58343342 Metodo de Falsa Posicion
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7/29/2019 58343342 Metodo de Falsa Posicion
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Exposicin 1
Mtodo de Falsa Posicin
Erika Denisse Nevarez Llamas
Hermosillo, Sonora a 15 de Febrero 2011
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Introduccin
y Aun cuando la biseccin es una tcnica perfectamentevlida para determinar races, su mtodo de aproximacines relativamente ineficiente.
y La falsa posicin es una alternativa basada en unavisualizacin grfica.
y El mtodo consiste en unir f(xl
)yf(xu
) con una lnea recta.La interseccin de esta lnea con el eje de lasx representauna mejor aproximacin de la raz.
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Representacin grfica del mtodo de la falsa posicin.
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y Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea
recta con el eje de lasx se estima mediante:
ur
u
lr
l
xx
xf
xx
xf
!
y Despejandoxrse obtiene:
uuu
u
!
Ecuacin de Falsa Posicin
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Ejemplo:y Planteamiento del problema. Con el mtodo de la falsa
posicin determine la raz de
40138.667 146843.0 ! cec
cf
y Solucin. Se empieza el clculo con los valores iniciales
xl=12yxu=16.
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yPrimera iteracin:
9113.142688.20699.6
16122688.216
2688.216
0699.612
rx
xx
xx
y La cual tiene un error relativo verdadero de 0.89%
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y Segunda iteracin:
5426.1!rl xfxf
y Por lo tanto, la raz se encuentra en el primer subintervaloyxrse vuelve ahora el lmite superior para la siguiente
interacin,xu=14.9113:
7942.42543.99.
9113.14122543.9113.14
2543.9113.14
0699.612
!
!
!!
!!
r
ll
x
xfx
xfx
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y El cual tiene errores relativo verdadero de 0.09%yaproximado de
0.79%. Es posible realizar interaciones adicionales para hacer una mejoraproximacin de las races.
Comparacin de los erroresrelativos de los mtodos debiseccinyde falsa posicin
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Desventajas del mtodode la falsa posicin
y Planteamiento del problema. Con los mtodos de biseccinyde falsa posicin localice la raz de
3.101
10
yxentrexxf!!
y Solucin. Usando biseccin, los resultados se resumencomo sigue:
Iteracin xl xu xr a(%) t(%)
1 0 1.3 0.65 100.0 35
2 0.65 1.3 0.975 33.3 2.5
3 0.975 1.3 1.1375 14.3 13.8
4 0.975 1.1375 1.05625 7.7 5.6
5 0.975 1.05625 1.015625 4.0 1.6
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y De esta manera, despus de cinco iteraciones, el error
verdadero se reduce a menos del 2%. Con la falsa posicinse obtienen resultados muydiferentes:
Iteracin xl xu xr a(%) t(%)
1 0 1.3 0.09430 90.62 0.09430 1.3 0.1 176 4 .1 1.
3 0.1 176 1.3 0.262 7 30.9 73.7
4 0.262 7 1.3 0.33 11 22.3 66.2
5 0.33 11 1.3 0.407 17.1 59.2
y El error verdadero es 59%yse puede observar que a
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Grfica de la funcinf(x)=x10-1
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M
todo
d
e fa
lsa
po
sicin
modi
ficado
y Cosiste en elaborarun algoritmo que detecte cuando seestanca uno de los lmites del intervalo.
y Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la funcinen el punto de estancamiento.
y La efectividad de este algoritmo se demuestraaplicndolo al ejemplo anterior.
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y Si se utiliza un criterio de terminacin de 0.01%, losmtodos convergen:
Biseccin Falsa Posicin F. Posicin Mod.
14 39 12
y Se puede observar como el mtodo de falsa posicinmodificado es mas eficiente que el de bisecciny
mu
chsimo mejor qu
e el mtodo de falsa posicin nomodificado.
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