REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MATURÍN

Autor: Carmen López

El origen de la Teoría de Colas corresponde a Agner Kraup Erlang

(Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de

tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de

servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus

investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de

colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta

de valor en negocios debido a que un gran número de problemas

pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-

salida.

• Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:

● En un banco ● En un supermercado ● En una estación de Gasolina● En un peaje, etc..

También se producen esperas en las fabricas. Los lotes de producción aguardan en hileras

para que trabajen en ellas diferentes maquinas e incluso las mismas maquinas deben

esperar para ser reparadas

IMPORTANCIA: proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Clientes: Término usado en un sistema de

colas para referirse a:

·Gente esperando líneas telefónicas

desocupadas.

·Máquinas que esperan ser reparadas.

· Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio:

Este término se usa para referirse a:

· Líneas telefónicas.

· Talleres de reparación.

· Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que

llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para

designar la capacidad de servicio, Ejemplo:

· Un sistema telefónico entre dos ciudades

puede manejar 90 llamadas

por minuto.

Número de servidores de servicio:

Es la cantidad de servidores de que

disponemos:

· Número de conmutadores telefónicos.

· Número de puestos de reparación.

· Número de pistas de aterrizaje de un

aeropuerto.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos

matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de

colas.

Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre los costos del sistema y

los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con

la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes

prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se

formen, el tiempo de espera promedio.

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del

sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas

de costes y las cualitativas de servicio.

Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

UNA LÍNEA Y UN SERVIDOR

Primer sistema: se llama un sistema de un servidor y una cola.

Segundo sistema: una línea con múltiples

servidores.

Tercer sistema: aquél en que cada servidor tiene una línea de separación.

Cuarto sistema: es una línea con servidores en serie. Este modelo puede aplicarse a trabajos ordenador que esperan tiempo de procesador.

• Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:● La cola● La instalación del servicio

• Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio

• Los clientes o llegadas pueden ser:● Personas● Automóviles● Máquinas que requieren reparación● Documentos● Entre muchos otros tipos de artículos

• Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio, si no, se une a la cola

Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio

• Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de

la cola, generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido,

pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades

Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalación del servicio

Disciplinade la cola

Salidas

A / B / s (en un modelo sencillo)

Donde A representa la distribución de la llegada (generalmente del tiempo entre

llegadas); B la distribución del tiempo de servicio y s el número de servidores.

Además, convencionalmente se utiliza: M para la distribución exponencial, G

para una distribución arbitraria en los tiempos de servicio, GI para una distribución

arbitraria en los tiempos de llegada y D para un número Determinístico.

Por ejemplo: M / M / 2 significa un sistema de colas con tiempo entre llegadas

exponencial, tiempo de servicio exponencial y dos servidores

Población de clientes: conjunto de clientes posibles.

Proceso de llegada: la forma en que llegan los clientes de esa población.

Proceso de colas: la manera que los clientes esperan para ser atendidos.

Disciplina de colas: la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.

Proceso de servicios: la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente.

Proceso de salida: que son de los siguientes dos tipos:

h. Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos,

lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso.

k. Los productos, que son procesados en una estación de

trabajo, son trasladados a alguna otra parte para

someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene

como resultado una red de colas.

Tipos de población:

– Finita: λ k disminuye al aumentar k

– Infinita:λ k permanece constante al aumentar k

1.- POBLACIÓN DE CLIENTES

Ejemplos de tipos de población:

– Finita: Sistema con 10 componentes y un servicio de reparación. Cada vez que un componente falla y va al servicio de reparación, la tasa λ k disminuye en un10%

– Infinita: Acceso a un servidor de Internet. La población serían los potenciales millones de personas que pueden conectarse al servidor. Aunque alguno de ellos se conecte, la tasa λ k permanece constante.

Tamaño:

* Individuales•En grupo: distribución del tamaño del grupo

Distribución del tiempo entre llegadas: es el que transcurre entre

dos llegadas consecutivas de clientes al sistema. Se considera que

son v.a. independientes con la misma distribución.

Modelos más usuales:

* Exponencial (notación M)

* Erlang

* Hiperexponencial

* General (notación G)

2.- LLEGADAS DE CLIENTES

2.- LLEGADAS DE CLIENTES

Exponencial(λ):

Propiedad de falta de memoria: la distribución

exponencial es la única distribución continua

que verifica:

Erlang(n, α) = Gamma(n, α) = Σ Ex(α)

Hiperexponencial:

Es una combinación lineal de distribuciones

exponenciales(αi) independientes

Sirve para modelizar situaciones en las que hay

distintos tipos de clientes con distintas tasas de

llegada y cada llegada es de tipo exponencial

2.- LLEGADAS A REDES ATM

Población: varios usuarios que envían mensajes a un

conmutador.

Para el cliente i-ésimo:

Tiempo sin enviar mensajes

Tiempo enviando mensajes (on): depende de la longitud del mensaje,

que se divide en paquetes de longitud fija. El número de celdas por

mensaje es (si es una red ATM sobre IP).

Cada celda tarda un tiempo constante en ser emitida.

2.- TRÁFICO EN INTERNET :

Distribución de Pareto

• Comparación de Exponencial y Pareto con la misma media (3):

3.- SERVICIO

Los tiempos de servicio de los clientes,

en cualquiera de los servidores, son

v.a. independientes, con la misma

distribución.

Las distribuciones más habituales son:

* Exponencial (μ) (Notación: M)

* Erlang(n, α)

* Constante (redes ATM)

* Pareto (c, α)

•General (Notación: G)

Servidores: Puede haber uno o varios servidores.Llamamos S al nº de servidores.

μK: Tasa de servicio cuando hay k clientes en el sistema = nº medio de clientes servidos en el sistema por unidad de tiempo.

μ : tasa de servicio de cada servidor = nº medio de clientes servidos en cada servidor por unidad de tiempo.

4.- COLA Capacidad :

finita : se pierden los clientes que al llegar

se encuentran la cola llena.

Infinita: se admiten todos los clientes.

Posibilidades:

-una cola para cada servidor

-una cola para varios servidores

-varias colas para un servidor

En este caso hay que indicar como elige el

servidor entre las distintas colas, por ejemplo

de la que tenga más clientes, al azar, con

probabilidades prefijadas.

Disciplina: Regla para elegir clientes de una

cola.

FIFO (o FCFS): se sirven por orden de

llegada

LIFO: se sirven por orden inverso de llegada

SPT: se sirven primero los que menor tiempo

de procesamiento necesiten.

RANDOM: se elige al azar entre los de la cola

ROUND ROBIN: se procesa una cantidad fija

de tiempo para cada cliente, y si no ha

terminado se devuelve a la cola.

PRIORIDADES: se sirve por orden de

prioridad, y

FIFO entre los de la misma prioridad

5.- PARÁMETROS DE RENDIMIENTO DEL SISTEMA

En un sistema de colas interesan estudiar, cuando menos, cuatro procesos

estocásticos:

L(t)= número de clientes en el sistema en el instante t

Lq(t)= número de clientes en la cola en el instante t

W(n)= tiempo de estancia del cliente n-ésimo en el sistema

Wq(n)= tiempo de espera del cliente n-ésimo en la cola

El proceso L(t) cuando los tiempos entre llegadas de clientes al sistema y

los tiempos de servicio son exponenciales es un

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE DE PARAMETRO CONTINUO

(marco teórico para el estudio de sistemas de colas).

El cálculo de las probabilidades de estado para estos procesos en el

periodo transitorio es complejo, por lo que nos centraremos en estudiar estos

procesos cuando el sistema alcanza el ESTADO ESTACIONARIO.

5.- PARÁMETROS DE RENDIMIENTO DEL SISTEMA

-Nº clientes en el sistema. L= nºmedio clientes en el sistema en estado estacionario.

-Nº clientes en cola. Lq= nº medio clientes en cola en estado estacionario.

-Tiempo total en el sistema. W= tiempo medio en el sistema en estado estacionario.

-Tiempo de espera en cola. Wq= tiempo medio en cola en estado estacionario.

-Probabilidad de pérdida de un cliente: P. Sólo se pierden clientes si la cola es

finita.

-Tasa de ocupación de cada servidor: ρ = proporción de tiempo que cada servidor

está ocupado.

Si hay un solo servidor: ρ = nº medio de llegadas x tiempo medio de servicio = λ/μ.

Si hay S servidores: ρ = λ/(Sμ).

En estado estacionario nos interesa estudiar alguna de las características de estos

procesos: medias, varianzas, percentiles:

c) Los costos totales del sistema de

servicio

La suma de los dos costos anteriores da una

función de costos totales del sistema en

función de la capacidad, que tendrá una forma

similar a la siguiente:

¿Por qué es necesario contar con herramientas de optimización para los problemas de Colas?

a) Los costos de espera de los clientes

Lo normal es pensar que estos costos de

espera decrecen conforme aumenta la

capacidad de servicio del sistema.

b) Los costos asociados a la capacidad de servicioEs también normal que el costo asociado a incrementar la capacidad de servicio crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad.

Normalmente existen dos tipos de costos:

Una fotocopiadora de la facultad atiende estudiantes que llevan artículos o notas a fotocopiar.

Los estudiantes son atendidos según alguna disciplina en la fotocopiadora.

Las siguientes son tablas que corresponden a la observación, en un día cualquiera, del trabajo

en la fotocopiadora:

Llegadas Servicios

Llegada Tiempo (min.) Duración (min.)

0 0 -

1 10 10

2 30 12

3 50 8

4 70 10

5 90 10

Explique todas las consideraciones necesarias para modelar esta cola según lo que conoce

hasta ahora. Dé recomendaciones al encargado de la fotocopiadora sobre la base de los

cómputos posibles

En este caso, la distribución de los tiempos de servicio se supone

desconocida (general), sin embargo, es necesario conocer al menos

su media (1/m) y su varianza (s2). Así:

Modelo M/G/1

En este caso, se supone que los clientes se forman en la fila y al llegar al final,

toman el primer servidor que esté disponible (de los s que existen).

Aquí, l < s m

Modelo M/M/s

Las ecuaciones M/M/s

M/M/sCuando se introducen factores de costo en un modelo de colas, se puede

pensar en la necesidad de “optimizar” la función de costos del sistema

(generalmente asociados con una cierta unidad de tiempo).

OPTIMIZACIÓN.

Se puede suponer que se cuenta con dos tipos de costos asociados a los

parámetros fundamentales del sistema:

Cs : Costo de disponer un servidor, por unidad de tiempo.

Cw : Costo, por unidad de tiempo, que representa una persona en el sistema.

En primer lugar, es necesario responder a la pregunta: ¿qué unidad de

tiempo se debe utilizar como referencia?. Para ello, se podría pensar en

utilizar la unidad en que se tengan los costos o trasladar éstos a la unidad en

que se computaron las ecuaciones del modelo, sin embargo, esta decisión

no es relevante, ya que los resultados del modelo de colas son

independientes de la unidad de tiempo escogida para el análisis

OPTIMIZACIÓN. La función objetivo

En vista de los costos propuestos, se podría pensar en la siguiente función

objetivo de la optimización

Costo Total (función de s)

Número de servidores Número de Clientes Esperados en el Sistema (función de s)

La función objetivo debe ser minimizada (¿?), entonces:

Sin embargo, en la mayoría de los casos, no existen métodos analíticos para responder a este problema, así que, puede procederse por métodos numéricos (o por pruebas sucesivas

OPTIMIZACIÓN. El Problema

min CT(s)s