FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS …

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA

ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA

“Modelo triatómico de Condensados de Bose-Einstein”

INFORME FINAL DE PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL PARA OPTAR EL

TÍTULO DE:

LICENCIADO EN FÍSICA

AUTOR

Dra. ZEILA VIRGINIA TORRES SANTOS

ASESOR

DR. JOSÉ ÁNGEL ROLDÁN LÓPEZ

TRUJILLO – PERÚ 2017

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

BIBLIOTECA DE CIENCIAS F

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1

-------------------------------------------------------

Profesor Ely Miguel Aguilar

(Presidente)

--------------------------------------------------------

Profesor Ricardo Gil Ramírez

(Secretario)

-----------------------------------------------------

Profesor José Roldán López

(Vocal)




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DEDICATORIA

Dedico esta tesis a todos los que deciden salir del país buscando nuevos

horizontes en el mundo de la investigación, pero cuando por razones

personales vuelven a Perú se dan con la sorpresa de que tienen una tesis de

Licenciatura aún por terminar y necesaria para ejercer la profesión de

Docente.

También a mi familia por el soporte y aguante.

A las amigas de corazón.




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AGRADECIMIENTOS

Agradezco a las personas que colaboraron conmigo en mi formación

educativa básica, mi formación universitaria y también en los siguientes años

en la post graduación.

Todos estos son años de aprendizaje, pero no terminan ya que la dedicación

a la investigación es continua sobre todo en Perú, ya que es un país en auge

que promete algún día estar a la vanguardia en la investigación de ciencias.




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PRESENTACIÓN

Señores miembros del Jurado:

En cumplimiento a los dispuesto por el Reglamento de Grados y Títulos de

la Universidad Nacional de Trujillo, es un honor poner a vuestra disposición

el presente Informe Final de Práctica Pre-Profesional titulado: “Modelo

triatómico de Condensados de Bose-Einstein”, a fin de obtener el Título

de Licenciada en Física, en la Escuela Académico Profesional de Física de

la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de

Trujillo.

Trujillo, octubre del 2017

---------------------------------------

Dra. Zeila Virginia Torres Santos




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Resumen

En este trabajo, introducimos un método algebraico para estudiar un

Hamiltoniano exactamente integrable, que modela un Condensado de Bose-

Einstein hetero-triatómico molecular. Tal modelo nos describe la mezcla de

dos especies de átomos en proporciones diferentes que pueden combinarse

para luego formar una molécula triatómica.

El método algebraico llamado de Método de Dispersión Inversa Cuántica

(MDIC o QISM (siglas en inglés)), nos permite mapear el Hamiltoniano inicial

y re escribirlo en función de los elementos del MDIC, permitiéndonos así

encontrar la energía del sistema.

Palabras Clave: Integrabilidad, dispersión, condensados Bose-Einstein, Lie

algebra.




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Abstract

In this work, we introduce an algebraic method to study an Integrable

Hamiltonian, which models a molecular hetero-triatomic Bose-Einstein

Condensate. This model describes the mixing of two species of atoms in

different proportions which can combine to form a triatomic molecule.

The algebraic method called Quantum Inverse Scattering Method QISM)

allows us to map the initial Hamiltonian and re-write it based on the elements

of the MDIC, thus allowing us to find the energy of the system.

Key word: Integrability, dispersion, Bose-Einstein condensates, Lie algebra.




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Índice General

Introducción

Capítulo 1

1.1 Integrabilidad

1.2 Método de Dispersión Inversa Cuántica MDIC

1.3 MDIC o Ecuaciones de Ansatz de Bethe

1.4 Realización del Algebra

1.4.1 Realización de los Operadores Bo sónicos

1.4.2 Realización en términos de los generadores del álgebra de Lie su(2)

1.4.3 Realización en términos de los generadores del álgebra de Lie

su(1,1)

Capítulo 2

2.1 Modelo tri-atómico de Condensado de Bose-Einstein

2.2 Análisis del modelo AABC

Capítulo 3

3.1 Análisis Semi-Clásico

3.2 Ecuaciones de Movimiento y puntos fijos

3.3 Diagrama de parámetros

Conclusiones

Referencias Bibliográficas




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Índice de Figuras

Fig.1:

Imagen de los diferentes tipos de estados de la materia respecto a la

disminución de la temperatura (disminuyendo de izquierda a

derecha).

Fig.2:

Se observa gráficamente en una curva la fracción entre el número de

partículas y la temperatura.

Fig. 3:

Diagrama de energía de los estados de Efimov. Posibilidad de

obtener Condensados de moléculas hetero-tri-atómicas.

Fig. 4:

Comportamiento de la función g(z) para diferentes valores de k.

Fig. 5: Diagrama de parámetros para diferentes valores de k, y las

distintas regiones.




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INTRODUCCIÓN

En este trabajo de Licenciatura, vamos a enfocar el estudio teórico a

sistemas que se caracterizan por presentar fluctuaciones cuánticas, es decir

no es apropiado el uso de métodos aproximados, de tal forma es de gran

importancia el estudio de modelos exactamente integrables. El Condensado

de Bose-Einstein (CBE), es un sistema ultra frío, es una fase de la materia

compuesta por Bosones a una temperatura próxima al cero absoluto,

produciéndose a esta temperatura un colapso de los átomos hasta que la

mayor parte de ellos se encuentren en el estado fundamental. El estudio de

la condensación fue teorizado en los años 20, por Bose que trabajó en la

mecánica estadística de los fotones ([1],[2],[3]), Einstein intuyó que la teoría

de Bose no era exclusiva de los fotones y generalizo las ideas y reglas de

Bose a los átomos de un gas y otras moléculas. Logrando así avances

teóricos que luego fueron confirmados en laboratorio.

El fenómeno de la condensación se da en partículas bosónicas y sus

características son ([4]):

- Tienen un spin entero (momento angular intrínseco)

- No cumplen el principio de exclusión de Pauli

- Siguen la estadística de Bose-Einstein

- La función de onda cuántica es simétrica respecto a la permutación de

partículas.

Si pensamos en la posición de las partículas bosónicas, cuando 𝑟1 ≅ 𝑟2, al

realizar una medida de encontrar las partículas en una misma posición o




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estado cuántico la probabilidad aumentara y se podrá decir que más de una

puede ocupar el mismo nivel de energía. En este contexto surge el CBE,

siendo la formación de un “super átomo”, formando un estado de agregación

de la materia. Como una idea visual vemos la siguiente imagen (fig.1).

Fig.1 A medida que la temperatura baja, la materia cambia de estados hasta llegar a la

condensación.

El CBE, fue obtenido el 5 de junio de 1995, en el laboratorio del Instituto

Nacional de Estándares y Tecnología de la ciudad de Boulder, en Colorado,

por los físicos Eric Cornell y Carl Wienman. Usaron una nube de átomos de

rubidio al cual le bajaron la temperatura mediante la técnica de enfriamiento

por láser junto a dos campos magnéticos, lo cual produjo una temperatura

apropiada que logró formar un nuevo estado de la materia, 180nK o también

en otra escala próximo a -270ºC.

El primer paso para el proceso de disminución de la temperatura es el

enfriamiento por láser como hablamos anteriormente, en donde el fotón

colisiona sobre los átomos, pero la luz no debe ser absorbida por los átomos,

en caso contrario se calentarán, básicamente se tiene un flujo de partículas

muy leves (fotones) que reciben parte de la energía cinética de las partículas

muy pesadas (átomos), el láser enfría de 1

10000 grados encima del cero

absoluto, pero esta temperatura no es suficiente para que acontezca la

condensación. Para disminuir más la temperatura es necesario usar un

segundo procedimiento, siendo el enfriamiento evaporativo con armadillas

magnéticas, específicamente por medio de bobinas magnéticas se producen

campos magnéticos que capturan las partículas menos energéticas, por lo




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tanto, en el proceso se pierden una fracción de partículas, pero se llega a

temperaturas ultra frías. En el grafico (fig.2) siguiente se puede observar la

relación entre la fracción número de partículas y la temperatura.

Fig. 2: Fracción relativa bosónicas en estado condensado en función de la fracción de la

temperatura sobre la temperatura crítica.

Con los resultados del método de enfriamiento evaporativo, se obtuvieron

moléculas compuestas de dos átomos de especies diferentes, donde fueron

usadas técnicas de foto-asociación y utilizaron mezclas de 39K y 85Rb ([5],[6])

y con técnica de Resonancia de Feshbach con mezclas de 41K y 87Rb

([7],[8]).

La mayoría de los Condensados moleculares investigados hasta

recientemente eran del tipo diatómico, ya sea homonucleares o

heteronucleares. Una pregunta que surge es si Condensados de Moléculas

mayores y más complejas se podrían obtener en el régimen ultra frío. Existen

algunas evidencias experimentales que indican la existencia de tal

posibilidad a través de los llamados Estados de Efimov, observados en gases

de Cesio ultra fríos, por lo tanto se proporciona una sustentación para tales

sistemas. ([9],[10],[11]).




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Recientemente experiencias efectuadas por J. Catani y colaboradores

(presentado en la conferencia internacional 1CASTU) sugirieron fuertemente

la formación de condensados hetero-triatómicos moleculares formados por

compuestos del tipo K K Rb y K Rb Rb ([12]).

Podemos ver en el siguiente grafico ([13]) el diagrama de energías de los

estados de Efimov para una mezcla de K y Rb usando resonancia Feshbach,

donde a es la longitud de dispersión. Los estados de Efimov aparecen para

dos casos: a) en el umbral átomo-dímero del sistema para longitudes de

dispersión positivos a+; b) en el umbral de tres átomos para longitudes de

dispersión negativos a_. Dos clases diferentes de trímeros son posibles K K

Rb y K Rb Rb, que se muestran por las líneas rojas y azules de la Fig.3. La

línea verde muestra la dispersión en el umbral de los estados de Efimov:

Fig. 3 Diagrama de energía esquemático de los estados de Efimov para una mezcla

de dos especie de K y Rb, alrededor de una resonancia inter-especie de Feshbach donde

la longitud de dispersión de K-Rb diverge (1 / a = 0). Los estados de Efimov aparecen: (i)

en el umbral del dímero-átomo para las longitudes de dispersión positiva a *; (ii) en el

umbral de tres átomos para longitudes de dispersión negativas a-. Dos tipos distintos de

trímeros de Efimov son posibles, KKRb y KRbRb, mostrados respectivamente por líneas

rojas y azules. La línea verde muestra el umbral de disociación de los estados de Efimov.

1 Castu Cold Atom Conference, realizada en Octubre 2008 en Center for Advanced Study of Tsighua University, China.




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Capítulo 1

1.1 INTEGRABILIDAD

Introduciremos un modelo que describe CBE formado por moléculas

triatómicas (hetero-atómicas). Haremos una construcción algebraica e

introduciremos la condición de Integrabilidad dada por la ecuación de Yang-

Baxter (Y-B):

𝑅12(𝑢 − 𝑣)𝑅13(𝑢)𝑅23(𝑣) = 𝑅23(𝑣)𝑅13(𝑢)𝑅12(𝑢 − 𝑣)

y a partir del Método de Dispersión Inversa Cuántica el cual nos permite

encontrar el espectro de un modelo a través de la solución de un sistema de

ecuaciones trascendentales llamadas Ecuaciones de Ansatz de Bethe (EAB),

donde los valores y vectores propios son caracterizados por las raíces de

estas ecuaciones, se puede decir también que es un método exacto para el

cálculo de dichos valores y vectores propios de una selecta clase de modelos

cuánticos de sistemas de muchos cuerpos.

La matriz R introducida, desempeña un papel semejante a las constantes de

estructura en las algebras de Lie ([14]).

En 1931 Hans Bethe presento un método para obtener valores y vectores

propios exactos del modelo de Heisenberg 1-D de spin 1 2⁄ , siendo este un

arreglo lineal de electrones con interacción uniforme entre los primero

vecinos. Aunque los valores propios y los vectores propios de un sistema

finito pueden obtenerse con menos esfuerzo de una diagonalización

numérica de fuerza bruta, el Ansatz de Bethe ofrece dos importantes

ventajas: a)todos los estados propios se caracterizan por un conjunto de

números cuánticos que pueden utilizarse para distinguirlos de acuerdo con




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propiedades físicas específicas, b)en muchos casos los valores propios y las

propiedades físicas derivadas de ellos, pueden evaluarse en el límite

termodinámico, ([15]).

1.2 MÉTODO DE DISPERSIÓN INVERSA CUÁNTICA (MDIC)

Este método fue desarrollado con el interés de investigar sistemas

integrables. Se trata de una poderosa herramienta algebraica que contiene

la condición de Integralidad dada por la ecuación de Y-B.

La motivación esencial del método MDIC es la construcción de una familia

de matrices conmutantes, conocidas como las matrices de transferencia 𝑡(𝑢).

La teoría de los sistemas cuánticos exactamente solucionables, se sustenta

en la existencia de un operador invertible 𝑅(𝑢) ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ⊗ 𝑉), donde End es

Endomorfismo siendo una aplicación lineal donde el espacio vectorial inicial

y final coinciden y V denota un espacio vectorial que satisface la ecuación de

Y-B actuando sobre el producto tensorial:

𝑉 ⊗ 𝑉 ⊗ 𝑉

𝑅12(𝑢 − 𝑣)𝑅13(𝑢)𝑅23(𝑣) = 𝑅23(𝑣)𝑅13(𝑢)𝑅12(𝑢 − 𝑣) (1.2.1)

Donde Rij denota una matriz en el espacio 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ⊗ 𝑉 ⊗ 𝑉) actuando no

trivialmente sobre el i-esimo y j-esimo espacio (i, j =1, 2, 3) y como identidad

en el espacio que no corresponde a los índices i, j.

𝑅13 = ∑ 𝑎𝑖 ⊗ 𝐼 ⊗ 𝑏𝑖

𝑖

𝑅23 = ∑ 𝐼 ⊗ 𝑎𝑖 ⊗ 𝑏𝑖

𝑖

𝑅12 = 𝑅 ⊗ 𝐼




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La matriz R solución de la ecuación (1.2.1) puede ser entendida como las

constantes de estructura del algebra de Y-B, que es generada por la llamada

matriz de monodromía T (u) cuyos elementos de matriz generan el algebra

R12(u − v)T1(u)T2(v) = T2(v)T1(u)R12(u − v) , (1.2.2)

donde u, v son llamados parámetros espectrales.

La ecuación de Y-B es necesariamente asociativa y la interpretación de

constantes de estructura de la matriz R queda más evidente cuando está

escrita en componentes:

∑ Rj1,j2k1,k2(u − v)Ti1

j1(u)Ti2j2(v)

j1,j2

= ∑ Ti1j1(u)Ti2

j2(v)Rj1,j2k1,k2(u − v)

J1,J2

(1.2.3)

Si analizamos el caso de la matriz R invariante relativa al algebra su (2), en

su forma matricial tenemos:

R(u) =1

u+η(u. I ⊗ I + ηP) = (

1 0 0 00 b(u) c(u) 00 c(u) b(u) 00 0 0 1

),

donde b(u) = uu + η⁄ y c(u) =

ηu + η⁄ siendo u parámetro espectral, y η un

parámetro arbitrario y como último elemento P el operador de permutación

que satisface P(x ⊗ y) = y ⊗ x ∀ x, y ∈ V. Para este caso el álgebra de Y-

B posee cuatro elementos que podemos denotar por,

T(u) = (A(u) B(u)C(u) D(u)

) (1.2.4)

Siguiendo con el proceso, debemos considerar la existencia de una

representación, que denotaremos por π (del algebra de Y-B) y por

conveniencia definimos el operador de Lax L, como




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L(u) = π(T(u)) (1.2.5)

Por otro lado, la matriz de transferencia queda definida como

t(u) = tr π(T(u)) = π(A(u) + D(u)) (1.2.6)

La matriz de transferencia t(u) es definida como la traza o suma de los

elementos diagonales de la matriz de monodromía, la cual conmuta con el

Hamiltoniano:

[H, t(u)] = 0

De la ecuación (1.2.1) se desarrolla la conmutación de la matriz de

transferencia para diferentes valores del parámetro espectral:

[t(u), t(v)] = 0 ∀ u, v (1.2.7)

Existen dos consecuencias fundamentales que derivan de la ecuación

(1.2.7). La primera es que t(u) puede ser diagonalizada independiente de u,

es decir los valores propios de t(u) no dependen del parámetro espectral u,

siendo esta la característica que hace que el enfoque del AB sea viable. La

segunda consecuencia es que, si expandimos t(u) en una serie de

potencias,

t(u) = ∑ ckukk ,

los coeficientes (operadores) ci, satisfacen las siguientes relaciones de

conmutación

[ck, cj] = 0 ∀ k, j. (1.2.8)

Por lo tanto, para cualquier Hamiltoniano que podamos escribir como una

función a penas de los operadores ck, entonces cada uno de ellos (ck)

corresponderá a un operador que representara una constante de

movimiento, ya que necesariamente conmutan con el Hamiltoniano. Decimos

que el modelo es integrable cuando el número de cantidades conservadas

es igual al número de grados de libertad del sistema.




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Una ley importante del álgebra de Yang-Baxter es la ley de adición, llamada

también de co-multiplicación o co-producto ∆, que mapea el álgebra 𝕍 en el

producto tensorial 𝕍 ⊗ 𝕍 y que preserva las relaciones algebraicas de 𝕍, su

definición es:

∆ ∶ 𝕍 → 𝕍 ⊗ 𝕍

Tij(u) → ∑ Ti

k(u) ⊗ Tkj (u)

k

La importancia del co-producto ∆ es que permite la construcción de

representaciones del producto tensorial. Particularmente, dados dos

operadores de Lax LU, LW actuando sobre 𝕍 ⊗ U y 𝕍 ⊗ W respectivamente,

entonces tenemos que

L = LULW, es también un operador de Lax. Se puede observar esto de la

relación siguiente:

R12(u − v)L1(u)L2(v) = R12(u − v)L1U(u)L1

W(u)L2U(v)L2

W(v)

= R12(u − v)L1U(u)L2

U(v)L1W(u)L2

W(v)

utilizando (1.2.2)

= L2U(v)L1

U(u)R12(u − v)L1W(u)L2

W(v)

= L2U(v)L1

U(u) L2W(v)L1

W(u)R12(u − v)

= L2U(v)L1

U(u) L2W(v)L1

W(u)R12(u − v)

= L2UL2

WL1U(u)L1

W(u)R12(u − v)

= L2(v)L1(u)R12(u − v)

se comprueba que:

R12(u − v)L1(u)L2(v) = L2(v)L1(u)R12(u − v)

Es importante observar que, si L(u) es un operador de Lax entonces L(u +

α) también lo es para cualquierα, una vez que la matriz R solo depende de

la diferencia entre los parámetros espectrales




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1.3 MDIC o Ansatz de Bethe Algebraico

Una vez que tengamos una realización del algebra de Y-B podemos

encontrar para el modelo especifico su solución. El procedimiento general del

MDIC o también llamado Ansatz de Bethe algebraico, nos permitirá encontrar

los valores propios de la matriz de transferencia, esta matriz hace que

podamos escribir el Hamiltoniano en términos de la matriz R y también que

el modelo sea Integrable, ya que la matriz es una solución de la ecuación de

Y-B.

Para una dada realización del algebra, la solución al problema de encontrar

los valores de la matriz de transferencia (1.2.6), por medio del MDIC, se da

a partir de la utilización de relaciones de conmutación obtenidas del algebra

de Y-B.

Las relaciones de conmutación obtenidas (usando las ecuaciones (1.2.1) –

(1.2.6)) son:

[𝐴(𝑢), 𝐴(𝑣)] = [𝐷(𝑢), 𝐷(𝑣)] = 0 (1.3.1)

[𝐵(𝑢), 𝐵(𝑣)] = [𝐶(𝑢), 𝐶(𝑣)] = 0 (1.3.2)

𝐴(𝑢)𝐶(𝑣) = 𝑢 − 𝑣 + 𝜂

𝑢 − 𝑣𝐶(𝑣)𝐴(𝑢) −

𝜂

𝑢 − 𝑣𝐶(𝑢)𝐴(𝑣) (1.3.3)

𝐷(𝑢)𝐶(𝑣) = 𝑢 − 𝑣 − 𝜂

𝑢 − 𝑣𝐶(𝑣)𝐷(𝑢) +

𝜂

𝑢 − 𝑣𝐶(𝑢)𝐷(𝑣) (1.3.4)

Para poder seguir con el proceso dentro del MDIC, un punto importante es

encontrar un estado apropiado para el modelo a ser estudiado, tal estado es

llamado de pseudovacío, siendo este el vacío de Fock:

|0,0⟩ = |0 >⊗ |0 >,




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19

o alguna combinación diferente ([16]). Luego de elegir el pseudovacío, los

elementos de la matriz actúan de la siguiente forma:

𝐴(𝑢)|0 >= 𝑎(𝑢)|𝜑 > (1.3.5)

𝐵(𝑢)|0 > = 0 (1.3.6)

𝐶(𝑢)|0 >≠ 0 (1.3.7)

𝐷(𝑢)|0 >= 𝑑(𝑢)|𝜑 > (1.3.8)

La idea de pseudovacío es pensar que existe un estado a partir del cual todos

los otros estados pueden ser creados.

De (1.3.5 y 1.3.8) 𝑎(𝑢) 𝑦 𝑑(𝑢) son funciones escalares, que pueden ser

determinadas a través de la acción de 𝐴(𝑢) 𝑦 𝐷(𝑢) sobre el pseudovacío

|0 >. La elección del pseudovacío nos permite escoger el estado de Bethe:

|�⃗� >≡ |𝑣1, … , 𝑣𝑀 > ∏ 𝐶(𝑣𝑖)

𝑀

𝑖=1

|𝜑 > (1.3.9)

Usando (1.3.3) y (1.3.4) y la acción de los operadores sobre el pseudovacío

(1.3.5) y (1.3.8) podemos determinar la acción de 𝑡(𝑢) sobre |�⃗� > :

𝑡(𝑢) |�⃗� > = (𝐴(𝑢) + 𝐷(𝑢)) |�⃗� > (1.3.10)

= ⋀(𝑢, �⃗�) |�⃗� > (1.3.11)

donde:

⋀(𝑢, �⃗�) = 𝑎(𝑢) ∏𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂

𝑢 − 𝑣𝑖

𝑀

𝑖=1

+ 𝑑(𝑢) ∏𝑢 − 𝑣𝑖 − 𝜂

𝑢 − 𝑣𝑖

𝑀

𝑖=1

(1.3.12)

El enfoque de Ansatz de Bethe Algebraico [17] es usar las relaciones de

conmutación para determinar la acción de 𝑡(𝑢) sobre |�⃗� >.

De (1.3.11) se puede ver que |�⃗� > se torna un vector propio de la matriz de

transferencia con valor propio (1.3.12), desde que 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 para todo 𝑖, 𝑗 .




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1.4 Realizaciones del Algebra

1.4.1 Realización de los Operadores Bosónicos

Existe una realización en términos de los operadores bosónicos 𝑎, 𝑎+ estos

operadores satisfacen las relaciones de conmutación siguientes:

[𝑎, 𝑎+] = 𝐼

[𝑎, 𝑎] = [𝑎+, 𝑎+] = 0 (1.4.1)

El operador de Lax es:

𝐿𝑎(𝑢) = ((1 + 𝜂 𝑢)𝐼 + 𝜂2𝑁 𝜂𝑎

𝜂𝑎+ 𝐼) (1.4.2)

Siendo N el operador número, es decir, 𝑁 = 𝑎+𝑎.

1.4.2 Realizaciones en términos de los generadores del Algebra

de Lie su (2)

El operador de Lax puede ser construido, en algunos casos, como elementos

de la matriz de la siguiente forma:

𝑳𝑺(𝒖) =𝟏

𝒖(

𝒖𝑰 + 𝜼𝑺𝒛 𝜼𝑺−

𝜼𝑺+ 𝒖𝑰 − 𝜼𝑺𝒛), (𝟏. 𝟒. 𝟑)

con los generadores del algebra,

[𝑺𝒁, 𝑺±] = ±𝑺±, [𝑺+, 𝑺−] = 𝟐𝑺𝒁 (1.4.4)




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1.4.3 Realizaciones en términos de los generadores del Algebra

de Lie su (1,1)

Para esta algebra denotamos los generadores por 𝐾𝑧 𝑦 𝐾±, con el operador

de Lax 𝐿𝑘(𝑢) de la siguiente forma:

𝐿𝑘(𝑢) =1

𝑢(

𝑢𝐼 + 𝜂𝐾𝑧 𝜂𝐾−

−𝜂𝐾+ 𝑢𝐼 − 𝜂𝐾𝑧) (1.4.5)

Y las relaciones de conmutación para su(1,1) siguiente:

[𝑲𝒛, 𝑲±] = ±𝑲±

[𝑲+, 𝑲−] = −𝟐𝑲𝒛 (𝟏. 𝟒. 𝟔)

Es interesante observar que entre las algebras su(2) y su(1,1) existe un

homeomorfismo del Algebra de Lie:

Υ: 𝑠𝑢(2) ⟶ 𝑠𝑢(1,1),

Y teniendo en cuenta las siguientes elecciones en los operadores

Υ(𝑆𝑧) = 𝐾𝑧, Υ(𝑆+) = −𝐾+ 𝑦 Υ(𝑆−) = 𝐾− ,

Para diferenciar entre los dos operadores S y K, la transformación Υ tiene

que ser no-unitaria.

En el siguiente capítulo usaremos una de las realizaciones que vimos

recientemente para analizar un modelo específico.




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Capítulo 2.

2.1 MODELO TRIATOMICO DE CONDENSADOS DE BOSE-

EINSTEIN

Introduciremos un modelo de CBE que describe la inter-conversión de

átomos-moléculas, llamado modelo tri-atómico molecular AABC. Es decir dos

átomos de una especie (AA), otro átomo de otra especie (B) que combinados

producen una molécula (C).

Veremos también la construcción algebraica de este caso y las realizaciones

de la matriz de transferencia (1.2.5), las cuales deben de satisfacer la

ecuación de Y-B e a partir del MDIC obtendremos las ecuaciones del AB.

El Hamiltoniano que describe nuestro sistema es el siguiente:

𝐻 = 𝑈𝑎𝑎𝑁𝑎2 + 𝑈𝑏𝑏𝑁𝑏

2 + 𝑈𝑐𝑐𝑁𝑐2 + 𝑈𝑎𝑏𝑁𝑎𝑁𝑏 + 𝑈𝑎𝑐𝑁𝑎𝑁𝑐 + 𝑈𝑏𝑐𝑁𝑏𝑁𝑐 + 𝜇𝑎𝑁𝑎

+ 𝜇𝑏𝑁𝑏 + 𝜇𝑐𝑁𝑐

+ Ω(𝑎+𝑎+𝑏+𝑐 + 𝑐+𝑏𝑎𝑎) (2.1.1)

Este Hamiltoniano describe una molécula heterogénea tri-atómica llamada

de 𝑐, con dos tipos de atomos diferentes del tipo 𝑎 y otra del tipo 𝑏. Aquí

{𝑁𝑎, 𝑁𝑏, 𝑁𝑐} denotan el operador número (asociada a las diferentes especies

actuando en el espacio de Fock). El Hamiltoniano (2.1.1) tiene dos

cantidades conservadas que son independientes:

𝐼 = 𝑁𝑎 + 2𝑁𝑐 , 𝐽 = 𝑁𝑎 − 2𝑁𝑐 (2.1.2)

El Hamiltoniano (2.1.1) conmuta con 𝐽, siendo la diferencia (imbalance) entre

el número de átomos del tipo 𝑎 𝑦 𝑏, o diferencia entre los modos atómicos.

Tenemos también a 𝑁 = 𝑁𝑎 + 𝑁𝑏 + 3𝑁𝑐 el número total de partículas, donde

𝑁𝑎 = 𝑎+𝑎, 𝑁𝑏 = 𝑏+𝑏, 𝑁𝑐 = 𝑐+𝑐 y es posible re escribirlo usando las

cantidades independientes:




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23

𝑁 =3𝐼 − 𝐽

2

Por lo tanto 𝑁 también es conservada. La densidad de átomos 𝑁𝑎 𝑦 𝑁𝑏 debe

ejercer algún tipo de influencia en la generación de un estado ligado obtenido

a partir de 2 átomos de una especie y 1 de otra especie.

Los parámetros 𝑈 describen la dispersión de la onda-S, los parámetros 𝜇 son

llamados los potenciales externos y Ω es la amplitud para la interconversión

entre los átomos y moléculas.

Por conveniencia redefinimos las constantes de acoplamiento 𝑈 en la

ecuación (2.1.1)

𝑈𝑎𝑎 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾, 𝑈𝑏𝑏 = 4𝛽, 𝑈𝑐𝑐 = 4𝛼

𝑈𝑎𝑏 = −4𝛽 − 2𝛾, 𝑈𝑎𝑐 = 4𝛼 + 2𝛾, 𝑈𝑏𝑐 = −4𝛾

Luego el Hamiltoniano (2.1.1) toma una forma más compacta:

𝐻 = 𝛼𝐼2 + 𝛽𝐽2 + 𝛾𝐼𝐽 + 𝜇𝑎𝑁𝑎 + 𝜇𝑏𝑁𝑏 + 𝜇𝑐𝑁𝑐

+ Ω(𝑎+𝑎+𝑏+𝑐 + 𝑐+𝑏𝑎𝑎) (2.1.3)

Como veremos más adelante la forma del Hamiltoniano puede ser obtenida

a partir de la matriz de transferencia, para establecer la Integrabilidad dentro

del MDIC.




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2.2 Análisis del modelo AABC

La realización apropiada para la matriz de monodromía, para este caso,

consiste en una combinación de operadores matriciales de Lax con

elementos de las algebra 𝑠𝑢(2) 𝑦 𝑠𝑢(1,1) que se expresa de la siguiente

forma (recordando (1.2.5)):

π(T(u)) = L(u) = u−GLS(u−)LK(u+), (2.1.4)

donde 𝑢± = 𝑢 ± 𝑤, sendo 𝑤 un parámetro arbitrario y G = diag(+1, −1). La

matriz de monodromía L(u) [18] puede ser escrita en términos de la siguiente

forma matriz:

LS(u) =1

u(

u − ηSz −ηS+

−ηS− u + ηSz), (2.1.5)

LK(u) = (u + ηKz ηK−

−ηK+ u − ηKz), (2.1.6)

Utilizamos el álgebra de Lie 𝑠𝑢(2) cuyos generadores 𝑆𝑧 𝑦 𝑆± obedecen las

relaciones de conmutación (1.4.4), trabajaremos junto con el álgebra de Lie

su(1,1) y utilizaremos los generadores 𝐾𝑧 𝑦 𝐾± y que obedecen las

relaciones de conmutación (1.4.6).

Recordando los elementos de 𝑇(𝑢) podemos explicitar la forma que tienen

para el modelo estudiado (1.3.5 – 1.3.8):

𝐴(𝑢) = (𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆𝑧)(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾𝑧) + 𝜂2𝑆+𝐾+

𝐵(𝑢) = 𝜂𝐾−(𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆𝑧) − 𝜂𝑆+(𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾𝑧)

𝐶(𝑢) = 𝜂𝑆−(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾𝑧) + 𝜂𝐾+(𝑢 − 𝑤 + 𝜂𝑆𝑧)

𝐷(𝑢) = (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾𝑧)(−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆𝑧) + 𝜂2𝑆−𝐾−




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Con el conjunto de ecuaciones de A(u) hasta D(u) arriba escrito podemos

expresar con exactitud la matriz de monodromía:

𝑳(𝒖) =

= ((𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆𝑍)(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾𝑍) + 𝜂2𝑆+𝐾+ 𝜂𝐾−(𝑢 − 𝑤 − 𝜂𝑆𝑍) − 𝜂𝑆+(𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾𝑍)

𝜂𝑆−(𝑢 + 𝑤 + 𝜂𝐾𝑍) − 𝜂𝐾+(−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆𝑍) (𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝐾𝑍)(−𝑢 + 𝑤 − 𝜂𝑆𝑍) + 𝜂2𝑆−𝐾−)

(2.1.7)

Que satisface la ecuación de Y-B:

𝑅12(𝑢 − 𝑣)𝐿1(𝑢)𝐿2(𝑣) = 𝐿2(𝑣)𝐿1(𝑢)𝑅12(𝑢 − 𝑣) (2.1.8)

Usando los operadores de creación y aniquilación obtenemos una

combinación junto con los operadores de las algebras, generándose las

siguientes:

𝑆+ = 𝑏+𝑐, 𝑆− = 𝑐+𝑏 , 𝑆𝑍 =𝑁𝑏 − 𝑁𝑐

2

𝐾+ =(𝑎+)2

2, 𝐾− =

(𝑎)2

2 , 𝐾𝑍 =

2𝑁𝑎 + 1

4

Veamos el procedimiento del MDIC para construir el Hamiltoniano (2.1.1).

Haciendo cálculos podemos obtener el Hamiltoniano (2.1.1) expresado a

través de la matriz de transferencia (1.2.6) la cual conmuta (1.2.7) debido a

la relación (1.2.1):

𝑯 = 𝒕(𝒖) −𝟏

𝟐𝒖−𝜼 + 𝜶𝑰𝟐 + 𝜹𝑱𝟐 + 𝜸𝑰𝑱 (2.1.9)

Donde 𝐼 𝑦 𝐽 están definidos (2.1.2) y de las siguientes

identificaciones:

𝜇𝑎 = −𝑢−𝜂, 𝜇𝑐 = −𝜇𝑏 = 𝑢+𝜂, Ω = 𝜂2

2 , 𝛼 =

4𝑈𝑎𝑎−𝑈𝑏𝑏+𝑈𝑏𝑐

4

𝛿 =𝑈𝑏𝑏

4, 𝛾 = −

𝑈𝑏𝑐

4




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Pero debido a la ecuación (2.1.9), teniendo en cuenta que el Hamiltoniano

está ahora escrita en función de la matriz de transferencia siendo este un

objetivo del proceso, podemos resolver el problema de valores propios de la

matriz (1.2.6) puede diagonalizarse el Hamiltoniano (2.1.1). Por lo tanto,

podremos llegar a obtener las ecuaciones de Ansatz de Bethe:

−(𝑣𝑖 − 𝑤 − 𝜂𝑠𝑧)(𝑣𝑖 + 𝑤 + 𝜂𝑘)

(𝑣𝑖 − 𝑤 + 𝜂𝑠𝑧)(𝑣𝑖 + 𝑤 − 𝜂𝑘)= ∏

𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 − 𝜂

𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 + 𝜂,

𝑀

𝑖≠𝑗

𝑖, 𝑗 = 1, . . , 𝑀 (2.1.10)

Y consecuentemente podemos obtener la energía 𝐸 del Hamiltoniano (2.1.1):

𝐸 = (𝑢− − 𝜂𝑠𝑧)(𝑢+ + 𝜂𝑘) ∏𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂

𝑢 − 𝑣𝑖

𝑀

𝑖=1

− (𝑢− + 𝜂𝑠𝑧)(𝑢+ − 𝜂𝑘) ∏𝑢 − 𝑣𝑖 + 𝜂

𝑢 − 𝑣𝑖

𝑀

𝑖=1

−1

2𝑢−𝜂 + 𝛼𝐼2 + 𝛽𝐽2 + 𝛾𝐼𝐽.

(2.1.11)




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27

Capítulo 3

3.1 Análisis Semi-Clásico

Con el objetivo de profundizar un poco más, haremos un

estudio sobre la respuesta semi-clásica del Hamiltoniano (2.1.1), estudiando

puntos fijos y curvas de nivel.

Consideremos ahora 𝑁𝑗 , 𝜙𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 como siendo variables cuánticas

que satisfacen las relaciones canónicas:

[𝜙𝑗 , 𝜙𝑘] = [𝑁𝑗 , 𝑁𝑘] = 0 (3.1.1)

[𝑁𝑗 , 𝜙𝑘] = 𝑖𝛿𝑗𝑘𝐼 (3.1.2)

Hacemos un cambio de variable de los operadores j para una representación

número-fase:

𝑗 = 𝑒𝑖𝜙𝑗√𝑁𝑗

De tal forma que las relaciones de conmutación canónicas se mantienen

preservadas, y luego del siguiente cambio de variables:

𝑧 =(𝑁𝑎+𝑁𝑏−3𝑁𝑐)

𝑁 , 𝜙 =

𝑁(2𝜙𝑎+𝜙𝑏−𝜙𝑐)

6 (3.1.3

Tal que 𝑧 𝑦 𝜙 son variables canónicamente conjugadas, es decir

[𝑧, 𝜙] = 𝑖𝐼.

Definimos z como la diferencia normalizada entre el número de átomos y el

número de moléculas, 𝑧 ∈ [1, −1].

Con todo esto escribimos el siguiente Hamiltoniano, valido en el límite

clásico, donde N es muy grande:

𝐻 =4Ω𝑁2

36(𝜆𝑧2 + 2(𝛼 − 𝜆)𝑧) + 𝛽

+ (𝑧 + 𝑐+√(1 − 𝑧)(𝑧 + 𝑐−) cos(6𝜙

𝑁) (3.1.4)




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Llevando en cuenta para tal Hamiltoniano las siguientes igualdades:

𝜆 = Δ(4𝑈𝑎𝑎 + 𝑈𝑏𝑏 + 𝑈𝑐𝑐 + 2𝑈𝑎𝑏 − 2𝑈𝑎𝑐 − 𝑈𝑏𝑐)

𝛼 = Δ(4𝑈𝑎𝑎(𝑐+ + 1) + 𝑈𝑏𝑏(𝑐− + 1) + 𝑈𝑎𝑏(𝑐+ + 𝑐− + 2) − 𝑈𝑎𝑐(𝑐+

+ 1) − 𝑈𝑏𝑐

(1 + 𝑐−)

2+

3

𝑁(2𝜇𝑎 + 𝜇𝑏 − 𝜇𝑐)

𝛽 = Δ(4𝑈𝑎𝑎𝑐+2 + 𝑈𝑏𝑏𝑐−

2 + 𝑈𝑐𝑐 + 2𝑈𝑎𝑏𝑐+𝑐− + 2𝑈𝑎𝑐𝑐+ + 𝑈𝑏𝑐𝑐−)

+6

𝑁(2𝜇𝑎𝑐+ + 𝜇𝑏𝑐− + 𝜇𝑐))

Teniendo que llevar también en consideración:

Δ =1

4Ω , 𝑐+ = 1 + 𝑘 , 𝑐− = 1 − 2𝑘 , 𝑘 =

𝐽

𝑁 𝑘 ∈ [−2,1]

Siendo k la diferencia (imbalance) hetero-atómica normalizada, 𝑘 𝑦 𝑁 son

conservados y pueden ser vistos como constantes.

3.2 Ecuaciones de Movimiento y puntos fijos

Vamos a considerar a (3.1.4) como un Hamiltoniano Clásico, derivamos las

ecuaciones de movimiento a partir del mismo [14]:

𝑎) 𝒅𝒛

𝒅𝒕=

𝝏𝑯

𝝏𝝓=

−2

3Ω𝑁(𝑐+ + 𝑧)√(𝑐− + 𝑧)(1 − 𝑧) sin (

6𝜙

𝑁)

𝑏) −𝒅𝝓

𝒅𝒕=

𝝏𝑯

𝝏𝒛=

4Ω𝑁2

36(2𝜆𝑧 + 2(𝛼 − 𝜆) +

2((𝑐−+𝑧)(1−𝑧))+(𝑐++𝑧)(1−𝑧)−(𝑐++𝑧)(𝑐−+𝑧)

2 √(𝑐−+𝑧)(1−𝑧)cos (

6𝜙

𝑁))

(3.1.5)

Usando la condición: 𝜕𝐻

𝜕𝜙=

𝜕𝐻

𝜕𝑧= 0 (3.1.6)

Con la condición anterior determinamos los puntos fijos en el espacio de

parámetros (𝜆, 𝛼).




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29

Vamos a restringir el análisis al intervalo 𝜙 ∈ [0, 𝑁𝜋3⁄ ) por motivos de

periodicidad de las soluciones. Para facilitar la notación, en los cálculos

vamos a definir las funciones 𝑓(𝑧)𝑦 𝑔(𝑧):

𝑓(𝑧) = 𝜆𝑧 + 𝛼 − 𝜆 (3.1.7)

𝑔(𝑧) = −2((𝑐−+𝑧)(1−𝑧))+(𝑐++𝑧)(1−𝑧)−(𝑐++𝑧)(𝑐−+𝑧)

4 √(𝑐−+𝑧)(1−𝑧) (3.1.8)

El dominio de 𝑔(𝑧) depende de k, la diferencia hetero-atómica normalizada,

que tiene un papel importante en la construcción de 𝑔(𝑧).

Por ejemplo:

Para 𝑘 ≤ 0, tenemos que 𝑔(𝑧) es divergente en 𝑧 = 1,

Para 𝑘 > 0, tenemos que 𝑔(𝑧) es divergente en 𝑧 = 2𝑘 − 1 y 𝑧 = 1

Se observa que k afecta el dominio y la forma de la función 𝑔(𝑧) por lo tanto

afecta también en las soluciones de (3.1.6).

En la siguiente figura (fig.4) vemos el comportamiento de la función 𝑔(𝑧)para

diferentes valores de 𝑘.

Fig.4 Es el comportamiento de 𝑔(𝑧) para valores diferentes valores de k.




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3.3 Diagrama de parámetros

Usando la ecuación (3.1.6) podemos obtener un diagrama de

parámetros que se divide en diferentes regiones, para cada valor que 𝑘

pueda tomar

Fig.5 Diagrama de parámetros identificando los diferentes tipos de soluciones para la

ecuación (3.1.6) para valores de 𝑘 = −1; 0; 0.5.

a) Se observan 5 regiones diferentes para 𝑘 negativo

b) cuatro regiones diferentes para 𝑘 = 0

c) tres regiones diferentes para el caso 𝑘 positivo

Así tenemos un escenario diferente para los distintos parámetros,

dependiendo si la diferencia hetero-atómica normalizada 𝑘 es negativa, cero

o positiva.

Podemos hacer un análisis del comportamiento de la siguiente forma:

- Cuando 𝑘 es negativo, el diagrama de parámetros es dividido en 5

regiones: en la región A no existe solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =0 y existe

una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6 . En la región B existen dos

soluciones para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =0 y una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6 .

En la región C existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución

para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6 y dos soluciones para 𝜙 cuando 𝑧 = −𝑘 − 1. En

la región D existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y dos soluciones




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6. En la región E existe una solución para

𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y ninguna solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6.

o Para el caso de 𝑘 = 0, la región C desaparece y el diagrama de

parámetros se queda con cuatro regiones A,B,D,E analizadas

anteriormente.

o Para 𝑘 positivo, el diagrama es dividido en 3 regiones: en la

región I existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución


6. En la región II, existen 3 soluciones para

𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6. En la

región III, existe una solución para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 = 0 y tres

soluciones para 𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜙 =Nπ

6 .

Las bifurcaciones de los puntos fijos separan el espacio de parámetros

acoplados en diferentes regiones, tres distintos escenarios se encontraron.




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CONCLUSIONES

El estudio de un modelo integrable nos permitió describir la

interconversión de átomos y moléculas dentro del modelo de Condensados

de Bose-Einstein hetero-tri-atómico molecular.

Este proceso se desarrolló con la introducción de realizaciones del

algebra de Lie y el método algebraico de Ansatz de Bethe. Donde

encontramos las ecuaciones del Ansatz y la energía del sistema.

Mediante un cambio de variables, pudimos construir el Hamiltoniano

valido en el límite clásico lo cual nos permitió hacer un análisis de los puntos

fijos, y donde el espacio de parámetros se dividió en diferentes regiones

dependiendo del k.

Bibliografía




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