Examénes 2000-2008

Ejercicio 1:

Se considera la función F(n) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 , que toma sucesivamente los valores 1, 5, 14,

30, 55, 91, . . .

a) Obtener el polinomio de 3er grado que la interpola en { 1, 2, 3, 4 } calculando los polinomios

de Lagrange en dicho soporte y utilizando la fórmula de Lagrange.

b) Construir una tabla de Diferencias Divididas para el soporte { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } comprobando que f[xi , xi+1] es un cuadrado perfecto; que f[xi , xi+1 , xi+2] es un número impar

dividido por 2 y que f[xi , xi+1 , xi+2 , xi+3] es siempre una constante. Deducir que las diferencias divididas de 4º orden son nulas independientemente del número de puntos de interpolación

(siempre que éste sea ≥ 4)

c) Utilizando el apartado anterior y la fórmula de interpolación de Newton, demostrar que F(n) es un polinomio de 3er grado, obteniéndolo y comprobando que es el mismo calculado en el apartado a).

Ejercicio 2:

Se consideran los puntos (0, 0), (1,1), (2, 1), (3, 0).

a) Obtener la curva de Bezier cuadrática que los interpola, expresando los 3 tramos de que se compone en función del primer punto de control. Nota: Operar, según se prefiera, en explícita o en paramétricas; pero en cualquier caso, explicar

la diferencia entre hacerlo de uno u otro modo.

b) Determinar el primer punto de control con la condición de que la tangente en (0, 0) sea

horizontal. Razonar que la anterior condición determina totalmente la curva si se ha trabajado en explícita,

mientras que si se ha hecho en paramétricas, la curva aún admite una condición más.

Enero -2000

Análisis Numérico

Ejercicio 1:

Se consideran los puntos (0,2), (1,1), (2,0), (3,5).

a) Obtener el polinomio de interpolación P3(x) por el método de Lagrange.

b) Sea Q(x) = P3(x) + λx(x-1)(x-2)(x-3) donde λ es una constante arbitraria. Comprobar que Q(x) también interpola los puntos dados. ¿Supone esto una contradicción con el hecho de que el polinomio de interpolación sea único?

c) Calcular la constante λ con la condición de que Q(x) interpole además al punto (4,-2).

Ejercicio 2:

a) Obtener una curva de Bezier compuesta por 2 tramos de 3er grado interpolando los puntos (0,0), (1,1), (2,1) de forma que el punto de control a1 en el 1er tramo sea a1 = 1 y el punto de control

b2 en el 2º tramo sea b2 = 1/3, dejando como parámetro libre a2.

b) Determinar a2 de modo que la derivada en el punto de unión x = 1 valga –2.

c) Se considera la curva de Bezier de 4º grado y un solo tramo definida en [0,1] y con puntos de control 0, 3, 8, 6, 1.

Comprobar que coincide con el primer tramo de la curva del aptdo. a) a pesar de tener un punto de

control más (y ser éstos distintos excepto el primero y el último). ¿Qué aplicación práctica puede

tener el representar una curva cúbica en forma de polinomio de 4º grado?

Enero -2001

Ejercicio 1:

Se considera la función: 33333 ......3210F(n) n+++++=

a) Construir la tabla de diferencias divididas para el soporte S = {0, 1, 2, 3, 4} y a partir de ella, obtener el polinomio de interpolación de F(n) por la fórmula de Newton, comprobando que puede escribirse en la forma:

2

2

)1()(

+= xxxP

b) Si se añaden más puntos consecutivos al soporte, por ejemplo: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},

completar la tabla de diferencias observando que las de 4º orden son siempre iguales.

Deducir que las diferencias de 5º orden serán nulas. ¿Cuál es el polinomio de interpolación de F en este nuevo soporte?

c) Demostrar teóricamente que al seguir añadiendo puntos (consecutivos) al soporte, las

diferencias de 5º orden siempre serán nulas.

Razonar que el polinomio de interpolación de F en cualquier soporte de enteros consecutivos es el mismo y en consecuencia se tiene la identidad:

2

33333

2

)1(......3210F(n)

+=+++++= nnn

Ejercicio 2:

Construir una curva de Bezier compuesta por dos

tramos cuadráticos, pasando por los puntos (-1,0), (0,1) y (1,0) y similar a la de la figura adjunta.

a) Obtener las ecuaciones de la curva en función del

punto de control P1 = (a1, b1) del primer tramo. Justificar que debe ser a1 > 0

b) Para a1 = 1calcular el vector tangente en (0,1).

b1) Determinar b1 para que el vector tangente tenga pendiente -½

b2) Determinar b1 para que el vector tangente sea horizontal

c) Para (a1, b1) = (1,1), calcular el punto de autointersección de la curva.

Febrero-2002

Ejercicio 1:

Se consideran 4 puntos arbitrarios ),(),,.(),,(),,( 33221100 yxyxyxyx .

Sea )(xP el polinomio de 2º grado interpolando a los tres primeros puntos y )(xQ el polinomio de

2º grado interpolando a los tres últimos.

a) A partir de )(xP y )(xQ construimos un nuevo polinomio:

[ ])()()()(1

)( 30

03

xPxxxQxxxx

xR ⋅−−⋅−⋅−

=

Demostrar que )(xR es el polinomio (de 3er grado) interpolando a los 4 puntos dados.

b) Sean los puntos )3,3(),0,2(),1,1(),0,0(

Obtener por el método de Lagrange los polinomios )(xP y )(xQ que interpolan

respectivamente a los 3 primeros puntos y a los tres últimos y expresar ambos en la base de

potencias.

c) Utilizar el apartado a), para construir el polinomio )(xR que interpola a los 4 puntos dados,

expresando asimismo )(xR en la base de potencias. Comprobar el resultado.

Ejercicio 2:

Se pretende construir una curva de Bezier compuesta por 2 tramos polinomiales de 2º grado interpolando los puntos:

Q1 = (0, 1), Q2 = (2, 2), Q3 = (0,-1).

a) Obtener la expresión de cada tramo en función del punto de control P1 = (a1, b1).

Nota: operar en paramétricas.

b) Para a1 = 1, calcular el vector tangente en el punto de unión de los 2 tramos y determinar b1 de

forma que su pendiente sea igual a 3. Calcular entonces los vectores tangentes en (0,1) y en (0,-1).

c) Calcular el punto de la curva con mayor abscisa.

Febrero-2003

Ejercicio 1:

Sea f(x) = 2x y el soporte S = { 0, 1, 2, 3}

a) [3 Puntos] Obtener el polinomio de interpolación P3(x) por el método de Newton para las

diferencias divididas.

b) [3 Puntos] Sean Lk (x) los polinomios de Lagrange asociados y Q(x) el polinomio:

Q(x) = 1 + L1 (x) + 3 L2 (x) + 7 L3 (x) b1) Demostrar, sin calcular los Lk (x), que Q(x) también interpola a f(x) en el soporte.

b2) Comprobar que Q(x) puede expresarse: Q(x) = L0 (x) + 2L1 (x) + 4 L2 (x) + 8 L3 (x) c) [4 Puntos] Se considera el soporte genérico de n+1 puntos S = {0, 1, 2, ..., n}

c1) Obtener el polinomio de interpolación Pn(x) (generalizar el apartado a))

c2) Probar que Pn(x+1) = 2Pn(x) – x(x-1)(x-2)...(x-n+1)/n!

c3) Calcular Pn(n+1) y demostrar que el error para x=n+1 es: ε(n+1) = 1 para todo n

Ejercicio 2:

Construir una curva de Bezier de 3er grado con 3 tramos interpolando los puntos:

Q1 = (-1, 0), Q2 = (0, 1), Q3 = (1,4), Q4 = (2,5)

a) [4 Puntos] Obtener la expresión de los tres tramos de forma

que la pendiente en los extremos sea nula. ¿Cuántos parámetros quedan aún libres?

b) [3 Puntos] Calcular estos parámetros de modo que el tramo intermedio sea una recta.

c) [3 Puntos] Demostrar que, independientemente de los

puntos de interpolación, la condición para que el tramo intermedio sea una recta es que los 2 puntos de control de este tramo estén alineados con y2 , y3.

Febrero-2004

Ejercicio 1: Se considera el soporte {{{{ }}}}2,1,0,1,2 −−−−−−−−====S

a) [4 Puntos] Para una cierta función )(xf sólo se conoce la última hilera de su tabla de

diferencias divididas:

22

4

3)1(1

1]1,0[

0]1,0,1[)0(0

]1,0,1,2[]0,1[

]0,1,2[)1(1

]1,2[

)2(2

f

f

ff

ff

ff

f

f

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

Obtener los restantes valores de )( xf en el soporte: )2(−−−−f , )1(−−−−f , )0(f , )1(f y su

polinomio de interpolación.

b) [3 Puntos] Sea 2

2)(

2 −−−−====x

xxR . Calcular su polinomio de interpolación en el soporte dado

c) [3 Puntos] Sean

−−−−++++++++++++++++−−−−++++++++====++++++++−−−−−−−−====

2)2(4)2)(1(3)2)(1()(

2)1(2)1()( 2

xxxxxxxQ

xxxxP:

Comprobar que ambos interpolan a la función )(xR en el soporte

¿Supone esto una contradición con el hecho de que el polinomio de interpolación sea único?

Ejercicio 2:

Se consideran los puntos ),,(),,(),,( 11100 ½

a) [3 Puntos] Operando en explícita, obtener la curva de Bezier con 2 tramos de 3er grado que los

interpola. ¿Cuántos parámetros quedan libres?

b) [2 Puntos] Determinar estos parámetros de forma que las pendientes en los puntos de

interpolación sean 21

25

321 1 −−−−============ σσσσσσσσσσσσ

c) [3 Puntos] Comprobar que la curva )(xS obtenida en el apartado anterior es un Spline cúbico

natural (Clase 2C y 0)1()0( ====′′′′′′′′====′′′′′′′′ SS )

d) [2 Puntos] Demostrar que si )(xf es cualquier función de clase 2C que interpole los 3 puntos

dados, entonces: [[[[ ]]]] 12)(1

0

2 ≥≥≥≥′′′′′′′′∫∫∫∫ dxxf

Febrero-2005

Ejercicio 1:

Se consideran 4 puntos arbitrarios ),(),,.(),,(),,( 33221100 yxyxyxyx .

Sea )(xP el polinomio de 2º grado interpolando a los tres primeros puntos y )(xQ el polinomio de

2º grado interpolando a los tres últimos.

a) A partir de )(xP y )(xQ , sea [ ])()()()()( xPxxxQxxxx

xR ⋅−−⋅−⋅−

= 30

03

1

Demostrar que )(xR es el polinomio (de 3er grado) interpolando a los 4 puntos dados.

b) Sean los puntos )3,3(),0,2(),1,1(),0,0(

Obtener los polinomios )(xP y )(xQ que interpolan respectivamente a los 3 primeros puntos y

a los tres últimos y expresar ambos en la base de potencias.

c) Utilizar el apartado a), para construir el polinomio )(xR que interpola a los 4 puntos dados,

expresando asimismo )(xR en la base de potencias. Comprobar el resultado.

d) Se considera el soporte

−=2

30

2

3,,S y la Base

−=Β 12

21 2

xx,, para los

polinomios de 2º grado.

Obtener la matriz G de interpolación y demostrar que GtG = I

2

3

A partir de esto, calcular G-1.

Ejercicio 2:

Construir una curva de Bezier compuesta por 2 tramos polinomiales de 3er grado interpolando los

puntos (-1, 0), (0, 0), (1,0).

a) Obtener la expresión de cada tramo en función de los puntos de control. ¿Cuántos parámetros quedan libres?

b) Calcular estos parámetros de forma que las pendientes en los puntos de interpolación sean σ1 = 2, σ2 = -2, σ3 = 2.

c) Demostrar que si σ1 = σ3 y σ2 = -σ1 (como en el aptdo. anterior) entonces la curva es de 2º grado en cada tramo.

d) Expresarla de nuevo como curva de Bezier de 2º grado, calculando los nuevos puntos de control.

Febrero-2006

Ejercicio 1: Se considera el proceso iterado 1 1( )n n nx kx x+ = − con 0k >

a) Determinar los puntos fijos de la función 1( ) ( )g x kx x= − de la cual derivan las iteraciones.

b) Llamando x al mayor de los 2 puntos fijos, ¿para qué valores de la constante k es 1| '( ) |g x < ?

c) Determinar si para algún valor de k el proceso es de 2º orden.

d) Para 2k = , demostrar que en el intervalo 314 4[ , ] se cumplen las condiciones del Teorema del

punto fijo.

Ejercicio 2: Se consideran los puntos 2 2 0 4 2 1 4 3( , ),( , ), ( , ), ( , )−

a) Construir una Curva de Bezier con tramos de 3er grado que los interpole verificando además que

las pendientes en los puntos intermedios son: 2 33 3σ σσ σσ σσ σ= = − .

¿Cuántas condiciones pueden aún imponerse?

b) Determinar los parámetros libres de forma que la curva interpole además los puntos

1 3 3 2( , ),( , )− .

c) Si en la curva del apartado a) imponemos 1 3

1 22 3( ) ( )a a= = , calcular las pendientes 1 4,σ σσ σσ σσ σ en

los puntos extremos.

d) ¿Podría construirse una Curva de Bezier interpolando los puntos dados y de forma que los 3 tramos fueran exactamente el mismo polinomio en x ?

Febrero-2007

Parte 1 (1er

Parcial)

Ejercicio 1: Se considera la función 3

2 3( )

x a xg x

b x

+=+

donde a y b son constantes.

a) ¿Qué condición tienen que cumplir a y b para que 3x = sea punto fijo de ( )g x ?

b) Determinar a y b para que el proceso iterado 1 ( )n nx g x+ = sea de 2º orden convergiendo a 3

c) Dada la función 3

2

9

3 3( )

x xg x

x

+=+

, demostrar que su derivada puede expresarse como:

2 2

2 2

3

3 1

( )( )

( )

xg x

x

−′ =+

y a partir de esto, determinar dónde es 1| ( ) |g x′ <

d) Comprobar que ( )g x es creciente. Basándose en esto y en que 3 3( )g = , demostrar que el

proceso iterado converge para 0 3x > .

Ejercicio 2: Sea el sistema de ecuaciones Ax k= con:

1 1 0 0 3

1 3 1 0 4

0 4 5 1 0

0 0 9 7 2

A k

= = −

a) Obtener la factorización A LR=

b) Resolver el sistema de ecuaciones a partir de la factorización

c) Demostrar que si A es una matriz tridiagonal arbitraria, entonces tanto L como R son

matrices bidiagonales.

d) Determinar el número de operaciones necesarias para factorizar LR una matriz de orden n en

función de n .

Febrero-2008

Parte 2 (2º Parcial)

Ejercicio 1: Dada una constante a , se desean interpolar los valores 2 31, , , , . . . , na a a a en el

soporte { 0, 1, 2, 3, . . . , n}S = .

a) Obtener la Tabla de Diferencias Divididas de forma genérica en función de a y de n .

b) Obtener una expresión general del Polinomio de interpolación en la Base de Newton.

c) Para 3n = , si el Polinomio de interpolación es 3( )P x , demostrar que 4 4

3 4 1( ) ( )P a a= − −

Ejercicio 2: Construir una Curva de Bezier de 3er grado y 3 tramos interpolando los puntos:

1 2 3 40 0 1 0 1 1 0 1( , ), ( , ), ( , ), ( , )Q Q Q Q= = = =

a) Obtener los puntos de control del 1er tramo para que éste tenga por expresión:

0 0 1( , ) ( , )x y a t b t= + ≤ ≤

b) Obtener los puntos de control del 3er tramo para que éste tenga por expresión:

1 2 3( , ) ( , )x y c t d t= + ≤ ≤

c) A partir de lo anterior, probar que el 2º tramo queda totalmente determinado y calcular sus puntos de control.