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FILTROS DIGITALES Mario Vargas Ramírez
17 DE OCTUBRE DE 2013
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN UNAM
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Filtrado y Modulación Ingeniería Mecánica Eléctrica 2014 - I
~ 1 ~
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................. 2
FILTROS RECURSIVOS Y NO RECURSIVOS. ........................................ 5
MODELO MATEMÁTICO DE LOS FILTROS FIR E IIR .............................. 6
DISEÑO DE FILTROS FIR E IIR ......................................................... 8
FILTROS FIR ................................................................................ 8
DISEÑO POR VENTANAS............................................................. 9
DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA .................................. 15
DISEÑO POR RIZADO CONSTANTE (EQUIRIPPLE). ....................... 19
FILTROS IIR ................................................................................. 20
INDIRECTA ............................................................................... 21
DISEÑO POR IMPULSO INVARIANTE .......................................... 22
DISEÑO POR ANALOGÍA O APROXIMACIÓN DE DERIVADAS .......... 25
DISEÑO POR TRANSFORMACIÓN BILINEAL ................................. 28
DIRECTA ................................................................................... 30
DISEÑO POR LA APROXIMACIÓN DE PADÉ .................................. 30
DISEÑO POR APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS. ............ 31
APLICACIONES DE LOS FILTROS FIR E IIR....................................... 32
FIR VS IIR ................................................................................... 35
CONCLUSIONES ........................................................................... 37
BIBLIOGRAFIA ............................................................................. 38
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Filtrado y Modulación Ingeniería Mecánica Eléctrica 2014 - I
~ 2 ~
INTRODUCCIÓN
El procesamiento de señales trata de la representación, transformación y
manipulación de señales y de la información que contienen. Por ejemplo,
podríamos desear separar dos o más señales que se han combinado de
alguna forma, o podríamos querer realzar alguna componente de la señal
o algún parámetro de un modelo de señal. Este procesamiento se puede
realizar mediante tecnología analógica en tiempo continuo, o como se ha
ido difundiendo cada vez más mediante procesamiento en tiempo discreto
mediante programas y procesadores.
Si las señales a tratar son analógicas, deberán ser convertidas en una
secuencia de muestras, a fin de ser procesadas mediante algún algoritmo.
Luego, de ser necesario serán vueltas a convertir en señales analógicas.
Un ejemplo de esto es el filtrado de señales de audio. Es común que se
denomine a esta forma de procesamiento, indistintamente, como
procesamiento digital de señales o procesamiento de señales en tiempo
discreto. Una buena parte del procesamiento de señales involucra el
proceso de una señal para obtener otra señal: es el caso del filtrado
digital.
Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones
matemáticas en valores muestreados de la señal. El procesador puede ser
de propósito general, tal como cualquier ordenador personal, un chip DSP
(Procesador Digital de Señales) especializado o una FPGA programable.
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~ 3 ~
Un filtro digital puede ser representado por el siguiente diagrama de
bloques:
x(nT) es la secuencia de entrada -la excitación del filtro- e y(nT) es la
respuesta del filtro ante la excitación x(nT).
El análisis de un filtro digital es el proceso de determinar la respuesta de
un filtro ante una dada excitación. El diseño de un filtro digital es el
proceso de sintetizar e implementar un filtro digital de tal manera que
cumpla con las especificaciones prescriptas.
Otra buena parte del procesamiento de señales comprende la
interpretación de señales. En este caso no se intenta obtener una señal
de salida, sino una caracterización de la señal de entrada. Un ejemplo de
este tipo de procesamiento es el reconocimiento de voz.
La señal de entrada analógica debe ser muestreada y digitalizada usando
un ADC (conversor analógico-digital). El resultado son números binarios
que representan los valores sucesivos muestreados. Estos son
transferidos al procesador, el cual efectúa operaciones matemáticas en
ellos.
Las operaciones pueden ser desde filtros de promediado de la muestra
actual con alguna de las anteriores hasta multiplicaciones por constantes
de los valores de entrada o de instantes anteriores almacenados en
memoria, para posteriormente sumar estos resultados de la multiplicación
y dar una salida.
FILTRO
DIGITAL
y(nT)=R x(nT)
y(nT) x(nT)
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~ 4 ~
Es decir, operaciones propias de teoría sistemas lineales: convoluciones
en el dominio temporal (multiplicación en el dominio de la frecuencia) con
otras señales prefijadas que consisten en una cadena de coeficientes. Para
diseñar estos filtros suele usarse un impulso y desplazarlo sucesivas veces
multiplicado por alguna constante, es decir, usando la transformada z.
Si es necesario, los resultados de estos cálculos, que están representando
valores muestreados de la señal filtrada, son enviados a través de un PAC
(conversor digital-analógico) para devolver la señal a una forma
analógica. Por tanto, en un filtro digital la señal está siempre representada
por una secuencia de números, en vez de un voltaje o una corriente.
El siguiente diagrama muestra el esquema básico de uno de estos
sistemas:
Los filtros digitales son clasificados en dos principales categorías los filtros
de respuesta finita al impulso (FIR) y los filtros de respuesta infinita al
impulso (IIR).
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~ 5 ~
FILTROS RECURSIVOS Y NO RECURSIVOS.
Un filtro no-recursivo es aquel cuya salida está calculada exclusivamente
a partir de valores de entrada (𝑌𝑛 = 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛−1 + 𝑋𝑛−2 …), mientras que uno
recursivo es aquel que además de los valores de entrada emplea valores
previos de salida (𝑌𝑛−1, 𝑌𝑛−2 …), los cuales se almacenan en la memoria del
procesador. La palabra recursivo significa literalmente "volver hacia atrás"
y se refiere al hecho de que valores de salida previamente calculados
vuelven de nuevo para calcular los nuevos valores de salida.
Explicándolo así, puede parecer que los filtros recursivos requieren más
cálculos para ser ejecutados. Pero la realidad es que un filtro recursivo
generalmente requiere mucho menos coeficientes para que evalúe el
procesador, es decir, que es de menor orden y es más corto, que un filtro
no-recursivo que persiga una característica en frecuencia dada.
Hay quien prefiere una terminología alternativa, por lo que los filtros no-
recursivos se conocen como filtro FIR (Respuesta al Impulso Finita) y los
recursivos como filtros IIR (Respuesta al Impulso Infinita).
Estos términos se refieren a las diferentes respuestas al impulso de ambos
tipos de filtros. La respuesta al impulso de un filtro digital es la secuencia
de salida cuando se aplica un impulso unidad a su entrada (un impulso
unidad es muy simple, tan solo una secuencia consistente en un valor 1
en el instante de tiempo t=0, seguido de ceros para todas las muestras
siguientes, lo que se llama también una Delta de Kronecker.
Un filtro FIR es uno cuya respuesta es de una duración finita. Uno IIR es
aquel cuya respuesta al impulso teóricamente continua para siempre
debido a la recursividad con valores previos de salida que constantemente
están siendo devueltos a la entrada. Pero realmente el término IIR no es
muy afortunado dado que casi todos los filtros IIR reducen virtualmente
su salida a cero a un tiempo dado, de hecho, antes que los FIR. De todas
formas ambos acrónimos son muy coloquiales y de uso frecuente.
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~ 6 ~
En el siguiente diagrama de bloques se presentan los dos tipos de
filtros digitales: (a) FIR y (b) IIR.
(a) retardamos ligeramente una copia de la señal de entrada (de uno o
varios períodos de muestreo) y combinamos la señal de entrada retrasada
con la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este
funcionamiento se dice que son de respuesta respuesta finita al impulso
(FIR).
(b) retardamos una copia de la señal de salida, la cual combinamos con
la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este
funcionamiento se dice que son los filtros de respuesta infinita al impulso
(IIR).
MODELO MATEMÁTICO DE LOS FILTROS FIR E IIR
El modelo matemático de los filtros FIR también se fundamenta la
ecuación de diferencias.
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) + ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀
𝑘=0
𝑁
𝑘=0
Output
Delay
Input
(a)
Output
Delay
Input
(a)
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~ 7 ~
Pero con la particularidad de que todos los coeficientes ak son iguales
a cero. Se tiene entonces que la ecuación que los describe es función del
conjunto de coeficientes bk y de la secuencia de entrada x(n).
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀
𝑘=0
Donde M+1 corresponde a la longitud del filtro. Este sistema considera
sólo las últimas M+1 muestras de la señal de entrada y las pondera
mediante los coeficientes bk. A este sistema se le denomina FIR, ya que
su respuesta al impulso unitario (dada por los coeficientes bk) es finita.
Para el modelo matemático de los filtros IIR retomaremos la ecuación de
diferencias lineal de coeficientes constantes.
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) + ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀
𝑘=0
𝑁
𝑘=0
Pero en este caso por lo menos uno de los coeficientes ak no es cero. Así,
se tiene que la transformada z de la respuesta al impulso unitario de la
función de transferencia es:
N
k
K
k
M
k
K
k
za
zb
zX
zYzH
0
0
1)(
)()(
Siendo x(n) la entrada, y(n) la salida h(n) la función de respuesta al
impulso y X(z), Y(z) y H(z) sus respectivas transformadas Z. La ecuación
anterior puede ser implementada de diferentes formas. Las más utilizadas
y estudiadas son la forma directa, la forma de cascada y la forma paralela.
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~ 8 ~
DISEÑO DE FILTROS FIR E IIR
Existen diversos procedimientos para diseñar filtros digitales, ya sea
utilizando métodos directos, en los cuales se parte del diseño de un filtro
digital pasa-bajos prototipo y mediante transformaciones espectrales
adecuadas, se obtienen otras características pasa-bajos (LP), pasa-altos
(HP), pasa-banda (BP) o atenúa-banda (SB), o métodos indirectos, los
cuales involucran transformaciones en el dominio de las frecuencias para
obtener filtros digitales a partir de filtros analógicos (FA).
FILTROS FIR
Existen tres grandes bloques de métodos de diseño de filtros FIR con fase
lineal:
• Método de las ventanas
• Muestreo en frecuencia
• Rizado constante (equiripple).
El método de las ventanas se basa en acotar la respuesta impulso infinita
de un filtro ideal, el método del muestreo en frecuencia propone que se
fijen una serie de puntos de la respuesta en frecuencia del sistema y, a
partir de la DFT (Transformada de Fourier Discreta) inversa, obtener los
coeficientes del filtro. Por último existe una familia de métodos que se
basan en definir la respuesta en frecuencia ideal del filtro y, fijado un
orden, obtener los coeficientes que generen la respuesta más
aproximada, en particular, los más comunes se basan en la aproximación
de chebyshev.
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~ 9 ~
DISEÑO POR VENTANAS.
Podemos ver una ventana como aquel elemento encargado de truncar la
señal que se desea procesar. Existen diversas ventanas y dependiendo de
la escogida muchos de los parámetros de los filtros, ancho de banda de
transición, números de coeficientes, rizado en la banda de rechazo, etc.,
pueden variar de gran manera.
Desde un punto de vista electrónico, las ventanas nos sirven para suavizar
el paso entre los primeros coeficientes del filtro (ambos extremos) y cero,
como sabemos cualquier paso abrupto crea distorsiones armónicas.
Matemáticamente hablando las ventanas nos sirven para convolucionar el
espectro del filtro con el espectro de una señal mejor que la del sin(x)/(x)
(espectro de ventana rectangular).
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Nombre Del Filtro Coeficientes Del Filtro
Filtro Pasa Bajos
ℎ𝑑(𝑛) =sin(𝑛𝜔𝑐)
𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) =𝜔𝑐
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
Filtro Pasa Altos
ℎ𝑑(𝑛) = −sin(𝑛𝜔𝑐)
𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) = 1 −𝜔𝑐
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
Filtro Pasa Banda
ℎ𝑑(𝑛) =sin(𝑛𝜔𝑐2) − sin(𝑛𝜔𝑐1)
𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) =𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
Filtro Rechaza Banda
ℎ𝑑(𝑛) = −sin(𝑛𝜔𝑐2) − sin(𝑛𝜔𝑐1)
𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) = 1 −𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
Diferenciador
ℎ𝑑(𝑛) =cos(𝑛𝜋)
𝑛−
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝜋𝑘2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
Transformada Hilbert
ℎ𝑑(𝑛) =1 − cos(𝑛𝜋)
𝑛𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ 0
ℎ𝑑(0) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
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~ 11 ~
Coeficientes de la respuesta al impulso unitario de filtros ideales
Las ventanas restringen a un número finito las respuestas en el tiempo
del filtro, de forma que:
𝑑(𝑘) = ∫ 𝐷(𝑤)𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑑𝜔
2𝜋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝑀 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀
𝜋
−𝜋
El número total de coeficientes por lo tanto es un número impar igual a N
= 2M + 1, pudiendo ser los coeficientes positivos o negativos.
Recordemos que la convolución de Hd(ω) con W(ω) es equivalente a la
multiplicación de Hd(n) con w(n) por tanto, el conocer el valor de los
coeficientes de la ventana es de vital importancia para obtener nuestro
filtro FIR. En la siguiente tabla observamos los valores de los coeficientes
de ventanas comunes usadas para el diseño de sistemas FIR.
Nombre de la ventana Función Muestreada
Rectangular 𝑤(𝑛) = 1
Hanning 𝑤(𝑛) = 0.5 + 0.5 cos (2𝜋𝑛
𝑁)
Hamming 𝑤(𝑛) = 0.54 + 0.46 cos (2𝜋𝑛
𝑁)
Blackman 𝑤(𝑛) = 0.42 + 0.5 cos (
2𝜋𝑛
𝑁)
+ 0.08𝑐𝑜𝑠 (4𝜋𝑛
𝑁)
Generalmente la ventana rectangular es utilizada como elemento
didáctico para iniciar en el estudio de diseño de filtros FIR por medio de
ventanas; sin embargo, aunque está presente una estrecha banda de
transición; diversos efectos como el fenómeno Gibbs (comportamiento
oscilatorio en el límite de la banda de paso) y su baja atenuación, la hacen
poco práctica para distintas aplicaciones. Por tal motivo se hacen uso de
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otros tipos de ventanas. La siguiente figura nos muestra las formas de las
funciones de ventana mencionadas en la tabla.
Formas de varias funciones utilizadas como ventanas (N=65)
A continuación se muestra un cuadro comparativo de las diversas
características del filtro utilizando los tipos de ventanas listados en la
siguiente tabla, de esta manera podemos escoger la ventana que mejor
se aplique a las condiciones requeridas por el sistema.
Tipo de ventana
Transición (Hz)
Rizo (db)
Relación (db)
Atenuación (db)
Rectangular 0.9/N 0.7416 13 21
Hanning 3.1/N 0.0546 31 44
Hamming 3.3/N 0.0194 41 53
Blackman 5.5/N 0.0017 57 74
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~ 13 ~
Por tanto el problema de diseño de los filtros FIR queda reducido a escoger
el tipo de ventana a utilizar en el proceso de truncamiento y la cantidad
de coeficientes que el filtro va a tener. Es de tomar en cuenta que diversas
ventanas vistas proporcionan un mayor suavizado en la convolución que
la ventana rectangular, sin embargo agrandan la banda de transición para
una misma cantidad de coeficientes.
Ejemplos:
Diseño utilizando ventana rectangular (N=31).
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Diseño utilizando ventana Hanning (N=65).
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~ 15 ~
Diseño utilizando ventana Hamming (N=65).
Diseño utilizando ventana Blackman (N=97).
DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA
Vamos a definir la respuesta en frecuencia de un filtro a partir de fijar N
puntos de H(ω). Supongamos que los puntos escogidos están
uniformemente distribuidos por todo el espectro digital. Podemos obtener
h(n) a partir de la Transformada de Fourier inversa de H(k), versión
muestreada de la H(ω).
En las siguientes funciones cuando la longitud del filtro sea par o impar y
la simetría de los coeficientes sea par o impar, tendremos cuatro tipos de
filtros, con 4 expresiones de la relación entre h(n) y A(ω), (A(ω) es la
amplitud, que puede ser positiva o negativa pero siempre es una
magnitud real) que presentan unas relaciones de simetría interesantes.
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~ 16 ~
Tipo Longitu
d Coeficientes Simetría en ω=0 Simetría en ω=𝝅
Period
o
I Impar Simétricos Par 𝐴(𝜔) = 𝐴(−𝜔) Par 𝐴(𝜋 + 𝜔) = 𝐴(𝜋 −
𝜔) 2 𝜋
II Par Simétricos Par 𝐴(𝜔) = 𝐴(−𝜔) Impar 𝐴(𝜋 + 𝜔) =
−𝐴(𝜋 − 𝜔) 4 𝜋
III Impar antisimétricos Impar 𝐴(𝜔) =
−𝐴(−𝜔) Impar 𝐴(𝜋 + 𝜔) =
−𝐴(𝜋 − 𝜔) 2 𝜋
IV Par antisimétricos Impar 𝐴(𝜔) =
−𝐴(−𝜔) Par 𝐴(𝜋 + 𝜔) = 𝐴(𝜋 −
𝜔) 4 𝜋
Veamos con detalle el diseño de un filtro de tipo I.
1
0
1
0
2
122
)(1
)(1
)()(N
k
N
k
Nn
N
kj
N
kj
ekAN
ekHN
kHIDFTnh
2
1
1
1
2
1
2
12
2
12
)()()0(1
N
k
N
Nk
Nn
N
kj
Nn
N
kj
ekAekAAN
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~ 17 ~
Haciendo el cambio en el índice del segundo sumatorio con k’=N-k,
obtenemos:
2
1
1
2
1
1'
2
12
2
1'2
2
12
)'()()0(1
N
k
N
k
Nnj
Nn
N
kj
Nn
N
kj
eekNAekAAN
hn
Como A(k) es simétrico respecto al punto medio (ω= 𝜋):
2
1
1
2
1
1'
2
1'2
2
12
)'()()0(1
N
k
N
k
Nn
N
kj
Nn
N
kj
ekAekAAN
hn
2
1
1
2
12
2
12
)()0(1
N
k
Nn
N
kj
Nn
N
kj
eekAAN
Con lo que:
2
1
1 2
12cos)(2)0(
1)(
N
k
Nn
N
kkAA
Nnh
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Para el resto de tipos, obtenemos expresiones similares (muestras
igualmente espaciadas y la primera en ω=0):
Tipo
I
Longitud:
Impar Simetría:
Par
2
1
1 2
12cos)(2)0(
1)(
N
k
nN
N
kkAA
Nnh
Tipo
II
Longitud:
Par Simetría:
Par
2
1
1 2
12cos)(2)0(
1)(
N
k
nN
N
kkAA
Nnh
Tipo III
Longitud: Impar
(N es par) Simetría:
Impar
2
1
0 2
12)(2
1)(
N
k
nN
N
ksenkA
Nnh
Tipo IV
Longitud: Par
(N es par) Simetría:
Impar
2
1
0 2
1
22
12)(2
1)(
N
k
nN
senN
AnN
N
ksenkA
Nnh
En las siguientes gráficas mostramos un ejemplo de diseño de filtros FIR
de fase lineal, por el método del muestreo en frecuencia, para cada uno
de los cuatro tipos posibles.
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Tipo 1 Tipo 2
Tipo 3 Tipo 2
DISEÑO POR RIZADO CONSTANTE (EQUIRIPPLE).
Los métodos anteriores son sencillos de implementar pero tienen
desventajas, ya que no se pueden especificar ωp y ωs de forma precisa.
Los valores de δ1 y δ2 no se pueden elegir independientemente. (En el
método de las ventanas δ1=δ2, y en el método del muestreo en
frecuencia en el mejor de los casos existen métodos para optimizar
respecto de δ2), además el rizado no se distribuye uniformemente en las
bandas. Si el error se distribuye uniformemente podemos diseñar filtros
que verifican las especificaciones con menor orden. El método que lleva a
cabo esta distribución del error se denomina Método de diseño de filtros
óptimos de rizado constante.
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Se plantea el diseño del filtro como un problema de aproximación de
chebyshev, para ello se propone un criterio de diseño óptimo, en el
sentido de que el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia
ideal y la real se reparten uniformemente en cada banda, pasante y
atenuada (de ahí el apelativo de equiripple), minimizando el error máximo
en cada una de ellas. El filtro resultante presenta, pues, rizado en ambas
bandas.
Para su diseño consideramos 5 características:
N el orden del filtro
ωp límite superior de la banda pasante
ωs límite inferior de la banda atenuada
δ1 máximo rizado de la banda pasante
δ2 mínima atenuación de la banda atenuada.
El problema se plantea como la minimización de una función de error
definida como:
)]()()[()( HHWE D
)(DH : Respuesta del filtro ideal.
)(W : Función de pesos para especificar el error permitido en cada
banda.
Dada esta función de error el objetivo es hallar los coeficientes h(n) que
minimizan el valor de E(ω) en toda la banda, permitiendo un valor
máximo del error específico dado por δ1 y δ2.
1)(maxmin
Eescoeficient
FILTROS IIR
Son sistemas cuya salida depende además de salidas anteriores y que,
estando en reposo, al ser estimulados con una entrada impulso su salida
no vuelve al reposo, de ahí el calificativo de filtros de respuesta impulso
infinito (IIR). La ecuación en diferencias general es de la forma:
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𝑦(𝑛) = 𝑏0𝑥(𝑛) + 𝑏1𝑥(𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑏𝑀𝑥(𝑛 − 𝑀) − 𝑎1𝑦(𝑛 − 1) − 𝑎2𝑦(𝑛 − 2) − ⋯
− 𝑎𝑁𝑦(𝑛 − 𝑁) = ∑ 𝑏𝑘 ∙ 𝑥(𝑛 − 𝑘) −
𝑀
𝑘=0
∑ 𝑎𝑘 ∙ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
𝑛
𝑘=1
Donde el orden es igual al máximo de M y N. La función de transferencia
en Z del filtro es:
N
k
K
k
M
k
K
k
za
zb
zH
0
0
1
)(
No todo sistema que tenga esta forma es IIR.
Existen dos tipos de diseño de filtros IIR.
Indirecta.
Directa.
INDIRECTA
Se basa en aplicar a filtros analógicos diseñados previamente,
transformaciones que los conviertan en digitales con las mismas
características. Hay tres métodos fundamentales:
• Diseño por impulso invariante
• Diseño por analogía o aproximación de derivadas
• Diseño por transformación bilineal
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DISEÑO POR IMPULSO INVARIANTE
El método del impulso invariante consiste en diseñar un filtro digital cuya
respuesta impulso h[h] sea lo más parecida posible a la del filtro
analógico.
La parte (a) muestra la respuesta al impulso h(t) y la correspondiente
respuesta en frecuencia H(s) de un filtro analógico pasa bajas.
La parte (b) la respuesta al impulso de un filtro digital. H1[n] es una
versión muestreada de h(t) con un periodo de muestreo T1 ; h1[n] =
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~ 23 ~
h(nT1). Debemos recordar que el muestreo de una señal analógica
origina la repetición de su espectro en múltiplos de la frecuencia de
muestreo.
La parte (c) muestra los efectos de reducir la frecuencia de muestreo y la
aparición del fenómeno de aliasing h2[n] = h(nT2).
Recordar que la frecuencia digital Ω es equivalente a Tω, donde T es el
periodo de muestreo y por lo tanto Ω = 𝜋 corresponde a ω = 𝜋 /T1 en (a)
y a ω= 𝜋 /T2 en (b).
La efectividad de este método depende de elegir una adecuada frecuencia
de muestreo, y un buen filtro analógico de referencia de banda limitada.
El desarrollo del método consta de dos partes:
1. Se presenta un método directo para hacer coincidir ambas
respuestas impulso. Desde un punto de vista operativo el método
es difícil.
2. A partir de los resultados anteriores se desarrolla una técnica de
aproximación que es más práctica
ℎ(𝑡) → 𝑇𝑠𝑒𝑔 ↔ 𝐻[𝑛] 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ℎ[𝑛] = ℎ(𝑛𝑇)
La primera dificultad consiste en que los coeficientes hn obtenidos
directamente darían lugar a un filtro no recursivo.
La segunda dificultad está en que pocos filtros analógicos se expresan
en términos de su respuesta impulso. La mayoría se suelen modelar en
términos de su función de transferencia H(s) o el mapa de polos y ceros.
Por lo tanto es necesario encontrar una metodología que sea operativa en
relacionar H(s) con los polos y ceros de su homóloga H(z). La técnica
más utilizada consiste en descomponer en bloques en paralelo la función
de transferencia del filtro analógico H(s):
)()()()()()(
)()()(
)(
)()(
3
3
2
2
1
1
21
21
ps
A
ps
A
ps
A
pspsps
zszszsK
sX
sYsH
M
N
La respuesta impulso de cada bloque analógico )( i
i
ps
A
es:
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0 t 0
0 ][
tAth nTiei
De donde se deduce que la respuesta impulso del correspondiente bloque
digital será:
0 t 0
0 ][
nAnh nTiei
Para el filtro completo se tendrá:
M
iTi
ez
zAzHzH
1
1 )()(
Como se puede observar en la siguiente figura.
El procedimiento de diseño lo podemos resumir en los siguientes pasos:
1.- Seleccionar un filtro analógico H(s) de acuerdo con las
especificaciones requeridas.
2.- Seleccionar el periodo de muestreo T de acuerdo con el teorema del
muestreo.
3.- Efectuar una descomposición en paralelo del filtro analógico H(s).
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~ 25 ~
M
i
i
s
AsH
1
)(
4.- Aproximar la respuesta impulso de los bloques analógicos de polo
simple determinando filtros digitales cuyas respuestas impulsos son los
valores muestreados de la respuesta analógica.
Esto se hace transformando los polos en el plano S en polos en el plano
Z.
Cada bloque analógico se transforma por un bloque digital cuya
transformada z es:
T
ii
ez
AzH
)(
5.- Calcular la transformada z del filtro digital que aproxima al filtro
analógico:
M
iT
i
ez
AzH
1
)(
6.- Implementación de filtro digital escogiendo una forma (Paralelo,
Cascada, etc.) y calculamos los coeficientes del filtro.
DISEÑO POR ANALOGÍA O APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
La idea es diseñar un filtro digital a partir de un filtro analógico, mediante
la discretización de la ecuación diferencial que representa al mismo. Si se
parte de una representación con una función transferencia racional del
filtro analógico, de la forma
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~ 26 ~
N
k
k
k
M
k
k
k
a
s
s
sH
0
0)(
La ecuación diferencial que describe el comportamiento entrada-salida del
filtro resulta
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
tud
dt
tyd
00
)()(
A partir de esta ecuación diferencial puede obtenerse una ecuación en
diferencias equivalente realizando una discretización del tiempo de la
forma t = nT, siendo T el período de muestreo, y aproximando las
derivadas por diferencias finitas. Consideraremos aquí uno de los métodos
de aproximación más utilizados: el método de Euler.
La forma más elemental de aproximar la derivada es la denominada
aproximación de Euler de primer orden dada por
T
TnxnTx
dt
tdx
nTt
))1(()()(
Aproximación de Euler de primer orden
Como puede verse en la figura anterior, la aproximación de Euler de
primer orden es buena sólo para períodos de muestreo T muy pequeños.
Consideremos ahora un diferenciador analógico ideal con relación
entrada-salida.
dt
tdxty
)()(
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~ 27 ~
La correspondiente función transferencia resulta Ha(s) = s.
Transformando Z la siguiente ecuación se obtiene la correspondiente
función transferencia discreta.
T
TnxnTx
dt
tdx
nTt
))1(()()(
En Transformada Z
T
zzH
11)(
Procediendo análogamente para las derivadas k-ésimas, se obtiene que
la función transferencia para el filtro digital IIR mediante la aproximación
de las derivadas usando diferencias finitas, resulta.
TzssHzH
/)1( 1)()(
Donde Ha(s) es la función transferencia del filtro analógico caracterizado
por la ecuación diferencial.
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
tud
dt
tyd
00
)()(
La transformación
T
zs
11
O equivalente
sTz
1
1
Corresponde a un mapeo del plano s en el plano z, como el representado
en la siguiente figura.
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~ 28 ~
Mapeo del plano s en el plano z mediante la transformación z=1/(1-sT).
Reemplazando s = j Ω en la siguiente ecuación, resulta
2222 11
1
1
1
Tj
Tj
TjTjz
Que corresponde a la ecuación de una circunferencia con radio ½ y con
centro z = ½. Puede probarse que los puntos en el semiplano izquierdo
del plano s se mapean en el interior del círculo en el plano z. Esta
transformación tiene entonces la propiedad deseable de transformar
filtros analógicos estables en filtros digitales estables. Sin embargo, los
polos se ven confinados en una pequeña región (el interior del círculo de
radio ½) lo que corresponde a frecuencias relativamente pequeñas. Como
consecuencia, esta transformación sólo puede utilizarse para el diseño de
filtros pasabajo y pasabanda con frecuencias de corte relativamente
pequeñas.
DISEÑO POR TRANSFORMACIÓN BILINEAL
Definamos
dt
tdxty
)()(
Luego
t
dttx )()(
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~ 29 ~
Realizando una discretización del tiempo de la forma t = nT, siendo T el
período de muestreo, puede escribirse
Tn
nT
Tn
nT
nT
dynTxdydyTnx
)1()1(
)()()()())1((
Aproximación con la regla trapezoidal.
La integral puede aproximarse por el área rayada en figura. Con esta
aproximación la ecuación resulta
)]())1(([2
)())1(( nTyTnyT
nTxTnx
Transformando Z, se obtiene para Y(z) la siguiente expresión
)()()(1
12)( zXzHzX
z
z
tzY
Considerando que Y(s) sX(s)=Ha(s)X(s), puede pensarse en un mapeo del
plano s en el plano z de la forma
1
12
z
z
Ts
Que permite obtener la función transferencia Z discreta H(z) a partir de
la función transferencia del sistema continuo Ha(s) según
1
12)(H(z)
Z
z
Tsa sH
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~ 30 ~
A la transformación se la denomina Transformación Bilineal, y
permite obtener un filtro digital a partir de la función transferencia de un
filtro analógico. Puede verse que la Transformación Bilineal mapea el eje
imaginario del plano s en la circunferencia unitaria del plano z, y el
semiplano izquierdo del plano s en el interior de la circunferencia unitaria
del plano z. De esta forma, filtros analógicos estables se mapean en filtros
digitales estables. El mapeo del plano s en el plano z con la transformación
bilineal se representa en la figura siguiente:
DIRECTA
Se propone el diseño de filtros digitales imponiendo una serie de
condiciones a la respuesta para determinar los coeficientes. Nos
centraremos en dos métodos simples como son:
• Diseño por la aproximación de Padé
• Diseño por aproximación de mínimos cuadrados.
También podemos considerar como método directo aunque de uso
limitado el diseño por ubicación de ceros y polos.
DISEÑO POR LA APROXIMACIÓN DE PADÉ
Dado un sistema con función de transferencia:
0
1
0 ][
1
)(k
k
N
k
K
k
M
k
K
k
znh
za
zb
zH
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~ 31 ~
Pretendemos obtener los L=M+N+1 coeficientes, ak y bk, a
partir de la minimización de algún criterio de error. Éste método se
plantea minimizar la suma de los errores cuadráticos entre la respuesta
impulso ideal (deseada) y la real:
U
n
d nhnh0
2)]()([
Donde hd(n) es la respuesta deseada del filtro y h(n) la real; U es un límite
superior seleccionado por el diseñador. En general, h(n) es una función
no lineal de ak y bk, sin embargo, si U=N+M, es posible hacer
coincidir perfectamente las respuestas real y deseada para 0≤n≤M+N. Si
hacemos hd(n)=h(n) 0≤n≤M+N, el error cometido será:
1
2)]()([MNn
d nhnh
El grado de fiabilidad de este método depende del número de coeficientes
seleccionado. Aproxima perfectamente cuando el sistema buscado
presenta una función de transferencia H(z) racional y sabemos el número
de ceros y polos (orden del numerador y denominador), lo que, en la
práctica resulta problemático.
DISEÑO POR APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS.
Un método alternativo para diseñar filtros IIR es afrontar el problema de
la minimización de la diferencia al cuadrado entre la respuesta del filtro
ideal y la real, es decir, plantear el problema de la identificación de
sistemas. La figura siguiente muestra dicha estructura. La idea es
determinar los coeficientes del sistema H(z) de manera que colocado en
cascada con el sistema que queremos modelizar obtengamos como
resultado una señal (y(n)) que en el dominio temporal debería ser un
impulso, cuando la modelización es exacta. Si definimos como criterio de
error la suma de y2(n), una podemos obtener los coeficientes de
imponiendo de dicho error sea mínimo.
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Supongamos el caso más simple de considerar un filtro con solo polos:
N
k
K
k za
bzH
1
0
1
)(
Consideremos un esquema de ecualización de sistemas:
Donde modificamos los coeficientes del filtro 1/H(z) para anular el efecto
de Hd(z), es decir, que la salida, y(n), sea lo más parecida posible a la
entrada, δ(n). (Idealmente𝐻𝑑(𝑧)
𝐻(𝑧)= 1𝑒 𝑦(𝑛) = δ(n))
La ecuación en diferencias del sistema inverso será:
N
k
dkd knhanhb
ny10
)()(1
)(
APLICACIONES DE LOS FILTROS FIR E IIR
Separación de señales que fueron combinadas desafortunadamente
(ruido, interferencias provenientes de otros sistemas)
Recuperación de señales distorsionadas de alguna forma (por
ejemplo, al ser trasmitidas)
Síntesis de sonido: creación o modificación de señales para moldear
espectros o formas de onda y lograr el efecto auditivo buscado.
Efectos de audio: chorus, flanger, phaser, reverb
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Separación de señales que fueron combinadas desafortunadamente (ruido,
interferencias provenientes de otros sistemas)
Recuperación de señales distorsionadas de alguna forma (por ejemplo, al
ser trasmitidas)
Ejemplo: Filtro peine
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Síntesis de sonido: síntesis de cuerda pulsada a partir de un filtro peine.
Desempeño óptimo para eliminación de ruido blanco.
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FIR VS IIR
La elección entre una implementación FIR e IIR depende de las ventajas
relativas de cada uno de estos dos tipos de filtros.
1. Los filtros FIR se pueden diseñar para tener una respuesta de fase
estrictamente lineal (distorsión de fase nula), lo que es importante en
muchas aplicaciones, como transmisión de datos, audio digital y
procesamiento de imágenes. La respuesta de fase de filtros IIR no es
lineal, en especial en cercanías de la zona de transición.
2. Los filtros FIR implementados de forma no recursiva, son
inherentemente estables. En cambio, la estabilidad de los filtros IIR
siempre debe comprobarse, ya que son sistemas realimentados.
3. Los efectos causados por la implementación con aritmética de punto
fijo, tales como los errores de cuantización de los coeficientes y los errores
por redondeo en las operaciones aritméticas, son mucho más severos en
los filtros IIR que en los FIR.
4. Para satisfacer unas especificaciones dadas los filtros FIR necesitan un
mayor número de coeficientes que los filtros IIR, sobre todo si las bandas
de transición son estrechas. En consecuencia, los requerimientos de
memoria, el número de operaciones y los tiempos de procesamiento son
mayores para los FIR que para los IIR. Sin embargo, la posibilidad de
implementar los FIR mediante la técnica de convolución rápida usando
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~ 36 ~
FFT y también el empleo de técnicas multirate |permite aumentar
significativamente la eficiencia de las implementaciones.
5. Un filtro analógico convencional puede convertirse en un filtro digital
IIR equivalente que satisfaga las especificaciones de diseño de manera
sencilla. Esto no es posible con filtros FIR pues no tienen una contraparte
analógica. Sin embargo es más sencillo sintetizar filtros con respuestas
en frecuencia arbitrarias utilizando filtros FIR.
De las características detalladas arriba puede esbozarse una guía
tentativa para elegir entre una implementación FIR o IIR:
Si los únicos requerimientos importantes son bandas de transición
estrechas (filtros con cortes muy abruptos) y eficiencia de cómputo, se
prefieren filtros IIR pues necesitan un número de coeficientes mucho
menor que un filtro FIR equivalente (especialmente si se eligen
características frecuenciales elípticas o de Cauer).
Si el número de coeficientes del filtro no es muy elevado (por ejemplo, si
las bandas de transición no son muy abruptas), y en particular, si se desea
muy poca o ninguna distorsión de fase, se suele elegir filtros FIR. Los
procesadores digitales modernos (DSP) están optimizados para
implementar este tipo de filtros, y algunos se han diseñado
específicamente con esa finalidad (por ejemplo, el DSP56200 de Motorola,
o el INMOS A100). Sin embargo, en un campo tan dinámico como éste la
capacidad y el desempeño de los componentes varía rápidamente.
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~ 37 ~
CONCLUSIONES
La presente investigación dio conocer diferentes sistemas basados en la
implementación de técnicas de procesamiento digital de señales cada día
toman mayor fuerza en el mercado de desarrollo de aplicaciones; dejando
al tratamiento análogo de la señal como una opción sólo para algunas
aplicaciones.
Lo mejor de este tipo de filtros es que es muy económico, como todo filtro
cumple solo funciones específicas, sin lugar a duda, la aplicación más
conocida de los sistemas que implementan DSP. En estos encontramos la
versatilidad de ser diseñados bajo ciertos preceptos ya estructurados. De
esta forma, el desarrollo de nuevos sistemas digitales tienen una base ya
bien formada.
Existen dos posibles opciones al diseñar filtros digitales, los sistemas FIR
y los IIR. La implementación de uno u otro dependerá de la necesidad
que la aplicación requiera. Por ejemplo, si se requiere para cierta
aplicación garantizar al 100% la estabilidad del sistema en condiciones
dinámicas, se preferirá a los filtros FIR, ya que sólo están constituidos por
ceros.
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~ 38 ~
Los sistemas compensadores de frecuencia o lo que hemos conocido
como ecualizadores, resultan un elemento apropiado para demostrar la
eficiencia de los filtros digitales; además, de que debidamente
implementados son una aplicación atractiva para la comercialización del
producto.
BIBLIOGRAFIA
Introducción a las señales y los sistemas,
Douglas k. Lindner
Introducción a los Filtros Digitales,
Jesús Barrios Romano
Introducción a los filtros digitales,
Universidad de Valencia
The Scientist & Engineer's Guide to Digital Signal Processing,
Smith, S.W.
Introducción a los filtros digitales, con aplicación en audio.
Smith Julius
Digital Filters and Signal Processing.
Jackson, L. B.
Digital Filter Design,
T.W. Parks and C.S. Burrus