FB4S_Matematicas

2 PRELIMINARES

Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de diciembre de 2010. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 10,064 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA

Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendvil Director Acadmico Profr. Julio Alfonso Martnez Romero Director de Administracin y Finanzas C.P. Jess Urbano Limn Tapia Director de Planeacin Mtro. Pedro Hernndez Pea MATEMTICAS 4 Mdulo de Aprendizaje. Copyright , 2010 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edicin 2011. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280

COMISIN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela Chvez Revisin Disciplinaria: Margarita Len Vega Correccin de Estilo: Flora Ins Cabrera Fregoso

Supervisin Acadmica:

Mtra. Luz Mara Grijalva Daz

Equipo Tcnico RIEMS Diseo: Joaqun Rivas Samaniego Mara Jess Jimnez Duarte Edicin:

Bernardino Huerta Valdez Coordinacin Tcnica: Claudia Yolanda Lugo Peuuri Diana Irene Valenzuela Lpez Coordinacin General: Profr. Julio Alfonso Martnez Romero

3 PRELIMINARES

Ubicacin Curricular

COMPONENTE:

FORMACIN BSICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

MATEMTICO

HORAS SEMANALES:

05

CRDITOS:

10

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________

Plantel: __________________________________________________________________

Grupo: _________________ Turno: _____________ Telfono:___________________

E-mail: _________________________________________________________________

Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4 PRELIMINARES

5 PRELIMINARES

Presentacin ......................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ...... 9 Secuencia Didctica 1: Relaciones y funciones ................................................................................................10 Diferencia entre relaciones y funciones......................................................................................................12 Dominio y rango ..........................................................................................................................................21 Formas de representar una funcin ...........................................................................................................23 Secuencia Didctica 2: Clasificacin de funciones ...........................................................................................32 Segn su forma analtica ............................................................................................................................36 Segn la presentacin de su forma analtica .............................................................................................63 Segn su grfica .........................................................................................................................................66 Secuencia Didctica 3: Operaciones de funciones ...........................................................................................81 Suma de funciones .....................................................................................................................................82 Resta de funciones .....................................................................................................................................86 Multiplicacin de funciones ........................................................................................................................90 Divisin de funciones ..................................................................................................................................94 Composicin de funciones .........................................................................................................................99 BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRFICAS. ................. 105 Secuencia Didctica 1: Funciones especiales ................................................................................................106 Funcin inversa ..........................................................................................................................................108 Funciones definidas por partes .................................................................................................................122 Secuencia Didctica 2: Transformaciones de grficas de funciones .............................................................141 Translacin horizontal ................................................................................................................................144 Traslacin vertical .......................................................................................................................................146 Reflexin con respecto al eje X ..................................................................................................................149 Reflexin con respecto al eje Y ..................................................................................................................153 Reflexin con respecto a la recta de 45 ...................................................................................................156 Contraccin y expansin de funciones .....................................................................................................157 BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES ......................................................................... 161 Secuencia Didctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos .................................................164 Concepto de funcin polinomial de una variable ......................................................................................166 Caractersticas de las funciones polinomiales .......................................................................................... 166 Influencia de los parmetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representacin grfica .... 168 Secuencia Didctica 2: Funciones polinomiales de grado tres y cuatro ........................................................194 Comportamiento y bosquejo de grficas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro ...............195 Teorema del residuo y del factor ...............................................................................................................205 Teoremas sobre las races de una ecuacin ............................................................................................208 BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES .............................................................................. 215 Secuencia Didctica 1: Funcin racional .........................................................................................................216 Concepto de funcin racional ...................................................................................................................217 Funcin racional reducible .........................................................................................................................221 Secuencia Didctica 2: Grficas de funciones racionales ..............................................................................226 Asntotas de funciones racionales ............................................................................................................229

ndice

6 PRELIMINARES

BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS ........................................ 239 Secuencia Didctica 1: Funciones exponenciales.......................................................................................... 240 Concepto de funcin exponencial ............................................................................................................ 241 Variacin exponencial ............................................................................................................................... 245 El nmero e ............................................................................................................................................... 249 Secuencia Didctica 2: Funcin logartmica ................................................................................................... 254 Propiedades de los logaritmos ................................................................................................................. 257 Concepto de funcin logartmica .............................................................................................................. 258 Grfica de la funcin logartmica .............................................................................................................. 258 Ecuaciones exponenciales y logartmicas ................................................................................................ 262 BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIDICAS ............................................................................. 269 Secuencia Didctica 1: Funciones sinoidales ................................................................................................. 270 Concepto de las funciones senoidales .................................................................................................... 272 Caractersticas de las funciones seonidales ............................................................................................ 273 Secuencia Didctica 2: Graficacin paramtrica de funciones senoidales ................................................... 283 Graficacin mediante parmetros ............................................................................................................ 284 Bibliografa ........................................................................................................................................................ 296

ndice (continuacin)

7 PRELIMINARES

Una competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico.

El enfoque en competencias considera que los conocimientos por s mismos no son lo ms importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones especficas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base slida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propsito en un determinado contexto.

El presente Mdulo de Aprendizaje de la asignatura Matemticas 4, es una herramienta de suma importancia, que propiciar tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, caractersticas que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educacin Media Superior que actualmente se est implementando a nivel nacional.

El Mdulo de aprendizaje es uno de los apoyos didcticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intencin de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas polticas educativas, adems de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el mdulo se encuentra organizado a travs de bloques de aprendizaje y secuencias didcticas. Una secuencia didctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollars actividades que te permitirn identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a travs de tu formacin, mismos que te ayudarn a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizars actividades que introducen nuevos conocimientos dndote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo.

Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didctica, donde integrars todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.

En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las caractersticas y del propsito de las actividades, stas se desarrollan de forma individual, binas o equipos.

Para el desarrollo del trabajo debers utilizar diversos recursos, desde material bibliogrfico, videos, investigacin de campo, etc.

La retroalimentacin de tus conocimientos es de suma importancia, de ah que se te invita a participar de forma activa cuando el docente lo indique, de esta forma aclarars dudas o bien fortalecers lo aprendido; adems en este momento, el docente podr tener una visin general del logro de los aprendizajes del grupo.

Recuerda que la evaluacin en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a travs de tu trabajo, donde se tomarn en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propsito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluacin, este ejercicio permite que valores tu actuacin y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje.

As tambin, es recomendable la coevaluacin, proceso donde de manera conjunta valoran su actuacin, con la finalidad de fomentar la participacin, reflexin y crtica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integracin del grupo.

Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo laboral o en su preparacin profesional. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visin y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirs tu propio conocimiento a travs de la problematizacin y contextualizacin de los mismos, situacin que te permitir: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.

Presentacin

2 PRELIMINARES

Grado de 0 a 4

Cuyo anlisis particularizado conduce al estudio de

Limitadas a

Las cuales se clasifican en

Su inversa

Con el fin de

En especial

Contiene

FUNCIONES

Compuestas por las funciones

Exponenciales Polinomiales Racionales

Bases 10 y e

RESOLVER PROBLEMAS

Logartmicas Senoidales

Seno Coseno

MATEMTICAS 4

Con el fin de

Funciones algebraicas Funciones trascendentes

Irracionales

Las cuales se clasifican en

Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.

Competencias disciplinares bsicas: Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos,

algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con

modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos algebraicos y grficos, aplicando relaciones funcionales entre

magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, tericos o prcticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.

Interpreta diagramas y textos que contienen smbolos propios de la notacin funcional.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 21 horas

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 10

Secuencia didctica 1. Relaciones y funciones.

Inicio

Desarrolla lo que se pide.

I. Lee con atencin el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores.

Mnica organiz en su saln la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una persona para enviarle diariamente un presente; el ltimo da de clases, cada participante descubre quin era su amigo secreto. Cuando se hizo el sorteo, Juan se qued con dos papelitos y no aguant la tentacin de abrirlos, por supuesto, sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendi, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores amigos, por lo que decidi callar y regarle a ambos, ya que no poda decidirse por alguno. 1. Qu podra pasar en la actividad que organiz Mnica, con el proceder de Juan?

Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podra quedar el reparto, si no descubren a Juan.

Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo Gustavo Mara Mara Juan Juan Sonia Sonia Mnica Mnica Claudia Claudia Sandra Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban

2. Qu condicin debe existir para que la actividad resulte?

Relaciona con una flecha una forma en la que podra quedar el reparto de tal manera que funcione.

Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo Gustavo Mara Mara Juan Juan Sonia Sonia Mnica Mnica Claudia Claudia Sandra Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban

Actividad: 1

BLOQUE 1 11

Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Cuestionario y ejercicios de relacionar.

Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones.

Identifica la diferencia entre una relacin y una funcin.

Muestra disposicin al realizar la actividad.

Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el

docente

3. De acuerdo a lo anterior, cmo definiras una relacin entre dos conjuntos?

4. De igual forma, cmo definiras una relacin funcional entre dos conjuntos?

II. Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la lnea la palabra relacin o relacin

funcional, dado el caso.

Vegetales Tipos Figuras geomtricas Nmero de lados

__________________________________ __________________________________

Chcharo Avena

Toronja Rbano Tomate

Cereal Fruta

Verdura Leguminosa

Ctrico Tubrculo

0 1 2 3 4 5 6 7

Actividad: 1 (continuacin)


Desarrollo Diferencia entre relaciones y funciones. A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenmenos para poder comprender las situaciones, como por ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposicin en equipo, cuando asignan la posicin que tomarn los jugadores de futbol, la distancia que recorre un automvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae a una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfn de magnitudes que varan, como: el tiempo, la posicin de la luna, el precio de un artculo, la poblacin, entre otras. A continuacin se definirn los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relacin y funcin, y la diferencia que hay entre ellos. Relaciones. La relacin entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer conjunto llamado dominio, con uno o ms elementos de un segundo conjunto llamado contradominio o codominio. Una relacin se puede representar utilizando las siguientes formas: Mediante un criterio de seleccin o regla de asociacin, el cual se puede presentar en forma de enunciado o una expresin analtica (frmula), que explicita la relacin entre los elementos de los dos conjuntos. Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas. Mediante un diagrama de rbol, el cual es una representacin grfica que muestra el desglose progresivo de la relacin que existe entre los elementos de dos conjuntos. Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primera coordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Si los conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B. Mediante una tabla, la cual es la organizacin de los conjuntos en columnas, relacionando as los elementos de los mismos mediante las filas. Mediante una grfica, la cual es una representacin de elementos, generalmente numricos, mediante lneas, superficies o smbolos, para ver la relacin que guardan entre s. Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si la asociacin se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto para establecer entre ellos la relacin y describir los pares ordenados. A continuacin se mostrarn ejemplos de las diferentes formas de representar una relacin. Ejemplos de relacin mediante un criterio de seleccin o regla de asociacin.

La relacin que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales. La relacin que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora,

con el nmero de horas a la semana en las que se imparten.

La relacin entre los jugadores de la seleccin mexicana, con su posible posicin en el juego contra Sudfrica en el mundial del 2010.

La relacin que existe entre los kilmetros que recorre un automvil con el tiempo que transcurre, si ste se mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregn a Hermosillo.

La relacin que hay entre un nmero y su cuadrado aumentado en dos unidades.

Un conjunto es una coleccin de personas, animales u objetos con caractersticas similares.

BLOQUE 1 13

La relacin que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su segundo lanzamiento.

La relacin que existe entre las variables de la ecuacin 3x2y

Ejemplos de relacin mediante un diagrama sagital.

Chihuahua Sinaloa

Coahuila Zacatecas

Nayarit

Saltillo Tepic

Zacatecas Chihuahua Culiacn

Estados

Capitales

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacn), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4), (CPT A, 4), (CPT B, 3)

Asignaturas Nm. de horas

E. socio-econmica de Mxico (ESEM) Matemticas 4 (M4)

Biologa 2 (B2) Literatura 2 (L2)

Fsica 2 (F2) Actividades paraescolares (A. P.)

Lengua adicional al espaol 4 (LAE 4) Capacitacin para el trabajo A (CPT A) Capacitacin para el trabajo B (CPT B)

3 4 5

Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

A

S

A

S

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

Jugadores Posiciones

Guillermo Ochoa Paul Aguilar

Carlos Salcido Ricardo Osorio

F. Javier Rodrguez Efran Jurez

Rafael Mrquez Gerardo Torrado

Giovani dos Santos Carlos Vela

Guille Franco

Portero

Defensa

Medio campista

Delantero

(G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio), (C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodrguez, Defensa), (E. Jurez, Defensa), (E. Jurez, Medio), (R. Mrquez, Defensa), (R. Mrquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio), (GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero), (G. Franco, Delantero)


Ejemplos de relacin mediante diagrama de rbol.

Ejemplos de relacin mediante un producto cartesiano.

1. Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.

A:1er. lanzamiento B: 2do. lanzamiento

Producto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)} .

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

A

S

A

S

Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

A

S

Blusas Pantalones

Blanca

Negra

Naranja

Mezclilla Vestir Capri



(Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri), (Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri), (Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)

BLOQUE 1 15

2. Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.

A: Primer dado. B: Segundo dado.

6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6

6,5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5

6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4

6,3,5,3,4,3,3,3,2,3,1,3

6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2

6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1

BxA

Ejemplos de relacin mediante una tabla.

ESTADO CAPITAL

Chihuahua Chihuahua

Sinaloa Culiacn

Coahuila Saltillo

Zacatecas Zacatecas

Nayarit Tepic

x 3x2y

1 1 0 3

1 5

2 7

3 9

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacn), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

(-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)


Ejemplos de relacin mediante una grfica.

t (hrs)

d (Km)

x

y

x

y

Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antes mencionadas, como por ejemplo, la relacin que existe entre los jugadores y su posible posicin, no se puede representar mediante una ecuacin; tampoco tendra sentido intentar formar un diagrama de rbol o un producto cartesiano, por lo que slo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital. Una tabla proporciona una relacin directa, donde cada elemento del primer conjunto est asociado con un elemento del segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representacin grfica proporciona una relacin directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la grfica pueden carecer de informacin suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresin analtica, por ello, la representacin analtica es la ms completa, de ella se puede derivar una tabla, un grfica, una expresin verbal y un diagrama sagital. El diagrama de rbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayora, para obtener espacios muestrales y eventos probabilsticos, como los que abordaste en el ltimo bloque de la asignatura de Matemticas 2.

Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relacin entre dos conjuntos. 1. Enunciado.

Actividad: 2

BLOQUE 1 17

2. Representacin analtica.

3. Diagrama sagital.

4. Diagrama de rbol.



Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Diseo de ejemplos. Puntaje:

Saberes


Reconoce las diferentes formas de representar la relacin entre conjuntos.

Ejemplifica las diferentes formas de representar la relacin entre conjuntos.

Aprecia la utilidad de las diferentes formas de representar una relacin entre conjuntos.


docente

5. Producto cartesiano.

6. Tabla.

7. Grfica.


BLOQUE 1 19

Funciones. Ahora se abordar el concepto de funcin, la cual es un tipo especial de relacin, su definicin es: Una funcin es una relacin en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y slo un elemento del segundo conjunto (contradominio).

Anota en la lnea la palabra RELACIN o la palabra FUNCIN segn corresponda y justifica tu respuesta.

x

y

______________________________________ ____ __________________________________ Justificacin: Justificacin:

x 3x2y

-1 1

0 3

1 5

2 7

3 9


Mara Carlos Francisco Manuel Lupita Javier

1 2 3 5 6 7 8 9

Fam. Zrate

Asignaturas

Chihuahua Sinaloa

Coahuila Zacatecas

Nayarit

Saltillo Tepic

Zacatecas Chihuahua Culiacn

Estados

Capitales

Actividad: 3


Evaluacin

Actividad: 3 Producto: Ejercicios de relacionar y respuesta breve.

Puntaje:

Saberes


Enuncia las caractersticas de una relacin y de una funcin.

Argumenta la diferencia entre una funcin y una relacin.

Expone sus ideas con claridad.


docente

010y4x3yx 22 6,4,5,0,4,1,3,4,2,5,5,1R ______________________________________ ____ __________________________________ Justificacin: Justificacin:

x

y



Jugadores Posiciones

Guillermo Ochoa Paul Aguilar

Carlos Salcido Ricardo Osorio

F. Javier Rodrguez Efran Jurez

Rafael Mrquez Gerardo Torrado

Giovani dos Santos Carlos Vela

Guille Franco

Portero

Defensa

Medio campista

Delantero

BLOQUE 1 21

Dominio y rango. En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para ser utilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio, mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuacin. Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relacin. Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relacin, los elementos del dominio. Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relacin. Imgenes: Son los elementos del contradominio o codominio que estn asociados con algn argumento. Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imgenes o valores de la relacin. En el siguiente ejemplo visualizars estas definiciones. Los conjuntos se expresan de la siguiente forma: Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofa} Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M} Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}

Ana

Yolanda

Conchita

Karla

Laura

Sofa

101 M 102 M 103 M 104 M 105 M

106 M

Equipo de danza Grupos

DOMINIO (conjunto)

CONTRADOMINIO (conjunto)

Argumentos (elementos)

Ana

Yolanda

Conchita

Karla

Laura

Sofa

101 M 102 M 103 M 104 M 105 M

106 M

Equipo de danza Grupos

Imgenes (elementos)

RANGO (conjunto)


Evaluacin

Actividad: 4 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:

Saberes


Identifica el dominio, contradominio y rango de relaciones y funciones.

Escoge los elementos del dominio, contradominio y rango de relaciones y funciones.

Aprecia a las relaciones y funciones como parte de su vida cotidiana.


docente

Marca con si los conjuntos corresponden a una funcin o relacin; determina el

dominio, contradominio y rango de cada una de ellas.

Funcin

Relacin Dom: Contradominio: Rango:

Funcin


Funcin


Docentes Categoras

Francisco Durn Javier Sandoval Marco Ramos

Jos Luis Gutierrez Susana Herrera

Jess Leyva Jos Armenta

Antonio Ricardez

Titular A

Titular B

Titular C

CB I

CB II

CB III

CB IV

CB V

CB V

0

1

2

3

4

5

6

7

Figuras geomtricas Nm. de lados

Actividad: 4

Antonio

Manuel

Yolanda

Conchita

Jess

Karla

$5,000

$7,500

$8,000

$10,500

$12,000

$14,100

Empleado Sueldo

BLOQUE 1 23

Formas de representar una funcin. Una funcin f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma:

f : X Y Se lee: funcin f de X a Y. Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la funcin f, por lo tanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma.

f(1) = A f(2) = B f(3) = D f(4) = C f(5) = B

En general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotara de la siguiente forma:

f(x)=y Se lee: f de x es igual a y". Si se expresa la funcin como pares ordenados se obtiene:

f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)} Tambin se puede representar la funcin en forma de tabla, como se observa a continuacin. La representacin analtica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociacin que describa la correspondencia entre los elementos. Es necesario aclarar que una funcin no slo se denota con la letra f, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en mayscula o minscula, as como tambin con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situacin se acostumbra a utilizar la letra de la funcin que se est aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar al volumen como funcin de x, la funcin se expresa como V(x).

x f(x)

1 A

2 B

3 D

4 C

5 B

X Y

1

2

3

4

5

5

A

B

C

D

F

f


A B

Gabriel

Sonia

Javier

Humberto

12

13

14

15

16

17

18

E

Cuando una funcin est expresada en forma de enunciado se puede escribir su representacin analtica o viceversa, como en los siguientes ejemplos:

1. Si el enunciado es: El cubo de un nmero ms cinco, entonces su representacin analtica es: 5x)x(f 3 .

2. Si el enunciado es: El triple del cuadrado de un nmero ms el doble del mismo, entonces su

representacin analtica es: x2x3)x(g 2 .

3. Si la representacin analtica es: 74

x)x(T , el enunciado correspondiente es: la cuarta parte de un

nmero disminuido en 7 unidades.

4. Si la representacin analtica es: 1x)x(V , el enunciado correspondiente es: la raz cuadrada de la

diferencia de un nmero con uno. A continuacin se mostrar algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar y representar una funcin. Ejemplo 1. La edad de los hijos de Doa Luca de Valdez.

Los conjuntos A y B se relacionan mediante la funcin E, la edad; sta es funcin dado que a los hijos de Doa Luca le corresponde slo un nmero, debido a que ninguna persona puede tener dos edades. La funcin se denota como:

E: A B De manera que si se aplica la funcin E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B. Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la funcin es:

E(Gabriel) = 12 E(Sonia) = 14 E(Javier) = 14 E(Humberto) = 18

Lo ms enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relacin o funcin es el anlisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientes deducciones:

Doa Luca pari en tres ocasiones.

Sonia y Javier provienen de un embarazo mltiple. La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mnimo de 5 aos.

BLOQUE 1 25

Ejemplo 2. El tanque de gasolina de un automvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidad de gasolina contra la distancia, medida cada 24 km. En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la funcin se representa de la siguiente forma.

F: L D

Donde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias. Debido a la descripcin del problema y la informacin que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analtica de la funcin, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automvil avanza 24 kilmetros. Como recordars, en Matemticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, la funcin quedara:

F(l)=12l Utilizando la tabla se puede trazar la representacin grfica de la funcin.

l

d

De acuerdo a las caractersticas del problema, el dominio de la funcin no se puede describir de forma puntual, es decir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, sta es una muestra de los posibles valores que puede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarca el intervalo de 0 a 120 Kilmetros. Posteriormente se proporcionar una notacin ms apropiada, matemticamente hablando, de la forma de expresar el dominio y el rango de una funcin en intervalos.

Litros (l)

Distancia (d)

2 24

4 48

6 72

8 96

10 120


Resuelve lo que se pide.

I. Considera la funcin 3x2xxg 3 para contestar los siguientes incisos: a) Completa cada una de las imgenes de la funcin para los argumentos indicados, sigue el

ejemplo que se muestra a continuacin.

132222g 3 1g 0g 1g 2g

b) Forma los pares ordenados con las imgenes obtenidas en el problema anterior.

)},(),,(),,(),,(),1,2{(xg

c) Expresa el enunciado que describe a la funcin anterior.

II. Completa la siguiente tabla.

x 23xxf 2 1

2

3

4

5

a) Expresa el enunciado que describe a la funcin anterior.

b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.

c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.

Actividad: 5

BLOQUE 1 27

Evaluacin

Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes


Ubica las diferentes formas de representar una funcin, as como el dominio y rango de la misma.

Construye las diferentes representaciones de una funcin, as como el dominio y rango de la misma.

Es creativo y propositivo al realizar la actividad.


docente

III. Realiza la representacin sagital de la regla de asociacin el doble de un nmero ms 4 unidades, usa los primeros cinco nmeros naturales.

IV. Dados los pares ordenados )}15,3(),10,2(),5,1(),0,0(),5,1(),10,2{(xH a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados.

b) Expresa la funcin que modele los pares ordenados.

c) Expresa el dominio y el rango de la funcin. V. La renta de una habitacin en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial ms $300 por cada da

transcurrido. a) Escribe la representacin analtica de la renta de una habitacin en funcin de los das transcurridos,

R(t).

b) Representa mediante una tabla, seis valores de la funcin anterior.

t tR

c) Determina el dominio y el rango de R(t).



En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamao carta. Para formar la caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesor les asignar a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm, etc.) que deben de recortar para formarla.

x x

1. Calcula el rea de la caja y el volumen de la misma.

2. Los equipos mencionarn los resultados obtenidos y llenarn la siguiente tabla.

x rea Volumen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3. Graficar en un plano cartesiano el rea contra la longitud del lado del cuadrado recortado.

Actividad: 6

BLOQUE 1 29

Evaluacin

Actividad: 6 Producto: Prctica. Puntaje:

Saberes


Identifica las diferentes formas de expresar una funcin.

Construye las diferentes formas de expresar una funcin.

Presenta disposicin al trabajo colaborativo con sus compaeros.

Coevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el

docente

4. Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado

recortado. 5. Escribir la forma analtica del rea y el volumen como una funcin que depende de la longitud del lado del

cuadrado recortado.

6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.

7. Qu anlisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?



Cierre

Dadas las siguientes funciones, realiza la representacin correspondiente.

1. 2xxf 2. x3xg 3. 1x2xh 4. xxT a) Mediante un diagrama sagital.

b) Mediante una tabla de valores.

x 2xxf x x3xg x 1x2xh x xxT

c) Mediante pares ordenados.

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xf

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xg

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xh

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xT

X Y

f

X Y

g

X Y

h

X Y

T

Actividad: 7

BLOQUE 1 31

Evaluacin

Actividad: 7 Producto: Representaciones. Puntaje:

Saberes


Reconoce las diferentes formas de representar a una funcin.

Representa de diferentes formas una funcin.

Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.


docente

d) Mediante una grfica.

x

f (x)

x

g (x)

x

h (x)

x

T (x)

e) Mediante un enunciado.

1. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

2. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

3. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

4. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

______



Secuencia didctica 2. Clasificacin de funciones.

Inicio

Contesta lo que se pide en cada seccin. I. Observa las siguientes grficas y escribe en la lnea la palabra Funcin o Relacin segn

sea el caso; justifica tu respuesta.

_________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

_________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

_________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

Actividad: 1

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

BLOQUE 1 33

II. Analiza la forma que tienen las siguientes grficas y de la clasificacin que se da

posteriormente, escribe en la lnea las que pienses que cumplen cada una de ellas. Clasificacin: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua.

x

f (x)

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

x

f (x)

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

x

f (x)

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________



Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Reactivos de respuesta breve.

Puntaje:

Saberes


Describe el comportamiento de las funciones.

Explica el comportamiento de las funciones.

Muestra inters al realizar la actividad.


docente

x

f (x)

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

x

f (x)

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________


BLOQUE 1 35

Desarrollo En asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una expresin algebraica y que pueden ser representados con grficas para poder darles solucin, es por ello que el uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia. Para hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades para distinguir sus caractersticas, as como tambin para lograr una mejor interpretacin. En virtud de lo anterior, en este tema se analizarn las caractersticas ms importantes de las funciones, las cuales permiten su clasificacin. A continuacin se presenta un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, para que tener un panorama general de lo que se abordar en esta secuencia. A continuacin se mostrarn las caractersticas de cada una de las clasificaciones y en los bloques posteriores se estudiarn detalladamente. Se mostrarn tambin grficas de cada una de ellas para que te vayas familiarizando, asociando la representacin analtica con la grfica, adems de su variacin, entre otras cosas. Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable x se le denomina variable independiente y a la variable y se le conoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable y depender del valor que se asigne a la variable x. Hay que recordar que la variable y est en funcin de x. Para facilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra funcin para referirse a y y la palabra variable para referirse a x.

Clasificacin de funciones

Su forma analtica

Algebraicas

Trascendentes

Polinomiales

Irracional

Trigonomtricas

Exponenciales

Logartmicas

Racional

La presentacin de su forma analtica

Explcitas

Implcitas

La forma de correspondencia entre

sus conjuntos

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

Su grfica

Continuas

Discontinuas

Por su trazo

Por su variacin

Crecientes

Decrecientes

Segn


Segn su forma analtica.

Funciones Algebraicas. Son aquellas funciones que estn compuestas por trminos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y extraccin de races. Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuacin se definirn cada una de ellas. Funciones polinomiales.

Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

012

23n

3n2n

2n1n

1nn

n axaxa...xaxaxaxaxf

Donde an, an.1,, a1, a0 son constantes y n es un nmero no negativo. El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la funcin y sta es verdadera, por lo tanto el dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los nmeros reales. Las funciones polinomiales que se tratarn en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarn la forma general de cada una de ellas y sus nombres.

0aconedxcxbxaxxfcurticaFuncin

0acondcxbxaxxfcbicaFuncin

0aconcbxaxxfcuadrticaFuncin

0mconbmxxflinealFuncin

axftetanconsFuncin

espolinomialFunciones

234

23

2

Si te dars cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual forma se ejemplificar cada una de ellas en esta secuencia y se retomarn en los bloques posteriores para abordarse con mayor profundidad. Funcin constante. Esta funcin tiene como imagen el mismo nmero; su dominio son todos los nmeros reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarn algunos ejemplos. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 4xf , determinar su dominio y rango. Se utilizar una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la funcin.

Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable ms comunes como 2, 1. 0, 1, 2, y a todos ellos al sustituirlos en la funcin les asigna el 4.

Como su nombre lo dice, la variable x es independiente, por lo que se puede elegir cualquier nmero perteneciente a los nmeros Reales y a todos ellos les asignar el mismo valor, 4; por lo que la grfica es una recta horizontal que corta al eje Y en 4, como se muestra a continuacin en su grfica.

x 4xf 2 4 1 4 0 4 1 4

2 4

BLOQUE 1 37

x

f (x)

En la grfica es ms sencillo visualizar el dominio y el rango de la funcin.

La notacin que se us tanto en el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al final de tu mdulo. Ejemplo 2.

Expresa la funcin y traza la grfica si su dominio son los nmeros reales y el rango es 2

9 .

Sabiendo que todos los valores de la funcin es el nmero 2

9 , se puede trazar la lnea horizontal a esa altura y

extenderse a los lados desde hasta , como lo determina el dominio, por lo tanto, la grfica queda:

Como para cualquier valor de x el valor de la funcin es 2

9 , por consiguiente

la funcin queda:

2

9xf

El dominio y el rango se expresan de la siguiente forma:

,:Dom

2

9Rango

x

f (x)

Rango= 4

Dom = ,

x

f (x)


Funcin lineal. La funcin lineal es una funcin algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la funcin 4x3xg , as como determinar su dominio y su rango. Como recordars, esta funcin se abord tanto en Matemticas 1 como en Matemticas 3, en ellas aprendiste diferentes formas de graficar una funcin lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la funcin con los ejes coordenados, as como tambin a utilizar los parmetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen). Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene:

Graficando los puntos se obtiene: Al tener la funcin, se puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales, por lo tanto se deben unir los puntos mediante una lnea recta. Con ello se comprueba que su dominio son los nmeros reales, como se observa a continuacin.

x 4x3xg 2 10 1 7 0 4 1 1 2 2

3 5

4x3xg

104232g 74131g 44030g 14131g 24232g 54333g

x

g(x)

Rango= ,

Dom = ,

x

g(x)

BLOQUE 1 39

Ejemplo 2.

Graficar la funcin xxf , describir su dominio y rango. Se utilizar de nuevo una tabla para trazar su grfica.

x xxf 3 3 2 2 1 1 0 0

1 1

2 2

En ella se observa que tanto la variable como la funcin tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina funcin identidad o idntica.

Posteriormente te dars cuenta que la funcin identidad es muy importante para identificar la inversa de una funcin. Su grfica describe una recta con un ngulo de inclinacin de 45.

x

f (x)

Al igual que todas las funciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los nmeros reales. Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas:

Forma de intervalo

,Rango

,Dom

Forma de conjunto.

Rango

Dom


Funcin cuadrtica.

La funcin cuadrtica es de segundo grado y es de la forma 0aconcbxaxxf 2 , su grfica describe una parbola, como a continuacin se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 1x4xxT 2 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.

Su grfica es:

Consulta el anexo A al final de tu mdulo, para que verifiques cmo se representa el Dominio y Rango en forma de intervalo. Ejemplo 2.

Graficar la funcin 3xxH 2 ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la funcin para encontrar los puntos.

x 1x4xxT 2 4 1 3 2 2 3 1 2 0 1

1 6

114444T 2 213433T 2 312422T 2 211411T 2 110400T 2 611411T 2

x

T(x)

Rango= ,3

Dom = ,

BLOQUE 1 41

Su grfica es:

Funcin cbica.

La funcin cbica es una funcin polinomial de tercer grado, es de la forma 0acondcxbxaxxf 23 . Para conocer su grfica se requiere ejemplificar. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 6x12x6xxD 23 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.

x 3xxH 2 2 1 1 2 0 3

1 2

2 1

x 6x12x6xxD 23 0.5 1.375 1 1

1.5 1.875

2 2

2.5 2.125

3 3

3.5 5.375

1322H 2 2311H 2 3300H 2 2311H 2 1322H 2

375.165.0125.065.05.0D 23 161121611D 23 875.165.1125.165.15.1D 23 262122622D 23 125.265.2125.265.25.2D 23

375.565.3125.365.35.3D 23 363123633D 23

x

H(x)

Rango= 3,

Dom = ,


Su grfica es: Ejemplo 2.

Graficar la funcin 1x3

1xK 3 ; obtener el dominio y el rango.

En este caso, la funcin no tiene el trmino cuadrtico y lineal, pero sigue siendo una funcin cbica.

x 1x3

1xK 3

3 8

2 3

5

1 3

2

0 1

1 3

4

2 3

11

3 10 1013

3

13K

3

3

1112

3

12K

3

3

411

3

11K

3

1103

10K

3

3

211

3

11K

3

3

512

3

12K

3

8133

13K

3

Rango= ,

Dom = ,

x

D(x)

BLOQUE 1 43

Su grfica es:

Funcin curtica. La funcin curtica es una funcin polinomial de cuarto grado, es de la forma:

0aconedxcxbxaxxf 234 . Cualquiera de los trminos b, c, d o e pueden valer cero, pero no as el coeficiente a, a continuacin se ejemplificar su grfica. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 3x2x2x6x4xf 234 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.

x 3x2x2x6x4xf 234 1 11

0.5 0.5 0 3

0.5 4 1 5

1.5 1.5

x

K(x)

Rango= ,

Dom = ,

113)1(21216141f 234 5.03)5.0(25.025.065.045.0f 234 33)0(20206040f 234

53)1(21216141f 234 43)5.0(25.025.065.045.0f 234

5.13)5.1(25.125.165.145.1f 234


Su grfica es:

Este tipo de funciones, como en las cuadrticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto ms bajo con el fin de determinar con certeza el rango, como se muestra en la grfica; esto lo aprenders en el bloque correspondiente a las funciones de tercer y cuarto grado, as como tambin, en la asignatura de Clculo Diferencial e Integral I.

Ejemplo 2.

Graficar la funcin 4

21xx

4

1xG 4 ; obtener el dominio y el rango.

En este caso, se carece del trmino cbico y cuadrtico, pero sigue siendo una funcin curtica.

x 4

21xx

4

1xG 4

2 4

3

1 4

0 4

21

1 6

2 4

13

Rango= ,5

Dom = ,

x

f (x)

44

2111

4

11G

4

75.04

3

4

2122

4

12G

4

25.54

21

4

2100

4

10G

4

64

2111

4

11G

4

25.34

13

4

2122

4

12G

4

BLOQUE 1 45

Su grfica es:

Funciones racionales.

Son las funciones que estn formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:

xQxP

xf donde xP y xQ son funciones polinomiales slo que 0xQ .

En el caso de que xQ sea constante, se obtiene una funcin polinomial, como se muestra al simplificar la funcin

2

1x8x4xf

2 .

Para simplificarla es necesario realizar la divisin.

2

1x4x2xf

2

1x

2

8x

2

4xf

2

1x8x4xf

2

2

2

Se obtiene una funcin cuadrtica y su grfica es la siguiente: Su dominio y rango es:

,2

5Rango

,:Dom

Rango= 6,

Dom = ,

x

G(x)

x

f (x)


En esta seccin se ejemplificar la forma que tienen las funciones racionales con denominador diferente a una funcin constante y en el bloque 4 se abordar ms a fondo este tipo de funciones. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 2x

4xxf

2

; determinar su dominio y su rango.

Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la funcin.

Al graficar se obtiene:

Como se observa en la grfica, el comportamiento de los puntos parece ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de 2, el cociente tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder determinar el comportamiento alrededor de la indefinicin, se requiere tomar valores cercanos a x=2, como se observa en la siguiente tabla.

x 2x

4xxf

2

4 6

3 5

2 No est definido

1 3

0 2

1 1

2 0

62

12

24

444f

2

51

5

23

433f

2

definidoestNo0

0

22

422f

2

31

3

21

411f

2

22

4

20

400f

2

13

3

21

411f

2

04

0

22

422f

2

x

f(x)

BLOQUE 1 47

Al graficarse la tabla con los valores ms cercanos a 2, se observa lo siguiente: El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graficando valores de x ms cercanos a 2, para comprobar que efectivamente ese comportamiento. Por lo tanto, se dibuja la lnea pero con un punto hueco a la altura de 4.

El dominio y el rango se componen de una unin de dos intervalos, como se observa en la grfica.

,44,Rango

,22,Dom o bien

4Rango2Dom

x 2x

4xxf

2

2.8 4.8

2.6 4.6

2.4 4.4

2.2 4.2

2 No est definido

1.8 3.8

1.6 1.6

1.4 3.4

1.2 3.2

8.48.0

84.3

28.2

48.28.2f

2

6.46.0

76.2

26.2

46.26.2f

2

definidoestNo0

0

22

422f

2

2.42.0

84.0

22.2

42.22.2f

2

8.32.0

76.0

28.1

48.18.1f

2

6.34.0

44.1

26.1

46.16.1f

2

2.38.0

56.2

22.1

42.12.1f

2

4.36.0

04.2

24.1

44.14.1f

2

4.44.0

76.1

24.2

44.24.2f

2

x

f (x)

,4

4,

2, ,2

x

f(x)


Ejemplo 2.

Graficar la funcin 1x

xxL

; determinar su dominio y su rango.

Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la funcin.

Al graficar se obtiene:

La grfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, as como tambin valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente tabla.

x 1x

xxL

3 0.75

2 0.67

1 0.5

0 0

1 No est definido

2 2

3 1.5

4 1.3

75.0

4

3

13

33L

67.0

3

2

12

22L

5.0

2

1

11

11L

0

1

0

10

00L

definidoestNo

0

1

11

11L

2

1

2

12

22L

5.1

2

3

13

33L

3.1

3

4

14

44L

x

L(x)

BLOQUE 1 49

Segn los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente forma:

Al seguirse graficando puntos ms cercanos al 1, se tiene que a su derecha tienden a irse a infinito ( ) y al acercarse por la izquierda del 1, tienden a irse a menos infinito ( ). Al igual que en los extremos, entre ms grande el nmero, el valor de la funcin se acerca al 1 por arriba, y entre ms pequeo es el nmero, el valor de la funcin se acerca a 1 por abajo, por lo tanto, la grfica completa quedara as:

Las lneas punteadas se llaman asntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar la funcin, es por ello que su dominio y rango son:

,11,Rango

,11,Dom o bien

1Rango

1Dom

x 2x

4xxf

2

6 0.86

5 0.83

0.5 1

0.8 4

1 No est definido

1.2 6

1.5 3

5 1.25

6 1.2

83.0

6

5

15

55L

1

5.0

5.0

15.0

5.05.0L

4

2.0

8.0

18.0

8.08.0L

6

2.0

2.1

12.1

2.12.1L

definidoestNo

0

1

11

11L

3

5.0

5.1

15.1

5.15.1L

25.1

4

5

15

55L

2.1

5

6

16

66L

86.0

7

6

16

66L

x

L(x)

,1

1,

1, ,1

x

L(x)


As como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en sus grficas, encontrars que las funciones racionales son muy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones polinomiales que contengan en su numerador y denominador. Funciones irracionales.

Son las funciones que se identifican por poseer races que involucran a la variable, este tipo de funciones no se pueden expresar como funciones racionales. Algunos ejemplos de funciones irracionales son:

5x2xf 3x2xg 2 3 2 4xxh

Se debe descartar aquellas funciones en las que se pueda extraer la variable de la raz, como por ejemplo.

En la funcin 4 8x4xf , se puede extraer la raz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado

244 8 x4x4xf , dejando ver que se trata de una funcin polinomial.

La funcin 6x5x3xf 22 se puede expresar como 6x5x3xf 2 , que resulta ser una funcin polinomial. Se ejemplificarn algunas funciones irracionales para observar su comportamiento. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 2xxf , as como determinar su dominio y su rango. Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

Como se observ, los valores que se pueden sustituir en la funcin son aquellos en los cuales el radicando sea un nmero no negativo, puesto que la raz cuadrada de un nmero negativo pertenece al conjunto de nmeros imaginarios, no a los nmeros reales.

x 2xxf 1 No es nmero real 0 No es nmero real

1 No es nmero real

2 0

3 1

4 1.4

5 1.7

6 2

realnmeroesNo3211f realnmeroesNo2200f realnmeroesNo1211f 00222f 11233f 4.12244f 7.13255f 24266f

BLOQUE 1 51

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene:

x

f (x)

Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde existe la funcin son mayores o iguales a 2 ( 2x ), por lo tanto, la lnea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la grfica de la siguiente forma:

x

f (x)

El dominio y el rango son:

x

f (x)

Dom = ,2

Rango= ,0


Ejemplo 2.

Graficar la funcin 3x42xL , as como determinar su dominio y su rango. Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene:

x

L(x)

De acuerdo al comportamiento de la funcin, los valores que hacen que sea verdadera son para x menores o iguales de 4 ( 4x ), por lo tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la grfica de la funcin como sigue:

x 3x42xL

2 1.9 1 1.5 0 1 1 0.5 2 0.2

3 1

4 3

5 No es nmero real

5.135231421L 9.136232422L

134230420L 5.033231421L 2.032232422L 131233423L 330234424L realnmeroesNo31235425L

x

L(x)

Dom = 4,

Rango= 3,

BLOQUE 1 53

Funciones Trascendentes. Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonomtricas, las cuales conociste en Matemticas 2; tambin se consideran trascendentes las funciones exponenciales y logartmicas. A continuacin se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas. Funciones trigonomtricas. En ellas se utilizan las relaciones trigonomtricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, as como tambin las trigonomtricas inversas. Hay que recordar que las funciones trigonomtricas surgen de la comparacin por divisin de las magnitudes de un tringulo rectngulo. En el bloque 6 conocers a detalle las funciones trigonomtricas, entretanto, se graficarn algunos ejemplos para visualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como lo aprendiste en matemticas 2. Ejemplo 1.

Graficar la funcin xsen)x(f , determinar su dominio y rango.

Al graficar los puntos se obtiene la grfica:

x

f (x)

x xsen)x(f

6 0.28 4 0.76 2 0.91 0 0

2 0.91

4 0.76

6 0.28

x

a

bc

b

axcot

a

bxtan

a

cxsec

c

axcos

b

cxcsc

c

bxsen

28.06sen6f 76.04sen4f 91.02sen2f 00sen0f 91.02sen2f 76.04sen4f 28.06sen6f


En matemticas 2, aprendiste a graficar estas funciones utilizando los valores que provocan cambios importantes en

ellas, los cuales son los mltiplos de 90, stos se grafican en el plano cartesiano en radianes como mltiplos de 2

; a

continuacin se muestra se muestra la tabla en estos trminos. Graficando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la grfica, el cual es peridico.

Al graficar la funcin y ubicar solamente los mltiplos de 2

queda:

x xsen)x(f

2 0

2

3 1

0

2

1 1

0 0

2

1 1

0

2

3 1

2 0

02sen2f

12

3sen

2

3f

0senf

12

1sen

2

1f

00sen0f

12

1sen

2

1f

0senf

12

3sen

2

3f

02sen2f

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

Dom = ,

Rango= 1,1

BLOQUE 1 55

Ejemplo 2.

Graficar la funcin 1xcos3)x(T , determinar su dominio y rango. Tomando en cuenta que el comportamiento de las funciones trigonomtricas cambia en los mltiplos de , la tabla queda: Al ubicar los puntos y trazar la lnea se obtiene la grfica:

x 1xcos3)x(T

2 2

2

3 1

4

2

1 1

0 2

2

1 1

4

2

3 1

2 2

x

T(x)

Dom = ,

Rango= 2,4

212cos32T

112

3cos3

2

3T

41cos3T

112

1cos3

2

1T

20cos30T

112

1cps3

2

1T

41cos3T

112

3cos3

2

3T

212cos32T


Funciones exponenciales. Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:

1x2exf 3x2

2xf x

3

1xf

En las funciones anteriores A continuacin se muestran ejemplos de grficas de funciones exponenciales para conocer a grandes rasgos su comportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la funcin, se requiere utilizar calculadora. Ejemplo 1.

Graficar la funcin 23xf x , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Ubicando los puntos se obtiene la grfica:

Se observa en la grfica, entre menor sea el valor de x, la funcin se acerca al valor de 2, de hecho, jams va a tomar el valor de 2, esto se puede visualizar analizando la funcin. Como la funcin es exponencial, el valor del exponente es el que vara.

23xf x

Si la x es grande, el valor de x3 crece muy rpido, si la x es cero, su

valor es 130 , si el valor es negativo significa que se puede

expresar como: 4

4

3

13 , se hace casi cero, pero jams ser cero

ni negativo.

Por lo tanto, si x3 no puede ser cero, 23x no podr tomar el valor de 2, ni tampoco nmeros menores que este valor. Se podra decir que existe una recta asntota a la altura de y=2, que impide que la funcin toque ese valor.

x 23xf x 5 1.996 4 1.988 3 1.963 2 1.889 1 1.667 0 1 1 1

2 7

3 25

996.1235f 5

988.1234f 4

963.1233f 3

889.1232f 2

667.1231f 1

1230f 0 1231f 1 7232f 2 25233f 3

x

f (x)

BLOQUE 1 57

Ejemplo 2.

Graficar la funcin 3exP x , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

x 3exP x 5 2.993 4 2.982

3 2.95 2 2.865 1 2.9 0 2

1 0.282

2 4.389 3 17.086

x

f (x)

Dom = ,

Rango= ,2

El nmero e es un nmero irracional famoso, y es uno

de los nmeros ms importantes en matemticas.

Las primeras cifras son: 2.7182818284590452353 Se le conoce tambin como

el nmero de Euler por Leonhard Euler.

933.23e5P 5

982.23e4P 4

95.23e3P 3

865.23e2P 2

632.23e1P 1

23e0P 0 282.03e1P 1 389.43e2P 2 086.173e3P 3


x

P(x)

Al igual que el ejemplo anterior, esta funcin est delimitada por una asntota, la cual est ubicada a una altura de y=3. Por lo tanto, la grfica se visualiza de la siguiente forma:

x

P(x)

Dom = ,

Rango= 3,

BLOQUE 1 59

Funciones logartmicas. stas son las funciones inversas a las funciones exponenciales, su definicin y propiedades se retomarn ms adelante, mientras tanto, slo se ejemplificar su forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora cientfica. Las funciones logartmicas ms usadas son las que tienen base 10 o base e, y se escriben:

10logLog elogLn

Algunos ejemplos de ellas son:

xLnxf 1xlog2xf xlog3xf En las funciones anteriores A continuacin se muestran ejemplos de grficas de funciones logartmicas para conocer, a grandes rasgos, su comportamiento y establecer su dominio y rango. Ejemplo 1. Graficar la funcin xLn2xf , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no existe la funcin, esto es porque as como en la funcin exponencial, para cualquier valor que sustituyas en el exponente nunca ser cero ni negativa, la funcin logartmica al ser su inversa, no podrs sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedar mucho ms claro cuando veas ms detalladamente los temas de funciones inversas, funciones exponenciales y logartmicas. Continuando con la grfica, se ubican los puntos y se obtiene:

En esta ocasin, la asntota es vertical y se ubica exactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la funcin para x negativa o cero.

x xLn2xf 0.5 No existe

0 No existe

0.1 4.61 0.3 2.40 0.5 1.39 1 0

2 1.39

3 2.20

4 2.77

5 3.22

39.15.0Ln25.0f

existeNo5.0Ln25.0f existeNo0Ln20f

01Ln21f 39.12Ln22f 20.23Ln23f

40.23.0Ln23.0f 61.41.0Ln21.0f

77.24Ln24f 22.35Ln25f

x

f (x)


Por lo tanto, su grfica queda:

Ejemplo 2.

Graficar la funcin 21xLogxS , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Los puntos quedan de la siguiente forma:

En esta ocasin la asntota est ubicada en x=1, dado que en la funcin, cuando x=1, se tiene que obtener el valor de log(0) y ste no existe, as como tambin, valores de x mayores que 1 se tendra log( negativo), por lo tanto, no existe.

x 21xLogxS 5 2.78 4 2.70 3 2.60 2 2.48 1 2.30 0 2

0.5 1.70

0.8 1.30

0.9 1

1 No existe

2 No existe

x

f (x)

Dom = ,0

Rango= ,

78.2215Log5S 70.2214Log4S 60.2213Log3S 48.2212Log2S 30.2211Log1S 2210Log0S 70.1215.0Log5.0S 30.1218.0Log8.0S 1219.0Log9.0S existeNo211Log1S existeNo212Log2S

x

S(x)

BLOQUE 1 61

Trazando la lnea se obtiene la siguiente grfica:

Dom = 1,

Rango= ,

x

S(x)

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos acerca de la clasificacin de funciones. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20funcin%20seno http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html


Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Complementacin de la tabla.

Puntaje:

Saberes


Reconoce la clasificacin de las funciones, as como el dominio y rango de ellas.

Clasifica las funciones y calcula el dominio y rango de las mismas.

Expresa sus dudas y corrige sus errores.


docente

Clasifica las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos.

Funcin Clasificacin Nombre Dominio

x

3xxf

3x2xxr 2

xtanxH

7xN

24xF x

2x6xxk 24

3x

9xxg

2

1x32xq

1xsen4xt

13xLnxs

6x5xL

52x4xw3

Actividad: 2

BLOQUE 1 63

Segn la presentacin de su forma analtica.

De acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que una funcin es de la forma xfy , pero no todo el tiempo es expresada igual. En ella se observa claramente que x es la variable independiente (como se ha visto desde Matemticas 1), y y es la variable dependiente, porque est en funcin de x. Es por ello que es fcilmente identificable cuando se tiene una funcin de esta forma; sin embargo, cuando se posee una expresin en la que la variable dependiente no est despejada, no es tan sencillo visualizarla, es por ello que para hacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas de presentar una funcin se les conoce como funciones explcitas y funciones implcitas; a continuacin una breve explicacin de cada una de ellas. Funciones explcitas. Son aquellas que se representan mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente despejada en uno de sus miembros y en el otro una expresin en trminos de la variable independiente, como por ejemplo.

1. 2x3xy 2

2. 11x2y

3. 13xf x En realidad, todas las funciones que se describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma explcita, debido a la sencillez que proporciona esta forma en la sustitucin de valores. Funciones implcitas. Son aquellas que se representan por medio de una ecuacin en donde la variable dependiente e independiente aparecen mezcladas en uno o ambos miembros de la igualdad, como se muestra a continuacin.

1. 08y3x4

2. 8y4x6y2x32

3. 1yx 22

4. 06y3x2x2

5. 0x3yx2

6. 06y4x2y2

Cuando se tiene una funcin implcita y se desea conocer algunos puntos que pertenezcan a la funcin, es recomendable despejar la variable dependiente para transformarla en una funcin explcita y llevar a cabo de forma ms simple, la sustitucin de valores, aunque en algunas ocasiones se complica el despeje de la variable dependiente, como sera el caso de la funcin nmero 5, en la cual se tiene y2 y y, se tendra que utilizar un mtodo de factorizacin para llevar a cabo el despeje. El saber despejar una variable ser fundamental para encontrar la funcin explcita, pero an ms, para expresar la inversa de una funcin, como se ver en el siguiente bloque. La notacin implcita se utiliza mucho en asignaturas posteriores, como en Clculo diferencial e integral I y II. A continuacin se transformarn las funciones implcitas anteriores en funciones explcitas, utilizando despeje simple en algunas de ellas, hasta el mtodo de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el caso de la sexta funcin.


Funcin implcita Funcin explcita. Nombre

08y3x4

3

8x

3

4xf

3

8x

3

4y

3

8x4y

8x4y3

08y3x4

Funcin lineal

8y4x6y2x32

1xf1y8y8

8x6x6y4y4

8y4x6y4x6

8y4x6y2x32

Funcin constante

1yx 22

1xy

1xy

1xy

1yx

2

22

22

22

De sta se derivan dos funciones .

1xxf1xy

1xxf1xy

22

22

Funcin irracional

06y3x2x2

2x3

2x

3

1xf2x

3

2x

3

1y

3

6x2xy

6x2xy3

06y3x2x

22

2

2

2

Funcin cuadrtica

0x3yx2

22

2

2

x

2x3xf

x

2x3y

2x3yx

2x3yx

Funcin racional

06y4x2y2

2x210xf2x210y

2x210xf2x210y

2x210y

x2102y

x2102y

4x264y4y

x26y4y

06y4x2y

2

2

2

2

Funcin irracional

BLOQUE 1 65

Evaluacin

Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes


Identifica la forma explcita e implcita de una funcin.

Obtiene la forma explcita de una funcin, a partir de su forma implcita.

Expresa la importancia del manejo del lgebra en la obtencin de funciones explcitas.


docente

Convierte las siguientes funciones implcitas en explcitas. 1. 09y2x4

2. 05y2x 2

3. 011y3

4. 01x3xy12xy3 2

5. y44xy4yx2

Actividad: 3


Segn su grfica. En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cmo el dominio y el rango van cambiando dependiendo de qu valores se puedan sustituir en la funcin y qu se obtiene de la misma; tambin se vieron funciones en las que para ciertos valores de x la funcin no existe o bien se acota mediante rectas imaginarias (asntotas), pues bien, ahora existe otra clasificacin y sta se refiere al comportamiento de su grfica y slo contempla dos tipos, aquellas que su grfica nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir, continuas o discontinuas. A continuacin se proporcionar una definicin intuitiva de estos dos conceptos. Funciones continuas. Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lpiz del papel, stas no sufren ninguna separacin, salto o hueco. Ejemplo de ellas, son todas las funciones polinomiales, la funcin seno y coseno, pertenecientes a las funciones trigonomtricas, as como tambin las funciones logartmicas y exponenciales. A continuacin se mostrarn algunas grficas de funcione continuas.

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

Funciones discontinuas. Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa en las siguientes grficas.

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

Cuando se tiene la representacin analtica de la funcin, la discontinuidad existe para aquellos valores de x en donde la funcin se indefine, como es el caso de las funciones racionales, las cuales se indefinen para aquellos valores donde el denominador es cero.

BLOQUE 1 67

Desarrolla lo que se pide en cada seccin. I. Escribe en la lnea debajo de cada grfica, si la funcin es continua o discontinua, expresa

su dominio y rango con intervalos.

x

f (x)

x

L(x)

______________________________________ ______________________________________

Dom: ___________________ Dom: ____________________

Rango:__________________ Rango: ___________________

x

M(x)

x

T(x)

______________________________________ ______________________________________

Dom: ___________________ Dom: ____________________

Rango:__________________ Rango: ___________________

Actividad: 4

RECONOCE Y REAL

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