El Teorema de Fermat y sus HistoriasLeo Corry, Universidad de Tel-Aviv

Introduccin La demostracin del ltimo teorema de Fermat (UTF) a manos de Andrew Wiles, completada en 1994, fue uno de los logros matemticos ms prominentes de finales del siglo pasado, y sin duda uno de los eventos cientficos que recibi la mayor atencin de los medios de comunicacin y del pblico general. No todos los das se resuelve un problema que ha estado abierto por ms de 350 aos y no todos los das se reporta el trabajo esotrico de un matemtico puro en la primera plana del New York Times. En el margen de su copia de la Aritmtica de Diofanto, Fermat haba anotado su resultado: no es posible escribir un cubo como suma de dos cubos o una cuarta potencia como suma de dos cuartas potencias, y en general, no es posible que un nmero que es una potencia mayor de dos se escriba como suma de dos potencias del mismo tipo. Tengo una demostracin realmente extraordinaria de este hecho agreg pero los mrgenes del libro son demasiado estrechos para contenerla. La prueba de este resultado tan fcil de enunciar result ser tremendamente escurridiza y habra que esperar hasta 1994 para llegar a ella usando tcnicas muy sofisticadas. Con toda seguridad no fue sta la prueba que Fermat pens tener. La cobertura meditica y popular del trabajo de Wiles y de UTF ofrecieron al pblico no matemtico una oportunidad sin precedentes para conocer ms de cerca el arcano mundo de la investigacin en este campo en general y en la teora de nmeros en particular. Nadie mejor que Simon Singh llev la batuta en este esfuerzo de popularizacin que se manifest ante todo en el programa televisivo de la BBC (junto con John Lynch) y en su best-seller El Enigma de Fermat. La cartula del libro nos anuncia que se trata del mayor problema matemtico del mundo (the worlds greatest mathematical problem). En el website de Singh, as como en otros lugares, podemos leer que el problema ha obsesionado y hasta atormentado a los matemticos durante siglos en lo que constituye de una de las ms fabulosas (greatest) historias

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imaginables.1 Se nos dice que Euler, el ms destacado matemtico del siglo XVIII, tuvo que admitir derrota en sus intentos. Adems:Vidas enteras han sido dedicadas a la bsqueda de una solucin. Sophie Germain tuvo que adoptar la identidad de un hombre para investigar en un campo prohibido a las mujeres. El flamante Evariste Galois garabate los resultados de su profunda investigacin bien entrada la noche antes de caminar lentamente a su muerte en un duelo. El genio japons Yutaka Taniyama puso fin a su vida sumido en la desesperacin, mientras que el industrialista alemn Paul Wolfskehl declar que Fermat lo haba salvado del suicidio.

El importante esfuerzo de popularizacin de las matemticas de Singh es tal vez el ms conocido pero ciertamente no el nico digno de mencin de entre aquellos que se publicaron en los ltimos diez aos y los cuales no podramos listar en detalle aqu. Sin embargo, hay dos ttulos que me gustara mencionar por lo que las cartulas de sus libros nos comunican. [Derbyshire 2003] discute la conjetura de Riemann y nos anuncia que se trata del mayor problema no resuelto de las matemticas (The Greatest Unsolved Problem in Mathematics). [Devlin 2002], por su parte, describe los siete problemas del milenio propuestos en el ao 2000 por el Clay Mathematics Institute (CMI), y anuncia que se trata de los siete mayores acertijos matemticos no resueltos de nuestro tiempo. El lector no iniciado en las matemticas (y tal vez ms de un matemtico profesional tambin) puede quedar un poco perplejo ante tal profusin de problemas matemticos que reclaman para s, cada uno por separado, el cetro tan codiciado. Los matemticos profesionales que trabajan cada uno en su campo podran hasta ofenderse ante la afrenta ya que, a fin de cuentas, cada cual cree estar dedicando su vida cientfica a problemas importantes y no quiere que anden divulgando por ah que son otros, y no el suyo, el que es en realidad el ms importante de todos. El logro de Wiles ha sido realmente contundente y su demostracin es un verdadero tour de force matemtico digno de la mayor admiracin. La historia personal de Wiles en relacin con UTF es sin dudad dramtica, tanto por haberse l puesto como meta desde joven la resolucin del problema y haberlo logrado dcadas despus, como por los largos aos que dedic en completa soledad a su prueba y el error que se descubri en ella en el ltimo momento. Pero los 350 aos de historia de UTF han sido enormemente sobre-dramatizados en varios de los lugares donde se han

El libro de Singh apareci en varias ediciones y en numerosas traducciones. En este artculo me refiero a [Singh 1997]. -2-

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discutido, sobre todo despus del logro de Wiles. Esencialmente, UTF fue un teorema al cual pocos matemticos, y sobre todo muy pocos investigadores destacados de la teora de nmeros, dedicaron esfuerzos investigativos sostenidos y dignos de ese nombre. Con contadas excepciones, siempre fue muchsima mayor la curiosidad incitada por el teorema que la cantidad de trabajo serio que se le dedic. En el presente artculo expondr en lneas generales el contorno de lo que en mi opinin una historia moderada de UTF, en la cual no abundan los grandes dramas, debera comprender. No encontraremos aqu suicidios, ni disfraces, ni engaos, y tampoco trescientos cincuenta aos de actividad matemtica febril en torno a un enigma, aunque s muchas ideas ingeniosas que se fueron sumando a lo largo de los aos. Sin embargo, para poder discutir seriamente la pregunta cul fue la actitud de los matemticos a lo largo de la historia hacia UTF, quisiera dedicar la primera seccin del artculo a la pregunta ms general: qu es lo que los matemticos consideran un problema matemtico importante.

Problemas matemticos importantes y problemas no resueltos En vez de intentar definir yo mismo qu es lo que caracteriza a un problema come importante a los ojos de un matemtico, dejar a los maestros hablar. El maestro en este caso es David Hilbert (1862-1943), uno de los matemticos ms influyentes de principios del siglo XX. Junto con Jules Henri Poincar (1854-1912), Hilbert fue uno de los ltimos universalistas, capaz de alcanzar un panorama comprehensivo de la disciplina entera de las matemticas y as como de su relacin con disciplinas vecinas, y sobre todo con la fsica. Hilbert dio una respuesta explcita a la pregunta que nos ocupa en una ocasin especialmente festiva, a saber, el segundo congreso internacional de matemticos, realizado en Pars en 1900. Para aquel entonces Hilbert era una estrella en ascenso cuya prominencia en el mundo matemtico estaba siendo definitivamente consolidada. La invitacin implicaba la expectativa de que l presentara una descripcin del estado actual de la investigacin en la disciplina en su totalidad o en alguna de sus ramas principales en las que l era un experto. Hilbert, sin embargo, prefiri levantar el velo detrs del cual se oculta el futuro y echar un vistazo a los prximos avances de las matemticas. Present una lista de veintitrs problemas matemticos que en su opinin deberan ocupar los esfuerzos de los

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matemticos en el siglo que estaba por comenzar. La lista pronto se convirti en un hito histrico de las matemticas modernas. Ms de un matemtico alcanz la gloria profesional al solucionar uno de los problemas en la lista, o an al demostrar cmo cierto progreso podra ser alcanzado. No es ste el lugar para discutir detalladamente los problemas en la lista.2 Lo que nos interesa aqu es la seccin introductoria, donde Hilbert habla en general sobre el papel desempeado por los problemas en el desarrollo de las matemticas. Esto es lo que dijo al respecto:La significacin profunda de ciertos problemas para el avance de la ciencia matemtica en general y el papel importante que ellos juegan en el trabajo del investigador individual no pueden ser ignorados. Una rama de la ciencia seguir en vida mientras siga ofreciendo problemas en abundancia. La carencia de problemas presagia su extincin o el fin de su desarrollo independiente. Es a travs de la solucin de los problemas que el investigador pone a prueba el temple de su acero; encuentra nuevos mtodos y nuevas perspectivas, y alcanza un horizonte ms amplio y ms libre.

Los problemas no resueltos son, en opinin de Hilbert, como el oxgeno que respiran las teoras matemticas. Teoras matemticas dignas de ese nombre se han desarrollado tpicamente para solucionar problemas importantes, bien definidos. Pero, qu es un problema matemtico importante? Hilbert lo caracteriza como sigue:Es difcil y a menudo imposible juzgar correctamente por adelantado el valor de un problema, ya que su trofeo final depende de la ganacia que la ciencia obtiene de l. Sin embargo podemos preguntarnos si hay criterios generales que distinguen al problema matemtico valioso. Un viejo matemtico francs dijo: una teora matemtica no puede ser considerada como completa hasta que se ha clarificado al punto que podemos explicarla a la primera persona que encontremos en la calle. Esta claridad y facilidad de comprensin en la que insisto con respecto a una teora matemtica, la demandara ms an para un problema matemtico que quiere ser perfecto. Es que lo claro y lo fcilmente comprendido nos atrae, mientras que lo complicado lo rechazamos. Por otra parte un problema matemtico debe ser suficientemente difcil para tentarnos, pero no totalmente inaccesible, para que no se burle de nuestros esfuerzos. Debe ser para nosotros como un poste de gua en las labernticas trayectorias hacia las verdades ocultas, y en ltima instancia un recordatorio del placer que nos aguarda en la solucin acertada.

Conocemos problemas famosos que satisfacen los criterios antedichos? Hilbert mencion en su charla los siguientes ejemplos:Los matemticos de los ltimos siglos estaban acostumbrados a dedicarse con celo apasionado a la solucin de problemas particularmente difciles. Ellos conocan el valor de los problemas difciles. Les recuerdo el problema de la trayectoria de ms rpida pendiente, propuesto por Johannes Bernoulli. La experiencia nos ensea, explic Bernoulli al anunciar publicamente este problema, que las mentes elevadas son llevadas a esforzarse en pro del avance de la ciencia con tal de que se pongan ante ellas difciles y al mismo tiempo tiles problemas. Esperaba l, por tanto, ganar las gracias del mundo matemtico siguendo el ejemplo de hombres como Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani y otros, al plantear a los

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Una reciente discusin detallada aparece en [Gray 2000]. -4-

analistas ms distinguidos de su tiempo un problema a travs el cual, como por piedra de toque, pueda probar el valor de sus mtodos y medir su fuerza. El clculo de variaciones debe su origen a este problema de Bernoulli y a otros problemas similares.

Tenemos aqu, entonces, un ejemplo paradigmtico de un problema importante: encontrar la trayectoria que une dos puntos que se encuentran a diversas alturas, de manera que una bola que se deje rodar sobre esta trayectoria cubra la distancia entre los dos puntos en el menor tiempo posible. Esto es de hecho un problema bastante difcil, que fue formulado cuando el clculo infinitesimal estaba en sus principios y, como Hilbert bien lo dijo, se convirti efectivamente en una piedra de toque que hizo evidente el enorme potencial implcito en el nuevo clculo. Por otra parte, las tcnicas especficamente desarrolladas para solucionarlo crearon un campo matemtico totalmente nuevo, el clculo de variaciones, lleno de problemas difciles, que contina proporcionando grandes desafos profesionales a hordas de matemticos talentosos. Adems proporciona herramientas bsicas de primera magnitud a la fsica matemtica. De hecho, Hilbert mismo se convirti en un gran maestro de este campo en el curso de su vida profesional, y algunos problemas de la lista de 1900 llevaron a una mejora significativa de las tcnicas bsicas de ese ramo matemtico. Resulta totalmente natural, pues, que Hilbert se refiriera a este asunto como caso ejemplar de un problema matemtico importante. Dos problemas ejemplares adicionales aparecen en la introduccin a la lista de 1900. Primero es el problema de Fermat, que nos ocupa aqu, y segundo es el "problema de los tres cuerpos". Este ltimo proviene de los inicios de la mecnica celeste en el marco de la fsica newtoniana, especialmente a manos del genial Leonhard Euler (1707-1783) en siglo XVIII. Se trata de la descripcin de la trayectoria de cuerpos celestes que obedecen las leyes newtonianas de la gravitacin. Es fcil solucionarlo en el caso de dos cuerpos, pero se complica increblemente cuando se agrega un tercer cuerpo. Siguiendo las tentativas iniciales de Euler, varios matemticos importantes invirtieron considerables esfuerzos en solucionar este problema. Algunos aos antes de la charla de Hilbert en Pars, Poincar logr considerables avances, por lo menos para ciertos casos particulares importantes. ste fue tan slo uno de sus muchos logros prominentes [Barrow-Green 1997]. Su solucin contena las semillas de muchas ideas matemticas que se desarrollaran a lo largo del siglo XX. Entre stas cabe mencionar lo que se ha llamado "ciencia del caos", que recibi mucha atencin en crculos extra-matemticos por medio de libros de popularizacin en los aos 90.

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Visto en retrospectiva, entonces, la eleccin de Hilbert del problema de los tres cuerpos nos aparece como una ilustracin muy acertada de su criterio para caracterizar problemas importantes, aunque antes de 1900 l estaba muy lejos de comprender con certeza hasta qu punto seran las ideas de Poincar en este campo fructferas. Adems, es posible que Hilbert haya querido proporcionar un implcito, y bien merecido, homage al matemtico francs en esta conferencia que se desarrollaba en su pas. Los dos problemas mencionados aqu por Hilbert son esencialmente diferentes. Mientras que el problema de Fermat es una invencin libre de la razn pura, que pertenece al reino abstracto de la teora de los nmeros, el de Poincar se nos impone desde la astronoma y [es] necesario para una cabal comprensin de los fenmenos fundamentales ms simples de la naturaleza. stas son dos fuentes de motivacin totalmente diferentes, pero ambas conducen a problemas que los matemticos consideran como altamente importantes, cada uno a su propia manera. El centrarse en problemas como hilo conductor fundamental en el desarrollo de la ciencia llev a Hilbert a formular su bien conocido credo sobre las matemticas y las ciencias:Esta conviccin de la solubilidad de todo problema matemtico es un potente incentivo para el investigador. Omos dentro de nosotros la llamada perpetua: He aqu el problema. Busca su solucin. Puedes encontrarla por medio de la razn pura, porque en matemticas no hay ignorabimus.

El rechazo insistente de Hilbert del ignorabimus en matemticas era ante todo una reaccin a la bien conocida declaracin del fisilogo Emil du Bois Reymond (18181896) concerniente a las limitaciones inherentes de la ciencia como sistema capaz de proporcionarnos conocimientos sobre el mundo [Du Bois-Reymond 1872]. La actitud de Du Bois Reymond reflejaba la de muchos cientficos e intelectuales europeos a fines del siglo XIX. Pero Hilbert, optimista incurable, se opona totalmente a ella. El ICM de 1900 en Pars le proporcion un podio excelente para hacer pblico su mensaje. Es importante enfatizar que si bien Hilbert fue un pensador muy verstil que contribuy a una variedad muy amplia de campos matemticos diversos, tanto puros como aplicados, lo cierto es que hay un campo en el cual l sobresali ms que en cualquier otro, y cuyas ideas impregnan muchas de sus contribuciones en otros campos. Ese campo es sin duda la teora de los nmeros. De hecho, entre los veintitrs

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problemas de la lista 1900 encontramos no menos de seis relacionados directamente con esta disciplina, as como algunos otros que se relacionan indirectamente con ella. Por esta razn, y por el hecho de haberlo mencionado en la introduccin, uno no puede dejar de sorprenderse al ver que Hilbert decidi no incluir UTF entre los veintitrs. La sorpresa se atenuar al ver, en lo que sigue, que Hilbert nunca dedic esfuerzos serios a la investigacin de este problema. Pero en todo caso, uno naturalmente esperara encontrar el nombre de Hilbert entre aquellos matemticos que se obsesionaron con el ms difcil problema de las matemticas y estaban dispuestos a sacrificarlo todo en la bsqueda de la verdad [Singh 1997, xvi]. Pero si describimos a UTF en estos trminos es necesario clarificar por qu esta expectativa no corresponde a la realidad histrica en el caso de Hilbert. Pues bien, Hilbert era un personaje muy vistoso, alrededor de quien se tejieron muchas leyendas. Cabe traer a colacin aqu dos de estas leyendas. La primera, mencionada tambin en el libro de Singh, describe la respuesta de Hilbert a una pregunta supuestamente dirigida a l a menudo, a saber, por qu l mismo nunca busc una demostracin de UTF: antes de comenzar dijo Hilbert segn la leyenda tendra que disponer de tres aos de estudio intensivo, y no tengo mucho tiempo para malgastar en un probable fracaso. Pero si Hilbert dijo alguna vez lo que la leyenda le atribuye, sera incorrecto interpretarlo segn lo implicado por Singh, a saber, que Hilbert temi confrontar el riesgo implicado en la dificultad evidente del problema. La carrera de Hilbert indica claramente que l no vacil en abordar a lo largo de los aos problemas de la ms alta dificultad. De hecho, su ascenso a la fama en 1888 se debi a la solucin del teorema de la base finita para los invariantes algebraicos, solucin que los ms destacados matemticos contemporneos buscaron por dcadas. Asimismo en 1909 Hilbert public una sorprendente demostracin del problema de Waring en la teora de nmeros, propuesto por primera vez en 1770. Resolver el problema de Waring signific una incursin en una subespecialidad de la teora de los nmeros esencialmente distante de aquellas en las que l destacaba. Pero tampoco esto lo disuadi en lo ms mnimo ya que se trataba de un problema abierto verdaderamente difcil y al mismo tiempo, en su opinin, importante. En un campo totalmente distinto, Hilbert tambin encontr en 1912 la solucin de la ecuacin de Boltzmann en teora cintica de los gases, ecuacin formulada en 1872. En 1915 se vio envuelto en una -7-

carrera amistosa con Einstein en vas a la formulacin de las ecuaciones de covariancia general de la teora general de la relatividad, luego que Einstein mismo hubiera pasado ms de tres aos de enormes esfuerzos intentando hacerlo.3 No era Hilbert, quien vea una afrenta personal en la mera posibilidad que en matemticas pueda emerger un caso de ignorabimus, un matemtico que se abstuviera de tratar un problema atractivo e importante tan slo porque otros haban fracasado antes de l. Mucho menos en la teora de nmeros, que como ya se dijo era una de sus mayores especialidades. Antes bien, esto aadira inters y estmulo. La pregunta relevante para l sera, en general, si la importancia del problema ameritaba sus esfuerzos. Una segunda leyenda digna de mencin se refiere al premio ofrecido en 1908 a la primera persona que demuestre UTF, premio cuya existencia se volvi con el tiempo no menos famosa que el teorema mismo. El premio, entonces valorado en cien mil marcos, fue financiado por el industrial judo-alemn Paul Wolfskehl (1856-1906), hijo de una rica familia de banqueros. Segn la leyenda, repetida por Singh en su libro en todo detalle, la razn que llev a Wolfskehl a establecer el premio fue el rechazo amoroso de una mujer misteriosa cuya identidad nunca se ha establecido. Wolfskehl, deprimido por el rechazo, decidi suicidarse, pero a fin de cuentas no llev a cabo su decisin, segn la leyenda, porque en sus ltimas horas comenz a hojear algunos trabajos importantes sobre el teorema de Fermat, y particularmente los de Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Profundamente absorto en la lectura y en pensar que tal vez l mismo podra contribuir a resolver el problema, Wolfskehl dej pasar inadvertidamente la hora que haba establecido para realizar su trgico proyecto la medianoche, claro est y su desesperacin y dolor se evaporaron. En su testamento Wolfskehl leg el dinero a la universidad de Gttingen, la prestigiosa institucin de Hilbert, como smbolo de reconocimiento al valor de las matemticas y, particularmente, al teorema que renov su deseo de vivir. La historia no es muy exacta, como veremos ms abajo, y representa el tpico ejemplo de sobre-dramatizacin que encontramos en estos casos. Pero s es totalmente correcto que Hilbert estuvo a la cabeza del comit que supervisaba la utilizacin de los intereses producidos por el fondo, y que l utiliz ese dinero de manera brillante para

Para detalles adicionales sobre estos logros de Hilbert, vase [Corry 2004], as como [Corry 2003, Ch. 3]. -8-

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organizar reuniones cientficas de altsima categora en Gttingen a lo largo de los aos. La mayora de estas reuniones fueron dedicadas a discutir preguntas fundamentales de la fsica terica, y Hilbert us el dinero para invitar a los ms prestigioso fsicos de la poca a exponer sus ideas en desarrollo. Algunas de estas reuniones se convirtieron en verdaderos hitos en la historia de esta disciplina, tal como por ejemplo una serie de Conferencias Wolfskehl dictadas por Niels Bohr (1185-1962) en 1922, en las cuales present sus ideas ms recientes sobre la estructura del tomo [Corry 2004, 412]. De esta manera, Hilbert ayud a producir el ms significativo, y algo inverosmil, caso en la historia de las matemticas en que la teora de los nmeros contribuy significativamente al progreso de la fsica terica. Mientras que este episodio histrico verdaderamente importante que conecta a Hilbert con el premio el de las Conferencias Wolfskhel en Fsica queda tpicamente excluido de los relatos populares de UTF, una segunda leyenda relatada con frecuencia explica la negativa de Hilbert a enfrentarse l mismo con el problema, citando su supuesta respuesta a todo el que inquiriese: Para qu querra yo matar a la gallina que pone los huevos de oro? Esta presunta respuesta se ha interpretado como si Hilbert quisiera implicar que no solucionara el problema para preservar el fondo y los intereses que produca. No sorprendera realmente el que Hilbert haya dicho alguna vez algo parecido a esto,4 pero en mi opinin sera bastante forzado asumir que el espritu matemtico de Hilbert renunciara conscientemente a resolver un problema matemtico verdaderamente importante solamente porque su mente administrativa hubiera querido ahorrarse el dinero para otras metas.

Es conveniente a estas alturas agregar algunas clarificaciones referentes al contexto ms amplio de la lista de Hilbert y de sus elecciones, mencionando uno de los problemas que s se incluy, a saber, la conjetura de Riemann. Cualquier matemtico llamado hoy en da a elaborar una lista de problemas similar a la de Hilbert incluira sin duda la conjetura de Riemann. Pero cerca de 1900 la opcin estaba lejos de ser obvia, entre otras porque haba sido formulada relativamente recientemente y muy Una referencia temprana, que repite la laeyenda pero no seala la fuente, aparece en [Jungk 1956, 23]: Qu suerte que probablemente sea yo el nico que pueda quebrar esa nuez. Pero yo me las arreglo para no matar este gallina que nos pone tantos huevos dorados. -94

pocos esfuerzos haban sido dedicados a ella hasta entonces. Retrospectivamente, sta es otra eleccin que aade peso a la evaluacin de la excelente comprensin que Hilbert tena en aquel entonces del panorama general de la teora de nmeros, y de hecho de las matemticas en general. Aqu vemos a este matemtico universal, enfrentando el dilema de elegir un puado de problemas matemticos importantes para el nuevo siglo, y decidiendo incluir el de Riemann pero no el de Fermat. Hilbert afirm clara y explcitamente que despus de una discusin exhaustiva de la frmula de Riemann para los nmeros primos, quizs podamos alguna vez estar en posicin de encontrar la solucin rigurosa del problema de Goldbach. Al conectar esta conjetura con la de Riemann como justificacin posible para su la inclusin de sta ltima en la lista, Hilbert estableca otro criterio claro e importante para decidir sobre la importancia relativa de cualquier problema, a saber, su impacto en clarificar y posiblemente solucionar una gran cantidad de problemas matemticos adicionales. Entre aquellos otros problemas de la lista que se relacionan con la teora de nmeros se encuentran el problema de reciprocidad de rdenes superiores, la cuestin de la existencia de un algoritmo general para solucionar cualquier ecuacin diofntica dada, y otro problema ms referente a las formas cuadrticas. La teora de nmeros ocup un lugar muy especial, central en la visin total de Hilbert de las matemticas, y no encontr ninguna dificultad en precisar esos problemas que deban ocupar a sus colegas en los cien aos que estaban por venir. UTF no estaba entre estos problemas. A pesar de la importancia que se ha atribuido a los problemas de esta lista, es importante analizarla crticamente como cualquier otro captulo en la historia de las matemticas. Tal anlisis estara bastante ms all del alcance del presente artculo, pero es importante enfatizar que en retrospectiva no todos los problemas en la lista resultaron ser igualmente importantes. Ms aun, incluso segn los criterios expuestos en 1900 no todos ellos seran problemas matemticos importantes. Por ejemplo, muy pocos de los problemas podran describirse como fciles de explicar a la primera persona que encontrramos en la calle, segn lo aconsejado por Hilbert. Por el contrario, ese criterio se aplica bien a algunos de los problemas que l no incluy, por ejemplo UTF y la conjetura de Goldbach. Por supuesto, mientras que la formulacin de UTF es explicable al hombre promedio, ste no es de ningn modo el caso para su solucin posible. Que la formulacin de UTF pueda explicarse tan fcilmente incluso al no-matemtico es quizs la razn principal por la que Hilbert lo

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tom como ejemplo paradigmtico en la introduccin a su charla, aunque despus no encontr ninguna razn para incluirlo en la lista real. Y con todo, Hilbert dio una razn muy especfica por la que UTF puede considerarse como histricamente importante:[UTF] ofrece un ejemplo llamativo de la inspiracin que un problema tan especializado y al parecer poco importante puede producir en la ciencia. Kummer, incitado por el problema de Fermat, fue conducido a la introduccin de nmeros ideales y al descubrimiento de la ley de factorization nica de los nmeros de un campo ciclotmico en factores primos ideales una ley que hoy, generalizada a cualquier campo algebraico por Dedekind y Kronecker, se yergue en el centro de la teora moderna de nmeros y cuya significacin va ms all de los lmites de esa teora, entrando en el reino del lgebra y de la teora de funciones.

La importancia que Hilbert s atribuye a UTF, entonces, proviene del hecho de que los intentos que se hicieron para resolverlo llevaron a la introduccin de conceptos y tcnicas de influencia profunda para el desarrollo subsiguiente de las matemticas. Volver a este importante punto en mayor detalle abajo. La fuerza y el impacto de la lista de Hilbert, y de la leyenda que surgi alrededor de ella, se manifiesta no solamente en la manera en que condujo a investigaciones interesantes en muchos campos de las matemticas a lo largo del siglo. De hecho, ella cre un desafo implcito para las generaciones por venir, que muchos matemticos e instituciones matemticas alrededor del mundo se sintieron fuertemente presionados por tratar a su debido tiempo: quin formulara en 2000 la lista paralela para el siglo que viene y, de hecho, para el milenio que viene? Este desafo tan simblicamente cargado condujo a las varias listas que fueron publicadas al acercarse el ao 2000. La ms famosa fue la lista ya mencionada de los siete problemas del milenio, publicada por un comit a nombre del CMI en Massachussets. Una comparacin detallada entre estas dos listas, Hilbert en 1900 y CMI en 2000, indicara de manera interesante algunos de los procesos ms significativas en el desarrollo de la disciplina a lo largo de cien aos de historia, de la profesin matemtica y del ambiente cultural en el cual se realiza, y de la opinin pblica sobre las matemticas. En el marco de este artculo quisiera solamente precisar tres caractersticas visibles que van directamente al corazn de estas diferencias. Primero est el hecho de que mientras que Hilbert elabor su lista por s mismo y sin colaboradores, en el caso del CMI un comit de varios matemticos prominentes fue necesario no slo para elaborar una lista del alcance similar sino, especialmente, para darle el mismo grado de autoridad que la anterior tuvo. Una lista diferente, sta - 11 -

elaborada por una figura principal tal como Stephan Smale [Smale 1998],5 interesante y cautivadora como puede ser, recibi mucho menos atencin de parte de los matemticos, e incluso menos de parte del pblico en general. Est en segundo lugar el hecho que para hacer la lista digna de la atencin, el CMI consider conveniente, y quizs hasta necesario, asociar a cada problema un jugoso premio en efectivo. Probablemente, Hilbert no habra podido siquiera concebir en 1900 tal posibilidad. El tercero es la velocidad asombrosa con la cual la lista se dio a conocer entre una audiencia muy amplia alrededor del mundo y, de hecho, no solamente por matemticos. Esta breve discusin de la legendaria lista de problemas de Hilbert en 1900 puede proporcionar un vistazo superficial a la dificultad inherente a cualquier tentativa de establecer la importancia relativa de problemas en matemticas, tanto en un sentido objetivo como desde la perspectiva personal de los matemticos en cualquier perodo dado. Hilbert intent hacer una proyeccin hacia el futuro, lo cual es ms difcil an, pero los historiadores entienden que incluso en retrospectiva es a veces difcil determinar la importancia histrica verdadera de cualquier problema dado y la forma en que fue considerado. Sea cmo sea, parece razonable e intelectualmente sano manejarse con cuidado antes de atribuir ttulos como el problema matemtico ms grande de la historia, y mirar con recelo aquellos lugares donde tales ttulos se utilizan. En lo que sigue, procurar proporcionar un juicio histrico equilibrado sobre UTF a lo largo de trescientos cincuenta aos de matemticas.

El drama de UTF: una revisinComo ya indiqu, Simon Singh es uno de los representantes ms sobresalientes de una reciente tendencia, muy encomiable de por s, de popularizacin seria de las matemticas y de la ciencia a travs de libros, series de televisin y obras de teatro. Para escribir su libro sobre UTF, sin duda dedic considerables esfuerzos a recolectar y digerir una cantidad enorme de material matemtico relevante, y a presentarlo de manera accesible a un amplio pblico, lo que le mereci en 1999 una distincin

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Como Hilbert, tambin Smale propone una serie de criterios que lo guiaron en la preparacin de su lista, y stos complementan de manera interesante los de quel. - 12 -

especial de parte de la American Mathematical Society.6 Para lograr su difcil tarea, Singh recurri a una estructura dramtica especficamente diseada para mantener la atencin de los lectores a todo lo largo de su texto. Desafortunadamente, una lectura histrica crtica del texto saca a relucir muchos puntos dbiles que muestran que el drama, a fin de cuentas, es esencialmente artificial. El tono dramtico de la historia de Singh es patente desde el primer prrafo del libro, que describe la conferencia de Andrew Wiles en 1993 en Cambridge en los siguientes trminos:Era la conferencia ms importante de las matemticas del siglo. Doscientos matemticos estaban totalmente absortos. Solamente un cuarto de ellos entenda completamente la densa mezcla de smbolos griegos y de lgebra que cubra el pizarrn. (p. 1)

El matemtico escptico, ya tan acostumbrado a observar a sus deslumbrados colegas (y a s mismo) en charlas remotamente menos exigentes que la de Wiles, se preguntar si la cuenta de solamente una cuarta parte no es un error, y lo que Singh quiso decir es puede que hasta una cuarta parte (y tambin eso le parecer una gran exageracin que se refiere ms al comienzo de la charla y probablemente menos a su final). Pero ms significativa es la manera en la cual Singh conecta directamente UTF con la historia de las matemticas en general:La historia del ltimo teorema de Fermat se liga inextricablemente a la historia de las matemticas, tocando todos los temas principales de la teora de nmeros... El ltimo teorema est en el corazn de una saga intrigante de valor, truculencia, astucia y tragedia, que involucr a todos los grandes hroes de las matemticas. (p. xv)

El lector de este pasaje desear seguramente conocer en detalle las debilidades y las glorias humanas aqu mencionadas, que raramente se asocian a las matemticas y a los matemticos. No contentos con esto, los editores del libro indicaron en la cubierta que se trata de la bsqueda pica para solucionar el mayor problema matemtico del mundo, y en la contraportada agregaron que UTF se convirti en el santo grial de las matemticas. Vidas enteras y coloridas se dedicaron, e incluso se sacrificaron, en la bsqueda de una prueba. Pues bien, vidas dedicadas, e incluso sacrificadas a la solucin de un problema matemtico abstruso es definitivamente un tema digno de atencin. Pero si uno

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Ver http://www.ams.org/notices/199905/comm-jpbm.pdf, Notices of the AMS 46 (5), 568-569. - 13 -

analiza este pasaje cuidadosamente y compara su contenido con lo que muestra el expediente histrico, entonces comienzan a presentarse algunos problemas. El grado de conexin del UTF con todos los temas principales de la teora de los nmeros es un punto importante que discutir ms abajo. Veremos que aunque tal asercin es muy apropiada para describir el trabajo de Wiles, es muy fcil exagerar este aspecto de la historia del teorema. Pero antes de hacerlo, podemos simplemente observar que ninguna de las personas mencionadas ms arriba, as como en el prrafo citado en la introduccin, dedic su vida y mucho menos la sacrific sobre el altar de UTF. Tomemos por ejemplo a Euler, realmente el ms importante matemtico de su poca, y otro ms en la lista de quienes no solucionaron UTF (en el sentido que no proporcion una demostracin general del teorema). La admisin de Euler consiste en algunas lneas a su amigo Goldbach en una carta donde le escribe sobre muchos otros problemas, y en la cual le informa que no ha podido resolver ste en particular. Por otra parte, Euler demostr casos particulares del teorema y, lo que es ms importante, desarroll ideas que seran de utilidad en muchos otros problemas de la teora de los nmeros. Pero el punto histrico central es que durante los aos en que Euler dedic cierto tiempo a pensar en este problema (y era solamente uno entre docenas de otros problemas verdaderamente importantes en campos totalmente diversos de la fsica y de las matemticas), UTF no se consideraba de manera alguna como esencialmente diferente, y ciertamente no de mayor importancia, que muchos otros problemas que Fermat haba dejado sin resolver. Era apenas una entre las muchas preguntas planteadas por Fermat a sus amigos y colegas. No imaginemos, entonces, a Euler convocando una rueda de prensa para anunciar dramticamente su fracaso en solucionar el problema matemtico ms grande de la historia. Tambin la historia de Sophie Germain (1776-1831) es realmente fascinante. Sus talentos matemticos eran excepcionales en todo sentido. Durante aos mantuvo una correspondencia matemtica con Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Adrien Marie Legendre (1752-1833), adoptando inicialmente el seudnimo "Monsieur Leblanc". Germain simplemente tema que si sus correspondientes supieran que se trataba de una mujer, sus cartas y sus ideas no seran tomadas seriamente. Y tal preocupacin no era de manera alguna infundada, ya que las mujeres no fueron aceptadas de lleno en la vida acadmica europea, y particularmente en la investigacin matemtica, hasta muchos aos despus de esto. De hecho, Sophie Germain fue una de solamente dos - 14 -

mujeres de notable participacin en las matemticas del siglo XIX (la segunda fue Sofa Kovalevskaya (1850-1891)). Sin embargo, afirmar que Sophie Germain adquiri la identidad de un hombre para investigar un campo prohibido a las mujeres es engaoso, como mnimo, puesto que el campo prohibido a las mujeres era la ciencia en general, y quizs las matemticas en particular, pero de ninguna manera la investigacin especficamente conectada con UTF, como podramos pensar al leer el texto arriba citado. An ms problemtica es la mencin de Evariste Galois (1811-1832). Uno puede estar seguro de encontrar la personalidad abigarrada de Galois en cualquier presentacin popular de las matemticas. La razn es que las biografas de matemticos (y hay quien dir que tambin sus vidas, no slo sus biografas) suelen ser aburridas al ser vistas externamente, y similares las unas a las otras ("naci en..., estudi en..., se doctor en..., public su trabajo ms importante sobre..., recibi honores tales como..."). Hay por supuesto algunas excepciones a esta regla, pero ningn matemtico con excepcin de Galois puede jactarse del romntico privilegio de haber muerto en un duelo por el honor de una mujer! Agreguemos a esto su explosiva personalidad, sus firmes convicciones polticas y sus intensas actividades, su precocidad, y el largo tiempo que tom hasta que sus ideas fueron ampliamente reconocidas, y ah lo tenemos: un drama increble que sazonar el cuento ms aburrido que uno pueda concebir. La pregunta investigada por Galois se relacionaba con un problema matemtico verdaderamente significativo que segua sin solucin ya muchos siglos: encontrar una frmula algebraica general para resolver por radicales cualquier ecuacin polinmica del quinto grado. Matemticos como Cardano y Ferrari haban demostrado ya en el siglo XVI cmo hacer esto para las ecuaciones del tercer y cuarto grado. Antes de Galois, al final del siglo XVIII, Paolo Ruffini (1765-1822) y Niels Henrik Abel (1802-1829) sealaron el hecho sorprendente que en el caso de grado cinco es imposible encontrar la frmula deseada. Las inslitas ideas de Galois eran mucho ms atrevidas que las de sus precursores y de hecho enfocaron una pregunta ms general que la de ellos: dada cualquier ecuacin polinmica particular de grado arbitrario, decidir si es posible encontrar todas las soluciones por radicales. l no solamente solucion el problema de una manera brillante, sino que al hacerlo tambin cre una herramienta matemtica de gran - 15 -

alcance, el concepto de grupo, un concepto sin el cual las matemticas y la fsica del siglo XX, tal y como las conocemos, seran simplemente inconcebibles. El concepto de grupo y, ms generalmente, la teora de Galois (en una versin especfica de ella, para "cuerpos de formas modulares") juegan un papel importante en la prueba de Wiles, al igual que muchas otras ideas matemticas que son centrales a la disciplina en general. Pero la conexin implcita entre los enormes esfuerzos que supuestamente fueron dedicados durante los ltimos 350 aos para probar UTF y el hecho de que Galois garabate los resultados de su profunda investigacin bien entrada la noche antes de caminar lentamente a su muerte en un duelo es altamente engaosa y en ms de una forma. No es solamente que no existe conexin alguna entre UTF y los heroicos descubrimientos matemticos de Galois o su horizonte de intereses. De hecho, no hay indicacin de que Galois mencionara o demostrara inters alguno en este teorema. Es tambin que Singh adopta sin ningn escrpulo crtico la atractiva pero falsa leyenda (popularizada sobre todo por el muy ledo libro de E.T.Bell, Men of Mathematics) segn la cual las ideas importantes de Galois fueron apresuradamente escritas durante su fatal ltima noche. Como dije, no es de sorprenderse que la leyenda de Galois haya inspirado tantos libros e incluso pelculas, y este detalle sobre la ltima noche sirve en muchas descripciones como culminacin de una vida verdaderamente dramtica. Lstima nada ms que en la vida real el drama fuera mucho menor, inclusive en el caso de Galois. Es verdad que Cauchy no lleg ni a ver algunos de los textos que Galois le envi, y de hecho hasta los perdi un par de veces, pero algunos de sus otros artculos s fueron publicados durante el curso de su vida. Es verdad que en su ltima noche Galois escribi ideas matemticas mezcladas con el misterioso nombre de Stephanie. sto es bastante para justificar el concepto romntico del Galois mtico. Pero no fue all donde desarroll sus ideas importantes que fueron publicadas mucho despus. Las pginas dedicadas a este interesante cuento en el libro de Singh ciertamente hacen el libro ms atractivo para el lector general (lo cual es digno de por s). Sin embargo, uno puede seguir preguntndose por mucho tiempo de qu manera Galois pertenece en la historia del UTF, incluso cuando esta historia es concebida en los trminos ms amplios posibles.

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Algo parecido puede decirse de la manera en que Yutaka Taniyama (1927-1958) y su trgico, y quizs algo misterioso, suicidio se mencionan aqu. Es verdad que las ideas de Taniyama conduciran en ltima instancia a la solucin del problema. Sin embargo, ninguna de estas ideas, y mucho menos su suicidio, tenan conexin, incluso remota, con la investigacin de UTF. En un simposio realizado en 1955 en Tokio, Taniyama present dos problemas en base a los cuales una conjetura fue formulada algo ms adelante. Esta conjetura establece una inesperada conexin entre dos entidades matemticas aparentemente muy distantes: curvas elpticas y cuerpos de formas modulares. La conjetura lleg a conocerse como la conjetura de "TaniyamaShimura", o de Taniyama-Shimura-Weil (TSW), y solamente muchos aos ms tarde su conexin posible con UTF se hizo evidente (como veremos ms adelante). De hecho, el trabajo de Wiles consisti en probar un caso especialmente importante de TSW, y UTF se deriva de este resultado como un corolario altamente no trivial. Taniyama mismo no tena ni la ms mnima idea de esta conexin con UTF al proponer los problemas, al formular la conjetura, y menos an en el momento de su muerte. La razn de su suicidio en 1958 ha seguido sin aclararse hasta el da de hoy, pero una cosa s es segura: que no tiene ninguna conexin con la conjetura y mucho menos con UTF. Una lectura precipitada del texto antes citado puede llevar fcilmente a pensar que lo contrario es el caso. Y el ltimo elemento de inters en la cita, que ayuda a promover su efecto dramtico, es un segundo caso de suicidio supuestamente relacionado con UTF, el de Paul Wolfskhel. En este caso el teorema ayud a prevenir, ms bien que a provocar, la supuesta tragedia. Una vez ms nos encontramos aqu con un cuento de dinero, amor no retribuido, tragedia, y matemticas, con el fin de proporcionar un fondo dramtico a UTF y a las tentativas de probarlo. Lstima que esto sea ficcin pura. En 1997, como parte de las celebraciones por el enorme logro de Wiles, el matemtico Klaus Barner de Kassel decidi sacar a la luz algunos hechos slidos sobre el filntropo ms famoso en la historia de las matemticas [Barner 1997]. Estos hechos difieren sensiblemente de la leyenda conocida de Wolfskehl. Wolfskehl se gradu en medicina en 1880, al parecer con una disertacin en oftalmologa. Aun como estudiante, sntomas tempranos de esclerosis mltiple comenzaron a aparecer, y Wolfskehl entendi que un futuro como mdico era algo incierto para l. Por eso decidi moverse a las matemticas. Entre 1881 y 1883 - 17 -

estudi en Berln, participando en las conferencias del gran Kummer, quien, como veremos mas adelante, jug un papel fundamental en los esfuerzos del siglo XIX relativos a UTF. El inters de Wolfskehl en UTF y sus conocimientos al respecto datan de esos aos. Incluso public algunos trabajos relativos a la teora de nmeros algbricos. En 1890 Wolfskehl perdi totalmente su movilidad y la familia lo convenci de que se casara, para poder encontrar a alguien que continuara con su cuidado. Desafortunadamente, la eleccin de la novia parece haber sido un fracaso y, segn la investigacin de Barner, la vida de Wolfskehl lleg a ser bastante desgraciada despus de la boda en 1903. Y entonces, en 1905, Wolfskehl modific su testamento a favor del nico amor verdadero de su vida, la teora de los nmeros, la disciplina que dio cierto significado a sus ltimos aos que al parecer fueron bastante miserables. Quiz el deseo a reducir de algn modo el capital que dejara a su futura viuda jug un papel significativo en la decisin. Sea como sea, si Wolfskehl consider alguna vez cometer suicidio, la razn detrs de tal decisin habra sido la depresin profunda que lo afect a raz de su enfermedad, y no un corazn destrozado por causa de una mujer desconocida. UTF, uno puede estar ser seguro, no lo salv del suicidio en la manera dramtica que refiere la leyenda, aunque puede ciertamente haberlo ayudado a dar sentido a los ltimos aos de su vida.

UTF de Fermat a Euler Ha llegado la hora de decir algo ms concreto y positivo sobre UTF y sobre la historia de las tentativas de demostrarlo. Dar una breve descripcin de los momentos principales en esta historia y de ello se ver fcilmente que desde que Fermat escribiera en el margen de su libro (un poco despus de 1630) y hasta 1984, la cantidad de investigacin matemtica seria y sistemtica que involucr contribuciones significativas y directas a UTF fue bastante reducida. En contraste, la cantidad de demostraciones falsas, y hasta totalmente absurdas, escritas por matemticos aficionados fue enorme.7 Durante ms de 350 aos, los ms prominentes matemticos

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Segn la cuenta de [Lietzmann 1912, 63], tan slo en los tres aos que siguieron al anuncio del premio Wolfskehl se presentaron ms de mil pruebas falsas. [Ribenboim 1999, 381-388] aade informacin sobre pruebas falsas o insuficientes que llegaron a publicarse. - 18 -

no consideraron que este problema realmente ameritara su atencin y sus energas, aunque sigui siendo objeto de continuada curiosidad. Alrededor de 1630 Fermat se dedic a estudiar el contenido de la Aritmtica de Diofanto, en una traduccin latina preparada en 1621 por Claude Bachet (1581-1638). El problema ocho del libro II de la Aritmtica es tpico de aquellos que Diofanto muestra cmo resolver: escribir un nmero cuadrado dado como suma de dos nmeros cuadrados. En los mrgenes de su copia, Fermat anot la famosa observacin sobre la imposibilidad de hacer algo similar para los cubos, las cuartas potencias, o cualquier potencia ms alta, y como ya se dijo, Fermat afirm tener una prueba notable de este hecho que, desafortunadamente, no poda escribir en los mrgenes estrechos del libro. ste es el origen no solamente de la historia en s, sino tambin del carcter dramtico asociado tan a menudo con ella. Pero es importante enfatizar que Fermat escriba constantemente en sus libros resultados de este tipo sin demostracin, as como ideas generales, y desafos matemticos posibles. Durante su vida, Fermat public solamente una de las muchsimas ideas que desarroll en relacin con la teora de los nmeros. Fermat no era un matemtico profesional en el sentido conocido hoy en da, y su idea de comunicar resultados matemticos era esencialmente diferente a la del ethos de publica o muere. Al considerar su comportamiento tpico en estos asuntos uno puede hasta llegar a conjeturar que, poco despus de escribir el famoso comentario marginal, Fermat pudo haber entendido que la notable prueba que l tena en mente era realmente incorrecta. En efecto, Fermat enviaba cartas con frecuencia a sus amigos matemticos en las que les informaba sobre sus nuevos resultados y a veces los desafiaba a encontrar las demostraciones por s mismos. Curiosamente, no se ha conservado ninguna carta donde Fermat comente el problema general que luego se convirti en UTF, y de hecho, fuera del legendario comentario marginal, esta pregunta no aparece en ninguna otra parte en sus escritos. Por el contrario, en varias de sus cartas Fermat propuso explcitamente en varias cartas los casos especficos n = 3 y n = 4 del teorema.8 Este hecho no ofrece quizs ninguna evidencia tajante para afirmar que Fermat not su error al pensar inicialmente que tena una prueba correcta del caso general, pero por lo menos indica que eso resulta

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Referencias exactas a las cartas aparecen en [Ribenboim 1999, 13 & 24]. - 19 -

posible. Lo que s es muy claro es que el problema no tena ningn estatus especial para Fermat en comparacin con los muchos otros que se le ocurrieron en sus lecturas de Diofanto y de otros clsicos. Es muy fcil olvidarse de que el mismo trmino ltimo teorema fue acuado retrospectivamente para referirse a aquella, de entre las muchas otras preguntas y conjeturas aritmticas formuladas por Fermat, ya que se convirti en la ltima que segua sin resolverse. Adems, debe notarse que entre las muchas e interesantes conjeturas matemticas propuestas por Fermat, no pocas resultaron ser falsas. Uno de los ms conocidos ejemplos es el de los as llamados nmeros de Fermat, es decir enteros de la forma2 2 + 1 . En cartas escritas a diferentes personas entre 1640 y 1658 Fermat expresaba sun

convencimiento de que tales nmeros seran siempre primos, pero confesaba no tener una prueba de ello. Y sin embargo en una carta de 1659 a Pierre de Carcavi (16001684) pero destinada realmente a Huygens, Fermat sugiri tener una prueba usando el mtodo del descenso infinito. En realidad en esa misma carta Fermat afirmaba haber utilizado el mtodo para probar varios resultados entre los cuales figura, pero slo como un ejemplo adicional, UTF para el caso n = 3.9 Eventualmente, en 1732 Euler mostr que para n = 5, el correspondiente nmero de Fermat no es primo. Una gran cantidad de resultados y conjeturas de Fermat en la teora de nmeros llegaron a conocerse gracias al esfuerzo de su hijo, Samuel. En 1670 public Samuel Fermat una versin de la traduccin latina de Bachet de la Aritmtica de Diofanto, incluyendo comentarios y cartas de su padre, las cuales Samuel tema que fueran totalmente olvidadas. Es gracias a esta edicin que el mundo lleg a enterarse no solamente de lo qu se convertira en UTF, sino tambin de muchas otras ideas. Pero como ya afirm, solamente una de todas las demostraciones de Fermat en la teora de nmeros fue publicada en vida, y es la de un resultado muy similar en espritu a UTF, a saber, que no existen tres nmeros enteros x, y, z que satisfagan la frmula x2 + y2 = z2 y para los cuales, xy/2 es un nmero cuadrado.10

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Ver [Mahoney 1994, 332-359]. La carta de 1659 aparece en la pgina 353.

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Un detallado y fascinante estudio histrico de este resultado y de la forma en que fue ledo, desarrollado y diseminado por sucesivas generaciones aparece en [Goldstein 1995]. - 20 -

Es importante prestar atencin a este resultado puesto que nos permite entender cmo Fermat, inspirado por Diofanto, formulara este tipo de conjeturas, de las cuales UTF es solamente una, y no una a la que l hubiera asociado desde un principio una importancia intrnseca particular. Adems es este el resultado en donde Fermat present por primera vez el mtodo del descenso infinito. El mtodo puede usarse para formular una demostracin del caso n = 4 de UTF, pero no nos consta que Fermat mismo haya escrito tal demostracin. El caso n = 4 es importante por una razn fundamental: si UTF es vlido para n = 4, queda claro que para probar el caso general es suficiente que UTF sea vlido para los nmeros primos. Podemos ver esto como una reduccin significativa de la envergadura de la tarea, pero pronto se aclarara que la demostracin general todava quedaba muy distante. Despus que Samuel Fermat hubiera publicado en 1630 la Aritmtica con los comentarios de su padre, y hasta mediados del siglo XVIII, los matemticos apenas se ocuparon de resolver algunos de los problemas propuestos por Fermat, y nadie se ocup de UTF. 1753 es el ao en que Euler se incorpora a esta historia. La cantidad y el alcance de la produccin cientfica de Euler son casi humanamente inconcebibles. Estuvo involucrado y contribuy perceptiblemente a todos los campos de las matemticas y la fsica que estaban activos durante su vida. Esto incluye tambin la teora de nmeros, aunque es importante enfatizar que en tiempos de Euler no haba realmente un campo matemtico llamado as. Haba una coleccin heterognea de problemas ms o menos complejos y de tcnicas que nunca fueron sistematizadas completamente, y que se vean como asociadas al campo de la "aritmtica". De hecho, el trmino "aritmtica superior" segua en uso hasta el siglo XIX (y an despus), que es cuando el trmino "teora de nmeros", en uso hoy, comenz a ser adoptado extensamente. Euler ley el libro de Fermat, y obviamente se impresion por las muchas ideas importantes que all encontr. Solucion algunos de los problemas all propuestos, pero algunos de ellos no pudo, o simplemente no intent solucionarlos. Fermat sugiri muchas conjeturas sin demostracin. Sus contemporneos y algunos matemticos de las generaciones siguientes intentaron solucionarlas. A veces lo lograron y a veces no, ya que algunas resultaron ser ms difciles y requirieron mayores esfuerzos. Algunas de ellas fueron solucionadas por matemticos prominentes, como Euler, y la solucin de algunas escap incluso a matemticos como Euler. En 1770, por ejemplo, otro matemtico muy prominente, Joseph Louis - 21 -

Lagrange (1736 - 1813), con contribuciones importantes en muchos campos de las matemticas y de la fsica, incluyendo la teora de nmeros, solucion otro problema propuesto por Fermat, que Euler tambin intent resolver sin xito, a saber, que cualquier nmero entero se puede escribir como la suma de no ms de cuatro nmeros cuadrados. Euler discuti ideas de Fermat primordialmente en correspondencia con su amigo Christian Goldbach (1690-1764), cuya famosa conjetura (que no ha sido probada hasta el da de hoy) ya fue mencionada. La correspondencia se inici en 1729 y dur por ms de treinta y cinco aos. Euler y Goldbach discutieron ante todo problemas de fsica matemtica, series infinitas e integracin, y en cierta medida tambin problemas de aritmtica superior. Cuando el nombre de Fermat es mencionado en este contexto, muy rara vez lo es en conexin con UTF. Desde un principio, Fermat se menciona sobre todo en relacin con el problema de los ya mencionados nmeros de Fermat. En 1753 es la primera vez que UTF se menciona, en la ltima media pgina de una carta en la cual Euler discuti muchas otras ideas. Euler le mencion a Goldbach este teorema muy hermoso de Fermat. Declar tener demostraciones para los casos n = 3 y n = 4, y aadi que estas dos demostraciones son tan distintas que no sabra cmo llegar de ellas a una que sirva para el caso general. Inclusive la prueba para el caso n = 5 no haba podido an encontrarla [Fuss 1843, Vol. 1, 618]. Esto es todo lo que dijo en esa carta. En una carta escrita dos aos ms tarde, leemos que Euler no tena duda de que Fermat haba en verdad logrado la demostracin mencionada en el margen de su libro y en la misma oportunidad repiti que sus esfuerzos para descubrirla por s mismo haban sido en vano hasta ahora [Fuss 1843, Vol. 1, 623]. En 1770 Euler public un texto de lgebra y la prueba ah publicada del caso n = 3 de UTF, a pesar de ser muy ingeniosa, contiene un error no trivial [Euler 1770]. Por otra parte, la idea necesaria para corregir dicha demostracin aparece en otros lugares en su trabajo que se relacionan con ideas de Fermat [Euler 1760]. Es importante recalcar que la correspondencia entre Goldbach y Euler abunda en discusiones de problemas numricos de todo tipo. La atencin dedicada a UTF es realmente marginal. Es ms, para poner un ejemplo, en la mencionada carta de 1753, Euler aadi su propia idea original sobre cmo generalizar el mismo problema de Diofanto. Como las ecuaciones a2 + b2 = c2 y a3 + b3 + c3 = d3 tienen soluciones - 22 -

enteras uno podra conjeturar que a4 + b4 + c4 + d4 = e4 debera tenerla tambin. Euler no haba hallado an una tal solucin, pero s haba encontrado cinco enteros bicuadrados cuya suma es tambin un bicuadrado. En 1778, refirindose una vez ms a UTF, Euler sugiri otra generalizacin (citado en [Dickson 1919, Vol. 2, 648]:Muchos gemetras han pensado que este teorema puede ser generalizado. As como no existen dos cubos cuya suma o diferencia es un cubo, es claro que es imposible encontrar tres bicuadrados cuya suma sea un bicuadrado. Cuatro bicuadrados por lo menos son necesarios para que la suma sea un bicuadrado, aunque nadie ha podido hasta hoy encontrar esos cuatro bicuadrados. Asmismo, es imposible encontrar cuatro quintas potencias cuya suma sea una quinta potencia y similarmente para potencias mayores.

Esta es, pues, la manera en que Euler reaccionara frene a una idea como la de Fermat u otra similar. Claro que uno podra ver en esto una muestra ms de cmo UTF estimul a los matemticos a crear nuevas ideas, pero si es as, no lo es de ninguna manera especial que no podramos haber encontrado en muchos otros ejemplos parecidos. Quin podra haber dicho a priori cul de todas estas ideas sera de fcil o de difcil solucin, y cunta energa matemtica demandara cada uno de esos problemas en las dcadas (o siglos) por venir? Ciertamente no Euler, quien mostr un inters similar por todos ellos. Y de hecho, esta conjetura en particular, sobre la imposibilidad de encontrar tres bicuadrados cuya suma es un bicuadrado, tuvo una historia interesante de por s, y fue slo en 1988 cuando Noam Elkies, en Harvard, encontr un contraejemplo realmente asombroso [Elkies 1988]: 2,682,4404 + 15,365,6394 + 18,796,7604 = 20,615,6734. Qu aprendemos de todo esto? Dentro de esta tradicin de intentos espordicos y no sistemticos de resolver conjeturas aritmticas de todo tipo, con gran ingeniosidad y talento matemtico, pero sin una teora coherente y comprehensiva, muchos de los problemas abiertos que Fermat leg a sus colegas en la teora de nmeros fueron solucionndose gradualmente. El que nos ocupa aqu se convirti progresivamente en la ltima conjetura no probada de Fermat. As fue como comenz a recibir particular atencin. Poco a poco, el hecho de no haber sido resuelta por ningn matemtico le agreg un encanto especial. De los 350 aos en que el problema supuestamente desafi las mejores mentes matemticas, en los primeros ciento cincuenta muy pocos esfuerzos se dedicaron realmente a solucionarlo.

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UTF entre 1800 y 1847Tampoco en la primera gran codificacin y sistematizacin de la teora de los nmeros a principios del siglo XIX encontramos un lugar especial para UTF. Me refiero al monumental Disquisitiones Arithmeticae publicado en 1801 por Gauss. Este libro, cuya influencia puede compararse solamente a la de los Elementos de Euclides, present por primera vez, de una manera sistemtica y comprehensiva, una cantidad enorme de resultados que hasta entones se vean como una coleccin de problemas separados y de tcnicas diversas. El libro del Gauss esencialmente estableci el campo de la teora de nmeros tal y como sera conocida y practicada en el siglo XIX, especialmente en Alemania. Es por eso natural que cualquier relato de la historia del UTF plantee la pregunta: cul fue la actitud de Gauss hacia el problema? En una carta publicada pstumamente en 1863, Gauss esboz una posible prueba de UTF para el caso n = 5, notando que su mtodo no sera aplicable en el caso n = 7 [Gauss Werke, Vol. 2, 390-391]. Pero su posicin con respecto al problema aparece claramente formulada en una carta de 1816 [Gauss Werke, Vol. 2, 629] a su amigo, el astrnomo alemn Heinrich Olbers (1758-1840):Confieso que el ltimo teorema de Fermat, como pregunta aislada, tiene un inters muy reducido para m, porque podra fcilmente imaginar muchas proposiciones matemticas de ese tipo, que uno no podra ni demostrar ni refutar.

Uno de los ejes principales alrededor del cual gira el contenido de las Disquisitiones es el problema de la reciprocidad cuadrtica, que para Gauss proporcionara un ejemplo clsico de lo que constituye un problema matemtico verdaderamente interesante (y, como vimos ya, Hilbert continuara considerndolo como tal un siglo ms adelante; diremos ms sobre este problema en lo que sigue). Gauss public durante su vida nada menos que siete demostraciones diversas del teorema de la reciprocidad cuadrtica. Haba una razn importante para ocuparse tanto con un mismo problema, especialmente despus de solucionarlo satisfactoriamente. En cada una de las siete pruebas, Gauss esperaba encontrar una va que le permitiera generalizarla al problema de la reciprocidad superior es decir, para potencias n mayores de dos, y, de hecho, l mismo solucion con xito el problema para los casos n = 3 y n = 4.11

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Para un breve sumario con referencias, ver [Corry 2003, 81-85]. - 24 -

Particularmente importante como parte de sus esfuerzos relativos al problema de la reciprocidad fue la introduccin y el estudio de una nueva clase de nmeros, los as llamados "enteros gaussianos", a saber, nmeros de la forma a + ib, donde i representa como de costumbre la raz cuadrada de 1, mientras que a, b son nmeros enteros cualesquiera. Los nmeros enteros gaussianos son un subconjunto de los nmeros complejos, y constituyen de hecho un anillo, puesto que la suma y el producto de cualesquiera dos nmeros enteros gaussianos producen otra vez un nmero entero gaussiano. As pues, en muchos respectos, los nmeros enteros gaussianos se comportan como nmeros enteros estndar. Al introducir esta idea como herramienta para investigar el problema de la reciprocidad, Gauss se pregunt hasta qu punto podra extenderse la analoga entre los nmeros enteros estndar y los gaussianos. La idea de obtener informacin significativa sobre nmeros enteros por medio de dominios que incluyen ciertos nmeros complejos fue introducida por Euler, precisamente al investigar cuestiones del tipo mencionado arriba, pero fue Gauss quien la sistematiz y la hizo conocida extensamente entre los matemticos. Intentos adicionales de generalizar esta idea vendran a desempear un papel importante en la historia de la teora de nmeros y en particular de UTF, como veremos a continuacin. En su carta a Olbers, Gauss manifest su clara opinin que el desarrollo correcto de su teora de enteros gaussianos y sus posibles generalizaciones conducira a descubrimientos importantes, entre los cuales UTF aparecera solamente como un corolario, y de hecho uno de los menos interesantes de tal teora. Gauss se conecta a la historia de UTF a travs de una figura verdaderamente notable que aparece al final del siglo XVIII, la ya mencionada Sophie Germain. La correspondencia entre los dos es de gran inters y entre otras cosas Germain mencion en ella sus ideas relativas a UTF. Pero la gran mayora de las ideas discutidas entre ellos tiene que ver solamente con los dos grandes tipos de problemas que Gauss discute en Disquisitiones, a saber, el problema de reciprocidad y el problema de las formas cuadrticas y de grados mayores. Gauss, que particip en esta correspondencia con gran dedicacin y hasta admiracin por Germain, nunca se refiri a UTF, ni siquiera para comentar lo que Germain le haba escrito.12

12

La correspondencia se public en [Boncompagni 1880]. Vase tambin [del Centina]. - 25 -

La contribucin de Germain a la solucin de UTF signific un avance decisivo, al probar un teorema realmente importante que desde entonces lleva su nombre: si n y 2n+1 son dos nmeros primos (como 5 y 11), y si tres nmeros enteros x, y, z satisface la frmula xn + yn = zn, entonces uno de los tres nmeros x, y, z es divisible por n. La consecuencia inmediata ms importante de este teorema es que UTF puede ahora ser dividido en dos casos separados, a saber: Caso I no existen tres enteros x, y, z que satisfacen xn + yn = zn, y tales que ninguno de ellos es divisible por n; Case II no existen tres enteros x, y, z que satisfacen xn + yn = zn, y tales que uno, y slo uno de ellos, es divisible por n. Esta separacin en dos casos, que contina siendo asociada con el teorema y sus demostraciones hasta el da de hoy, se tradujo en considerable progreso hacia la demostracin general. De hecho, Germain misma prob la validez del caso I del teorema para toda potencia n menor que 100, y Legendre ampli su prueba a toda potencia n menor de 197. El caso II result ser mucho ms difcil. Para n = 5, el caso II fue demostrado solamente en 1825 en dos trabajos complementarios de Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Dirichlet tambin prob en 1832 el caso II para n = 14, y esto lo hizo mientras que intentaba hallar la prueba para n = 7. Este ltimo caso result ser especialmente difcil, y finalmente fue demostrado en 1839 por Gabriel Lam (1795-1870).13 Estamos ahora ms de doscientos aos despus de la observacin marginal de Fermat, y todo lo que tenemos es una coleccin de resultados dispersos, as como algunas nuevas tcnicas, no todas desarrolladas especficamente para solucionar el problema. El teorema de Sophie Germain es un resultado matemtico respetable e interesante, directamente motivado por UTF, cuyas consecuencias significativas comienzan a clarificarse gradualmente. Ninguno de los matemticos que han contribuido, incluyendo a Germain, estaban de ningn modo cerca de haber dedicado sus esfuerzos tan slo a UTF. Al mismo tiempo, algunos matemticos comienzan a entender que el13

Explicaciones sobre los teoremas y demostraciones mencionadas en este prrafo aparecen, junto con referencias detalladas a la literatura original, en [Edwards 1977, 59-75]. - 26 -

problema puede ofrecer un inters matemtico especial, despus de todo, si no se ha solucionado hasta ahora. A principios de los aos 1820 la Academia francesa en Pars ofreci uno de sus premios a quien encontrara la demostracin [Legendre 1823, 2], pero UTF fue incluido en el Gran Premio de la Academia solamente en 1857. La prueba de Lam para n = 7 era compleja, y fue quizs la primera que incluy el desarrollo de una nueva tcnica dedicada especficamente a solucionar el problema. El mismo Lam estuvo involucrado en el episodio matemtico ms importante relacionado directamente con UTF, que tuvo lugar en Pars en 1847, y que merece ahora una discusin ms amplia. Nos encontramos ahora con el primer caso de un grupo de matemticos prominentes que dedican discusiones serias, especficamente enfocadas en el intento de probar la conjetura. El grupo, reunido en la Academia de Pars, inclua estrellas tales como Augustin Louis Cauchy (1789-1857) y Joseph Liouville (1809-1882). Sin embargo, para definir la situacin correctamente uno debe tener constantemente presente que mientras discutan UTF en la Academia y trataban nuevas vas para resolverlo, estos matemticos dedicaban simultneamente sus esfuerzos a varios problemas en otros campos. En marzo, Lam present a sus colegas lo que l vea como una va posible de solucionar el caso general de UTF. Lam utiliz una idea sugerida originalmente por Liouville, que involucraba la factorizacin de una suma de nmeros enteros en factores complejos de cierto tipo, como sigue: xn + yn = (x + y) (x + ry) (x + r2y) (x + rn-1y) Aqu n es un nmero natural impar, y r es un nmero complejo llamado una raz de la unidad, a saber, un nmero que satisface la condicin: rn = 1 con r 1. Partiendo de esta factorizacin, Lam aplicara un argumento basado en el mtodo del descenso infinito, conduciendo as a una contradiccin. As, combinando de una manera muy ingeniosa ideas de varios matemticos como Fermat mismo, Gauss, y Liouville, crea Lam haber solucionado el problema. Desde un principio surgieron dudas sobre la validez del argumento de Lam, y Liouville mismo estaba entre los que manifestaron tales dudas. Se desarrollaron discusiones muy interesantes, a veces cargadas de tonos personales. Por una parte, se discuta la pregunta quin haba sido el primero en introducir la idea decisiva para la prueba. Por otra parte, haba un punto tcnico bastante delicado, a saber, si el lado

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derecho de la ecuacin antedicha satisface la condicin muy importante de la unicidad (o sea, si la suma de la izquierda admite otra factorizacin diferente de sta), que es una propiedad bsica del caso de los nmeros enteros estndar, y que Gauss haba probado tambin para el caso de los enteros gaussianos. En mayo llegaron noticias decepcionantes en una carta leda por Liouville y enviada desde Alemania por Kummer. En 1844 ste haba publicado un artculo, que estaba enviando ahora, que invalidaba retrospectivamente la demostracin de Lam a pesar de la idea brillante que aquella usaba. El artculo de Kummer demostraba directamente que la factorizacin que empleada no era nica, como Lam asuma tcitamente.14 Kummer tambin les informaba que haba desarrollado una teora de nmeros complejos ideales destinada a restaurar un tipo de factorizacin nica en dominios como aquellos en que l haba notado que tal unicidad puede fallar. La teora lo haba llevado a identificar cierto tipo de enteros primos, que el llam regulares, y que tienen una relevancia directa al problema de UTF. Kummer prob, de hecho, que UTF es vlido para todos los primos regulares. Posteriormente encontr un criterio operacional para identificar si un primo dado es irregular, usando los llamados nmeros de Bernoulli. Calculando directamente en cada uno de los primos menores de 100, encontr que los nicos de entre stos que no son regulares son 37, 59, y 67. Para ellos, Kummer encontr demostraciones separadas y de esta manera alcanz el impresionante resultado de que UTF es vlido para todos los exponentes hasta 100 [Kummer 1857].15 Las brillantes ideas introducidas por Kummer abran una clara va de investigacin que en principio poda ser seguida por cualquier matemtico que quisiera continuar con la investigacin de UTF. Lo que se necesitaba era buscar dentro de la secuencia de nmeros primos aquellos que no sean regulares, y para ellos el teorema se debera probar por separado. Era claro que esto requerira un gran trabajo de clculo, pero no parecera haber obstculos de principio. Y sin embargo, el hecho histrico es que este camino nunca fue tomado seriamente, a excepcin de algunos pocos matemticos como veremos ms adelante.

14 15

Para detalles ver [Edwards 1977, 76-151].

Su demostracin contena algunos problemas que fueron corregidos posteriormente por varios matemticos, culminando en [Vandiver 1926]. - 28 -

Esto no quiere decir que las ideas de Kummer no tuvieran resonancia alguna. Por el contrario, ellas sirvieron de punto de partida que llev al desarrollo de teoras matemticas de enorme importancia, pero sin relacin alguna con UTF. A travs de los esfuerzos de matemticos como Richard Dedekind (1831-1916) y Leopold Kronecker (1823-1891), la elaboracin de ideas inherentes en la teora de los nmeros complejos ideales llev a una redefinicin total de la manera en que el fenmeno de factorizacin deba ser investigado, y de hecho tambin la manera en que el concepto de entero deba ser definido. La teora algebraica de nmeros surgi de los trabajos de Dedekind y de Kronecker al sistematizar la teora de Kummer, y eventualmente, especialmente bajo influencia del enfoque de Dedekind, dio lugar a lo que se conocer como "lgebra conmutativa", de impacto penetrante en las matemticas del siglo XX.16 Es por eso que se ha dicho repetidamente (y tambin Hilbert lo sugiri en su discurso de 1900) que UTF jug un papel crucial en la historia de las matemticas, ya que, en sus esfuerzos relacionados con este problema, Kummer desarroll ideas centrales para el desarrollo de la teora de nmeros y el lgebra conmutativa modernos.17 Sin embargo, tampoco este momento especfico de gloria puede atribursele a UTF sin reservas considerables, como veremos a continuacin. En su carta a Liouville en 1847, Kummer aclar que la demostracin de UTF lo haba ya ocupado por un tiempo. En otras ocasiones, sin embargo, explic claramente su opinin de que UTF era una curiosidad en teora de nmeros, ms bien que un asunto importante. Como Gauss, tambin Kummer pensaba que el problema de reciprocidad superior era la tarea central y el pinculo del logro en la investigacin en teora de nmeros. Realiz una investigacin importante en este campo, siguiendo los pasos de Carl Gustav Jacobi (1804-1851), y hasta la notacin que us en su trabajo sobre los complejos ideales era una continuacin de la de Jacobi. Solamente tras muchos esfuerzos, y despus de haber realizando largos y complejos clculos con dominios generales de nmeros que generalizaban la idea de los enteros gaussianos, con el fin de entender ms a fondo el problema de la reciprocidad superior, fue que Kummer

16 17

Ver [Corry 2003, Ch. 2].

Esta opinin, repetidamente citada, se di a conocer por primera vez a travs de [Hensel 1910]. - 29 -

entendi que la suposicin tcita de la factorizacin nica podra fallar.18 Solamente en 1847 Kummer aplic su teora de nmeros primos ideales a UTF, y la interesante demostracin del teorema para primos regulares no apareci antes de 1858. En esa oportunidad Kummer recibi el gran premio de la Academia francesa. En esos mismos aos Kummer public muchos trabajos importantes sobre el problema de la reciprocidad superior. Este ltimo, y no UTF, haba sido obviamente la principal motivacin que condujo a la introduccin de su teora de nmeros primeros ideales.19

La Teora de Nmeros deja de lado a UTF Despus de Kummer, pocos matemticos aadieron contribuciones a la investigacin de UTF. Los libros de texto en teora de nmeros escritos despus de 1860 dedican generalmente alguna seccin a UTF, tpicamente con algn mensaje didctico en mente. Pero en textos orientados a la investigacin, el problema apenas es mencionado. En este sentido es interesante considerar la ms importante compilacin y presentacin sistemtica de la teora de finales de siglo, el Zahlbericht de David Hilbert. Comisionado inicialmente por la Asociacin de Matemticos Alemanes (DMV) como un informe comprehensivo sobre el estado actual en la disciplina, Hilbert resumi en 1896 el trabajo de sus precursores pero tambin agreg muchos nuevos resultados y sofistic tcnicas, abriendo de hecho nuevas avenidas para la investigacin que muchos seguiran en las dcadas por venir. El papel desempeado a fines del siglo XIX en teora de nmeros por este importante texto es muy similar al jugado por Disquisitiones cien aos antes. En muchos sentidos, la historia de la teora de nmeros algebraicos en el siglo XIX es lo sucedido entre el libro de Gauss y el de Hilbert. Y exactamente como en el primero, el problema de la reciprocidad sigue teniendo aqu un papel central, mientras que UTF recibe mnima atencin: solamente en la ltima seccin del libro, cinco pginas discuten una demostracin de UTF para primos regulares. Hilbert usaba aqu ideas de un artculo publicado en 1894, donde haba corregido un error de Kummer, quien pens haber demostrado la imposibilidad

18 19

edwards

Este punto de vista sobre el trabajo de Kummer y sus motivaciones ha sido desarrollado en detalle y propiamente dcoumentado por Harold Edwards, especialmente en [Edwards 1977] y [Edwards 1977a]. - 30 -

de xn + yn = zn para enteros ciclotmicos (y no slo para enteros racionales). La prueba de Hilbert, como gran parte del Zahlbericht, reformulaba las ideas de Kummer en trminos de los conceptos y las tcnicas introducidos por Dedekind en su teora de los campos de nmeros algbricos. Qu hicieron en relacin con UTF los matemticos que se dedicaron a este campo de investigacin? Dedekind y Kronecker dedicaron poco o nada de esfuerzo a este problema. Dirichlet, como ya vimos, contribuy con una importante demostracin para n = 14. Antes de ellos, los dos matemticos con contribuciones ms importantes a la teora de la reciprocidad superior fueron Jacobi y Gothold Eisenstein (18231852), ninguno de los cuales dedic atencin alguna a UTF. Entre los investigadores destacados de la teora de nmeros a fines del siglo XIX o principios del XX la gran mayora ni contribuyeron a UTF ni mostraron inters en el problema, como por ejemplo sucede con Hermann Minkowski (1864-1909), Alexander Ostrowski (18931986), Emil Artin (1898-1962), y Carl Ludwig Siegel (1896-1981). Hemos mencionado el premio establecido por Wolfskehl en 1908. Es bien sabido que este premio impuls a cientos de aficionados a enviar a Gttingen sus supuestas respuestas, que obviamente poco tenan que ofrecer en trminos de contribucin matemtica significativa. Lo que es realmente curioso es que el premio parece haber tentado tambin a algunos matemticos destacados que de otra manera no demostraron ningn inters especial por este problema y ahora decidieron probar sus fuerzas. Tal es el caso de Erich Hecke (1887-1947), Philip Furtwngler (1869-1940), y Felix Bernstein (1878-1956) cuyos trabajos fueron comunicados por Hilbert mismo a la Academia de Ciencias de Gttingen [Hecke 1910, Furtwngler 1910, Bernstein 1910, 1910]. Bernstein, por ejemplo, jams publicara trabajo alguno en teora de nmeros antes o despus de esto. Furtwngler, por su parte, aclaraba en un nota al pi de pgina que a pesar de que el estado actual de su investigacin no lo satisfaca an plenamente, el reciente despertar del inters en el problema causado por el anuncio del premio lo llev a publicar ahora sus resultados. Otra fuente importante para juzgar el valor acordado a UTF se encuentra en la Historia de la Teora de Nmeros publicada entre 1919 y 1923 por Leonard Eugene Dickson (1875-1954). De las casi ochocientas pginas y treinta siete captulos que componen este libro en tres volmenes, Dickson dedic un captulo de cuarenta y cinco pginas para anotar todos los trabajos que de una forma u otra pueden - 31 -

considerase contribuciones a UTF. La lista incluye unas 240 entradas despus de los trabajos de Kummer. La gran mayora son artculos muy cortos (de una a tres pginas) y matemticamente poco importantes. Entre ellos hay muchos que mejoran marginalmente algn resultado anterior, o que incluyen algn tipo de sumario de lo hecho con anterioridad. Dickson pronunci claramente su opinin con respecto a UTF: est desprovisto de toda importancia especial intrnseca, y si una demostracin completa llega a publicarse perder para siempre su fuente principal de atraccin. La mayora de los matemticos mencionados por Dickson en relacin con UTF estn lejos de ser prominentes. Por otra parte, matemticos renombrados que se mencionan en la lista aparecen con trabajos de importancia menor, y de hecho marginales. Un caso interesante es el de Ferdinand Lindemann (1852-1939), quien fue consejero doctoral de Hilbert, y se convirti en un matemtico muy famoso y bien conectado despus de la publicacin, en 1882, de su demostracin de la trascendencia de . Despus de haber publicado este trabajo tan importante, Lindemann nunca public algo digno de mencin. Sin embargo, un lugar en donde prob sus fuerzas fue precisamente UTF, sobre el cual public cuatro intentos entre 1901 y 1909, todos ellos fallidos y a veces de modo trivial. Entre los matemticos mencionados por Dickson, aquellos cuyas contribuciones se consideraban realmente significativas como avance en la demostracin general de UTF despus de Kummer fueron Dimitry Mirimanoff (1861-1945) y Arthur Wieferich (1884-1954). Incluso en el caso de estos dos matemticos, sus trabajos sobre UTF deben verse en el contexto apropiado. Wieferich public tan solo nueve artculos en su vida. Tratan todo tipo de problemas numricos, y de ellos cuatro pueden considerarse de importancia. Slo uno de ellos trata de UTF [Wieferich 1909]. Mirimanoff, por su parte, fue un matemtico verstil con importantes contribuciones a la teora de conjuntos, las probabilidades y la teora de nmeros. De unos 60 trabajos publicados, unos doce se relacionan de alguna manera con UTF y de ellos unos seis contienen contribuciones significativas. En uno de ellos, [Mirimanoff 1904], l indicaba con cierto asombro que algunos de los criterios importantes que ya Kummer haba desarrollado en el Caso I de UTF hubieran recibido tan poca atencin y que su importancia no se hubiera apreciado debidamente. De hecho, un solo artculo escrito entre 1857 y 1904 [Cellrier 1894-97]

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haba enfocado la pregunta que ahora Mirimanoff trataba, y eso sin llevar a ningn resultado digno de mencin.20

UTF en el siglo XX: la ruta a Wiles y otras rutas olvidadas En la primera mitad del siglo XX podemos reconocer algunos esfuerzos adicionales para demostrar UTF. La gran mayora de ellos tuvo poco que ver con el tren de ideas que eventualmente condujo a la prueba de Wiles. Muchas narrativas populares recientes sobre UTF, publicadas despus de la demostracin de Wiles, dejan en el olvido todos aquellos trabajos que no llevaron directamente a ella.21 As como Singh encontr la manera de introducir a Galois en su narrativa, a pesar de tener poca o ninguna conexin con la historia de UTF, as tambin todos los matemticos involucrados en esfuerzos interesantes de solucionar UTF por vas diferentes a las que llegaran a Wiles ni siquiera se mencionan en su libro. En esta seccin quisiera describir muy brevemente la va que condujo a la demostracin de Wiles y junto con eso, algunos de los trabajos que se hicieron en el siglo XX siguiendo la va abierta por Kummer a mediados del XIX. La prueba de Andrew Wiles es de hecho una demostracin de un caso importante de TSW, la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil (el caso llamado "semi-estable"). El contexto matemtico en donde la conjetura apareci y fue investigada inicialmente en los aos de 1950 no tena nexo alguno con UTF. La primera indicacin de un nexo posible se deriv de una conjetura de Gunther Frey en 1985, que sugiri que la validez de UTF podra deducirse de la validez de TSW. En 1985, Kenneth Ribet prob definitivamente que el UTF es de hecho consecuencia directa de TSW. En este punto la prueba de UTF pareca estar realmente por primera vez al alcance de la mano, a travs de una tarea claramente definible, aunque posiblemente difcil: probar TSW. En toda la historia de UTF, el episodio que involucra a Wiles es sin duda el que ms se acerca al tipo de drama que una narrativa como la de Singh han tratado de sugerir. La palabra obsesin tiene cierto sentido al hablar de Wiles y UTF, sobre todo en los20 21

Sobre Mirimanoff y sus trabajos, ver [Vandiver 1952].

Adems del libro de Singh, podemos mencionar en este contexto [Vos Savant 1993] y [Aczel 1996]. - 33 -

ocho aos de reclusin autoimpuesta. El drama lleg a su clmax en la famosa charla de Wiles en Cambridge en 1993 donde present sus resultados, y el error encontrado seguidamente que oblig a Wiles a dedicar otros ocho meses antes de poder lograr, en colaboracin con Richard Taylor, la conclusin final de su prueba. El inters de Wiles por UTF empez, segn su testimonio, en la niez, al haber ledo el libro de E.T. Bell, El ltimo problema. Este libro, junto con el ms conocido Men of Mathematics, son los dos ejemplos ms conocidos de trabajos de popularizacin de matemticas en los cuales la sobredramatizacin y la repeticin de leyendas muchas veces infundadas funcionan como estrategia narrativa central. Pero es este enfoque precisamente el que caus esa gran impresin en muchos jvenes lectores, y llev a algunos de ellos a ampliar sus conocimientos y a veces hasta seguir una carrera cientfica. Este fue sin duda el caso de Wiles.22 Creo que no es muy arriesgado conjeturar que si el joven Wiles hubiera ledo una narrativa histrica como la que he presentado aqu con todos los mritos historiogrficos que espero que tenga es muy baja la probabilidad de que esto lo hubiera movido a pensar que UTF era un problema que merece atencin y dedicacin, y mucho menos que lo hubiera impulsado a seguir una carrera profesional como matemtico con la esperanza de llegar l mismo a resolverlo. El libro de Bell logr esto y con creces. Sea como sea, al convertirse en matemtico profesional, Wiles entendi que los mtodos existentes para atacar UTF haban sido esencialmente agotados. Dedicarse de lleno a buscar la solucin de UTF no pareca una decisin razonable para quien quera desarrollar ahora una carrera matemtica. Sin perder sus conexiones emocionales con el problema, Wiles efectivamente desarroll una carrera distinguida trabajando en otros campos, y entre ellos la teora de las curvas elpticas. Pero al enterarse en 1986 de la demostracin de Ribet, su viejo inters se despert nuevamente y Wiles decidi ahora dedicarse de lleno a la prueba, que eventualmente lleg a completar como es bien sabido.

Y qu podemos decir de las vas alternativas exploradas en el siglo XX? Quien quisiera averiguar el estado de la investigacin sobre UTF a fines de los aos 1970

22

Este relato, frecuentemente repetido, ha sido confirmado por Wiles mismo. - 34 -

poda leer una de varias descripciones detalladas escritas por expertos en la materia en forma de libros o artculos profesionales (por ejemplo [Edwards 1977, Ribenboim 1980]). El lector no encontrara en ellas ninguno de los nombres que se asociaron finalmente con UTF, como Wiles, Taniyama o Shimura. Por el contrario, encontrara muchos nombres que no haban aparecido an en 1918 en el libro de Dickson, o que apenas se mencionaron. Para entender los (pocos) esfuerzos dirigidos al problema en el siglo XX es necesario mencionar algunos aspectos del desarrollo de la teora de nmeros en general. Segn lo indicado ya, el desarrollo ms importante derivado del trabajo de Kummer sobre nmeros primeros ideales fue la creacin de la teora de los campos de nmeros algbricos a manos de Kronecker y de Dedekind. Estos dos matemticos dieron un mpetu enorme a una nueva disciplina matemtica, mientras que complementaban mutuamente los teoremas, las pruebas y las tcnicas que cada uno de ellos elabor. Sin embargo, ellos representaban dos enfoques muy diferentes, y en un cierto sentido opuestos, respecto a la esencia misma de la prctica matemtica. Kronecker represent lo que se puede llamar un enfoque ms "algortmico", mientras que Dedekind era el representante ms puro del enfoque "conceptual". Esto no significa que Kronecker no introdujo ningn nuevo concepto del cual poda derivar nuevos resultados, o que uno no encuentre ningn clculo en los trabajos de Dedekind. Lo que quiere decir es que el foco principal del inters de los dos era esencialmente diferente. En la teora de Kronecker, el nfasis est en los clculos especficos realizados en casos individuales de los sistemas numricos a investigar. En el enfoque de Dedekind, la tarea principal es encontrar la formulacin abstracta ms general y adecuada que subsuma la situacin investigada, para poder derivar resultados generales como parte de teoras sistemticamente elaboradas, evitando al mismo tiempo, donde sea posible, los clculos o el anlisis de casos especficos en detalle, an los ms importantes entre ellos. El nfasis conceptual o estructural incorporado al trabajo de Dedekind, en contraste con el ms algortmico de Kronecker, pronto se convirti en dominante en la teora de nmeros algebraicos, y se difundi eventualmente a toda el lgebra y a muchos otros dominios matemticos, para convertirse de hecho en la corriente principal, caracterstica de la disciplina entera de las matemticas a lo largo del siglo XX. En este contexto, la influencia enorme del Zahlbericht fue quizs el factor - 35 -

decisivo en lo que a la teora de los nmeros concierne, puesto que al combinar los logros de Kronecker y de Dedekind, dio una precedencia definida al enfoque de este ltimo. Hilbert declar explcitamente que haba hecho todo esfuerzo posible para evitar la elaborada maquinaria de cmputo de Kummer, y por seguir el principio de Riemann segn el cual una prueba tiene que ser alcanzada no por clculos, sino ms bien por ideas puras donde esto sea posible [Hilbert 1897, 180]. Tambin su amigo Minkowski, no menos prominente que Hilbert en la teora de nmeros, sigui sistemticamente en sus trabajos un principio similar, que l denomin el otro principio de Dirichlet, a saber, la idea que en matemticas los grandes problemas deben solucionarse con un mnimo de clculos ciegos y con un mximo de pensamiento planeado de antemano [Minkowski 1905, 162-163]. No deberamos sorprendernos, entonces, de que la va de Kummer, basada como estaba en el clculo puro (alguno dira clculo ciego), no fuera seguida por muchos matemticos despus de 1860. Y por el contrario, entre quienes s siguieron los pasos del enfoque abierto por Kummer, es interesante notar que las contribuciones significantes publicadas en la primera mitad del siglo XX vinieron de matemticos algo alejados de la corriente central. El primero de ellos es un matemtico dans bastante desconocido llamado Kaj Lchte Jensen (confundido a menudo con Johan Ludvig Jensen), de quien sabemos apenas que era alumno de Niels Nielsen (18651931). An en el curso de sus estudios (que aparentemente no complet por razones de salud mental), Jensen demostr en 1915 que existen infinitos primos no-regulares (en realidad demostr que hay infinitos primos no-regulares de la forma 4k + 3) [Jensen 1915, 82].23 El artculo de Jensen nos proporciona una perspectiva adecuada sobre el tipo y la intensidad de la atencin prestada por matemticos trabajando en teora de nmeros a esta parte de los resultados derivados de los trabajos de Kummer. Kummer asumi inicialmente que al demostrar UTF para los primos regulares estaba probando el teorema para un nmero infinitos de casos. Aunque existen argumentos heursticos que hacen tal suposicin plausible, y el mismo Kummer conoca uno de ellos, un

Agradezco a Jesper Ltzen y Christian U. Jensen en Copenhagen por haberme proprocionado alguna informacin (no documentada, desafortunadamente) sobre Jensen. La informacin proviene de Thger Bang quien presumiblemente la escuch de Harald Bohr. - 36 -

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