Finanazas AMORTIZACIONES

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AMORTIZACIN CON TABLAS CONGRADIENTES

YINA PAOLA TRUJILLO MATIZ

FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTN MATEMATICAS FINANCIERA INGENIERIA DE SISTEMAS 2010.

AMORTIZACIN CON TABLAS CONGRADIENTES

YINA PAOLA TRUJILLO MATIZ

DOCENTE: WLLIAM MENESES JIMENEZ CONTADOR PBLICO

FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTN MATEMATICAS FINANCIERA INGENIERIA DE SISTEMAS 2010.

INTRODUCCIN

En matemticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos peridicos, en los cuales cada pago es igual al anterior ms una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que vara cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmtico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto). Si la cantidad en que vara el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geomtrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual) La aplicacin de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios: Negocios con amortizacin (crdito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la ltima cuota. Negocios de capitalizacin (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado. Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoracin es el perodo de diferimiento o de gracia. Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoracin es el perodo de anticipacin. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).

OBJETIVOS

GENERAL Dar al estudiante las herramientas necesarias, bsicas, complementarias y aplicativas de la continuidad de los Fundamentos de Matemtica Financiera, como herramienta fundamental de la dinmica actual de los negocios, con fundamento en la aplicacin matemtica, para la toma de decisiones financieras empresariales.

ESPECIFICOS Crear mentalidad empresarial. Aplicar las herramientas y utilizar los procesos necesarios en la bsqueda de la mejor alternativa de financiamiento en el sistema financiero. Identificar la mejor alternativa de inversin en las fuentes externas de la empresa, cuando hallan excesos de liquidez. Desarrollar habilidades y destrezas en la aplicacin de procesos en diferentes escenarios para la Evaluacin de Alternativas de Inversin, para la toma de decisiones financieras.

JUSTIFICACIN

Este proyecto de investigacin a porta mucho a nuestra carrera como ingenieros de sistemas, ya que debemos tener base de temas tan importantes como lo son: las matemticas financieras, la contabilidad, la finanzas, etc. Ya que nos aporta mucho al campo de la programacin y la creacin de nuevos software para implementar en muchas empresa. METODOLOGA Se fundamenta en el trabajo tutorial y la respuesta de los estudiantes en el encuentro y su trabajo independiente. En este sistema el tutor es el encargado de orientar el trabajo, tanto presencial como independiente de los estudiantes, mediante la programacin y organizacin de una serie de actividades formativas en las que se enfrentan los problemas, se fundamentan en los conocimientos, se indaga la realidad y se retroalimenta para el cumplimiento de las metas de aprendizaje. El sistema tutorial se apoya fundamentalmente en dos estrategias: Socializacin en plenarias de saberes y experiencias adquiridas durante las actividades independientes, las cuales deben generar un proceso de reflexin y anlisis de los elementos ms significativos que es preciso transformar sobre la base de la realidad. De esta manera, al llegar a sus propias conclusiones, los estudiantes se apropian de ellas y las interiorizan, puesto que les pertenecen; son suyas y no de otro. La socializacin de saberes y experiencias apoyndose en carteleras, acetatos, reconstrucciones, dramatizaciones, videos y otros medios didcticos. La orientacin y asesora sobre los trabajos desarrollados en las actividades no presnciales, a travs del telfono, el fax y el acercamiento virtual.

SALDOS INSOLUTOS, DE HECHOS ADQUIRIDOS Y CUADRO DE AMORTIZACIONES. Con el propsito de ver como varia con cada abono la porcin que amortiza al capital que se adeuda, para obtener el saldo insoluto en cualquier momento o para conocer con precisin la magnitud de los intereses, que en algunos lugares son deducibles de impuestos ( de ah su importancia). Es de mucha utilidad el recurso de una tabla o cuadro de amortizacin. Por otro lado y simplemente para no pagar mas intereses, puede suceder que antes de vencerse el plazo, el deudor pretenda al liquidar el resto de su deuda mediante un desembolso anual. Puede suceder y esto es ms frecuente, que al haber comprado en abonos una casa, departamento, terreno o cualquier otro bien, se tenga la necesidad de venderlo o traspasarlo antes de terminar de pagarlo.

Preparacin de la tabla de amortizacin. Para poder analizar el contenido de una tabla primero se debe tomar en consideracin el modo de pago, con el cul se va a amortizar, bien sea, mensual, trimestral o semestral. Por consiguiente, los valores de los pagos (columna A), el gasto de intereses (Columna B), y la reduccin en el saldo no pagado (Columna C)sern calculados de acuerdo al tiempo.

Los datos de la tabla son: 1. Perodos de inters (Fecha de expedicin). 2. Fecha de pago. 3. Pago (bien sea mensual, semestral o trimestral) (Columna A) 4. Gastos por intereses (Columna B) 5. Reduccin en el saldo no pagado (Columna C) 6. Saldo no pagado (Columna D).

La tasa de inters que se utilice en la tabla tiene una importancia especial; esta tasa debe coincidir con el perodo entre fechas de pago. Por lo tanto, si los pagos se realizaran de manera mensual (por ejemplo) la columna B de gastos por intereses deber estar basada en la tasa de inters mensual y as sucesivamente. Una tabla de amortizacin se realiza con el monto original del pasivo que encabeza la columna de saldos no pagados. Los valores de los pagos mensuales mostrados en la columna A, se especifican mediante un contrato de cuotas. El gasto por inters mensual, que aparece en la columna B, se calcula para cada mes aplicando la tasa de inters mensual al saldo no pagado al principio de ese mes. La porcin de cada pago que reduce el valor del pasivo (Columna C) es simplemente el monto restante del pago (Columna A Columna B). Finalmente, el saldo no pagado del pasivo (Columna D) se ve reducido cada mes por el monto indicado en la columna C. La preparacin de cada lnea horizontal en una tabla de amortizacin representa la elaboracin de los mismos clculos con base en un nuevo saldo no pagado.

Ejemplo: Supngase que se consigue un prstamo de $1,000.00 que se liquidara con 10 pagos mensuales iguales y recargos del 24% nominal mensual. Datos: Formula: -np C= $1,000.00 n= np C= R 1- (1+i/P) / (i/p) n= 10 np= 10 P= 12 -10 i= .24 1,000.00 = R 1- (1+.020) / .020 i/P = .24/12 = .020 1,000.00 = R (8.982585) R = 1,000.00 / 8.98255 R = 111.326527 TABLA DE AMORTIZACIONES:

INTERES PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113.2653 I=M-C (R)(P)-C I = (111.326527)(10) - 1,000.00 I = 113.2653 RENTA I = Cni

AMORTIZACION

SALDO INSOLUTO $1,000.00 $ 908.67347 $ 815.52040 $ 720.50428 $ 623.58783 $ 524.73305 $ 423.90118 $ 351.05267 $ 246.74719 $ 140.35560 $ 31.83618

A=R-I ------------------------------------------- --------------------111.326527 20.00000 91.32653 111.326527 18.17346 93.15306 111.326527 16.31040 95.01611 111.326527 14.41008 96.91644 111.326527 12.47175 98.85477 111.326527 10.49466 100.83186 111.326527 8.47802 102.84850 111.326527 7.02105 104.30547 111.326527 4.93494 106.39158 111.326527 2.80711 108.51941

Para corroborar algn numero de pago de alguna mensualidad, tenemos: DEUDA ORIGINAL = SALDO + DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR. Donde np = es l numero de pagos que faltan por realizare. Ejemplo: Del ejemplo anterior corroborar el octavo pago: -np C = R 1- (1 + i/P) / (i/p) -8 C = (111.326527) 1 - (1 + .020) / 0.20 C = (111.326527) (7.32548)

C = 815.52040 AMORTIZACION GRADUAL La parte que amortiza el capital va creciendo gradualmente como se avanza con los pagos. Debe cumplirse que la magnitud de cada periodo sea mayor que los intereses que genera la deuda, porque de lo contrario esta nunca se cancelara, sino que ms bien, aumentara con el tiempo. Ejemplo: Para pagar su colegiatura anual, el padre de un estudiante consigue un prstamo por $7,000.00 con recargos del 18% nominal. Cuntos abonos quincenales de $700.00 le sern necesarios para amortizar su adeudo? Datos: Formula: -np C = $7,000.00 C = R 1 - (1 + i/p) / (i/p) i = 18% = i/j = .18/24 = 0.0075 -24n R = 700.00 7,0000 = 700 1-(1+0.0075) / 0.0075 P = 24 quincenas -24n n = 7,000 /700 = 1-(1+0.0075) / 0.0075 -24n 10 (0.0075) = 1- (1.0075) -24n 0.075 - 1 = - (1.0075) -24n -1 - 0.925 = - (1.0075) -24n 0.925 = (1.0075) propiedades de los logaritmos: n ln X = n ln X

ln 0.925 = -24n ln 1.0075 -0.07796 = -24n 0.007472014 -0.07796 = -0.17933 n n = -0.07796 / -0.17933 n = .43473 Esto es aos pero lo que buscamos es en quincenas, por lo tanto tenemos: (.43473)(24 quincenas) = 10.4335. recalculando con n=10.43 tenemos: -np C = R 1 - (1+i/P) / (i/P) -10.43 7,000 = R 1 - (1+0.0075) / 0.0075 7,000 = R (9.9964) R = 7,000 / 9.9964 R = $700.25 AMORTIZACION CONSTANTE S a dicho que el sistema de amortizacin constante se presenta cuando cada pago, la porcin que reduce al capital se mantiene constante y no creciente como en el gradual. Esta amortizacin es siempre la misma y esto da origen a que el tamao de los pagos se reduzca paulatinamente. FORMULAS: El primer pago: R1 = (C/np)(1+in); el N-esimo es: RN = (C/np) 1+in - (N-1)(i/p) 2 La diferencia entre dos pagos sucesivos es: d = Ci / np Donde:

C = Deuda original, el valor actual. n = Plazo en aos. p = Numero de amortizaciones por ao. i = tasa de interes compuesto. N = Numero de periodos. Ejemplo: Con el sistema de amortizacin constante, los intereses del 60% nominal quincenal y un plazo de 2 aos, calcular la magnitud de los primeros cuatro pagos quincenales que se hacen para amortizar un adeudo de $4,800.00 y elaborar un cuadro de amortizacin. Tambin calcular los derechos poco despus de haber hecho el abono numero 35. Datos: i = 60 % quincenal n = 2 aos C = $4,800.00 np = 24 quincenas en un ao R1 = R2 = R3 = FORMULA: R1 = (C/np)(1+in) R1 = (4,800/48)(1+(.60)(2)) R1 = 220 DIFERENCIA: 2 d = Ci/np

2 d = (4,800)(.60) / 2(24) d = 2,880 / 1,152 d = 2.50 Teniendo este dato podemos obtener las R2, R3 y R4: R2 = R1-d R3 = R2-d R4 = R3-d R2 = 220-2.50 R3 = 217.50-2.50 R4 = 215-2.50 R2 = 217.50 R3 = 215 R4 = 212.50 Si queremos saber cual ser el pago de la renta numero treinta, tenemos: R30 = (4800/48) 1+(.60)(2)-(30-1)(.60/24) R30 = 100 1+1.2-(29)(0.025) R30 = 100(2.2-0.725) R30 = 100(1.475) R30 = 147.50 NOTA: Al efectuar este pago el saldo es de $100.00 y los intereses son: I = nC(i/p) I = (1)(100)(.60/24) I = 2.50 Y por lo tanto, dicho pago es de: R48 = 100+2.50 R48 = 102.5

TABLA DE AMORTIZACIONES: INTERESES PERIODO 0 1 2 3 4 . . . 30 . . . 47 48 RENTA I = Cn(i/p) A=R-I INSOLUTO -------------------- ------------------- ------------------------ $4,800.00 220 120 100 $4,700.00 217.50 117.50 100 $4,600.00 215 115 100 $4,500.00 212.50 112.50 100 $4.400.00 AMORTIZACION SALDO

147.50

47.50

100

$1,800.00

105.00 102.50

5 2.5

100 100

$100.00 0

Mtodo de amortizacin con trminos amortizativos variables en progresin Este mtodo amortizativo se caracteriza porque:

Los trminos amortizativos varan en progresin aritmtica, y, El tanto de valoracin y la razn de la progresin permanecen constantes, durante toda la operacin.

Es importante el estudio de la razn aplicada. De esta razn va a depender la variacin que se ir produciendo en las cuotas. As, a mayor razn menor es la cuota inicial y mayor ser la final. Adems el importe de la razn es proporcional al total de los intereses paga-dos. As, tenemos que a mayor razn, mayor es el importe de los intereses pagados y a

la inversa. Esto se debe a que una mayor razn hace que al principio amorticemos un menor capital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de los intereses, con lo que stos se acumularn al capital y volvern a generar intereses. Grficamente, el esquema de cobros y pagos de la operacin para un prstamo de C0, a amortizar en n perodos, con pagos que varan en progresin aritmtica de razn conocida d, al tipo de inters i, es el siguiente:

7.1. PASOS A SEGUIR 7.1.1. Clculo de los trminos amortizativos (ak) Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del prstamo y la renta en progresin aritmtica formada por los trminos amortizativos, cuyo valor actual se pondr en funcin del primer trmino y la razn de la progresin. Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuacin donde la variable a despejar ser el primer trmino amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer trmino amortizativo, al seguir los dems una progresin aritmtica, el resto de ellos se calcular a travs de dicha ley, as:

a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d ... ak+1 = ak + d = a1 + k x d ... an = an-1 + d = a1 + (n - 1) x d 7.1.2. Clculo de las cuotas de amortizacin (Ak) 7.1.2.1. 1. posibilidad: a travs de la estructura del trmino amortizativo Una vez calculados los trminos amortizativos, se cumple lo siguiente: Perodo 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo dems se conoce) Perodo 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 - A1) x i + A2, y despejamos A2, Perodo 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 - A2) x i + A3, y despejamos A3, y as se continuara hasta calcular el resto de cuotas de amortizacin. 7.1.2.2. 2. posibilidad: a travs de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortizacin Al ser variable el trmino amortizativo las cuotas de amortizacin variarn, dependiendo de la razn de la progresin y el tipo de inters del prstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemtica (ley de recurrencia). Se trata de encontrar la relacin matemtica que siguen dos cuotas de amortizacin consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los trminos amortizativos de dos perodos consecutivos cualesquiera: Perodo k: Perodo k+1: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + Ak ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1 ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1 siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda: ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1 adems, se cumple: ak+1 = ak + d de donde se obtiene:

---------------------------------------------

Ak+1 = Ak x (1 + i) + d expresin segn la cual cada cuota de amortizacin se puede obtener a partir de la anterior de manera fcil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del primer perodo, la expresin a aplicar ser:

7.1.3. Clculo del total amortizado despus de k perodos (mk) Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles:

Por diferencias, entre el importe del prstamo y lo que an se debe: mk = C0 Ck

Por sumas de cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha: mk = A 1 + A 2 + + A k

7.1.4. Clculo del capital vivo a principios del perodo k+1 (Ck) Como en el caso de los prstamos con trminos amortizativos en progresin geomtrica, la forma ms fcil de calcular capitales pendientes ser a partir de los trminos amortizativos, realizados o pendientes, valorados financieramente en el momento en que se quiera calcular la deuda viva (momento k).

7.1.4.1. 1. posibilidad: mtodo retrospectivo, a travs de los trminos amortizativos pasados

en k se debe cumplir: lo que se debe en k = [lo recibido lo pagado]k por tanto en k:

7.1.4.2. 2. posibilidad: mtodo prospectivo, a travs de los trminos amortizativos futuros

en k se debe cumplir:

lo que supondra la cancelacin total en k = [cantidades pendientes de pagar]k por tanto en k:

7.1.5. Clculo de la cuota de inters del perodo k+1 (Ik+1) Los intereses de cualquier perodo se calcularn a partir de la deuda pendiente a principios de ese perodo, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 7 Construir el cuadro de amortizacin de un prstamo de 10.000 euros, al 10% de in-ters anual, amortizable en 3 aos, con anualidades que van aumentando 100 euros cada ao.

(1) Aos 0 1 2 3 Total Trmino amortizativo 3.927,49 4.027,49 4.127,49 12.082,47

(2) Cuota de inters 1.000,00 707,25 375,22 2.082,47

(3) Cuota de amortizacin 2.927,49 3.320,24 3.752,27 10.000,00

(4) Total amortizado 2.927,49 6.247,73 10.000,00

(5) Capital vivo 10.000,00 7.072,51 3.752,27

Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer perodo (trmino amortizativo) a travs de la frmula anterior.

(2) La cuota de inters se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada perodo (5). (3) La cantidad destinada a amortizar ser la diferencia entre el total pagado en el perodo (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha. (5) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital a principios de cada perodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

.1. Gradiente uniforme La progresin aritmtica, quiere decir, cada trmino es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto. El gradiente uniforme es una sucesin de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmtica cada perodo de inters. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminucin. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son: Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmtico creciente o decreciente, conociendo la tasa de inters peridica, el gradiente y el plazo. Slo tienen aplicacin en el siguiente flujo de caja: Para el clculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (segn el caso) del gradiente pospagable. 5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado Son anualidades que tienen infinito nmero de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el nmero de pagos es muy grande asumimos que es infinito. Este tipo de anualidades son tpicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses. Para el clculo de la anualidad en progresin geomtrica perpetua operamos, a travs del lmite cuando el nmero de trminos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los ltimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:

Ingresando la variable C dentro del parntesis, nos queda: El trmino cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos trminos, llamada perpetuidad, la calculamos con la frmula de la serie infinita: Frmula o ecuacin de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de inters peridica y la cuota. Las perpetuidades permiten calcular rpidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, C es el rendimiento peridico e i la tasa de inters para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras pblicas, carreteras, presas, valuacin de acciones, etc. Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto despus de efectuar el pago anual. 5.3. Gradiente geomtrico Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en perodos consecutivos de pago. En la progresin geomtrica cada trmino es el anterior multiplicado por un mismo nmero denominado razn de la progresin, representado por E. 5.3.1. Valor actual de un gradiente en escalera Devuelve el valor actual de un gradiente en escalera, conociendo la tasa de inters peridica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada. 5.4. Valor futuro de gradientes A partir del VA actual obtenido con las frmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmtico o geomtrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de inters peridica, el gradiente y el plazo. El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalizacin, para los clculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado despus de un plazo determinado. 5.4.1. Valor futuro de un gradiente en escalera Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variacin y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales. El clculo del VF de un gradiente en escalera, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de inters peridica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes tambin son de capitalizacin. 5.4.2. Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente aritmtico o geomtrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de inters peridica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortizacin y capitalizacin. En los problemas de amortizacin, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operacin. Al confeccionar las tablas de amortizacin, en los problemas de capitalizacin, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial. 5.4.3. Pago en escalada conociendo el VF Utilizado solo para casos de amortizacin. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada. Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en escalera, creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de inters peridica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. 5.4.4. Pago en escalada conociendo el VF Utilizado solo para casos de capitalizacin. Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en escalera, creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a capitalizar, la tasa de inters peridica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. 5.4.5. Tasa peridica de un gradiente Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de inters por perodo de un gradiente. Aplicable para gradientes aritmticos o geomtricos, crecientes o decrecientes y casos de amortizacin o de capitalizacin

BIBLIOGRAFIA INGENIERIA ECONOMICA, Guillermo Baca Matemticas Financieras ,Jhonny de Jess Meza Orozco Matemticas Financieras , Alberto Cardona Matemticas Financieras, Jaime A. Garca. Fundamento de Administracin Financiera Fred Weston. ADMINISTRACION FINANCIERA, Fundamentos y aplicaciones. Oscar Len Garcia. MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS. Jorge E. Snchez Vega WESTON COPELAND, FINANZAS EN LA ADMINISTRACIN Editorial Mc Graw-Hill, Mxico 1990 JAVIER SERRANO-JULIO VILLARREAL. FUNDAMENTOS DE FINANZAS Editorial Mc Graw- Primera y Segunda Edicin.