CAP. 1O: BALANDE DE ENERGIA EN LA ENVOLTURA Y DISTRIBUCION DE TEMPERATURA EN SOLIDO Y EN FLUJO LAMINAR

10B.2 Calentamiento viscoso en flujo en una rendija. Encontrar el perfil de temperatura para el problema de calentamiento viscoso que se muestra en la figura 10.4-2, cuando se proporcionan las siguientes condiciones lmite: para ; para .

Solucin:

Las ecuaciones 10.4-5 y 10.4-6 son todava vlidas para este problema.

en la que k es la conductividad calorfica del fluido.

Las constantes de integracin y se determinan a partir de las condiciones lmite:

C.L.1:para x = 0

C.L.2:para x = bLuego reemplazando en la ecuacin 10.4-5 la segunda condicin lmite se tiene:

Y reemplazando la primera condicin lmite en la ecuacin 10.4-6, obtenemos:

Reemplazando las expresiones (1) y (2) por las constantes de integracin en 10.4-6

10B.18 Perfiles de temperatura en un reactor con densidad de flujo axial (figura 10B.18).

a) Demostrar que para una fuente de calor que depende linealmente de la temperatura, las ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 tienen las soluciones (para )

Aqu , donde. En la figura 10B.18 se muestran algunos perfiles calculados a partir de estas ecuaciones.b) Demostrar que, en el lmite cuando B tiende a infinito, la solucin anterior concuerda con la de las ecuaciones 10.5-21 a 10.5-23.c)

Efectuar comparaciones numricas de los resultados en la ecuacin 10.5-22 y la figura 10.B-18 para en y .d)

Suponer que la ecuacin 9.6-9 es vlida. Demostrar que los resultados en la figura 10.B-18 corresponden a un lecho catalizador de longitud L igual al dimetro de 4 partculas. Debido a que en reactores industriales la relacin rara vez es menor que 100, se concluye que una suposicin razonable en clculos de diseo en estado estacionario es despreciar Solucin:a) Las ecuaciones diferenciales en 10.5-6 a 10.5-8, y las condiciones lmite de 10.5-9 a 10.5-14 son todava vlidas, pero con forma lineal para la funcin F:

En el cual y son constantes que describen la dependencia lineal de la velocidad de reaccin de la temperatura.

Zona I:

Zona II:

Zona IIIAqu hemos supuesto que podemos usar el mismo valor de la conductividad trmica efectiva en las tres zonas. Estas tres ecuaciones diferenciales de segundo orden estn sujetas a las seis condiciones lmite siguientes:

C.L.1:en,

C.L.2:en,

C.L.3:en,

C.L.4:en,

C.L.5en,

C.L.6:en,

Las ecuaciones 10.5-10 a 10.5-13 expresan la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo de calor en los lmites entre las zonas. Las ecuaciones 10.5-9 y 10.5-14 especifican los requisitos en los dos extremos del sistema.La solucin se facilita introduciendo las siguientes variables adimensionales:

Ahora procedemos a adimensionalizar las ecuaciones diferenciales y las condiciones lmite:

De:

De:i) Reemplazando equivalencias en la ecuacin diferencial 10.5-6:

Multiplicando la ecuacin anterior por resulta:

ii) Reemplazando equivalencias en la ecuacin diferencial 10.5-7:

Multiplicando la ecuacin anterior por resulta:

iii) Reemplazando equivalencias en la ecuacin diferencial 10.5-8:

Multiplicando la ecuacin anterior por resulta:

C.L.1:en,

C.L.2:en,

C.L.3:en,

C.L.4:en,

C.L.5en,

C.L.6:en,Las soluciones de las ecuaciones diferenciales homogneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes, son:

Regin I: Ecuacin auxiliar:

Por tanto la solucin general es:

Regin II:

Ecuacin auxiliar: con a = B, b = BN

Luego la solucin general es:

Regin III:Anloga a la regin I.

en las que:

Aplicando la condicin lmite de la ecuacin 10.5-14, se obtiene ; por lo tanto, la temperatura en la zona III es constante. De la ecuacin 9.5-9 se deduce que es la unidad. Al aplicar las cuatro condiciones lmite restante se obtienen los siguientes resultados para el perfil de temperatura en las tres zonas (cuando ):

Regin I:

Regin II

Regin III:b) En preparacin para tomar el lmite de B va al infinito, en primer lugar los siguientes desarrollos en serie de Taylor

Importante es sealar que el valor lmite de para infinitono es cero, pero .Entonces, las expresiones limitantes para los perfiles de temperatura en las tres regiones son

estos resultados son consistentes con Eqs.10.5-21,22 y 25. Para obtener el segundo forma de ecuacin Ec. 10,5-22, tenemos que substituye e integrar.

10C.l Calentamiento de un alambre elctrico cuyas conductividades elctrica y trmica dependen de la temperatura. Encontrar la distribucin de temperatura en un alambre que se caliente elctricamente, cuando las conductividades elctrica y trmica varan con la temperatura corno sigue:

Aqu y son los valores de las conductividades a la temperatura , y es una elevacin adimensional de la temperatura. Los coeficientes y son constantes. Estos desarrollos en serie son tiles sobre intervalos de temperatura moderados. 1.

Debido al gradiente de temperatura en el alambre, la conductividad elctrica es una funcin de la posicin. , Por tanto, la densidad de la corriente tambin es una funcin de , y la fuente de calor el6ctrico tambin depende de la posicin: . Entonces, la ecuacin para la distribucin de temperatura es

Ahora, introducir las cantidades adimensionales y y demostrar entonces que la ecuacin 10C.l-3 se vuelve

Cuando en esta ecuacin se insertan las expresiones en desarrollo en serie de potencias para las conductividades, se obtiene

sta es la ecuacin que debe resolverse para la distribucin adimensional de temperatura.1.

Empezar observando que s todas las y las fuesen cero (es decir, que ambas conductividades fuesen constantes), entonces la ecuacin 10C.1-5 se simplificara a

Cuando esta ecuacin se resuelve con las condiciones lmite de que en , y en , se obtiene:

sta es la ecuacin 10.2-13 en notacin adimensional.

Ntese que la ecuacin 10C.1-5 tendr la solucin de la ecuacin 10C.1-7 para valores pequeos de ; es decir, para fuentes de calor dbiles. Para fuentes de calor ms poderosas, postular que la distribucin de temperatura puede expresarse como una serie de potencias en la intensidad adimensional de la fuente de calor:

Aqu las , son funciones de pero no de . Sustituir la ecuacin 10C.1-8 en la ecuacin 10C.1-5 e igualar los coeficientes de potencias semejantes de para obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para las , con Estas ecuaciones pueden resolverse con las condiciones lmite de que , en De esta manera, obtener

donde significa "trminos del orden de y superiores"1. Para los materiales descritos por la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz (vase S9.5) la razn es una constante (independiente de la temperatura). Por tanto,

Combinar esta ecuacin con las ecuaciones 10C.1-1 y 10C.1-2 para obtener

Igualar los coeficientes de potencias semejantes de la temperatura adimensional para obtener relaciones entre las y las :, , etc . Usar estas relaciones para obtener

Solucin:

Tenemos las cantidades adimensionales:

De:

De:Ahora reemplazando estas cantidades en la ecuacin diferencial 10C.1-3, tenemos:

La anterior ecuacin se transforma fcilmente en 10C.1-4, teniendo en cuenta que

El uso de las ecuaciones. 10C.1.-1 y 2 lleva directamente a la ecuacin. 10C.1-5

b. Cuando la ecuacin 10C.1-8 se sustituye en la ecuacin. 10C.1-5 obtenemos

En esta nueva ecuacin:

Igualando trminos que contienen , obtenemos

Lo cual, cuando se llevan a cabo las diferenciaciones, dar una identidad B = B, como debe ser. Luego equiparamos los trminos que contienen , lo que da:

Divisin por y la realizacin de la diferenciacin en el trmino luego da las ecuaciones diferenciales para multiplicando por (-1)

La realizacin de dos integraciones da:

La constante de debe ser igual a cero con el fin de satisfacer la condicin de contorno en el eje del tubo, y la aplicacin de la condicin de contorno en la pared del tubo da:

C.L.1

Tomando la diferencia entre las dos ltimas ecuaciones da (despus dividiendo por )

De acuerdo con la Ecuacin 10C.1-9c. Entonces reordenando la ecuacion10.C-10 tenemos:

En esta ecuacin lo sustituimos por las ecuaciones 10C.1-1 y 10C.1-2, para obtener

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de nos da: , y as sucesivamente. Entonces la ecuacin 10C.1-12 sigue directamente:Partiendo de la ecuacin 10C.1-8:

Y teniendo en cuenta que:

Luego multiplicando por B se tiene:

10C.2 Calentamiento viscoso con viscosidad y conductividad trmicas que dependen de la temperatura (figuras 10.4-1 y 10.4-2). Considrese la situacin de flujo que se muestra en la figura 10.42. Tanto la superficie estacionaria como la superficie mvil se mantienen a una temperatura constante . Entonces, las dependencias de y respecto a la temperatura estdn dadas por

Donde las y las son constantes, es la fluidez, y el subndice "0" significa "evaluado en . La temperatura adimensional se define como

a) Demostrar que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo viscoso y la conduccin de calor pueden escribirse en las formas

Donde , y (el nmero de Brinkman)b)

La ecuacin para la distribucin adimensional de temperatura puede integrarse una vez a fin de obtener , donde es una constante de integracin. Luego, esta expresin se sustituye en la ecuacin de energa para obtener

Primero obtener los dos primeros trminos de una solucin en la forma:

Adems, se sugiere que la constante de integracin C1 tambin se desarrolle como una serie de potencias en el nmero de Brinkman, para llegar a

c)

Repetir el problema, cambiando la condicin lmite en a (en vez de especificar la temperatura).

Respuestas:

b)

c)

Solucin:a) El balance de energa y de impulso de momento est dado por:

Dividiendo ambos miembros por y tomando el lmite cuando tiende a cero, se obtiene:

y

La primera ecuacin se multiplic por

Donde utilizamos las siguientes variables adimensionales

;

Reemplazo

La segunda ecuacin se multiplica por

Las variables adimensionales son:

; ;

Reemplazo

Multiplicando por y dividiendo por y la ecuacin anterior queda:

b. Cuando Eqs.10C.2-5,6,7 y 8 se utilizan en la ecuacin de la temperatura, y los coeficientes de potencia iguales a Br. Se igualan para obtener los trminos que contienen la primera potencia de

Resolviendo la ecuacin diferencial nos da:

Las constantes de integracin se determinan a partir de las condiciones de contorno que a

Reemplazando las constantes

De este modo se obtiene el siguiente resultado:

Pasamos ahora a la variable (junto con la Ecuacin 10C.2-2), que es:

Las expresiones de las ecuaciones 10C.2-6, 7 y 8

Reemplazamos:

Igualamos Br=0

Aplicando las condiciones de contorno son: y

Y obtenemos:

Por lo tanto tambin en:

A continuacin volvemos a la ecuacin de la energa y equiparamos los trminos :

Como

Reemplazamos:

Las condiciones de contorno son 10D.1 Prdida de calor desde una aleta circular (figura 10D.1).a) Obtener el perfil de temperatura T(r) para una aleta circular de espesor 2B sobre un tubo cuya temperatura en la pared exterior es T0. Hacer las mismas suposiciones que se hicieron en el estudio de la aleta rectangular en 10.7.b) Deducir una expresin para la prdida de calor total desde la aleta.

Solucin:

a) El balance de energa se hace sobre un anillo de espesor de la aleta circular. Se encuentra en estado estacionario y la nica contribucin a la densidad de flujo de energa es q. Por tanto, el balance de energa es:

Dividiendo ambos miembros por y tomando el lmite cuando tiende a cero, se obtiene:

Ahora insertamos la ley de Fourier (), donde k es la conductividad trmica del metal. Si k es constante, entonces se obtiene:

Esta ecuacin debe resolverse con las condiciones lmite:

C.L.1:en,

C.L.2:en,Ahora introducimos las siguientes cantidades adimensionales:

= temperatura adimensional

= distancia adimensional

y procedemos a adimensionalizar la ecuacin diferencial 10D.1-2.

De:

De:Reemplazando equivalencias en la ecuacin diferencial ordinaria 10D.1-2:

Multiplicando ambos miembros por y dividiendo por , tenemos:

Esta ecuacin tiene la siguiente solucin (con ):

Esta ecuacin diferencial se puede acomodar para tener una ecuacin modificada de Bessel,Ecuacin Solucin

Luego, las constantes son determinadas con las condiciones lmite:

C.L.1:en,

C.L.2:en,Aplicando la primera condicin lmite:

Aplicando la segunda condicin lmite:

Estas dos ecuaciones pueden ser resueltas simultneamenteDespejando C2 de la ecuacin 10D.1-9 nos da:

Reemplazando en la ecuacin 10D.1-8 tenemos:

Asimismo se procede para hallar la constante C2:

Por lo tanto el perfil de temperatura adimensional es:

b) La prdida de calor total desde la aleta es:

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNFACULTAD DE INGENIERAESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA QUMICA

Tema: CAP. 1O: BALANDE DE ENERGIA EN LA ENVOLTURA Y DISTRIBUCION DE TEMPERATURA EN SOLIDO Y EN FLUJO LAMINAR

Asignatura: Fenmenos de Transporte IIDocente: Mgr. Pedro Cornejo del Carpio

Grupo: 1Integrantes: Rossi Elizabeth Achata Merlin2013-39329 Viviana Ximena Rodriguez Almanza 2013-39343 Carlos Roberto Costa Gil 2013-39321

3er ao

Tacna-Per2015