Definición de Matriz:

Una matriz es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números

consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí.

Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras),

en columnas y filas, de forma rectangular.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o

entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una

de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas

verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina

matriz m x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz.

Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el

número de columnas.

Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices

se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas

de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).

Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que

pueden sumarse y multiplicarse.

Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de

dimensión     a un conjunto de números reales dispuestos en     filas y    

columnas de la siguiente forma  

Tipos de matrices

Matriz cuadrada

Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.

En las matrices cuadradas tenemos:

• La diagonal principal formada por los elementos de la forma    

• La diagonal secundaria formada por los elementos de la forma     tales que  

Matrices rectangulares

Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de

columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.

Ejemplo

Matrices filas

Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensión es   .

Ejemplo

Matrices columna

Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su

dimensión es   .

Ejemplo

Matrices nulas

Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos. Se denota por   .

Donde     es la dimensión de la matriz.

Ejemplo

Matrices triangulares superiores

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los

términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo

Matrices triangulares inferiores

Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los

términos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo

Matrices diagonales

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los términos NO

situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo

Matrices escalares

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los términos de la

diagonal principal son iguales.

Ejemplo

Matrices unidad o identidad

Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la

diagonal principal son todos 1.

Ejemplo

OPERACIONES CON MATRICES

Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las

dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser

igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición

(1   1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición

(1   2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición

(1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que

ocupan las mismas posiciones:

 

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas

la 2ª   matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como

tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

 

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer

elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:

Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la

fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar.

 Posiblemente te ayude saber:

 1) Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del

multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.

 2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada fila

del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y

hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:

Ejemplo:

Y lo mismo con la 2ª fila que sería:

3)  El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas igual

al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.

Matriz Inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1. A=

A. A-1=I

Dada una matriz cuadrada  A,  si existe otra matriz  B  del mismo orden que

verifique:  A . B = B . A = I  (  I = matriz identidad ), se dice que  B  es la

matriz inversa de  A  y  se representa por  A-1.

Si existe la matriz inversa  de  A, se dice que la matriz  A  es inversible o regular.

En caso contrario, se dice que la matriz  A  es singular.

El producto de una matriz por su inversa  es igual a la

matriz identidad .

A · A - 1   = A - 1  · A = I

Propiedades de la matriz inversa

(A · B) - 1   = B - 1  · A - 1

(A - 1) - 1   = A

(k · A) - 1   = k - 1  · A - 1

(A  t) - 1   = (A  - 1) t

Sistemas singulares

Son s is temas de ecuaciones l ineales que t ienes más de una soluc ión o

no t ienes so luc iones.

u n s i s t e m a e s u n s i s t e m a n o t i e n e s o l u c i ó n s i s e o b t i e n e u n r e g l ó n e n q u e t o d o s l o s

e l e m e n t o s s e a n c e r o e x c e p t o e l u l t i m o . ( s i s t e m a i n c o n s i s t e n t e ) .

C o n s i s t e n t e s i t i e n e a l m e n o s u n a s o l u c u i o n .

Problemas resueltos, planteamiento y operaciones con las matrices originadas.