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8. Doble falsa posicinUno de los ms antiguos mtodos de aproximar las races de una ecuacin es la regla conocida como de doble falsa posicin. Este mtodo se origin, segn parece en la India y fue utilizado por los rabes.Encuentra una explicacin de la doble falsa posicin y aplcala al clculo de:

a. La raz de x336x72=0 que est entre 2 y 3 con 3 cifras decimales.b. La raz de x tan x=0 que est entre 9,4 y 9,5 con 3 cifras decimales

Mtodo de la doble falsa posicinLo utilizaban los hindes y rabes en la Edad Media para la resolucin de problemas basados en una ecuacin de primer grado, pero en la que aparecen dos incgnitas. Un modelo de este tipo de problemas es:Sea ahora un nmero (de personas) comprando mercancas. Si cada persona paga x1 existe un exceso (ying) de d 1 ; si cada persona paga x2 existe un exceso de d 2 . Encontrar el nmero de personas y el coste de las mercancas.(El exceso puede ser positivo o negativo, dficit en este ltimo caso).Llamando

x: precio que paga cada personaa: n de personas.b: coste total de las mercancas.

La ecuacin a resolver es a x=bPara la cual nos dan dos supuestos:

a x1=bd 1a x2=bd 2

Restando miembro a miembro:x 2 x1a=d 2d 1

De donde

A partir de este valor de a se calcula el de b sin ms que sustituir en una de las ecuaciones:

Si los valores de a ,b son realmente conocidos, se podr calcular x despejando en la ecuacin inicial:

El mtodo se puede generalizar para encontrar la solucin de una ecuacin no lineal del tipo

a=d 2d 1x 2x1

b=a x1d 1=d 2d 1x 2x1

x1d 1=d 2 x1d 1 x1d 1 x2d 1 x1

x2 x1= d 2 x 1d 1 x2

x 2x1

x= ba= d 2 x1d 1 x2

d 2d 1

f x=0

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siempre que se cumplan ciertas condiciones que permitan aproximar f por una funcin lineal:

Y en el supuesto de que f sea continua.Si se conoce un intervalo [x1, x2] en que la funcin cambie de signo, por el Teorema de Bolzano la funcin tendr una raz en este intervalo.La aproximacin de la funcin se hace por la secante en este intervalo, es decir el segmento que une x1 , f x1 con x2 , f x 2 , cuya ecuacin es:

De donde

De modo que para r x=0 :

Obviamente la solucin x anterior lo es para la ecuacin r x=0 , mientras que para la ecuacin f x=0 no es ms que una aproximacin, llamsmola x3 . A menos que f x3=0 ,

determinamos el intervalo [x1, x3] [x3, x2] en que f cambia de signo, y reiteramos el procedimiento para calcular un nuevo x4 , y as sucesivamente hasta obtener la solucin exacta o bien una aproximacin suficiente, dada porque la longitud del intervalo [x j , x j1] que contiene a la solucin sea inferior a una cota de error prefijada.Esta generalizacin es conocida como "regula falsi"

a. Para resolver la ecuacin de tercer grado sustituimos x por cada uno de los extremos del intervalo considerado. Simplificamos la notacin llamando f x= x336 x72Para x1=2 : f 2=2336 272=8Para x2=3 : f 3=3336 372=9Luego f cambia de signo en [2,3]. Aplicamos la regula falsi:

f x31.860 , luego como siguiente intervalo tomamos [x1 , x3] .

El mtodo se puede formalizar en un programa de ordenador que realice los clculos por nosotros (para algo estamos en el siglo XXI y no en el XVII).Presento a continuacin el programa y sus "salidas":

f xr x=axb

r x f x1xx1

=f x2 f x1

x2 x1

r x= f x2 f x1x 2x1

x f x1f x2 f x1

x 2x1x1=

f x2 f x1x2x1

x f x1 x2 f x2 x1x2 x1

x= f x2x1 f x1 x2f x2 f x1

x3=f x2 x1 f x1x2

f x2 f x1=9 28 398 =

42172.471

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Despus de 5 iteraciones no encuentra la solucin exacta, pero nos da el resultado con 3 cifras decimales:x2.369

Si bien debiramos tomar la aproximacin por exceso x2.370

b. Anlogamente al apartado anterior llamamos g x= x tan xCon x1=9.4 ; x2=9.5 se tiene

f x10.232961 ; f x20.71596 , luego en este intervalo f cambia de signo., y por ser continua el Teorema de Bolzano asegura la existencia de una raz.Siguiendo la "regula falsi" redactamos un programa similar al del apartado anterior (cambiando tan slo

f por g )

"Regula falsi";f[x_]=x^3-36 x +72x1=2;x2=3; s={x1,x2};err=0.001; j=0;xa=x1;x3=x2;While[(Abs[x3 -xa]err) && (f[x2] f[x1]!=0),{xa=x3, x3= (f[x2] x1 - f[x1] x2)/(f[x2]-f[x1]), s=Append[s,x3],j=j+1, Print["Iteracin ",j], If[f[x3]0, xs=x3, If[f[x1] f[x3]

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Interpretando las "salidas" del programa, tras 2 iteraciones no encuentra la solucin exacta sino una aproximada hasta el tercer decimal:

x9.424Aunque realizando la aproximacin por exceso-defecto debiramos tomar x9.425

g[x_]=x Tan[x]x1=9.4;x2=9.5;g[x1]g[x2]s={x1,x2};err=0.001; j=0;xa=x1;x3=x2;While[(Abs[x3 -xa]err) && (g[x2] g[x1]!=0),{xa=x3, x3= (g[x2] x1 - g[x1] x2)/(g[x2]-g[x1]), s=Append[s,x3],j=j+1, Print["Iteracin ",j], If[g[x3]0, xs=x3, If[g[x1] g[x3]