TEOREMA DE WILSON Y PEQUEÑO DE FERMAT
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TEOREMA DE WILSON Y
PEQUEÑO TEOREMA DE
FERMAT
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NACEN A RAÌZ DEL ORIGEN DE
LA TEORÌA DE NÙMEROS Y
LA DIVISIBILIDAD DE LOS NÙMEROS ENTEROS
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Teorema de WilsonSi p es primo, entonces ( p-1)!≡-1 (mod p) El recíproco también es cierto
Prueba:Cuando
el teorema es verdadero para p=2
Ahora, sea
;
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Los únicos números enteros positivos menores que p
son sus propias inversas 1 y p-1 podemos agrupar los enteros de de cada par congruente a 1 (mod p)
multiplicando ambos lados de la congruencia por 1 y p-1 para obtener:
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El inverso del teorema de Wilson también es cierto
Teorema Si n
Prueba:PruebaSi n Si n es compuesto
Puesto que a<n ; a
Porque a es uno de los n-1 números multiplicados juntos para formar (n-1)!
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observemosComo (n-1)!= -1 ( mod n)Luego a también divide a (n-1)! y (n-1)!+1((n-1)!+1)-(n-1)!=1
Siendo una obvia contradicción, ya que a>1
Desafortunadamente es un test impracticable, porque n-1 multiplicaciones módulo n son necesarias para encontrar (n-1)!, se requiere 0h(log2n)z) operaciones de bits.
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Ejemplos TEOREMA WILSON
Encontrar el menor residuo entero positivo de 8-9-10 módulo 7
8
2.-Sea p =7, aplicando el teorema:
Reorganizando los factores y agrupando pares de inversos módulo 7:
Luego
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El siguiente teorema es de gran importancia para congruencias que implican exponentes :
PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
Si p es primo y a es un entero positivo con p aꭗentonces
Esto quiere decir : si se eleva un número “a” a la p ésima potencia y
al resultado se le resta “a”, lo que queda es divisible por p.
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PRUEBA - FERMAT
Considere p-1 enteros a,2a,…,(p-1)a
Ninguno de estos enteros son divisibles por p, pero si p ǀ ja, entonces p ǀ j, ya que p aꭗ
Esto es imposible porque 1
Además no hay dos enteros a,2a,…,(p-1)a que sean congruentes con módulo p
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observemos Si
Puesto que los números enteros a,2a,…,(p-1)a son un conjunto de (p-1) enteros todos incongruentes a cero y no hay dos congruentes módulo p
Sabemos que los residuos positivos de a,2a,…,(p-1)a, tomados en algún orden, deben ser los enteros 1,2,…,p-1
Luego, el producto a,2a,…,(p-1)a es congruente módulo p con el producto de la primera p-1 enteros positivos
Esto es imposible: j y k son enteros positivos menores que p-1
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Por lo tanto
Si
Obtenemos
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Ejemplos PEQUEÑO TEOREMA FERMAT
Demuestra que
Aplicando Teorema Fermat : =(mòd 11
Descomponemos = (= mòd 11
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-23448 8Luego = ( ( mòd13
Descomponemos = mòd 13 mòd 13
9 mòd 13
Encontrar el menor resto entero positivo que resulta de dividir por 13
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ESO ES TODO CONSULTAS ….al celular: