FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA x2+bx+c

¿Cómo puede factorizarse x² + 6x + 8? Como los términos del polinomio carecen de factores comunes (excepto 1), éste no se puede factorizar como el producto de un monomio por un polinomio. ¿Será posible factorizarlo como producto de dos binomios?  

si x² + 6x + 8 fuera el resultado de multiplicar dos binomios con término

común, el coeficiente de x, es decir, 6, debería ser la suma de dos números cuyo producto sea el tercer término, esto es, 8. por tanto, se deben buscar dos números

cuyo producto sea 8 y que sumen 6.

Probamos con las posibilidades obtenidas de los factores del término independiente c (8, en este caso), que es positivo, luego ambos

términos deben ser de signos iguales:

Entonces, su factorización es : (x+2)(x+4). Probemos: (x+2)(x+4)= x(x+2)+2(x+4) =

x2+4x+2x+8=x2+6x+8.

¿Cuál es la factorización de x2+3x-10? Primero se determina el factor común x. luego se buscan dos números cuya suma sea 3

y su producto -10. Como el producto es un número negativo, los factores deben ser de signos contrarios. Los factores de

diez son: 1, 2, 5 y 10.

La factorización, es, entonces, (x – 2)(x – 10) = x² – 12x + 20

¿Cuál es la factorización de x²–12x+20? El término común es x; los factores de 10 deben poseer el mismo signo para que el producto sea positivo. Como la suma de esos factores debe ser negativa, sólo se inspeccionan las sumas de los factores negativos de 20.

Los factores de veinte son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Entonces la factorización de x²-12x+20, es: (x-10)(x-2).

¿Cuál es la factorización de y²–5y–24? El término común es y. Como 24 es negativo, sus factores son de signos contrarios y el mayor debe ser negativo porque la suma (–5) es negativa. Los factores de –24 que cumplen esto son –8 y 3. Entonces y² – 5y – 24 = (y – 8)(y + 3)

El trinomio x²+bx+c se factoriza como producto de binomios con un término común mediante el siguiente procedimiento: 1. Se encuentra el término común calculando la raíz cuadrada de x². 2. Se buscan dos números cuya suma sea b (el coeficiente de x) y su producto sea c (el término independiente).

Esta búsqueda se realiza examinando las sumas de los factores de c. De esta manera, se encuentran los términos no comunes de los binomios.

¿Cuál es la factorización del polinomio x²+6x+9? El término común es x. Como el producto es positivo sus factores son de signos iguales y como la suma es positiva, la descomposición de 9 en factores que suman 6 es 3 x 3. Por tanto, el polinomio se factoriza como: (x + 3)(x + 3) = (x + 3)², pues (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9

Como x² + 6x + 9 es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio de la forma x2 + bx + c es cuadrado perfecto si el término bx es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.

Los trinomios cuadrados perfectos se factorizan obteniendo la raíz cuadrada del término de segundo grado (x²), ése será un término del binomio; después se obtiene la raíz cuadrada del término independiente c, ése será el otro término del binomio. (Recordemos que el doble del producto de estas raíces está en medio de los términos anteriores.)

Por ejemplo, el trinomio anterior, x² + 6x + 9, se podía factorizar sacando raíz cuadrada de x² y de 9; así se obtiene (x + 3)² , que es la respuesta y además que 6x es el doble del producto de x y 3.

EJERCICIOS

Factoriza en tu cuaderno los trinomios.

Indica cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos.

Completa las expresiones: a) (x + 8)² = x² _ __ 64 b) (3x – ) ² = 9x² –__ + 25 c) (__ + 2)² =__ + 32x _ __ d) (__ – 5)² = 36x² –__ +__ e) (__ +__ )² = 4x² + __+ 81y² f) (__ – __)² = __ _ 44xy _ 121

Factoriza los trinomios cuadrados perfectos: a) h² + 14h + 49 b) k² – 10k + 25 c) m² + 8m + 16 d) x² + 2x + 1 e) y² – 6y + 9 f) z² + 18z + 81 g) t² + 64 – 16t h) 20s + 100 + s² i) 400 + 40y + y² j) w² + 6084 + 156w.

FACTORIZACIÓN DE ax2+bx y ax2-c2

Un polinomio de la forma ax² + bx siempre se puede factorizar así: ax² + bx = x(ax + b) son posibles otras factorizaciones; por ejemplo: Factorizar 3x² + 12x. Los

factores comunes de 3x² y 12x son 1, 3, x y 3x; entonces el polinomio puede factorizarse de estas

tres formas: 3(x² + 4x), x(3x + 12) , o, 3x(x + 4).

Si el área de un rectángulo es 4x² + 12x y el ancho es 2x, ¿cuál es la altura? Puesto que 4x²+12x = (2x)(largo), el largo del rectángulo se obtiene factorizando 4x²+12x de manera que un factor sea 2x. Como 4x² = (2x)(2x) y 12x = (2x)(6), entonces: 4x²+12x = (2x)(2x)+(2x)(6) = (2x)(2x+6)

Por tanto, el largo del rectángulo es 2x+6. Esta figura se ilustra a la izquierda;

Los siguientes binomios se factorizarán por el método del máximo factor común. Factorizar 25x² + 5x. El máximo factor común de 25x² y 5x es 5x. Entonces: 25x² + 5x = 5x(5x + 1).Factorizar 3x²+8x. El máximo factor común de 3x² y 8x es x. Entonces: 3x² + 8x = x(3x + 8).  Factorizar 16x²–24x. El máximo factor común de 16x² y 24x es 8x.Entonces,16x² – 24x = 8x(4x-3)

El binomio x² – 25 es de la forma x² – c², con a=1; se factoriza del siguiente modo: se observa que el binomio está formado por la diferencia de dos cuadrados. Entonces, x² – 25 se factoriza como el producto de los binomios conjugados (x + 5) y (x – 5) porque (x + 5)(x – 5) = x² – 25 .

El binomio x²–c² se factoriza como un producto de binomios conjugados, en los cuales el término común es x. Es decir: x²–c² = (x+c)(x–c) obsérvese cómo se factorizan los siguientes binomios:

4z² – 100. Como 4z² es positivo, el término común de los binomios conjugados es 2z, pues (2z)² = 4z². El otro término es la raíz cuadrada de 100. Entonces, 4z²–100 = (2z + 10)(2z – 10).

Factorizar 49–x². El término común es 7 pues el otro término es x, la raíz cuadrada de x². Entonces, 49 – x² = (7 + x)(7 – x).

Factorizar –x² + y². El término común es la raíz cuadrada del término con signo positivo, es decir, la raíz cuadrada de y². El otro término es x, la raíz cuadrada de x². La factorización es –x² + y² = y² – x² = (y + x)(y – x).

Factorizar (81u4-64w2).La raíz cuadrada de 81 es 9, la de 64 es 8, la de w² es w y la de u4 es u2. Entonces, los binomios conjugados son (9u²+8w) y (9u² – 8w). Por tanto: factorización de una diferencia de cuadrados x² – c² = (x + c)(x – c) 

EJERCICIOS

Factorizar los siguientes binomios por el método del máximo factor común: