El punto Q' hace las veces de objeto para la segunda lente, la cual produce una imagen final en Q. Como la distancia de Q' a la segunda lente es q' + t, tenemos que

Donde q es la distancia de la imagen final a la segunda lente. Este sistema de ecuaciones nos permite obtener la posicin de la imagen correspondiente a cualquier posicin del objeto.El foco objeto F (fig. 21-18b) del sistema de lentes es la posicin del objeto para la cual la imagen Q est en el infinito (q = ). Llamando p (F) a la distancia de F0 a la primera lente, tenemos segn la segunda relacin que q' = f2 t; sustituyendo este valor en la primera relacin se obtiene

Anlogamente, para obtener la posicin q (Fi) del foco imagen F (fig. 21-18c), hacemos p = oo, resultando

Un caso importante es cuando las lentes estn en contacto por lo que se puede despreciar t. Entonces la ecuacin que relaciona q' y q se convierte en

la cual, combinada con la primera ecuacin, da

Este resultado muestra que un sistema de dos lentes delgadas en contacto es equivalente a una sola lente de distancia focal dada por

Se puede obtener el mismo resultado haciendo t= 0 en la expresin de p (F0)

INSTRUMENTOS PTICOS

El trazado de rayos en sistemas de lentes y espejos es particularmente importante para el diseo de instrumentos pticos. Estudiaremos dos de los ms importantes: el microscopio y el telescopio.(a) El microscopio. Un microscopio es un sistema de lentes que produce una imagen virtual aumentada de un pequeo objeto. El microscopio ms simple es una lente convergente, llamada comnmente lupa. El objeto AB (fig. 21-19) se coloca entre la lente y el foco Fo de modo que la imagen es virtual y est a una distancia q igual a la distancia mnima de visin ntida que, para una persona normal, es de alrededor de 25 cm. Como p es casi igual a f, especialmente ni fInstrumentos pticos 863

Fig. 21-19. Trazado de rayos en una lupa.

Es muy pequea, podemos escribir para el aumento

El microscopio compuesto es ms elaborado (fig. 21-20). Consiste en dos lentes convergentes de pequea distancia focal, llamadas el objetivo y el ocular. La distancia focal f del objetivo es mucho menor que la distancia focal f del ocular. Tanto f como f son mucho menores que la distancia entre el objetivo y el ocular. El objeto AB se coloca a una distancia del objetivo ligeramente mayor que f. El objetivo forma una primera imagen real a'b' que hace de objeto para el ocular. La imagen a'b' debe estar a una distancia del ocular ligeramente menor que f'. La imagen final ab es virtual, invertida y mucho mayor que el objeto. El objeto AB

Fig. 21-20. Trazado de rayos en un microscopio compuesto.

se coloca de manera tal que ab est a una distancia del ocular igual a la distancia mnima S de visin ntida (alrededor de 25 cm). Esta condicin se obtiene mediante la operacin de enfoque, que consiste en mover todo el microscopio respecto al objeto. El aumento debido al objetivo es

Y el debido al ocular es

Aumento total es

En los microscopios, L es prcticamente igual a la distancia entre el objetivo y el ocular.El aumento til de un microscopio est limitado por su poder resolvente, es decir, la distancia mnima entre dos puntos del objeto que se pueden distinguir

Fig. 21-21. Poder de resolucin del ojoEn la imagen. El poder resolvente est a su vez determinado por la difraccin en el objetivo. Un clculo detallado que no se dar aqu, da para el poder resolvente

Donde es la longitud de onda, n el ndice de refraccin del medio en el cual el objeto est sumergido y es el ngulo que un rayo marginal forma con el eje del microscopio. En general 2n sen vale alrededor de tres, por lo que R Por otra parte, el poder resolvente del ojo es alrededor de 10-2 cm para un objeto situado a unos 25 cm (fig. 21-21). En consecuencia, el aumento til mximo es

Por ejemplo, para la luz con = 5 X 10-7 m, que corresponde aproximadamente al centro del espectro visible, M es alrededor de 600. Se puede mejorar el aumento con radiacin de longitud de onda ms corta, pero entonces puede estar fuera del espectro visible.(b) El telescopio. Otro instrumento ptico importante es el telescopio, utilizado para observar objetos muy distantes. En el telescopio de refraccin, el objetivo (fig. 21-22) es una lente convergente de distancia focal f muy grande, a veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen a'b' producida por el objetivo, est en su foco F0. Slo hemos indicado los rayos centrales Bb' y Aa' ya que es todo lo que necesitamos porque conocemos la posicin de la imagen.

Fig. 21-22. Trazado de. Rayos en un telescopio de refraccin.

El ocular tambin es una lente convergente pero de distancia focal F' mucho menor. Se coloca de forma tal que la imagen intermedia a'b' est entre O' y F'a y la imagen final ab est a la distancia mnima de visin ntida. El enfoque se realiza moviendo el ocular solamente, ya que nada se gana en este caso moviendo el objetivo.El aumento producido por este instrumento no es lineal porque la imagen es siempre menor que el objeto. En su lugar, se define un aumento angular, es decir el cociente entre el ngulo subtendido por la imagen y el ngulo a subtendido por el objeto. En frmulas

A causa de la proximidad de la imagen, el ngulo es mucho mayor que a, siendo esto lo que crea la sensacin de aumento. De acuerdo con la figura y teniendo en cuenta que los ngulos y son pequeos, podemos escribir

Porque la distancia de a'b' a O' es prcticamente f'. Sustituyendo en la ec. (21.23), tenemos

En consecuencia, para obtener un gran aumento, la distancia focal del objetivo debe ser muy grande y l del ocular muy pequea. Prcticamente, la longitud del instrumento est determinada por la distancia focal f del objetivo.El aumento del telescopio astronmico est limitado por el poder resolvente del objetivo y el del ojo del observador. Para un objetivo cuyo dimetro es D, el poder resolvente (es decir el mnimo ngulo subtendido por dos puntos del objeto que se pueden distinguir en la imagen a'b') es, como se mostrar en la ec. (23.12),

Por otra parte, el poder resolvente del ojo (fig. 21-21) es, expresado en funcin de un ngulo

Por lo tanto el aumento til mximo de un telescopio es

Un aumento mayor significa, bien un valor menor de a, que implica menor detalle en la imagen, bien un valor mayor de 3, lo cual esencialmente no revela nuevos detalles en la imagen final ab pues los mismos no estaban en la imagen intermedia a'b'. Por ejemplo, para luz de X = 5 X 10-7 m tenemos M x 660D, donde D est en metros. En consecuencia, podemos incrementar el aumento incrementando el dimetro I) del objetivo. Por ejemplo en el telescopio de Yerkes, que es el mayor telescopio de refraccin, D es de alrededor de 1 m resultando un aumento de alrededor de 660 y un poder resolvente de 10-2 segundos de arco.En el telescopio de reflexin, el objetivo es un espejo parablico cncavo que forma en un foco una imagen libre de aberracin esfrica. El mayor telescopio de reflexin es el de Mount Palomar. Tiene un dimetro de cerca de 5 m y un aumento del orden de 3500.Los instrumentos pticos son mucho ms complicados que la versin simplificada que hemos presentado, principalmente por la necesidad de producir una imagen tan desprovista de aberraciones como sea posible. Por esa razn los oculares estn compuestos de varias lentes y los objetivos de microscopio son sistemas de lentes muy complejos.

EL PRISMA

Un prisma es un medio limitado por dos superficies planas que forman un ngulo A (fig. 21.23). Suponemos que el medio tiene un ndice de refraccin n y que est rodeado de un medio cuyo ndice de refraccin es la unidad, por ejemplo el aire.

Un rayo incidente tal como PQ sufre dos refracciones y emerge desviado un ngulo S respecto a la direccin incidente. Se puede ver fcilmente en la figura que valen las siguientes relaciones:

La primera y segunda ecuaciones son simplemente la ley de Snell aplicada a las refracciones en Q y en R. La tercera se obtiene usando el tringulo QTR y la cuarta usando el tringulo QRU. Las tres primeras ecuaciones sirven para trazar el rayo y la cuarta nos permite hallar la desviacin.Hay un rayo particular para el cual la desviacin es mnima; se obtiene haciendo d/di = 0. De la ecu. (21.30) obtenemos

y para que d/di = 0 debemos tener

De las ecs. (21.28) y (21.29) tenemos

en consecuencia

Como los cuatro ngulos i, r, i' y r' son menores que y satisfacen las condiciones simtricas (21.27) y (21.28), se pueden satisfacer simultneamente las ecs. (21.31) y (21.32) solamente si i = i' y r = r', para lo cual debe ser

donde min es el valor de la desviacin mnima. Ntese que en este caso el camino del rayo es simtrico respecto a las dos caras del prisma. Introduciendo la ec. (21.33) en la ec. (21.27) obtenemos

que es una frmula conveniente para medir el ndice de refraccin de una sustancia hallando min experimentalmente en un prisma de ngulo A conocido.

DISPERSIN DE UN MEDIOCuando una onda se refracta en un medio dispersivo cuyo ndice de refraccin depende de la frecuencia (o de la longitud de onda), el ngulo de refraccin tambin depender de la frecuencia o longitud de onda. Si la onda incidente, en vez de ser armnica (o monocromtica) se compone de varias frecuencias o longitudes de onda superpuestas, cada longitud de onda componente se refractar segn un ngulo diferente; este fenmeno se denomina dispersin. (En la seccin 19.13 introdujimos el tema de la dispersin de ondas en la materia.)

Fig. 21-24. Dispersin cuando la luz pasa a travs de una placa de caras paralelas.

Fig. 21-25. Dispersin cuando la luz pasa a travs de un prisma.Recordamos al estudiante que los colores estn asociados con intervalos de longitudes de onda. Por lo tanto la luz blanca se descompone en colores cuando se refracta al pasar del aire a otra sustancia como el agua o el vidrio. En un pedazo de vidrio en forma de placa de caras paralelas, los rayos emergentes son paralelos, y los diferentes colores se superponen nuevamente (fig. 21-24) y no se

Fig. 21-26. Esquema del espectroscopio de prisma.

Observa dispersin excepto en el borde mismo de la imagen. An as, este efecto no es notable normalmente.Pero si la luz pasa a travs de un prisma (fig. 21-25), los rayos emergentes no son paralelos para los diferentes colores y la dispersin es ms notable, especialmente en los bordes. De ah que los prismas se usen extensivamente para analizar la luz en los instrumentos llamados espectroscopios. En la fig. 21-26 se ilustra un tipo simple de espectroscopio. La lente L transforma en rayos paralelos la luz emitida por una fuente S y limitada por una rendija. Despus de dispersados por el prisma, los rayos correspondientes a los diferentes colores pasan por otra lente L'. Como todos los rayos del mismo color (misma longitud de onda) son paralelos, se enfocan en el mismo punto de la pantalla. Pero los rayos que difieren en color (o longitud de onda) no son paralelos, por lo que colores diferentes son enfocados en puntos diferentes de la pantalla. Los diferentes colores o longitudes de onda emitidos por la fuente S aparecen desplegados en la pantalla formando lo que se denomina el espectro de la luz proveniente de S. Si la desviacin S vara rpidamente con la longitud de onda X, los colores aparecen muy espaciados en la pantalla. Para cada longitud de onda aparece sobre la pantalla una lnea que es la imagen de la rendija.Se define la dispersin de un prisma por

El factor d/dn depende fundamentalmente de la geometra del sistema, mientras que el factor dn/dx depende del material de que est compuesto el prisma. Derivando las ees. (21.27) a (21.30) con respecto al ndice de refraccin n encontramos que

Si combinamos estos cuatro resultados y utilizamos la ec. (21.29), obtenemos finalmente

Si se orienta el prisma para obtener desviacin promedio mnima, tenemos

El segundo factor dn/d en la ec. (21.35) depende de la naturaleza de las ondas y del medio. Para las ondas electromagnticas en general y para la luz en particular, una expresin aproximada y satisfactoria para el ndice de refraccin en funcin de la longitud de onda est dada por la frmula de Cauchy,

donde A y B son constantes caractersticas de cada sustancia (ver el ejemplo 21.10). En la fig. 21.27 se muestra la variacin de n con X para diversos materiales transparentes en la regin ptica. De la ec. (21.36) obtenemos

La dispersin en un prisma es entonces

El signo negativo significa que la desviacin disminuye cuando la longitud de onda aumenta, de modo que el rojo se desva menos que el violeta.

EJEMPLO 21.10 Justificacin de la frmula de Cauchy.

Solucin." En la ec. (19.58) obtuvimos una expresin que da el Indice de refraccin en funcin de la frecuencia de las ondas electromagnticas y las frecuencias caractersticas de la sustancia. Suponiendo para simplificar que hay una sola frecuencia atmica o y que o, obtenemos

de modo que, usando el desarrollo binomial (M.28), obtenemos

Y, como = 2/ tenemos donde

ABERRACIN CROMTICACuando luz compuesta de varias longitudes de onda (tal como la luz blanca) pasa a travs de una lente, sufre dispersin y los bordes de la imagen producida por la lente aparecen coloreados. Este efecto se denomina aberracin cromtica. Es fcil comprender el origen de este efecto si nos damos cuenta que una lente es equivalente a dos prismas unidos por sus bases (para una lente convergente) o por sus vrtices (para una lente divergente).Una lente tiene un foco para cada color o longitud de onda. Esto se ve en la ec. (21.28), ya que f est determinado por el ndice de refraccin n y ste depende de la longitud de onda. Para sustancias transparentes cuyo ndice de refraccin disminuye al aumentar la longitud de onda en la regin visible (ver fig. 21-27), el violeta tiene una distancia focal ms corta que el rojo. En la fig. 21-28 se muestra

(a)(b)

Fig. 21-28. Aberracin cromtica en lentes, (a) Lente convergente y (b) divergente

la aberracin cromtica de una lente convergente y de una divergente para tal tipo de material.Se define la aberracin cromtica de una lente por la diferencia fc ff entre las distancias focales correspondientes a las longitudes de onda 6,563 x 10~7 m y 4,862 X 10~7 m, emitidas por el hidrgeno y que se denominan lineas C y F de Fraunhofer. Luego, empleando la ec. (21.18), tenemos

y por lo tanto

Ahora bien, la lnea D de Fraunhofer, con longitud de onda 5,890 x 10-7 m, corresponde aproximadamente al ndice de refraccin medio, que se designacon nD. Luego

Utilizando la expresin anterior, podemos eliminar la dependencia de los radios de la lente en la ec. (21.38) y escribir

Pero se puede escribir el segundo miembro en la forma

ya que Fc.Ff Fd^2 aproximadamente. Por lo tanto la aberracin cromtica longitudinal de la lente es

La cantidad

se denomina poder dispersivo del material. La tabla 21-3 da los ndices de refraccin de algunos materiales transparentes para las lneas c,d,f de fraunhoferEl tipo de aberracin cromtica que hemos estudiado hasta ahora para las lentes se denomina longitudinal porque se mide a lo largo del eje principal. Hay tambin una aberracin cromtica transversal. Consideremos un objeto AB frente a una lente L (fig. 21-29). A menos que la luz proveniente del objeto sea monocromtica, habr dispersin al pasar por la lente y en vez de una imagen, se formar una serie de imgenes de diferente tamao, una para cada longitud de onda o color. La figura muestra slo las imgenes extremas, correspondientes al rojo

Fig. 21-29. Aberracin cromtica longitudinal y transversal en una lente.

y al violeta, y su separacin est muy exagerada. Es por esta dispersin lateral que los bordes de la imagen aparecern coloreados. Se puede expresar la aberracin cromtica transversal en funcin de los aumentos diferentes para las lneas C y F.

EJEMPLO 21.11. Estudio de sistemas acromticosSolucin: Se puede reducir y an eliminar la aberracin cromtica combinando lentes de materiales diferentes en lo que se denomina sistema acromtico. Para ver cmo se puede hacer esto, supongamos que tenemos el sistema de lentes de la fig. 21-30 donde, por ejemplo, la lente L est hecha de vidrio "crown" y la lente L' de vidrio "flint". Llamemos f y f' a sus respectivas distancias focales, y y ' a sus respectivos poderes dispersivos. La lente L tendra la aberracin cromtica indicada por el segmento VR Pero si se disea la lente divergente L' en forma apropiada, los rayos correspondientes a todas las longitudes de onda se enfocarn en F. Para

ver cmo se hace esto, recordemos del ejemplo 21.9 que para cada longitud de onda

Donde Fc y Ff son las correspondientes distancias focales de la combinacin de lentes. Luego, restando estas dos ecuaciones y recordando que FcFf Fd^2>, etc., tenemos

Para que no haya aberracin cromtica longitudinal debemos tener Fc- Fd = 0, de modo que

Como y ' son positivos, concluimos que Fd y Fd tienen signos opuestos. Por lo tanto una lente es convergente y la otra debe ser divergente.

EJEMPLO 21.12. Disear una lente acromtica de 0,350 m de distancia focal y hecha de dos lentes: una de vidrio crown y la otra de vidrio flint.Solucin: Segn los datos de la tabla 21-3, el poder dispersivo del vidrio crown es 0,0193 y el del vidrio flint 0,0271. En consecuencia, la condicin de acromaticidad impuesta por la ec. (21.14) se expresa por

Utilizando el resultado del ejemplo 21.9 con F = + 0,35 m, se impone la segunda condicin

Combinando estas dos ecuaciones, obtenemos

Por lo tanto la lente de crown es convergente y la de flint divergente. Suponiendo que el sistema es planoconvexo, correspondiendo la cara plana a la lente de flint, y empleando la ec. (21.18) con el valor Nd para el ndice de refraccin, tenemos que el radio de la cara comn a las dos lentes es 0,089 m y que el radio de la otra cara de la lente de crown es 0,126 m.

PRINCIPIO DE FERMAT DEL TIEMPO ESTACIONARIO

En este captulo y en los precedentes hemos basado nuestro estudio de la reflexin y de la refraccin, bien en el teorema de Malus, bien en las condiciones de contorno en las superficies de separacin entre los dos medios. En la geometra de ondas, por otro lado, hay un tercer principio, no relacionado directamente con los otros dos, que da el camino de un rayo en un medio homogneo fue sugerido por el matemtico francs Pierre de Fermat (1601-1665). El principio de Fermat se puede enunciar en la siguiente forma:

Al pasar de un punto a otro, el rayo elige el camino para el cual el tiempo de propagacin es mnimo.

Consideremos, por ejemplo, un medio estratificado como el estudiado en la seccin 20.13. El camino real, que se calcula utilizando la ec. (20.32), est representado por la lnea (1) en la fig. 21-31 (a). La lnea (2) representa otro camino arbitrario. No es un camino fsico porque no se satisface la ley de Snell en el lmite entre dos superficies. Podemos calcular los tiempos necesarios para que el rayo de luz recorra el camino fsico (1) y el camino arbitrario (2) si conocemos la longitud de cada segmento de camino y la velocidad de propagacin en cada medio.

El principio de Fermat exige que el tiempo de recorrido del camino fsico sea menor que el tiempo necesario para recorrer cualquier camino vecino arbitrario y no fsico, es decir que t1< t2. Si en vez de un medio estratificado tenemos un medio no homogneo (fig. 21-31 b) en el cual (1) es el camino fsico real del rayo y (2) es un camino vecino arbitrario y no fsico, el principio de Fermat exige que t1< t2Es evidente que el tiempo necesario para que el rayo vaya de A a B a lo largo de un camino es funcin de dicho camino, es decir que Tab = F(camino). Este es un nuevo tipo de dependencia funcional, en el sentido de que las variables en la funcin f no son las coordenadas de un punto, sino los parmetros que definen un camino que une A y B. La condicin de que ab sea mnimo se puede enunciar diciendo que dtab = 0 para una pequea variacin de los valores de los parmetros correspondientes al camino fsico. Una tcnica matemtica especial conocida como clculo de variaciones nos permite hallar los valores de los parmetros del camino que satisfacen dtab= 0 y de esta forma podemos determinar el camino del rayo.No entraremos en ms detalles acerca de cmo se puede usar el principio de Fermat para trazar el camino de un rayo en un medio no homogneo, sino que slo verificaremos que este principio es compatible con la ley de Snell. Consideremos la fig. 21-32, en la cual la superficie S separa dos medios de ndices de refraccin n1 y n2. Un rayo que viaja de A a C sigue el camino ABC. Recordando, ec. (19.56), que v = c/n, el tiempo necesario para que la luz recorra este camino es

El principio de Fermat exige que

donde dt es el incremento de t para caminos vecinos tales como el AB'C, que produce los correspondientes incrementos dr1 y dr2 en r1 y r2 respectivamente. Ahora bien, teniendo en cuenta que r2 = r.r tenemos que rdr = r.dr o sea dr = (r/r).dr donde u = r/r es el versor en la direccin de r. Por lo tanto dr1 = u1 .dr1 y dr2 = u2.dr2. Pero r1 + r2 = AB + BC = AC = const. Luego, dr1 ++ dr2 =0, o sea dr2 = -u2.dr1 de modo que dr2 = - u2.dr1. Entonces, la ec. (21.42) da (eliminando el factor constante 1/c)

Ahora bien, el vector dr1 est, como se indica en la fig. 21-32, en el plano tangente a S en B. Esto significa, conforme a la ec. (21.43), que el vector n1u1- n2u2 . es paralelo a la normal uN a S en B, lo cual implica que el rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie son coplanares, que es la primera ley enunciada en la seccin 20-4. Recordemos de la seccin 3.9 que si dos vectores son paralelos su producto vectorial es cero, de modo que

Como todos los vectores que aqu aparecen son unitarios, la ec. (21.44) implica (en mdulo) que n1 sen 1 = n2 sen 2, que es la ley de Snell, ec. (20.4).EJEMPLO 21.13. Usar el principio de Fermat para estudiar la reflexin en una superficie esfrica.Solucin: Si tenemos una fuente puntual P (fig. 21-33) frente a una superficie reflectora y queremos producir una imagen en Q, la forma de la superficie debe ser tal que, conforme al principio de Fermat, todos los rayos tarden el mismo tiempo en viajar de P a Q. (Notar que esto tambin lo exige el teorema de Malus.) Kl tiempo necesario para que un rayo viaje a lo largo del eje principal Figura 21-32

Para un rayo que incide sobre la superficie en A tenemos que

y debemos imponer que t = t', al menos en el primer orden de aproximacin. Obsrvese que esto es imposible si la superficie es plana (tal como O Y) porque si A estuviera sobre O y, siempre AP > OP y AQ > OQ, resultando t' > t. Pero curvando la superficie, se puede ajustar tanto AP como AQ para que valga t = t'. Veamos si esto es posible con una superficie esfrica. La condicin t t' exige que

En el tringulo ABP tenemos

Pero si A est suficientemente cerca de O, tenemos que AP es ligeramente mayor que OP y BP ligeramente menor. Luego, podemos escribir AP + BP 2OP 2p con buena aproximacin. En consecuencia

Anlogamente

Sustituyendo estas ecuaciones en la ec. (21.47), encontramos que(21.46)AQ),

O sea

Pero en el tringulo ABC tenemos que OB = h2/2r, si despreciamos OB2 frente a r2, lo cual es aceptable siempre que A est cerca de O (todos los rayos sean paraxiales)

Figura 21-33

Fig. 21-34. Espejo elptico. Luego, sustituyendo en la ec. (21.48) y eliminando el factor comn .h^2, obtenemos

El paso siguiente serla ver si, por medio de una superficie apropiada, pudiramos satisfacer rigurosamente la ec. (21.47), por lo menos para un par de puntos P y Q. Notemos que en este caso la ec. (21.47) seria equivalente a AP + AQ = const. Esta es la ecuacin de un elipsoide de revolucin cuyos focos estn en P y Q, como se indica en la fig. 21-34; es la forma de la superficie reflectora para la cual la imagen de P es rigurosamente Q (es decir que no hay aberracin esfrica para este par de puntos). Para todo otro punto hay aberracin esfrica cuya magnitud depende de la distancia del punto a los dos puntos elegidos.