Metodos de Diseno y Analisis deExperimentos

Patricia Isabel Romero Mares

Departamento de Probabilidad y EstadısticaIIMAS UNAM

marzo 2013

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Disenos Factoriales

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IntroduccionEl termino “experimento factorial” o “arreglo factorial” se refierea la constitucion de los tratamientos que se quieren comparar.

Diseno de tratamientos es la seleccion de los factores aestudiar, sus niveles y la combinacion de ellos.

El diseno de tratamientos es independiente del disenoexperimental que indica la manera en que los tratamientos sealeatorizan a las diferentes u.e. y las formas de controlar lavariabilidad natural de las mismas.

Ası, el diseno experimental puede ser completamente al azar,bloques al azar, bloques al azar generalizados, cuadro latino,etc. y para cada uno de estos disenos se puede tener arreglofactorial de los tratamientos, si estos se forman por lacombinacion de niveles de varios factores.

A ambos tipos de disenos, el de tratamientos y el experimental,les corresponde un modelo matematico.

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Introduccion

Ası, por ejemplo, si el diseno experimental es bloques al azar,el modelos es:

yij = µ + τi +βj + εij

respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto debloque + error

Si se trata de un diseno factorial, los tratamientos se formancombinando los niveles de los factores en estudio, de maneraque el efecto del tratamiento τi se considera a su vezcompuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.

Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene:

τi = τkl = αk + γl +ξkl

tratamiento = factor A + factor B + interaccion AB

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Introduccion

Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y lsuponiendo que el factor A tiene K niveles y el factor B L:

i k l1 1 12 1 23 1 3.. .. ..t K L

Y el modelo resultante es:

yklj = µ +αk + γl +ξkl +βj + εklj

Es poco usual tener disenos experimentales muy complicadosen los experimentos factoriales, ya que se dificulta el analisis yla interpretacion.

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Introduccion

La necesidad de estudiar conjuntamente varios factoresobedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambiesegun los niveles de otros factores, esto es, que los factoresinteractuen, o exista interaccion.

Tambien se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiereoptimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, sequiere encontrar la combinacion de niveles de los factores queproducen un valor optimo de la variable dependiente.(superficie de respuesta)

Si se investiga un factor por separado, el resultado puede serdiferente al estudio conjunto y es mucho mas difıcil describir elcomportamiento general del proceso o encontrar el optimo.

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IntroduccionLas ventajas de los experimentos factoriales son:

1 Economıa en el material experimental al obtenerinformacion sobre varios factores sin aumentar el tamanodel experimento. Todas las u.e.se utilizan para laevaluacion de los efectos.

2 Se amplıa la base de la inferencia en relacion a un factor,ya que se estudia en las diferentes condicionesrepresentadas por los niveles de otros factores. Se amplıael rango de validez del experimento.

3 Permite el estudio de la interaccion, esto es, estudiar elgrado y forma en la cual se modifica el efecto de un factorpor los niveles de los otros factores.

Una desventaja de los experimentos factoriales es querequiere un gran numero de u.e., sobre todo cuando seprueban muchos factores o muchos niveles de algunosfactores, es decir, se tiene un numero grande de tratamientos.(factoriales fraccionales)

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Interaccion

Suponga un diseno con dos factores: A con a niveles y B con bniveles, en diseno completamente al azar. (Factorial a×bcompleto, balanceado, efectos fijos)

Sea yijk la respuesta para la k-esima u.e. del nivel i de A y j deB.

yijk = µ + τi +βj + γij + εijk

i = 1, . . . ,a j = 1, . . . ,b k = 1, . . . ,n

Las hipotesis que se prueban son:

H01 : γij = 0 ∀ i, j

H02 : τi + γi. = 0 ∀ i

H03 : βj + γ.j = 0 ∀ j

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Interaccion

Ejemplo de un factorial 2×2 sin y con interaccion.

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Interaccion

Conocer la interaccion es mas util que conocer los efectosprincipales. Una interaccion significativa frecuentementeoscurece la significancia de los efectos principales.

Cuando hay interaccion significativa, se deberan examinar losniveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de losotros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efectoprincipal A.

Dos factores: A con a niveles y B con b niveles. Se dice que setiene un factorial a×b, con diseno completamente al azar(bloques, etc.). Se tienen ab tratamientos.

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Tabla de ANOVAF.V. g.l. SS CM F E(CM)

A a−1 SSA SSA/(a−1) CMACME

σ2 + rbθ 2a

B b−1 SSB SSB/(b−1) CMBCME

σ2 + raθ 2b

AB (a−1)(b−1) SSAB SSAB/(b−1) CMABCME

σ2 + rθ 2ab

error ab(n−1) SSE SSE/ab(n−1) σ2

total abn−1 SST

SST =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

y2ijk−

y2...

abn

SSA =1bn

a

∑i=1

y2i..−

y2...

abn

SSB =1an

b

∑j=1

y2.j.−

y2...

abn

SSAB =1n

a

∑i=1

b

∑j=1

y2ij.−

y2...

abn−SSA−SSb

SSE = SST −SSAB−SSA−SSB

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Tabla de ANOVA

Si FAB > Fα

(a−1)(b−1),ab(n−1) se rechaza H01 : γij = 0 ∀i, j y setendrıa que fijar cada nivel de un factor y analizar los nivelesdel otro.

Solo en el caso en que no se rechace H01 se procede con lassiguientes pruebas de hipotesis.

Si FA > Fα

a−1,ab(n−1) se rechaza H02 : τi = 0 ∀i

Si FB > Fα

b−1,ab(n−1) se rechaza H03 : βj = 0 ∀j

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Ejemplo

Un ingeniero esta disenando una baterıa para usarse en unaparato que estara sujeto a variaciones extremas detemperatura. Tiene tres opciones para el material de la placapara la baterıa, y como sabe que la temperatura afecta la vidade la baterıa decide probar tres temperaturas:15◦F,70◦F,125◦F.

Se prueban 4 baterıas en cada combinacion de material ytemperatura y las 36 pruebas (3×3×4) se corren en ordenaleatorio (completamente al azar).

Los datos son vida (en horas) de las baterıas.

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Ejemplo

tipo de Temperatura(◦F)material 15 70 125

1 130 155 34 40 20 7074 180 80 75 82 58

2 150 188 136 122 25 70159 126 106 115 58 45

3 138 110 174 120 96 104168 160 150 139 82 60

El ingeniero quiere contestar las siguientes preguntas:1 Que efectos producen el material y la temperatura en la

vida de la baterıa?2 Existe un material que produzca uniformemente mas larga

vida a la baterıa sin importar la temperatura?diseno completamente al azar, experimento balanceado,completo, factores fijos. ej fact3x3.jmp

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Una observacion por celdaSuponga un experimento con dos factores A con a niveles y Bcon b niveles y una sola repeticion en cada celda (tratamiento).El modelo con interaccion es:

yij = µ + τi +βj +(τβ )ij + εij i = 1, . . . ,a j = 1, . . . ,b

F.V. g.l. E(CM)

A a−1 σ2 +bθ 2a

B b−1 σ2 +aθ 2b

AB (a−1)(b−1) σ2 +θ 2ab

Error 0 σ2

Total ab−1

σ2 no se puede estimar, por lo tanto no hay prueba para losefectos principales a menos que no haya interaccion, yentonces el modelo es

yij = µ + τi +βj + εij

Este es el caso de bloques al azar.15 / 27

El Diseno Factorial General. Balanceado

El diseno factorial de dos factores se puede generalizar a tenerp factores:

A con a nivelesB con b niveles

..............

En general, habra abc · · ·n observaciones si hay n repeticionesdel experimento completo.

Debe haber por lo menos 2 repeticiones (n≥ 2) para podercalcular σ2 si todas las posibles interacciones estan incluidasen el modelo.

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Tres factores

El modelo para un factorial de tres factores en disenocompletamente al azar:

yijkl = µ + τi +βj + γk +(τβ )ij +(τγ)ik +(βγ)jk +(τβγ)ijk + εijkl

i = 1, . . . ,a; j = 1, . . . ,b; k = 1, . . . ,c; l = 1, . . . ,n

Ejemplo:

Se desea obtener mas uniformidad en el llenado de botellas derefresco. La maquina de llenado teoricamente llena cadabotella a la altura correcta, pero en la practica hay variacion, yla embotelladora desea entender mejor las fuentes de estavariabilidad para eventualmente reducirla.

El ingeniero de procesos puede controlar tres factores duranteel proceso de llenado:El% de carbonato (A), la presion del llenado (B) y las botellasllenadas por minuto (velocidad de la lınea) (C).

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Sigue ejemplo tres factores

A =

10%12%14%

B =

{25psi30psi

C =

{200bpm250bpm

Decide correr dos repeticiones de un diseno factorial en estostres factores, con las 24 corridas realizadas en orden aleatorio.

La variable de respuesta es la desviacion de la altura objetivo.

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Sigue ejemplo tres factores

Presion (B)25psi 30psi

% carbonato Velocidad (C) Velocidad (C)(A) 200 250 200 25010 -3 -1 -1 1

-1 0 0 112 0 2 2 6

1 1 3 514 5 7 7 10

4 6 9 11

fact3x2x2.jmp

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Factoriales desbalanceados

Hay situaciones en que el numero de observaciones(repeticiones) en cada tratamiento es diferente. Esto ocurre porvarias razones.

Por ejemplo, el experimentador pudo haber disenado unexperimento balanceado inicialmente, pero debido a problemasdurante la ejecucion del experimento que no se previeron, seperdieron algunas observaciones lo que provoco terminar conun diseno desbalanceado.

Por otro lado, algunos disenos desbalanceados se disenan ası,por ejemplo, algunos tratamientos pueden ser mas caros o conmas dificultad para aplicarse, por lo que se toman menosobservaciones en ellos.

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Factoriales desbalanceados

Alternativamente, algunos tratamientos pueden ser de graninteres para el investigador porque pueden representarcondiciones nuevas o inexploradas, por lo que toma masobservaciones en ellos.

La ortogonalidad entre efectos principales e interacciones yano funciona en los disenos desbalanceados. Esto significa queno se aplican las tecnicas del ANOVA usual.

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Factoriales desbalanceados

Caso del modelo con dos factores con interaccion:

yijk = µ + τi +βj + γij + εijk

i = 1, . . . ,a; j = 1, . . . ,b; k = 1, . . . ,nij

Se definen otros tipos de sumas de cuadrados. El primeroinvolucra ajustar modelos de una manera secuencial:

1 Ajustar yijk = µ + εijk y obtener SSE1

2 Ajustar yijk = µ + τi + εijk y obtener SSE2

3 Ajustar yijk = µ + τi +βj + εijk y obtener SSE3

4 Ajustar yijk = µ + τi +βj + γij + εijk y obtener SSE4

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Factoriales desbalanceadosSea

R(τ|µ) = SSE1−SSE2

R(τ|µ) es la reduccion debida a τ ajustada por µ. Es lacantidad en la que se reduce la suma de cuadrados del errordel modelo en el paso 1 al incluir en el modelo el termino τi.Mientras mas grande sea R(τ|µ) mas importante es tener a τi

en el modelo. Es decir, R(τ|µ) es una medida del efecto delfactor A.

R(β |µ,τ) = SSE2−SSE3

es la reduccion debida a β ajustada por µ y τ. Es una medidadel efecto del factor B dado que ya se tiene a µ y a τi en elmodelo.

R(γ|µ,τ,β ) = SSE3−SSE4

es la reduccion debida a γ ajustada por µ, τ y β .23 / 27

Tabla de Analisis de Varianza tipo I

F.V. g.l. SS CM FA a−1 R(τ|µ) SSA/glA CMA/CME

B b−1 R(β |µ,τ) SSB/glB CMB/CME

AB (a−1)(b−1) R(γ|µ,τ,β ) SSAB/glAB CMAB/CME

Error n..−ab SSE4 SSE/glETotal n..−1 SSE1

donde, n.. = ∑ai=1 ∑

bj=1 nij

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Tabla de Analisis de Varianza tipo II

F.V. g.l. SS CM FA a−1 R(τ|µ,β ) SSA/glA CMA/CME

B b−1 R(β |µ,τ) SSB/glB CMB/CME

AB (a−1)(b−1) R(γ|µ,τ,β ) SSAB/glAB CMAB/CME

Error n..−ab SSE4 SSE/glETotal n..−1 SSE1

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Analisis tipo III, Regresion

1 Se generan a−1 variables dummy (0,1) para los a nivelesdel factor A. Se generan b−1 variables dummy para los bniveles del factor B.

2 La interaccion A×B se representa por los productos desus variables dummy correspondientes.

3 Se ajusta el modelo con todas las variables dummy y seobtiene SSE.

4 Se ajusta el modelo con todas las variables dummyexcepto aquellas que corresponden a los efectosprincipales o interacciones que estan siendo probadas. Ladiferencia entre esta SSE y la del modelo completo es la SScorrespondiente a este efecto.

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Ejemplo factorial 2x3 desbalanceado

Suponga un experimento factorial 2×3 en un disenocompletamente al azar.

B1 B2 B3

T1 19 24 2220 26 2521 25

T2 25 21 3127 24 32

24 33

ej9 1 messy.jmp

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