Figuras planas
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Figuras planas
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Polígonos.
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Línea poligonal es aquélla formada por varios segmentos consecutivos.
Una línea poligonal puede ser abierta o cerrada.
Definición de línea poligonal.
Línea poligonal cerradaLínea poligonal abierta
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Polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Definición de polígono.
Polígono
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Lado: Cada uno de los segmentos que encierran el polígono.Vértice: Cada uno de los puntos en los que se unen dos
lados.Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos.Ángulo interior: Ángulo formado por dos lados
consecutivos.Ángulo exterior: Ángulo formado por un lado y la
prolongación del consecutivo.
Elementos.
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LadoVértice
Diagonal
Ángulo interior
Ángulo exterior
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Número de diagonales.Nº de vértices
Nº de diagonales desde cada vértice
Nº de diagonales totales
3 0 0
4 1
5 2
6 3
1 42
2
2 55
2
3 69
2
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Nº de vérticesNº de diagonales
desde cada vérticeNº de diagonales
totales
n n3 3
2
n n
En general:
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Suma de ángulos interiores de un triángulo:
Suma de ángulos.
+ + = 180
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Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados:
Nº de vértices
Nº de diagonales desde cada
vértice
Nº de triángulos
Suma de ángulos interiores
4 1 2 1802=360
5 2 3 1803=540
6 3 4 1804=720
n n-3 n-2 180(n-2)
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Suma de ángulos exteriores:
+ + + + =360
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Clasificaciones.Según la medida de sus ángulos interiores:
o Cóncavo: Algún ángulo interior mide más de 180.o Convexo: Todos los ángulos interiores miden menos de
180.
Cóncavo Convexo
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Según el número de lados:o Triángulo: Polígono de tres lados.o Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.o Pentágono: Polígono de cinco lados.o Hexágono: Polígono de seis lados.o Heptágono: Polígono de siete lados.o Octógono: Polígono de ocho lados.o Eneágono: Polígono de nueve lados.o Decágono: Polígono de diez lados…
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Heptágono Octógono Eneágono Decágono
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Según su forma:o Equiláteros: Polígonos de lados iguales.o Equiángulos: Polígonos de ángulos iguales.o Regulares: Polígonos de lados y ángulos iguales.
Polígono equilátero
Polígono equiángulo
Polígono regular
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Triángulos.
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Definición.Triángulo es un polígono de tres lados.
A
C
B
a
b
c
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Base: Es el lado sobre el que se considera que se apoya el triángulo.
Altura: Es la recta perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto a dicha base.
Elementos.
Base
Altura
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Clasificación.Según sus lados:
o Equilátero: Todos sus lados son iguales.o Isósceles: Dos lados iguales y uno desigual.o Escaleno: Tres lados distintos.
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
Triángulo escaleno
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Según sus ángulos:o Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos.o Rectángulo: Tiene un ángulo recto (y dos agudos).o Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (y dos agudos).
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo
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Igualdad de triángulos.Dos triángulos son iguales si sus lados y sus ángulos
correspondientes son iguales.
A
C
B
ab
c
A’
C´
B’
ab
c
A´´
C´´
B´´
a
b
c
' ' '' ''BC B C B C a
' ' '' ''AC A C A C b
' ' '' ''AB A B A B c
ˆ ˆ ˆ' ''A A A ˆ ˆ ˆ' ''B B B
ˆ ˆ ˆ' ''C C C
Los triángulos ABC, A’B’C’ y A’’B’’C’’ son iguales.
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Criterios de igualdad de triángulos:1. Dos triángulos con los tres lados correspondientes iguales, son
dos triángulos iguales.2. Dos triángulos con dos lados correspondientes iguales y el ángulo
comprendido entre ellos también igual, son dos triángulos iguales.3. Dos triángulos con un lado correspondiente igual y los dos
ángulos contiguos a él también iguales, son dos triángulos iguales.
b a
c
b a
c
a
b
a
b
a
a
Criterio 1. Criterio 3.Criterio 2.
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Puntos y rectas notables.Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al
segmento que pasa por su punto medio.Circuncentro es el punto en el que se cortan las tres
mediatrices de los lados de un triángulo, pues es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
ma = mediatriz sobre el lado a
mb = mediatriz sobre el lado b
mc = mediatriz sobre el lado c
Co = circuncentro
r = radio de la circunferencia circunscritaA
Co
C
B
mamb
mc
r
a
b
c
c/2 c/2
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Bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo, pues es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
bA = bisectriz del ángulo A
bB = bisectriz del ángulo B
bC = bisectriz del ángulo C
Io = incentro
r = radio de la circunferencia inscrita
A
C
B
ab
c
bA
bB
bC
Io
rÂ/2Â/2
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Mediana es la línea recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el punto en el que se cortan las tres medianas de un triángulo.
mea = mediana sobre el lado a
meb = mediana sobre el lado b
mec = mediana sobre el lado c
G = baricentro
A
C
B
ab
c/2
mea
meb
mec
G
c
c/2
Nota: La distancia del baricentro a un vértice es doble que la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.
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Altura es la línea recta perpendicular a un lado (o a su prolongación) trazada desde el vértice opuesto.
Ortocentro es el punto en el que se cortan las tres alturas de un triángulo.
ha = altura sobre el lado a
hb = altura sobre el lado b
hc = altura sobre el lado c
Oo = ortocentro
A
C
B
ab
c
Ooha
hb
hc
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Cuadriláteros.
![Page 27: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/27.jpg)
Definición.Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
A
B
C
D
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Clasificación. Paralelogramos: Cuadriláteros cuyos lados son paralelos dos a dos.
Rectángulo Cuadrado Romboide Rombo
Trapecio Trapecio isósceles Trapecio rectángulo
Trapezoide
Trapecios: Cuadriláteros con dos lados paralelos y los otros dos no paralelos.
Trapezoides: Cuadriláteros sin lados paralelos.
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Polígonos regulares.
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Polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos miden lo mismo.
Definición.
l l
l
l
l
l
l
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Elementos. Centro: Punto del que equidistan todos los vértices del polígono. Radio: Segmento que une el centro con un vértice. Apotema: Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: Ángulo determinado por dos radios.
2l
2l
RadioApotema
l
Ángulo central
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Figuras circulares.
![Page 33: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/33.jpg)
Círculo es la región del plano encerrada por una circunferencia.
Círculo.
r
![Page 34: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/34.jpg)
Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios.
Sector circular.
r
![Page 35: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/35.jpg)
Segmento circular es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y su cuerda correspondiente.
Segmento circular.
l
r
![Page 36: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/36.jpg)
Corona circular es la porción de plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Corona circular.
r
R
![Page 37: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/37.jpg)
Trapecio circular es la porción de corona circular comprendida entre dos radios
Trapecio circular.
r
R
![Page 38: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/38.jpg)
Simetrías en figuras planas.
![Page 39: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/39.jpg)
Un eje de simetría es una recta que divide en dos partes iguales una figura.
Eje de simetría.
Eje de simetría
![Page 40: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/40.jpg)
Cuando una figura tiene n ejes de simetría, dos ejes contiguos forman un ángulo de 180/n.
Ángulo formado por dos ejes de simetría contiguos.
e1
e2
e3 e4
e5
18036
5
![Page 41: Figuras planas](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052523/5562e8b9d8b42a213b8b48b0/html5/thumbnails/41.jpg)
I.E.S. Camino de Santiago