1

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

1. Resolve as seguintes ecuacións de primeiro grao:

a) 4

72

2

112

xxx b)

181

9

45

6

53 xxx

2. Un camión sae dunha cidade a unha velocidade de 100 km/h. Unha hora despois sae un coche na mesma dirección a 120 km/h. Canto tempo tardará o coche en alcanzar ao camión? 3. Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao:

a) 2

22

3

12

22

xx

x, b) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20

c) 6

154

4

3

2

52222

xxxxxx

4. Acha dous números reais cuxa suma sexa 2

3 e cuxo produto sexa

2

1.

5. Resolve as seguintes ecuacións bicadradas: a) 9x4 + 5x2 – 4 = 0, b) x4 + x2 + 1 = 0 6. Resolve as seguintes ecuacións: a) x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0, b) x4 – 2x3 – x2 + 2x = 0, c) x8 – 4x6 = 0 7. Resolve as seguintes ecuacións racionais:

a) 16

12

6

8

x

x

x, b)

x

x

xx

x

x

x

2

1

211

22

8. Resolve as seguintes ecuacións con radicais:

a) xx 132 , b) 4732 xx

9. Calcula un número que sumado co dobre da súa raíz cadrada de 24. 10. Resolve as seguintes ecuacións exponenciais: a) 4x + 1 = 8, b) 7x = 2, c) 2x + 2 – 2x – 1 = 7 11. Resolve as seguintes ecuacións logarítmicas:

a) logx 4 = 2, b) log x – log (x – 1) = 1, c) 2ln x – 3ln (x4) + 4ln x = 1

12. O crecemento dun bosque vén dado pola fórmula F = A(1 + i)t onde F é a madeira que haberá dentro de t anos, A a madeira actual, e i a a taxa de crecemento anual. Se esta taxa se mantén, calcula o tempo que tardará en duplicarse a madeira do bosque considerando i = 0´02.

2

13. Resolve as seguintes inecuacións de primeiro grao:

a) 3(x – 3) ≤ 2 – 7x, b) 2

1x > x – 1, c)

2

1

3

21

64

xxx

14. Resolve as seguintes inecuacións de segundo grao: a) x2 – 1 < 0, b) x2 – 4x + 3 ≤ 0 , c) –x2 – 1 < 0 15. Mandar un paquete por unha empresa de transportes custa 3 euros máis 0´10 euros por cada 100 g; polo servizo de urxencia custa 4´50 euros máis 0´06 euros por cada 100 g. Calcula os pesos dos paquetes que interesa enviar por urxencias. 16. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións:

a)

232

6

511

yx

yx , b)

5

122

yx

xyy, c)

1222

1

yx

xy, d)

3log

5log3log

2

2

22

y

x

yx

17. Resolve polo método de Gauss:

a)

0

6

2

zyx

zyx

zyx

, b)

92

32

1432

zyx

zyx

yx

18. A suma das tres cifras dun número é igual a 7. A cifra das decenas é unha unidade maior cá suma das outras dúas. Se invertemos a orde das cifras, o número aumenta en 99 unidades. Cal é ese número?

3

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

(SOLUCIONARIO)

1. Resolve as seguintes ecuacións de primeiro grao:

a) 4

72

2

112

xxx , b)

181

9

45

6

53 xxx

a) m.c.m.(2, 4) = 4

4

72

2

1124

xxx 8(x – 1) + 2(x + 1) = 2x – 7

8x – 8 + 2x + 2 = 2x – 7 10x – 6 = 2x – 7 10x – 2x = –7 + 6 8x = –1

x = 8

1

b) m.c.m.(6, 9, 18) = 18

181

9

45

6

5318

xxx

3(3x + 5) – 2(5x + 4) = 18 – x 9x + 15 – 10x – 8 = 18 – x –x + 7 = 18 – x –x + x = 18 – 0x = 11 Non ten solución 2. Un camión sae dunha cidade a unha velocidade de 100 km/h. Unha hora despois sae un coche na mesma dirección a 120 km/h. Canto tempo tardará o coche en alcanzar ao camión? Sexa x o número de horas que tarda o coche en alcanzar ao camión, contando dende o momento en que sae o coche. No momento que o alcance, a distancia que percorreron os dous vehículos é a mesma. Por outra banda, sábese que espazo = velocidade · tempo. Hai que calcular o espazo que percorre cada vehículo e igualalos. Espazo percorrido polo coche: 120x. Espazo percorrido polo camión: 100(x + 1), xa que leva unha hora máis que o coche circulando. A ecuación é 120x = 100(x + 1) Resólvese a ecuación: 120x = 100(x + 1) 120x = 100x + 100 120x – 100x = 100

20x = 100 x = 20

100 = 5

Entón, o coche tardará 5 horas en alcanzar ao camión. 3. Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao:

a) 2

22

3

12

22

xx

x, b) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20

c) 6

154

4

3

2

52222

xxxxxx

a) m.c.m.(2, 3) = 6

2

22

3

16

22

2x

xx

2(x2 – 1) + 6(x – 2)2 = 3(x2 + 2) 2(x2 – 1) + 6(x2 – 4x + 4) = 3x2 + 6

4

2x2 – 2 + 6x2 – 24x + 24 = 3x2 + 6 8x2 – 24x + 22 = 3x2 + 6 5x2 – 24x + 16 = 0

5

4

10

8

10

1624

410

40

10

1624

10

1624

10

25624

10

32057624

52

165424242

x

b) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20 x2 + 2x + 1 – x2 + 4x – 4 = x2 + 6x + 9 + x2 – 20 6x – 3 = 2x2 + 6x – 11

6x – 3 = 2x2 + 6x – 11 0 = 2x2 – 8 x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 24

c) m.c.m.(2, 4, 6) = 12

6

154

4

3

2

5212

222xxxxxx

6(x2 – 2x + 5) – 3(x2 + 3x) = 2(x2 – 4x + 15)

6x2 – 12x + 30 – 3x2 – 9x = 2x2 – 8x + 30 3x2 – 21x + 30 = 2x2 – 8x + 30

x2 – 13x = 0 x(x – 13) = 0

13013

0

xx

x

4. Acha dous números reais cuxa suma sexa 2

3 e cuxo produto sexa

2

1.

x2 – 2

3x +

2

1 = 0 2x2 – 3x + 1 = 0

2

1

4

2

4

13

14

4

4

13

4

13

4

13

4

893

22

124332

x

Os números son 1 e 2

1.

5. Resolve as seguintes ecuacións bicadradas: a) 9x4 + 5x2 – 4 = 0, b) x4 + x2 + 1 = 0

a) 9x4 + 5x2 – 4 = 0 tx

2

9t2 + 5t – 4 = 0

118

18

18

135

9

4

18

8

18

135

18

135

18

1695

18

144255

92

494552

t

5

t1 = 9

4 x =

3

2

9

4

t2 = –1 x = 1 . Non existe.

b) x4 + x2 + 1 = 0 tx

2

t2 + t + 1 = 0

2

31

2

411

12

114112

t . Non existe.

6. Resolve as seguintes ecuacións: a) x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0, b) x4 – 2x3 – x2 + 2x = 0, c) x8 – 4x6 = 0 a) P(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 Div (8) = { ±1, ±2, ±4, ±8 } Regra de Ruffini:

1 –3 –6 8 –2 –2 10 –8

1 –5 4 0

1 1 –4

1 –4 0

4 4

1 0

P(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 4) As solucións da ecuación son x = –2, x = 1, x = 4. b) x4 – 2x3 – x2 + 2x = 0 x(x3 – 2x2 – x + 2) = 0 P(x) = x3 – 2x2 – x + 2 Div (2) = { ±1, ±2 } Regra de Ruffini:

1 –2 –1 2 –1 –1 3 –2

1 –3 2 0

1 1 –2

1 –2 0

2 2

1 0

P(x) = x(x + 1)(x – 1)(x – 2) As solucións da ecuación son x = 0, x = –1, x = 1, x = 2.

6

c) x8 – 4x6 = 0 x6(x2 – 4) = 0 x6(x + 2)(x – 2) = 0 As solucións da ecuación son x = 0 (séxtuplo), x = –2, x = 2. 7. Resolve as seguintes ecuacións racionais:

a) 16

12

6

8

x

x

x, b)

x

x

xx

x

x

x

2

1

211

22

.

a) m.c.m. (x + 6, x – 6) = (x + 6)(x – 6) (x + 6)(x – 6)

1

6

12

6

8

x

x

x

8(x – 6) + (x + 6)(12 – x) = (x + 6)(x – 6) 8x – 48 +12x – x2 + 72 – 6x = x2 – 36 – x2 +14x + 24 = x2 – 36 0 = 2x2 – 14x – 60 x2 – 7x – 30 = 0

32

6

2

137

102

20

2

137

2

137

2

1697

2

120497

12

3014772

x

Comprobación:

x = 10, 1610

1012

610

8

1

4

2

16

8 1

2

1

2

1 1

2

2 11 A

solución x = 10 é válida.

x = –3,

163

312

63

8

1

9

15

3

8

1

3

5

3

8 1

3

3 11 A

solución x = –3 é válida.

b) m.c.m. (x – 1, x – 2) = (x – 1)(x – 2) (x – 1)(x – 2)

x

x

xx

x

x

x

2

1

211

22

(x – 2)2 = x2 + (x – 1)2 x2 – 4x + 4 = x2 + x2 – 2x + 1 0 = x2 + 2x – 3 x2 + 2x – 3 = 0

32

6

2

42

12

2

2

42

2

42

2

162

2

1242

12

314222

x

Comprobación:

x = 1, 11

11

2111

1

11

212

0

0

10

1

0

1

Anúlase o denominador, o cal

non é posible A solución x = 1 non é válida.

x = –3,

32

13

2313

3

13

232

5

4

54

9

4

5

5

4

20

9

4

5

20

16

20

9

4

5

20

25

4

5

4

5

4

5 A solución x = –3 é válida.

7

8. Resolve as seguintes ecuacións con radicais:

a) xx 132 , b) 4732 xx

a) xx 132

321 xx

22321 xx

1 – 2x + x2 = 2x – 3 x2 – 4x + 4 = 0

2

2

4

2

04

2

04

2

16164

12

414442

x

Comprobación: x = 2, 21322 2134 211

211 20 A solución x = 2 non é válida.

b) 4732 xx

7432 xx

22

7432 xx

7781632 xxx 7826 xx 227826 xx

x2 – 52x + 676 = 64(x + 7) x2 – 52x + 676 = 64x + 448 x2 – 116x + 228 = 0

22

4

2

112116

1142

228

2

112116

2

112116

2

12544116

2

91213456116

12

228141161162

x

Comprobación:

x = 114, 4711431142 4121225 41115 44

A solución x = 114 é válida.

x = 2, 472322 491 431 42

A solución x = 2 non é válida. 9. Calcula un número que sumado co dobre da súa raíz cadrada de 24.

242 xx

xx 242

22

242 xx

4x = 576 – 48x + x2 0 = x2 – 52x + 576 x2 – 52x + 576 = 0

162

32

2

2052

362

72

2

2052

2

2052

2

40052

2

2304270452

12

5761452522

x

Comprobación:

x = 36, 2436236 246236 241236 2448

A solución x = 36 non é válida.

x = 16, 2416216 244216 24816 2424

A solución x = 16 é válida. Polo tanto, o número é 16.

8

10. Resolve as seguintes ecuacións exponenciais: a) 4x + 1 = 8, b) 7x = 2, c) 2x + 2 – 2x – 1 = 7

a) 4x + 1 = 8 (22)x + 1 = 23 22x + 2 = 23 2x + 2 = 3 2x = 1 x = 2

1

b) 7x = 2 ln (7x) = ln (2) x · ln (7) = ln (2)

35620́7ln

2lnx

c) 2x + 2 – 2x – 1 = 7 72

222

2

xx

t

x2

72

4 t

t 8t – t = 14 7t = 14

t = 7

14 = 2 2x = 2 x = 1

11. Resolve as seguintes ecuacións logarítmicas:

a) logx 4 = 2, b) log x – log (x – 1) = 1, c) 2ln x – 3ln (x4) + 4ln x = 1

a) logx 4 = 2 x2 = 4 x = 24

Como a base dun logaritmo non pode ser un número negativo, a solución é x = 2.

b) log x – log (x – 1) = 1 log 1x

x = 1

1x

x = 101 = 10 x = 10(x – 1)

x = 10x – 10 10 = 9x x = 9

10

c) 2ln x – 3ln (x4) + 4ln x = 1 2ln x – 12ln x + 2

4ln x = 1 –8ln x = 1

ln x = 8

1 x = 8

1

e

12. O crecemento dun bosque vén dado pola fórmula F = A(1 + i)t onde F é a madeira que haberá dentro de t anos, A a madeira actual, e i a a taxa de crecemento anual. Se esta taxa se mantén, calcula o tempo que tardará en duplicarse a madeira do bosque considerando i = 0´02. Se se duplica a madeira: F = 2A. F = A(1 + i)t 2A = A(1 + i)t 2 = (1 + i)t log 2 = log (1 + i)t log 2 = t·log (1 + i)

t = i1log

2log

Se i = 0´02 t = 021́log

2log = 35 anos

A madeira do bosque tardará 35 anos en duplicarse.

9

13. Resolve as seguintes inecuacións de primeiro grao:

a) 3(x – 3) ≤ 2 – 7x, b) 2

1x > x – 1, c)

2

1

3

21

64

xxx

a) 3(x – 3) ≤ 2 – 7x 3x – 9 ≤ 2 – 7x 3x + 7x ≤ 2 + 9 10x ≤ 11 x ≤ 10

11

S = (– ,

10

11

b) 2

1x > x – 1 x – 1 > 2(x – 1) x – 1 > 2x – 2 –1 + 2 > 2x – x 1 > x

x < 1 S = (– , 1)

c) m.c.m.(2, 3, 4, 6) = 12

2

1

3

21

6412

xxx 3x + 2x – 12 ≤ 8x + 6

5x – 12 ≤ 8x + 6 –12 – 6 ≤ 8x – 5x –18 ≤ 3x 3x ≥ –18 x ≥ 3

18

x ≥ –6 S = [–6, + )

14. Resolve as seguintes inecuacións de segundo grao: a) x2 – 1 < 0, b) x2 – 4x + 3 ≤ 0 , c) –x2 – 1 < 0 a) Resólvese a ecuación x2 – 1 = 0. As solucións son: x = –1 e x = 1. Factorízase o binomio: (x + 1)(x – 1) < 0. Divídese a recta nos intervalos (– , –1), (–1, 1) e (1, + ).

x = –2, (–2)2 – 1 = 4 – 1 = 3 > 0 O intervalo (– , –1) non é solución. x = 0, 02 – 1 = 0 – 1 = –1 < 0 O intervalo (–1, 1) é solución.

x = 2, 22 – 1 = 4 – 1 = 3 >0 O intervalo (1, + ) non é solución. A solución será o intervalo (–1, 1). b) Resólvese a ecuación x2 – 4x + 3 = 0. As solucións son: x = 1 e x = 3. Factorízase o trinomio: (x – 1)(x – 3) ≤ 0. Divídese a recta nos intervalos (– , 1), (1, 3) e (3, + ).

x = 0, 02 – 4·0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 > 0 O intervalo (– , 1) non é solución. x = 2, 22 – 4·2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 < 0 O intervalo (1, 3) é solución.

x = 4, 42 – 4·4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 >0 O intervalo (3, + ) non é solución. A solución será o intervalo [1, 3]. c) O polinomio non se pode descompoñer pero a solución está constituída por todos os números reais, xa que –x2 – 1 sempre é negativo.

–1 1

– + +

1 3

– + +

–

10

15. Mandar un paquete por unha empresa de transportes custa 3 euros máis 0´10 euros por cada 100 g; polo servizo de urxencia custa 4´50 euros máis 0´06 euros por cada 100 g. Calcula os pesos dos paquetes que interesa enviar por urxencias. Sexa x o peso do paquete.

Custo por envío normal: 3 + 100

100́x

Custo do envío por urxencias: 4´5 + 100

06´0x

Interesa enviar por urxencias sempre que o custo sexa menor ou igual que o envío

normal: 4´5 + 100

06´0x ≤ 3 +

100

100́x 450 + 0´06x ≤ 300 + 0´1x

450 – 300+ ≤ 0´1x – 0´06x 150 ≤ 0´04x 0´04x ≥ 150 x ≥ 04´0

150 x ≥ 3750

Polo tanto, interesa enviar por urxencias os paquetes a partir de 3750 gramos. 16. Resolve os seguintes sistemas de ecuacións:

a)

232

6

511

yx

yx , b)

5

122

yx

xyy, c)

1222

1

yx

xy, d)

3log

5log3log

2

2

22

y

x

yx

a)

232

6

511

yx

yx

3

22

566

xy

xyxy

3

2256

3

226

xxx

x

3

2256222

xxxx

3

1010644

2xx

xx

3

101024

2xx

x

3(4 + 2x) = 10x – 10x2 12 + 6x = 10x – 10x2 10x2 – 4x + 12 = 0 5x2 – 2x + 6 = 0

10

1162

10

12042

52

654222

x Non ten solución

b) 5 yx yx 5 22

5 yx 2

1025 yyx

x = 25 – 10y + y2, y2 – 2y + 1 = x y2 – 2y + 1 = 25 – 10y + y2 10y – 2y = 25 – 1

8y = 24 y = 3 y = 3, x = y2 – 2y + 1 x = 32 – 2·3 + 1 = 9 – 6 + 1 = 4 Solución: x = 4, y = 3. c) y – x = 1 y = 1 + x

y = 1 + x, 2x + 2y = 12 2x + 21 + x = 12 2x + 2·2x = 12 3·2x = 12 2x = 4 x = 2

x = 2, y = 1 + x y = 1 + 2 = 3 Solución: x = 2, y = 3.

11

d) log2 y

x2

= 3 2·log2 x – log2 y = 3

3loglog2

5log3log

22

22

yx

yx

3

9log3log6

5log3log

22

22

yx

yx

7·log2 x = 14

log2 x = 7

14

log2 x = 2 x = 22 = 4

x = 4, log2 x + 3· log2 y = 5 log2 4 + 3· log2 y = 5 2 + 3· log2 y = 5

3· log2 y = 5 – 2 3· log2 y = 3 log2 y = 3

3 log2 y = 1 y = 21 = 2

Solución: x = 4, y = 2. 17. Resolve polo método de Gauss:

a)

0

6

2

zyx

zyx

zyx

, b)

92

32

1432

zyx

zyx

yx

a)

0

6

2

zyx

zyx

zyx

ª1ª3ª1ª2

22

822

2

x

zx

zyx

2:ª32:ª2

2:ª32:ª2

1

4

2

x

zx

zyx

x = 1; x + z = 4 1 + z = 4 z = 4 – 1 = 3; x + y + z = 2 1 + y + 3 = 2 y + 4 = 2

y = 2 – 4 = –2 Solución: x = 1, y = –2, z = 3. b)

92

32

1432

zyx

zyx

yx

ª2ª3

633

32

1432

yx

zyx

yx

ª1ª3

ª1ª3

205

32

1432

x

zyx

yx

5x = 20 x = 5

20 = 4; 2x + 3y = 14 2·4 + 3y = 14 8 + 3y = 14 3y = 14 – 8

3y = 6 y = 3

6 = 2; x – 2y + z = –3 4 – 2·2 + z = –3 4 – 4 + z = –3 z = –3

12

Solución: x = 4, y = 2, z = –3. 18. A suma das tres cifras dun número é igual a 7. A cifra das decenas é unha unidade maior cá suma das outras dúas. Se invertemos a orde das cifras, o número aumenta en 99 unidades. Cal é ese número? Sexa x a cifra das centenas, y a das decenas e z a das unidades.

Así, o número é: xyz 100x +10y + z Tense que:

991010010100

1

7

zyxxyz

zxy

zyx

999999

1

7

zx

zyx

zyx

99:ª3

99:ª3

1

1

7

zx

zyx

zyx

ª1ª2

1

622

7

zx

zx

zyx

2:ª2

1

3

7

zx

zx

zyx

ª2ª3

22

3

7

x

zx

zyx

2x = 2 x = 2

2 = 1; x + z = 3 1 + z = 3 z = 3 – 1 = 2; x + y + z = 7

1 + y + 2 = 7 3 + y = 7 y = 7 – 3 = 4 Solución: x = 1, y = 4, z = 2. O número é o 142.