferas, hay un campo eléctrico allí:

( ) rVE r ∂∂

−= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂∂

−=rQ

rq

r041πε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

qQ

rq 1

41

20πε

Ejemplo 125. Cilindros coaxiales. Un cilindro metálico largo de radio a está sostenido sobre un soporte aislante sobre el eje de un tubo metálico largo y hueco de radio b. La carga positiva por unidad de longitud del cilindro interior es λ y el cilindro exterior tiene una carga negativa por unidad de longitud igual. a) Calcule el potencial V(r) cuando


80

r > b, a < r < b y r < a Tome V = 0 en r = b. b) Demuestre que el potencial del cilindro interior con respecto al exterior es

abVab ln

2 0πελ

=

c) Con base en la ecuación ( ) rVE r ∂∂

−= y el

resultado del inciso (a), demuestre que la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto entre los cilindros es

( ) rVE ab

r1

abln=

d) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos cilindros si el cilindro exterior no tiene carga neta? Solución. a)

Potencial eléctrico de un cilindro.

( ) CrdEV r +⋅−=→→

∫

Para r > b El campo eléctrico es cero y el potencial en r = b es cero. Luego

( ) 0=rV Para b > r > a

( ) Crπε

V r +−= ln2λ

0

En r = b ( ) 0=bV

Cbπε

+−= ln2λ0

0

⇒ bπε

C ln2λ

0

=

Luego

( ) rb

πεV r ln

2λ

0

=

Para r < a

( ) Crπε

V r +−= ln2λ

0

En r = a

( ) ab

πεV a ln

2λ

0

=

Caπεa

bπε

+−= ln2λln

2λ

00

⇒ bπε

C ln2λ

0

=

Luego

( ) ab

πεV r ln

2λ

0

=

b) El potencial del cilindro interior con respecto al exterior es

( ) ( ) abln

2λ

0πεVVV baab =−=

c) El potencial entre los cilindros es

( ) rb

abV

rb

πεV ab

r lnln

ln2λ

0

==

Como ( ) rVE r ∂∂

−= ⇒

( ) rb

rVE ab

r lnabln ∂∂

−= r

Vab 1abln

=

d) La diferencia potencial entre los dos cilindros es idéntica a ésa en la parte (b) aunque el cilindro externo no tiene ninguna carga. Ejemplo 126. Se establece una diferencia de potencial de 480V entre placas metálicas paralelas grandes. Sea el potencial de una de las placas de 480V y de la otra de 0V. Las placas están separadas por d = 1,70cm. a) Dibuje las superficies equipotenciales que corresponden a 0, 120, 240, 360 y 480 V b) Muestre en su dibujo las líneas de campo eléctrico. ¿Confirma su dibujo que las líneas de campo y las superficies equipotenciales son mutuamente perpendiculares? Solución.

a) Las líneas equipotenciales y de campo eléctrico de dos grandes placas paralelas se muestran arriba. b) Las líneas equipotenciales y de campo eléctrico son mutuamente perpendiculares


81

Ejemplo 127. Los precipitadores electrostáticos hacen uso de fuerzas eléctricas para eliminar las partículas contaminantes del humo, en particular en las chimeneas de las centrales termoeléctricas que consumen hulla. Un tipo de precipitador consiste en un cilindro metálico vertical hueco con un alambre delgado, aislado del cilindro, a todo lo largo del eje de éste. Se establece una diferencia de potencial grande entre el alambre y el cilindro exterior, con el alambre al potencial más bajo. Esto genera un intenso campo eléctrico radial dirigido hacia adentro. El campo crea una región de aire ionizado cerca del alambre. El humo entra en el precipitador por el fondo, las cenizas y el polvo contenidos en él atrapan electrones, y los contaminantes con carga son acelerados hacia el cilindro exterior por el campo eléctrico. Suponga que el radio del alambre central mide 90,0 ¿.m, el radio del cilindro es de 14,0 cm y se establece una diferencia de potencial de 50 kV entre el alambre y el cilindro. Suponga además que tanto el alambre como el cilindro son muy largos en comparación con el radio del cilindro. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto medio entre el alambre y la pared del cilindro? b) ¿De qué magnitud debe ser la carga de una partícula de ceniza de 30,0 μg para que el campo eléctrico calculado en el inciso (a) ejerza una fuerza equivalente a diez veces el peso de la partícula?

Solución. a) Del problema 23.57,

rabVE ab 1

)(ln=

0,0701

109,000,140ln

50000

5-×

=

⇒ m.V1072,9 4×=E

b) mgEqF 10== ⇒

4

8

109,72(9,80))10(3,0010

××

=−

q

= 3,02 x 10-11 C. Ejemplo 128. Se tiene una media arandela con densidad de carga σ constante. Se coloca de manera que su centro coincide con el origen de coordenadas. Hallar: a) La expresión para el diferencial de potencial dV(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por el diferencial de carga mostrado. b) El potencial V(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por la media arandela. c) La componente en z del vector campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje z.

Solución. a) La expresión para el diferencial de potencial dV(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por el diferencial de carga mostrado.

( ) 2204

1rz

dqdV z+

=πε

( )( ) φσφσσ rdrdrddrdAdq ===

( ) 2204

1rz

rdrddV z+

=φσ

πε

φπεσ d

rzrdr

2204 +

=

b) El potencial V(z) para cualquier punto sobre el eje z producido por la media arandela.


82

( ) ( ) ∫∫ +==

π φπεσ ,

0, 2204

b

azzrz

rdrddVV

∫∫ +=

πφ

πεσ

02204

drz

rdrb

a

b

a

b

arz

rzrdr 22

022

0 44+=

+= ∫ ε

σππεσ

∫∫ +=

πφ

πεσ

02204

drz

rdrb

a

c) La figura muestra el campo eléctrico producido por el elemento diferencial

( ) ( ) θπεσ sen

4 220 rz

rdrdE zz +=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

222204 rz

zrz

rdrπεσ

( ) drrzrz

232204 +

=πεσ

Integrando

( ) ( ) ( )∫∫ +==

b

azzzz drrz

rzdEE 232204ε

σ

b

arzz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

220

14εσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+=

22220

114 bzaz

zεσ

Cálculo a partir del potencial eléctrico La componente en z del vector campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje z.

xVEx ∂∂

−=

( )( )

zV

E zzz ∂

∂−=

( )2222

04azbz

z+−+

∂∂

−=εσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−=

222204 az

zbz

zεσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+=

222204 bz

zaz

zεσ

CAPACIDAD - ENERGÍA ELECTROSTÁTICA INTRODUCCIÓN. - De lo visto anteriormente el potencial (tomado relativo a un potencial cero en el infinito) de un cuerpo conductor con carga Q es proporcional al valor de dicha Carga Q. O la carga total Q en el conductor aislado es directamente proporcional al potencial del conductor, es decir

CVQ = Donde C es una constante que depende de la forma del cuerpo, mas no de Q o V. Esta constante C es una característica de un cuerpo al lado y se la denomina Capacidad.

VQC =

En el sistema internacional su unidad es el coulombio/voltio, al que se le denomina faradio, cuya abreviatura es F, en la práctica la capacidad de un faradio es muy grande, por eso se usan los submúltiplos microfaradio ( ) FF 610−=μ

picofaradio ( ) FpF 1210−= A manera de ejemplo calculamos la capacidad de una esfera conductora aislada de radio R. El potencial de un conductor esférico con carga Q

es RQV

041πε

= y su capacidad

RVQC 04πε==

EL CONDENSADOR Los sistemas que se encuentran en le práctica no están referidos al infinito, consisten en dos conductores con cargas iguales y de signo opuesto, esto se consigue llevando la carga de un conductor al otro de tal manea que si este tiene una carga Q el .primero habrá quedado con Carga -Q. A este sistema se le conoce como condensador. La relación que existe entre la carga Q y la diferencia de potencial 21 VVV −=Δ , es

VCQ Δ= , donde a capacidad C depende solamente de la geometría del Condensador. Para calcular la capacidad C de un condensador es recomendable seguirlos siguientes pasos:


83

a) Dados los dos conductores situar una carga + Q en uno de ellos y una carga - Q en el otro. b) Determinar el campo eléctrico entre los conductores. c) Determinar la diferencia de potencial entre los conductores

d) Finalmente, VQC =

Los condensadores se representan por medio de dos líneas paralelas iguales, como se ilustra n la

figura siguiente . La figura a continuación muestra diferentes condensadores comerciales.

La figura siguiente muestra como esta formado un condensador moderno de placas paralelas

El condensador electrolítico.

Esquema de condensador electrolítico.

Como se carga un condensador

Representación esquemática del circuito anterior.

Ejemplo 126. El condensador de placas paralelas. Este Condensador consiste en dos placas paralelas de área A y separadas una distancia d (d es muy pequeña comparada con A). Solución.

Ponemos la Carga Q y - Q como se muestra en la figura. El campo eléctrico que se forma entre las placas es: 0εσ=E , siendo AQ=σ , tenemos:

AQE0ε

=

Como →→

⋅−= ldEdV La diferencia de potencial entre las placas es:

dA

QEdxdEVV0

2

1

2

121 ε==⋅=− ∫∫

→→

l

Finalmente la capacidad, es

dA

VVQC 0

21

ε=

−=

Ejemplo 129. Las placas de un condensador de placas paralelas están separadas 3,28 mm y el área de cada una es de 122 cm2. Cada placa tiene


84

una carga cuya magnitud es de 4,35 x l0-8 C. Las placas están en un vacío, a) ¿Cuál es la capacidad? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? c) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? Solución. a) La capacidad

00328,000122,0

00 εdAεC == = 3,29 pF.

b) La diferencia de potencial entre las placas

12

8

1029,31035,4

−

−

××

==CQV = 13,2 kV.

c) La magnitud del campo eléctrico entre las placas

00328,0

102,13 3×==

dVE = 4,02 x 106 V/m.

Ejemplo 130. A) Se construye un condensador con aire entre las placas paralelas con dos placas de 16 cm2 separadas 4,7 mm, y se conecta a una batería de 12 V. a) ¿Cuál es la capacidad? b) ¿Cuál es la carga de cada placa? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? d) ¿Cuál es la energía almacenada en el condensador? a) La capacidad

3

200

107,4)16,0(−×

==ε

dAεC

= 4,8 x 10-11 F. b) La carga de cada placa

)12)(108,4( 11−×==CVQ = 0,58 x 10-9 C. c) El campo eléctrico entre las placas E= dV = (12 V)/(4,7 )m10 3−× = 2553 V/m. d) La energía almacenada en el condensador

J)12)(108,4(21

21 2112 −×== CVU

= 3,46 x 10-9 J B) Si se desconecta la batería y luego se apartan las placas hasta tener una separación de 9,4 mm, ¿cuáles son las respuestas a los incisos (a), (b), (c) y (d)? Solución. Si se desconecta la batería, tal que la carga permanece constante, y las placas se separan

0,0094 m más, después de realizar los cálculos como antes, encontramos: a) La capacidad

3

200

104,9)16,0(−×

==ε

dAεC

F1041,2 11−×= b) La carga de cada placa

C1058,0 9−×=Q c) El campo eléctrico entre las placas

mV 2553=E d) La energía almacenada en el condensador

)1041,2()1058,0(

21

21

11

292

−

−

××

==CQU

= 6,91 x 10-9 J C) Suponga que la batería del problema permanece conectada mientras se separan las placas. ¿Cuáles son entonces las respuestas a los incisos (a), (b), (c) y (d) después de separar las placas? Solución. Si las placas se separan como en el problema anterior la batería conectada, asegura la permanencia de voltaje constante. Esta vez encontramos: a) La capacidad

F1041,2 11−×=C b) La carga de cada placa

( )( )121041,2 11−×==CVQ

C1092,28 10−×= c) El campo eléctrico entre las placas

mV103,1

104,912 3

3 ×=×

== −dVE

d) La energía almacenada en el condensador

2)12)(1041,2(

21 211

2−×

== CVU

= 1,73 x 10-9 J. Ejemplo 131. El condensador cilíndrico. Este Condensador cilíndrico en dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b con longitud L, siendo esta longitud mucho mayor a fin de poder despreciar las irregularidades de los extremos.


85

Solución. Pongamos cargas Q y - Q a los cascarones de radios a y b respectivamente. Aplicando la ley de Gauss encontrar que el Campo eléctrico entre ellos es

rE

02πελ

= , donde LQ

=λ

De aquí Lr

QE02πε

=

Como →→

⋅−= ldEdV

rdr

LQdEVV

b

a

b

a ∫∫ =⋅=−→→

021 2πε

l

ab

LQ ln

2 0πε=

Finalmente la capacidad es

ab

LVV

QCln

2 0

21

πε=

−=

Ejemplo 132. El condensador esférico. Este Condensador consiste en dos cáscaras esféricas conductoras y aisladas con radios a y b. Solución.

Pongamos cargas Q y - Q a los cascarones esféricos de radios a y b respectivamente. Aplicando la ley de Gauss encontramos el campo eléctrico entre ellos

204

1rQE

πε=

Como →→

⋅−= ldEdV La diferencia de potencial entre los cascarones es

20

21 4 rdrQdEVV

b

a

b

a ∫∫ =⋅=−→→

πεl

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

baQ 11

4 0πε

( )ab

abQVV −=−

021 4πε

Finalmente la capacidad es

( )abab

VVQC

−=

−= 0

21

4πε

Cuando ∞→b , la capacidad tiende a aC 04πε= , que es la capacidad del conductor

esférico aislado. Ejemplo 133. Encontrar la capacidad entre dos esferas conductoras de radios a y b separadas una distancia c, siendo c mucho mayor que a y b. Solución.

Pongamos cargas Q y - Q a las esferas de radios a y b respectivamente. El potencial V1 sobre la esfera de radio a es el potencial debido a su carga Q mas el potencial debido a la carga - Q, tomada como puntual ya que c >> b

( )c

Qa

QV00

1 44 πεπε−

+=

De1 mismo modo el potencial V2 sobre la esfera de radio b

( )c

Qb

QV00

2 44 πεπε+

−=

La diferencia de potencial entre las esferas es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−

cQ

bQ

cQ

aQVV

000021 4444 πεπεπεπε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

cbaQ 211

4 0πε

La capacidad del sistema es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=−

=

cbaVV

QC211

4 0

21

πε

Ejemplo 134. Analizar cada una de las siguientes afirmaciones y contestar lo que la afirmación pide, justificando brevemente. a) Explique por qué el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada con una carga encerrada determinada es independiente del tamaño o forma de la superficie. b) Una carga negativa se mueve en la misma dirección y sentido de un campo eléctrico uniforme. ¿La energía potencial eléctrica de la carga aumenta o disminuye?


86

c) Explique por qué el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV es W = QΔV, en tanto que el trabajo para cargar un condensador con carga Q y una diferencia de potencial ΔV entre las placas es ½QΔV. Solución. a) El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra varias cargas es:

∑∫ =⋅=Φ→→

0εi

S

qSdE

Esta ecuación derivada para cargas puntuales puede aplicarse para cualquier configuración, notando que la integral en caso que no exista simetría geométrica se complica en su solución.

∫∫ =⋅=Φ→→

QS

dqSdE0ε

b) La energía potencial de la carga aumenta porque su potencial va en aumento. c) - Trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV La carga Q para moverse a través de una diferencia de potencial ΔV tiene que vencer la

fuerza →→

= EQF a través de la distancia →

d , el

trabajo es VQdEQdFW Δ=•=•=→→→→

- Trabajo para cargar un condensador con carga Q y una diferencia de potencial ΔV entre las placas La energía que se almacena en el condensador es igual al trabajo requerido para cargarlo. Ahora encontraremos esa energía. Consideremos que se ha tomado una carga q de una de las placas de un condensador de capacidad C colocado sobre la otra, la diferencia de potencial entre ellas es

CqV =

Para transferir en este instante una carga dq de una placa a la otra. El trabajo requerido para transferir esta carga es

VdqdUdW == Poniendo V en función de q

dqCqdW =

Para obtener el trabajo total integramos desde q = 0 hasta la carga total q = Q.

CQqdq

CW

Q 2

0 211

== ∫

Como V

QCΔ

= ⇒ VQW Δ=21

COMBINACIONES DE CONDENSADORES Generalmente los condensadores se encuentran combinados en los circuitos eléctricos. Los condensadores pueden combinarse de dos formas en paralelo o en serie. A continuación encontraremos la capacidad equivalente de diferentes combinaciones. CONDENSADORES EN PARALELO. La figura siguiente muestra una combinación en paralelo de los condensadores de capacidades C1 y C2

En este caso la diferencia de potencial es igual a

VΔ para los dos condensadores. El Condensador C1 almacena una carga Ql

VCQ Δ= 11 El Condensador C2 almacena una carga Q2

VCQ Δ= 22 La carga total almacenada es

VCVCQQQ Δ+Δ=+= 2121 = ( ) VCC Δ+ 21

Como le Capacidad es V

QΔ

La capacidad equivalente es

21 CCV

QCeq +=Δ

=

Si fueran n condensadores en paralelo la capacidad equivalente sería

∑=

=n

iieq CC

1

CONDENSADORES EN SERIE. La figura siguiente muestra una combinación en serie de los condensadores de capacidades C1 y C2.


87

La diferencia de potencial entre los extremos es

VΔ , de tal manera que la diferencia de potencial en el condensador C1 es 1VΔ y la diferencia de potencial en el Condensador C2 es

2VΔ y 21 VVV Δ+Δ=Δ . Si los dos Condensadores se conectan y luego se cargan, por la conservación de carga se requiere que cada condensador tome la misma carga Q, de tal manera que

11 C

QV =Δ , 2

2 CQV =Δ y

CQV =Δ

Luego 21 C

QCQ

CQ

eq

+=

Simplificando

Q: 21

111CCCeq

+=

Finalmente

21

21

CCCC

Ceq +=

Si fueran n condensadores en serie

∑=

=n

i ieq CC 1

11

Ejemplo 135. En la figura siguiente encontrar la capacidad equivalente entre a y b. Donde C1 = 2

Fμ , C2 = l Fμ y C3 = 3 Fμ .

Solución. Primero tenemos que encontrar el equivalente de los condensadores C2 y C3

FFFCCCeq μμμ 431321 =+=+= . El Sistema se reduce a

C1 y Ceq1. Están en serie, el equivalente es

FCC

CCC

eq

eqeq μ

34

4242

11

11 =+×

=+

=

Ejemplo 136. En la figura, cada condensador tiene C = 4,00 μF y abV = + 28,0 V. Calcule a) la carga de cada condensador; b) la diferencia de potencial entre los bornes de cada condensador; c) la diferencia de potencial entre los puntos a y d

Solución. a)

43

21

eq

11111

CC

CCC

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

)100,4(

1)100,41000,2(

16-6-6- ×

+×+×

=

⇒ F40,2eq μC = . Luego,

VCQQQQ eqtotal4312 ===+

)0,28)(1040,2( 6−×=

C1072,6 5−×=

y ⇒= 3122 QQ

31072,6

3

5total

12

−×==

QQ = C1024,2 5−× y

C1048,4 53

−×=Q Pero también,


88

1221 QQQ == = 2,24 x 10-5 C. b)

1

11 C

QV = 26

5

V60,51000,41024,2 V==

××

= −

−

3

33 C

QV = 6

5

1000,41048,4

−

−

××

= = 11,2 V

4

44 C

QV = 6

5

1000,41072,6

−

−

××

= =16,8 V

c) V8,16V0,284 −=−= VVV abad = 11,2 V Ejemplo 137. Se tiene el sistema de Condensadores mostrado en figura, todos los condensadores tienen capacidad C y se extiende al infinito. ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b?

Solución. Sea la capacidad eqC entre los puntos a y b. Hagamos un corte en el circuito como se muestra en la figura siguiente.

Observamos que el circuito partiendo del corte AA a la derecha es igual al original luego la capacidad equivalente entre a’ y b’ es eqC también. De esta manera el circuito podemos dibujarlo como se muestra a continuación.

Este circuito es equivalente al mostrado al inicio. Luego

Finalmente:

( )( ) CCC

CCCC

eq

eqeq ++

+= =

eq

eq

CCCCC

+

+

2

2

De donde resulta la ecuación 022 =−+ CCCC eqeq

Tomando la solución positiva ( )CCeq 2

15 −=

Ejemplo 138. En el circuito mostrado, cada condensador tiene un valor de 4μ F. Si Vb - Va = 12 voltios, hallar la carga de cada condensador y además Vd – Va..

Solución. Secuencia para calcular las capacidades equivalentes:

2' CC = = ( ) 66 102104

21 −− ×=× μF


89

23

2'' CCCC =+= = ( ) 66 106104

23 −− ×=× μF

53

132

1''' C

CC

C =+

=

( ) 66 104,210453 −− ×=×= μF

a) La carga de cada condensador es la indicada en las figuras precedentes. Cálculo de Q1:

( )CVVQQQ abCC −=== '''''1 = 12(2,4 x 10-6) =28,8 x 10-6 μC Cálculo de Q2 y Q3:

6132 108,28 −×==+ QQQ (1)

212'

3

2 ===C

CCV

VCQQ

(2)

De (1) y (2): 6

2 106,9 −×=Q μC y 63 102,19 −×=Q μC

b) ''

1

CQVV ad =− = 6

6

106108,28−

−

×× = 4,8 V

Ejemplo 139. Un condensador de radio consiste de cinco placas igualmente espaciadas cada una de área A y separadas una distancia d.

Calcular la capacidad cuando las placas se conectan en las formas mostradas en las figuras (a) y (b).

Solución. El caso (a): Como la placa media y las dos adyacentes están unidas al mismo potencial, de tal manera que no hay campo entre ellas, y las placas extremas están al mismo potencial, de tal manera que el sistema consiste de dos condensadores en paralelo.

La Capacidad es: d

ACCeq

022

ε==

El caso (b): La figura a continuación muestra como se forman los campos y es equivalente a cuatro condensadores en paralelo.

La Capacidad es: d

ACCeq

044

ε==

Ejemplo 140. Dos Condensadores de Capacidades 1 Fμ y 2 Fμ , cargados cada uno a 50 voltios se conectan en las dos formas posibles. ¿Cuales son la carga y diferencia de potencial de cada condensador en cada caso? Solución. La Carga que toman los condensadores a 50 voltios, es


90

50101 411 ××== −VCQ = 0,5 x 10-6 C

50102 4

22 ××== −VCQ = 1,0 x 10-6 C

Primera posibilidad: Conectar positivo con positivo y negativo con negativo

Esta conexión nos da que la carga en cada condensador sigue siendo la misma

1Q = 0,5 x 10-6 C y 2Q = 1,0 x 10-6 C La diferencia de potencial sigue siendo 50 voltios. Segunda posibilidad: Conectar positivo con negativo y negativo con positivo.

En este caso la carga se redistribuirá

De tal manera que

( ) 212121 '' QQQQQQ −=−+=+ 666

21 105,0100,1105,0'' −−− ×−=×−×=+QQ Pero '' 11 VCQ = y '' 22 VCQ =

De aquí 621 105,0'' −×−=+ VCVC

66

6

21

6

102101105,0105,0' −−

−−

×+××

−=+×

−=CC

V

V 3

50' −=V

El valor negativo significa que el potencial es más negativo en la parte superior que la parte inferior. Luego

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×= −

350101' 6

1Q = - 1,66 x 10-5 C

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×= −

350102' 6

2Q = - 3,33 x 10-5 C

Finalmente el esquema queda como sigue

Ejemplo 141.La figura muestra cuatro condensadores. Suponga que todos tienen igual capacidad y que están descargados inicialmente. La llave se lleva primero a la posición a luego a la posición b.

a) ¿Cuál es la carga final en cada uno de los condensadores? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial de cada uno de los condensadores? Solución. Con la llave en posición a.

Con la llave en posición 2.


91

a) Al Poner en la llave en posición a, el condensador tiene la carga

010 VCQ =

Al pasar a la posición b, la carga Q0 se redistribuye como se indica en la figura siguiente

Tenemos

4321 VVVV ++=

111 VCQ =

432 QQQ == La capacidad equivalente de los tres condensadores a la derecha es

432

1111CCCCeq

++=

432

324243

CCCCCCCCCCeq

++=

V1 es común para las dos ramas

CeqQ

CQ 2

1

1 =

Por conservación de carga 210 QQQ +=

Reemplazando Q0 y Q2 encontramos Q1

11

101 QCC

QVC eq+=

( )eqeq CCVC

CCVC

Q+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=1

02

1

1

011

1

De igual manera para Q2

221

01 QQCCVC

eq

+=

( )eq

eq

eq

CCVCC

CC

VCQ

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=1

01

1

012

1

b) La diferencia de potencial de cada uno de los condensadores

( )( ) 0

1

1

1

1

02

1

1

11 V

CCC

CCC

VC

CQV

eq

eq

+=

+==

( )( ) 0

12

1

2

1

01

2

22 V

CCCCC

CCCVCC

CQV

eq

eqeq

eq

+=

+==

( )( ) 0

13

1

3

1

01

3

23 V

CCCCC

CCCVCC

CQV

eq

eqeq

eq

+=

+==

( )( ) 0

14

1

4

1

01

4

24 V

CCCCC

CCCVCC

CQV

eq

eqeq

eq

+=

+==

Como comprobación sumamos los potenciales de cada uno de los condensadores de la derecha, debe de ser igual al potencial del condensador de la izquierda.

4341 VVVV ++=

( ) ( ) 013

10

12

1 VCCC

CCV

CCCCC

eq

eq

eq

eq

++

+=

( ) 014

1 VCCC

CC

eq

eq

++

( ) 01

1

432

111 VCC

CCCCC eq

eq

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

( ) ( ) 01

10

1

11 VCC

CV

CCCC

C eqeq

eq

eq +=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ejemplo 142. Dos esferas aisladas conductoras, cada una con radio 3 cm, están muy separadas conectadas por un alambre (no considerar la capacidad del alambre). Las esferas están cargadas a un potencial de 100 Voltios. Una cáscara esférica de radio 4 cm dividida en dos hemisferios se coloca concentricamente alrededor de una de las esferas conectándola a tierra, formando un condensador esférico; el alambre que une a las esferas pasa a través de un pequeño agujero en las cáscaras. Calcular el potencial final de los dos Conductores. Solución.


92

En la posición antes: La capacidad de cada una de las esferas es 101 4 RC πε= , y la carga en cada esfera es 11011 4 VRVCQ πε== En la posición después: La capacidad de la esfera simple sigue siendo 101 4 RC πε= y su

carga es 212' VCQ = = 1104 VRπε . La capacidad de las esferas concéntricas es

12

2102 4

RRRR

C−

= πε y su carga es

( )TierraVVCQ −= 222''

= 212

2104 V

RRRR−

πε

Como la carga del sistema se conserva: Carga antes = carga después.

211 '''2 QQQ +=

212

210220110 4424 V

RRRR

RVRV−

+= πεπεπε

De aquí:

1

12

22

1

2 V

RRR

V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

Como V1 = 100 V, R1 = 3 cm y R2 = 4 cm, remplazando obtenemos:

100

1441

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=V = 40 V

El potencial final de los dos conductores es 40 voltios. Ejemplo 143. Encontrar la capacidad equivalente entre los puntos a y b, todos los condensadores tienen capacidad C.

Solución. Este caso al parecer muy complicado se simplifica debido a su simetría. El reparto de Cargas al ponerlo a una diferencia de potencial sería como se muestra a continuación:

Claramente se ve que este circuito es igual al que se muestra en la figura a continuación:

Y esto nos lleva a:

Continuando la simplificación


93

y por último

Ejemplo 144. Encontrar la capacidad equivalente entre los puntos a y b, todos los condensadores tienen capacidad C.

Solución. A este circuito aparentemente complejo, porque no está ni en serie ni en paralelo podemos hacerle algunas transformaciones sin cambiarlo.

Entre a y c hay un solo condensador Entre a y d hay un solo condensador Entre c y d hay un solo condensador Entre d y b hay un solo condensador Entre c y b hay un solo condensador Esto nos permite hacer el dibujo equivalente siguiente

El que también se puede dibujar como

Podríamos resolverlo en forma similar al hexágono anterior, pero lo vamos a hacer en forma diferente. Se puede ver: adab VV = y dbcb VV = Con lo que podemos concluir:

dc VV = , esto hace que el condensador entre c y d no se cargue y es como si no existiera, con lo que el circuito queda reducido, a condensadores en paralelo el que podemos ir simplificando hasta encontrar el condensador equivalente.

Ejemplo 145. Sean cuatro condensadores conectados como se indica en la figura anexa. Con el interruptor S abierto, se aplica una diferencia de potencial abba VVV =− = 9 V.

a) Calcule el valor de la carga de cada condensador. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial

dccd VVV −= ? ¿Qué punto está a mayor potencial? c) Se encierra el interruptor S, sin desconectar la diferencia de potencial abV ¿Cuál es el valor de la carga de cada condensador?


94

d) ¿Cuál es el cambio de energía fi UUU −=Δ al cerrar el interruptor S?

comente el signo de su resultado. Sugerencia use el concepto de condensador equivalente para obtener el valor UΔ . Solución. a) El dispositivo se carga de la manera indicada en la figura siguiente.

0,21

0,31

0,611

=+=eqC

⇒ eqC = 2,0 μ F

De aquí ( )9100,2 6−×=Q = 18,0 μ C Que es la carga que corresponde a cada condensador.

b) 6

6

6 100,31018

100,3 −− ××

=×

=QVcb = 6 V

6

6

6 100,61018

100,6 −− ××

=×

=QVdb = 3 V

dccd VVV −= = dbcb VV − = 6 – 3 = 3 V El punto a está a mayor potencial. c) La distribución de las cargas es como se indica a continuación

Esto se reduce a

Y finalmente

De lo que obtenemos:

( )9105,4 6−×=Q = 40,5x10-6 C = 21 QQ + Como adac VV =

⇒ 62

61

103106 −− ×=

×QQ

⇒ 22

1 =QQ

De estas dos últimas relaciones: 1Q = 27x10-6 C, 2Q = 13,5x10-6 C

d) ( )2

21

abieqi VCU = = ( )( )26 910421 −×

= 1,62x10-4 J

( )2

21

abfeqf VCU = = ( )( )26 9105,421 −×

= 1,82x10-4 J fi UUU −=Δ = 1,62x10-4 - 1,82x10-4

= - 0,20x10-4 J El signo es negativo porque se ha realizado trabajo sobre el sistema porque aumento su capacidad y había que aumentar la carga. Ejemplo 146. El circuito mostrado inicialmente se encuentra con los condensadores X, Y, y Z descargados, y los interruptores S1 y S2 abiertos. Se aplica una diferencia potencial Vab = +120 V entre los puntos a y b. Después de que el circuito esté montado, se cierra el interruptor S1, pero el interruptor S2 se mantiene abierto. Encontrar a) La energía almacenada en el condensador X b) La carga del condensador Y. c) El voltaje a través del condensador Z. d) Si el interruptor S1 se abre, y se cierra S2. Encontrar el voltaje final a través del condensador X,

Solución. a) Figura para a) , b) y c).

2

21

abXX VCU = = ( )( )26 12010921 −× = 0,065 J


95

b) 21

31

61111

=+=+=ZYeqYZ CCC

F2μ=eqYZC

YQ = ( )( )120102 6−×== abeqYZVCQ = 240 mC

c) 6103240,0

−×==

ZZ C

QV = 80 V

d) Con S2 abierto.

La carga del condensador X es:

( )( )120109 6−×== VCQ XX = 1080 x 10-6C La carga del condensador Z es:

ZQ = YQ = 240 x 10-6C Con S2 cerrado. La carga de Y se disipa en una chispa al entrar en contacto las dos armaduras del condensador. Las cargas de X y Z se redistribuyen según la capacidad de cada condensador.

ZXZX QQQQ '' +=+ = 1320 x 10-6C

Como 3103109

''

6

6

=××

== −

−

Z

X

Z

X

CC

QQ

( )610132043' −×=XQ = 990 x 10-6C

Luego 6

6

10910990'' −

−

××

==X

XX C

QV = 110 V.

ENERGÍA ELECTROSTÁTICA DE CARGAS Para colocar una carga q1 en el espacio no se realiza trabajo pero si querernos colocar otra carga q2 tenernos que realizar un trabajo, porque tenemos que traer la carga q2 del infinito donde el potencial es cero hasta el punto situado a r12 de q1 donde el potencial debido a esta última es

12

1

041

rq

Vπε

=

El trabajo realizado es

12

21

02 4

1rqq

VqWπε

==

este trabajo realizado queda como energía en el sistema

12

21

041

rqq

Uπε

=

Ahora si tenernos tres cargas presentes la energía en el sistema es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==

23

32

13

31

12

21

041

rqq

rqq

rqqUW

πε

Este resultado es independiente del radio en que se lleva las cargas a sus posiciones finales. En el caso de ser o cargas la energía electrostática total es la suma de las energías de todos los pares posibles.

∑=

pareslostodos ij

ji

rqq

U04

1πε

Cuando queremos cargar un cuerpo con densidad de carga ρ , consideramos que ya se ha juntado una cantidad de carga q, el trabajo para traer una carga dq del infinito es la energía diferencial que se almacena.

rqdqdU

041πε

=

Siendo dq = ρdV y dV un elemento diferencial del volumen del cuerpo. Nota: El concepto de “voltio” “potencial” en electricidad es similar al concepto de “altura” en gravedad y al concepto de “temperatura” en termodinámica. En todos estos casos, se define un nivel de referencia de el cual se mide voltio/altura/temperatura. El cero para el voltaje se considera el voltaje de la tierra del planeta, llamado en la ingeniería eléctrica “tierra”. El cero para la gravedad se considera ser el nivel del suelo (en el caso de la tierra). El cero para la temperatura se considera ser el Kelvin cero supuesto.


96

Ejemplo 147. Encontrar la energía almacenada al cargar una esfera de radio R con carga uniformemente distribuida de densidad volumétrica ρ . Solución. Supongamos que ya hemos cargado una esfera de radio r, y queremos ponerle un diferencial de carga en el volumen inmediato de espesor dr, como se muestra en la figura.

La Carga q almacenada ya, es

ρπ drrq 3 34

=

La Carga dq que vamos a traer del infinito es ρπ drrdq 2 4=

El trabajo en traer la carga dq es

0

42

0 3 4

4 περπ

πεdrr

rqdqdU ==

El trabajo para la carga toda la esfera se halla integrando r desde 0 hasta R.

∫∫∫ ===RRR

drrr

qdqdUU0

4

0

2

00

0 34

41

επρ

πε

0

52

154

επρ RU =

Como ρπ3

4 3RQ = ⇒ R

QU0

2

453

πε=

Ejemplo 148. Dos anillos coaxiales uniformemente cargados de radios iguales R está en planos paralelos separados una distancia a, el trabajo que se realiza para traer una carga q del infinito al centro de cada uno de los anillos es respectivamente A1 y A2. Encontrar les Cargas q1 y q2 que tienen los anillos. Solución.

El potencial en 1:

( ) 21220

2

0

11

44 Ra

qR

qV+

+=πεπε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

21

0 /141

Ra

qqRπε

El potencial en 2:

( ) 21220

1

0

22

44 Ra

qR

qV+

+=πεπε

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

12

0 /141

Ra

qqRπε

El potencial en el infinito: 0=∞V Trabajo para traer una carga q desde el infinito a 1:

( )∞−= VVqA 11

=( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

21

0 /14 Ra

qqR

qπε

(1)

Trabajo para traer una carga q desde el infinito a2:

( )∞−= VVqA 22

= ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++ 2122

12

0 /14 Ra

qqR

qπε

(2)

(1) y (2) son dos ecuaciones con incógnitas q1 y q2. Resolviendo (1) y (2) obtenemos:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

11

11

1

4

22

2

1

2220

1

21

Ra

AA

RaqRAq πε

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+=

11

11

1

4

22

1

2

2210

2

21

Ra

AA

RaqRA

qπε

Ejemplo 149. Una carga Q = - 800 nC se distribuye uniformemente en un anillo de radio de 2,4 m. Una carga q = + 600 nC se pone en el centro del anillo. Los puntos A y B están situados en el eje del anillo.


97

a) ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza externa que transporta un electrón de B a A? b) si el potencial eléctrico es igual a cero en un punto en el eje del anillo. ¿Cuál es la distancia de este punto del centro del anillo? c) Si se un electrón se lanza a lo largo del eje del anillo desde el infinito. El electrón llega y se detiene momentáneamente en un punto en el eje que está a 5,0 m del centro del anillo. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón en el infinito? d) Si una fuerza externa retira la carga q del centro del anillo y la transporta al infinito. ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza externa? Solución. a) ( )BAAB VVeW −=→

= ( ) ( )⎢

⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− 2122

0 4,28,18,14Qqe

πε

- ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+− 2122 4,22,32,3

Qq

eV -700=→ABW

b) ( )

04,2 2122

=+

−x

Qxq

⇒ m 2,7=x

c) ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−= 2122

0

20

4,20,50,5421 Qqevme πε

⇒ m/s 109 60 ×=v

d) ( )OO VVqW −= ∞∞→

= ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+∞−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2122

0 4,24,24QQq

πε

= + 1,8 x 10-3 J Ejemplo 150. La figura muestra un anillo de radio a con carga + Q distribuida uniformemente. a) Halle la posición z0 donde colocar una carga + q0 de manera que la fuerza eléctrica que el anillo ejerce sobre la carga sea máxima.

b) estando presentes el anillo y la carga q0, y suponiendo conocido z0; obtenga el trabajo necesario en traer una carga q1, desde el infinito hasta la posición (0, 0 ,– z0). c) encuentre el valor y el signo de la carga q1, tal que colocada en el punto (0, 0, – z0) equilibre la carga q0.

Solución. a) El campo eléctrico en el punto (0, 0, z0) es

( ) ( ) kza

QzE z ˆ4

12/32

02

0

0

,0,0 0

+=

→

πε

La fuerza sobre la carga q0 colocada en el punto (0, 0, z0) es

( ) ( ) kzazQqEqF z ˆ

41

2/320

200

0

,0,00 0

+==

→→

πε

Para hallar el valor máximo de →

F derivamos con respecto a z0.

( ) 0ˆ4 2/32

02

0

00

0

0

=+

=→

kza

zdzdQq

dzFd

πε ⇒

( ) ( ) 0312/52

02

20

2/120

2=

+−

+ zaz

za ⇒

03 20

20

2 =−+ zza ⇒

22

0az =

b) Potencial en el punto (0, 0, – z0)

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+=

0

02/12

02

0 )z- (0,0, 24

10 z

qza

QVπε

( ) 0=∞V Diferencia de potencial entre el punto (0, 0, – z0) y el infinito.

( ) ( )∞−=Δ VVV )z- (0,0, 0

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+=

0

02/12

02

0 241

zq

zaQ

πε


98

Trabajo para poner una carga q1 en el punto (0, 0, – z0).

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+=Δ=

0

02/12

02

0

11 24 z

qza

QqVqWπε

c) La figura siguiente muestra las fuerzas sobre q0 debido al anillo con carga Q y a la carga puntual q1.

1qF→

, fuerza sobre qo debido a q1

QF→

, fuerza sobre qo debido a Q La suma de estas fuerzas es cero

01 =+→→

Qq FF ⇒

( ) ( ) 0ˆ4

1ˆ24

12/32

02

00

02

0

10

0

=+

+ kzazQqk

zqq

πεπε ⇒

( ) 2/320

2

30

14

zaQzq+

−=

Ejemplo 151. Se tiene un cilindro conductor muy largo de radio a rodeado por un casquete cilíndrico conductor muy largo de radio interior 3a y radio exterior 4a. Se sabe que la diferencia de potencial entre el casquete conductor y el cilindro es – V0 y que fuera del casquete no hay campo eléctrico. a) Hallar las cargas por unidad de longitud del cilindro y del cascarón conductor. b) Hallar las densidades de carga superficiales el cilindro y en el cascarón conductor. c) Halle la energía almacenada en el campo eléctrico de las distribuciones de cargas. d) A partir del resultado anterior, y de la carga hallada en la parte a), encuentre la capacidad del sistema por unidad de longitud. Solución. a) El potencial del cilindro interior con respecto al exterior es

3ln2

3ln2 00

3 πελ

πελ

==−=ΔaaVVV aa

3ln2 0

0 πελ

=−V

3ln2 00Vπελ −=

b) Densidad de carga superficial en el cilindro.

3ln2 00Vπε

−

Densidad de carga superficial en el cascarón conductor.

3ln2 00Vπε

c) La energía almacenada en el campo eléctrico de la distribución de cargas es

∫= udVU

u = densidad de energía 2

021 Eεu =

Con

rE

02πελ

=

Luego 20

2

22

00 822

1rr επ

λπελεμ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rLdrdV π2= Reemplazando

∫=a

arLdr

rU

3

20

2

2

28

πεπλ

3ln44 2

0

23

20

2

rL

rdr

rLU

a

a πελ

πελ

== ∫

La energía almacenada por unidad de longitud

3ln4 2

0

2

rLU

πελ

=

d) Usando la ecuación

C

QU2

2

=

Como LQ λ= y 3ln4 2

0

2

rLU

πελ

=

Tenemos


99

( )CLLU

23ln

4

2

0

2 λπελ

== ⇒

( )3ln

2

3ln4

2

0

0

2

2 LLLC λπε

πελλ

==

La capacidad del sistema por unidad de longitud.

3ln2 0λπε

=LC

Ejemplo 152. Una esfera conductora de radio a cargada uniformemente con + Q se rodea de un casquete conductor neutro. Se muestran dos situaciones distintas para este arreglo de conductores. Se coloca un interruptor eléctrico S (equivalente a un alambre conductor ideal) entre ambos inicialmente abierto,

Cuando se ase cierra el interruptor S, a) ¿Cuál es la distribución final de cargas en ambos conductores? y b) ¿Cuál fue el trabajo realizado para redistribuir + Q a la distribución resultante? Solución. a) Con S abierto. La carga se localiza tal como se muestra en la figura

La energía potencial cuando el interruptor S está abierto es igual a la de un condensador concéntrico esférico de radios a y 3a con carga + Q mas la energía potencial de una esfera conductora de radio 4a con carga + Q. Capacidad del condensador

( ) aaaaCc 0

20 6

334 πεπε

=−

=

Energía potencial del condensador

aQ

aQUc

0

2

0

2

12621

πεπε==

Capacidad de una esfera conductora. aC a 04 16πε=

Energía potencial de una esfera conductora.

a

Qa

QU a0

2

0

2

4 321621

πεπε==

Energía potencial total actotal UUU 4+=

a

Qa

Qa

Q0

2

0

2

0

2

8411

3212 πεπεπε=+=

Cuando se cierra S: La carga Q se localiza en la superficie externa del casquete esférico La energía potencial es

aQ

aQU a

0

2

0

2

4 321621

πεπε==

El trabajo es igual al cambio de energía potencial

atotal UUUW 4−=Δ=

a

Qa

Qa

Q0

2

0

2

0

2

12328411

πεπεπε=−=

El trabajo es realizado por la fuerza eléctrica es:

aQW

0

2

12πε=

Ejemplo 153. En dispositivo del problema anterior además del interruptor se coloca una fuente de voltaje constante V0 con la polaridad indicada. Al conectar S, la esfera adquiere una carga Q1 y el casquete una carga Q2 de manera que debe conservarse la carga y el voltaje entre ambos será V0 Hallar los valores de Q1 y Q2 en función de Q, indicando sus respectivos signos (positivo o negativo).


100

Solución. Al cerrar el interruptor la localización de cargas es como se muestra en la figura siguiente

Cálculo de Q1 Corresponde a la carga de un condensador esférico concéntrico con radios a y 3a con una diferencia de potencia V0 ente las armaduras

aCab 06πε= ⇒ 0

01

6V

aQ πε=

Cálculo de Q2 Corresponde a la carga de una esfera conductora de radio 4a

aC a 04 16πε= ⇒ 0

02

16V

aQ πε=

La suma de las cargas Q1 y Q2 es Q

0

0

0

0

0

021

22166V

aV

aV

aQQQ πεπεπε=+=+=

Luego

QQ113

1 = , QQ118

2 =

ENERGÍA ALMACENADA POR UN CONDENSADOR La energía que se almacena en el condensador es igual a la energía requerida para cargarlo. Ahora encontraremos esa energía. Consideremos que se ha tomado una carga q de una de las placas de un condensador de capacidad C colocado sobre la otra, la diferencia de potencial entre ellas es

CqV =

Para transferir en este instante una carga dq de una placa a la otra. El trabajo requerido para transferir esta carga es

VdqdUdW ==

Poniendo V en función de q

dqCqdW =

Para obtener el trabajo total integramos desde q = 0 hasta la carga total q = Q0.

CQ

qdqC

UQ 2

0

0 211 0 == ∫

Como 00 CVQ = ⇒ 202

1 CVU =

Esta expresión es general para todo tipo de condensador, ya que la geometría del condensador no interviene en el razonamiento. Densidad de energía del campo eléctrico. Es razonable considerar que esta energía se almacena en el campo eléctrico y por lo tanto es conveniente definir el concepto de densidad de energía del campo eléctrico, para esto consideremos un condensador de placas paralelas, despreciando las irregularidades de

1os extremos tenemos dA

C 9ε=

Y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

dV

AVdA

CVQ 000

000 ε

ε

000 AEQ ε= La densidad de energía es

VolumenU

E =μ

el volumen es: Ad ( )( )

AddA

AECQ

E0

200

20

21

Volumen21

εε

μ ==

2002

1 EE εμ =

Aunque para esta demostración particularizamos para el caso de placas paralelas, esta ecuación es aplicable para cualquier caso. Ejemplo 154. Se tiene un condensador esférico con radio interior a y radio exterior b, cuando la diferencia de potencial entre las cáscaras esféricas es V0, calcular la energía electrostática almacenada. Solución. La capacidad de este condensador es

ababC−

= 04πε

La energía almacenada es


101

( )2

002

0 421

21 V

ababCVU−

== πε =

( )2

002 Vab

ab−

πε

Otra forma de cálculo es mediante la densidad de energía.

202

1 EE εμ =

Por la ley de Gauss evaluamos E

El Campo eléctrico entre las cáscaras es

294 r

QEπε

=

Donde ( ) 000 4 Vab

abCVQ−

== πε

Luego: ( ) 20

rV

ababE−

=

-reemplazando el valor de E en 202

1 EE εμ =

( ) 4

20

2

220

2 rV

abba

E −=

εμ

Para obtener la energía total

dVdU

E =μ ,

Con drrdV 24π= y dVdU Eμ=

∫∫ == dVdUU Eμ = ( )∫ −

b

adr

rV

abba

2

20

2

220

2ε

=

( ) ∫−

b

a rdr

abVba

22

20

2202πε

=( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− baabVba 1122

20

220πε

Finalmente: ( )2

002 Vab

abU−

= πε

Resultado igual al evaluado directamente, lo cual prueba la aseveración que hicimos sobre la generalidad de la expresión de la densidad de energía. Ejemplo 155. El cilindro interior de un condensador cilíndrico largo tiene un radio r y una densidad de carga lineal +λ . Está rodeado de una coraza conductora cilíndrica coaxial con un radio interior ra y una densidad de carga lineal - λ .

a) ¿Cuál es la densidad de energía en la región comprendida entre los conductores a una distancia r del eje? b) Integre la densidad de energía calculada en el inciso (a) con respecto al volumen entre los conductores, en una longitud L del condensador, para obtener la energía total de campo eléctrico por unidad de longitud.

c) Con base en la ecuación C

QU2

2

= y la

capacidad por unidad de longitud, calcule U/L. ¿Concuerda su resultado con el obtenido en el inciso (b)?

Solución. a) La densidad de energía es

202

1 Eεu =

Como r

E02πε

λ=

2

00 2

λ21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rπεεu

= 20

2

2

8λ

rεπ

b) ∫∫∫ ===b

a

r

r rdr

πεLλurdrπLudVU

0

2

42 ⇒

a

b

rr

πεLU ln

4λ

0

2

= .

c) Usando la ecuación C

QU2

2

= :

a

b

a

b

rrL

rr

LQ

CQU ln

4λln

42 0

2

0

22

πεπε=== = U de

la parte (b). Ejemplo 156. La red de condensadores mostrados está montada con los condensadores inicialmente descargados. Una diferencia de potencial V

ab = 10,0 V se aplica a través de la

red. El interruptor S en la red se mantiene abierto. Calcule:


102

a) la capacidad equivalente de la red. b) la diferencia de potencial V

c – V

d.

c) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. Se cierra el interruptor S manteniendo la diferencia de potencial V

ab en 10,0 V.

d) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. e) el cambio de energía electrostática ΔU = U

f -

Ui, antes y después de cerrar el interruptor S.

Comente su resultado.

Solución. a) la capacidad equivalente de la red.

b) la diferencia de potencial V

c – V

d.

61

104 −×=

QVbc , 62

106 −×=

QVbd

( )( )0,10108,4 6−×=Q = 48 x 10-6 C.

Q1 = Q2 = Q/2 = 24 x 10-6 C

Luego: 6

6

1041024

−

−

××

=bcV = 6 V,

6

6

1061024

−

−

××

=bdV = 4 V.

Vc –Vd = Vbc – Vbd = 6 - 4 = 2 V. c) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. Vbd = 4 V, ( )( )4102 6

2−×=FQ μ = 8 x 10-6 C.

Se cierra el interruptor S manteniendo la diferencia de potencial V

ab en 10,0 V.

d) la carga y voltaje en el condensador de 2,0 μF. Como las capacidades equivalentes de la parte superior y la inferior son iguales a 10 μF, las diferencias de potencial de la parte superior y la parte inferior son iguales a 10/2 = 5 V. Luego ( )( )5102' 6

2−×=FQ μ = 10 x 10-6 C.

e) el cambio de energía electrostática ΔU = Uf -

Ui, antes y después de cerrar el interruptor S.

Comente su resultado Antes de cerrar

2

21 VCU ieqi = = ( )( )26 10108,4

21 −×

= 2,4 x 10-4 J. Después de cerrar

2

21 VCU feqf = = ( )( )26 10105

21 −×

= 2,5 x 10-4 J. ΔU = 2,5 x 10-4 - 2,4 x 10-4. = 0,1 x 10-4 J = 10 x 10-6 J. La capacidad equivalente en la nueva configuración es mayor que en la original, siendo la diferencia de potencial igual, la energía almacenada en la nueva configuración es mayor.


103

Ejemplo 157. Las unidades de destello electrónico para cámaras fotográficas contienen un condensador para almacenar la energía con la que se produce el destello. En una de estas unidades, el destello dura 1,48 ms con una emisión de potencia lumínica promedio de 2,70 x l05 W. a) Si la conversión de energía eléctrica en luz tiene una eficiencia de 95% (el resto de la energía se transforma en energía térmica), ¿cuánta energía es necesario almacenar en el condensador para un destello? b) El condensador tiene una diferencia de potencial entre sus placas de 125 V cuando la energía almacenada tiene el valor calculado en el inciso (a). ¿Cuál es la capacidad? Solución. a) La energía eléctrica lumínica es

)1048,1)(1070,2( 35 −××== PtE = 400 J Esto corresponde al 95% de la energía original. Luego la energía necesaria a almacenar en el condensador para un destello es

95,0J 400

=U = 421 J

b) Tenemos 2

21 CVU = ⇒

22 )125()421(22 ==

VUC = 0,054 F.

FUERZAS, TORQUES Ahora mostraremos como la fuerza sobre uno de los objetos en un sistema cargado puede calcularse a partir de la energía electrostática. Consideremos un sistema formado por dos placas, si permitimos el movimiento xΔ de una de ellas,. El trabajo mecánico realizado por una fuerza exterior F para mover las placas es:

xFW Δ=Δ Siendo F la fuerza entre las placas, este trabajo debe ser igual al cambio de energía electrostática en el condensador. Si el objeto en mención es obligado a un movimiento de rotación debido a un torque τ y a un desplazamiento es θΔ , el trabajo realizado es

θτ Δ=Δ W Ejemplo 158. ¿Cuál es la fuerza entre las placas de un condensador de placas paralelas, al separarlas una distancia dx en, el condensador

tiene una área A, separación entre placas d y Carga Q? Solución. El trabajo xFW Δ=Δ es igual al cambio de la energía electrostática

CQU

2

21

=

El cambio es (por derivación con respecto a C)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ=Δ

CQU 1

21 2 .

Con ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

Ad

dAC 00

11εε

Como 0ε y A son constantes, el único variable es d y xd Δ=Δ .

Luego tenemos: Ax

C 0

1εΔ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ

Y AxQU

0

2

2εΔ

=Δ

Siendo xFWU Δ=Δ=Δ , podemos escribir:

AxQxF

0

2

2εΔ

=Δ ⇒ A

QF0

2

2ε=

Reacomodando: A

QQF02

1ε

=

Como AQ

=σ y 0εσ

=E ⇒ A

QE0ε

=

Finalmente: QEF21

=

Este resultado que es diferente en el factor ½ al que esperábamos por intuición se debe que el campo E no es el campo en las cargas, ya que la carga en la superficie tiene un espesor muy delgado y el campo va desde 0 en el interior hasta E en el espacio entre las placas, es decir la distribución superficial de cargas tiene un espesor. El campo que actúa sobre las Cargas es el promedio 2/E , esto explica el factor ½. CAMPO ELÉCTRICO EN UN DIELÉCTRICO Dieléctrico es un material no conductor como por ejemplo el vidrio, el papel, el plástico. Faraday experimentando con condensadores aplicó la misma diferencia de potencial a dos condensadores de placas paralelas iguales, pero uno de ellos con un material dieléctrico entre las placas y observó que el condensador con dieléctrico almacena mayor carga. La capacidad de un condensador de placas paralelas es


104

dA

C 0ε=

y la carga con respectó a la diferencia de potencial es:

CVQ = Con un material dieléctrico la carga es mayor, o sea, aumenta la capacidad. Manteniendo la carga constante, al poner el dieléctrico, siendo las características de la capacidad las dimensiones, la diferencia de potencial disminuirá. Como V = Ed, el Campo eléctrico entre las placas disminuye, esto se explica porque las cargas del dieléctrico en presencia del campo eléctrico se orientan como se muestra en la figura siguiente, a este efecto decimos que el dieléctrico está polarizado.

El dieléctrico polarizado a pesar de ser eléctricamente neutro en promedio produce un Campo eléctrico tanto exterior como interiormente, como resultado de esto aparece un campo eléctrico opuesto al original, disminuyéndolo. POLARIZACIÓN. CARGAS DE POLARIZACIÓN. La figura a continuación nos muestra un átomo en un dieléctrico en ausencia de campo eléctrico, la carga positiva en el centro y la carga negativa distribuida uniformemente.

Pero en presencia de un campo eléctrico se produce una distorsión como se muestra en la figura siguiente.

El átomo se polariza, y esta configuración equivale en primera aproximación a un dipolo eléctrico.. Es razonable considerar que si el campo no es demasiado grande al momento sobre el dipolo será proporcional a la intensidad de este campo.

Si consideramos que →

p sea el momento dipolar de cada átomo y que tenemos N átomos por unidad de volumen, el momento dipolar por

unidad de volumen será →

pN , al que llamaremos

Vector polarización →

P . →→

= pNP →

P = momento dipolar por unidad de volumen, que tiene el mismo valor en todos los puntos del dieléctrico.

Como →→

= δqp , siendo δ el desplazamiento promedio de las cargas positivas y negativas en

el sentido de →

p , podemos escribir →→

= δNqP Consideremos un cuerpo tetraedral polarizado, tal como se muestra en la figura siguiente

En la superficie aparecen sólo cargas negativas. Sea A la superficie total del tetraedro y el volumen inmediato es δA (recordar que δ es la longitud del dipolo).


105

El momento dipolo de este volumen es ( )→

PSδ ,

esto lo podemos escribir corno →

δSP . Si es la carga q la que debe desplazarse una distancia δ de - q para producir el momento dipolo tenernos

→→

= δδ qSP , de donde obtenemos : SPq = .

Y PSq

P == σ

Llamando a PSq σ= densidad de carga

superficial debido a la polarización.

En general nPP ˆ⋅=→

σ , donde n es la dirección normal a la superficie y q la carga total en la superficie.

dSnPdSqAA P ˆ⋅== ∫∫→

σ

Ahora observamos lo que sucede en el interior del volumen, le figure muestra el volumen inmediato interior a la superficie.

Por el principio de conservación de la carga, la carga dejada en este volumen V debe ser igual a - q, Donde dVq

V P∫=− ρ

Siendo Pρ la densidad de carga por volumen debido a la polarización.

Para evaluar Pρ en función de →

P

dVdSnPqV PA ∫∫ =⋅−=−

→

ρˆ

Usando el teorema de la divergencia convertimos la integral de superficie en integral de volumen.

dVPdSnPVA ∫∫

→→

⋅∇=⋅− ˆ

Donde →

⋅∇ P .es la divergencia de →

P , el

operador ∇ opera vectorialmente sobre →

P . Luego

dVPdVVV P ∫∫

→

⋅∇=ρ

De este último obtenemos finalmente

→

⋅−∇= PPρ Ejemplo 159. Una varilla delgada dieléctrica de sección transversal A se extiende a lo largo del eje x desde x = 0 a x = L la polarización es

longitudinal y está dada por ( )ibaxP ˆ 2 +=→

. Encontrar la densidad de Carga de polarización y mostrar explícitamente que la carga total es cero. Solución.

Primero encontremos la densidad superficial

nPP ˆ⋅=→

σ

Para la cara en x = 0, in ˆˆ −= y ibP ˆ=→

:

( ) ( ) biibxP −=−⋅==ˆˆ

0σ

Para la cara en x = L, in ˆˆ = y ( )ibaLP ˆ2 +=→

:

( ) ( ) baLiibaLLxP +=⋅+==22 ˆˆσ

Para la superficie cilíndrica lateral, como →

⊥ Pn 0 =SPσ

La densidad volumétrica

→

⋅∇= PPρ = ( )ibaxkdz

jdy

idx

ˆˆˆˆ 2 +⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂+

∂+

∂

= ( )baxdx

+∂ 2 = ax2

La Carga total es:

( ) ( ) dVAAQV PLxPxPT ∫++= == ρσσ 0

= ( ) ( )∫+++−L

AdxaxAbaLbA0

2 2

022 =+++−= aALbAAaLbAQT Valor que esperábamos encontrar. LA LEY DE GAUSS PARA DIELÉCTRICOS - DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Supongamos una región en que tenemos una carga q en un medio dieléctrico, este medio se polariza y aparecen cargas por polarización, aplicando la ley de Gauss.


106

( )PSQqdSnE +=⋅∫

→

0

1ˆε

Donde PQ es la carga de polarización.

dVPdVQVV PP ∫∫

→

⋅∇−=−= ρ

Convirtiendo la integral de volumen a integral de superficie por el teorema de la divergencia.

dSnPdVPSV

ˆ⋅=⋅∇ ∫∫→→

Obtenemos: dSnPQSP ˆ⋅= ∫→

De aquí:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=⋅ ∫∫

→→

dSnPqdSnESS

ˆ1ˆ0ε

⇒ dSnPqdSnESS

ˆˆ0 ⋅+=⋅ ∫∫→→

ε

Y qdSnPES

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫

→→ˆ00 εε

Definamos el Campo vectorial Desplazamiento

eléctrico ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →

D

→→→

+= PED 0ε Y tenemos la ley de Gauss para dieléctricos

qdSnDS

=⋅∫→

ˆ

LA CONSTANTE DIELÉCTRICA Vimos que la polarización del medio ocurre como una respuesta al campo eléctrico en el

medio, pera el caso en que →

P desaparece cuando

se quita →

E y para materiales isotrópicos en los

cuales se orienta según →

E , →

P es proporcional a , pare Campos no muy intensos

→→

= EP χ Donde χ es llamada Susceptibilidad eléctrica,

como→→→

+= PED 0ε :

( )→→→→

+=+= EEED χεχε 00

Llamando a ( ) εχε =+0 , Permitividad del

material obtenemos una relación entre →

D y →

E . El comportamiento de un material queda completamente especificado ya sea por la permitividad ε o por la susceptibilidad χ . Sin embargo es más conveniente trabajar con una cantidad sin dimensiones, La constante dieléctrica K.

0εε

=K

Para el vacío K =1 CONSTANTE DIELÉCTRICA DE ALGUNOS MATERIALES MATERIAL K Vidrio 5 - 10 Mica 6,0 Nylon 3,5 Madera 2,5 - 3,0 Caucho 2 – 3,5 Agua destilada (20 ºC) 60 Aire (1 atm) 1,00059 Ejemplo 152. Cuál es la capacidad de un condensador de placas paralelas de área A y separación d, cuando se le introduce un dieléctrico de constante K que llena completamente el espacio entre placas. Solución. El Campo eléctrico entre las placas es:

εσ

=E

Donde AQ

=σ y 0εε K=

∴ AK

QE0ε

=

La diferencia de potencial entre las placas

dAK

QdEV0ε

=⋅=→→

∫ l

La Capacidad es dAK

VQC 0ε==

La capacidad de1 condensador, con dieléctrico es K veces a la capacidad sin dieléctrico. Si al dieléctrico cubriera parte del espesor del espacio que separa a las placas, digamos un espesor t, como se muestra en la figura.


107

En este caso tenemos el campo eléctrico en parte vacío y en parte con dieléctrico. En el vacío:

AQEvacío00 εε

σ==

En el dieléctrico:

AKQE odieléctric εε

σ==

La diferencia de potencial entre las placas

( ) tEtdEdEV dilecvac +−=⋅=→→

∫ l

= ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

Kttd

AQ

0ε

y la Capacidad

( )Kttd

AC

+−= 0ε

Ejemplo 160. Evaluar el Campo eléctrico debido a una Carga puntual q dentro del dieléctrico de constante K. Solución. Aplicamos la ley de Gauss para una superficie esférica de radio r, Colocando a la carga q en el origen.

qdSnDS

=⋅∫→

ˆ

qrD =2 4π ⇒ 2 4 rqDπ

= y rr

qD ˆ4 2π

=→

El Campo eléctrico es

0εε KDDE→→

→

== = rrK

q ˆ 4 2

0επ

En el caso en que la carga q esté entre dos medios distintos de constantes K1 y K2

Aplicamos la ley de Gauss para una superficie esférica de radio y.

qdSnDS

=⋅∫→

ˆ ⇒ qrDrD =+ 22

21 2 2 ππ

Pero EKED 0111 εε == y

EKED 0222 εε ==

Luego: qrEKrEK =+ 202

201 2 2 πεπε

( ) qKKrE =+ 212

0 2πε

y ( ) 2210 2 rKK

qE+

=πε

Vectorialmente: ( ) rrKK

qE ˆ 2 2

210 +=

→

πε

Ejemplo 161. Se tiene un condensador de placas paralelas cargado con carga Q y aislado de manera que la carga en las placas se conserva. Calcular la energía en el condensador antes y después de insertar un dieléctrico, llenando todo el espacio entre las placas. En base a lo calculado, ¿se realizó algún trabajo para insertar el dieléctrico? ¿Quien lo realizó? Solución.

CQU i

2

21

=

KCQU f

2

21

=

if UUU −=Δ = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −11

21 2

KCQ

Si se realiza un trabajo, ese trabajo lo realiza el ente que ejerce la fuerza para introducir el dieléctrico. Ejemplo 162. Cuál es la fuerza F necesaria para introducir un dieléctrico de constante k entre les placas de un condensador de placas paralelas, las placas se mantienen a una diferencia de potencial constante V. Siendo las dimensiones del condensador, área La, separación d. Solución.


108

La figura muestra el dieléctrico parcialmente insertado, la energía potencial acumulada en esta posición es igual a la energía de la parte con dieléctrico (x) más la energía de la parte sin dieléctrico (L – x).

( ) ( ) ( ) ( )2020

21

21 V

dxLa

Vd

xaKU Δ

−+Δ=

εε

La fuerza es xUFF x ∂∂

==

De aquí ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Δ

−+Δ

∂∂

= 2020

21

21 V

dxLa

Vd

xaKx

Fεε =

( ) ( )2020

21

21 V

da

Vd

aKΔ−Δ

εε

Finalmente ( )( )20 121 VK

da

F Δ−=ε

Ejemplo 163. Un condensador de placas paralelas que tiene sólo aire entre las placas se carga conectándolo a una batería. El condensador se desconecta luego de la batería, sin que las placas pierdan nada de carga. a) Un voltímetro muestra una lectura de 45,0V cuando se coloca entre los bornes del condensador. Cuando se inserta entre las placas un dieléctrico que ocupa todo el espacio, la lectura del voltímetro es de 11,5 V ¿Cuál es la constante dieléctrica de este material? b) ¿Cuál será la lectura del voltímetro si ahora se retira parcialmente el dieléctrico de modo que ocupe sólo un tercio del espacio entre las placas? Solución. a) Q es constante. Sin el dieléctrico

CQV = (1)

Con el dieléctrico

KCQ

CQV ==

'' (2)

Dividiendo (1) : (2)

K

KCQCQ

VV

=='

Luego

5,150,45

'==

VVK = 3,91

b) La carga Q permanece constante

dAQ 0ε=

El condensador con las dos terceras partes del dieléctrico fuera es equivalente al gráfico siguiente

La capacidad de la parte sin dieléctrico C’

dAC

32' 0ε= , su carga Q’ = C’V’

La capacidad de la parte con dieléctrico C’’

d

AKC3

'' 0ε= , su carga Q’’ = C’’V’’

Como están en paralelo Siendo Q’ + Q’’ = Q

VdAV

dAKV

dA 000 '

3'

32 εεε

=+

Simplificando ( ) VVK

=+ '3

2 ⇒

( ) ( ) ( )0,4591.32

32

3'+

=+

= VK

V

= 22,84 V


109

Ejemplo 164. Dos placas conductoras cuadradas con lados de longitud ¿están separadas por una distancia d. Se inserta una placa dieléctrica con constante K y dimensiones L x L x d una distancia x en el espacio entre las placas, como se muestra en la figura siguiente.

a) Halle la capacidad Cx de este sistema. b) Suponga que el condensador está conectado a una batería que mantiene una diferencia de potencial constante V entre las placas. Si se inserta la placa dieléctrica a una distancia adicional Δx en el espacio entre las placas, demuestre que el cambio de energía almacenada es

xKLVd

U Δ−=Δ )1(21 20ε

c) Suponga que, antes de desplazar la placa la distancia Δx, se desconectan las placas de la batería para que las cargas de las placas permanezcan constantes. Determine la magnitud de la carga de cada placa, y luego demuestre que, cuando la placa se introduce una distancia adicional Δx en el espacio entre las placas, la energía almacenada cambia en una cantidad que es el negativo de la expresión de ΔU dada en el inciso (b). d) Si F es la fuerza que las cargas de las placas ejercen sobre la placa, entonces ΔU debe ser igual al trabajo realizado contra esta fuerza para desplazar la placa una distancia Δx. De este modo, ΔU = F Δx. Demuestre que la aplicación de esta expresión al resultado del inciso (b) sugiere que la fuerza eléctrica sobre la placa empuja a ésta hacia afuera del condensador, en tanto que el resultado del inciso (c) sugiere que la fuerza jala de la placa hacia adentro del condensador. e) La figura a continuación muestra que, de hecho, la fuerza jala de la placa hacia adentro del condensador. Explique por qué el resultado del inciso (b) indica incorrectamente la dirección de la fuerza y calcule la magnitud de ésta. (Este método no demanda conocer la naturaleza del pestañeo del campo).

Solución.

a) ( ) xLd

KεLxLdεCx

00 +−=

( )[ ]xKLLdε 10 −+=

b) La diferencia de potencial V se mantiene constante.

Al inicio la energía es

2

21 VCU xx =

Al desplazar la placa la distancia Δx 2

21 VCU xxxx Δ+Δ+ = , con

( )( )[ ]xxKLLdεC xx Δ+−+=Δ+ 10

Luego

( ) 2

21 VCCUU xxxxxx Δ+Δ+ −=−

Siendo ( ) xKdLεCC xxx Δ−=− Δ+ 10

Tenemos

xKLVd

U Δ−=Δ )1(21 20ε

Podemos llegar al mismo resultado Por derivación de Ux.

2

21 VCU xx =

( ) 200

21 VxL

dKεLxL

dε

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

( )[ ] 20

21 VKxxLL

dε

+−=

( )[ ]KxxLdLVdεdU x +−= 20

21

( )dxKLVdε 1

21 20 −=

c) La carga Q se mantiene constante sobre las placas


110

Entonces

[ ]xKLdLVεQ )1(0 −+=

Energía en posición x

xx C

QU2

21

=

Energía en posición x + Δx

x

xx

x

x

xxx

xxxx C

CCQ

CCC

QCQU Δ+

Δ+Δ+

Δ+ =×

==222

21

21

21

x

xxx C

CU Δ+=

Reemplazando

( )[ ]xKLLdεCx 10 −+= y

( )( )[ ]xxKLLdεC xx Δ+−+=Δ+ 10

Obtenemos

( )( )[ ]

( )[ ]xKLLdε

xxKLLdε

CC

x

xx

1

1

0

0

−+

Δ+−+=Δ+

( )( )[ ]xKL

xK1

11−+Δ−

+=

Luego

( )( )[ ]⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧

−+Δ−

+=Δ+ xKLxKUU xxx 1

11 ⇒

( )( )[ ]xKL

xKVCUU xxxx 11

21 2

−+Δ−

+=Δ+ ⇒

( ) xKLVd

UU xxx Δ−−=− Δ+ 121 20ε ⇒

( ) xKLVd

U Δ−−=Δ 121 20ε

d) Como

FdxdU −= =( )

dxD

LVK21 2

0ε−

La fuerza esta en la dirección opuesta al movimiento dx, significando que la placa dieléctrica sienta una fuerza que lo empuja hacia afuera.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Considere dos esferas iguales cargadas con 1C separadas en una distancia r. (a) Calcule la masa que debieran tener las esferas para que se encuentren en equilibrio estático considerando la fuerza gravitacional y la electrostática. (b) Considerando que la densidad de masa de las partículas es de 5,5g/ cm3 (aproximadamente la densidad del hierro), ¿Cuál es la distancia mínima a la cual se pueden poner dichas esferas? Indicación: Aproxime la fuerza entre las esferas como cargas puntuales. La constante de gravitación universal es G = 6,67 x 10−11Nm2/ kg2 y la constante en la Ley de Coulomb es k =9 x 109Nm2/C2. Respuesta m = 1, 16 · 1010 kg; r = 159, 18m (entre centros) 2. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a. Determine la

magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada una de ellas.

Respuesta.

°= 30cos2

12

2

0 aQF

πε

3. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante cuerdas de longitud L. Cuando cada una de las esferas tiene carga q, las cuerdas forman un ángulo con la vertical como indica la figura. Demuestre que la carga q viene dada por


111

q = 2L sen θ mg tan θ/k ,donde k es la constante de Coulomb. Determine q si m = 10g, L = 50cm y θ = 10°.

Respuesta 2,4061 x 10−7 C 4. Dos globos iguales llenos de Helio, están cargados con carga igual Q. Mediante dos hilos de longitud 1m amarrados a los globos se suspende una masa de 0, 005 kg quedando el sistema flotando en equilibrio con los hilos formando un ángulo de 60° entre sí. Determine el valor de la carga Q.

Respuesta 1, 2537 x 10−6 C 5. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta separadas una distancia a. Determine los puntos en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. 6. Se tienen tres cargas como se indica en la figura.

a) Calcular el campo eléctrico en el origen del sistema coordenado. b) Determinar la fuerza que se ejerce sobre la carga en el eje x.

7. Cuatro cargas puntuales q, 2 q, - 4 q y 2 q están fijas en los vértices de un cuadrado de lado b. En el centro del cuadrado se coloca una quinta carga q. (a) Indique en que dirección apunta la fuerza que actúa sobre la carga central q. (b) Calcule explícitamente la fuerza (magnitud y dirección). Respuesta Eligiendo el eje x como la diagonal que va desde - 4q a 2q y el eje y como la diagonal que va desde la otra carga 2q a la carga q, las

componentes de la fuerza son: 20

23b

qFx πε= ,

20

2

2 bqFy πε

=

8. Dos cargas Q1 y Q2 están a una distancia d: (a) Determine el punto en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. (b) Si se trae desde el infinito una tercera carga situándolo donde el campo eléctrico es cero, ¿La energía gastada en el proceso es también cero?. Calcúlela. 9. Ocho cargas puntuales de magnitud q se encuentran en los vértices de un cubo de arista a.

a) Determine la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga en el origen, producida por las otras y b) la magnitud de la fuerza sobre cualquier carga. Respuesta

a) ( )kjiakqF ˆˆˆ

331

2112

2

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

→

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

331

21132

2

akqF

10. En el problema anterior, calcule la energía que se requiere para formar la mencionada distribución de cargas


112

11. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje x. Q1 = q en x = a y Q2 = −4q en x = - a . Encuentre una expresión vectorial en coordenadas cartesianas para la fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q, ubicada en un punto cualquiera del plano XY. Encuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos en los cuales la carga de prueba esta en equilibrio. Discuta si el equilibrio es estable o inestable. Respuesta

( )( )[ ]

( )( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+++

+−

+−=

→

232223220

ˆˆ4

ˆˆ4 yax

jyiaxyax

jyiaxqQFπε

,

el punto (3a, 0) es un punto de equilibrio inestable. 12. Deduzca una expresión para el campo eléctrico producido por un trozo recto de hilo de longitud L con carga Q distribuida uniformemente en su longitud, en un punto de coordenadas (x; y), estando el origen en el extremo izquierdo del hilo y el eje y perpendicular al hilo.

13. De una barra fina vertical que tiene densidad lineal uniforme de carga λ = 10- 4 C/m, se suspende una carga puntual de magnitud Q = 10-

5 C de masa m = 0,1g, amarrándola con un hilo de longitud L = 1m a un punto de la barra. Determine la tensión en el hilo y el ángulo que forma con la vertical en la posición de equilibrio.

14. Una barra fina infinita, con densidad lineal de carga λ, se dobla en forma de horquilla como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto O.

Respuesta

E = 0 15. Dos barras aisladoras delgadas se disponen como se indica en la figura, una con densidad de carga ρ0 y la otra con ρ = 2ρ0.

a) Calcular el campo eléctrico en el origen. b) Determinar la fuerza que se ejercen las barras sobre una carga q dispuesta sobre el eje x. c) Encuentre el o los puntos en los cuales la fuerza sobre q es nula. 16. En la figura la semicircunferencia yace en el plano yz mientras la carga Q es una carga puntual contenida en el eje z a la distancia a del origen. Tanto Q como λ son positivos.

a) Encontrar una expresión para el campo eléctrico sobre el eje x debido a ambas cargas. b) ¿Qué relación debe existir entre Q y la carga total de la semicircunferencia para que el campo eléctrico en el origen sea nulo? 17. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. 18. Un anillo aislador de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. a) Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. b) Si la carga puntual hubiese estado fija y el anillo se trae desde infinito a la posición descrita antes, ¿Cuál sería su respuesta?.


113

19. Dos partículas, cada una con masa m y carga q, están suspendidas por cuerdas de longitud l desde un punto común. ¿Cuál es el ángulo θ que forman las cuerdas entre sí? 20. En los vértices de un cuadrado de 10 cm. de lado se colocan cargas l x l0-9 coulombios. ¿Cuál es la fuerza sobre cada carga? 21. Comparar la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica entre dos electrones colocados muy cerca. (e = l,6 x l0-19 C, m = 9,1 x 10-31 kg) 22. Se tienen tres cargas iguales a q en los vértices de un triángulo equilátero, ¿qué carga y en qué posición debe colocarse para que el sistema esté en equilibrio? 23. Se tiene una semicircunferencia de radio R con una distribución de carga lineal

θλλ cos0= . Calcular la carga total.

24. Un cilindro recto de radio R y altura L orientado a lo largo del eje z, tiene una carga no uniforme ( ) Azz += 0ρρ con referencia a un origen en el centro del cilindro. ¿Cuál es la fuerza sobre una carga q localizada en el centro del cilindro? 25. Un disco circular de radio R tiene una carga total Q uniformemente distribuida en su superficie. Calcule el campo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a una distancia z del plano de dicho disco. Respuesta

zzR

zzzE ˆ

2 220

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

→

εσ

26. La figura muestra tres cargas que se mantienen fijas en el plano xy. a) Halle, en cartesianas, la fuerza eléctrica neta sobre q3 debida a las otras dos cargas. b) Evalúe el resultado anterior para el caso q1 = 25 mC, q2 = - 16 mC, q3 = 5mC, a = 3 m y b = 4 m.

Respuesta

a) ( ) +⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

→

ibaaqqF ˆ

4 23221

0

33 πε

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+j

bq

babq ˆ

22

23221

b) ( ) N 10ˆˆ39 33 jiF −=

→

27. El sistema de la figura se encuentra en reposo. Las dos partículas tienen la misma carga q1 = q2 = q y se encuentran a la misma altura. La carga q1 tiene masa m y cuelga de un hilo tenso que forma un ángulo θ con la vertical. La carga q2 se mantiene fija en su lugar por medio de un soporte unido a una masa. Halle la longitud L del hilo.

Respuesta

θπεθ3

0

2

sen4cosqL =

28. La figura muestra un sistema de tres partículas cargadas en un plano xy horizontal. Las partículas 1 y 2 se mantienen fijas y la 3, de masa m, se está moviendo a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas que le aplican las otras dos. Llame x(t) a la posición de q3 respecto al origen. a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de movimiento. b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué? c. Halle el período del movimiento de q3 si inicialmente se suelta desde el reposo en un punto ( ) ax <<0 .


114

Respuesta

a) ( ) 23220

2

32

ˆ

xaixqF+

−=→

πε,

( )0

2 23220

2

=+

+••

xamxqx

πε

b) Es un punto de equilibrio porque

( ) 00

3 ==→ x

xF

c) 2

302

2q

maT

πεπ=

29. Una carga puntual de 5 Cμ se coloca en el origen, otra carga puntual de 8 Cμ se coloca a 3 m del origen sobre el eje x, y una tercera carga de 12 Cμ se coloca a 3 m del origen sobre el eje

y. Aproxime 2

29

0 C Nm109

41

×≈πε

y halle la

magnitud de la fuerza sobre la carga en el origen. Respuesta

( )3121204

1 qqqqr

F +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πε = 104 N

30. Un electrón y dos protones se colocan en los tres diferentes arreglos mostrados en la figura. Llamemos F al módulo de la fuerza eléctrica total que los protones ejercen sobre el electrón. Compare F en los tres casos y ordene de mayor a menor.

Respuesta En el caso B > que en el caso C > que en el caso A 31. En el sistema de la figura las tres partículas poseen la misma carga, q1 = q2 = q3 = q. Las partículas 1 y 2 se mantienen fijas y la 3, de masa m, se está moviendo a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas que le aplican las otras dos. Llamaremos x(t) a la posición de q3 respecto al origen O. a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de movimiento. b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué? c. Suponga que ( ) Lx t << y halle el período de

las pequeñas oscilaciones de la partícula 3 en torno al origen.

Respuesta

a) ( ) ( )

ixLxL

qF ˆ112 22

0

2

3 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−=

→

πε,

( ) ( )011

2 220

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

++••

xLxLmqxπε

,

b) Es un punto de equilibrio porque

( ) 00

3 ==→ x

xF .

c) 2

302qmL

Tπε

π=

32. Dos pequeños cuerpos con cargas q1 y q2 del mismo signo están en reposo suspendidos mediante hilos de longitud L. Los hilos, como se muestra en la figura, forman un ángulo θ con la vertical y sus puntos de sujeción al techo están separados una distancia d. a. Dibuje el diagrama de fuerzas de cada cuerpo. b. Escriba en componentes (vertical y horizontal) la segunda ley de Newton para cada carga.


115

c. Determine las masas de los dos pequeños cuerpos.

Respuesta b) mgT =θcos1 ,

( )20

211 sen4sen

θπεθ

aLdqqT

+=

para q2 se cambia T1 → T2 y m1 → m2.

c) ( )2

0

2121 sentan4 θθπε aLd

qqmm+

==

33. Dos partículas, fijas y de carga q cada una se encuentran separadas una distancia 2a. Una tercera partícula de masa M y carga Q está sometida solamente a la fuerza electrostática de las partículas fijas, ella gira en una órbita circular de radio R; la órbita es perpendicular a la línea que une las dos partículas fijas y tiene su centro en el punto medio entre ellas. Ver figura. a. Calcule la fuerza electrostática sobre Q. Indique qué signo debe tener Q. b. Halle la rapidez de Q. c. Determine para qué valor de R es máximo el módulo de la fuerza sobre Q.

Respuesta Tomaremos el vector unitario r como aquél que apunta del centro O de la circunferencia hacia Q.

a) ( )r

aRqQRF ˆ

2 23220 +

=→

πε, Signo(Q) = -

Signo(q).

b) ( ) 23220

2

2 aRM

RqQv

+=

πε

c) 2

2=R

34. Un haz constituido por neutrones, electrones y protones, todos con igual velocidad, penetra en un campo vertical uniforme y se divide en otros tres haces A. B y C como indica la figura. Desprecie el efecto de la gravedad e indique a cuál tipo de partículas corresponde cada haz. Indique también qué se puede decir acerca del sentido del vector campo eléctrico.

Respuesta Los neutrones forman el haz B los electrones el haz C y los protones el haz C. El sentido del campo eléctrico es hacia arriba 35. En los vértices de un cuadrado de lado 2L se fijan 4 partículas cuyas cargas se señalan en el dibujo. a) Calcule el campo eléctrico del sistema en un punto z sobre el eje perpendicular al cuadrado y que pasa por su centro. Ayuda: Calcule por separado la contribución de cada par de cargas conectadas por una diagonal.

b) En el punto z se coloca una partícula de masa m y carga 2q, inicialmente en reposo. Suponga que la gravedad no es relevante en este problema. b1) Halle la ecuación de movimiento de la partícula de masa m. b2) Suponga que z < L y calcule el período de las pequeñas oscilaciones que describe la partícula.


116

Respuesta Tomaremos el vector unitario k paralelo al eje z y apuntando hacia arriba.

a) ( )k

LzqzE ˆ

2 23220 +

−=→

πε.

b1) ( ) 23220

2

22

Lzmzqz+

+••

πε.

b2) 2

302

2q

mLT

εππ=

36. La figura muestra una barra delgada de longitud L y carga Q uniformemente distribuida. El punto P está en la misma línea de la barra y a una distancia h del extremo de la misma. a) Halle el campo eléctrico producido por la barra en el punto P y la fuerza eléctrica que le aplicaría a una carga puntual q que se colocara allí.

b) La figura muestra dos barras delgadas, colineales, separadas una distancia D y de longitudes L1 y L2. Sus cargas Q1 y Q2 están uniformemente distribuidas. Aproveche el resultado de la parte a) y halle la fuerza eléctrica entre las dos barras.

Respuesta

a) iLhhL

QE ˆ114 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

→

πε,

iLhhL

qQF ˆ 114 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

→

πε

b) [Fuerza sobre Q2] = ( )( )

( ) iLLDDLDLD

LLQQ

F ˆ ln4 21

21

210

2112 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=→

πε

37. El hilo recto de la figura tiene longitud L = L1 +L2 y carga Q uniformemente distribuida. a) Halle el campo eléctrico que produce el hilo en el punto P. b1) Halle el valor del campo eléctrico para puntos tales que L1 = L2 = L/2.

b2) Reescriba el resultado de b1 de forma tal que no aparezca Q y aparezca λ (la densidad longitudinal de carga del hilo).

c) Para hallar el campo eléctrico producido por un hilo recto de longitud infinita tomemos el límite ∞→L en b1 y en b2. Explique por qué son distintos los dos límites. ¿Cuál se debe tomar? Respuesta a)

iL

LL

LL

QE ˆ4 22

2

222

1

1

0 ⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

+=

→

lllπε

⎥⎥⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

++ k

LLˆ

222

221 l

l

l

l

b1) iL

QE ˆ14 22

01

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

→

llπε

b2) iL

LE ˆ42 22

02

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

→

llπελ

c) 0lim 1L=

→

∞→E (corresponde a una carga Q finita

diluida en un hilo infinito)

iE ˆ2

lim0

2L lπελ

=→

∞→ (Corresponde a un hilo

infinito con densidad de carga finita) 38. Un hilo circular de radio R y carga Q uniformemente distribuida está en el plano xy y su centro coincide con el origen. a. Halle el campo eléctrico que produce en el punto de coordenadas cartesianas (0, 0, z). b. Estudie el comportamiento del campo encontrado en la parte a cuando z > R. Respuesta

a) ( )k

zRQzE ˆ

4 23220 +

=→

πε


117

b) kz

QE ˆ4 2

0πε≈

→

(desde lejos se ve como urna

carga puntual). 39. La figura muestra un hilo cargado abc con densidad longitudinal de carga λ . El tramo bc es un cuarto de una circunferencia de radio R y centro en O. El tramo ab es recto, de longitud L = 4R/3 y perpendicular a la línea Ob.

a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle el campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O. Respuesta a)

( )jiR

E ab ˆ2ˆ10 0

+→

πελ

, ( )jiR

E bc ˆˆ4 0

+−=→

πελ

b) ( )jiR

E abc ˆ3ˆ20

3

0

+−→

πελ

40. La figura muestra un hilo cargado con densidad longitudinal de carga). El tramo be es la mitad de una circunferencia de radio R y centro en O. El tramo ab es recto, de longitud L = 2R y paralelo a la línea bO

a) Calcule el campo eléctrico que producen en el punto O cada uno de los dos tramos ab y bc. b) Halle la magnitud del campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto O y el ángulo que forma con la dirección. Respuesta

a) iR

E ab ˆ6 0πελ

=→

, jR

E bc ˆ2 0πελ

=→

b) R

Eab06πε

λ= , ángulo arc tg (3).

41. Dos discos de radio R se ubican como se muestra en la figura y una carga q = −Q/2 es puesta en el punto P. El disco izquierdo tiene una carga Q (> 0) y el derecho − Q, ambas uniformemente distribuidas.

a) Calcular la fuerza que la carga q = − Q/2, ejerce sobre cada uno de los planos. b) Determinar el lugar donde pondría una segunda carga q = − Q/2 de modo que la fuerza neta sobre ella sea nula. 42. Determine la fuerza entre un disco de radio R cargado con densidad uniforme de carga σ y una varilla de largo L y densidad lineal λ colocada en el eje del disco, a una distancia b del mismo. Respuesta

( ) kLbRbRLF ˆ2

2222

0⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−++=

→

εσλ

43. Una esfera uniformemente cargada de radio R esta centrada en el origen con una carga Q. Determine la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargada, orientada radialmente y con una carga total q con sus extremos en r = R y r = R + d. Respuesta

( ) rdRR

dQF ˆ4 0 +

=→

πελ

44. Un cilindro circular recto de radio R y altura L esta orientado a lo largo del eje z y tiene una densidad de carga volumétrica no uniforme dada por ρ(r) = ρ0+βr, donde r se mide respecto del eje del cilindro. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro. Respuesta

0=→

E 45. En la pregunta anterior suponga que la distribución de carga es ρ(z) = ρo +βz donde z se mide respecto de la base del cilindro. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro. 46. Una carga lineal de densidad λ con la forma de un cuadrado de lado L se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Determine el campo eléctrico sobre el eje x a una distancia


118

arbitraria x, y compare el resultado con el del campo que existe en el eje de una anillo cargado de radio r = L/2, con un centro en el origen y con la misma carga total. Respuesta

( ) ( ) iLxLx

xLE xcuadrado ˆ2

14 2222

0 ++=

→

πελ

,

( ) ( ) iLxxLE xanillo ˆ

44 23220 +

=→

ελ

47. Una carga puntual q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud d.

a) ¿Cuál es el valor del flujo de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∫ ∫

→→→

SdEE

en una cara del cubo?. b) La carga se traslada a un vértice del cubo. ¿Cuál es el valor del flujo de a través de cada una de las caras del cubo?. 48. Dos láminas planas, paralelas e infinitas, cargadas con una densidad σ1 = 4 µC y σ2 = 6 µC, distan 2 cm. Estudiar el campo eléctrico de este sistema. Supongamos que dichos planos en vez de estar paralelos se cortan perpendicularmente. Demostrar que la magnitud del campo es la misma en las cuatro regiones que ellos determinan en el espacio. 49. Calcule el campo eléctrico producido por una superficie circular de radio R con distribución de carga σ a lo largo del eje de simetría perpendicular al plano que la contiene y determine su valor en el límite R >> z. Compare su resultado con el valor que se obtiene utilizando la ley de Gauss en el caso de un plano infinito. 50. Repita el cálculo anterior para el caso en que la superficie fuese un cuadrado de lado a y determine el valor límite cuando a >> z 51. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene una carga distribuida con una densidad de carga Ar−=ρ , donde A es una constante positiva. Determine el valor del campo eléctrico en el interior y el exterior cercano al cilindro, en puntos lejanos de sus extremos. 52. La figura muestra una esfera aisladora de radio R con densidad de carga ρ = constante, la cual tiene una burbuja esférica vacía en su interior, de radio r, situada a la distancia a del centro. Calcule el campo eléctrico:

a) en el centro de la burbuja, b) sobre una línea que contenga los centros de la esfera y la burbuja, dentro y fuera de la esfera y c) sobre un eje perpendicular a la línea que une los centros de la esfera y la burbuja, dentro y fuera de la esfera. 53. La figura representa un volumen aislante de espesor d = 0,5m limitado por planos infinitos (perpendiculares al eje x) (en corte). La densidad de carga volumétrica es constante, ρ = 10 −6 C/m. a) Determine el campo eléctrico a ambos lados del dieléctrico. b) ¿porqué E = 0 en el centro del dieléctrico? c) Determine el campo eléctrico en el interior del dieléctrico como función de x.

54. Una superficie gaussiana esférica (1) encierra y se centra en una carga puntual + q. Una segunda superficie gaussiana esférica (2) del mismo tamaño también encierra la carga pero no se centra en ella. ¿Cómo es comparado al flujo eléctrico a través de superficie 1, el flujo a través de la superficie 2?

Respuesta iguales


119

55. Dos cargas del punto, + q y - q, se arregla según lo demostrado. ¿A través de qué superficie(s) cerrada el flujo eléctrico neto es igual a cero?

Respuesta La superficie C y la superficie D 56. Se tiene una superficie cuadrada de lado a con carga σ C/m2. ¿Cuál es el valor del Campo eléctrico en puntos situados en el eje que pasa por el centro del cuadrado. 57. Se tienen dos alambres infinitos separados por una distancia 2d, con cargas iguales y opuestas λ y λ− , ¿cuál es la fuerza entre ellos? 58. Una esfera no conductora de masa m y cargada, cuelga por medio de un hilo de longitud l , se encuentra bajo la acción de un campo

eléctrico →

E . Calcular la carga da la esfera si el ángulo entre la vertical (perpendiculares al Campo) y el hilo es θ . 59. Se tiene una recta infinita con densidad de carga lineal λ y una carga q situada a una distancia perpendicular d, ¿cuál es el campo eléctrico en un punto entre ellos sobre la distancia d? 60. Un casquete esférico definido por el ángulo sólido π y radio R, tiene una carga superficial de densidad σ . ¿Cuál es el valor del Campo eléctrico en el centro de curvatura del casquete? 61. Se tiene una Carga q en el centro de un cilindro de longitud l2 y radio R, encontrar el flujo a través de cada una de las caras y el flujo total.

62. Dado un campo eléctrico iyixE ˆˆ2 +=→

N/C. Calcular el flujo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo, de lado 1 m. y esté en el primer octante

63. Calcular el flujo eléctrico producido por una lámina con carga superficial de densidad σ que atraviesa una superficie esférica de radio R en cada una de las posiciones mostradas en la figura.

64. Encontrar el Campo eléctrico de un cilindro infinito de radio R y con densidad de carga ρ coulombios/m3 para puntos r > R, r = E y r < E. 65. Se tiene una esfera de radio R y con densidad de ( ) rcr =ρ . ¿A qué es igual el campo eléctrico dentro de la esfera (r <R)? 66. Una lámina infinita de espesor a contiene une densidad de carga uniforme ρ . Encontrar el campo eléctrico para todo punto. 67. Una nube de carga con simetría esférica origina un campo eléctrico dirigido radialmente hacia afuera desde el centro de la nube y es el siguiente

( ) ( )arr e

rAE −−= 12

Hallar la densidad de carga ( )rρ en la nube. 68. Dos cáscaras esféricas concéntricas de radios a y b, aisladas una de la otra, la interior tiene una Carga Q y la exterior está conectada a tierra. ¿Cuál es el campo eléctrico entre ellas? ¿Qué pasa cuando la esfera exterior no está conectada a tierra? 69. Dos cáscaras esféricas concéntricas de radios a y b tienen Cargas Q y 2Q− respectivamente. ¿Cuál es el Campo eléctrico para todo punto?


120

70. ¿Cuál es la densidad de carga de la superficie infinita que sostiene flotante una partícula con masa m y carga q. 71. Hallar la fuerza por unidad de área sobre un plano infinito con carga uniforme debido a otro plano infinito con carga uniforme paralelo al primero. 72. Se tiene un cilindro infinito de radio b y un vacío cilíndrico da radio a, tal como se muestra en la figura. Si la carga por unidad de volumen es ρ ¿Cuánto vale al Campo eléctrico en todos los puntos?

73. Bajo ciertas circunstancias la intensidad del campo eléctrico en la atmósfera tiene un valor

1E en la superficie y un valor 2E a una altura h sobre la superficie. En ambos casos el sentido del vector es hacia la Tierra. Determinar el valor promedio de la densidad de carga promedio en la atmósfera debajo de h. Calcular para 1E = 300 V/m, 2E = 20 V/m y h = 1400 m. 74. Un haz de electrones que se mueven con una velocidad de 2x106 m/s pasa entre dos placas horizontales que tienen densidad de carga 1xl09 C/m2 y -3xl09 C/m2. Suponer que el campo producido es el mismo a que si fueran placas infinitas. El haz ingresa paralelo a las placas y deja el campo después de pasar 1 cm., encontrar la deflexión resultante de los electrones. 75. Se tienen dos hilos aisladores muy largos, uno en la dirección del eje x con una densidad de carga 1λ y el otro, en la dirección del eje y con una densidad de carga 2λ . Hallar el potencial V y el campo eléctrico en cualquier punto del

plano xy y mostrar que VE −∇=→

. 76. Un globo esférico de radio R tiene una carga superficial con densidad σ .

a) Calcule el campo eléctrico en el interior y el exterior del globo. b) Determine la energía eléctrica que se requiere para cargar el globo trayendo las cargas desde el infinito. c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico generado por la carga en el globo al inflarlo entre R y R + ∆R. 77. Una esfera aisladora de radio a y densidad de carga dada por re−= 0ρρ . Calcular el campo eléctrico en el interior y exterior de la esfera. 78. Considere la misma esfera anterior, pero esta vez rodeada por un casquete esférico conductor de radio interior b > a y espesor d. El casquete exterior tiene carga nula. Calcule el campo eléctrico y el potencial respecto de infinito, a) entre las esferas, b) en el interior de la esfera conductora y c) para un radio r > b + d. 79. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga variable de la forma re r−= 0ρρ y radio R limitada exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante.

Determine: a) La carga total en la esfera aisladora. b) el campo eléctrico en el exterior (r < 2R). c) la diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esfera conductora) y el centro de la esfera aisladora (considere el potencial cero ( V = 0) en r = ∞). d) la densidad de carga en la superficie exterior de la esfera conductora. 80. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ se disponen como se indica en la figura.


121

a) Determine el campo eléctrico total sobre la carga Q. b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno de los trozos de hilo. c) Determine la energía potencial de la carga Q. 81. Un volumen esférico de radio a está lleno con carga de densidad uniforme ρ . Calcular la energía potencial U de esta distribución esférica de carga, es decir, el trabajo requerido para formarla. Respuesta

aQU5

3 2

= , donde Q es la carga total de la

esfera. 82. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene una carga distribuida Ar−=ρ , donde A es una constante positiva. Determine el valor del campo eléctrico y el potencial en el interior y el exterior cercano al cilindro, en puntos lejanos a sus extremos. 83. Un plano conductor tiene una carga + Q y a cada lado de éste, a las distancias 1x y 2x , se colocan, paralelas, placas infinitas conductoras con carga total nula. Encontrar la diferencia de potencial entre las caras internas y entre las externas de las placas. 84. En una región del espacio, el potencial eléctrico está dado por V (x, y) = Axy siendo A una constante. Determine la fuerza ejercida sobre una carga puntual q ubicada en un punto de coordenadas (x, y). Calcule además el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre q al moverse la carga desde el punto (0, 0) al punto (x, y) en una línea recta. 85. Un disco circular de radio a tiene una densidad superficial de carga uniforme σ . El disco se encuentra en el plano xy con su centro coincidiendo en el centro del sistema de coordenadas. a) Obtenga una fórmula para el campo eléctrico en el eje del disco en función de z. b) Aproxime el resultado anterior a primer orden

para 0→za y pruebe que el resultado coincide

con el campo de una carga puntual. c) Determine la posición de un punto sobre el eje z, mas allá del cual, el disco puede considerarse como una carga puntual con un error en el

cálculo de →

E menor al 1%.

86. Calcular el campo eléctrico de un cascarón esférico de radio r con densidad de carga superficial uniforme σ en todo punto del espacio. a) Usando la ley de Coulomb. b) Usando la ley de Gauss. 87. Suponga que en lugar de la ley de fuerza de Coulomb, se encuentra experimentalmente que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2 está

dada por, ( )

12212

12

0

2112 ˆ

14

rr

rqqF−

=→

πε

a) Halle el campo eléctrico alrededor de una carga puntual correspondiente a esta fuerza. b) Pruebe que el campo es irrotacional.

c) Halle el flujo de →

E a través de una superficie esférica centrada en la carga. Compare con el caso de un campo coulombiano 88. Una carga q se encuentra en el vértice A del cubo ABCDEFGH. Calcular el flujo de campo eléctrico a través de la cara FECD. 89. Calcular el campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada de carga total Q. a) Usando la ley de Coulomb. b) Usando la ley de Gauss. 90. Considere dada una distribución de carga con simetría esférica. En este caso ρ es ( )'rρ siendo r’ la distancia al centro de la distribución. a) Encuentre una expresión general para el campo eléctrico en función de ( )'rρ , en un punto cualquiera de una esfera de radio r y centro en el centro de la distribución. b) Aplique el resultado anterior al cálculo del campo producido por una densidad de carga

dada por ( ) ( )'0'

20

' 4' r

brr Ae

rAb

δπεε

ρ +−= − .

c) Un cascarrón esférico tiene una densidad de carga 2rk=ρ en la región bra ≤≤ y cero en otro lado. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio. 91. Un cable coaxial tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ en el cilindro interior (r < a) y una densidad de carga superficial uniforme σ en la superficie del cilindro exterior (r = b). La carga total del cable es cero. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio.


122

92. Una plancha plana infinita de espesor 2d tiene una densidad de carga uniforme ρ . Hallar el campo eléctrico en todo punto como función de la distancia y al plano de simetría de la plancha. Graficar. 93. Dos esferas de radio R con densidades de carga + ρ y - ρ cuyos centros están separados por una distancia d tal que d < 2R están parcialmente superpuestas. Probar que el campo eléctrico en la región de intersección es constante y hallar su valor. 94.Una distribución estática de carga produce un

campo eléctrico radial dado por: rr

eAEbr

ˆ−→

= ,

donde A y b son constantes. a) Hallar la densidad volumétrica de carga de la distribución. b) Halle la carga total de la distribución 95. Considere un disco circular de radio a y densidad de carga uniforme. a) Calcule el potencial en un punto cualquiera del eje y. b) Determine la energía requerida para traer una carga desde el infinito hasta ese punto. 96. Calcule el potencial respecto del infinito en el centro de un cuadrado de lado b en el cual se tiene una distribución uniforme de carga superficial σ . 97. En una región de espacio existe un campo eléctrico que se deriva del potencial V (x, y, z) = xyz - 3x - 2y - z. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al llevarse una carga de 2 Cμ desde el punto (0, 0, 0) al punto (1, 1, 1) en forma cuasiestática (energía cinética despreciable). 98. Considere una esfera no conductora de radio R que tiene una carga total Q repartida uniformemente en su volumen. Determine el potencial eléctrico en todas partes. 99. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al traer una carga puntual Q desde una distancia 2d hasta una distancia d de un hilo recto infinito que tiene una carga uniforme λ C/m. 100. Se tienen dos esferas metálicas aisladas de radio r1 = 0,10 m y r2 = 0, 20m, inicialmente descargadas y alejadas entre sí. Si a la esfera de

radio r1 se le coloca una carga de 6 x 10−8 C y luego se conectan ambas mediante un hilo conductor muy fino, calcule: a) La carga final de cada esfera. b) El potencial final de las esferas. c) La energía almacenada en el campo eléctrico antes y después de la conexión. 101. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a < b) que tienen cargas q y Q respectivamente. Respuesta

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ

abqV 11

4 0πε

102. Calcule el campo eléctrico producido por una distribución de carga tal que el potencial que

produce esta dado por: ( ) reqV

r

r

λ

πε

−

=04

.

Encuentre la distribución de carga ( )rρρ = . Respuesta

( )( ) r

r erqE λ

πελ −+

=04

1, ( ) r

eqr

r πλρ

λ

42

−

−=

103. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de un cascaron esférico no conductor tienen la misma densidad de carga σ. La densidad de carga en el resto del espacio es nula. Encuentre el campo eléctrico en las zonas r < a, a < r < b, y r > b. Calcule el potencial electrostático en cada una de las regiones mencionadas. Respuesta

( ) ( )rEE rr ˆ=→

, donde ( ) 0=rE si ar < ¸

( ) 20

2 raE r ε

σ= si bra << ;

( ) ( )222

0

bar

E r +=εσ

si rb < ,

( ) ( )22

0

bar

V r +=εσ

si br > ;

( ) ( )brar

V r += 2

0εσ

si arb >> y

( ) ( )baV r +=0εσ

si ra > .

104. Una burbuja de forma esférica tiene una carga Q. La energía asociada a la tensión superficial de la burbuja es proporcional a su superficie, es decir Umec = Sτ, en que S es el área


123

de la burbuja y τ es una constante. Calcule la energía total de la burbuja (eléctrica y mecánica) como función de su radio y grafíquela. Finalmente calcule el radio de equilibrio de la burbuja.

105. Calcúlese →→

⋅∫ ldE desde el origen e un

punto x0, y0 en el plano x,v para el Campo

( )jxiyAE ˆˆ −=→

a lo largo de tras trayectorias rectilíneas diferentes. a) desde (0, 0) a (0, y0) y a (x0, y0) b) desde (0,0) a (x0, 0) y a (x0, y0) c) desde (0,0) directamente a (x0, y0) 106. Calcular el trabajo hecho contra las fuerzas electrostáticas en mover una carga de -1x10-10 C desde 10 cm. debajo de una carga da 1x10-5 C hasta una posición da 1 m. debajo de ella. En la posición final el cuerpo permanece suspendido, las fuerzas electrostáticas y gravitacionales son iguales y opuestas. ¿Cuál es la masa del cuerpo? 107. Un anillo de radio R está formado por dos semicircunferencias con cargas q y -q. Encontrar al potencial y el campo eléctrico a lo largo del eje del anillo. 108. En un plano infinito se ha hecho un agujero circular de centro O y radio R, el plano tiene una densidad de carga -σ . Calcular el potencial y el campo en un punto en la recta perpendicular al plano en O. 109. Se tiene un cilindro infinito de radios a y b como se muestra en la figura, con densidad de carga volumétrica ρ . ¿Cual es el valor del potencial para todo punto?

110. Encontrar le forma de las superficies equipotenciales para un segmento de recta de longitud 2a, colocado entre z = -a y z = a, con una Carga total q.

111. Se acomodan linealmente tres cargas, la Carga -2q se coloca en el origen, y las otras dos cargas + q se colocan en (0, 2, 5) y (3, 0, - a) respectivamente. Encontrar el potencial ( )rV para un punto en el espacio r >> a. A partir de este valor encontrar al Campo eléctrico. 112. Un protón con una energía de 100 eV es disparado perpendicularmente hacia un plano metálico muy grande con una densidad de carga superficial de 10- 7 C/m2. ¿Desde dónde se disparará el protón si casi alcanza al plano? 113. Una gota de aceite tiene una carga neta de tres veces la carga del electrón y un radio de l0cm. ¿Cuál es su velocidad terminal cuando cae entre dos placas horizontales con una diferencia de potencial de 1000 voltios y separadas 2cm, la positiva es la de arriba? Densidad del aceite 839 kg/m3 Densidad del aire 1,29 kg/m3 Viscosidad del aire 1,80 N.s/m2 114. La presión dentro y fuera de una pompa de jabón es la misma. ¿A qué potencial ha sido cargada la pompa de jabón de radio 2 cm? La tensión superficial de la solución de agua jabonosa es 0,0265N/m. 115. Una esfera conductora de radio R1 = 3 cm. lleva una carga negativa Q1 Una segunda esfera conductora le radio interior R2 = 4 cm. y radio exterior R3 = 5 cm, neutra, se colocan concentricamente. a) Encontrar le repartición de las cargas. Si se establece contacto entre las esferas ¿cuál es la nueva repartición de las cargas? b) Considerando que la esfera interior está a un potencial V1 = 0 lo esfera externa caté a potencial V2 = 10000 V. ¿Cuál es le repartición de las cargas y el valor de estas? 116. Si una carga q se coloca a una distancia d de un plano conductor infinito mantenido a potencial cero. Se puede determinar que el campo eléctrico resultante en frente del plano es el mismo que si se tuviera una carga - q a una distancia - d. Esta segunda carga se conoce como carga imagen. Encontrar la densidad de carga en el plano y verificar que la carga total en el plano es -q.


124

117. Encontrar las cargas imagen cuando una carga q está a iguales distancias de dos planos conductores a potencial cero que se encuentran formando un ángulo de 60°. Encontrar la fuerza sobre la Carga q. 118. Un condensador coaxial está formado por dos cilíndricos conductores concéntricos de radios a y b respectivamente y largo L. Suponiendo que el espacio entre los conductores es vacío y que el cilindro interior se encuentra a potencial V = Vo y el exterior a potencial V = 0 y que tanto a como b son mucho menores que L, encuentre la capacidad del condensador coaxial. Respuesta

abLC

ln

2 0πε=

119. Considere un sistema formado por dos conductores cilíndricos paralelos, muy largos, de radio a, separados una distancia d >> a, como muestra la figura. Entre los cilindros hay una diferencia de potencial V. Encuentre la capacidad por unidad de longitud para el sistema de conductores.

Respuesta

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+=

aadd

C

24ln

22

0πε

120- Encontrar la capacidad de un disco conductor muy delgado de radio a. 121. Determinar la capacidad de uno varilla delgada de radio R y longitud L, siendo L >> R. 122. Determinar la capacidad por unidad de longitud entre dos alambres paralelos de radios R y distancia entre ellos d, siendo d >> R. 123. Un condensador de l Fμ se carga 0V y otro de 2 Fμ se cargad a 200V; estos se conectan de tal manera que la placa positiva de uno se conecta al negativa del otro. Encontrar la diferencia de potencial y la carga de cada condensador, así mismo la pérdida de energía que hubo.

124. En que forma cinco condensadores, cada uno de capacidad l Fμ , deben de conectarse para producir una Capacidad total de 4/9 Fμ . 125. Se tiene un condensador de placas paralelas de área de placas A y separación d, se le introduce una placa metálica paralela de espesor, calcular la capacidad resultante. 126. La Capacidad de un condensador variable cambia 1inealmente de 50 a 36 Fμ durante una rotación de 0° a 180°. Cuando se coloca a 75° una diferencia de potencial de 00 voltios se mantiene a través del condensador. ¿Cuál es la dirección y magnitud del torque electrostático experimentado por el condensador? 127. Un Condensador de 5 Fμ se carga a una diferencia de potencial de 12 voltios, se conecta en paralelo este condensador a otro inicialmente descargado, la diferenciada potencial disminuye a 3 voltios, ¿cuál es la capacidad del segundo condensador? 128. Se tiene dos condensadores planos de capacidades C1 y C2 con las armaduras de igual superficie A y con una separación d y d/2 respectivamente. Se conectan en paralelo y se cargan a una diferencia de potencial 0V . a) Calcular la carga y la energía en cada condensador. b) Si es posible mover una de 1as armaduras del condensador C2, ésta se mueve hasta que la separación entre placas es d, ¿cuál es la carga en cada condensador, cuál es la nueva diferencia de potencial y cuál es la energía almacenada? c) ¿Cuál es la fuerza que se ejerce sobre la armadura móvil de C2 en el estado intermedio x entre d y d/2 ¿cuál es el trabajo a realizar para llevar la armadura móvil de la posición inicial a la final? 129. El Conductor exterior dz un cable coaxial tiene un radio fijo b. Determinar el radio a del conductor interior, tal que para determinada diferencia de potencial entre los conductores, la intensidad del campo eléctrico en su superficie sea mínima. Determinar la capacidad por unidad de longitud de tal cable. 130. Una esfera metálica de un metro de radio tiene un exceso de carga eléctrica de 10-9 C. Se conecta mediante un alambre a una esfera inicialmente descargada de 30 cm. de radio que


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está lejos de la primera esfera (no tomar en cuenta la capacidad del alambre). a) ¿Cuál es la carga de cada una de las esferas? b) ¿Cuál es la energía antes de unirlas y después de unirlas? ¿Y si es diferente, qué pasa con la diferencia? 131. Las armaduras de un condensador forman un ángulo encontrar la capacidad en función de las dimensiones.

132. Un Condensador esférico está constituido de dos armaduras de radios R1 y R2. La armadura exterior está formada por dos hemisferios iguales, unidos a tierra por un conductor. La armadura interna tiene una carga Q y está aislada. Calcular la fuerza a que esté sometido cada uno de los hemisferios exteriores.

133. Se tiene el sistema de condensadores mostrado en la figura, inicialmente cargado a la diferencia de potencial de 100 V, Si se cierra la llave S ¿cual es la diferencia de potencial en cada condensador y la carga en cada uno de ellos?

134. Encontrar la capacidad equivalente entre a y b en la figura, todos los condensadores tienen capacidad C.

135. En la figura se muestra un electrómetro esquematizado, este se usa para determinar diferencias de potencial. Consiste en una balanza cuyo platillo izquierdo es un disco de área A, colocado a una distancia a de un plano horizontal formando un condensador, cuando se aplica una diferencia de potencial V entre el disco y el plano aparece sobre el disco una fuerza hacia abajo. ¿Cuál es el va1or de la masa que debe ponerse en el otro platillo para retomar el equilibrio?

136. Una manera de determinar la capacidad de un condensador desconocido es utilizar el dispositivo mostrado en la figura donde E es un electrómetro. El procedimiento es tener los condensadores conocidos C1 y C2; buscar un condensador C3 para el cual la lectura en el electrómetro sea cero. Encontrar la expresión para calcular Cx.

137. Dos condensadores idénticos de área A y lado a y separación entre placas d, inicialmente descargados, se conectan en paralelo. Mediante una batería se aplica al sistema una diferencia de potencial V0. Posteriormente se desconecta la batería, con lo cual los condensadores en


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paralelo quedan cargados y aislados. Se introduce en uno de los condensadores una placa conductora de igual área y de espesor t, como se muestra en la figura.

a) Calcule la energía almacenada en el sistema cuando la placa de espesor t ha penetrado una distancia x en el condensador. b) Calcule la cantidad de carga transferida de un condensador a otro como función de x, e indique en que sentido es la transferencia. Respuesta

a) ( )( )

20

20

22

Vattda

tdada

E+−

−=

ε

b) ( ) 22Q

attdaatQA +−

−=Δ , donde Q es la

carga total en el sistema. 138. La figura muestra un circuito con tres condensadores y dos interruptores unidos por hilos conductores. El condensador C1 tiene carga Q y los otros dos están descargados. En cierto momento se cierran los interruptores y se espera hasta que el sistema alcance el equilibrio. a. Encuentre la carga que se almacena en cada placa de cada condensador. b. Halle la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.

Respuesta. Llamaremos q1, q2 y q3 a las cargas en las placas izquierdas de los condensadores C1, C2 y C3 respectivamente.

a) 115

1Qq = ,

116

32Qqq == .

b) CQV

115

1 = , CQV

113

2 = , CQV

112

3 =

139. El condensador C1 de la figura está cargado como se muestra y los otros dos condensadores están descargados. Se cierra el interruptor S y se espera hasta que el sistema alcance el equilibrio. a. Determine las cargas en las placas de los tres condensadores que están conectadas al punto a.

b. Halle la diferencia de potencial Va - Vb.

Respuesta

a) 321

11 CCC

QCq

++= ,

321

22 CCC

QCq

++= ,

321

33 CCC

QCq

++=

b) 321 CCC

QVV ba ++=−

140. Responder a la pregunta anterior cuando la placa que se introduce en el condensador de la izquierda está hecha con un dieléctrico cuya constante es ε . 141. Ente la placas del condensador de la figura, de lados a y b, existe una diferencia de potencial constante V0.

a) Calcular la carga Q(x) en las placas en función de la distancia x cuando se introduce un dieléctrico de constante ε y ancho b, como se indica. b) Determine la variación de energía en el condensador en función de x. c) Determine la fuerza sobre el dieléctrico en función de x. Respuesta

a) ( ) ( )[ ]xaxdbVQ x −+= 0

0 εε , b)

( ) ( )[ ]xaxbdQU x −+

=0

2

2 εε, c) ( )xUF −∇=

→

142. En un condensador de placas cuadradas paralelas de área A, se introducen dos dieléctricos de constantes 1ε y 2ε que llenan totalmente el interior del condensador como se muestra en la figura. Calcule la capacidad del condensador.


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Respuesta

( )daC

2

2102εεε += , 24aA =

143. Un cubo dieléctrico de lado L tiene una

polarización radial dada por →→

= rAP , donde A

es constante y kzjyixr ˆˆˆ ++=→

. El origen de coordenadas está en el centro del cubo. Encontrar todas las densidades de carga y mostrar que la carga total se hace cero. 144. Dos placas conductoras paraleles están separadas una distancia d y mantenidas a la diferencie de potencial VΔ . Un dieléctrico de constante k y espesor uniforme t se ensarta entre las placas. Determinar los campos vectoriales E y D en el dieléctrico y en el vacío. 145. Se tiene un condensador de placas paralelas separadas una distancia d y área A. El espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos como se muestra en la figura, calcular la capacidad del condensador.

146. El dieléctrico en un Condensador de placas paralelas no es uniforme, varía linealmente de un valor en la superficie de una placa a en la superficie de la otra placa. Le distancia entre placas es d y su área A. Determinar la capacidad de este condensador. 147. ¿Cuál es la capacidad del condensador mostrado en la figura?

148. Considérese el mismo condensador del problema anterior, con los dieléctricos dispuestos diagonalmente como se indica, el cual se conecta a una batería que proporciona una tensión V. a) ¿Se distribuye en forma uniforme la carga en las placas? Explique. b) ¿Es el campo eléctrico y el campo de desplazamiento perpendiculares a las placas? Explique. c) Calcule la capacidad de este condensador y la distribución de carga en las placas.

Fisica 3 Por Hugo Medina Guzman Capitulo 1 Electrostatica

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