FASCICULO DE BIOINGENIZRIA

FUNCIONES

DIEGO BARPd3ONA PERA

DICIEMBRE, 1984

PRESENTACION

~l presente fascículo forma p,arte de una coleccibn de textos breves,

escritos por miembros del Area de Ingenierla Biomedica de la Univer-

sidad Autdnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa o por autores invita -

dos.

La finalidad de estos Fascículos de Bioingeniería es principalmente

difundir y exponer algunas ideas comunes a la Ingenierla, la Biolo-

gla y la Medicina, que nos han resultado de interés y que puedan -- ser de utilidad en las labores docentes y de investigacibn.

El conocimiento de la realidad exige un enfoque multidisciplinario,

que en la Universidad Autbnoma Metropolitana ha ido encontrando un

ambiente propicio de desarrol.lo. Aunque algunos de los temas tra-

tados en estos fascículos pueden catalogarse sin dificultad en al-

guno de los casilleros cldsicos en los que se han dividido la ciencia

y la tQcnica, otros estardn lejanos de aceptar tal clasificacibn.

La experiencia en el Area de Ingenierfa Biomédica es que, en general,

en el proceso de conocer y transformar el mundo que nos rodea, debe-

mos desentrañar, describir y utilizar mGltiples relaciones del objeto

de nuestra atencibn, empleando para ello instrumentos e infomaci6n

que solamente adquieren pleno sentido al verse aplicados en forma - creativa a un determinado terna o propbsito.

Como todo lo que nace, estos fascículos adquirirdn forma y funci6n

a traves del tiempo. Entonces, en su contenido individual y en su

conjunto, mostrarán por lo menos la manera en que entendemos la por

cien de la realidad que hemos escogido investigar para beneficio - propio y de nuestros semejantes.

-

1Jonwnos a la consideraci6n dl> la comunidad universitaria y del pGbli -

co en general este aporte del Area de Ingenierza Biomedica, con la -

esperanza de que favorezca el intercambio de ideas y de que, a traves

del mismo, incremente el conocimiento de los temas que aquf se traten.

Agradeceremos toda critica o sugerencia que ayude a mejorarlos.

OBJETIVOS DEL FASCICULO

Con estas notas se pretende recordarle al estudiante el concepto de

funci6n con todas sus implicaciones y,propiedades a un nivel senci-

llo.

Estos apuntes es un producto de la experiencia del autor en las cla -

ses de Matemdticas I, I1 y 1I:I en la Divisidn de Ciencias Bioldgicas

y de la Salud, impartidas entre los años 1979 y 1 9 8 2 y el tratamien-

to en su presentaci6n es de una forma no tradicional y muy accesible.

Los temas que se tratan son 1.0s de funciones, relaciones, funciones

inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, Dominio, Imdgen y Codominio,

asl como funcian inversa y el. algebra de funciones. Se requiere un

conocimiento de Algebra a nivel preparatoria y Geometrfa Analftica

en un nivel bdsico.

Cualquier sugerencia es bienvenida y se tomard en cuenta para futu-

ras ediciones.

FUNCIONES

DEFINICION. Sean A, B dos co,njuntos arbitrarios.

Definimos como el PRODUCTO CARTESIANO de A y B , deno-

tado por A x B , a.1 con junto:

Ejemplo:

Se puede observar que en general A x B # BxA

DEFINICION. Sean A y B conjuntos

entonces

un conjunto R se llama una Relación entre A y B

ssi R C A x B

Ejemplo 1. A , = { 1 , 2 )

R1 = {(l,a) , (Ii,b)) R2 = {(l,a) , (:?,b) , (2,~)) son ejemplos de relaciones entre A y B

2.

i.;jelnplo L. A = 11,2,3,4,51

B = (1,3,5,71

interpretaremos graficamente el producto de IL y B

B

3 . - Si A = [ O , l ]

B = [ 2 , 3 ]

I

1 1 -

4.- Para hacer mds sencilla la representaci6n supondremos en

adelante (salvo que se indique lo contrario) que tanto A

como B son conjuntos infinitos y que sus elementos se ha-

llen sobre un trazo dado,, es decir

3.

A continuaci6n daremos algunos ejemplos de relaciones usando la

notacidn de conjuntos.

a)

I A 1

Supongamos que M tiene como coordenadas (0,l) la recta que pasa

por M y N tiene como ecuaci6n.

y - l = 1-3/4 lo que nos dd x-o 0-1

x+4y = 4 I con x,y E [0,1]

4.

Y = - 3/4 lo q u e n o s db X 1

3x-4y = o con x,y E: [0.11

por l o t a n t o R queda determinado por

I- 3

R1 = {(x,y) [-2,2] x [ - 3 , 3 ] / x2+y2 - 1)

5 .

P

V” N

U -- M

1 2 3

A = [0 ,31

B = [ 0 , 2 ] intervalos

u = ( 0 , l ) P = ( 0 , 2 )

V = ( 0 , 1 . 5 ) N = ( 3 , 1 . 5 )

M = ( 3 , l )

la recta que pasa por O y 1% tiene por ecuaci6n

Y = - = > x -3y = 0 = > y - - 1 - X x 3 3

la recta que pasa por N y :P tiene por ecuacidn

X = 1 2 - 6y

Consideremos la relaci6n R entre A y B tales que los puntos

de R estdn en el segmento PN o en el segmento OM . - -

6.

Elijamos un punto arbitrario de A, digamos x. = 2

Levantemos por x = 2 una recta paralela a B , al cortar esta

recta al segmento OM determina sobre B el punto que determina -

remos a continuación.

El segmento OM tiene por ecuación -

como x = 2 tenemoslpor una simple sustitución que 2 y = 3. En

forma anbloga, la recta corta al segmento NP cuya ecuaci6n es -

en el punto que calculamos

x = 2 12-2 _, 5 y = - T - " " 3

por lo tanto los puntos

7 .

Si observarnos el ejemplo (b) y consideramos el punto 1 E A en - tonces el Gnico p u n t o y EB tal que ( 1 , y ) E R1 es y = O .

Sin embargo si elegimos como x = . 5 vemos que existen una in-

finidad de y E €3 tal que (.5, y ) t l R, basta con resolver la - desigualdad

( . 5 ) 2 + Y 2 - < 1.

para encontrar tantos puntos como desearamos.

Nos interesan las relaciones que satisfagan las siguientes condi -

cienes :

Dado un punto arbitrario x 5 A, al trazar la paralela al conjun -

to B, corte en uno y solo un punto a la gráfica de la relación.

A las relaciones que satisfagan esta condición las llamaremos --

FUNCIONES.

Definiremos a continuacien dte una manera m%s formal este concepto.

DEFINICION. Sean A, B conjuntos, R una relación entre

A y B. Entonces R es una FUNCION ENTRE A

y B (o bien es una FUNCION DE A a B)

S S í

dado cualquier elemento x E A, existe un Gni

co elemento y E B tal que (x,y) E R

OBSERVACION (1) Para los alumnos que manejan los cuantificado-

8 .

res podemos escribir esta definici6n de la

siguiente manera

RcAxB es una función de A a B

s s i

‘d

(2) Otra forma de definir función es la siguiente:

RcAxB es una función de A a B

SS1

Ejemplos

a) B

1

A

RcAxB no es funci6n

RICAxB no es funci6n

9 .

H

DEFINICION:

NOTACION

R CAxB no es función 2

R3CAxB es función

R4CAxB es funcidn

A

Sea F C A x B , F funcidn

=>

A se llama DOMINIO DE F

B se llama CODOMINIO DE F

i) F C A x B , función, entonces escribiremos

F:A -+b B

ii) Si ( x , y ) E F escribiremos

10.

Ejemplo 1) A = {1,2,3}

B = {a,b,c,d,e)

F : A " t B

F ( 1 ) = a

F ( 2 ) = a

F ( 3 ) = e es una funci6n

Ejemplo 2 ) Si A = { x & I N / x es par}

B = I N

no podemos como en el ejemplo anterior indicar uno por uno que

pasa con cada x E A , necesitamos alguna "formula" que nos lo

diga, pues A tiene "demasiados" elementos.

Por ejemplo

f : A " c B

f (n) = 2n - 1 2

Si quieremos calcular f(6) nos basta con sustituir n por 6,

es decir

f ( 6 ) = 2-(6)2 - 1 f ( 6 ) = 71

es decir (6,71) E f

DEFINICION f : A - B funci6n

y = f ( x )

11.

entonces

f (x) se llama IMAGEN DE x BAJO f

Ejemplos : f :IR+ IR 2 1

3 f ( x ) = x + - x - 2

i) la imagen de 3 bajo f es

f ( 3 ) = (3) + 7 3-2 2 1

f ( 3 ) = 8

es decir (3,8) E f

ii) la imagen de . S bajo f es

f(.5) = ( . 5 ) + 7 0.5 - 2 2 1

="".2=" 1 5 1 4 30 1 2

1 1 es decir ( 2 I - 1 2 ) E f

veamos la grdfica de f

2 1 3 f ( x ) = y = x + - x - 2

Campletando cuadrados en

el segundo miembro de la ecug

ci6n tenemos

12.

2 1 1 y = x + - x - - - 2

2 1 1 73 y = ( x + - x - t - ) " 3 36 36

3 36 + 36

73 = (x + - ) ( Y +x) 6 1 2

e s una pardbola

1 73 60 ' 36

- - ) q u e se abre hacia arriba con centro ( - --

I A + A

T (x ) =x se ll.ama funci6n I D E N T I D A D su qrgfica e s :

13.

3 )

4 )

h : A - B h(a)=b b fijo

Se llama Funci6n CONSTANTE y su grdfica es

I y raf (h) I

B

i : A - B A c E

i (x) =x

se llama funcidn INCLUSION y SU urdf ica es

OBSERVACION Si k : A - B y=k (x)

a su representaci6n grdfica la denotaremos por graf (k)

14.

XA : B - (.3,1} 1 si x E A

O si x E A

se llama función CARACTERISTICA DE A, su grdfica

' t I ! I !

!

Consideremos ahora la siguiente funcidn 1 2

f : [-1,ll - C [ O , 2 ]

f ( x ) = x 2

A = [-1,1]

B = [0,2]

+A- podemos calcular la imagen dle cualquier punto de A

f ( - .5) = . 2 5

15.

consideremos el conjunto B,

elijamos un punto arbitrario y € B y tracemos una llnea parale

la al conjunto A, podemos observar que la llnea puede cortar a

la gr6fica en 1, 2 6 ningdn punto.

Por ejemplo si tomamos primero y = O

corta en x = O a la grdf ica (O , O ) E f

Si tomamos ahora y = 1

corta a la gráfica en 2 puntos, M y N,

por lo tanto (1,l) , (-1,l) E: f, lo que es lo mismo que f (1) =

f (-1) = 1 a continuaci6n consideremos y = 1.5

la recta no corta a la grbfica, lo que significa que

si x e A f(x) # 1.5

Consideremos otro ejemplo: sen : [0,271]- [-1,1]

Si tomamos cualquier punto de B(-1,l) y trazamos una paralela

a A, corta a la grdfica en. dos puntos, es decir

16. veamos el caso mds general

t

E 1 1 I

: E l

f : A - B

funci6n

prestemos atención en el

conjunto B1 C B .

podemos observar que B1 posee la siguiente propiedad.

"dado cualquier y E B , existe al menos un elemento x1 E A

tal que

Sin embargo el conjunto (B-E 1 ) R posee la propiedad siguiente

"dado cualquier y & ( B - B 1 ) , no existe ningGn elemento XE A tal

dicho de otra manera

dado cualquier x E A se tiene que f ( x ) ,E! (B-B1)

De lo anterior se puede deducir que el codominio de un conjunto

contiene un subconjunto con una propiedad importante, dicho sub -

conjunto se le llamar5 IMAGEN DE f y se denotará Im (f).

Daremos a continuaci6n una definición más formal de Imagen.

DEFINICION : f : A 13 función

entonces

Im (f) = (:€(x) / x E A}

17.

OBSERVACION: Se puede escribir tambiBn como

Ejemplos:

1) f : I R - l P n

f (x) = x >!

ya que x 2 - > O tenemos que

f ( x ) 2 o . .. Im ( f ) = [ O , a]

Note que Im ( f ) C IR f

es decir Im ( f ) c Codom (f) +

2) f : IR- ( 0 ) {l,-ll

f ( x ) = Jx-l x

si x < O tenemos 1 x I > O

1x1 = - x > o

por lo tanto

si x > O tenemos I x I = x

18.

Im (f) = {-l , : l}

Note que Im (f) = Codom (f)

En general se dice:

"Sea f (x) = y una funcibn"

por ejemplo f (x) = 2 X - 1 g(x) = x

h(x) = x

2

u(x) = - 2x x- 5

Si no deseamos cometer errores es necesario conocer bien el domk

nio y codominio (Si A, B _C m f: A -f B diremos que f es

una FUNCION REAL DE VARIABLE REAL).

19.

El objetivo de estas notas son las funciones reales de variable

real, y para no tener problemas se recomienda, siempre que nos

den f ( x ) = y suponer que Codom (f) = IR .

Sin embargo en el Dom (f) no se puede hacer lo mismo.

Consideremos la "funci6n real de variable real siguiente"

f (x) = Jx-l

si suponemos que dom(f) = IR nos vemos tentados a preguntar

¿cud1 es la imágen de - 3 ? .

sin embargo 2i $ IR

en cambio si Dom (f) = [ S , 4 se tiene que, x E [ 5 , "1 es

decir x - > 5 se tiene que

f ( x ) E IR

mbs facil a6n serla tomar

Dom ( f ) = (1)

la pregunta que corresponde hacer ahora es ¿Cud1 es el m6s grande

subconjunto A de IR que podemos considerar para Dominio de f?

necesitamos que dx--T E IR

lo cual es equivalente a que x - 1 ' 0 -

X ' O -

20

o bien x E [1 ,"I

y vemos que cualquier otro subconjunto de IR que contenga

propiamente a A no nos sirve.

A este conjunto (el ''mas grande posible") lo llamaremos "DOMINIO

M I M O DE DEFINICION DE f "

Ejemplos:

1 ) f ( x ) = x - :t 2

Dom (f) = IR

Codom ( f ) = :R

f : I R + IR 2 f ( x ) ' = x - :1

Dom (9) = IR - ( - 1 , l )

Codom (9) = IR

21.

g : IR - (-1, 1) -+ IR

Jx7 1- 3) t(x) = - x- 3 ,- -

t(x) t IR <=> - x- 3 Jx+l IR

es decir, los puntos deben satisfacer dos condiciones:'

(I) x - > - 1 (11) x # 3

"1 1

I 3

En cada uno de estos ejemplos veamos cual es la imagen

(1') f : IR -+ IR 2 f (x) = x

2 2 .

supongamos

y F Im (f)

el hecho de que y pertenezca a la Imagen de f implica que

debe haber al menos un x F. IR tal que

entonces x = y 1

lo cual nos dice que y E IM (f)<=> y - > o

la tgcnica usada es suponer un punto en la imagen y ver que res

tricciones hay que imponerle.

-

( 2 ’ ) g : IR - (-1, 1) -+

sea y 6 Im (9)

por lo tanto existe X E IR -(1 -1) tal que

2 3 .

como y* + 1 2 1 no hay restricciones sobre y salvo el hecho

de que

vemos otro ejemplo

f (x) = - 3x- 5 2x- 1

sea

f (x) E IR <=>2x-17~0<=> x#l/2

Dom (f) = 33 - {1/2}

y E: IM (f) y x E- IR - {1/2} tal que

3x-5 Y = =

y(2x-1) = 3x-5

x = y-5 2y- 3

vemos que 2y-3#0 => y#3/2

. * . Im (f) = IR -- {3/2}

podemos preguntar por ejemplo ¿qué elemento del dominio de f

va a parar al 8

ie y=8 x=?

x = y-5 = > x := - = 3/13 8-5 2y-3 16-3

x = 3/13

2 4 .

”

3 3- 1 3 3 5 comprobemos f(n) = 2 . - -

1 3 3 1

3 f(D) = 8

f ( ) no existe sin embargo 3

LA PRE-IMAGEN DE y BAJO f

OBSERVACION: f : A -+ B

si y EIm(f) => f ( Y ) # 0

si y g I m ( f ) => f ( y ) = O

-1

-1

Ejemplos

1 ) f : J R = > I R

f (x) = x

f (O) = { o ; o F Im(f)

f ( 4 ) = {-2,2) 4 c Im(f)

2

-1

-1

25.

note que

X A -1 ( 1 ) = A

X A (O) = B-A -1

t : m + m

t(x) = 5

Estudiaremos a continuaci6n la:; funciones inyectivas, sobreyec -

tivas y biyectivas.

x x,x x x x X 1 , 2 3 4 5 6 7

A FIG. 1

FIG. 2

26.

En la figura 1 se puede observar que si trazamos una recta Parale

la, al eje A por algtin punto de B, corta a la curva en ningun - punto (y,) 6 en un punto (y1 ,y4) o en mds puntos (Y2'Y3) -- mientras que en l a figura i? la paralela corta a lo mds en un pun-

to a la curva

tenemos

DEFINICION:

f : A +. B se llama

FUNCION INYECTIVA (O UNO A UNO)

ssi

OBSERVACION: Si utilizamos los conceptos ya estudiados vemos - que la definici6n anterior es equivalente a

2 7 .

Observemos ahora otras 2 grdficas de funciones

I A FIG. 3

En la figura 3 hay puntots de B que no tienen preimagen, como Y2

En la figura 4 todos los puntos de B tienen preimagen

tenemos que Im (h) Codom (h)

Im(t) = Codom(t)

la grdfica de la figura 4 corresponde a una funci6n sobreyecti - va, que se puede abreviar: "sobre".

28.

DEFINICION: f : A -'B se llama función

SOBREYECTIVA

ssi

Im(f) = Codom (f) = B

OBSERVACION: La definici6n anterior es equivalente a

y'B = > f-l (y) # @

Una función que sea inyectiva y sobreyectiva se llama biyectiva

Inyectiva significa que la preimagen de un punto tiene A LO MAS

UN ELEMENTO.

Sobreyectiva significa que la preimagen de un punto tiene A LO

MENOS UN ELEMENTO.

Por lo tanto Biyectiva significa que la preimagen de un punto

tiene exactamente un elemento.

las dos grdficas corresponden a funciones biyectivas.

29.

c

Ejemplos

I : IR -+ IR funci6n identidad

x

es biyectiva

h : I R + IR

h(x) = x

no es biyectiva

no es inyectiva

no es sobreyectiva

2

30.

! I

t ( x ) = - 2x x-5

s i es b i y e c t i v a

u : [l,..) + IR

no es biyectiva

si es inyectiva

A

31.

Si a una función inyectiva se le cambia el codominio por la imagen

se transforma e n una función biyectiva.

Veamos un ejemplo interesante y conocido.

I no es inyectiva ni sobreyectiva. Si restringimos el codominio

a la imagen.

Im(sen) = [-lI11

s e n : IR -+ [ - 1 1 1 ] es ahora sobre pero no

biyectiva.

Para efectos posteriores,, restrinjamos - el dominio 1 donde sea ill

yectiva, podemos escoger entre - 3;; -

seleccionemos r 1

r 7 sea

su gráfica es

3 2 .

7" ! ! I I t

I I- 1

y ahora la función es biyectiva

A veces (como lo hicimos) se hace necesario restrinqir el dominio

de una función para que sea inyectiva.

Para que sea sobreyectiva basta restringir el codominio a su ima -

gen.

Ejemplo 2 f ( x ) = x

f : IR *JR

no es inyectiva

ni sobreyectiva

33.

f l : IR [O, " , I

es sobre pero no es

i n y e c t i v a

es b i y e c t i v a

DEFINICION: f : A + B f unc idn

es BIYECTIVA

s s i

(I) f i n y e c t i v a

(11) f s o b r e y e c t i v a

3 4 .

OBSERVACION: f : A + B biyectiva

Si

‘d

DEFINICION: S e a n f : A + B y g : B + C

x + f ( x ) x + g ( x )

dos funciones.

Entonces

g o f : A -f C se llama la composición de f y g y estS definida

Por gof(x) = g(f(x) 1

Ejemplo : f : l R - + l R

f ( x ) = x 2

g : l R -+ IR

g ( x ) = 2x + 1

Note también que, en este ejemplo, se puede definir

f o g : IR -+ m fog(x) = .f(2x +1) = (2X+1l2 = 4x2 + 4x + 1

lo cual nos muestra que e:n general f o g # g o f

35.

f : I R - + I R

f ( x ) = x

+ f : I R - 7 IR

g ( x ) = x + 1

gof : IR+ -+ IR -

c j o f ( x ) = g ( f (x)) = g( J x ) = d'? + 1

En este caso no tiene sentido la composición f o g ya que'

f o g ( x ) = f ( g ( x ) ) = f(x + 1 ) = JXTT

y como -5 Dom g

f : IR+ -* IR

f (x) = x

por l o tanto g o f no e x i s t e

luego f o g no existe tampoco

OBSERVACION : Sean f: .A -+ B I g : C - t D

x -+ f (x) x + g ( x )

d o s funciones reales de variable rea l .

36.

Sin embargo, bajo ciertas restricciones se puede efectuar la com -

posición, restringiendo 1'3s dominios.

Veamos uno de l o s ejemplos anteriores, el nhero 2

f : IR++ IR

f (x) = \ x

g : I R + I R

y ( x ) = x + 1

como se observó f g no tiene sentido, ya que

Im(g) = IR $ IR+ = Dom(f)

consideremos un subconjunto (el mayor) de Im(g) que sea tambign

subconjunto de Dom(f). Este es claramente

Dom(f) n Im(g) = IR+ IR = IR +

Al restringir el codominio de g a IR' se nos plantea el siguiente

problema respecto al dominio de g:

g : IR + IR y queremos que g: ? + IR+

es decir g ( x ) ~ O = > x + l > O = x > - 1 .-

por lo tanto si tomamos a C x E IR / X - > -1 = [-I, M

como nuevo dominio de g, se tiene

g : [ - 1 , m ) -+ IR+

f : IR+ -+ IR ya que Im(f) = IR

f o g : [ - 1 , - ) + IR+

+

37.

f . y ( s ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + l ) = ,/X"+ .

y la composición tiene sen-tido.

Planteado en una forma gen'eral , se t iene que si f : A + B y

g:C -& D son funciones reales de v a r i a b l e r e a l t a l e s que

I m ( f ) Q- Corn(g), es dec i r b # C

se considera B ' = B n C

y se restr inge e l dominio de f de l a s i g u i e n t e manera

s e t i e n e

f : A ' + B' g:C -f D

podemos efec tuar l a composición g f : A ' -& D

Ejemplo: + + f : IR -f IR g : I R - { O :I " IR - ( O } , .-

f (x) = v'x g(x) = l/x

I m f = I R t.

Dom g = IF. - { O }

I R + / T ( I R - { O } ) = IR+- { O }

i x j f ( x ) F m - { O ) IR+ - { O )

:. g o f : m+ - { O ) + IR+ - { O }

g o f : IR+ - { G I ~f IR+ - { O }

+

g o f (x) = g ( f ( x ) ) = g( JX-i = 1 / J x

la composición fog

D E F I N I C I O N : f : P. '- E

g : B ' A

Función biyectiva

g se llama FUNCION INVERSA de f , y se demuestra por g=f -1

si f o g = I.

.B g o f = IA

Ejemplo: 1) f : 1R -+ IR , g : IR + IR

f ( x ) = 2x +1 g ( x ) = - x-1 2

- - >

g = f -1

2 ) Consideremos f ( x ) = sen x ; f:JR + [-1,11

como sen no es biyectiva, pero si sobreyectiva, no podemos de-

finir su función inversa, sin embargo, si restringimos su domi -

nio como se hizo en l a página 2 8 , tenemos

39.

- ”%. 71 ”

2 2 + [-1,1] es biyectiva

sen r- claramente, la funcidn sen y 2 no son iguales

sin embargo, por abuso de lenguaje, denotaremos a ambas por

sen : 7~ + [-1,13 y sen : -+ 2

entonces sen : ’ir 2 1 -+ [-1,1] es biyectiva, su función -1 L J

inversa sen se denota por arcsen y

4 0 .

ALGEBRA DE FUNCIONES

DEFINICION:

f : A + l R

g : c + l R funciones reales de variable real

sea K = A n C

se define entonces

(ii)

(iii)

OBSERVACION: Estas cuatro operaciones entre funciones es lo que

se conoce como el A l g e b r a de Funciones.

41.

Ejemplos:

1) f : IR +lR

f (x ) = 2x + 1

g : I R + B

g(x) = x

-> - ( f + g ) = (x+l)

2

2

2 ( f - g ) (x) = 2x+1 - x

( f g ) (x) = x2 (2x+1)

-:IR - t o 1 +lR f g

f 2x+1 - ( x ) = - 9 2

X

f (x) = J-x-1 -

g : ( - a,+ 11 -+ IR

f + g : 11) -+ IR

(f + g ) ( x ) == 0

42.

BIBLIOGRAFIA

1. Cárdenas H., Algebra Superior, Ed. Trillas, 1974

2. Ceder, O., Cálculo, F E I, 1971.

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