UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIAS FISICA, ELECTRONICA, SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

ASIGNATURA: FINANZAS

GUIA DE CLASE AÑO 2010

DOCENTE: Magister CARLOS MARIO ARTEAGA PACHECO

CONTENIDO

Pág 1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 3

2. EL CONCEPTO DE INTERÉS ...................................................................................................................... 5

2.1 INTERÉS ............................................................................................................................................ 5

2.2 TASA DE INTERES .............................................................................................................................. 6

2.3 ALGUNAS TASAS DE ÍNTERES .......................................................................................................... 6

2.3.1 Tasa de interés activa. ............................................................................................................... 6

2.3.2 Tasa de interés externa. ............................................................................................................ 7

2.3.2 Tasa de interés interbancaria de equilibrio. ............................................................................. 7

2.3.3 Tasa de interés pasiva. .............................................................................................................. 7

2.3.4 Tasa de interés preferencial. ..................................................................................................... 7

2.4 INTERES SIMPLE................................................................................................................................ 7

2.4.1 Ejercicios sobre interés simple. ................................................................................................ 9

2.5 INTERÉS COMPUESTO ...................................................................................................................... 9

2.5.1 Ejercicios sobre interés compuesto........................................................................................ 10

2.6 TASAS EQUIVALENTES .................................................................................................................... 10

2.6.1 Tasa Efectiva ............................................................................................................................ 10

2.6.2 Tasa Nominal ........................................................................................................................... 10

2.6.3 Tasa Periódica ......................................................................................................................... 11

2.6.4 Tasa Anticipada ....................................................................................................................... 11

2.6.5 Tasa Vencida ............................................................................................................................ 11

2.6.6 Conversión entre tasas equivalentes ...................................................................................... 11

2.6.7 Ejercicios de conversión entre tasas equivalentes .................................................................. 13

2.7 DESCUENTOS. ................................................................................................................................. 13

2.7.1 Descuento Comercial. ............................................................................................................ 13

2.7.2 Descuento Legal o Racional. ................................................................................................... 14

2.8 ANUALIDADES. ............................................................................................................................... 16

2.8.1 Anualidades uniformes ........................................................................................................... 18

2.8.1 Ejercicios sobre Anualidades uniformes ................................................................................. 18

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1. INTRODUCCIÓN “Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan

de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera.” [1]

La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, la tasa de interés (costo o

ganancia) unitario acordado.

Clases de operaciones financieras: 1. Según la duración:

A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.

A largo plazo: aquellas con una duración superior al año. 2. Según la ley financiera que opera:

Según la generación de intereses:

o En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro.

o En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.

Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:

o De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro. o De actualización o descuento: sustituye un capital futuro porotro capital presente.

3. Según el número de capitales de que consta:

Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.

Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. [3]

4

El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital. Una unidad monetaria (UM) hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión. [2]

5

2. EL CONCEPTO DE INTERÉS

2.1 INTERÉS Definiciones de carácter general: m. Utilidad, ganancia, provecho que da una cosa. Inclinación, curiosidad hacia una persona o cosa. pl. Bienes de fortuna, ganancia que da el capital. Conveniencia de tipo colectivo en el orden moral o material.1 Interés: 2 1. m. Provecho, utilidad o valor que en sí tiene una persona o cosa: este libro tiene mucho interés. 2. Inclinación hacia alguien o algo: siente interés por la física. 3. Ganancia producida por el capital. También pl.: el depósito le está dando buenos intereses. 4. Curiosidad que una persona o una cosa provoca en alguien: lo que dijiste despertó su interés. 5. Cantidad que se paga sobre un préstamo: han subido los tipos de interés. 6. Atención que se pone en algo: la escuché sin mucho interés. 7. pl. Bienes que posee alguien: no descuida sus intereses. 8. Necesidad o conveniencia de carácter colectivo: se dedica a defender los intereses de los más

necesitados. Una definición desde la perspectiva de la economía: El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

Por el riesgo que se asume.

Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:

La cuantía del capital invertido,

El tiempo que dura la operación, y

El tanto de interés al que se acuerda la operación.3 Una definición financiera:

1 http://www.definicion.org/interes, consultado en enero de 2010. 2 Diccionario de la lengua española © 2005 Espasa-Calpe. Disponible en:

http://www.wordreference.com/definicion/inter%c3%a9s, consultado en enero de 2010. 3 http://www.matematicas-financieras.com/Prologo-P1.htm, consultada en enero de 2010

6

El interés es el rendimiento que obtiene, o la cantidad que se paga, a alguien que perdió una oportunidad de consumo o de inversión alterna actual, y “alquiló” el dinero en una relación de crédito.[4] Una definición matemática: MONTO DE LOS INTERESES (rédito)

Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno.

Si en el momento t1 disponemos de un capital C1 y éste se convierte en un capital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operación será:

Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:

2.2 TASA DE INTERES Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos prestables.4

2.3 ALGUNAS TASAS DE ÍNTERES

2.3.1 Tasa de interés activa. Es el porcentaje que las instituciones bancarias, de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca.5

4 http://www.definicion.org/tasa-de-interes, consultado en enero de 2010. 5 http://www.definicion.org/tasa-de-interes-activa, consultado en enero de 2010.

7

2.3.2 Tasa de interés externa. Precio que se paga por el uso de capital externo. Se expresa en porcentaje anual, y es establecido por los países o instituciones que otorgan los recursos monetarios y financieros.6

2.3.2 Tasa de interés interbancaria de equilibrio. Es el rédito que refleja las condiciones prevalecientes en el mercado de dinero en moneda nacional calculado diariamente por el Banco de México, con base en las cotizaciones de las tasas de interés ofrecidas a distintos plazos por las diversas instituciones de banca múltiple.7

2.3.3 Tasa de interés pasiva. Es el porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen.8

2.3.4 Tasa de interés preferencial. Es un porcentaje inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno Federal y que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover; ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, etc.9

2.4 INTERES SIMPLE Una operación financiera es a interés simple cuando el interés es calculado sobre el capital (o principal) original y para el período completo de la transacción. En otras palabras, no hay capitalización de intereses. [2] Descripción de la operación: [5]

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo -n- y tipo de interés -i-). Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial.

6 http://www.definicion.org/tasa-de-interes-externa, consultada en enero de 2010. 7 http://www.definicion.org/tasa-de-interes-interbancaria-de-equilibrio, consultada en enero de 2010 8 http://www.definicion.org/tasa-de-interes-pasiva, consultada en enero de 2010 9 http://www.definicion.org/tasa-de-interes-preferencial

8

Características de la operación:

Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tanto de interés vigente en dicho período. Gráficamente para una operación de tres períodos:

Desarrollo de la operación

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: Momento 1: Momento 2: Momento 3: Momento n: Utilizando la nomenclatura de VA para el valor inicial del capital (Co) , y VF para el valor final del capital al cabo del período n a una tasa de interés i, se tiene: , notación que es más común en las calculadoras financieras y las hojas electrónicas. La expresión encontrada es aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos. Realizando despejes matemáticos se tienen entonces:

,

Ó

,

9

2.4.1 Ejercicios sobre interés simple.

Para las siguientes operaciones financieras, realice el gráfico de la transacción y los cálculos

correspondientes:

1. Calcular el valor final obtenido al invertir $2.000.000 de pesos al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

2. Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos $1.000.000 de pesos al 4% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual.

3. ¿Cuánto se deberá invertir hoy si se quiere disponer dentro de 2 años de $1.500.000 pesos para

cancelar los derechos de grado, si se asegurn un 6% de interés anual para ese plazo?. 4. ¿Qué intereses producirán $3.000.000 de pesos invertidos 4 años al 8% simple anual?. 5. ¿Qué interés producirán $6.000.000 de pesos invertidos 8 meses al 1,5% simple mensual?.

6. Determinar la tasa de interés anual a que deben invertirse $1.500.000 pesos para que en 5 años se

obtenga un monto de $2.500.000 pesos.

7. Un capital de $2.000.000 de pesos colocado a interés simple al 4% anual ocasionó un valor final de $2.640.000 pesos. Determinar el tiempo que estuvo rentando.

2.5 INTERÉS COMPUESTO Bajo la modalidad de interés compuesto se supone que los intereses causados cada período pasan a conformar un nuevo capital sobre el cual se causarán los intereses del período siguiente. [10] Una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año) está dividido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos es agregado al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período percibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del plazo completo. Su aplicación produce intereses sobre intereses, conocido como: la capitalización del valor del dinero en el tiempo. [2] La Ley Financiera para el interés compuesto está dada por: De dónde:

,

,

,

10

2.5.1 Ejercicios sobre interés compuesto 1. Calcular el valor final obtenido al invertir $5.000.000 de pesos al 20% anual durante 4 años en

régimen de capitalización compuesta. 2. ¿Cuánto se deberá invertir hoy si se quiere disponer dentro de 2 años de $2.700.000 pesos, si se

asegura un 6% de interés anual para ese plazo?. 3. ¿Qué intereses producirán $3.000.000 de pesos invertidos durante 4 años al 19% anual?. 4. Determinar la tasa de interés anual a que deben invertirse $1.500.000 pesos para que en 5 años se

obtenga un monto de $2.500.000 pesos.

5. Un capital de $7.200.000 pesos colocado a interés al 14% anual ocasionó un valor final de $14.400.000 pesos. Determinar el tiempo que estuvo rentando.

2.6 TASAS EQUIVALENTES Una tasa es un coeficiente que refleja la relación entre dos magnitudes. Permite expresar distintas cuestiones, como el interés (la utilidad, el valor o la ganancia de algo). La tasa de interés, en este sentido, es un índice que se expresa en porcentaje y se usa para estimar el costo.[14] Es importante anotar que no existe una única tasa de interés en el mercado. Dependiendo de la cantidad de dinero prestada, el plazo, el acreedor (quien presta), el deudor (quien pide prestado), la oferta, la demanda, etc., se definen los valores de las diferentes tasa de interés.[11] Las definiciones de tasa de interés nominal y efectivo para el sistema financiero Colombiano se encuentran consagradas en el título segundo, capítulo primero de la Circular Externa 007 de 1996 de la Superintendencia Financiera.

2.6.1 Tasa Efectiva La tasa de interés efectivo es la tasa de interés que usted deberá pagar al finalizar un periodo, generalmente un año, si el tipo de interés cobrado es compuesto.[11] El tipo de interés efectivo es el tipo de descuento que iguala exactamente los flujos de efectivo a cobrar o pagar estimados a lo largo de la vida esperada del instrumento financiero o, cuando sea adecuado, en un periodo más corto, con el importe neto en libros del activo financiero o del pasivo financiero. [12]

2.6.2 Tasa Nominal

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La tasa de interés nominal es la tasa de interés que usted deberá pagar al finalizar un periodo, generalmente un año, si el tipo de interés cobrado es simple. [11] Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés que capitaliza más de una vez al año. Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades para regular los préstamos y depósitos. Es igual a la tasa de interés por período multiplicada por el número de períodos. [14]

2.6.3 Tasa Periódica Corresponde a la tasa de interés efectiva anual expresada en el tiempo correspondiente a una fracción del año, como el semestre, el cuatrimestre, el trimestre, el mes, el día, entre otros. “No resulta procedente deducir que el producto de dividir una tasa nominal anual del 24% en 12 períodos se obtenga como resultado una tasa de interés efectivo del 2%, por cuanto al dividir una tasa nominal (j) en (m) períodos, la única interpretación matemática válida es que el resultado obtenido corresponde a la tasa nominal periódica. Una tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, por cuanto se trata de una función exponencial, mientras que las tasas nominales por tratarse de una función lineal, sí admiten ser divididas en (m) períodos a fin de obtener la tasa nominal periódica.”[13]

2.6.4 Tasa Anticipada Es aquella que se pacta para pagar al principio de la operación en lugar de al vencimiento del préstamo o crédito. También se emplea este término para préstamos en los que la amortización periódica junto con el pago de intereses se concerta al principio de cada período. Se denomina asimismo interés prepagable.

2.6.5 Tasa Vencida Es aquella tasa de interés que se pacta para pagar al vencimiento del préstamo o crédito. La práctica más común es que se cobren los intereses al final del período en el cual se ha utilizado el capital.

2.6.6 Conversión entre tasas equivalentes Es posible adelantar el proceso de conversión de diversas formas dependiendo el tipo de instrumento de cálculo disponible. En primera instancia se presentaran las formulas para cálculo manual o con calculadora convencional. Sea:

12

, ,

,

Si se dispone de una calculadora Financiera o de una hoja electrónica como Microsoft Excell, es posible realizar las conversiones entre las diferentes tasas equivalentes siguiendo un procedimiento sencillo: En primera instancia se considera como punto de partida la tasa de interés efectiva anual , desde la cual es posible a través de la función de conversión de interés efectivo a interés nominal provisto por la herramienta, determinar la tasa nominal correspondiente para el período de tiempo que se está considerando. Una vez alcanzado el interés nominal buscado, es posible obtener la tasa de período dividiendo el interés nominal entre el período n. Para el proceso contrario, es decir, transformar una tasa periódica en efectiva anual se realizan las siguientes operaciones: En primera instancia se multiplica la tasa periódica ( ) por el valor de para obtener la tasa nominal

anual correspondiente al período ( ), a continuación se utiliza la función EFFECT( ) o su equivalente en la herramienta utilizada (INT.EFECTIVO, efectivo, entre otras) para obtener la tasa efectiva anual correspondiente al interés nominal anual para el período. Con este esquema es posible realizar cualquier conversión de una a otra tasa mediante la hoja electrónica o la calculadora financiera. Para la conversión entre tasas anticipadas y vencidas (periódicas) se utiliza:

ó TASA.NOMINAL( )

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2.6.7 Ejercicios de conversión entre tasas equivalentes

1. Efectúe el cálculo adecuado para encontrar la tasa de interés equivalente y describa la secuencia utilizada:

Tasa dada Tasa equivalente Escriba la secuencia de conversiones realizadas: (ejemplo: ie cuatrimestre in anual cuatrimestre vencido ….)

ie anual = 10% in anual TV =

in anual MV = 3% ie semestral =

ie trimestral = 8% ie anual =

in anual DV = 0.5% in anual TV =

ie diario = 0.5% in anual SV =

ie anual = 29.99% ie diario =

ia trimestral = 9% iv trimestral =

ia anual trimestral = 28% iv trimestral =

i anual mes vencido = 32% i a mensual =

2. ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 10 años si se ahorran $4.000 mensuales y se proyecta el

siguiente escenario de inversión: durante los primeros 4 años se recibe un interés del 22% anual semestre vencido,. El dinero obtenido se invierte durante 2 años en otra entidad bancaria que reconoce el 28% anual efectivo y se aplica en capitalizaciones mensuales. Los últimos 4 años el dinero hasta aquí acumulado recibe un interés del 24% anual capitalizado quincenalmente por anticipado.

2.7 DESCUENTOS. En el ámbito de la economía financiera, descuento es una operación que se lleva a cabo en instituciones bancarias en las que éstas adquieren pagarés o letras de cambio de cuyo valor nominal se descuenta el equivalente a los intereses que generaría el papel entre su fecha de emisión y la fecha de vencimiento [6]. La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. [7] Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. [7]

2.7.1 Descuento Comercial. En el descuento comercial, el descuento se calcula sobre el valor nominal del documento. [6]

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La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente: [7] D = Co * d * t " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Una vez que se conoce como calcular el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento): Cf = Co – D " Cf " es el capital final Cf = Co - ( Co * d * t ) (sustituyendo "D" por su equivalente) Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) (sacando factor común "Co")

2.7.1.1 Ejercicios con descuento comercial Adaptados para la guía a partir de la referencia bibliográfica [8] 1. Calcular el descuento por anticipar un capital de $ 8.000.000 por 7 meses a una tasa de descuento

del 14%. 2. Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior. 3. Se descuentan $2.000.000 por 6 meses y $9.000.000 por 5 meses, a una tasa de descuento del

15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones. 4. ¿Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar $1.000.000 por 6 meses al 12%, o

el de descontar $1.200.000 por 9 meses al 15% ? 5. Se descuenta un capital de $8.000.000 por un plazo de 4 meses, y los interese del descuento son

$40.000 Calcular la tasa de descuento.

2.7.2 Descuento Legal o Racional. En el descuento racional, el descuento se calcula aplicando el tipo de interés y las leyes del interés simple. [6] La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera: [9] D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) " D " son los intereses que hay que pagar

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" Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Una vez que se conoce como calcular los intereses de descuento, es posible determina el capital final: Cf = Co - D Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) (sustituyendo "D") Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) (sacando factor común "Co") Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t)) (operando en el paréntesis) Cf = Co / (1 + d * t) " Cf " es el capital final La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial. Con el término equivalente se hace referencia al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, se vuelve se al capital de partida.

2.7.2.1 Ejercicios descuento legal o racional. Adaptados de [9] y [10] Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de $1.200.000., durante 8 meses, a una tasa de interés del 14%. Descontar un capital de $1.000.000, por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con la misma tasa de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial. Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial. Se ha descontado un capital de 1.000.000 ptas. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40.000 ptas. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional). Se descuentan 200.000 ptas. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000 ptas. Calcular el plazo del descuento (descuento racional). Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional). Se descuentan $2.000.000 por un plazo de 4 meses, a una tasa del 10% (descuento racional). Calcular que tasa habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.

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2.8 ANUALIDADES.10 El concepto de anualidad hace referencia a una operación con desembolsos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulación monetaria es a través de pagos de la anualidad. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos al vencimiento pospagable o por adelantado prepagables. Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez. Algunos ejemplos de anualidades son:

Los pagos mensuales por arrendamientos.

El cobro quincenal o semanal de sueldos.

Los abonos mensuales a un crédito.

Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida. El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (A) u otro y el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el periodo final de pago. Renta es el pago (A) periódico. Los principales elementos que conforman la anualidad son: A Pago Periódico, llamado también término. Es el importe cobrado o pagado, según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad. VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (A), capitalizados al final del enésimo período. VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (A), descontados o actualizados a una tasa de interés. i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva. También representa la tasa anual de efectivo (TEA). n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalización de los intereses (n=t*m). Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:

Todos los pagos son de igual valor.

Todos los pagos son a iguales intervalos.

Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.

10 6 Llaves Maestras de las Matemáticas Financieras, Gradientes y Métodos de Evaluación de Proyectos, por cesar Aching. Disponible en http://www.monografias.com/trabajos29/6-llaves-maestras-matematicas-financieras/6-llaves-maestras-matematicas-financieras.shtml

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El número de pagos debe ser igual al número de períodos. Atendiendo a la variedad de componentes que intervienen, las anualidades se clasifican en: A) De acuerdo con las fechas de iniciación y término. Ejemplo: En una compra a crédito, tanto la fecha que corresponde al primer y último pago son conocidos. Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas, establecidas de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia o perpetua que tiene que abonar un cónyuge a la muerte del otro. Al morir el cónyuge se inicia la renta y ésta fecha es desconocida. B) De acuerdo a los intereses (a su periodo de capitalización). Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer y último pago, generalmente no se establecen anticipadamente. Ejemplo: El pago de una renta mensual con intereses al 32% de capitalización mensual. Simples. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable trimestralmente. C) De acuerdo con el vencimiento de los pagos. Generales. Aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización. Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago. Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que los pagos son a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, el pago mensual por arriendo de una casa, primero es el pago, luego el uso del inmueble. El VA y VF de las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período las pospagables multiplicándolas por (1 + i). D) De acuerdo al momento de inicio o momento de valoración. Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cada periodo. Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a crédito, a pagar mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o vencidas (pospagables). Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Valoramos la anualidad en su origen o en su final. Valor actual o futuro de anualidades adelantadas o prepagables, consiste en calcular la suma de los valores actuales de los pagos al inicio de la anualidad multiplicando el resultado por (1 + i).

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Valor actual o futuro de anualidades vencidas o pospagables, consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa de interés al final del plazo de la anualidad. Son cantidades periódicas y uniformes, equivalentes a un valor actual o valor futuro, a una determinada tasa de interés. E) Según la clase de interés. Diferidas. Los cobros o pagos son llevados a cabo tiempo después de formalizado el trato (se pospone o aplaza), es decir, el primer pago es después de transcurrido cierto número de períodos. La valoración de la anualidad es en un momento posterior a su origen. Significa el valor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) o prepagables (anticipadas).

2.8.1 Anualidades uniformes Las anualidades de valor uniforme pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas (valoramos la renta en su origen o final), diferidas o anticipadas, enteras (cuota y tasa están en la misma unidad de tiempo) y fraccionadas. El conjunto de expresiones para éste cálculo son las siguientes:

,

,

,

A perpetuidad:

2.8.1 Ejercicios sobre Anualidades uniformes 1. ¿Qué cantidad se debe depositar cada mes, al 8% trimestral para lograr una suma total de

$3.000.000 al cabo de 7 años?. ¿Cuánto se tendrá acumulado a los cinco años?. ¿Cuánto debería

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depositar en el año 4 para suspender los depósitos y obtener el mismo monto al cabo de los 7 años?.

2. Si usted compra un artículo por $10.000 y debe pagar 6 cuotas semestrales de $3.233,90. ¿Cuál es

el interés efectivo semestral, mensual, trimestral, anual?. 3. Se obtiene un crédito por $150.000.000 a una tasa del 19% anual, se pagaran cuotas anuales de

$40.000.000. ¿En cuántos períodos se cancelará el crédito? 4. ¿Cuál es el valor final resultante de ahorrar una cuota de $100.000 mensuales por 5 años a una

tasa del 0.7% mensual. 5. ¿Cuál es el valor actual equivalente para una serie de 24 cuotas de $40.000 semanales a una tasa

de interés de 23% anual?

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFIA

[1] http://www.matematicas-financieras.com/Prologo-P1.htm. [2] Aching Guzman, César. Aplicaciones Financieras de Excell con matemáticas financieras, disponible en http://www.matematicas-financieras.com/operaciones-financieras.html [3] Aching Guzman, César. Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, disponible en http://www.matematicas-financieras.com/operaciones-financieras.html.

[4] Moyer. R. Charles, Mcguigan James R., Kretlow William J. Administración financiera contemporánea, séptima edición. [5] http://www.matematicas-financieras.com/Operaciones-en-regimen-de-simple-II-P68.htm [6] http://es.wikipedia.org/wiki/Descuento [7] www.aulafacil.com CursoMatematicasFinancieras Finanza7 [8] www.aulafacil.com CursoMatematicasFinancieras Finanza8 [9] www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza9.htm [10] Oscar León García S. Administración financiera, Fundamentos y Aplicaciones. [11] http://lablaa.org/blaavirtual/ayudadetareas/economia/econo104.htm [12] http://www.asesorutil.com/interes-efectivo-que-es-ejemplo/

[13] Concepto 2006022407-002 del 8 de agosto de 2006. Superintendencia Bancaria.

http://www.superfinanciera.gov.co/Normativa/Conceptos2006/2006022407.pdf

[14] http://definicion.de/tasa-nominal/