FACULTAT de MATEMÀTIQUES i ESTADÍSTICA. CURS 2005-2006. 2 QUADRIMESTRE Examen ... · ·...
6
FACULTAT de MATEMÀTIQUES i ESTADÍSTICA. CURS 2005-2006. 2 on QUADRIMESTRE Examen Parcial de Cadenes de Markov (IOE) 29 de Maig del 2006 Problema 1. (6 punts) Una petrolera rep una subvenció estatal mensual de 1⋅10 6 $, que ingressa en el seu compte bancari a l'inici de mes. De resultes de les seves vendes mensuals pot tenir uns ingressos I n al llarg del mes n-èssim de 0, 1, 2, 3, o 4⋅10 6 $, estant aquests ingressos distribuïts equiprobablement ( P(I n = i) = 1/5, i = 0,1, … , 4). Per altre banda l'empresa te unes despeses fixes de 1⋅10 6 $ cada mes i unes despeses variables D n que pot controlar a voluntat durant cada mes. Per qüestions fiscals el compte bancari mai ha d'excedir els 2⋅10 6 $ i ja que es rep una subvenció estatal l'empresa no disposa de crèdit per lo que el compte no pot quedar en números vermells en cap moment. Considereu la col.lecció de v.a. {D n } on D n és la despesa variable feta durant el mes n-èssim y per altre part la col.lecció de v.a. {X n }, essent X n estat del compte bancari al final del mes n-èssim. La política de despeses de l'empresa, ara per ara, és que les despeses D n siguin lo és properes possibles a la quantitat D=2⋅10 6 $ Suposeu que inicialment el compte bancari està buit. 1. Demostreu que en funció de l'estat del compte al final del més anterior X n.-1 i dels ingressos I n , les despeses de l'empresa expressades en MM de $ han de ser: < − + + ≤ − + ≤ > − + − + = − − − − − 0 2 si 2 2 0 si 2 2 2 si 2 1 1 1 1 1 I X I X I X I X I X D n n n n n n n n n n n 2. Justifiqueu que {X n } és una cadena de Markov i calculeu la matriu de probabilitats de transició. Analitzeu les classes de la cadena i la seva periodicitat. 3. Quina fracció dels mesos es quedarà el compte buit? 4. Quin és el saldo mig del compte a llarg termini? 5. Suposant que ara el compte està buit, quina és la probabilitat de que tardi més de 2 mesos en estar plena (2⋅10 6 $ ). ? Problema 2. (4 punts) El temps de funcionament d’una unitat de potència obeeix a una distribució de probabilitats uniforme de durada màxima 10000 hores. Es demana: 1. Desenvolupeu les expressions de les funcions de: a) fiabilitat, b) taxa de fallides c) temps de vida residual. 2. Quina és la probabilitat de que una unitat que va ser posada en funcionament fa ara 4000 hores continuï funcionant ? 3. Una planta d’energia incorpora 10 d’aquestes unitats i va ser posada en marxa ara fa 20 anys aproximadament. En un instant determinat, un equip de manteniment rep l’ordre de reemplaçar les unitats que portin més de 7000 hores de funcionament? Quin número mig d’unitats reemplaçaran ? Quina és la probabilitat de reemplaçar-ne 5? 4. Se sap que una de les unitats porta funcionant 4000 hores. Quina és la probabilitat de que funcioni encara 2000 hores més ?
-
Upload
duongkhanh -
Category
Documents
-
view
215 -
download
1
Transcript of FACULTAT de MATEMÀTIQUES i ESTADÍSTICA. CURS 2005-2006. 2 QUADRIMESTRE Examen ... · ·...
FACULTAT de MATEMÀTIQUES i ESTADÍSTICA. CURS 2005-2006. 2on QUADRIMESTRE Examen Parcial de Cadenes de Markov (IOE) 29 de Maig del 2006
Problema 1. (6 punts) Una petrolera rep una subvenció estatal mensual de 1⋅106 $, que ingressa en el seu compte bancari a l'inici de mes. De resultes de les seves vendes mensuals pot tenir uns ingressos In al llarg del mes n-èssim de 0, 1, 2, 3, o 4⋅106 $, estant aquests ingressos distribuïts equiprobablement ( P(In = i) = 1/5, i = 0,1, … , 4). Per altre banda l'empresa te unes despeses fixes de 1⋅106 $ cada mes i unes despeses variables Dn que pot controlar a voluntat durant cada mes. Per qüestions fiscals el compte bancari mai ha d'excedir els 2⋅106 $ i ja que es rep una subvenció estatal l'empresa no disposa de crèdit per lo que el compte no pot quedar en números vermells en cap moment. Considereu la col.lecció de v.a. {Dn } on Dn és la despesa variable feta durant el mes n-èssim y per altre part la col.lecció de v.a. {Xn }, essent Xn estat del compte bancari al final del mes n-èssim. La política de despeses de l'empresa, ara per ara, és que les despeses Dn siguin lo és properes possibles a la quantitat D=2⋅106 $ Suposeu que inicialment el compte bancari està buit. 1. Demostreu que en funció de l'estat del compte al final del més anterior Xn.-1 i dels
ingressos In, les despeses de l'empresa expressades en MM de $ han de ser:
<−++≤−+≤>−+−+
=
−−
−
−−
02 si 2 2 0 si 2
22 si 2
11
1
11
IXIXIXIXIX
Dnnnn
nn
nnnn
n
2. Justifiqueu que {Xn } és una cadena de Markov i calculeu la matriu de probabilitats de transició. Analitzeu les classes de la cadena i la seva periodicitat.
3. Quina fracció dels mesos es quedarà el compte buit? 4. Quin és el saldo mig del compte a llarg termini? 5. Suposant que ara el compte està buit, quina és la probabilitat de que tardi més de 2
mesos en estar plena (2⋅106 $ ). ? Problema 2. (4 punts) El temps de funcionament d’una unitat de potència obeeix a una distribució de probabilitats uniforme de durada màxima 10000 hores. Es demana:
1. Desenvolupeu les expressions de les funcions de: a) fiabilitat, b) taxa de fallides c) temps de vida residual.
2. Quina és la probabilitat de que una unitat que va ser posada en funcionament fa ara 4000 hores continuï funcionant ?
3. Una planta d’energia incorpora 10 d’aquestes unitats i va ser posada en marxa ara fa 20 anys aproximadament. En un instant determinat, un equip de manteniment rep l’ordre de reemplaçar les unitats que portin més de 7000 hores de funcionament? Quin número mig d’unitats reemplaçaran ? Quina és la probabilitat de reemplaçar-ne 5?
4. Se sap que una de les unitats porta funcionant 4000 hores. Quina és la probabilitat de que funcioni encara 2000 hores més ?
.",..' ,,;
-""o~.~~:~".~*;~~:..:¡='rlJ~. ~
" ~41~rd::o_. -~~. .~-i ..-;- ~
- /Cn-,'"t ""+"-
- +"fe t-l t
~ ,,' ~ .""-+='T'-+"'"'i:i'~,-,""'~!-'"~ ' I --- .; L-
' ;= , " -., - t~ - , ,'" "- ~-. ~'- ~- ;. ~ .--'
~r:t?i Ark '4 ~ +-~ J. ..;~ ..--+=+-=F9, ," :.:"~~:.~ ': ~~, -. ~'
,
''¡ ~H~"'iC,..~, "
,
-~": ~"
..~~'
,
:
,
'~
,
'~,
'.
A'J' -o .:~/í ,'~ ~~'. e:".<::.~.~~: ".L J -L 7, ~A 7' ~ .1-' ~-,,,~ - ., :f~," ü\¡ ~~' .
'/ l>f- f) .;.- '("'11-..' ()1:(~~-:='~~-'~1"'r\":fT~-~~!~-¿;'~
. '.<: "1~{j 7. ..tt" 'e'"'" - ~. . - - : ~-~~-:(!)...~VI"r +~~,,...,, 2. ~-~~.- -'-~ -+ -~'-'+--C-¡'f.. ~- -, ..- -+.,4, ...¡- "- "";;- .~"" =+ ,..~."..,... ' --+-'--'- -L.~
r t\~I ".~A~~ ~ -t. ~l' ~~i.. ~-t:+'~ ~ a--!>:""2 ..~ ..~,~~ '"'~ 7~.4- l.~i'-' ~ r~l+-+-'~i; : !ir¡:
rSi't=r~, ~lf~t+.fkt-i-1.r -~+2.~p ~ ." ...:p,.. f- ~ -' --+. +- .. -+' I ,j I !
'~'~.,I ' '
~In 1\Vi1_,1,4-~..; 2.-:..~~ G>---+---,1""" ','. -=+- ''-'j-'-- + "..,.-, i'- +.;..p.,
¡..
r
..
,,"" ~
..-t--~ ,-- ..
11~,~ '~""="Z'~' ..'¡h..,
)<'(1':(=~~~,,-
:~ +,-~.;...,.'
"
--,..." ..,-,,,-,,.,+
",",.' . , ]!}\ 1; +", - -~"'-.;...
,,~. t.{',.. ""'''T'''tJ..:-'-'' -- ~,¡, 4-~ _! t t'-
h\ ,. 't".,,'
J
+ ' ,
.." ,O () \!¿ .'",-, "~!Y",' ,- r' i' + - -r-+--;---. , ~--'- ,,~ 'f - ~/ r 4-' 4--+-,..- ," +--' 1-";-; - L,-i-~,
I J,t2 i.+ -' "r~1~-t + -r .,.. t- J - ¡..,.2. ".2.~ ~'..- 'í ,O . ,-4- ---+\':/+""""'¡---4--"¡~i ~:...;++r-'- '+,"'!;-
j, ~ ~ ...A-, '( ,t""', , ' L 1, ," ¡F-.- , ,..:. ~F'- ,~, . " ' ~, ,,- , " .t- -+ ,'..''1- "r: ; ..; !
Y'" " ; ,
--+-- -1- ¡-- .. l ,¿ r ~f.- .~'t-f'''''':'_.'+''- "¡-;-''''-i-~~ H";' "o¡: -, ~
4-<'~""~~~::-~' '"'" ~ ~~T!f~"¡"'~~~""'1 '-".iH-r-1 . ; ~... ~""'!
- l_,~- .,O~ '. ""L. '", ;..; O. '
J' .~-_. '" ", "'
,
'-
,~
,,
'--'~ ~ ,,,- --! 1 .,...'"
.", " "" "" " "'T;J:'" ' ,
. '" '... -, " ,,',' ,;,' , J, J " I '
-, t, '" -2"""'" 4S "1"'" .," ' '''''''- .., -, - .. _.-~.. '1: I \11 '
- ..0...1 .. 2.c-. + t oj -1 ...J 'Fs-T """ --+---
~ ~ -'~.. , ~" , 2: ~ ;..;, ~ i .
1'~i""i-~"," ..~~h ,~,--- - 4-
,---""- - '-F.,'" -'o' ,'--- ./~--- -~ .,'+--' '"
~~s~~.; :'.;~.' ,~:..~.~ir:..,,~~::-- ~~~ 'r~~""+ .. ~ '-f;-_~L",~._-t ,. 1"\ -
" Z"-- ~
,
"
,
L
,
",
'
"
"
,
' - )L, '''''''
,
- --
,
- ,,' -,
r ,,' ;..; ~,
_-4..~ -~
,
'''
,~ V ., .' 'V'~"" .J, '," ¡ iG8 --- -',,~ '¡;'~ .. * +--~- ---' ~ , L_~'-+_~7"¡ i ' ', "'" ,\ ,'" ,q"""t"..~.,- \t".',: ..,; 1,,:1 ',,':.. - -1-'-_- "-"o. - 2~-'- +~-" j +- ' ,t'!"'~"""""""" '--"""-.j,;,.,_i: ,,~
~ ",','.'" ..' :c" '., 1, " ,. ~,l, , ," ¡ . ;,' 1;; , ,.. '" -"" "'~"
,
"
,
~ *"
'11),
-,
,,
~"
,
,
- - ~- ~."-' --'~ ,-
,~, ',+,~- ~---'-~ , ~
, "Gol' " #-- .,. ..".' ' . " ,c- " "
:j "-"'+"";;;'1 "''¡''." ~~, "'.,.'¡.~ " 31-r;-~ +...:-~ -.;- ", t--- + r---t :.---
~"~"" ~~ ~;~, r-'''-'''~+z.~ ,~.4J -- "~;~-¡r--¡ :¡.!-_.~_..",_.~._,..¡--.l-h--, ,. =, "~" J; -"~'" ,-'- -~ -' "' - ,.._,L","__~ ,
~'.. ~" ~," '~'.i I
- ~h
,
". '" " ',
"-'" ~C~,~ +1 ~"",
"'
,
'
"
e" ~ + "'
,
-",r--
,
._
,
' "1
,
1
,
-~+.,
' ..." 7"
~' 1" ~-¡ tf- ,~ r,lAk"~"~,, -,
..
,
'-"~;--+-+, ~{- ,,/,!, IJ", ',' ,,' ' i ,t, '.,.. ~ ¡ -, ,~r - 1~ ' 1'"-'--'~ ,
'.., " .. ",,, t-- --,
o
,
~C
" "
, ~I \ " ,
j-- -. ,', -~."., '" .. ,"' ~ ' " Vr -"-." "'¡,+ :: Ú' -+,-"ec~o.r- +-::,', " '", ,', " --, ,:.. -, ,: - ~ f'. : i it1f: -Yr- -y!"' ~ "~"~o 'I\."J._~. --4{ ~"'!"i-'.,- T-
~~:- ~~cJ~. 7 1-:~~(~5J"~:dJ~cf:'i~c- f- - - =J .- ~ .. 'r;5~' , L.Le-,_C-..o+-
" '-'''U
~' ..',
1'. ',,' ,'. .1,,"' " ,,' " ..~, ",,' ~,..~._,.._~--~"~~". 7""~ ::eÁ ~ ~":.~- ~~lA :.~"-_du'--- --- - - ---- - --
.. ..
'~'''t ~ b-~
~
T - """'t'
"',-
-+
--'- -" ,. ..
: ,.[
~
~~ --.--
-. .o>
..¡
..
-? ~--
()
I
~
r-.~ ~" ~ -'-'W- +
.;/~.
~~5@~
2--
,
;i ~'{-tL l,'-YrtA;-l~'
. ~V>o'~'ck
f~ ,p,t1 ~;~.~tV~~.
,- , '
3),
3 l.,
' I~J\; ~"""',
" ""'J;.'''
,
=,
...
,
'
,
'
,
>I'''\I:
,
--;..".r,
''
,
.-
,
.'
,
'
,
'
,
'+'
(t ~.. J -'"",',
~7 c:(),
..--
/ (A..- r~r.M.r--~ ,~-- ,VYW'1 ~, y ft",
- ~ ~'-ftA.- 7lo.
~ Vf) ~ r¡ . . ~ 4; -1. 1 fiLo,;:., ,~~' Ys; -11~~ y~
\
.
\
o-J'~,71'~ --'+V' -tI _u ' n-
t---GIS- 1f Ir. 1-1p
1 -,'
o" Q -" .---
5/
¡
,,1 -I~ rll ,_
"
..
~
r
,
--,
.
,t
,
I ~ ~,
-,
",' 1- "
1
,
L
,
:,
''r. " " ' " ,'" ,,":,' ",11 o ~,-, -" "r-- V!l,I: 4> ~I + ,~'~ ~:¡~~ 'r\., "" a i l..!1lrlg-
Yr' o/e- -%'~ ~ 4 Q~ t,k .:r.r;)o o - ,fk:rJhQ r ..
. nI"'lE; ; ~6-¡h.,J¡;JI~:;Q; nv~2~, ~+ 7; :
r' =~ :~~~ Tl; :XS"f-'~~ ~~Y~~f --
f ' ',"'-
~~ ' r ¡("L- p /J L tAM~ / -",." 1 """ ..,,;+ ~~, --.¡;a;<Ji\D '. "~ - I?IvIS "".1' '
1- fl
,,' ",t
1- ,"7¡,.", r, '''''''
,~ ""' I..j- /f 17" 11A C, ( 2.
~.'" / /) ,'1 "
- 4:., + 1v_' ~,. A J- ~"'~!;,':
"",
-~
''';q.'.
'.
..,
~
~,
'. ~,
. ir '~,
'
,
..'veo
,
'
,,
"'" .
'"
'
IJ:"" .
,
'. '
,
't;;Jf:.
.
,
'
,
C1"
.
,,
:
k vf;.Áf';~' .' \. -./. C>I,i" (V) "t'
. .. _-VH- .. -~ ~.' ~ 1 ".,4-. ",v?~ ': i
: p.;,~.J,,.L,tJM, ~ '''''.'1i~rt.(~~ LLP~fl!~"" '" ,,' W~-I,f~llX ,(' ~t ,"" ,J? ./1. ,2"""".i'~L, ".,,,. f,.."...%,- ~~ ""...;+ ,~ ~~, ~;, "'.. ~';00.;~.~t'~""F.'¡~~' 'r~' " I"~'" ~ c. "~ I +.l.
¿"
i'
,
' ;"
.
"
(~~,
' ,"'" """"" ;" ,
' rJ~~.. ~~' El . .
.
(),z..1- ~" 1~
,,' ,
",
' z, ~. ';,
'
,
2,;r-. . ¡, ' .
'~=:J ' , .1'
,O) , "",.
~ ~ '=- '?.Q4.- '~YS'""J
, r (t.) , L1--}'" n{D """'.(f) - ~ L, ~1 ~. ,;'ft' ~ ':.~o~ - l?)~' f~&r - ,,¿;-:- ~r*"i' ..)/- '::.+..~¡.1. , ~,!, ..<~. U + ~.t/f' s:.r-; .- .
1(?,) , 7" ' ~''[)
",
".'1-- -::- ~
,
<~- f'~ "" J,
.'~,""""-.J" ,J~, ~ ~'éf;
.,
., ;:- " .
~, ~" 1';1 r .-1' " J" <~ff:\
'
~"
", ~bJ,
' .."~'
,
'
,
'
,'
.'
,,
'",'l...
,
.
,W
"
,. '-"
,,
'
,
' ~
".
A" "
,;;o.¡¡¡;''~; '
,
'
,.
" "¡,...
", ~j /.
' "'
,
.'
,-]. - ,- ~ ¡ ::::." : , t.r-
, " ,'P, " ,'V""~"'" it ' ,],e.:5 ",' ",...) . I
.'
",J, ,. ".' . ,
,- ,
..;'
-,
.
.~ Facultat de Matematiques¡Estadística
QUALlFICACIÓ
Full..mm. de .mm--
UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA
Assignatura:
Estudiant/a:
Data:
/ ~ A / /'-~_.
I' r-- l T-C I I
I' Jr "7 ;/ ~ --
'. I'd - < -v / 1- ---' /'..:. ! I '¡::' "\ (:::.~ /
\ ) 'lb ,«/ "L L- } ) /'"""
1'7, fUQ
r .' -"'\ ( A'"),., =') / (i 1#'""' "- 2rv ...~ ) - 1. r } 'T ..,..~ ( ").? n' .
Le ; 1\/ ) '- ¡t't;7'- \
(7 ~yv .l. '1 ."', \J ,} IJ V( /ti IX J' fil v ~,-. f-. -l ""'
:- ,- ,.) - /1 <~ - p "'- ?j -t, 'lJ -~ l ~ - ,
-
. II I
-- --, '" ,-
Fabrica! ecológicamen! \1 1
{\, ,,-. -+? J e' f¡L,~ ! '. ~ f" 1 1 . .'1 (>J I1 n
1 y &1/ ,,~ ~ '1,,,, L \ )
/ Ih ,- ~ ~'ItI I - --í ;;1( Al ~
v .- ~ ( '" ..'- r ~ "".....(). \ ~ ~ ""'... i.( ..1 t: J"0 , , 1-
¡ " t C> .'.....
, . aU. I ~ iJ .-J.')=
'" ""'- ,"" I ~ --'v ".., ~ ,
rl;.,.. f'f J { {( f- "7,'tl '
l. \.-\,.' V --= ..- -, ,....
11 /'./ - '-''- I 11-:1 r - I '/ ~
L' 'ro" (Ir- I / -tac'7".r J {
V
t ..,1'1. .
ÍI I /w . (fA"f'\ I.J l' AA- A /" rJ ; IN (1\
¡sr I 'A 4- O -e V) VI!9" e~ x '1IV tí V, ,
11>" 1\" . I '" - -i.\ ,J .-¡..l< rf-l clt''? t l I "/ A," 'r < f' / 1 I ~ ~
r[~ - ... '/ """""'11
,r-¡r r TI")
""'" \ '\.,"' L'L-~ L- J l--
I r" 'YI -'-
? "1 A. - - (k i./< - - f¡.' [ -- v;/ r.;¡ -- I JY '))) 'JI I I F f1/b~./' -- -
. (,...j 11 /P,o.. .('"... '/fJ
' - d., h, ~ 1,.' ,'7 ) "1 v = '. T - -,,~ n, ~', ',~ ; " J, ( (J j, -)
J);.,r,
~ ," 1;;';1 - 'I.l \ - v '" fh '::-'~ . - ~- - ') 2~ :;¡." M'~ , ? 1 -¡ \ c.- ,/'- \. \¡ \U
n({('(/~
- V? l.' ¡
7 Jl1 1- [" ~' v , ~' () - frJ I I ,
N "VA" , ~
[\! -'- / 1]~ I ." ' .. ~- , "'.. - 11, '., - -, I 7'V' - t7 1
)í l'"\ 1 /J) (./ v
/J1'-
v ~
Ir'i Ir. /' ~ P, ~\C:IlV1 ,- l . \ ti $l / r ¡ C\ J.l
' -I:"..i " ' ( ~ D' " I'¡' 'i c; '",' , , " I(:0 ,(" I /
"'> J , ,i
1- CiI'A';7.1¡.IJ
-
.
