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Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definicin 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestralasociado a E. Entonces una funcin X, que a cada elemento delespacio muestral, le asocia un nmero real, recibe el nombre de
variable aleatoria.
X : S R
si X(si)= xi
2
Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definicin 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorridode la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos losvalores que toma la v.a. X. Rx = {xiR / X(si) = xi , si S }
S R
Xs1s2:
si::
Rx
x1x2:
X(si)=xi
::
3
Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definicin 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorridode la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable,entonces diremos que X, es una v.a. Discreta.
Definicin 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor quetoma la variable (xiRx), le asociaremos un nmero
p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:
1
,....2,1
1)(.
)(.
i
i
i
xpii
ioxpi
-
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Definicin 5:
Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, seaRx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B Rx. EntoncesSi definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces,diremos que A y B son equivalentes, A B y P(A) = P(B)
s1
s2
si
sk
x1
x2
xr
S Rx
A B
5
Ejemplo:Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registrael signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral
S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : nmero de sellos que aparecen.
En este caso el recorrido de la v.a. Ser Rx = {0, 1, 2}
cccssc
ss
X(cc) = x1=0
X(cs) =
X(sc) =
X(ss) = x3=2
S Rx
} x2=1
X
6
Luego:
p(x1) = P(X = x1) =p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4
p(x2)= P(X = x2) =p(1) = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2p(x3) = P(X = x3) =p(2) = P(X=2) = P(ss) = 1/4
Por lo tanto:
p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1
De la definicin 5 tenemos:
Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1} P(A) = P(B) =
-
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7
cc
cs
sc
ss
0
1
2
S Rx
A B
Luego,
8
Ejercicio
De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) seSeleccionan al azar dos, una despus de otra, y se clasificansegn el sexo. Determine:
a.- el espacio muestralb.- la probabilidad de que ambas sean mujeresc.- que el nmero de mujeres seleccionadas sea 2
Previo: Definir; la variable aleatoria Xel recorrido de X (Rx)
d.- que el nmero de mujeres sea al menos una
Respuesta:
9
Ejercicio: Sea X v. a. definida por la siguiente
expresin:
6,5,4,3,2,1,0
6
;)()(
xkxXPxpx
a.- Determine el valor de k, si es que existe.
b.- Calcule:
P(X=4), P(X5), P(X2), P(2
-
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Ejercicio: Sea X v. a. tal que:
8,7,6,5,4,3,2,1;5
3
1)()(
xkx
xXPxp
a.- Determine el valor de k, si es que existe.
b.- Calcule: P(X=4)
11
Ejercicio:Sea la variable aleatoria X: mes en que un computadortiene problemas.
, x = 1,2,3,4,5,6
Determine:
1.- el valor de k
2.- p( 5 ) = P( X = 5 )
3.- P( X 2 ) =
7
4)()(
xkxXPxp
1
,....2,1
1)()
)()
i
i
i
xpii
ioxpiRecordar:
12
2112*7
4)()( xxxXPxp
1)(
6
1 iixp
1.- De la condicin ii.- tenemos :
12
1
84
7, kLuego
-
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b.-
21
5
21)5()5(
kXPp
c.- )6()5()4()3()2()2( pppppXP
21
20
21
11)2(1 xP
14
Proposicin:
i.- La Funcin P, se denomina Funcin de Probabilidad
ii.- El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribucin de Probabilidad
En realidad, la Distribucin de Probabilidad, es la grfica de la
Funcin de Probabilidad.
p(xi)
xi
15
Ejercicio:
Supongamos que la probabilidad de que un barco de trasporte
llegue a destino es de 0.57 ( es decir en el 57% de los casos).
Supongamos adems que es posible enviar una gran cantidad de
barcos. El envo continua hasta que llega el primer barco a destino.
Determine la probabilidad de que el nmero de envos necesariopara que llegue el primer barco a destino, sea k (k = 1,2,3...)
Previo Determine:a.- Espacio muestral
b.- La variable aleatoria X
c.- Recorrido de la v.a. X.
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
Rx = {1, 2, 3, 4, ......}
Sea A : El barco llega a destino _
y sea B : El barco no llega a destino. B = A
X : N de envos necesari as para que llegue el primerbarco a destino.
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Recordando;
A
B
A
B
A
B
A
B
0.57
0.57
0.57
0.570.43 0.43
0.43
0.43..............................Luego;
p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57)
p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57)
p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57)
p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57)
Por consiguiente tenemos que:
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Segn el diagrama del rbol tenemos:
17
Debemos demostrar que :
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......
es efectivamente una funcin de probabilidad, es decir, que debe
cumplir con:
1
,....2,1
1)()
)()
k
k
kpii
okpi
r
rComo
i
i
geomtricapror esin
11
11
)(
0
0
1)57.0(*43.01
1)57.0(*43.0i
i
01
143.043.0
i
i
k
k
18
Ejercicio
Sea X v.a.d. talque: ,.......3,2,1;21
)()( xxXPkp x
a.- Verifique que X es una v. a.
b.- Determine la probabilidad de que:
1.- x sea un nmero par
2.- x sea divisible por 3
3.- x > 3
= 1/3
= 1/7
= 1/8
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EjercicioEn el ejemplo de los barcos, supongamos que se envan independientemente,
tres barcos. Determine la probabilidad de que lleguen a destino:
Exactamente k barcos.( recordemos que: A : El barco llega a destino y B : El barco no llega a destino y
P(A) = 0.57 y P(B) = 0.43)
Previo Determine:
a.- Espacio muestral
b. - La variable aleato ria X
c. - Recorrido de la v. a. X.
S = { AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
X : N de barcos que llegan a destino.
Rx = { 0, 1, 2, 3 }
20
Luego;
p(0) = P(X=0) = P(BBB) = (0.43) 3
p(1) = P(X=1) = P(BBA, BAB, ABB) = 3(0.57) (0.43) 2
p(2) = P(X=2) = P(BAA, ABA, AAB) = 3 (0.57) 2(0.43)
p(3) = P(X=3) = P(AAA) = (0.57) 3
Por consiguiente tenemos que:
3,2,1,0)43.0()57.0()()( 33 kkXPkP kkk
21
Distribucin BinomialDef.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociado a E. Supongamos
que P(A) = p, luego P(A) = 1p. Consideremos n repeticiones independientesdel experimento E. Porlo tanto el espacio muestral delexperimento total, estarDado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A .
Si la v.a. X se define como: Nmero de veces que ocurre el suceso A, diremosque X tiene una distribucin binomial con parmetros n y p, y se denota:
X ~ b(n , p )
nkppkXPkP knknk ,...,2,1;)1()()( y su funcin de probabilidad es:
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EjercicioSupongamos que en un estadio lleno, el 40% de losasistentes son mujeres. Una empresa comercial, para
promocionar un nuevo producto, toma una muestraaleatoria de tamao 20. Determine la probabilidad que
la muestra contenga:
1.- exactamente 11 mujeres.2.- a lo ms 8 mujeres.3.- al menos 5 mujeres.4.- exactamente 9 hombres.
23
Previo: Determine
el experimento E
repeticiones del exp. E : el suceso de inters A:
el espacio muestral s: la probabilidad de A
el espacio muestral (Exp Total )S:
la variable aleatoria X:
el recorrido Rx :
: Se elije al azar una persona
= { A , B }
: la persona es mujer
p = P(A) = 0.40
={A...A,A...B,..,BB}
N de mujeres seleccionadas
= {0, 1 , 2,., 20}Luego:
1.- P(X = 11) = P(X 11)P(X 10) por tabla = 0.071
2.- P(X 8) = 0.596 directo por tabla3.- P(X 5) = 1P(X 4) = 10. 0510 = 0.949
n = 20
4.- P(Y =9 ) = P(Y 9)P(Y 8) = 0.071 Y: N de hombres
Por lo tanto X ~ b(20 , 0.40 )
24
Distribucin de Bernoulli
Si el experimento se realiza una sola vez, la
variable X tomar los valores 0 y 1, y se dice que
tiene una distribucin de Bernoulli con parmetros
1 y p.
kk ppkXPkP 1)1()()(Con k = 0,1
X ~ B(1 , p )
-
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Distribucin de Poissn
Sea X una v.a.d., si su funcin de probabilidad est dada por:
,,,,,,,,3,2,1,0*
)()(
kconk
ekXPkP
k
Entonces diremos que X tiene una distribucin de Poissn
con parmetro . Se anota: ( media y varianza )
X ~ P()
!
26
Ejercicio
Supongamos que el cajero de un banco, es capazde atender en promedio 8 personas en 20 minutos.Determina la probabilidad de que el cajero atiendaen 20 minutos:
a.- exactamente 10 personas.
b.- a lo ms 7 personas.
c.- al menos 4 personas.
d.- no ms de 10, ni menos de 5e.- exactamente 20 personas en 40 minutos.
= 0.099= 0.453= 0.958
= 0.716= 0.056
27
Variables Aleatorias Continuas (vac)
Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx,
son todos los nmeros reales.
RRf :Si definimos una funcin
y si cumple con las siguientes condiciones:
1)(.
0)(.
dxxfii
Rxxfi x
Entonces diremos que X es una v.a. continua con funcin de
densidad de Probabilidad (f.d.p.) f
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1.- f(x) no es una probabilidad, como en el
caso discreto, donde p(x) = P(X = x ).
2.- Las siguientes probabilidades, son
equivalentes:
P(a x b) = P(a < x b) = P(a x
-
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Funcin de Distribucin
Acumulativa
Def. : Sea X una variable aleatoria, se define funcin dedistribucin acumulativa o funcin de distribucin como:
x
x
k
dxxf
kp
)(
)( Si X v.a.d.
Si X v.a.c.
F(x) = P( X x ) ={
32
Valor Esperado de una Variable
Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor
esperado o Esperanza de X como:
dxxxf
xpxi
ii
)(
)(1
Si X v.a.d.
Si X v.a.c.
E ( x ) =
{
PropiedadesLa esperanza es un operador lineal, ya que:
, ,
Combinando estas propiedades, podemos ver
Que, donde X e Y son variables aleatorias y a
y b dos constantes cualesquiera.
,
33
http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_lineal -
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Varianza de una Variable Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define
Varianza de X como:
V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 )( E (x) )2
Donde :Si X v.a.d.
Si X v.a.c.
dxxfx
xpxi
ii
)(
)(
2
1
2
E ( x2 ) ={
35
Tarea N ___
1. Propiedades de la Esperanza
2. Propiedades de la Varianza
3. Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X)
4. Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 )( E (x) )2
Enteora de probabilidad y estadstica la varianza es una medida de la dispersin de unavariable aleatoria
respecto a su esperanza
. Se define como la esperanza de la transformacin
, esto es,
Est relacionada con la desviacin estndar o desviacin tpica,que s e suele denotar por la letra gr iega y que es la raz cuadrada de la var ianza,
o bien
36
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidad -
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Propiedades de la varianza [editar]Algunas propiedades de la varianza son:
, propiedad que permite que la definicin de desviacin tpica se a consistente.
siendo a y b constantes cuales
Varianza muestral [editar]Dentro de laestadstica descriptiva,la varianza muestral se utiliza como medida de dispersin, cuya definicin es:
37
38
Ejemplo:
1.- Sea X v.a.d. con funcin de probabilidad dada por:
xi 1 2 3 4 5 Total
p(xi) 0.2 0.25 0.32 0.08 0.15 1.00
xip(xi)
x2ip(xi)
F(xi)
Determine : a.- Funcin de Distribucin Acumulativa
b.- Esperanza de X ( E(X) )c.- Varianza de X ( V(X) )d.- Grafique F(X)
0.2 0.45 0.77 0.85 1.00 ////
0.2 0.50 0.96 0.32 0.75
0.2 1.00 2.88 1.28 3.75
2.73
9.11
= E ( x2 )( E (x) )2 =
E(X)
E(X2)
9.11(2.73)2 = 1.657= 2.73
39
Grfica de F(x)
1 2 3 4 5 x
F(x)
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
500.1
5485.0
4377.0
3245.0
2120.0
10
x
x
x
x
x
x
{F(x) =
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=2http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptivahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=2http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Varianza&action=edit§ion=1 -
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2.- Sea X v.a.c. con funcin de densidad de probabilidaddada por .
casosotrosen
xxxf
0
102)(
Determine : a.- Funcin de Distribucin Acumulativa F(x)
b.- Esperanza de X E(x)c.- Varianza de X V(x)
41
La funcin f(x) y F(x), estn dadas por:
11
10
00
)( 2
x
xx
x
xF
0 1
f(x)
2
0 1
F(x)
1
casosotrosen
xxxf
0
102)(
42
Distribucin Normal
Sea X una v. a. c. si su f. d. p. est dada por:
xexf
x2
2
2
)(
2*
2
1)(
Entonces, diremos que X tiene una distribucin
Normal con media
y varianza
2. Se denota:
X ~ N( , 2 )
-
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Caractersticas
Tiene forma de campana (por su descubridor
es tambin llamada campana de GAUSS)
Es simtrica con respecto a su media () Es asinttica al eje horizontal.
A +/- tres desv. tpicas de la media, se
encuentra prcticamente el 99.8% de su rea
( +/- 3 )
-3 + 3
44
Teorema Central del Limite
Sea X ~ N( , 2 ) entonces, ~ N(0 , 1 )
)(
XZ
0
)( X
X
Z
Z: Distribucin Normal Tpica
x0 X
z0 Z
45
Ejercicio
Supongamos que el peso de los contenedores almacenados en un recintoportuario, tienen una distribucin aproximadamente normal, con una media
= 78.6 tn , y una varianza 2 = 156.25 tn2. Determine;
a.- La probabilidad de que un contenedor seleccionado al azar, tenga un peso nosuperior a 60 tn.
b.- Que porcentaje de contenedores, tiene un peso de al menos 80 tn. 45.62%
c.- Si el recinto cuenta con 870 contenedores, cuntos tienen un peso entre 68, y96 tn.? R: 626
d.- Si se deben controlar el 33% de los contenedores ms pesados, cul es el pesomnimo de estos contenedores. R: 84.1
e.- Si se toma una muestra aleatoria independiente de 12 contenedores, cul es laprobabilidad de que exactamente 8 tengan un peso no superior a 75 tn.?
R: 0.0346
R: .0681
-
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Ejercicio
Para el ingreso a una determinada empresa, los postulantes deben rendir unexamen. La experiencia dice que los puntaje, se distribuyen aproximadamenteNormal con una media de 487, y una desv. Tpica de 58.9. Determine:
1.- La probabilidad de que un postulante seleccionadoal azar, tenga puntaje no superior a 400.
2.- Si los postulantes son 1270, cuntos app tendrnpuntaje de al menos 500 puntos?3.- Si de los 1270 postulantes, deben ser aceptados 150.
cul ser el puntaje mnimo de aceptacin?4.- Si se toma una muestra independiente de 12 postulantes
Cul es la probabilidad de que exactamente 8 tenganpuntaje no superior a 487?
5.- Si los puntaje de la prueba fsica de los mismos postulantes tienenuna distribucin normal con media 67.8, y varianza 144, qupuntaje en el examen debera tener un postulante que en la pruebafsica obtuvo 70 puntos?
46
Aproximacin de la distribucin de
Poissn a la distribucin Binomial
Si X se distribuye como una binomial con
parmetros n y p, donde n es grande y p
extremo, entonces podemos decir que
aproximadamente X se distribuye como una
Poissn con parmetro np.
47
Aproximacin de la distribucin
Normal a la Binomial
Si X se distribuye como una binomial con
parmetros n y p, donde n es grande y p
cercano a 0.5, entonces podemos decir que X
se aproxima a una normal con media np, y
varianza np(1-p). Luego;
)1(
)(
pnp
npXZ
~ N(0 , 1 )
48
-
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Ejercicio
Supongamos que el 42% de los trabajadores de
una empresa, tienen no ms de 40 aos.Se selecciona un muestra de 250 trabajadores.
Determine la probabilidad de que el nmero de
trabajadores con no ms de 40 aos, sea:
a.- a lo ms 120.
b.- entre 100, y 150
c.- exactamente 110
49
Ejercicio
Sea X v. a. d. con distribucin binomial, con n=125,
y p = 0.42. Determine por binomial y Normal
1.- P (X < 60)2.- P(X = 58)
3.- P( 49 < X < 71)
50
EjercicioLas remuneraciones de los 1500 trabajadores de una determinada
empresa, tienen una distribucin aproximadamente normal con
media $358.200, y una desv. Tpica de $48.597. Determine
a.- Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar, tenga remuneracin igual o superior a $370.000?
b.- Cuntos trabajadores app. Tienen remuneracin entre
$340.000 y $360.000?
c.- Si la empresa decide dar un beneficio a los 400 trabajadores
que ganan menos. Cual es la remuneracin mxima para optar
al beneficio?
d.- Se toma una muestra aleatoria de 120 trabajadores. Cual es
la probabilidad de que al menos 4 tengan una remuneracin
no superior a $250.000? 51
-
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Prof. David Becerra Rojas
52
A
B
A
B
A
B
A
B ..............................
Segn el diagrama del rbol tenemos:
Luego ;
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
52
Sea A: El barco llegaB: El barco no llega
A
B
Segn Diagrama del rbol
S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
53
Distribuciones Discretas
Bernoulli:
)1()(
)(
1,0;)1()(
)(:
),1(:
1
ppxV
pxE
xppxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
pBXNotacin
xx
54
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Distribuciones Discretas
Binomial:
)1()(
)(
,........,1,0;)1()(
)(:
),(:
pnpxV
npxE
nxppxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
pnBXNotacin
xnxn
x
55
Distribuciones Discretas
Binomial Negativa:
2
1
)1()(
)1()(
,........,1,0;)1()(
)(:
),(:
p
pnxV
p
pnxE
nxppxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
pnBNXNotacin
xnxn
x
56
Distribuciones Discretas
Poissn:
)(
)(
........3,2,1,0;!
)(
)(:
)(:
xV
xE
xx
exp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
PXNotacin
x
57
-
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Distribuciones Discretas
Geomtrica:
)(
)(
........3,2,1,0;)(
)(:
)(:
xV
xE
xxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
pGXNotacin
58
Distribuciones Discretas
Hipergeomtrica:
)(
)(
........3,2,1,0;)(
)(:
():
xV
xE
xxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
HXNotacin
59
Distribuciones Discretas
Uniforme Discreta:
)(
)(
,...2,1,;1
1)(
)(:
),(:
xV
xE
baaaxab
xp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
baUXNotacin
60
-
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Distribuciones Discretas
Hipergeomtrica:
)(
)(
........3,2,1,0;)(
)(:
():
xV
xE
xxp
CuantadeoadprobabiliddeFuncin
HXNotacin
61
Distribuciones Continuas
Uniforme:
12
)(
)(,2)(
)(
:
),(;1
)(
:
),(:
2ab
xV
ba
xE
ab
axxF
nDistribucideFuncin
baxab
xf
adprobabiliddeDensidaddeFuncin
baUXNotacin
62
Distribuciones Continuas
Exponencial:
2
1)(,
1)(
1)(
:
0;)(
:
)(:
xVxE
exF
nDistribucideFuncin
xexf
adprobabil iddeDensidaddeFuncin
ExpXNotacin
x
x
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Distribuciones Continuas
Normal:
2
2
)(
2
2
)(,)(
;2
1)(
:),(:
2
2
xVxE
xexf
adprobabiliddeDensidaddeFuncinNXNotacin
x
64
Distribuciones Continuas
Triangular:
)(,)(
)(
:
)(
:
:
xVxE
xF
nDistribucideFuncin
xf
adprobabiliddeDensidaddeFuncin
XNotacin
65
INDICE
Repaso: Un ejemplo
1.Concepto de variable aleatoria
2.Distribuciones conjuntas y marginales. Caso Discreto
3.Distribuciones conjuntas y marginales. Caso Continuo
4.Distribuciones condicionadas
5.Momentos conjuntos
6.Independencia de variables aleatorias
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1)Concepto de variable aleatoria:
Ej. En el ejemplo anterior, calcule:P(X=0 v X=1), P(X>0), P(X1^ X3)