PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

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17 / 08 / 2012

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE

POTENCIAS

Como simplifica 72 × 76?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos

los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de

ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente

como:

78

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer

es sumar los exponentes!

72 × 76 = 7(2 + 6) = 78

En general, para todos los números reales a, b, y c,

ab × ac = a(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base,

sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede

usarla para encontrar la mayoría de las otras

propiedades.

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan

que es raro que algo elevado a la

potencia de cero es 1. ("Debe ser 0!")

Puede usar la propiedad del producto de

potencias para mostrar porque esto debe

ser verdadero.

70 × 7

1 = 7

(0 + 1) = 7

1

Sabemos que 71 = 7. Así, esto nos dice

que 70 × 7 = 7. Que número por 7 es

igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0

× 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números

reales a, a ≠ 0, tenemos:

a0 = 1

Dese cuenta que 00 no está definido.

(Presione aquí para ver porque.)

EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto

de potencias para encontrar esta

también. Suponga que desea saber

cuanto es 5-2.

5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 52 = 25, y sabemos que

50 = 1. Así, esto nos dice que 5-2 × 25

= 1. Que número por 25 es igual a 1?

Ese sería su inverso multiplicativo,

1/25.

En general, para todos los números

reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE

POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma

base, Usted suma los exponentes. Así cuando

divide dos potencias con la misma base, Usted

resta los exponentes. En otras palabras, para

todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los

factores comunes del numerador y del

denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN

PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el

mismo exponente, pero bases diferentes, las

cosas se hacen un poco de forma distinta.

32 × 4

2 = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y

asociativa de la multiplicación, podemos

reescribir esto como

32 × 4

2 = (3 × 4) × (3 × 4) = 12

2

En general, para todos los números reales a,

b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c

no sean cero):

ac × b

c = (ab)

c

Para encontrar la potencia de un producto,

ya sea que encuentre la potencia de cada

factor y luego multiplique o multiplique los

factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN

COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la

eliminación de factores comunes, puede ver

que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c

(siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean

0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA

POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede

ser desarrollada. Suponga que tiene un número

elevado a una potencia, y multiplica la

expresión completa por si misma una y otra

vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a

una potencia:

(53)4 = (53)(53)(53)(53)

Pero la propiedad del producto de potencias nos

dice que

(53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512

Así es suficiente con solo multiplicar las

potencias!

En general, para todos los números reales a, b,

y c,

(ab)c = abc.

Para encontrar una potencia de una potencia,

multiplique los exponentes.

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos,

exponentes negativos, y los exponentes cero.

Pero que pasa si tiene un exponente que no es

un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad

del producto de potencias para encontrar:

91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91

Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = . Así, el

exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada.

Similarmente, a1/3 es equivalente a .

y en general

y .

Para recapitular:

Propiedad del exponente cero a0 = 1, (a ≠ 0)

Propiedad del exponente negativo

Propiedad del producto de potencias

Propiedad del cociente de potencias

Propiedad de la potencia de un producto

Propiedad de la potencia de un cociente

Propiedad de la potencia de un a potencia

(ab)c = a

bc

Propiedad del exponente racional