Examenes de Matematicas l de Selectividad

E. TBAR FLORES

EXMENES DEMATEMTICAS I

DE SELECTIVIDAD5 2 5 P R O B L E M A S T O T A L M E N T E R E S U E L T O S

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E. TEBAR FLORES

EXAMENES DE

MATEMATICAS IDE SELECTIVIDAD525 P R O B LEM A S T O T A L M E N T E R E S U E L T O S

0 3 - Q

G o z t o m b i d e , 6 1

T e l . : 9 1 5 5 0 0 2 6 0

F a x : 9 1 5 5 0 0 2 6 1

2 8 0 1 5 M a d r i d

w v A V . e d i t o n a l t e b a r . c o m

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(c) E d itoria l Tbar Flores, S.L.

D iseo de la po rtad a : Fernando C oquilla t

N inguna pa rte de este lib ro puede ser reproducida, grabada en s is tem a de a lm acenam ien to o tra n sm itid a en fo rm a a lguna ni por c u a lq u ie r p r o c e d im ie n to , ya sea e le c t r n ic o , m e c n ic o , rep rog r fico , m ag n tico o cua lqu ie r o tro , sin au to rizac in prev ia y po r e sc rito de la EDITORIAL TEBAR FLORES, S .L. El C d igp Penal cas tig a con m u lta s de hasta 3 .0 0 0 .0 0 0 p ts . y penas de hasta p ris in m enor a qu ien in tenc ionadam ente reproduzca, plagie, d is tribuya o com un ique pb licam ente una obra lite raria , a rts tica o c ie n tfica , sin la au to rizac in de los titu la re s de los co rrespond ien tes derechos de prop iedad in te lec tua l.

D .L .: 8 9 -A B -1 9 9 3I.S .B .N .: 8 4 -7 3 6 0 -1 3 1 -9

Im preso en la Im pren ta TEBAR FLORES, S.L. A vd a . de los Toreros, 7 - ALBACETE T e l.; (96 7 ) 2 2 11 37

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NDICE

P r l o Q O ..................................................................................................................................................................................................... 5

C a p t u l o 1 : S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M T O D O D E G A U S SR e s u m e n t e r i c o ................................................................................................................................................ 7

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................... 1 5

C a p t u l o 2 : M A T R I C E SR e s u m e n t e r i c o ............................................................................................................................................ 2 9

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................ 3 7

C a p t u l o 3 : D E T E R M I N A N T E S Y M A T R I Z I N V E R S A

R e s u m e n t e r i c o ............................................................................................................................................ 4 9

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................ 5 7

C a p t u l o 4 : R A N G O D E U N A M A T R I Z

R e s u m e n t e r i c o ............................................................................................................................................ 7 5

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................ 81

C a p t u l o 5 : T E O R E M A D E R O U C H E - F R O B E N I U S

R e s u m e n t e r i c o ............................................................................................................................................ 9 1

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................. 9 9

C a p t u l o 6 : E S P A C I O A F l N T R I D I M E N S I O N A LR e s u m e n t e r i c o .......................................................................................................................................... 1 2 9

P r o b l e m a s .......................................................................................................................................................... 1 5 1

C a p t u l o 7 : E S P A C I O V E C T O R I A L E U C L I D E O T R I D I M E N S I O N A L

R e s u m e n t e r i c o .......................................................................................................................................... 1 8 1

P r o b l e m a s .......................................................................................................................................................... 1 8 7

C a p t u l o 8 : E S P A C I O A F l N E U C L I D E O T R I D I M E N S I O N A LR e s u m e n t e r i c o .......................................................................................................................................... 1 9 5

P r o b l e m a s .............................................................................................................................................................2 0 7

C a p t u l o 9 : F U N C I O N E S N U M R I C A S D E U N A V A R I A B L E R E A L

L I M I T E S C O N T I N U I D A D

R e s u m e n t e r i c o ........................................................................................................................................... 2 4 1

P r o b l e m a s .............................................................................................................................................................2 5 1

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C a p t u l o 1 0 : D E R I V A D A S

R e s u m e n t e r i c o

P r o b l e m a s ..............

2 6 1

2 6 9

C a p t u l o 1 1 : C R E C I M I E N T O Y D E C R E C I M I E N T O

M X I M O S Y M N I M O S

C O N V E X I D A D

R e s u m e n t e r i c o ............................................................................................................................................2 8 5

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................ 2 9 1

C a p t u l o 1 2 : T E O R E M A D E R O L L E

T E O R E M A D E L V A L O R M E D I O

T E O R E M A D E C A U C H Y

R E G L A D E L ' H O P I T A L

F O R M U L A D E T A Y L O R

' R e s u m e n t e r i c o ........................................................................................................................................... 3 0 7

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................3 1 5

C a p t u l o 1 3 : R E P R E S E N T A C I N G R F I C A D E F U N C I O N E S D A D A S E N F O R M A E X P L C I T A

R e s u m e n t e r i c o ........................................................................................................................................... 3 4 3

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................3 5 1

C a p t u l o 1 4 : I N T E G R A L E S I N D E F I N I D A S

R e s u m e n t e r i c o ........................................................................................................................................... 3 6 7

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................... 3 7 7

C a p t u l o 1 5 : I N T E G R A L E S D E F I N I D A S

A R E A S Y V O L M E N E S

R e s u m e n t e r i c o ........................................................................... ............................................................... 3 8 9

P r o b l e m a s ............................................................................................................................................................4 0 1

C a p t u l o 1 6 : P R O B A B I L I D A D E S

R e s u m e n t e r i c o ........................................................ 4 2 3

P r o b l e m a s ................................................................................................................ 4 3 5

A p n d i c e : C O M B I N A T O R I A . F O R M U L A S D E T R I G O N O M E T R A P L A N A ........................ 4 6 9

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PRLOGO

E s t e l i b r o , d i r i g i d o a l o s e s t u d i a n t e s d e C O U y S e l e c t i v i d a d , a b a r c a p l e n a m e n t e e l p r o g r a m a o f i c i a l d e M a t e m t i c a s I d e C O U , a p o r t a n d o e n u n a p n d i c e u n a s e r i e d e d e f i n i c i o n e s y f r m u l a s d e c o m b i n a t o r i a y t r i g o n o m e t r a p l a n a .

C a d a c a p t u l o s e i n i c i a c o n u n d e n s o r e s u m e n p r c t i c o d e l a t e o r a c o r r e s p o n d i e n t e , c o n n u m e r o s o s e j e r c i c i o s y p r o b l e m a s d o n d e s e a p l i c a n d e m a n e r a i n m e d i a t a l o s c o n c e p t o s y f r m u l a s e x p u e s t o s . A c o n s e j o a l o s

e s t u d i a n t e s u n a l e c t u r a d e t e n i d a d e e s t a p a r t e , c o n e l l o c o n s e g u i r t r e s o b j e t i v o s : E n t e n d e r s i n e s f u e r z o l o s p r o b l e m a s q u e a c o n t i n u a c i n s e r e s u e l v e n , e s t a r c a p a c i t a d o p a r a c o n t e s t a r c u a l q u i e r c u e s t i n t e r i c a q u e s e le p r e s e n t e e n e l e x a m e n y c o n s e g u i r u n a s l i d a b a s e p a r a a f r o n t a r s u s

e s t u d i o s u n i v e r s i t a r i o s .

U n a v e z e s t u d i a d a l a p a r t e t e r i c a s e r e s u e l v e c o n t o d o d e t a l l e u n a s e l e c c i n d e p r o b l e m a s d e S e l e c t i v i d a d p r o p u e s t o s e n l o s l t i m o s a o s e n l a s d i s t i n t a s u n i v e r s i d a d e s e s p a o l a s . S i b i e n a l g u n o s s o n d e f c i l r e s o l u c i n , o t r o s p l a n t e a n g r a n d e s d i f i c u l t a d e s a l e s t u d i a n t e d e C O U q u e n o t i e n e e x p e r i e n c i a e n e s t e t i p o d e p r o b l e m a s . E s t a o b r a a y u d a r al e s t u d i a n t e a r e s o l v e r c u a l q u i e r p r o b l e m a q u e s e l e p r e s e n t e e n e l e x a m e n y l o g r a r l a n o t a q u e d e s e a o n e c e s i t a p a r a e s t u d i a r la c a r r e r a d e s e a d a .

M i a g r a d e c i m i e n t o a m i h e r m a n a L o r e n z a , s i n c u y a a y u d a y c o l a b o r a c i n n o

h u b i e r a s i d o p o s i b l e e s t e l i b r o .

E. T b a r F lo res

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C A P IT U L O 1

S IS TE M A S DE ECUACIONES LINEALES M E TO D O DE GAUSS

U n a e c u a c i n e s l ineal r e s p e c t o d e las in c g n i t a s x , , x 2 . . . . , x n , si se p u e d e e x p r e s a r d e la f o r m a :

(1

s ie n d o a , . a ? .a ( ( c o e f ic ie n t e s d e las i n c g n i t a s ) y k ( t r m i n o in d e p e n d i e n t e o c o n $ t a n t e ) e l e m e n -

t o s c o n o c i d o s d e u n c u e r p o K . E n l o s u c e s iv o c o n s id e r a r e m o s q u e K = R . c u e r p o d e lo s n m e r o s reales.

( c , . c 2 c o ) G R n e s u n a s o l u c i n d e la e c u a c i n ( 1 ) si se v e r i f ic a q u e

a , c , + a 2 c2 + + a c ft . b

R e s o lv e r u n a e c u a c i n e s o b t e n e r t o d a s sus so lu c io n e s .

L a e c u a c i n 2 x , - 5 * 2 + 4 x 3 - 1 1

e s l i n e a l , s i e n d o 13. 1 . - 3 ) u n a s o l u c i n , y a q u e 2 - 3 - 5 1 + 4 | - 3 ) = - 1 1

S I S T E M A D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . S e l l a m a a s a u n c o n j u n t o d e e c u a c io n e s lineales q u e

d e b e n ser v e r i f ic a d a s s im u l t n e a m e n t e .

E l s iste m a

x j + a , 2 x 2 +

a 2 i V a ? ? x 2 +

l o n

+ a->~2n n

^ 1 X 1 + a m 2 X 2

(2 )

s i m b l i c a m e n t e : E t - k,

E , . k 2

E _ = k .

es u n s is te m a d e m e c u a c io n e s lineales c o n n in c g n i t a s .

( c , . c 2 c n ) R n e s u n a s o l u c i n d e l s is te m a ( 2 ) si las m e c u a c io n e s d e ( 2 ) s o n v e r i f ic a

das al s u s t i t u i r las in c g n i t a s x , . x 2 , . . . , x n , r e s p e c t i v a m e n t e , p o r c , . c 2 c n .

U n a solucin del sistema 3 * , - 4 x 2 a 18

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8 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

R e so lve r u n sistema e s o b t e n e r todas sus solucio nes.

U n sistema de e cu a c io n e s p u e d e o n o te n e r solucio nes. U n sistema q u e n o a d m it e n in g u n a so

l u c i n se lla m a sistema i n c o m p a t ib le . S i t iene a lg u n a s o lu c i n se lla m a sistema c o m p a t i b l e . S i la soluci n es n ic a se lla m a c o m p a t i b l e d e t e r m in a d o , y si t iene varias so lu cio n e s c o m p a t i b l e in d e t e r m in a d o . E n re

s u m e n :j c o m p a t ib le d e te rm in a d o (u n a so la s o lu c i n )

S is te m a c o m p a t ib le (t ie n e s o lu c i n ) {I c o m p a t ib le in d e te rm in a d o (v a n a s s o lu c io n e s )

S is te m a in c o m p a t ib le ( n o tie n e s o lu c i n )

El sistema # x -* y a 5 I

V 3 I

tiene la solucin nica x - 2 . y - 3 . es. por tanto, compatible determinado.

El sistema 3 x + y + 3 / - 5 I

* y + 2 / 4 I

es compatible indeterminado, ya que a cada valor distinto de k en- x 1 - k . y 3 - k. i k. corresponde una

solucin distinta del sistema.

El sistema x y - 3 I

x * y - 5 I

es incompatible, no tiene solucin (restando ambas ecuaciones nos da: 0 - - 2 . absurdo).

D o s sistemas son e q uivalen tes c u a n d o a m b o s t ie n e n las m is m a s soluciones.

S i u n a e c u a c i n es c o m b i n a c i n lineal d e o tra s , es d e c ir , si resulta d e su m a rla s m i e m b r o a m i e m

b r o . p re v ia m e n te m u lt ip l ic a d a s p o r n m e r o s cuale sq u ie ra , se d ic e q u e es c o n s e c u e n c ia de ellas.

En el interna 4 x + 2 y * 4

3 x - y . 2

6 + 8 v - 8

la tercera ecuacin ei coniecuencia de lai dot primer av ya que es igual a la primera ecuacin multiplicada por 3 . m is la

segunda multiplicada por - 2 .

S i en u n sistema d e m ecuaciones h a y u n a e c u a c i n q u e es c o m b i n a c i n lineal d e o tra s , puede

su p rim irse y n o s qu e d a r u n sistema d e

S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 9

T E O R E M A F U N D A M E N T A L D E E Q U I V A L E N C I A : S i en u n sistema d e ecuaciones sesustitu

y e u n a e c u a c i n p o r el re s u lta d o d e s u m a rla m i e m b r o a m i e m b r o ( p r e v ia m e n t e m u lt i p l i c a d a p o r u n n

m e r o d i s t i n t o d e c e r o ) c o n o tr a u o tra s e c u a c io n e s m u lt ip l ic a d a s p o r n m e r o s cu a le s q u ie ra , resulta un

sistema e q u iv a le n te al d a d o .

Si o , * 0 , son e q uivalen tes lo s d o s sistem as siguientes:

E i = k i

E 2 = k 2

Em = kr

(3 )

l E 1 + a 2 E 2 + + m E m = 1 k | + 2 k2 +

E 2 = k 2

E _ = k.

( 4 )

en los q u e la p r im e r a e c u a c i n d e ( 3 ) se ha s u s t i tu id o p o r la ecu a c i n

1 E 1 + a 2 E 2 + '

s iendo a , . c t ~ a n m e r o s reales.1 < m

k , + a > k 0 + ni m 1 1 2 2 + a n kr m r

Si en el sistema 3x + 2 v + 4 / a 5

2 x + 3 y - 2 7 = 4

- x + 4 V - 8 z = 1

se sustituye la primera ecuacin por el resultado de multiplicarla por 4 y sumarle la segunda multiplicada por - 5 . y la tercera multiplicada p o r 2 se obtiene el sistema

- y 2 z = 2

2 x + 3 y - 2 7 = 4

- X + 4 y - 8 7 a 1

que es equivalente al dado.

R E S O L U C I O N D E S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S . E n el teo

r e m a a n te r io r se f u n d a el m t o d o de Gauss, o d e re d u c c i n , para re s o lve r u n sistema d e e cu a c io n e s li

neales.

Sea el sistema ( 2 ) : S i a , , * 0 , se deja la p r im e r a e c u a c i n in v a ria b le , la segunda e c u a c i n se sus

t i t u y e p o r la e c u a c i n q u e resulta d e m u lt ip l ic a r la p o r a , , y s u m a rle la p r im e r a e c u a c i n m u lt ip l ic a d a

p o r a 21. la tercera e c u a c i n se s u s t i tu y e p o r la e c u a c i n q u e resulta d e m u lt ip l ic a r la p o r a n y su

m a rle la p r im e r a m u lt ip l ic a d a p o r a 3 1 , y as suces ivam ente hasta s u s t i tu i r la l t i m a e c u a c i n p o r la

q u e resulta de m u lt ip l ic a r la p o r a , , y s u m a rle la p r im e r a m u lt ip l ic a d a p o r - a m , . O b t e n d r e m o s asi' el sistema

3 1 1 X 1 a i 2 X2 a i 3 X 3

b 2 2 X 2 + b 2 3 X 3 +

b32x2 + b33 x3 +

+ ainXn = k,

+ a2 n Xn = h 2

+ a 3 n Xn = h 3

+ b m n Xn = h m

( 5 )

b m 2 X2 + b m 3 X 3 +

q u e es e q u iv a le n te a ( 2 ) y del q u e se ha e l im in a d o la in c g n it a x , e n las e cu a c io n e s 2 a, 3 a m \

E n el sistema ( 5 ) , si b 22 * 0 , se dejan invariables las d o s p r im e ra s e cu a c io n e s y se e l im in a , c o m o

a n te r io rm e n te , la in c g n ita x ? en ca d a u n a d e las restantes ecuaciones. S e o b t e n d r u n siste m a e q u i valente al ( 2 ) d e la f o r m a :

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*11 X 1 + a l 2 X2 + a i 3 X 3 i 1- " k 1

b 2 2 X2 + b 2 3 X 3 + " + b 2 Xo = h '.

C3 3 X 3 + C3o X = J;

m 3 3 Cm n Xn = 1,

( 6 )

A s se c o n t i n u a h a s ta o b t e n e r u n siste m a e n el q u e ca d a e c u a c i n t iene u n a in c g n it a m e n o s q u e

la e c u a c i n a n t e r io r , y q u e ser e q u iv a le n t e al sistema p r i m i t iv o .

Este m t o d o p e r m it e pasar d e t o d o sistema d e e c u a c io n e s lineales a o t r o sistema e q u iv a le n te c u y a

s o lu c i n se o b t ie n e m s f c i lm e n t e . S e c o m i e n z a re s o lv ie n d o la l t i m a e c u a c i n , el v a lo r (o v a lo re s) o b

t e n i d o se s u s t i tu y e en la p e n l t im a , se resuelve sta y se c o n t in u a d e esta f o r m a hasta llegar a la p r i m e

ra e c u a c i n .

Ejemplo: Resolver el sistema

2 x y + 3

3 x + 2 y - z = 4

5 x 4 y + 2 z = 3

Representando, respectivamente, las ecuaciones por 11). (2) y (3 ). y por a( 1) - b ( 2 ) la ecuacin que resulta

de multiplicar la ecuacin ( 1) por a y sumarle la ecuacin


Es incompatible el sistema x + y 3

2 x + 2 v 5

p u e s ( 1 ) x + y - 3 I ( 1 ) x + y 3

( 2 ) 2 x + 2 v = 5 | ( 2 * ) = 1 2 ) - 2 1 1 0 - - 1

S i re s u lta a l g u n a e c u a c i n d e la f o r m a 0 x , + 0 - x 2 + + x n = 0 . l a e c u a c i n d e ( 2 ) q u e o c u p a

el l u g a r d e sta es c o m b i n a c i n l i n e a l d e o t r a s , y se ^ r e s c i n d i r d e e l l a , y a q u e el s is t e m a q u e q u e d a es

e q u i v a l e n t e al p r i m i t i v o .

S i al a p l i c a r el m t o d o d e G a u s s n o r e s u l t a n i n g u n a e c u a c i n a b s u r d a , el s is t e m a es c o m p a t i b l e ( t i e

n e s o l u c i n ) . D e s p u s d e e l i m i n a r las e c u a c i o n e s q u e s o n c o m b i n a c i n l in e a l d e o t r a s n o s q u e d a r u n

s is te m a d e h e c u a c i o n e s ( s i e n d o h < n ) c o n n i n c g n i t a s q u e es e q u i v a l e n t e al d a d o .

h = n = > el s is t e m a es c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o ( t i e n e u n a s o l a s o l u c i n )

h < n = > el s is t e m a e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o ( t i e n e i n f i n i t a s s o l u c io n e s )

Sea el s is t e m a f in a l :

c 11 X 1 + C l 2 X 2 + + C l r , X r, + C 1 h . 1 Xh . 1 + + C m X n

w - l. X W J . X w22c - x 2 + - + c 2(, x n + c 2h. | x h. | + - + c 2f| x n

P l

P2

+ C h h . i x h . 1 + *** + Ch n Xn

e n el q u e c , |# C j j , . . . , s o n d i s t i n t o s d e c e r o .

P h

( 7 )

P a r a r e s o l v e r e l s is t e m a ( 7 ) . si h = n . se h a l l a el v a l o r d e x 0 d e la l t i m a e c u a c i n , el v a l o r o b t e

n i d o s se i n t r o d u c e e n la p e n l t i m a e c u a c i n y se h a l l a el v a l o r d e x n _ , . y as se c o n t i n u a e n o r d e n a s

c e n d e n t e h a s ta o b t e n e r e l v a l o r d e x , .

Sea el sistema - x + 2 y + 3 z - 3

2 x + 3 y 2 * 5

3 x + 8 y z - 13

x 2 y + 6 z 6

( 1 ) - x * 2 y + 3 z = 3

( 2 ) 2 x + 3 y - 2 z - 5

( 3 ) 3 x + 8 y - l = 13

(4 ) x - 2 y + 6 / = 6

(1 )


Oo la ltima ecuacin se obtiene * 1. llevando t e valor a la segunda: 7 y + 4 1 11

los valores de z e y hallados a la primera ecuacin: - x + 2 - 1 + 3 -1 3 = > x 2.

y 1. Llevando

S i h < n , se d a n va lo r e s a r b it r a r io s a las n - h in c g n ita s x h t ) , x h t ? x n y se o b t i e n e n las

in c g n ita s x , , x 2 x h e n f u n c i n d e estos valores.

Sea el sistema 3 x + 2 y - 2 * - 8

- x + 3 y + * t - 5

2 x + 5 y + 2 z - 13

11 3 x + 2 y - 2 z - 8 11) 3 x + 2 y - 2 z a 8

(2 ) X + 3 y + 4* - 5


S i n < n , se d a n v a lo r e s a r b i t r a r i o s a las n h in c g n i t a s x h#1, x ^ ,

c g n i t a s x , , x 2 , . . . , x h e n f u n c i n d e e sto s v a lo re s .x n y o b t i e n e n las n -

Sca el sistema - x + 3 y + 4 z

2 x + 3 y - 5 z

3 x + 9 y - 6 z

x + y z

(1) x + 3 y + 4 z = 0 (1) - x + 3 y + 4 z = 0

(2 ) 2 x + 3 V - 5 z = 0 ( 2 ) = (2 ) + 2 ( 1 ) + 9 y + 3 z = 0

(3) 3 x + 9 v - 6 z = 0 ( 3 ) = (3 ) + 3( 1) 18 y + 6 z = 0

(4) X + V - z = 0 ( 4 ' ) = (4 ) + (1 ) 4 y + 3 z = 0

O I

( 2 )

( 3 " ) ^ ( 3 J - 2 ( 2 )

( 4 " ) = 9 ( 4 ' ) - 4 1 2 )

x + 3 y + 4 z = 0

9 y 4- 3 z = 0

0 + 0 a 0

15z = 0

el sistema dadoes equivalente al sistema

que slo tiene la solucin trivial.

Sea el sistema

x + 3 y + 4 z

9 y + 3 z

15 z

3 x - 2 y + 4 z = 0

x + 5 y z = 0

x + 8 y + 2 z = 0

(1) 3 x 2 y + 4 z =r 0

(2) x + 5 y z = 0

(3 ) x + 8 y + 2 z = 0

( 1)

12) = 3 ( 2 ) + (1)

( 3 ) = ( 3 ) + (2)

3 x 2 y + 4 z a 0

13 y + z 0

13 y + z = 0

(1)

(2' )

(3 ) (3*) - (2'J

3 x - 2 y + 4 z = 0

I 3 y + z a 0

0 + 0 = 0

el sistema d a d o es equivalente al sistema

3 x 2 y + 4 z

I 3 y + z

que tiene infinitas soluciones.

Las soluciones se obtienen haciendo z = k . y escribiendo:

3 x 2 y ^ - 4 k

I 3 y = - k

3 x = 2 y - 4 k - ^ k - 4 k54 ,

k ; x 13

18 1de don de resulta la solucin general: x = k ; y k ; z = k

13 13

A cada valor valor distinto d e k corresponde una solucin distinta.

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PROBLEMAS

1 . 1 R e s o lv e r , a p l i c a n d o el m t o d o d e G a u s s , el s istem a:

x - 2 y - 3 z = 3

2 x y 4 z = 7

3 x 3 y 5 z = 8

( U n i v . d e E x t r e m a d u r a )

( 1 ) / i - 2 - 3 11)

12) 2 - 1 - 4 (2*) = ( 2 ) 2* ( 1 )

13) \ 3 - 3 - 5 VI 13 ') = 1 3 ) 3 ( 1 )

( 1 ) / I 2 - 3 3 \12' ) 0 3 2 1 = > el si1 3 " ) = ( 3 ' ) - ( 2 * ) \ 0 0 2 - 2 /

- 2 y - 3 z = 3

3 y + 2 z = 1 = > ii>oo - 2 z = 1 + 2 = 3 ; y

2 z = - 2 z = 1

X II NJ y = 1 ; z = - 1

el s is te m a d a d o es e q u iv a l e n t e al s istem a:

= 3 + 2 y + 3 z = 3 + 2 - 3 = 2

1.2 R e s o l v e r el s ig u ie n t e s is te m a :5 x + 3 y + 2 z = - 2

x + y = 2

2 x - y + z = 3

(U n iv . d e M a d rid )

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C o n el f i n de fac il itar los c lc u lo s e s c r ib ire m o s el sistema d e la f o r m a :

z + 2 x y = 3

x + y = 2 2 z + 5 x + 3 y = - 2

(1 ) / 1 2 - 1 3\(1 ) ( y 2 - 1

3 \(2 )

i 1

2 ] -( 2 ) 0 1 1

2 r ~(3 ) V 2 5 3 - 2 1 ( 3 ' ) = ( 3 ) 2 ( 1 ) \ 0 1 5 - a l

(1 ) ( 1 2 - 1 3 >

(2 ) D 1 1 2= > el sistema d a d o es e q u iv a le n te al sistema

( 3 " ) = ( 3 ' ) - ( 2 ) \ i0 0 4 - 1 0 ,

2 x y =

x + y =

4 y =

3

2

10

z = 3 - 2 x + y =

Y = -104

x = 2 - y - -

9 5 17

|X = 2 ; V 2 2

R e s o lv e r lo s sistemasx - 5 y = - 1 Y 2 * ' 1 0 y 2 l ju s t if i c a n d o p o r q u tie-

3 x + y = 5 |3 x + y = 5

la m is m a s o lu c i n . S i n hacer n in g n c lc u lo , e x p l ic a r c u l serfa la s o lu c i n d e l s iguie n te sistema:

x - 5 y = - 1 2 x + l O y 2

3 x + y - 5

(U n iv . d e V a le n c ia . 1 9 9 1 )

( I ) x - 5 y = - 1

12) 3 x + y = 5

( 1 ) x 5 y a 1

( 2 ) = ( 2 ) 3 ( 1 ) 16 y a 81

V 2

X ' l

( 3 ) - 2 x + 1 0 y = 2 1 ( 3 ) - 2 x + 1 0 y - 2

( 4 ) 3 x + y = 5 I ( 4 ' ) a 2 ( 4 ) -e 3 ( 3 ) 3 2 y - 16

3X = 2

V = 2

L o s d o s sistemas s o n eq uivalen tes, la e c u a c i n ( 3 ) del s e g u n d o sistema es igual a la e c u a c i n ( 1 )

del sistema m u lt ip l ic a d a p o r - 2 . y la segunda e c u a c i n d e a m b o s sistem as es la m is m a .

x - 5 y = - 1

El sistema - 2 x + 1 0 y = 2

3 x + y = 5

tiene la s e g u n d a e c u a c i n q u e es igual a la p r i m e r a m u lt ip l ic a d a

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p o r - 2 . o sea q u e la s e g u n d a e c u a c i n es c o n s e c u e n c ia d e la p r i m e r a . E l s iste m a q u e resulta al ta ch a r

la s e g u n d a e c u a c i n es e q u iv a le n t e al d a d o . A l ser el te r c e r s is te m a e q u iv a l e n t e al p r i m e r o , las s o lu c io n e s

p e d id a s s o n x = - . y = .

1 . 4 * R e s o lv e r lo s sistem as

x - 2 y + z = 0 x - 2 y + z = - 1 x - 2 y + 2 = - 5

2 x + y - z . 1 2 x + y - z 6 2 x + y 2 = 1

3 x + 2 y + z o 10 3 x + 2 y + 2 = 7 3 x + 2 y + 2 = 5

C o m o lo s c o e fic ie n te s d e las in c g n ita s s o n iguales e n los tres sistemas, p o d e m o s d i s p o n e r lo s c lc u

los a s i :

(1)12)

( 3 )

- 2 1 0 - 1" 5 \

( 1 ) n 2 1 0 - 12

1 - 1 1 6- 1 H

( 2 ' ) a ( 2 ) 2 1 1 )0

5 - 3 1 8

\ 3 2 1 1 0 7 5 / ( 3 ' ) = ( 3 ) 3 ( 1 ) \ o 8 - 2 1 0 1 0

11) / 1 - 2 1 0 - 1 - 5 \

( 2 ' ) 0 5 - 3 1 8 9 j = >

( 3 " ) - 5 ( 3 ' ) - 8 ( 2 ' ) \ 0 0 1 4 42 - 1 4 2 8 /

los sistem as d a d o s son e q u iv a le n te s a lo s siguiente s:

x 2 y 2 a 0 x = 1 X 2 y + z = - 1ii1>m = > y = 2 ; 5 y 3 z = 8 = >

1 4 z = 4 2 z u 3 1 4 z = - 1 4 z

x 2 y + z - - 5 X: = - 1

5 x 3 z 3 9 = > y - 3

1 4 z = 2 8 2 = 2

x - 2

z - - 1

1 . 5 U n a re f in e r a c o m p r a p e t r l e o a d o s p a se s A y B . C o m p r a n d o 5 0 0 b a rr i le s al p a s A y

1 5 . 5 0 0 al pas B re s u lta u n p r e c io m e d i o d e 1 9 , 8 7 5 d la re s . C o m p r a n d o 1 . 0 0 0 b a r r i le s al pas A y

1 . 0 0 0 8l B el p r e c i o m e d i o es de 1 8 d la re s p o r b a r r i l . C u n t o c u e s t a el b a r r i l d e c r u d o d e c a d a pas?

( U n i v . d e S a n t ia g o )

S e a n x ; y lo s p r e c io s d e l b a rri l d e los pases A y B r e s p e c t iv a m e n te :

5 0 0 x + 1 5 5 0 0 y = 5 0 0 + 15 5 0 0 ) . 1 9 , 8 7 5 I ( 1 )

1 0 0 0 X + 1 0 0 0 y = ( 1 0 0 0 + 1 0 0 0 ) - 1 8 I ( 2 )

R e s o lv ie n d o el s iste m a f o r m a d o p o r las e c u a c io n e s I I ) y ( 2 ) :

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( 1 ) : 5 0 0 x + 15 5 0 0 y = 3 1 8 0 0 0

( 2 ) : 1 0 0 0 x + 1 0 0 0 y = 3 6 0 0 0

(1' = -

(2') =

15 0 0

1

1000(2 )

( 1 ) x + 31 y = 6 3 6

x + y = 3 6

( 1 ' ) x + 31 y = 6 3 6

( 2 " ) = ( 1 ' ) - ( 2 ' ) 3 0 y = 6 0 0

E n el pas A cuesta el b a r r i l 1 6 d la re s y e n B 2 0 dlares.

x = 6 3 6 3 y = 16

H a l l a r u n n m e r o d e 3 c if ra s s a b ie n d o q u e s u m a n 9 ; q u e si d e l n m e r o d a d o se resta el q u e

in v e r t i r el o r d e n d e sus cifras , l a d i f e r e n c ia es 1 9 8 ; y q u e a d e m s , la c i f r a d e las d e c e n a s es m o

las o tra s d o s .(U n i v . d e S a la m a n c a )

Sea c b a el n m e r o p e d i d o :

a + b + c = 9 (1 )

5 1 - a 5 c = 1 9 8 = > (a + 1 0 b + 1 0 0 c ) ( c + 1 0 b + 1 0 0 a) = 1 9 8 ; 9 9 a + 9 9 c = 1 9 8 ;

- a + c = 2 12 )

a + c -b = a 2 b + c = 0 13)

R e s o lv ie n d o el s iste m a f o r m a d o p o r las e cu a c io n e s ( 1 ) ; ( 2 ) y ( 3 ) :

( 1 ) a + b + c = 9

( 2 ) - a + c = 2

( 3 ) a - 2 b + c = 0

(1) < 2 ' ) = < 2 ) + < l )

(3*) = ( 3 ) + ( 2 )

+ b + c = 9

b + 2 c a 11

- 2 b + 2 c = 2

( 1 )

(2')( 3 ) = ( 3 ' ) + 2 1 2 ' )

b + c = 9

b + 2 c = 11

6 c = 2 4

a - - 9 - b - c = 2

b = 11 2 c = 3

c = 4

E l n m e r o p e d i d o es el 4 3 2 .

1.7 U n e s tu d ia n te o b s e r v d u r a n t e los d d as d e sus v a c a c io n e s q u e :a ) L l o v i siete veces, p o r la m a a n a o p o r la tarde.

b ) L l o v i u n a sola v e z c a d a m a a n a o ta rd e lluviosa.

c ) S i l l o v i p o r l a t a r d e n o l l o v i p o r la m a a n a d e a q u e l da.

d ) H u b o c i n c o tardes claras y seis m a a n a s claras,

el n m e r o d e d as de vacacion es.

(U n iv . de M a d rid )

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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 1S>

S e a n m el n m e r o d e m a a n a s l lu v io s a s , y t el n m e r o d e la r d e s l lu v io s a s

m a a n a s l lu v io s a s + m a a n a s c la ra s d as d e v o c a c io n e s :

m + 6 - d ( 1 )

la r d e l lu v io s a s + ta r d e c la ro s = d ias d e v a c a c io n e s :

t + 5 = d 12)

m a a n a s l lu v io s a s + ta r d e l lu v io s a s 3 7

m + i = 7 ( 3 )

L a s e c u a c io n e s ( 1 ) . ( 2 ) y ( 3 ) f o r m a n el s is te m a :

1 1 ) m - d - - 6

12) d + t - 5

( 3 ) m * t o 7

( 1 ) m - d . - 6

( 2 ) - d t - - 5

( 3 ' ) - ( 3 ) ( 1 ) d * t * 1 3

11 ) m d - 6

( 2 ) d 4 - 1 - - 5

1 3 " ) - ( 3 * ) + ( 2 ) 2 t - 8

- 6 * d - 3

H u b o 9 d a s d e v a c a c io n e s

1.8 T r e s a m ig o s a c u e r d a n ju g a r tre s p a rt id a s d e d a d o s d e f o r m a q u e . c u a n d o u n o p i e r d a u n a p a r t id a . e n t r e g a r a c a d a u n o d e los o t r o s d o s u n a c a n t id a d igual a l a q u e c a d a u n o d e e l lo s p o s e a en

m o m e n t o . C a d a u n o p e r d i u n a p a r t id a y al f i n a l c a d a u n o te n a 2 4 pesetas. C u n t o d i n e r o al c o m e n z a r el

( U n i v . d e C a s t i l l a - L a M a n c h a )

P u e s t o q u e la c a n t id a d to t a l d e d i n e r o q u e t ie n e n e n t r e los tre s ju g a d o r e s es ic*ial al p r i n c i p i o q u e

al f in a l , e n t r e los tre s ju g a d o r e s r e n e n 2 4 * 3 = 7 2 pesetas.

S e a n x las p eseta s q u e tena el j u g a d o r A a n te s d e e m p e z a r el j u e g o , y las q u e tenia el j u g a d o r B

y z las q u e te n a el j u g a d o r C .

S i A p i e r d e la p r i m e r a p a r t id a . B p i e r d e l a s e g u n d a y C la tercera.

D i n e r o d e A D i n e r o d e B D i n e r o d e C

A l f i n a l d e la l p a rt id a x - y - z 2 y 2 z

A l f in a l d e la 2 - p a r t id a 2 ( x y x ) 2 y ( x v 2 z s 4 z

3 y x z

A l f in a l d e la 3 ? p a rt id o 4 ( x y z ) 2 ( 3 y x z ) 4 z 2 ( x - y - z ) - ( 3 y - x - z ) =

7 z x y

d e d o n d e re s u lta el s is te m a :

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x + y + z = 72

4 ( x - y - z ) = 2 4

2 ( x + 3 y - z> = 24

- x - y + 7 z = 2 4

x + y + z = 72

x - y - z = 6

- x + 3 y - z = 12

- x - y + 7 z = 24

( 1 )

(2)

n i

11) + ( 2 ) : 2 x = 7 8 ; x = 39

( 1 ) + ( 3 ) : 4 y = 8 4 ; y = 21i o;

(4)(1> + ( 4 ) : 8 z = 96 z = 12

9 E l t o E v a r is to t iene 1 0 litros d e m e zcla d e agua y v i n o . A l p ro barla o bs erva q u e e s demasa- l igera ; p o r lo qu e d e c id e a a d ir u n a c ierta ca n t id a d d e v i n o ; y e n to n ce s la ca n tid a d de agua es el 3 0 %

total. C o m o sigue s iendo l ig e ra ; aad e d e n u e v o la m is m a ca n tid a d d e v i n o q u e an te s ; y e n to n ce s le

de agua es el 2 0 % del total. C u n t o s litros de v i n o se aaden en ca d a ocasin y c u n to s hay

(U n iv . d e ! P a s V a s c o )

A g u a V i n o To ta l

X V 1 0

X y + z 10 + z

X y + 2 z 1 0 + 2z

C o m p o s ic i n de la m e zcla e n litros:

C o m p o s ic i n p r i m i t i v a :

al a a d ir z l i tros d e v i n o :

al a a d ir de n u e v o z I. d e v i n o :

Si en la segunda c o m p o s ic i n la ca n t id a d de ac^ja es el 3 0 % del t o t a l :

= > 10 x 3 z = 301 0 + z 100

Si en la tercera c o m p o s ic i n la can tida d de agua es el 2 0 % d e l to ta l :

x - 2 0 - 1 0 x - 4 z = 2 0

11)

12)10 + 2 z 1 0 0

R eso lv ie n d o el sistema f o r m a d o p o r las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) :

( 1 ) l O x - 3 z = 30

( 2 ) - ( 1 ) ( 2 ) z = 10

(1)

(2 )

l O x - 3 z = 30

l O x - 4 z = 20

x = 6

z = 10

se aaden 10 litros de v i n o en ca d a ocasin y h a y 6 li tros de agua en ca d a u n a d e las com posicion es.

z1 . 1 0 L a edad d e u n padre es d o b le q u e l a suma de las edades de sus d o s hijos, m ien tras q u e hace u nos a o s (e x a c ta m e n te la d ife re n cia d e las edades actuales d e los h i jo s ) la edad d e l padre era t r ip le q u e la m a d e las edades en aquel t i e m p o d e sus hijos. C u a n d o pasen tanto s aos c o m o la su m a d e las edades

actuales d e los hijos, la s u m o de edades d e las tres personas ser 1 5 0 aos. Q u edad tenia el p a d r e en el m o m e n t o del n a c im ie n to d e ca d a u n o d e sus hijos?

(U n iv . de C a s t i l la -L a M ancha. 1991)

Sea x la edad actual del p a d r e , y la del h i jo m a y o r y z la del m e n o r :

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S I S T E M A S O E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O O E G A U S S 21

- la e d a d d e l p a d r e es d o b l e q u e la s u m a d e las e d a d e s de los d o s h ijo s :

x = 2 ( y + z ) ( 1 )

ha ce u n o s a o s ( e x a c t a m e n t e la d i f e r e n c ia de las e d a d e s a c tu a le s d e los h i jo s ) la e d a d d e l p a d r e era

t r i p l e q u e la s a m a d e las e d a d e s e n a q u e l t i e m p o d e sus h ijo s :

x ( y z ) = 3 { | y ( y z ) ) + l z ( y z ) | ) 12}

c u a n d o p a s e n t a n t o s a o s c o m o la s u m a d e las e d a d e s a ctu a le s d e los h i jo s , la s u m a d e e d a d e s d e las

tres p e rs o n a s ser 1 5 0 a o s :

l x + ( y + z ) l + l y + ( y + z ) ) + [ z + ( y + z ) | = 1 5 0 ( 3 )

L a s e c u a c io n e s ( 1 ) , ( 2 ) y ( 3 ) f o r m a n , d e s p u s d e r e d u c i r la s , el s ig u ie n te sistema:

( 1 ) x 2 y 2 z = 0

( 2 ) x + 2 y - 8 z = 0

( 3 ) x + 4 y + 4 z = 1 5 0

( 1 ) x 2 y 2 z = 0 |

- 1 2 ' ) = ( 2 ) ( 1 ) 4 y 6 z = 0

( 3 ' ) = ( 3 ) - ( 2 ) 2 y + 1 2 z = 1 5 0

( 1)( 2 ' )( 3 " ) = 2 ( 3 ' ) - ( 2 ' )

x 2 y 2 z = 0

4 y 6 z = 0

3 0 z = 3 0 0

x = 5 0

y = 1 5

z = 10

L a e d a d d e l p a d r e c u a n d o n a c i el p r i m e r h i j o e ra 5 0 15 = 3 5 y c u a n d o n a c i el s e g u n d o h i jo

era 5 0 - 1 0 = 4 0 .

1 . 1 1 T r e s grficas r e p re s e n ta n las f u n c i o n e s y = a x + 2 , y = 6 x b , y x 1 , re s p e c t iv a m e n t e . D e t e r m i n a , si es p o s ib l e , lo s va lo r e s d e a y b p a r a q u e :

1) las tre s g r f ica s c o n c u r r a n e n u n p u n t o ;

2 ) las tre s g r f ica s se a n p a r a le la s ;

3 ) las tre s g r f ica s se c o r t e n d o s a d o s .(U n v . d e C a n ta b r ia !

1 ). L a s grficas de las f u n c i o n e s d a d a s , p o r ser lineales e n x e y . r e p re s e n ta n tre s rectas.

L a s tre s re c ta s c o n c u r r i r n e n u n p u n t o si el sistema

- a x + y = 2

- 6 x + y = - b

. x + y * - 1

es c o m p a t i b l e d e t e r m in a d o .

A p l i c a n d o el m t o d o d e G a u s s al s iste m a e s c r ito d e la f o r m a :

( 1 ) y + x = - 1

( 2 ) y - 6 x = - b

( 3 ) y - a x = 2

(1)( 2 ' ) = ( 2 ) ( 1 )

( 3 ' ) = ( 3 ) ( 1 )

y + x = 1

7 x = 1 b

- ( 1 + a ) x = 3

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2 2 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S

( 1 )

( 2 ' )

( 3 " ) = 7 { 3 ' ) + { 1 + a ) ( 2 ' )

y + x = - 1

7 x =1 b

0 = a b a b 2 0

el s iste m a ser c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o si a b a b 2 0 = 0 .

2 ) L a s tre s g r f ica s sern p a ra le la s si lo s c o e fic ie n te s a n g u la r e s d e las tres rectas s o n iguales:

a = 6 = - 1

se l le ga a u n a c o n t r a d i c c i n , lo q u e n o s d i c e q u e p a r a n i n g n v a lo r d e a y b las tre s re c ta s s e r n p a r a

lelas.

3 ) Si a & { 1. 6 } , las tres re c ta s se c o r t a r n d o s a d o s .

Si a e { - 1. 6 , la p r i m e r a re c ta ser p a r a le la a a lg u n a de las o tra s d o s . S i a - 6 y b = - 2 ,

las d o s p r i m e r a s rectas s o n c o in c id e n te s .

1 . 1 2 C la s i f ic a r el s ig u ie n t e s is te m a y . si fuese p o s ib l e , re s o lv e r l o :

x - y + 3 z = 3

x + 2 y - z = 2 2 x + y + 2 z = 5

( U n i v . d e L a L a g u n a T e n e r if e )

( 1 ) n - 1 3 3 ' ( 1 ) / 1 - 1 3 3\(2 ) - 2 - 1 2

0I(NII 3 - 4 - 1 ] -

(3 ) 1 2 5 . 1 1 3 ') = ( 3 ) - 2 ( 1 ) \ 0 3 - 4 - i /

I D n - 1 3 3 \I 2 ) C1 3 - 4 - 1 ] = > el s iste m a d a d o es e q u iv a le n t e al sistema

1 3 " ) = ( 3 - ) - - ( 2 ) \ 0 0 0 0 /

x - y + 3 z = 3

3 y - 4 z = - 1

(a)

( b )

q u e est f o r m a d o p o r d o s e c u a c io n e s , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d ie n t e s , c o n tres in c g n i t a s . E l s is te m a es

c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o ( in f in i t a s s o l u c io n e s ) .

D e ( b ) : 3 y = 1 + 4 z

l le v a n d o este v a lo r a l a ) : x = 3 + y 3 z = 3 ^ + 3 z = 3 3 3 3

h a c i e n d o z = 3 k :

k = | - 5 k ; y = - i + 4 k ; * = 3 k

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S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 2 3

1 . 1 3 C a lc u l a r el v 8 lo r d e m p a r a q u e el s iguie n te sistema sea c o m p a t i b l e :

x + 2 y 3

x 3 y = 1

2 x + y a m

( 1 ) ,1 23 \

( 1 ) 1 2

( 2> 1 - 3 ( 2 ' ) * ( 2 ) ( 1 ) 0 - 5

( 3 ) \ 2 1 m / ( 3 ' a | 3 ) - 2 { 1 | 0 - 3

(1 ) 1 2 3 x + 2 y = 3

(2*) 0 - 5 - 2 = > - 5 y = - 2

( 3 " ) = 5 ( 3 * 1 - 3 ( 2 ' ) 0 0 5 m 2 4 0 = 5 m 2 4

L a l t i m a igualdad ser u n a in c o n g r u e n c ia si 5 m 2 4 es d i s t i n t o d e 0 , luego el sistema serco m

p a tib le si

5 m 2 4 = 0 m2 4

5

1.14 H a l la r la re la c i n q u e d e b e n c u m p l i r a. b y c para q u e el sistema3 x + 2 y = a

2 x + 5 y b

4 x + 9 y


(1 ) P 1 1 \(1 ) 1 1 1 0

(2 )

1 12 K

S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S . M E T O D O D E G A U S S 2 5

( 1 ) X + 2 y + Z = 012) x + ( a + 2 ) y + 2 z = 0

( 3 ) x + ( 2 - a ) y + ( a - 2 ) z = 0

( 1 )

(2) = (2) (1)

( 3 ) = ( 3 ) ( 1 )

x + 2 y + z = 0

a y + z = 0

- a y + ( a - 3 ) z = 0

( 1 )

( 2 ' )

( 3 " ) = ( 3 ' ) + ( 2 ' )

x + 2 y + z = 0

a y + z = 0

(a 2 ) z = 0

Si a * 2 , las tres ecuaciones son l in e a lm e n te inde p e n d ie n te s, s lo existe la soluci n trivial.

Si a = 2 . el sistema d a d o es e q u iv a le n te al sistema:

x + 2 y + z = 0

2 y + z = 0

c o m o el sistema tiene dos ecuaciones l in e a lm e n te indepen dientes c o n tres incgnitas, tiene infin itas so

luciones.

D e la l t im a e c u a c i n : z = - 2 y

l le va n d o este v a lo r a la p r im e r a e c u a c i n : x = - 2 y + 2 y = 0 h a cie n d o y = k , te n e m o s la soluci n general:

x = 0 ; y = k ; z = - 2 k

. 1 8 Se c o n sid e ra el sistema

x - y + z = 1 2 x y + z = m

3 x 2 y - m z = 4

a) D is c u t i r el sistema segn lo s valores m .

b ) R e so lve r el sistema p a r a m = 1.

(U n iv .

(1) i - 1 1 1 (1 ) 1 - 1 1 1

(2 ) 2 - 1 1 m ( 2 ' ) = (2) - 2 ( 1 ) 0 ; - 1 m - 2

(3) 3 2 - m 4 (3 > = ( 3 ) - 3 ( 1 ) o 5 - m - 3 1 ,

1 1 )

(2')( 3 " ) = ( 3 ' ) - 5 ( 2 ' )

1 - 1 1 1

0 1 - 1 m - 2

lO 0 m + 2 11 5 m

Si - m * - 2 * 0 , m * 2 , el sistema es C O M P A T I B L E D E T E R M I N A D O (u n a sola s o lu c i n )

Si m a 2 , la l t im a igualdad al aplicar Gauss ser: 0 = 1 , a b s u rd o , el sistema es I N C O M P A T I

B L E ( n o tiene so lu c i n ) .

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b ) P ara m = 1. el s iste m a r e s u lta n te al a p l ic a r G a u s s es:

x y + z = 1

y - z - - 1

z = 6

x = 1 + y - z = 1 + 5 - 6 = 0

y = 1 + 2 3 1 + 6 = 5

z = 6

. 1 9 D i s c u t i r y re s o lve r segn lo s va lo r e s d e a el s istem a:

a x + y + z = 1

x + a y + z = a x + y + a z = a2 i

( U n i v . d e S a n tia g o , 1 9 9 1 )

( 1) a 1 1 1 \ ( 1) a 1 1

( 2) 1 a 1 a ( 2 ' ) = 3 ( 2 ) - ( 1 ) 0 a2 1 a 1

( 3 ) 1 1 a a2/ ( 3 ) = ( 3 ) - ( 2 ) 0 1 - a a - 1

( 1 ) a 1 1 \( 2 ' ) 0 a 2 1 a - 1 a - l

( 3 " ) - (1 + a ) ( 3 ' ) + < 2 ' ) 0 0 a2 + a 2 a 3 + a 2 a 1 /

a 1 1

0 (a + 1 X a 1 } a 1

0 0 ( a + 2 H a 1 )

1

( a + 1 H a - 1)

(a 1 ) ( a + 1 ) 2

Si a g { 1 , - 2 ; , el s iste m a es C O M P A T I B L E D E T E R M I N A D O ( t i ene u n a s o l u c i n )

El s iste m a es e q u iv a le n t e al s istem a:

a x + y + 2 = 1

l a + l ) < a - 1 ) y + (a 1 ) z = ( a + 1 ) ( a - 1 )

( a + 2 ) ( a - 1 ) z = ( a 1 ) ( a + 1 >2

z = ( a 1 ) ( a + 1 ) 2 _ ( a + 1 ) 2( a + 2 ) ( a 1 a + 2 '

( a + 1 ) *

1 -x =

V =

1

a + 2

a + z ^ a + i <

( a + 1 H a 1) a + 2 a * - 2

l a + 1)* a + 2 + 2 - 1 - a 2 - 2 a - 1

a a l a + 2 )

S i a = 1 , p o r G a u s s h u b i s e m o s l le g a d o al c u a d r o :

a ( a 1)

a (a + 2 )

- a - 1

a + 2

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

el s iste m a es C O M P A T I B L E I N D E T E R M I N A D O ( t ie n e in f in ita ss o l u c io n e s )

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El s iste m a d a d o es e q u iv a le n te al f o r m a d o p o r la e c u a c i n

x + y + z = 1 x = 1 - v - z

h a c ie n d o y = k , z = h . te n e m o s la s o lu c i n general

x = 1 k - h ; y = k i = h

Si a = - 2 , p o r G auss h u b i r a m o s l legado al c u a d r o

- 2 1 1 1 \0 3 - 3

30 0 0 - 3 /

la l t i m a l nea e q u iv a le a d e c ir q u e 0 = - 3 . a b s u r d o , luego

el sistema es I N C O M P A T I B L E ( n o t iene s o l u c i n )

1.20 D e t e r m i n a r , si e x is te n , los va lo r e s d e l p a r m e t r o a p a r a q u e el sistemaX + 3 y + 2 z = 3

4 x + y + a z = 4

- 6 x + 4 y - 6 z = - 2

(U n iv . d e C a n ta b r ia )

El sistema ser c o m p a t i b l e in d e t e r m i n a d o si al a p l ic a r G auss nos resulta al m e n o s u n a f i la de ce

ros, y a q u e al te n e r el sistema tres in c g n ita s el n m e r o m x i m o d e e c u a c io n e s l in e a lm e n te in d e p e n d ie n

tes t iene q u e ser dos:

1) / 1 3 2 3 1) 1 3 2

( 2 ) 4 1 a 4 - ( 2 ' ) = ( 2 ) - 4 ( 1 ) 0 - 1 1 a - 8

(3) 1 - 6 4 - 6 - 2 ( 3 ' ) = (3 ) + 6 ( 1 ) 0 2 2 6

(1 )

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C A P IT U L O 2

MATRICES

M A T R I C E S .

Se l l a m a m a t r i z real d e d i m e n s i n m x n o d e o r d e n m x n , al c o n j u n t o d e m - n n m e r o s re a le s o r d e

n a d o s e n m f i la s y n c o l u m n a s .

21

12 ' * ' ln

22 a 2n

m 1 m 2 " * ir

L o s m - n n m e r o s rea les a )( se l l a m a n t r m in o s o e le m e n to s d e la m a t r i z . L o s n m e r o s n a t u r a

les i y j d e s ig n a n , r e s p e c t i v a m e n t e , la f i la y la c o l u m n a a las q u e p e r t e n e c e el e l e m e n t o a. . .

L a s m a t r i c e s se s u e le n r e p r e s e n t a r p o r letras m a y s c u l a s . A , B o A m>(n, 8 r . c u a n d o

sea c o n v e n i e n t e i n d i c a r s u d i m e n s i n , o b i e n p o r ( a , , ) . ( b ( j ) , . . . o (ai ( ) m i t n . ( b ( ) |

P*Q

p q

2x3 3*2

- 2 1

- 3 2

- 8 5

S e d ic e q u e u n a l inea (f i la o c o l u m n a ) es c o m b in a c i n l in e a l f e o t r a s l neas p a r a le la s e e l la I , J 2 . . . .

c u a n d o re s u lta d e s u m a r stas, m u l t i p l i c a d a s r e s p e c t i v a m e n t e p o r n m e r o s X , . X2 . . . c u a le s q u ie ra .

En la matriz anterior, A 3s2 , la tercera lila es combinacin lineal de las dos primeras, ya que es igual a la primera

ms la segunda multiplicada p o r 2.

D o s m a t r ic e s s o n e q u id im e n s io n a le s si t ie n e n e l m i s m o n m e r o d e filas y el m i s m o n m e r o d e c o

lu m n a s .

E l c o n j u n t o d e m a t r ic e s e q u id i m e n s i o n a l e s , d e m f i la s y n c o l u m n a s se s i m b o l i z a p o r

D o s m a t r ic e s A = ( a if) y B = ( b i ( ) s o n ig u a le s si s o n e q u id i m e n s i o n a l e s e igu a le s t o d o s lo s e l e

m e n t o s c o r r e s p o n d ie n t e s .

V { 1 , 2 m } y V j { 1 . 2 n }A = B o3 b .i

Las matrices r a b c n 2 3

A = B =d e f . I.4 5 6 .

sern iguales si v solo si a = 1. b = 2 c = 3, d = 4, e = 5 y f = 6 -

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3 0 M A T R I C E S

M a t r iz n u la es la q u e t iene to d o s sus e le m e n to s iguales a 0 . Se s im b o l iz a p o r O miin o p o r O c u a n -

d o n o h a y a d u d a d e su d im e n s i n .

Son matrices nulas:

2 3

0 0 0' 0 0 0 0

: 3 i 0 3 .3 = 0 0 0

0 0 0 0 .0 o 0.

M a t r i z f i la es la q u e t iene u n a sola f i la : A , , n . V m a t r iz c o l u m n a es la q u e t ie n e u n a sola c o l u m n a

't i

D ? 1

A . n = [ 311 ai2 a1n] 8 m l

M a t r iz o p u e s ta de la m a t r iz A =

M A T R I C E S 31

M a t r i z t r i a n g u l a r es la m a t r i z c u a d r a d a q u e t ie n e n u l o s t o d o s lo s e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r e n c i m a o

p o r d e b a j o d e la d ia g o n a l p r i n c ip a l .

E s t r i a n g u l a r s u p e r io r si s o n n u l o s lo s e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r d e b a j o d e la d ia g o n a l p r i n c i p a l , y t r ia n g u la r i n f e r i o r si s o n n u l o s los e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r e n c im a d e la d ia g o n a l p r i n c ip a l .

es triangula! inferior. 3 4 5 1 r 2 0 O

La matriz 0 6 1 os triangular superior, v 3 - 1 00 0 4 L4 0 3.

M a t r i z s im t r ic a es la m a t r i z c u a d r a d a q u e t i e n e igu a le s sus e le m e n t o s c o n j u g a d o s , es d e c i r , a -

= a , p a r a t o d o i y t o d o j.

a b e

b d ec e f

M a t r i z a n t i s i m t r i c a es la m a t r i z c u a d r a d a q u e v e r i f ic a la p r o p i e d a d : a (| = a p a r a t o d o v a lo r

de i y t o d o v a l o r d e j . L o s e l e m e n t o s d e la d ia g o n a l p r in c ip a l s o n n u lo s .

u a - a 0- b c

S U M A D E M A T R I C E S .

L a s u m a o a d i c i n d e d o s m a tr ic e s A y B d e l m i s m o o r d e n , m x n , es o t r a m a t r i z C . d e o r d e n m x n , c u y o s e l e m e n t o s se o b t i e n e n s u m a n d o los e l e m e n t o s d e A y B q u e o c u p a n lu g a re s h o m l o

gos.

A + B =

a n a t2 - a . B b b l 2 . . " b l " ' a , , + b n a , 2 + b , 2 - a i n + b ,

a 2l a22 a2n b 2, b 2 2 . . b 2n a 21 + b 2t a22 + b 22* a2 n + b 2n+

a , . . a b , b . . . . . b a ,* -b . a n + b >1. . . a _ + bm t m 2 m n_ m 1 m? m n m t m i m 2 rn 2 m r m n

D o s m a t r ic e s se p o d r n s u m a r si y s o l o si s o n e q u id im e n s io n a l e s .

2 3 - 1 '4 2 3 2 + 4 3 + 2 - 1 + 3 ' 6 5 2

- 2 4 2 1 2 - 4 = - 2 + 1 4 + 2 2 - 4 = - 1 6 - 2

_ 5 6 - 3 2 - 4 3_ . 5 + 2 6 - 4 - 3 + 3, 7 2 0 .

P r o p ie d a d e s d e la s u m a d e m a tr ic e s :

1 L a s u m a d e m a tr ic e s es le y d e c o m p o s i c i n in te rn a .

V I A . B I S (

2 P r o p ie d a d a s o c ia t iv a : A + ( B + C ) = ( A + B I + C V ( A , B . C ) G ( * ) :

A + B = c e ' BO

3 ? E x i s t e el e l e m e n t o n e u t r o . E s te es la m a t r i z n u la d e o r d e n m n . q u e s i m b o l i z a r e m o s p o r O .

4 ? E x i s t e el e l e m e n t o s im t r ic o o m a t r i z o p u e s ta .

V A e # 3 - A < 5 * / A + ( A ) = Omr> m i n ' * '

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3 2 M A T R I C E S

P r o p i e d a d c o n m u t a t i v a : A + B = B + A V ( A . B ) E { *

P o r c u m p l i r las c i n c o p r o p i e d a d e s a n t e r io r e s , el c o n j u n t o d e m a t r i c e s . * m K n , t ie n e e s t r u c t u r a de g r u p o a b e l ia n o r e s p e c t o d e la s u m a .

P R O D U C T O D E M A T R I C E S .

D a d a s las m a t r i c e s A = ( a . . ) d e d i m e n s i n m n y la m a t r i z B = ( b t|) d e d i m e n s i n n p . se

l l a m a p r o d u c t o d e A p o r B a l a m a t r i z C = ( c t( ) d e d i m e n s i n m x p , e n d o n d e el e l e m e n t o g e n r i

c o O j es igual a la s u m a d e lo s p r o d u c t o s s ig u ie n t e s : p r i m e r e l e m e n t o d e la f i l a i d e A p o r el p r i m e

r o d e la c o l u m n a j d e B , el s e g u n d o e l e m e n t o d e la f i la i d e A p o r el s e g u n d o d e la c o l u m n a j d e B .............el n - s i m o d e l a f i la i d e A p o r el n s i m o d e la c o l u m n a j d e 8 .

ka n

C = a .1 b 1 ( + a , 2 b 2 , + + a. n b n , = Z a , k b k,k a 1

a 11 a 1 2 * a i n ' b b >2 - b - p

a 2, a . a 2n b 2 1 b 22 * b 2 p

a m . 8 m 2 ' 8 m n b nl b 2 * b np

k = o k = n

Z . a , k b k i j L a I k b k2 ^ . a , k b k* = ' k = l

' = n k - n

. 3 2 k b k , / . a ? k b k2 ^ a 2k b K,k = 1

k = n

k = 1

k a 1

- 3 m k b k1 L am k b k?k = l

k = 1

kan

k = 1

r + 2 b i r i 2 3 i a b cd e f a

|_3a+ 4 b J .4 5 e l-9 h '

S l o ser p o s i b l e el p r o d u c t o d e A p o r B si el n m e r o d e c o l u m n a s d e A es igual al n m e r o d e

f i la s d e B .

a + 2 d + 3g b + 2 e + 3 h c + 2 f + 3

4 a + 5 d + 6 g 4 b + 5 c * ' 6 h 4 c + 5 f + 6 i

P r o p ie d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a tr ic e s :

P r o p i e d a d a s o c ia t iv a :

A m n ^B n p * ^ D Q ^ = *A m n r ) p ^ ^ o q

P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l p r o d u c t o r e s p e c t o d e la s u m a :

A . x n - < B n i i p + C n > p ) = A m , n B n x p + A m - n - C

A m n + C n . p = A m - C n p + B c " n p

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M A T R I C E S 3 3

E n g e n e r a l , n o se v e r i f ic a la p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a .

0A B

1*2 1 0

i.4 - 2 1

1 3

- 2 74 0

1 3

- 2 7

4 0 .

11

- 2 -

0 13

.12 - 2

14 - 5

24 - 1 6

8 4

A - B * B A

H a y casos e n q u e e x is te A m > n - B n f p y n o e x i s t e B n, p A m > n . s i p -A m .

E n los c a s o s e s p e c ia le s e n q u e A B = B A , se d i c e q u e las m a t r i c e s A y B s o n p e rm u ta b le s .

S o l a m e n t e si A y B s o n p e r m u t a b l e s se p o d r d e c i r q u e ( A + B l 2 = A 2 + 2 A B + B 2 , p u e s en

general ( A + B ) 2 = ( A + B ) ( A + B ) = A 2 + A B + B A + B 2 .

T o d a m a t r i z esca lar d e o r d e n n c o n m u t a c o n t o d a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n.

E n p a r t ic u l a r , la m a t r i z u n i d a d I c o n m u t a c o n c u a l q i e r m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n , v e r i f i c n

d o s e :| . A = A - ! = An n n n n

E l e l e m e n t o n e u t r o , r e s p e c t o d e p r o d u c t o , d e las m a t r i c e s c u a d r a d a s d e o r d e n n es la m a t r i z u n i

d a d l _ .

P R O D U C T O D E U N A M A T R I Z P O R U N N U M E R O .

El p r o d u c t o d e la m a t r i z A = l a i ( ) . d e o r d e n m . n , p o r el n m e r o real X es la m a t r i z X A =

= (X a ) . d r o r d e n m x n , c u y o s e l e m e n t o s se o b t i e n e n m u l t i p l i c a n d o t o d o s lo s e l e m e n t o s d e A p o r X .

X a , , X . a . . X a i n

X - a X - a . .A = 2 1 2n

X a miX a , . .m 2

5 2 - 1

01 = i 0- 5 o'

. 3 4 6 J L15 20 3 0 .

E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n n m e r o c u m p l e las s ig u ie n te s p r o p ie d a d e s :

1?

2 ?

3 ?

4 ?

X ( A + B ) = X A + X B

( X + p ) A = X A + p A

X ( P A ) = ( X * j ) A

1 - A = A

P o r c u m p l i r estas c u a t r o p r o p ie d a d e s y las c i n c o a n t e r io r e s d e la s u m a , el c o n j u n t o d e m a

tr ic e s d e o r d e n m x n , t ie n e e s t r u c t u r a d e e s p a c io v e c t o r ia l s o b r e el c u e r p o d e lo s n m e r o s reales.

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3 4 M A T R I C E S

M A T R I Z T R A N S P U E S T A .

M a t r i z t r a n s p u e s t a d e la m a t r i z A _ _ e s la m a t r i z B . _ q u e r e s u l t a d e c a m b i a r o r d e n a d a m e n t em m fi i ms u s f i la s p o r s u s c o l u m n a s .

L a m a t r i z t r a n s p u e s t a d e A se s i m b o l i z a p o r A ' o p o r A .

f a b [ c e lc d = >

L* f L b d f J

P r o p ie d a d e s d e la m a t r i z tra n s p u e s ta :

- ( A )* = A

- I A + B ) f = A * + B 1

- < k A ) ! = k A 1

- ( A B ) = B - A*

- S i A es s i m t r i c a ; A * = A

- S i A es a n t i s i m t r i c a : ( - A ) ' = A . o b i e n - A = A '

M A T R I Z I N V E R S A .

Sea A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n . S e d i c e q u e A t i e n e in v e rs a si e x is te u n a m a t r i z B . c u a

d r a d a d e o r d e n n , tal q u e A - B l p . S e d i c e q u e B es la m a t r i z i n v e r s a d e A

L a m a t r i z in v e rs a d e A . c u a n d o e x is t e , s e s i m b o l i z a p o r A . v e r i f ic n d o s e

A - A " 1 A 1 A = I

L a m a t r i z in v e rs a d e A . c u a n d o e x is t e , es n ic a .

U n a m a t r i z c u a d r a d a t ie n e in v e rs a si y s o l o si e s p o s i b l e p asar, p o r t r a n s f o r m a c i o n e s e le m e n t a le s

s o b re las fi las, d e l c u a d r o

I A I I )

al c u a d r o { I I A M

U n a transform acin d e m e n ta ! tobre las filas de una matriz es cualquiera de las operaciones siguientes:

- Multiplicar, o dividir, los elementos de una tila p o r u n nmero- Cambiar entre si dos filas

- Sumar a los elementos de u n a fila, multiplicados o n o por un nmero, los correspondientes elementos de otra

fila multiplicados p o r o t r o nmero.

r i n m n i 1 0' (i) ft i 1 OSea A - : L2 3 J 12) |2 3 o K ( 2 ) = ( 2 1 - 2 ( 1 ) [ O 1 -2 l)

I D - (1) 2 [1 0 3 -1=> A" 1 - r 3

(2) l o 1 -2 1 1-2

r 1 0 0 (1) 1 0 0 1 0 0Sea A m \ 3 1 5 12) 1 3 1 5 0 1 0

L- 0 2 (3) i -4 0 2 0 0 1

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M A T R I C E S 35

I I ) P 0 0 1 0 0 \ (1 ) ! 0 0 1 0 \(2 ) - ( 2 ) - 3 ( 1 ) l 1 5 - 3 0 - ( 2 '> ,

( 3 " ) - - (3*)0 i 5 - 3 1

1( 3 ) = (3 ) + 4( 1) , 0 0 2 4 0 l i i 0 0 1 2 0

11) 1 0 0 1 0 0

roO

12") = (2 ) - 5 ( 3 " ) 0 1 0 - . 3 , - I = > A =

'

- 1 3 1 - |

13") 0 0 12 0 2 0 -2 2

S i e n a l g u n o d e lo s p a s o s d e l c l c u l o d e la m a t r i z inversa d e A , e n la p a r t e i z q u i e r d a d e la r e c t a v e r

t ic a l a p a r e c e u n a f i la d e c e r o s o d o s f i la s p r o p o r c i o n a l e s , la m a t r i z A n o t i e n e in ve rs a .

Sea A1 3 2 ' (1) / 1 3 2 1 0 0

2 1 3 : (2) 1 - 2 1 3 0 1 03 2 - 1 (3) 1 3 2 - 1 0 0 1

(1) 1 3 2 1 0 0

12 ) * ( 2 ) + 2 ( 1 ) 10 7 7 2 1 0( 3 ) = ( 3 ) - 3 ( 1 ) 9 _ i ? __rrZj - 3 0 1

= > A no tiene inversa.

E l c l c u l o d e la m a t r i z in v e rs a d e esta f o r m a se c o n o c e p o r c lc u lo d e la m a t r i z in v e rs a p o r e l m t o

d o d e G a u ss.

L a s e c u a c io n e s m a t r ic ia le s d e la f o r m a

A X + B = C ( 1 )

c u a n d o A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a e n v e r s ib le s e r e s u e lv e n d e l s ig u ie n t e m o d o :

A X + B = C = > A X = C B

m u l t i p l i c a n d o p o r la i z q u i e r d a p o r A - 1

A ' 1 ( A X ) = A 1 ( C B ) r > ( A ~ ' A ) X = A ~ ( C - B I X A - ( C B )

Encontrar una matriz X que satisfaga la ecuacin A - X + B = C , siendo

A =[ , 2 O

. 0 0 3jC = [ 3 l

L 2 0 Oj

Veamos si A tiene inversa:

111

3 6 M A T R I C E S

A X + B = C = > A X = C B = > A _ , ( A X ) = A ( C - B ) = > ( A A ) X = A ~ IC B) = >

I X = X = a ' i c - B )

N O T A : E n el cap ru lo siguiente, despus de conocer la teora de determinantes, se am pliar la teora de la m atriz inversa.

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PROBLEMAS

3

1

- 2

2

( U n i v . d e M a d r id , 1 9 9 1 )

A B = [ i 3 2 - i ]

3

1- 2

2

= [ l - 3 + 3 - 1 + 2 ( - 2 ) + ( - 1 ) 2 ] = [ 3 + 3 - 4 - 2 ] = [ 0 ]

B A =

3 ' 3 1 3 3 3 2 3 1 - 1 ) 3 9 6 - 3 '1

1 3 2 - 1 1 =M 1 - 3 1 - 2 1 1 - 1 ) 1 3 2 - 1

- 2 L J - 2 - 1 - 2 3 - 2 2 - 2 1 - 1 ) - 2 - 6 - 4 22 2 - 1 2 3 2 2 2 1 - 1 ) 2 6 4 - 2

O b t e n e r los va lo r e s d e x , y . z , q u e v e r i f i q u e n la s iguie n te e c u a c i n m a t r i c i a l :

+

(U n iv . de V a le n c ia )

1 1 1

x 2 + 2 1

- 1 - 0 1

( 1 ) x + y + z = 1

( 2 ) 2 x + 2 y + z = 0

( 3 ) - x + z 3 0

y Xv7

= 0 = > 2 x*

,0 x

( 1 )

( 2 ' ) = ( 3 ) + ( 1 )

(3*) 3 ( 2 ) 2 ( 1 )

y + z ' 1

+ 2 y + z = 0

z 0.

x + y + z = 1

x + y + z r

2 x + 2 y + z = 0

- x + z 0

x = 1 - y - z = 1 + 3 - 2 = 2

y = 1 - 2 z = - 3y + 2 z = 1

- z 3 - 2 z = 2

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3 8 M A T R I C E S

R e so lve r el sistema 2 X + Y = A

4 X - 3 Y = B

q u e X e Y son m atrices d e d im e n s i n 3 4 , y

A =[ * - 1 8 7 | b I 13 - 4 2 l l

[ - 3 6 12 J ' [ - 1 1 12 1 4 J

( 1 ) 2 X *- Y = A

( 2 ) 4 X 3 Y = B

I I ) 2 X + Y = A

( 2 ' ) = ( 2 ) - 2 ( 1 ) 5 Y = B 2 AY = ( 2 A - B )

2 X = A - Y = A - I ( 2 A - B ) = ^ ( 3 A 4 B X = ^ ( 3 A + B, I

X - - - ' 3 2410 - 9 18

2 1 1 r 1 3 - 4 2 i i \ , r i o 2 0 o j r i

3 6 1 L - n 12 1 4 1 I- 20 30 L" 2

y - 1 i r - 2 16 i 4 i - [ , 3 ~ 4 _ 2 i i ' - i r - 1 55 l [ - 6 12 2 4 J L 11 12 14 j 5 [ 5

2

2 3

2 0 35

0 10

- 3 4

1 0

D a d a la m a tr iz A =5 - 4 22 - 1 1 4 4 - 1

q u e A - 2 A I, siendo I la m a tr iz id e n tid a d . U s a n d o la f r m u l a a n te r io r , calcular A 4 .

(U n iv . de M a d r id )

5 - 4 2 5 - 4 2

A ? = 2 - 1 1 2 - 1 1

- 4 4 - 1 - 4 4 - 1

5 5 + ( - 4 ) 2 + 2 ( 4 ) 5 ( - 4 ) + ( 4 ) ( 1 ) + 2- 4

2 5 + ( - 1 ) 2 + 1 ( - 4 ) 2 ( 4 ) + ( 1 ) ( 1 ) + 1 4

- 4 - 5 + 4 - 2 + ( 1 ) ( 4 ) 4 ( 4 ) + 4 ( 1) + ( - 1 ) 4

5 - 2 +

M A T R I C E S 39

est c o m p r o b a d o q u e A 2 = 2 A - I.

A 4 = A 2 - A 2 = ( 2 A I) (2 A I 4 A 2 A 2 A + I = 4 ( 2 A I) 4 A + I = 4 A 31

17 - 1 6 8

8 - 7 4

- 1 6 16 - 7

Dada la m a tr iz A =

tales que A X = O .

e n c o n tra r u n a de las matrices X cuadradas de orden 2 y

(U n iv . d e M a d rid . 1991)

Sea X =

A X = O

X yla m atriz pedida.

Y i

3 - 3 x y 0 0=> = = >

2 - 2 V Z . 0 0 .

3 x - 3 y = 0

3 y - 3 z = 0

2 x - 2 y = 0

2y - 2/ = 0

3 x - 3 y = 0

3 y 3 z = 0

3 x - 3 y 3 y 3z 0 0

2 x 2 y 2 y 2 o 0.

c o m o las ecuaciones tercera y cuarta son, respectivamente, igua

les a la p rim era y segunda m ultiplicadas p o r 2/3; el sistema que

resulta de tachar dichas ecuaciones es equivalente al anterior:

x = y

z = y

2 2 - 1 1 0 0Dadas las matrices A = - 1 - 1 1 . 1 = 0 1 0- 1 - 2 2 0 0 1

1) Calcular la m atriz ( A - I ) 2, uso di

se p i d e :

(U n iv . de M a d rid . 1 9 9 1 )

1 2 - r 1 2 - 1 " 1 - 2 + 1 2 - 4 + 2 - 1 + 2 - 1 '

> 1 II - 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 + 2 - 1 - 2 + 4 - 2 1 - 2 + 1

- 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 + 2 - 1 - 2 + 4 - 2 1 - 2 + 1

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40 M A T R I C E S

C o m o la m a t r iz A 2 c o n m u t a c o n I (e n la m u l t i p l i c a c i n ) :

A 4 - | 2 = ( A ? + I H A 2 I ) = ( A 2 + 1 ) 0 = 0 A 4 = l 2 = I

27 S i P y Q s o n d o s m a tric e s c u a d ra d a s d e o rd e n n , es c ie rta , en g e n e ra l, la igualdad

(U n iv . d e L e n )

El p r o d u c t o de m atrices cuad radas verifica la p r o p ie d a d d is t r ib u t iv a respecto de la sum a, lu ego:

( P + Q ) 2 = (P + Q ) (P + Q ) = P2 + P Q + Q P + Q 2

si P Q n o es igual a Q P : P2 + 2 P Q + Q 2 * ( p + Q } 2 .

La igualdad d e l e n u n c ia d o slo se verificar si P y Q , ade m s d e ser cuad ra d a s , c o n m u ta n respecto del p ro d u c t o .

, 3 P ro b a r q u e A " = 2 n A . s ie n d o A =- I! J

(U n iv . d e L a s P a lm a s d e G ra n C a n a ria )

H a r e m o s la d e m o s tr a c i n p o r el m t o d o d e in d u c c i n :

n = 1 : A = 2 , _ 1 A = A

- * = ['. J C K ; i - [ ! 3 - - *

la f r m u l a se v e rif ica para n = 1 y n = 2 , s u p o n ie n d o q u e A " = 2 " A :

A h * 1 = A h - A = ( 2 h ~ A ) A = 2 h _ 1 A 2 = 2 h_1 - 2 A = 2 h A = 2 , h *n ' 1 A

la es c ierta ta m b i n para n = h + 1 . Est d e m o s t r a d o q u e A " = 2 " A .

la f r m u -

1 0 0o oZ . 9 Sea la m a triz A = 1 1 0

.1 0 1C a lc u la r A 100.

' 1 0 0 "1 0 0 o o

1 1 0 1 1 0 2 2 1 0

. 1 o 1 . -1 o 1. 2 0 1 .

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M A T R I C E S * '

'1 0 0 " 1 0 0 1 1 0 0

A 3 = A 2- A = 2 1 0 1 1 0 = 3 1 0

.2 0 1 .1 0 1 3 0 1

vil' u i i u u s iu i esultad os p o d e m o s con sid erar que A h

1 0 0

h 1 0

h 0 1

V de aqu A n 1 = A h- A

o o __ 1 0 0 1

o o

h 1 0 1 1 0 = h + 1 1 0

h 0 1 1 0 1 h + 1 0 1

q u e tiene la m is m a f o rm a q u e A " .

1 . 0 0 1 0 0

Est d e s m o s tra d o p o r in d u c c i n q u e A ' 1 = h 1 0 ; lu e g o : A 100 = 100 1 0

h 0 1 1 0 0 0 1 .

1 0 Sea la m atriz

H a l la r A ' , para n E N .

A =1 0 1 0 1 0 0 0 1

(U n iv . de C a n ta b ria )

A =

1 0 1 1 c 1 1 0 2

0 1 0 0 1 0 = 0 1 0

0 0 1. . 0 0 1. .0 0 1

1 0 1 1 ( ) 2 1 0 3

A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0

0 0 1 0 ( ) 1 0 0 1

la f r m u l a A =

pie para n = h :

1 0 n

0 1 00 0 1

se c u m p le para n = 1 . 2 y 3 ; s u p o n ie n d o que ta m b i n se c u m -

1 0 h 1 O h i o r 'i 0 h + 1

A h = 0 1 0 1

4 2 M A T R I C E S

1 1 M1 1 H a l la r la m a t r i z B ' . s ie n d o B = 1 1 1

U n i v ele M la g a )

'1 1 1 1 1 l l 3 3 3

1 1 1 1 1 1 = 3 3 3 = 3 B

1 1 1 _1 1 1_ _3 3 3

= ( 3 B ) B = 3 B2 _ 3 ( 3 B ) = 3 2 B ; b

4 B 3 - B = ( 3 2 B ) - B =

c o n s id e r a n d o e sto s re s u lta d o s , p o d e m o s hacer la h ip te sis de q u e B ' = 3 " - B

de d o n d e : B " 1 = B . B = ( 3 " _1 B ) B = 3 o - 1 B 2 = 3 - ( 3 B ) = 3 B

E s t d e m o s t r a d o , p o r el m t o d o de i n d u c c i n , q u e la f r m u l a ( 1 ) es c ie rta , luego

3 n ~ '3 - . 3 - r

B " = 3 n * 1 B =3 o - i

3 0 - 1

o - , 3 n - ,3 " - \

4 5 - 1 4 5 - 1 1 6 - 1 5 + 3 2 0 - 2 0 + 4 - 4 + 5 + 0 4 4 1

A 2 = - 3 - 4 1 - 3 4 1 = - 1 2 + 1 2 - 3 - 1 5 + 1 6 - 4 3 - 4 + 0 = - 3 - 3 - 1

- 3 4 0 - 3 - 4 0 12 + 1 2 + 0 - 1 5 + 1 6 + 0 3 - 4 + 0 0 1 - 1

4 5 - ' 4 4 1' 1 6 - 1 5 + 0 1 6 - 1 5 - 1 4 - 5 + 1

A 3 = A - A 2 = - 3 - 4 1 - 3 - 3 - 1 = - 1 2 + 1 2 + 0 - 1 2 + 1 2 + 1 - 3 + 4 - 1

- 3 - 4 0 . 0 1 - 1 . - 1 2 + 1 2 + 0 - 1 2 + 1 2 + 0 - 3 + 4 + 0

1 0 0

0 1 0 = | ; 4 2 8 1 4 2 x 3 + 2 4428 _ a 1 4 2 x 3 + 2 _ A I X 3 a 2 _

0o,

4 4 r

= ( A 3 ) 4 2 - A 2 = I 4 2 - A 2 = 1 A 2 = A 2 = - 3 - 3 - 1

0 1 - 1

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M A T R I C E S 43

2 .1 3 C o m p r o b a r q u e la m a t r i z A = ^ v e r i f ic a la re la c i n A 2 + I = 0 d o n d e :

- [ ; a - c : iO b t e n e r u n a m a t r iz B . d is t in t a d e A . q u e t a m b i n v e r i f i q u e la re la c i n B 2 + I = 0 .

(U n i v . d e M a d r id , 1 9 9 1 )

A 2 + I =

Sea B =

[ 0 i + r

. o r _ i ] + \ '

0

1

- o 1 - 1 o j [ i 3 l j | 0 -

[ a b|

i j [ o

I a b

1.

:1 = 0

^ I . I l e d+

c aa -

a 7 + b c a b + b d ] 1 0 a2 + b e + 1 b (a + d ) 0 o l+ = = = >

a c + c d b c + d 2 ) 0 1 c ( a + d ) b e + d 2 + 1J 0 o j

a2 + b c + 1 = O

b ( a + d ) = 0

c la + d ) = O

d 2 + b c + 1 = O

( 1 )

( 2 )

(3)

A )

D e < 2 ) : b ( a + d ) = O

l le v a n d o este v a lo r a ( 1 ) : a 2 + 1 = O ; a 2 = -1 ,

im p o s ib le lu e g o b * O( 5 )

C o n el m i s m o r a z o n a m ie n t o , d e ( 3 ) y ( 4 ) se o b t i e n e q u e c * 0 .

- a 2 - 1D e ( 1 ) : b e = - a * - 1 c = a ca d a p a r d e valores d e a y b o b t e n d r e m o s

^alor d e c . p o r e je m p lo , para a = 1 y b = 1 : c = 2 , y de ( 5 ) d = 1. r e s u lt a n d o la m a tr iz

1 1B =

- 2 - 1

2 .1 4 U n fa b r ic a n te p r o d u c e tres t ip o s d e clavo s: d e a l u m i n i o ( A ) , d e c o b r e ( Q ) y d e a c e ro ( H ) .T o d o s ellos se fa b r ic a n e n lo n g itu d e s de 1 ; 1 , 5 ; 2 y 2 , 5 c e n t m e t r o s c o n los p re c io s re s p e c t ivo s si-

C l o v o s A : 0 , 2 0 0 . 3 0 0 , 4 0 0 , 5 0 pts.

C la v o s Q : 0 , 3 0 0 , 4 5 0 , 6 0 0 , 7 5 pts.

C la v o s H : 0 . 4 0 0 , 6 0 0 , 8 0 1 pts.

S a b i e n d o q u e e n u n m i n u t o se p r o d u c e n :

D e 1 c m de l o n g i t u d : 1 0 0 A 5 0 Q 7 0 0 H

D e 1 . 5 c m d e l o n g i t u d : 2 0 0 A 2 0 Q 6 0 0 H

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44 M A T R I C E S

D e 2 c m de l o n g i t u d : 5 0 0 A 3 0 Q 4 0 0 H

D e 2 , 5 c m d e lo n g i t u d : 3 0 0 A 10 Q 8 0 0 H

S e p ide:a ) R e s u m ir la in f o r m a c i n an te r io r en d o s m atrices, M y N . M ser u n a m a t r iz 3 x 4 q u e r e -

la p r o d u c c i n p o r m i n u t o y N u n a m a t r iz 4 x 3 q u e recoja los precios, s.

b ) C a lc u la r los e lem entos d e la diagonal p r in c ip a l de la m a t r iz M . N y d a r su significado.

N - M .(U n iv . d e A lic a n te )

a) M a tr iz d e la p r o d u c c i n p o r m in j t o :

1 1.5 2 2 . 5

100 2 0 0 5 0 0 3 0 0

M = 50 20 30 10

700 6 0 0 4 0 0 8 0 0

lo n gitu d de los clavos

clavos t ip o A

Q

.. H

Esta m a tr iz h a y q u e interpretarla de la siguiente f o r m a : p o r e je m p lo , el e le m e n to a 23 = 3 0 sig

nifica q u e e n u n m i n u t o se p ro d u c e n 3 0 clavos de 2 c m . d e lo n g i t u d del t i p o Q . e l e le m e n to a32 =

= 6 0 0 significa q u e en u n m in u t o se p ro d u c e n 6 0 0 clavos de 1,5 c m . de lo n g itu d del t i p o H .

M a tr iz de los precios de los clavos segn su lo n g i t u d y t ipo :

A Q H t ip o de los clavos

0 ,2 0 0 ,3 0 0 .4 0 clavos de lo n gitu d 1

0 ,3 0 0 , 4 5 0 ,6 0 * 1.5

0,40 0 , 6 0 0 , 8 0 ii ii ii 2

0 , 5 0 0 ,7 5 1 .0 0 . ii ii 2 .5

N

( b 32 = 0 , 6 0 significa q u e el c la vo d e l t ip o Q de 2 c m . de lo n g itu d vale 0 , 6 0 pesetas)

b ) Si M es u n a m a tr iz de dim ensiones 3 x 4 y N u n a m a t r iz 4 x 3 , las d im e n sio n e s de M - N

sern 3 x 3 .Si a los e le m e n to s de M los s im b o l iz a m o s p o r a t|. a l o s d e N p o r b ( y a l os de M - N p o r c i(:

c = a n b ^ + a 1 2 b 21 + a , 3 b 31 + a , 4 b 4 , = 1 0 0 0 . 2 0 + 2 0 0 - 0 , 3 0 + 5 0 0 0 . 4 0 + 3 0 0 0 . 5 0 = 4 3 0 =>

el im p o r t e de los clavos del t ip o A p ro d u c id o s en u n m i n u t o es 4 3 0 pesetas

c22 = a 2 i b , 2 + a22b 22 + a23b 32 + a2 4 b 42 = 5 0 - 0 , 3 0 + 2 0 - 0 . 4 5 + 3 0 0 , 6 0 - 1 0 - 0 ,7 5 = 4 9 ,5 = >

el im p o rte de los c la vo s del t ip o Q p r o d u c id o s en u n m i n u t o es 4 9 . 5 pesetas

C33 = a31b 13+ a 32b 23 + a 3 3 b 33 + a 3 4 b 4 3 = 7 0 0 0 -4 0 + 60 0 0 ' 6 0 + 4 0 0 0 '8 0 + t 0 0 , 1 = 1760 = *

el im p o rte de los clavos d e l t ip o H p r o d u c id o s en u n m i n u t o es 1 7 6 0 pesetas.

c ) L a m a tr iz N - M es de dim ensiones 4 x 4 . S im b o liz a re m o s sus e lem entos p o r d ^ :

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M A T R I C E S 45

d n = b , , a n + b | 2 a2 , + b J 3 a31 = 0 . 2 0 - 1 0 0 + 0 , 3 0 - 5 0 + 0 , 4 0 - 7 0 0 = 3 1 5 = >

el i m p o r t e de lo s c la vo s de 1 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 3 1 5 ptas.

d j 2 = b 2, a , 2 + b 22 a 2? + b 23 a 32 = 0 , 3 0 - 2 0 0 + 0 , 4 5 - 2 0 + 0 , 6 0 - 6 0 0 = 4 2 9 = >

el i m p o r t e d e lo s c la vo s d e 1 ,5 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 4 2 9 pesetas.

d 33 = b 3 i a i3 ^ b 3 2 a 2 3 + b 3 3 a 33 = 0 , 4 0 - 5 0 0 + 0 , 6 0 - 3 0 + 0 . 8 0 - 4 0 0 = 5 3 8 = >

el i m p o r t e d e los c la vo s de 2 c m . p r o d u c i d o s en u n m i n u t o es 5 3 8 pesetas.

d 4 4 = b 4 , a , 4 + b 4 2 a 2 4 + b 4 3 a 3 4 = 0 , 5 0 3 0 0 + 0 . 7 5 10 + 1 - 8 0 0 = 9 5 7 , 7 = >

el i m p o r t e de lo s c la v o s d e 2 , 5 c m . p r o d u c i d o s e n u n m i n u t o es 9 5 7 , 7 pesetas.

2 . 1 5 P r o b a r q u e la m a t r i z A t ie n e inversa y ca lcularla

[ 1 m 0 l

A = 0 1 00 0 1 m| 0 0 0 J

(U n iv . d e C d iz )

E m p l e a r e m o s el m t o d o d e Gauss:

(1 ) 1 m 0 0 1 0 0 0 \

(2 ) 0 1 m 0 0 1 0 0

(3 ) 0 0 1 m 0 0 0

( 4 ) 0 0 0 1 0 0 0 1 /

(11 1 m 0 0 1 0 0 0

(2 ) 0 1 m 0 0 1 0 0

( 3 ) = | 3 m ( 4 ) 0 0 1 0 0 3 1 - m

(4) 0 0 0 1 0 0 0 1

(1) 1 m 0 0 1 3 0 0(2 ' = ( 2 ) m ( 3 ' ) 0 l 0 3 0 1 - m m 2

( 3' l 0 0 1 0 0 0 1 m(4) 0 0 0 1 0 0 0 1

(1*) = ( 1 ) m ( 2 ' ) 1 0 0 0 1 - m m 2 - m 3

12') 0 1 0 0 0 1 m m 2( 3 ' ) 0 3 1 0 0 0 1 - m(4) 0 0 0 1 0 3 0 1

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4 6 M A T R I C E S

1 m m 2 - m 3

1 _ 0 1 m m 20 0 1 - m

0 0 0 1

2 .1 6 C a lc u la r la in ve rsa d e la m a t r iz :

A =

-24

21

4 2 1

2 1 - 21 - 2 4

- 2 4 2

(U n iv . d e S a la m a n c a )

E m p l e a r e m o s el m t o d o d e G a u s s :

11) - 2 4

(2 ) 4 2

(3 ) 2 1

(4 ) 1 - 2

(1 ) - 2 4

( 2 ' ) = ( 2 ) + 2 ( 1 ) 0 10

( 3 ' ) = ( 3 ) + ( D 0 5

( 4 ' ) = ( 4 ) + 1 ( 1 ) \ 0 0

I D f - 2 4( 2 ' ) 0 10

1 3 " ) = ( 3 ' ) - 1 ( 2 ' ) 0 0

( 4 ' ) \ 0 0

(1) - 2 4

( 2 ) 0 10

( 3 " ) 0 0

( 4 " ) = (4*)+ 2 ( 3 " ) 0 0

181II f -2 4

(2') 0 10

( 3 " ) = ( 3 " ) - | ( 4 " ) 0 0

(4 ) \ 0 0

2 1 1 - 2

-2 4

2

5O

5

25525

2552O

1O552

1

0

5

52

1O

5

252

O

O

O

252

0

1 O O

01

3

O

0

1

0 45 01 O

o

o0

1

2

112

1

2

O

0

1

o

0

3

1

O

oo

o

o\o

o

o o \2 1 0 0

3 1 1 0~ 2

1 - 1 2 12

24 2 425 25 25

2 1 0

_ 1 1 1* 5 10 5

17 - 1 2

- A25

3 2 5

1 y

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M A T R I C E S 4 7

1 1 " ) = < n - | ( 2 ' ) if - 2 0 0 0 42 5

8

2 5

4

2 5

( 2 " ) = ( 2 ' ) + 2 ( 3 " ' ) 0 10 0 08

5

2

5

2

514

5

1 3 '" ) 0 052

015

3

1015

2

" 5( 4 " )

\0 0

2 5

212

- 1 2i /

( ! " ' ) = - 1 d " ) / i 0 0 0 2 4 2 \2 2 5 2 5 2 5

2 5 \( 2 " ' ) = 177 ( 2 ) 0 1 0 0

4 2 1 210 2 5 25 2 5 2 5

( 3 " " ) = - | ( 3 ' " ) 0 0 I 02

2 51

2 5

2

2 5

4

2 5

( 4 " ) = ~ ( 4 " ) o 0 0 1 1 2 4 ! /2 5 \ 2 5 2 5 2 5 5 /

- 2 4 2 1 1

1 4 2 1 - 2A =

2 5 2 1 - 2 4

1 - 2 4 2

. 1 7 Encontrar una matriz X que verifique la ecuacin:

A X + B = C

1 0 0 '1 0 0 3 0 0

A = 1 2 0 B = 0 1 0 c = 2 5 2

1 2 4 0 0 1_ 0 1 3

(Univ. de Castilla La Mancha. 1991)

V e a m o s si A t i e n e i n v e r s a :

( 1 ) 0 0 1 0 0 ( 1 ) n 0 0 1 0 0(2 ) 1 2

0 0 1 0 1

CN1

( 1 )0

2 0 - 1 1 0

( 3 ) 1 2 4 0 0 1 co II y T ( 2 ) l o 0 4 0 - 1 1,

( 1 ) ' 1 0 0 1 3 \ 10 0

(2 " ) = 5 ( 2 - 1 0 1 012

12 I4

=> A * 1 = 12

1

20

( 3 " ) = i ( 3 - ) ^ 0 0 1 0 -1

40 1

4

14

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4 8 M A T R I C E S

A X + B = C A X = C B = > A - 1 ( A X ) = A~ ' ( C B ) = > (A*" A ) X = I X = X = A " ( C - B )- i - i - i

X =

1 0 0 ^ 2 0 0 2 0 O

4 i 0 2 4 2 0 2 12 2

o - i 14 4

. 0 0 2 , 1 - 1 0

(U n i v . d e M a d r id )

Sean B =_1 3"

4 2y C =

" 2 r

_ 5 3

V e a m o s si C : t ie n e inversa:

( 1 ) [ 2

( 2) l 5

1

3

1 0 \

0 1 ]

n*) = ( i ) ( 2' ) 2 0 6

( 2 ) 0 1 - 5

la m a t r i z C t ie n e in ve rs a , s ie n d o C 1

B =: A C => B C * 1 =

A = B C - = P 1L * 2 . 3 - - 5

( 1 )

( 2 ) = 2 ( 2 1 - 5 ( 1

( 1 " ) = j d )

( 2 )

- U

1

- 5

O 1

B C ' 1 = ( A C ) C - 1 = A ( C C ~ ) = A l = A

:)3

- 5

15 - 1 + 6 - 1 2 5

10 - 4 + 4 2 0

- 1

2

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C A P IT U L O 3

D E TER M IN A N TES Y M A TR IZ INVERSA

3 E T E R M I N A N T E S .

Sea A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n . S e l l a m a d e t e r m i n a n t e d e la m a t r i z A al p o l i n o m i o c u -

& t r m i n o s s o n t o d o s lo s p o s i b l e s p r o d u c t o s d e n f a c t o r e s t o m a d o s e n t r e los n e l e m e n t o s d e A .

a m o d o q u e e n c a d a t r m i n o h a y a u n s o l o f a c t o r d e c a d a f i l a y u n s o l o f a c t o r d e c a d a c o l u m n a , y

j * c : a n d o a c a d a t r m i n o d e l s ig n o + o d e l - s e g n q u e las p e r m u t a c i o n e s d e lo s n d i c e s d e las f i la s y

a c o l u m n a s se a n d e la m i s m a o d i s t i n t a c lase.

S e ' e c u e r d a q u e e n t r e las n p e r m u t a c i o n e s q u e se p u e d e n f o r m a r c o n l o s n p r i m e r o s n m e r o s n a t u r a l e s , se ' n p e r m u t a c i n p r i n c i p a l a l a p e r m u t a c i n 1 2 3 n .

E n o t r a p e r m u t a c i n c u a l q u i e r a , se d i c e q u e d o s e l e m e n t o s f o r m a n inversin c u a n d o e s t n e n o r d e n c o n t r a r i o q u e m * p e r m u t a c i n p r i n c i p a l . S e d i c e q u e u n a p e r m u t a c i n es p a r o im p a r s e g n sea p a r o i m p a r el n m e r o d e s u s i n-

Pa r a h a l l a r el n m e r o d e i nv e r s i o n e s d e u n a p e r m u t a c i n b a s t a c o n c o m p a r a r c a d a e l e m e n t o c o n t o d o s los q u e

* s * u * n E n l a p e r m u t a c i n 3 2 1 4 . e l 3 f o r m a i n v e r s i n c o n el 2 y c o n el 1 . e l 2 f o r m a i n v e r s i n c o n el 1 . y e l 1 n o f o r - - . e r s i o n c o n el 4 . H a y . p u e s , t r es i n v e r s i o n e s , p o r t a n t o la p e r m u t a c i n es i m p a r .

Pa r a h a l l a r e l s i g n o d e c a d a t r m i n o d e l d e t e r m i n a n t e , se o r d e n a n l o s e l e m e n t o s q u e e n l i n t e r v i e n e n e s c r i b i e n d o

n p r i m e r l u g a r el q u e p e r t e n e c e a la p r i m e r a fi la, e n s e g u n d o l u g a r el d e l a s e g u n d a f i l a , y a s i s u c e s i v a m e n t e h a s t a escri -

r K d e l a l t i m a f i l a . D e este m o d o , la p e r m u t a c i n c o r r e s p o n d i e n t e a las f i las ser l a p r i n c i p a l , q u e es p a r . y s l o - x r t q u e e s t u d i a r la p e r m u t a c i n c o r r e s p o n d i e n t e a las c o l u m n a s .

E l n m e r o d e t r m i n o s d e u n d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n es n !

E l d e t e r m i n a n t e d e la m a t r i z c u a d r a d a A d e o r d e n n se s i m b o l i z a p o r |A| . o p o r d e t ( A ) , o

- s c r i b i e n d o los e l e m e n t o s d e A e n t r e d o s r e c t a s v e r t ic a le s :

a i i 3 , 2 - a tn

A l = d e t ( A ) = a 21 a 22 * a 2n

a n1 an2 3 nn

D e t e r m i n a n t e s d e s e g u n d o o r d e n .

A p l i c a n d o la d e f i n i c i n :

at1 a>2

a2. a22i, 1 a22 312 a2i

U n d e t e r m i n a n t e d e s e g u n d o o r d e n e s igual al p r o d u c t o d e lo s e l e m e n t o s d e

Examenes de Matematicas l de Selectividad

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