Exámenes álgebra lineal segundo y tercera evaluación

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS SEGUNDA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL

13 DE FEBRERO DE 2014

TODOS LOS TEMAS TIENEN IGUAL VALOR

1. a. Construya, de ser posible, un operador lineal 2 2 2 2:L M M tal que:

El espacio propio asociado al valor propio 0 de L sea el espacio 1 2 0 1

Gen ,0 0 1 0

W

y

0 0 1 2 0 2 0 1, ,

1 1 0 0 0 0 1 0L L

Si identifica las imágenes de la base de W como el vector cero: 4 ptos

Si expresa a un vector arbitrario de 2 2M como combinación lineal de la base

1 2 0 1 0 0 0 2, , ,

0 0 1 0 1 1 0 0

: 3 ptos

b. Si LA es la matriz asociada a L en una base B de 2 2M , calcule det ( )LA

2. Sea V un espacio vectorial real, y 1 2 3, , B v v v una base de V.

a. Demuestre que la función: :V V dada por:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 a v a v a v b v b v b v a b a b a b

es un producto interno en V

b. Sea 2 1 3 2Gen - 3 , H v v v v y 1 2 32v v v v . Utilice el producto interno definido en

(a) para calcular Hvproy : 6 ptos

3. Sea

1 0

3 3 3

1 0 2

k

A

:

a. Determine el valor de k para que 5 sea valor propio de A: 8 ptos

b. Para 20k determine si A es diagonalizable: 6 ptos

4. Sean A y B dos matrices n n semejantes:

a. Muestre que A y B tienen los mismos valores propios

b. ¿Tienen los mismos vectores propios? Justifique su respuesta:

5. Grafique la cónica dada por la ecuación 5

4 2 22

xy x y

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

Instituto de Ciencias Matemáticas

Segunda Evaluación de Álgebra Lineal para Ingeniería en Auditoría y CPA

Guayaquil, 02 de Septiembre de 2010

Nombre:…………………………………………………. Paralelo:………

1.- (20 ptos.) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones.

Justifique su respuesta.

a) El ángulo formado por los vectores y es

b) Si es una transformación lineal tal que ,

entonces

c) Si el conjunto es una base ortonormal de , entonces el conjunto

es base ortogonal de .

d) Si , entonces su complemento ortogonal es

e) Sea un operador lineal tal que , entonces T es un

ISOMORFISMO.

2.- (10 ptos.) Sea una transformación lineal tal que:

Determine:

a) El Núcleo de T y su respectiva base.

b) La imagen de T y su respectiva base.

3.- (20 pts.) Sea una transformación lineal tal que:

Determine:

a) La representación matricial de T con respecto a las bases canónicas.

b) La representación matricial de T con respecto a las bases:

,

c) Las matrices que relacionan a las matrices obtenidas en a) y en b).

4.- (10 ptos.) Dada la matriz . Determine:

a) Los valores propios de .

b) Los vectores propios de

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL


Tercera Evaluación de Álgebra Lineal para Ingeniería en Auditoría y CPA

Guayaquil, 16 de Septiembre de 2010

Nombre:…………………………………………………. Paralelo:………

1.- (20 ptos.) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones.

Justifique su respuesta.

a) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si Ww y R , entonces Ww .

b) La nulidad de la matriz es 1.

c) Existe una transformación lineal tal que y .

d) Si es la representación matricial de T con respecto a dos bases

dadas, entonces T es un ISOMORFISMO.

e) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu, dos

vectores ortonormales. Si los vectores vu y vu son ortogonales, entonces

2.- (20 ptos.) Sean y dos bases del espacio

vectorial (Matrices Diagonales 2x2). Sea la matriz cambio de base de a

a) Encuentre los vectores de la base .

b) Usando la matriz de cambio de base , determine si se conoce que

.

3.- (20 pts.) Sea 3RV y 0623/3 zyxR

z

y

x

W un subespacio de V

Determine:

a) El complemento ortogonal de W

b) La proyección de v sobre W si se conoce que

4

1

3

v

4.- (20 ptos.) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:

czyx

bzyx

azyx

32

2

2

a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A .

b) Si bac 2 , determine si los vectores

c

b

a

u pertenecen a )Im(A .

5.- (20 ptos.) Construya, de ser posible, una transformación lineal que

cumpla con las siguientes condiciones:

Escuela Superior Politecnica del LitoralInstituto de Ciencias Matematicas

SOLUCION Y RUBRICAExamen de la Segunda Evaluacion de ALGEBRA LINEAL

30 de Agosto de 2012

Rubrica para todos los temas:

DeficienteCuando el estudiante deja vacıo, escribe incoherencias o califica

0-1sin justificar una proposicion a ser analizada.

RegularEl estudiante demuestra tener una idea de como debe resolver el

2-5problema o como debe plantearlo, sin embargo tiene serias falencias conceptuales.

BuenoEl estudiante demuestra manejar bien los conceptos o los

6-8procedimientos pero falta la formalizacion o comete errores de calculos

ExcelenteTanto el planteamiento como el procedimiento son correctos

9-10aunque se pueden presentar faltas despreciables.

Ponderaciones:

P1 P2P3

P4P5

P6 Totala b a b

puntos: 10 10 5 5 10 10 10 10 70

1. (10 pts) Demuestre utilizando induccion matematica el siguiente teorema:

Sea T una transformacion lineal del espacio V en el espacio W sobre el campo K, entonces

∀n ∈ N, T

(

n∑

i=1

αivi

)

=n∑

i=1

αiT (vi)

SOLUCION:

Se probara por induccion que:

T (v1+v2) = T (v1)+T (v2) ∧ T (αv) = αT (v)⇒ T (α1v1+. . .+αnvn) = α1T (v1)+. . .+αnT (vn)

Para n = 1, se tiene T (α1v1) = α1T (v1) por la primera parte del antecedente de la impli-cacion.

Suponemos que el consecuente se cumple para n = k,

⇒ T (α1v1 + . . .+ αkvk) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk)

Consideremos el caso donde n = k+1. Por la primera parte del atecedente de la implicacionse tiene,

⇒ T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = T (α1v1 + . . .+ αkvk) + T (αk+1vk+1)

Por el supuesto de induccion:

T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk) + T (αk+1vk+1)

y por la segunda proposicion del antecedente de la implicacion, se tiene que:

T (α1v1 + . . .+ αkvk + αk+1vk+1) = α1T (v1) + . . .+ αkT (vk) + αk+1T (vk+1) �

2. (10 puntos) Rectifique o ratifique la siguiente DEFINICION:

Definicion Rectificacion o Ratificacion

Rectificacion:Una matriz A es ortogonal si ysolo si los vectores columnas de Se dice que una matriz inversible A

A son ortogonales. es una matriz ortogonal si A−1 = AT

3. (10 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSAy justifique formalmente su calificacion.

a) La matriz A =

(

k 01 3

)

es diagonalizable para todo valor real k.

SOLUCION:

Se puede observar que los valores propios de la matriz son: k y 3. Realizamos el analisisen el valor k = 3, ya que serıa la situacion del valor propio repetido. Para los otrosvalores de k, es diagonalizable. Para el valor k = 3, la multiplicidad geometrica es 1,por lo que la matriz no es diagonalizable para k = 3, por lo tanto la proposicion esFALSA.

b) La funcion f : P2×P2 → R definida por f(p(x), q(x)) = p(1)q(1) es un producto internoreal.

SOLUCION:

Se deberıa cumplir que si p(x) = ax2 + bx + c, f(p, p) = 0 ⇔ p = 0P2, pero si a = 0 y

b = −c, se tiene p(x) = −cx + c y entonces f(−cx + c,−cx + c) = (0)(0) = 0. Por lo tantola proposicion es FALSA.

4. (10 puntos) Sea T un operador lineal en R3 definido como:

T

a

b

c

=

a+ b+ 2cb

b+ 3c

Determine si T 2 es diagonalizable.

SOLUCION:

Sea la matriz de la transformacion lineal AT =

1 1 20 1 00 1 3

, entonces AT 2 =

1 4 80 1 00 4 9

cuyos valores propios son: λ = 1 con multiplicidad algebraica 2 y λ = 9. Haciendo el analisis

del valor propio repetido se obtienen los vectores propios {

100

,

0−21

}, por lo tanto es

diagonalizable.

5. (20 puntos) Sea T : V → V un operador lineal definido en V . Sean β1 = {v1, v2, v3} yβ2 = {v1 + 2v2, v2 + v3, v1 − v3} dos bases de V .

a) Si A es la matriz asociada a T con respecto a β1 y B es la matriz asociada a T conrespecto a β2, demuestre que existe una matriz inversible P tal que A = P−1BP .

SOLUCION:

∀x ∈ V , [T (x)]β1= A[x]β1

(1)

∀x ∈ V , [T (x)]β2= B[x]β2

(2)

∀x ∈ V , [x]β2= P [x]β1

(3)

∀x ∈ V , [T (x)]β2= P [T (x)]β1

(4)

Reemplazando (4) en (2)

∀x ∈ V , P [T (x)]β1= B[x]β2

(5)


∀x ∈ V , PA[x]β1= B[x]β2

(6)


∀x ∈ V , PA[x]β1= BP [x]β1

(7)

Por lo que: PA = BP

Dado que P es invertible debido a que es la matriz de transicion de β1 a β2, se tieneque A = P−1BP .

b) A partir de lo anterior, si A =

1 −1 20 0 01 −2 3

, determine la matriz B.

SOLUCION:

La matriz P−1 es la matriz de transicion de β2 a β1:

P−1 = ([v1 + 2v2]β1| [v2 + v3]β1

| [v1 − v3]β1)

Entonces P−1 =

1 0 12 1 00 1 −1

y por lo tanto P =

−1 1 −12 −1 22 −1 1

Se tiene por el literal anterior que B = PAP−1, entonces:

B =

−1 1 −12 −1 22 −1 1

1 −1 20 0 01 −2 3

1 0 12 1 00 1 −1

=

4 −2 3−8 4 −6−5 3 −4

6. (10 puntos) Sea el espacio vectorial V = L(R2,R2) y sean T1

(

x

y

)

=

(

x

0

)

, T2

(

x

y

)

=

(

y

0

)

,

T3

(

x

y

)

=

(

0x

)

, T4

(

x

y

)

=

(

0y

)

. Demuestre que {T1, T2, T3, T4} es una base de L.

SOLUCION:

Se probara que el conjunto {T1, T2, T3, T4} genera a L y ademas es linealmente independiente.

Toda transformacion lineal T : R2 → R2 puede representarse de la forma:

T

(

x

y

)

=

(

α1 α2

α3 α4

)(

x

y

)

=

(

α1x+ α2y

α3x+ α4y

)

Se tiene:

α1T1

(

x

y

)

+ α2T2

(

x

y

)

+ α3T3

(

x

y

)

+ α4T4

(

x

y

)

= α1

(

x

0

)

+ α2

(

y

0

)

+ α3

(

0x

)

+ α4

(

0y

)

=

(

α1x+ α2y

α3x+ α4y

)

Se ha probado entonces que gen{T1, T2, T3, T4} = L(R2,R2)

Para probar la independencia, la unica solucion de

α1T1

(

x

y

)

+ α2T2

(

x

y

)

+ α3T3

(

x

y

)

+ α4T4

(

x

y

)

= 0L

debe ser α1 = α2 = α3 = α4 = 0, donde 0L es la transformacion Cero de L, entonces:

α1

(

x

0

)

+ α2

(

y

0

)

+ α3

(

0x

)

+ α4

(

0y

)

=

(

α1x+ α2y

α3x+ α4y

)

=

(

00

)

La unica forma que la ecuacion anterior se cumpla para todo x y y es que α1 = α2 = α3 =α4 = 0

Por lo tanto el conjunto {T1, T2, T3, T4} es linealmente independiente. �

Otra alternativa de solucion:

Sea β1 = β2 = {

(

10

)

,

(

01

)

},

[T1]β1β2=

[

[T1

(

10

)

]β2

∣

∣

∣

∣

[T1

(

01

)

]β2

]

=

[

1 00 0

]

[T2]β1β2=

[

[T2

(

10

)

]β2

∣

∣

∣

∣

[T2

(

01

)

]β2

]

=

[

0 10 0

]

[T3]β1β2=

[

[T3

(

10

)

]β2

∣

∣

∣

∣

[T3

(

01

)

]β2

]

=

[

0 01 0

]

[T4]β1β2=

[

[T4

(

10

)

]β2

∣

∣

∣

∣

[T4

(

01

)

]β2

]

=

[

0 00 1

]

entonces, el conjunto de matrices {

[

1 00 0

]

,

[

0 10 0

]

,

[

0 01 0

]

,

[

0 00 1

]

} forman la base canonica

de M2×2, y como se sabe que la funcion F : L(R2,R2)T

→7−→

M2×2F (T )=[T ]β1β2

es un isomorfismo del

espacio vectorial L(R2,R2) al espacio vectorial M2×2 entonces el conjunto {T1, T2, T3, T4} esuna base de L. �

Escuela Superior Politecnica del LitoralInstituto de Ciencias Matematicas

Tercera Evaluacion de ALGEBRA LINEAL

13 de Septiembre de 2012

Nombre: Paralelo: Firma:

1. (10 pts) Defina Espacio Vectorial sobre el campo K.

2. (10 puntos) Sea V = C[0, 1] y H = {f ∈ V | f 2(0) = f 2(1)}. Determine si H es un subespa-cio de V .

3. (10 puntos)Sea T : R3 → R3 la trasformacion lineal definida por:

T

x

y

z

=

x− 2y + z

y + z

x− y + 3z

Detemine si T y T 2 son isomorfismos.

4. (10 puntos) Construya de ser posible, una Transformacion Lineal de R2 en R2 que transforme

todo vector de R2 en un vector que pertenezca a la recta y = 2x.

5. (10 puntos) Sea V = C[0, 1] y f, g ∈ V . Demuestre que si el conjunto {f, g} es linealmentedependiente entonces:

W =

∣

∣

∣

∣

f(x) g(x)f ′(x) g′(x)

∣

∣

∣

∣

= 0

6. (10 puntos) Sean A y B matrices cuadradas. Demuestre que si A es semejante a B, entoncesB es semejante a A.

7. (10 puntos) Dada la matriz A =

1 10 12 2 2−1 −8 k

, determine los valores de k para que la

nulidad de A sea cero.

8. (10 puntos) Sean u, v1, v2, . . . , vn vectores pertenecientes al espacio euclidiano V . Demuestreque si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vn, entonces u es ortogonal a todo vector de gen{v1, v2, . . . , vn}

9. (10 puntos) Sean u =

250

y v =

3−11

dos vectores del espacio euclidiano R3. Exprese al

vector u como la suma de dos vectores p y q tal que p es paralelo a v y q es ortogonal a v.

10. (10 puntos) Grafique la curva descrita por la ecuacion x2 + 2xy + y2 − 4√2x− 2 = 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

SEGUNDA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL

Nombre: ………………………………. Paralelo: ……

Firma: ……………………….. 2 de septiembre de 2010

1. (20 ptos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique

su respuesta.

a. Sea :T V W una transformación lineal, Sea S un subespacio vectorial de V, entonces

( ) ( ),T S w W w T v v S es subespacio de W.

b. Existe un espacio vectorial V y existe un operador lineal :L V V tal que

Nu( ) Im( )L L

c. En 2P se define el producto interno

, 1 1 0 0 1 1p x q x p q p q p q , entonces 21 1x x

d. Si A y B son matrices semejantes, entonces tA y tB también lo son.

2. (20 ptos) Sea 3

2:T P tal que

( 1)

( ) (0)

(1)

p

T p x p

p

.

a. Determine el núcleo e imagen de T y sus respectivas bases.

b. Si T es invertible, calcule 1T

3. (25 ptos) Sea 2 3

V M , con el producto interno , Traza( )tA B AB .

Sea 0a b c

W V a b c d e fd e f

a. Determine el complemento ortogonal de W.

b. Sea 1 0 1

0 2 0C V , calcule la proyección ortogonal de C sobre W

Obs.-La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal.

4. (20 ptos) Sea L una transformación lineal de 2P en 2 2S tal que:

2 21 0 0 0 1 0

1 , 1 , 10 1 0 1 0 2

L x L x L x

a. Determine la regla de correspondencia de L.

b. Encuentre la matriz asociada a L en las bases:

2 2

1 1, 1, 1B x x x , 2

1 0 1 0 0 1, ,

0 1 0 1 1 0B

5. (15 ptos) Grafique el lugar geométrico correspondiente a 2 29 6 10x xy y

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

TERCERA EVALUACIÓN DE ÁLGEBRA LINEAL

Nombre: ………………………………. Paralelo: ……

Firma: ……………………….. 16 de septiembre de 2010

1. (20 ptos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique

su respuesta.

a. Existe una transformación lineal : nnT P tal que 0Nu 0 ,VT v , donde

0 0, 0V

nv v .

b. Si 1 1,..., nB v v es base de V y L una transformación lineal de V en W, entonces

2 1 ,..., nB L v L v genera a W.

c. Si A es una matriz invertible y es valor propio de A, entonces es diferente de cero.

d. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores y vectores propios.

2. ( 20 ptos) Sea f un producto interno real en el espacio vectorial 1P , tal que 21 ,

1x y 11 x,f .

a. Encuentre la regla de correspondencia de f

b. Sea 1 1 0/W p x P p un subespacio vectorial de 1P , encuentre una base y

determine la dimensión de W

c. Construya una base para 1P formada por un vector de W y por un vector de W

3. (20 ptos) Sea 2

1:L P una transformación lineal tal que la matriz 52

31A es la

representación matricial de L respecto de las bases 1

1 2,

1 1B de 2 y

2 1 , 1 3B x x de 1P .

a. Determine una base y la dimensión del núcleo y recorrido de L

b. ¿Es L invertible? Justifique su respuesta

4. (20 ptos) a. Encuentre una matriz 22xMA , tal que 11 y 32 sean sus

valores propios, y, además:

1

1Gen

1E

2

5Gen

1E

b. Sea 11 PP:L un operador lineal tal que A es su representación matricial respecto

de la base 1 1 , 1B x x de 1P . Encuentre, de ser posible, una base 2B de 1P

respecto de la cual la matriz asociada a L sea una matriz diagonal.

5. (20 ptos) Sea el espacio vectorial 4V . Sean los subespacios de V :

4 / 0 , 2 0

a

bH a b c a b c d

c

d

,

4 -1

1 0Gen ,

1 -1

3 2

W

Encuentre una base y determine la dimensión de los subespacios de V :

a. WH

b. WH

Ramiro J. Saltos


Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación

1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifiqueformalmente sus repuestas.

a) Una transformación lineal cuyo núcleo es VO , es invertible

Sea 32: RRT una transformación lineal definida por

ba

b

a

b

aT

Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es

0

0pero como la WV dimdim , T no es

invertible.

También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe sersobreyectiva

Falso

b) :, Rtr

)()(

)()(

trSentCos

tCostrSenA es ortogonal

Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismotiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1. Entonces, utilizando elproducto interno canónico:

00

0)()()()(

0)(

)(

)(

)(

tCostrSentCostrSen

trSen

tCos

tCos

trSen

01)(

1)(1)(

1)()(

1)(

)(

)(

)(

22

222

222

rtSen

tSentSenr

tCostSenr

tCos

trSen

tCos

trSen

20

0)(

0)(2

tt

tSen

tSen

1

1

012

2

r

r

r

Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Seigual procedimiento para la segunda columna

Falso

Ramiro J. Saltos

c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu , dos vectores ortonormales.Si los vectores vu y vu son ortogonales, entonces

0)/()/()/()/(

0)/()/()/()/(

0)/(

22

vvvuvuuu

vvuvvuuu

vuvu

Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: 1)/()/( vvuu

22

22

22

0

0)/()/( vvuu

Verdadero

d) Si es un valor propio de

10

01A , entonces AAA

21

Primero tenemos que darnos cuenta la matriz A es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el productointerno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma esuno, entonces:

AAAA T 11

También como A es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, esdecir:

1

1

Finalmente:

AA

AAA

AAA

22

2

211

1

AA

AA

AA

AAA

AAA

2

1

2

12

1)()2(

2

1)2(

2

2

11

1

11

1

Verdadero

Ramiro J. Saltos

2. (15 puntos) Sea 222: RML x una transformación lineal tal que:

1

1

01

01

10

01

01

10LLL y

0

0

00

01L

Determine:a) )Im(),( LLNub) La matriz asociada a L respecto a las bases canónicas de cada espacio

La mejor opción es encontrar la regla de correspondencia de L , y para ello necesitamos una base del espaciode partida y para armarla usamos los cuatro vectores que nos dan de datos, así:

00

01,

01

01,

10

01,

01

10B

Y al vector típico de 22xM lo escribimos como combinación lineal de los vectores de esta base, luegoplanteamos el sistema de ecuaciones y obtenemos los escalares en términos de dcba ,,,

00

01

01

01

10

01

01

104321

dc

ba

231

1432

dc

ba

2

31

1

432

d

c

b

a

bc

bc

3

3

dcba

bcda

4

4

Finalmente reemplazamos los datos en la combinación lineal inicial:

00

01

01

01

10

01

01

104321 TTTT

dc

baT

0

0)(

1

1)(

1

1)(

1

1)( dcbabcdb

dc

baT

dc

dc

dc

baT

Calculando el núcleo tenemos:

0

0

dc

dc

000

011

011

011

dc

dc

0

0/)( 22 dcM

dc

baLNu x

Ramiro J. Saltos

Y la imagen:

ydc

xdc

xy

x

y

x

00

11

11

11

yx

xy

0

yxR

y

xL /)Im( 2

Para obtener la matriz asociada a la base canónica, sabemos que:

10

00,

01

00,

00

10,

00

0122 xMCB

1

0,

0

12CR

B

0

0

00

01T

0

0

00

10T

1

1

01

00T

1

1

10

00T

2222

10

00

01

00

00

10

00

01

CRCRCRCRBBBB

TTTTA

1100

1100A

Ramiro J. Saltos

3. (15 puntos) Sea

a

a

a

A

11

11

11

Determine:a) Los valores propios de Ab) Una base para cada espacio propio de A

a

a

a

IA

11

11

11

02)(3)(

0)(11)(1)()(

0)(111)(11)()(

3

2

2

aa

aaaa

aaaa

Ahora realizamos un cambio de variable para visualizar mejor las cosas:

ax0233 xx

Aplicando división sintética:

0211

211

23011

0)1)(2)(1(

0)2)(1( 2

xxx

xxx

1

1

1

a

a

x

2

2

2

a

a

x

Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada en la matriz IA

1aE

000

000

111

111

111

111

cba

cba

0

1

0

1

0

1

1

cb

c

b

cb

c

b

a

1

0

1

,

0

1

1

EB

2aE

101

110

000

211

110

000

211

330

330

211

121

112

cb

cb

0

ca

ca

0

1

1

1

c

c

c

c

c

b

a

1

1

1

EB

Ramiro J. Saltos

4. (5 puntos) Determine si la matriz

101

110

101

A es diagonalizable

101

110

101

IA

Calculamos la ecuación característica:

01)1()1(

0)1()1()1(2

2

1

0)1(

0)2)((

0)11)(11(

01)1( 2

0

2

02

Debemos recordar el corolario que dice: “Si nxnMA tiene n valores propios distintos, entonces A esdiagonalizable”

Como tenemos tres valores propios distintos, entonces A es diagonalizable

Ramiro J. Saltos

5. (15 puntos) Sea 3RV y

0623/3 zyxR

z

y

x

W un subespacio de V

Determine:a) El complemento ortogonal de W

b) La proyección de v sobre W si se conoce que

4

1

3

v

Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W

zxy

zyx

632

0623

2

6

0

0

3

2

2

63

2

2

2

2

zx

z

zx

x

z

y

x

z

y

x

1

3

0

,

0

3

2

WB

Sea

W

c

b

a

ba

ba

c

b

a

32

032

0

0

3

2

bc

cb

c

b

a

3

03

0

1

3

0

0332/3 bcbaR

c

b

a

W

Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W debido a que la base de estesubespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.

6

2

3

6

2

3

2

2

2

b

b

b

b

c

b

a

c

b

a

6

2

3

WB

Ramiro J. Saltos

Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:

11

1

1v

vu

749

3649

6

2

3

6

2

3

/

1

1

1

111

v

v

v

vvv

6

2

3

7

1*WB

Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores Wh y Wp , hallaremos p yluego contestaremos la pregunta al encontrar pvh

11

Pr

uuvp

voypW

6

2

3

49

13

6

2

3

242949

1

6

2

3

6

2

3

4

1

3

49

1

p

p

p

49248

4975

49186

4952

4926

4939

4

1

3

h

h

49248

4975

49186

Pr voyW


Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación

Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifiqueformalmente su respuesta

a) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por medio de un intercambio de filas, entonces)()( BA (Verdadero)

Por definición, la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B si A puede reducirse a B medianteoperaciones elementales de renglón

En este caso la matriz B se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones) de A , entoncesBA RR dado que los renglones de A y B son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente

También hay que recordar que )dim()dim()())dim(Im( AA RCAA

)()( BA

b) Si 53xMA es una matriz cualquiera, entonces 3)( Av (Falso)

Sea 53

00100

00010

11001

xMA

. Sea )(ANu

e

d

c

b

a

X

0

0

0

00100

00010

11001

3

e

d

c

b

a

OAXR

000100

000010

011001

De donde obtenemos:

eda

eda

0

0b 0c

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

ed

e

d

ed

e

d

c

b

a

1

0

0

0

1

,

0

1

0

0

1

)( ANuB 2)( Av

c) Sea V un espacio vectorial. Sea VBA , , entonces )()()( BgenAgenBAgen (Falso)

Sea 3RV . Sea

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

A y VB

2

0

0

,

0

1

0

0

1

0

BA

0/)( 3 caR

c

b

a

BAgen

RcbaR

c

b

a

Agen ,,/)( 3 y

0/)( 3 aR

c

b

a

Bgen

RcbaR

c

b

a

BgenAgen ,0/)()( 3 )()()( BgenAgenBAgen

d) Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si Ww y R , entonces Ww (Falso)

Sea 2RV . Sea

0/2 aR

b

aW un subespacio de V . Sea 0

Sea

0

1w , este vector no pertenece a W por no cumplir la condición de que 0a

0

0

0

10w

Por hipótesis sabemos que W es un subespacio y por tanto contiene al nulo de V y VOw

Ww

e) Si RRL : es una transformación lineal, entonces )()( 22 vLvL (Falso)

Sea aaL 2)( una transformación linealSea 2a

816

)4(4

)2()2(2

22

L

LL

)()( 22 vLvL

Tema 2: (10 puntos) Sea

00/ yx

y

xV con las operaciones:

21

21

2

2

1

1

4

9

yy

xx

y

x

y

x

y

x

y

x2

2

2

3

Si ,,V es un espacio vectorial, determine:a) El neutro o cero vectorial de Vb) Si Vv , el inverso aditivo de v

Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender queprimero hay que determinar si V es un espacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicioplanteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal.

a) Usando el teorema Vv VOv 0

1

1

2

3

0

0)0(2

0)0(2

V

V

V

O

y

xO

y

xO

Usando el axioma VOV Vv vOv V

Sea Vb

av

. Sea

y

xOV

b

a

by

ax

b

a

y

x

b

a

4

9 91

9

x

aax

41

4

y

bby

41

91

VO

El nulo pertenece a V porque sus componentes son mayores que 0Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe almal planteamiento del problema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta

b) Usando el teorema Vv '1 vv

y

xv

y

xv

y

xv

419

1'

2

3'

1'

1)1(2

1)1(2

Usando el axioma Vv Vv ' VOvv '

La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axiomaporque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro

Sea Vy

xv

. Sea

b

av'

41

91

4

9

41

91

yb

xa

b

a

y

x

xa

xa

811

919

yb

yb

161

414

y

xv16

181

1'

Ambos inversos pertenecen a V por ser sus componentes mayores que 0Con el mismo argumento mencionado al calcular el VO sabemos que nos debió quedar la misma respuesta.

También se puede notar que V no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma:

M10) Vv vv 1

Sea Vy

xv

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

4

9

2

3

1

1)1(2

1)1(2

Tema 3: (20 puntos) Sea 23xMV . Sean 1W el conjunto de las matrices que tienen la primera yúltima fila iguales; 2W el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a susegunda columna; y 3W el conjunto de las matrices 23xA tal que 12 iai , .3,2,1i

Determine.a) Los conjuntos que son subespacios de Vb) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anteriorc) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literald) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b)

y (c), respectivamente.

Para hallar 1W hay que tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentesen dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:

fbeaM

fe

dc

ba

W x /231

Ahora procedemos a determinar si 1W es un subespacio de V

1) 1, Wwv 1Wwv

Sea

11

11

11

fe

dc

ba

v y 1

22

22

22

W

fe

dc

ba

w

Como ambos vectores pertenecen a 1W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:11 ea 11 fb 22 ea 22 fb

2121

2121

2121

ffee

ddcc

bbaa

wv

Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple la condición

002121

2121

eeee

eeaa

002121

2121

ffff

ffbb

Por tanto 1Wwv

2) R 1Wv 1Wv

Sean R . Sea 1W

fe

dc

ba

v

Sabemos que ea y fb entonces 0 ea y 0 fb

fe

dc

ba

v

00

0)0(

0)(

0

ea

ea

00

0)0(

0)(

0

fb

fb

Por tanto 1Wv

1W es un subespacio de V

El mismo procedimiento vamos a realizar con 2W pero aquí hay que notar que ambas columnas soniguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nosqueda que:

fedcbaM

fe

dc

ba

W x /232

Ahora procedemos a determinar si 2W es un subespacio de V

1) 2, Wwv 2Wwv

Sea

11

11

11

fe

dc

ba

v y 2

22

22

22

W

fe

dc

ba

w

Como ambos vectores pertenecen a 2W cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:

011

11

ba

ba

011

11

dc

dc

011

11

fe

fe

022

22

ba

ba

022

22

dc

dc

022

22

fe

fe

2121

2121

2121

ffee

ddcc

bbaa

wv

00

000

0)()(

0)()(

2211

2121

baba

bbaa

00

000

0)()(

0)()(

2211

2121

dcdc

ddcc

00

000

0)()(

0)()(

2211

2121

fefe

ffee

Por tanto 2Wwv

2) R 2Wv 2Wv

Sean R . Sea 2W

fe

dc

ba

v

fe

dc

ba

v

00

0)0(

0)(

0

ba

ba

00

0)0(

0)(

0

dc

dc

00

0)0(

0)(

0

fe

fe

Por tanto 2Wv

2W es un subespacio de V

Finalmente nos falta encontrar 3W y determinar si este es un subespacio, y para ello hay que utilizar laregla de correspondencia para determinar el valor de las componentes en la segunda columna, la cual es

12 iai

0

11

12

12

a

a

1

12

22

22

a

a

2

13

32

32

a

a

RcbaM

c

b

a

W x ,,/

2

1

0

233

Para determinar si 3W es un subespacio hay que recordar que todo subespacio debe contener a vector nulo

del espacio vectorial, pero en este caso el nulo que es

00

00

00

no pertenece a 3W por no cumplir con la

forma de todo vector de 3W , la cual consiste en que su segunda columna siempre tendrá 0 , 1 y 2 ,respectivamente

3W no es un subespacio de V

Procederemos a encontrar la intersección entre los subespacios hallados y una base para la misma. Sabemosque:

00/231 fbeaM

fe

dc

ba

W x

000/232 fedcbaM

fe

dc

ba

W x

Por tanto:

0/2321 fedcbafbeaM

fe

dc

ba

WW x

Pero no es correcto dejar expresada la intersección en función de muchas condiciones. A estas hay quesimplificarlas usando Gauss, así:

0

0

0

0

0

fe

dc

ba

fb

ea

)1(

0110000

0001100

0010010

0100010

0010001

)1(

0110000

0001100

0000011

0100010

0010001

2313 AA

0000000

0001100

0110000

0100010

0010001

)1(

0110000

0001100

0110000

0100010

0010001

35A

Como ya no podemos seguir obteniendo más filas llenas de ceros, entonces la intersección sólo quedará enfunción de estas condiciones:

0/2321 dcfefbeaM

fe

dc

ba

WW x

Para obtener una base para la intersección debemos reemplazar las condiciones en el vector típico de lamisma, pero antes hay que hacer unos cuantos despejes para dejar al vector en función de la menorcantidad posible de variables

ea

ea

0

ef

fe

0

eb

fb

fb

0

dc

dc

0

Sea 21 WW

fe

dc

ba

00

11

00

11

00

11

de

ee

dd

ee

fe

dc

ba

00

11

00

,

11

00

11

21 WWB 2dim 21 WW

Finalmente hallaremos las condiciones del subespacio suma y una base para el mismo, pero antesnecesitamos las bases de los subespacios 1W y 2W

Para 1W

Sea 1W

fe

dc

ba

00

10

00

00

01

00

10

00

10

01

00

01

dcba

ba

dc

ba

fe

dc

ba

00

10

00

,

00

01

00

,

10

00

10

,

01

00

01

1WB 4dim 1 W

Para 2W

Sea 2W

fe

dc

ba

11

00

00

00

11

00

00

00

11

eca

ee

cc

aa

fe

dc

ba

11

00

00

,

00

11

00

,

00

00

11

2WB 3dim 2 W

Una vez obtenidas las bases, podemos calcular cuál va a ser la dimensión de 21 WW para saber cuántosvectores deberán estar en su base. Sabemos que:

5dim

234dim

dimdimdimdim

21

21

212121

WW

WW

WWWWWW

Por tanto habrá 5 vectores en la base

11

00

00

,

00

11

00

,

00

00

11

,

00

10

00

,

00

01

00

,

10

00

10

,

01

00

01

21

21 21

genWW

BBgenWW WW

Pero el conjunto generador tiene 7 vectores, eso significa que hay dos vectores de más, los cualeseliminaremos colocando los vectores de este conjunto en una matriz donde cada fila representa un vector yluego simplificamos hasta obtener la mayor cantidad posible de filas llenas de ceros

110000

000000

000000

001000

000100

100010

010001

)1(

)1(

110000

000000

010010

001000

000100

100010

010001

)1(

)1(

)1(

110000

001100

000011

001000

000100

100010

010001

75

25

46

36

15

A

A

A

A

A

Lo que significa que los vectores 5 y 6 dependen de los otros

11

00

00

,

00

10

00

,

00

01

00

,

10

00

10

,

01

00

01

21 WWB

Ahora sólo falta hallar las condiciones del subespacio suma y para ello escribimos al vector típico comocombinación lineal de los vectores de la base y simplificamos el sistema hasta obtener las condiciones, así:

Sea 21 WW

fe

dc

ba

5251

43

21

54321

11

00

00

00

10

00

00

01

00

10

00

10

01

00

01

fe

dc

ba

eabf

ae

d

c

b

a

A

bf

ae

d

c

b

a

A

A

f

e

d

c

b

a

00000

10000

01000

00100

00010

00001

)1(

10000

10000

01000

00100

00010

00001

)1(

)1(

10010

10001

01000

00100

00010

00001

5626

15

0/2321 eabfM

fe

dc

ba

WW x

Tema 4: (10 puntos) Sea V un espacio vectorial y 321 ,, vvvB una base de V . Se define elconjunto:

3132121 3,3,2 vvvvvvvgenW

a) Determine una base para W , denotada como WB

b) Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de B a WB

Siempre es recomendable primero leer bien el planteamiento del problema junto con lo que solicitan hallar.Razonando un poco, en el literal “b” nos piden calcular una matriz de cambio de base y para poder hacerlola base WB debe tener exactamente 3 vectores al igual que la base B de V

Si esto sucede significaría que la base de W es también una base para V , por tanto VW . Así que paraque sea factible resolver el literal “b” habrá que demostrar que el conjunto generador de W es una basepara V

Para ello partimos de la hipótesis que nos dice que los vectores 321 ,, vvv son linealmente independientespor ser una base para V , esto implicaría que:

0321332211 VOvvv

Lo cual se cumple por ser linealmente independientes

Para demostrar que los vectores del conjunto generador de W son linealmente independientes losescribimos como combinación lineal y los igualamos al VO

V

V

Ovccvccvccc

Ovvcvvvcvvc

3322211321

3133212211

332

332

Con lo que hemos obtenido una ecuación parecida a la primera expresada en términos de 321 ,, vvv , y porhipótesis los escalares que los multiplican deben ser iguales a cero, con lo que planteamos un sistema deecuaciones y procedemos a calcular los valores de los escales ic

03

032

0

32

21

321

cc

cc

ccc

)1(

)1(

0310

01010

0111

)4(

0310

0250

0111

)2(

0310

0032

0111

22

213212 A

AAA

0100

0010

0001

)10(

)11(

0100

01010

01101

13

1

01300

01010

01101

32

313 A

AM 0321 ccc

Si nos hubiese quedado al resolver el sistema una o más filas con ceros, el sistema tenía infinita solucionesy en ese caso los vectores del conjunto generador de W serían linealmente dependientes

3132121 3;3;2 vvvvvvvBW

Para hallar la matriz que nos piden vamos a suponer que 321 ,, uuuBW tal que:211 2vvu 3212 3 vvvu 313 3vvu

También recordamos que:

BBBBB uuuC

W 221

0

2

1

1 Bu

1

3

1

2 Bu

3

0

1

3 Bu

310

032

111

BBWC

Y para hallar la matriz de cambio que nos piden habrá que sacar la inversa de la matriz arriba encontrada

)1(

)1(

100310

4121010

001111

)4(

100310

012250

001111

)2(

100310

010032

001111

23

213212 A

AAA

13

5

13

1

13

2100

13

2

13

3

13

6010

13

3

13

2

13

9001

)10(

)11(

13

5

13

1

13

2100

4121010

4111101

13

1

5121300

4121010

4111101

32

313 A

AM

135

131

132

132

133

136

133

132

139

WBBC

Tema 5: (10 puntos) Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:

czyx

bzyx

azyx

32

2

2

a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A

b) Si bac 2 , determine si el vector

c

b

a

u pertenece a )Im(A

La matriz A está dada por los coeficientes del sistema de ecuaciones, estos coeficientes corresponden anúmero que se encuentra delante de cada variable x , y y z , por tanto:

321

211

112

A

a)

3

2

1

,

2

1

1

,

1

1

2

genFA

Sea AF

c

b

a

321

321

321

321

32

2

2

3

2

1

2

1

1

1

1

2

c

b

a

c

b

a

321

321

321

32

2

2

c

cb

cba

A

c

cb

ca

A

A

c

b

a

321

110

35000

)5(

321

110

2550

)1(

)2(

321

211

112

2132

31

035/3 cbaR

c

b

a

FA

3/)( 3

ROAXRXANu

Sea )(ANu

c

b

a

X

0321

0530

0000

)1(

0321

0530

0530

)1(

)2(

0321

0211

0112

2132

31 AA

A

053 cb 032 cba

cbcbaR

c

b

a

ANu 53032/)( 3

33 ;/)Re( RXYAXRYA

Sea )Re(A

c

b

a

Y

c

cb

cba

A

c

cb

ca

A

A

c

b

a

321

530

000

)1(

321

530

2530

)1(

)2(

321

211

112

2132

31

0 cba

0/)Re( 3 cbaR

c

b

a

A

b)Para que el vector u pertenezca a la imagen de A debe cumplir con la condición de la misma, cabe recalcarque la imagen de una matriz es también conocida como el recorrido de una matriz

Sea

c

b

a

u , donde bac 2

02

02

0)2(

0

ba

baba

baba

cba

Pero hay que tener en cuenta que ba 2 no necesariamente tiene que ser igual a 0

)Im(Au

Escuela Superior Politécnica del Litoral


Solución y Rúbrica de la Tercera Evaluación de Algebra Lineal

Nombre:…………………………………………………………………………………….. Paralelo:………………

Firma:………………………………………………………………………………………… Septiembre 15,2011

1.- (20 puntos) Defina:

Núcleo de una transformación lineal.- Sea T: V W una transformación lineal. El núcleo de T esel conjunto de todos los vectores de V que mediante T se transforman en el neutro aditivo de W.

Recorrido de una matrizAmxn.- Es el conjunto de todos los vectores Y de Rm, para los que existe unvector X de Rn tal que AX = Y.

Conjunto ortonormal de vectores.- Es un conjunto {v1,v2,v3,…vn} de vectores de un espaciovectorial con producto interno tal que (vi,vj)= 0 si ij , y es igual a 1 si i=j.

Conjunto generador de un Espacio Vectorial.- Es un conjunto {v1,v2,v3,…vn} de vectores de V talque todo vector de V puede escribirse como combinación lineal de los vectores del conjunto.

2.- (20 puntos) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y + z = 2

2x + 3y + 3z = 5

2x + 3y + (k2-1)z= k+3

Desempeño

Insuficiente Regular Excelente

No escribe definicionescoherentes , o deja elespacio vacío

Presente una idea relacionada con elconcepto pera falta precisión o añadeelementos adicionales incorrectos.

Presenta en forma explícita todoslos elementos claves de losconceptos.

0-1 2-4 5

Determine los valores de k para que el sistema lineal resultante tenga:

a) Solución únicab) Infinitas solucionesc) Ninguna solución

Representamos el sistema haciendo uso de la matriz aumentada:

3132

5332

2111

2 kk

Empleando operaciones elementales con renglones, nos queda:

2400

1110

1001

2 kk

Si 2k , el sistema tiene infinitas soluciones: 1x , 1 zy

Si 2k , no hay solución para el sistema y la matriz aumentada se ve de la siguiente manera:

4000

1110

1001

Si k toma cualquier valor que no sea ni 2 ni 2 , la única solución del sistema es:

1x ,2

1

k

ky ,

2

1

kz

CRITERIO PUNTAJEPlantea la matriz aumentada correctamente hasta 3Realiza adecuadamente las operacioneselementales con renglones

hasta 4

Concluye, justificando, que con 2k el sistematiene infinitas soluciones

hasta 4

Concluye, justificando, que con 2k el sistemaes inconsistente

hasta 4

Concluye, justificando, que si 2k y 2k ,el sistema tiene solución única y encuentra dichasolución única

hasta 5

3.- (20 puntos) Sea T:VW una transformación lineal. Si dim V= 3 y dim W = n,demuestre que:

a) Si n= 3, T es inyectiva si y solo si T es sobreyectiva.

b) Si n > 3, T no es sobreyectiva

c) Si T es inyectiva, n ≥ 3

PRUEBA:

a) = 3i) PD: Si T es inyectiva, entonces T es sobreyectiva.

Si T es inyectiva, entonces = 0.Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 3 (ya que = 0)→ = dim→

ii) PD: Si T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.Si T es sobreyectiva, entonces = → = dim = 3Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 0 (ya que = 3)→

Desempeño

Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente

No realiza procesoscoherentes , deja elespacio vacío o solointenta adivinar

Demuestra la bicondicionalen una sola dirección.

Demuestra la bicondicionalen una sola dirección eintenta demostrarla en laotra dirección

Demostracióncompleta ycorrecta

0 1-4 5-7 8

b) Para este caso se puede demostrar la contrarrecíproca de la proposición dada:PD: Si T es sobreyectiva, entonces ≤ 3.

Si T es sobreyectiva, entonces = .→ = dim =Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ + = 3→ = 3 −Por otro lado, tenemos que: ( ) ≥ 0→ − ≤ 0→ 3 − ≤ 3→ ≤ 3

c) PD: Si T es inyectiva, n ≥ 3Si T es inyectiva, entonces = 0Por el teorema de la dimensión, tenemos: + = = 3→ = 3

Por otro lado, ya que Im (T) es un subespacio vectorial de W, se tiene que:( ) ≤ dim→ 3 ≤→ ≥ 3

Desempeño



Determina lacontrarrecíproca de laproposición y utiliza elteorema de la dimensiónpero no logra planteardesigualdad alguna quesirva para la demostración

Determina lacontrarrecíproca de laproposición, utiliza elteorema de la dimensión yplantea una desigualdadque sirve para lademostración pero nodetermina la conclusión.

Demostracionescompletas ycorrectas

0 1-3 4-5 6

4.- (20 puntos) En el espacio P2, se define el producto escalar:

< p, q > = p (−1) q (−1) + p (0) q (0) + p (1) q (1).

a) Obtenga el complemento ortogonal de W = gen {1}.c) Determine los polinomios p(x) tales que proyW p(x) = ½.d) Determine los polinomios de P1 que formen un ángulo de 60 grados con x2.b) Encuentre la proyección ortogonal de x2− 1 sobre S = gen { 1, x }

SOLUCION:

a) : = + + ∕ ⟨ + + , ⟩ = 0;∀ ( ) ∈ Ya que W = gen {1}, entonces una base de W es B = {1}. Con esto:= + + ∕ ⟨ + + ,1⟩ = 0→ − + 1 + 1 + + + 1 = 0→ 2 + 3 = 0→ = + + /2 + 3 = 0, ∈

Desempeño



Determina que =0, utiliza el teorema de ladimensión pero no logradeterminar el rango de T.

Determina que =0, utiliza el teorema de ladimensión y determina elrango de T; pero no planteauna desigualdad que sirvapara la demostración.

Demostracionescompletas ycorrectas

0 1-3 4-5 6

Desempeño

b) Definamos : = = + + / = 1/2Para esto, necesitamos una base ortonormal de W.A partir de la base B = {1}, tenemos:‖1‖ = ⟨1,1⟩ = 1 1 + 1 1 + 1 (1) = √3Con lo que una base ortonormal de W es = √Entonces, ( ) = ⟨ , ⟩ , donde = √→ ⟨ + + , 1√3⟩ 1√3 = 1/2→ − + 1√3 + 1√3 + + + 1√3 1√3 = 1/2→ 23 + = 1/2→ = + + /23 + = 12 , ∈



Indica que B = {1} es unabase de W y solo define elcomplemento ortogonalde W

Indica que B = {1} es unabase de W y determina elcomplemento ortogonalde W pero cometeerrores de cálculo o nodetermina correctamentelas condiciones.

Cálculos ycondicionescorrectas.

0 1-2 3-4 5

Desempeño

c) Definamos : = = + / 60 60 = ⟨ + , ⟩‖ + ‖‖ ‖12 = − + 1 + 0 + + 1⟨ + , + ⟩ ⟨ , ⟩12 = 2− + − + + + + + 1 1 + 0 0 + 1 112 = 2√ − 2 + + + + 2 + √212 = 2√2 + 3 √24 + 6 = 44 + 6 = 162 − 5 = 0→ = + /2 − 5 = 0



Determina la baseortonormal de W y soloplantea la formula que lepermitiría determinar laproyección.

Determina la baseortonormal de W y calculala proyección pero cometeerrores de cálculo o nodetermina correctamentelas condiciones.


0 1-2 3-4 5

Desempeño

d) Para este caso primero debemos determinar una base ortonormal de S.Siendo = 1, una base de S; con esto determinamos una base ortonormal= , por el proceso de Gram – Schmidt.‖1‖ = ⟨1,1⟩ = 1 1 + 1 1 + 1 (1) = √3→ = 1√3∗ = − ⟨ , ⟩

∗ = − ⟨ , 1√3⟩ 1√3∗ = − − 1 1√3 + 0 1√3 + 1 1√3 1√3∗ =‖ ‖ = ⟨ , ⟩ = − 1 − 1 + 0 0 + 1 (1) = √2

→ = 1√2De ahí que, la base ortonormal de S es = √ , √Luego, la proyección es: = ⟨ − 1, ⟩ + ⟨ − 1, ⟩

= ⟨ − 1, 1√3⟩ 1√3 + ⟨ − 1, 1√2 ⟩ 1√2


No realizaprocesoscoherentes , dejael espacio vacío osolo intentaadivinar

Solo planteacorrectamente laformula que lepermitiría determinarel ángulo entre loavectores

Plantea correctamente la formulaque le permitiría determinar elángulo entre loa vectores, realizalos cálculos pero comete erroresen los mismos o no determinacorrectamente las condiciones.


0 1-2 3-4 5

= 0 1√3 + − 1 1√3 + 0 1√3 1√3+ 0 − 1√2 + − 1 0 + 0 1√2 1√2= − 13Desempeño



Plantea el hecho de que esnecesario determina unabase ortonormal de S y alcalcularla comete errores.

Determina correctamenteuna base ortonormal de Spero comete errores alcalcular la proyección.

Cálculoscorrectos.

0 1-2 3-4 5

5.-(20 puntos) Sea T: P2P2 la transformación lineal definida por:

T(ax2+bx+c)=2ax2+(3a+2b+c)x+(4a+b+2c)

De serposible,determineuna base de P2 respecto de la cual la matriz que representa a Tsea una matriz diagonal.

La representación matricial de T con respecto a la base 21 x,x,B es:

200

321

412

A

El polinomio característico de la matriz A , es: 312 p

Los valores propios de A , son: 321 ,,

Entonces, la matriz A es diagonalizable; ya que es una matriz cuadrada de tamaño 3 con 3 valorespropios distintos. Por tanto, la transformación lineal T es diagonalizable.

Con 11 , se obtiene:

0

1

1

1 genE

De aquí se obtiene que: xv 11


1

4

3

2 genE

De aquí se obtiene que: 22 43 xxv


0

1

1

3 genE

De aquí se obtiene que: xv 13

Finalmente, la matriz asociada a T con respecto a la base x,xx,x*B 1431 2 es

la matriz diagonal:

300

020

001

D

CRITERIO PUNTAJEEncuentra correctamente la matriz asociada a Tcon respecto a la base canónica de 2P hasta 2

Calcula correctamente los valores propios de larepresentación matricial de T

hasta 4

Determina con argumentos que T esdiagonalizable

hasta 2

Encuentra los 3 vectores de la base *B solicitada(hasta 4 puntos por cada vector)

hasta 12

Solución y Rúbrica 2da Evaluación de Algebra Lineal

1.- Corrija o confirme las siguientes definiciones:

Definición Propuesta Criterio del EstudianteOperador Diagonalizable.- Sea T:VV unoperador lineal. Se dice que T es diagonalizable siy solo si existe una base B de V tal que larepresentación matricial de T respecto a B es unamatriz diagonal.

Esta Correcta

Producto interno real en V.- Es una función de f:VxV R tal que:1) v V , f(v,v)≥02) v1,v2 V , f(v1,v2)=f(v2,v1)3) α R, v1,v2 V, f(αv1,v2)=αf(v1,v2)4) v1,v2,v3 V, f(v1,v2+v3)=f(v1,v2)+f(v1,v3)

Falta en la condición 1 que el product internode un vector consigo mismo es cero solocuando el vector es el neutron aditivo de V.

Valor propio de un operador T:VV.- Si K esun escalar para el que existe un vV tal queT(v)= v, entonces es un valor propio de T.

Falta especificar que el vector v tiene que serdiferente del neutro aditivo de V.

Espacios Isomorfos.- Dos espacios V y W sonisomorfos si y solo si toda función de V en W esun isomorfismo.

En vez del cuantificador universal debe decirque es posible construir un isomorfismo de Ven W.

Para cada defición:

Desempeño

Insuficiente Regular Excelente

Califica o corrigeincorrectamente

Añade condiciones innecesarias oescribe algo erroneo.

Hace las puntualizaciones ycorrecciones correctas.

0 1-2 3

2.- Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente sucalificación.

a) Sea : → una transformación lineal. Si = 0 es un valor propio de , entonces esinversible.

Solución:

Sea A la matriz asociada a la transformación lineal T. La ecuación característica es:det − = 0Como el valor propio de T es igual a cero, entonces det A es igual a cero, por lo tanto A no esinversible y esto implica también que T no lo es. La proposición es FALSA. También podemosconcluir que la nulidad de A (y de T) no es cero por lo que T no es inyectiva , no es biyectiva y porlo tanto no es inversible.

b) Si A M2x2 entonces el polinomio característico de A es:

p() =2- (traza de A) + det(A)

Solución:

Sea A una matriz de M2x2 : =Luego, el polinomio característico es: = − − − Realizando las operaciones indicadas: = − + + − . Finalmente:= − + detPor lo tanto la proposición es VERDADERA.

Desempeño


No realiza procesoscoherentes , solocalifica o deja elespacio vacío

Asocia el hecho de que unatransformación lineal tieneasociada una matriz, pero noplantea la ecuacióncaracterística.

Plantea la ecuacióncaracterística, utiliza elvalor de = 0 , peroconcluye equivocadamente.

Califica y pruebacorrectamente.

0 1-3 4-6 7

c) Sea V un espacio vectorial con producto interno (,). Si para todo v V se tiene que(v,u)=0 entonces u es el vector neutro aditivo de V.

Solución: Como vale para todo v en V también vale para u , por lo que (u,u)= 0 y pordefinición de producto interno esto implica que u es el neutro aditivo de V.

Por lo tanto, la proposición es VERDADERA.

d) Es posible construir un operador lineal T: P2 P2 tal que:

T(x+1)=x T(x2-1)= 2x y (T ° T)(x2+x)=0

Solución: Se escribe el vector: + 1 + − 1 = + .

Desempeño


No realiza procesoscoherentes , solo calificao deja el espacio vacío

Plantea una matrizcuadrada de 2x2 yescribe el polinomiocaracterísticocorrespondiente.

Realiza las operacionesnecesarias pero nocompara o concluyeequivocadamente


0 1-3 4-6 7

Desempeño



Asocia el hecho deque u pertenece alcomplementoortogonal de V.

Analiza la propiedad deque u deba serortogonal a todos losvectores de V


0 1-3 4-6 7

Aplicando la transformación lineal T, queda:+ 1 + − 1 = ++ = + 2 = 3 .+ = 3 = Se observa que los vectores: x+1, x2-1 y 3x forman una base de P2, por ello:+ + = + 1 + − 1 + 3 + + = + + 3 + −De donde obtenemos:

= ; = + ; = − −3Por ello, aplicando la transformación lineal T:+ + = + + 1 + − 1+ + = 3 +También a partir de los datos se puede determinar que T(x)=0, T(1)=x y T(x2)=3x yobtener la regla de correspondecia.

Tema 3

Desempeño



Escribe el vector x2+xcomo combinaciónlineal de los vectoresx+1 y x2-1. Y aplica latransformación linealal resultadoobteniendo T(x2+x).

Observa que se haobtenido una base paraP2 y trata de escribir lacombinación lineal delvector típico sinresolver el sistema deecuacionescorrespondiente.


0 1-3 4-6 7

Sea A una matriz simétrica de nxn con componentes reales. Si es un valor propio de A,entonces es un número real.

Demostración

Premisas:

Sea A una matriz simétrica

Sea un valor propio de A

Sea X un vector propio de A asociado al valor propio

Supóngase que a bi

Se debe demostrar que b=0

AX X

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

( )( ) 0

T

T

AX X X X

AX X X X

X AX X X

X AX X X

X X X X

X X

Pero ( ) 0X X por ser X vector propio, entonces

0

( ) ( ) 0

0

2 0

0

es un número real

a bi a bi

a bi a bi

bi

b

También puede emplearse otra demostración equivalente.

Rúbrica:

Desempeño


No realizaprocesoscoherentes odeja el espaciovacío.

Utiliza como premisas ladefinición de vectorpropio y la aplicación delproducto interno, y nocontinua con lademostración. Tambiénpuede intentarlo conotros métodos válidos,pero sin concluir

Además de lo anterior, seapoya en las propiedadesde una matriz simétrica ylas correspondientes alproducto interno sobre elvector propio, pero noconcluye respecto a lacomponente imaginariadel valor propio.

Demuestracorrectamentebasándose endefinición ypropiedades devectores propios,matriz simétrica yproducto interno uotras pertinentes

0 1 - 5 6 - 9 10

TEMA 4

Sea : → un operador lineal definido por una matriz ortogonal Q tal que = .Considerando el producto interno estándar de pruebe que:

a.- ∀ ∈ , ‖ ( )‖ = ‖ ‖b.- ∀ , ∈ , , = 0 ⇒ ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ = ‖ + ( )‖Prueba:

a.- ∀ ∈ , ‖ ( )‖ = ‖ ‖Ya que ( ) ∈ , tenemos:‖ ( )‖ = , ( )= ,=== √ ; ya que Q es Ortogonal ( = )

= √= ,= ‖ ‖b.- ∀ , ∈ , , = 0 ⇒ ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ = ‖ + ( )‖‖ + ( )‖ = + , + ( )= , + 2 , + ,= ‖ ( )‖ + 2 , + ‖ ( )‖Por otro lado:, = , = = = = = , = 0Por lo tanto:‖ + ( )‖ = ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖a.-

Desempeño


No realiza procesoscoherentes, deja elespacio vacío o solo

intenta realizar lademostración.

Determina la normade ( ) pero no

aplica la isometríacorrespondiente.

Determina la norma de( ) y aplica laisometría

correspondiente perocomete algún error o

no usa la definición dematriz ortogonal.

Demostracióncorrecta.

0 1 2 - 3 4

b.-

Desempeño


No realiza procesoscoherentes, deja elespacio vacío o solo

intenta realizar lademostración

Determina la normaal cuadrado

de + ( )pero no aplica la

isometríacorrespondiente.

Determina la norma alcuadrado de +( ) y aplica la

isometríacorrespondiente perocomete algún error o

no usa la definición dematriz ortogonal.

Demostracióncorrecta

0 - 1 2 - 3 4 - 5 6

Tema 5

Se desea bosquejar el gráfico del conjunto solución de la siguiente ecuación de segundo orden4 − 12 + 9 − 8√13 − 14√13 + 117 = 0a) Determine la forma cuadrática correspondiente:, = 4 − 12 + 9b) La matriz asociada a la forma cuadrática con respecto a la base canónica está dada por:= 4 − 6− 6 9

El polinomio característico de está dado por:= det −= − 13Por lo tanto los valores propios de son:λ = 0 ∨ λ = 13

A partir de aquí se tiene los espacios asociados a cada uno de los valores propios.= , : = 3 /2= , : = − 2 /3Los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios.= 3,2= − 2,3La matriz que diagonaliza ortogonalmente a está dada por:

= 1√13 3 − 22 3√ 3 − 22 3 = ( ) − ( )( ) ( ) , por lo tanto se tiene que:

= √ y = √ , obteniendo que = 0,588Dado que:

= 1√13 3 − 22 3 `Entonces: = √ 3 ` − 2 ` ; = √ 2 ` + 3 `reemplazando las relaciones dadas se tiene la ecuación transformada a los nuevos ejes.` − 4 ` − 2 + 9 = 0` − 1 = 4 ` − 2La misma que representa gráficamente a una parábola.

Rúbrica:

Desempeño


No realiza procesoscoherentes o deja elespacio vacío.

Determina la formacuadráticacorrespondiente ydiagonalizaortogonalmente lamatriz asociada a laforma cuadrática.

Además de loanterior, determina lamedida del ángulo derotación así comotransforma laecuación dada a losnuevos ejes

Además de todo loanterior, identifica lacónica y lo graficapertinentemente.

0 1 - 4 5 -7 8-10

20 10 0 10 20

20

10

0

10

20

X’(+)

Y’(+)

X(+)

Y(+)

RUBRICA EXAMEN FINAL ALGEBRA LINEAL FEBRERO 2012

Desempeño


Calificaincorrectamente odeja el espacio vacío.

Identifica que ladefinición es incorrectapero se equivoca alidentificar el error

La corrección mejorala definición pero noes completa

Indica la corrección demanera correcta.

0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño


Calificaincorrectamente odeja el espacio vacío

Resuelve la definiciónpara matrizdiagonalizable

Falta precisión alcorregir.

Indica las correccionesde manera correcta.

0 1 - 4 5 - 8 9-10

Tema 2 (10 puntos)

Sean y dos espacios vectoriales de dimensión finita tal que , , … , , , , … ,es una base de . Sea : → una transformación lineal. Demuestre que, Si , , … , esuna base del ( ), entonces , … , es una base de la ( ).∀ ∈ ∃ ∈ ℝ = + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+= + + ⋯+ + + + ⋯+

Pero se conoce que = 0 ∀ = 1,…, por ser elementos del ( ), entonces:( ) = + + ⋯+Dado que ∈ ( ) entonces = , … ,

+ + ⋯+ = 0+ + ⋯+ = 0Por lo que: + + ⋯+ ∈ ( )Al pertenecer al ( ), entonces se podrá expresar como combinación lineal de la base delsubespacio. + + ⋯+ = + + ⋯++ + ⋯+ + (− ) + (− ) + ⋯+ (− ) = 0Dado que , , … , , , , … , es una base de , entonces la combinación lineal deestos vectores igualados al neutro tiene solución única, es decir,= 0∀ = 1,… . , , + 1, + 2,… . ,Por lo que el conjunto , … , es linealmente independiente en .

Por lo tanto es una base de .

Desempeño



Identifica que debeprobar laindependencia lineal yla capacidad de generarla imagen

Prueba correctamenteuna de laspropiedades pero fallaen la otra

Realiza el ejercicio demanera correcta.

0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Particulariza losvectores para verificarla linealidad

Aplica la definición detransformación linealcorrectamente, perocon error de cálculos ono concluye.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Aplica T a la basecanónica

La matriz asociadatiene algún error decálculo


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Aplica correctamente ladefinición de nucleo deT

Aplica el concepto denúcleo, pero alresolver cometeerrores.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Determina el rango deT o una base para laimagen de T.

Demuestra conocer ladefinición de sumadirecta o el teoremaequivalente pero tieneerrores de calculo


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Asocia la nulidad de Tcon la existencia de lainversa

Respuesta correctapero algunaafirmación errónea.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Tema 4 (10 puntos)

(a) Considere la ecuación de una forma cuadrática dada por:5 + 6 + 5 − 16 − 16 − 16 = 0Consideremos la forma cuadrática: , = 5 + 6 + 5La matriz asociada a la forma cuadrática con respecto a la base canónica está dada por:= 5 33 5

Determinemos los valores propios de : − = 05 − − 9 = 0Entonces los valores propios de son = 8 = 2Los espacios propios asociados a cada valor propio, así como sus respectivas bases ortonormalesestán dados por:= , : = ; ℝ ; = √ 1,1

= , : = − ; ℝ ; = √ − 1,1Por lo tanto, la matriz que diagonaliza ortogonalmente a está dada por:

= 1√2 − 1√21√2 1√2Por lo que la forma cuadrática se puede expresar de la forma:′ , = 8 + 2Adicionalmente se conoce que:

= 1√2 − 1√21√2 1√2Por lo que:

= 1√2 − 1√2= 1√2 + 1√2Remplazando en la expresión dada se tiene:

8 + 2 − 16 1√2 − 1√2 − 16 1√2 + 1√2 − 16 = 0Desempeño



Determine la formacuadráticacorrespondiente y losvalores y vectorespropios de la matriz dela forma cuadrática

Reconoce lasustitución apropiadapero tiene errores decuentas


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Simplificando: 4 + − 8√2 − 8 = 04 − √2 + = 16− √24 + 16 = 1Lo cual representa gráficamente una elipse con centro en el punto , = √2, 0 , eje mayorparalelo al eje con una longitud del semieje mayor de = 4 y longitud del semieje menor de= 2.

Para determinar la medida del ángulo de rotación de los ejes originales, se conoce que:1√2 − 1√21√2 1√2 = ( ) − ( )( ) ( )Por lo tanto, =Con base en lo anterior, la gráfica de la forma cuadrática se muestra a continuación:

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

Desempeño



Halla la matriz Q,reconoce el ángulo derotación

Además escribe demanera correcta laecuación de la cónicapero no realiza elbosquejo correcto.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Derivando y evaluando en 1, queda: 2a + b = 0; de donde b=-2a. Por lo tanto una base de H es:

Base de H = { x2 – 2x, 1}

Desempeño



Deriva erróneamente ypor ello la base esincorrecta.

Deriva correctamente,pero expresa la basede manera errónea.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Realiza erróneamenteel producto interno.

Obtiene el sistemahomogéneo demanera correcta, peropresenta errores en larespuesta.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

TEMA 6

Dada la matriz = 1− 1 1 − 11 0 2 , ∈ ℛ.

a) Demostrar que los valores propios de son independientes del valor del parámetro.b) Demostrar que = 0 si y solo si la matriz es diagonalizable.c) Determinar la matriz tal que = .

SOLUCION

a) Para hallar los valores propios de , utilizamos la ecuación característica det( − ) = 01 −− 1 1 − − 11 0 2 − = 01 1 − − 1 + 2 − 1 −− 1 1 − = 0− − 1 − + 2 − 1 − + = 0− 2 − + 2 − 1 − + = 02 − − + 1 − + = 02 − 1 − = 0= 2, = 1,∀ ∈ℛ= 1, = 2Es decir que los valores propios de la matriz son independientes del parámetro.

Desempeño



Trata de calcular laproyección del vectordado pero lo realiza conerrores.

Calcula una de lasproyecciones delvector correctamente,pero no comete algúnerror al calcular lasegunda proyección.


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño


b) Para que sea diagonalizable, se debe cumplir que:= ℇ ∧ = ℇPara = 2 no hay problema puesto que = 1 y además 1 ≤ ℇ ≤ = 1 ,de ahí que = ℇ .

Para = 1 , tenemos:

ℇ = − = 0− 1 0 − 11 0 1 = 0− 1 0 − 11 0 1 = 000Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo por el método de Gauss, tenemos:0− 1 0 − 11 0 1 000 ∼ 1 0 10− 1 0 − 1 000 ∼ 1 0 100 0 0 000 De ahí que:

ℇ =−− ∈ℛ , ≠ 0

− , ∈ℛ , = 0Por lo tanto, es diagonalizable si y solo si = 0; puesto que ℇ = 2 = .


Plantea la ecuacióncaracterística paradeterminar los valorespropios

Al resolver la ecuaciónno logra eliminar elparámetro


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño


c) Para hallar la matriz diagonalizante, solo falta determinar el vector propio de asociado a= 2.

ℇ = − 2 = − 1 0 0− 1 − 1 − 11 0 0= − 1 0 0− 1 − 1 − 11 0 0 = 000ℇ = − 0 ∈ℛPor lo tanto = 0 − 1 0− 1 0 11 1 0 es la matriz que diagonaliza a la matriz con forma

diagonal = 2 0 00 1 00 0 1 .


Determina lamultiplicidad algebraicade los valores propios

Asocia correctamentela multiplicidadgeométrica con laposibilidad dediagonalización


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Desempeño



Calcula los vectorespropios

Intenta determinar lamatriz pedida con losvectores calculados


0 1 - 4 5 - 8 9-10

Algebra Lineal – Tercera Evaluación 2do Semestre2011-2012 – Solución y rúbrica

Tema 1

(a) ⟸: Se supone que ∈ . Sea un vector de . Como ⊂ ∪ { }, entonces ( ) ⊂( ∪ ) . Ahora demostramos que ( ∪ ) ⊂ ( ) . Sea ∈ ∪ .Entonces = + + + ⋯+ , con , , … , ∈ ⊂ ( ). Como ∈( ), y como ( ) es un subespacio vectorial, entonces ∈ ( ). Por lo tanto( ∪ ) ⊂ ( ), y entonces = ( ∪ ).⇒: Se supone que = ∪ . Como ∈ ∪ , entonces ∈ ( ∪) y por tanto ∈ ( ). Pero no se puede demostrar que ∈ . Contraejemplo: enel espacio vectorial ℝ, si = 1 y = 2 , = ∪ = ℝpero ∉ .Entonces la propiedad es falsa.

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Califica como verdadero pero demuestra correctamente el

reciproco2-5

Regular Califica como falso dando se cuenta que la implicación directa nopuede ser verdadera, pero no lo demuestra formalmente(no daun contraejemplo)

6-8

Excelente Califica como falso dando la justificación y un contraejemploadecuado.

9-10

(b) Demostramos la doble inclusión:⊂: Sea ∈ , . Entonces existe ∈ , tal que = . Como∈ , , entonces se escribe como una combinación líneal: = + .Entonces = = + = + ( ) por linealidad de T. Por lotanto ∈ ( ), ( ) , y entonces , ⊂ ( ), ( )⊃: Sea ∈ ( ), ( ) . Entonces w se escribe como una combinación lineal: = + = + . Por lo tanto ∈ , , entonces( ), ( ) ⊂ , .

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Solo demuestra una de las dos inclusiones 2-5Regular Demuestra las dos inclusiones pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra las dos inclusiones rigurosamente 9-10

(c) Sea ∈ . Calculamos :‖ − ‖ = ‖ − + − ‖ = − + − | − + − =‖ − ‖ + 2 − | − + ‖ − ‖ .Sabemos que ⨁ , entonces se descompone como la suma de un vector de y unvector de , el vector de siendo la proyección de v sobre . Entonces = + ´,con ´ = − ∈ . Como es un subespacio vectorial, entonces − ∈ , ypor lo tanto − | − = 0. Entonces ‖ − ‖ = ‖ − ‖ + ‖ − ‖ ≥‖ − ‖ .

Deficiente No conteste o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de calcular ‖ − ‖ pero no demuestra que − y− son ortogonales

2-5

Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10

Tema 2

(a) No necesita solución…

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 2-5Regular Demuestra la propiedad a partir de la definición 6-8Excelente Demuestra la propiedad a partir del teorema de caracterización 9-10

(b) Para demostrar que es inyectiva, demostramos que = 0ℝ , porque T es unatransformación lineal. Sea = ( , , … , ) ∈ . Entonces ( )= +⋯+ = 0 . Como , , … , forman una base de , son linealmenteindependientes. Por lo tanto = = ⋯ = = 0 y = 0ℝ .

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de demostrar que el núcleo contiene solamente el cero

vector pero no utiliza la independencia lineal de , , … , 2-5

Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10

(c) Como dim = dim ℝ = y como es inyectiva, entonces por teorema esbiyectiva.

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de aplicar el teorema sobre isomorfismos o el teorema de la

dimensión pero no concluye2-5

Regular Demuestra la propiedad pero con imprecisiones 6-8

Excelente Demuestra la propiedad rigurosamente 9-10

Tema 3

(a) Se puede denotar que los polinomios 1 + + , − 1, y 1 − 2 + son linealmenteindependientes, entonces forman una base de , porque la dimensión de es igual a 3.Sea = + + un polinomio de . Descomponemos sobre la base1 + + , − 1, 1 − 2 + , es decir escribimos como una combinación linealde 1 + + , − 1, y 1 − 2 + :+ + = 1 + + + − 1 + (1 − 2 + )Esta ecuación nos da el sistema siguiente, , , siendo las incógnitas:+ + =− 2 =− + =Al resolver este sistema se obtiene = , = , = .

Entonces = 1 + + + − 1 + 1 − 2 + =0 + − 1 + 3 − 6 + 3 =− + − + 2 − + ( − ).

Deficiente Denota que 1 + + , − 1, y 1 − 2 + forman una basede

0-1

Insuficiente Tratan de descomponer un polinomio típico sobre esta base perono concluye y no trata de aplicar la transformación T al polinomioobtenido.

2-5

Regular Desarrolle el procedimiento correcto pero se equivoca en loscálculos

6-8

Excelente Obtiene la regla de correspondencia con una demostraciónrigurosa

9-10

(b) A partir de la regla de correspondencia de , se obtiene la representación matricial de

con respecto a la base canónica: = 1 − 1 0− 1 2 − 10 − 1 1 . Se puede verificar que es una

matriz simétrica.Calculamos los valores propios de . El polinomio característico es igual a1 − − 1 0− 1 2 − − 10 − 1 1 − = 1 − 2 − − 1− 1 1 − − − 1 − 1 − 10 1 − =

1 − ( − 3) . Entonces los valores propios de son 0, 1 y 3.

Para el valor propio 0, se obtiene que el espacio propio asociado es111 .

Para el valor propio 1, el espacio propio asociado es10− 1 .

Para el valor propio 3, el espacio propio asociado es1− 21 .

Los vectores111 , 10− 1 y

1− 21 siendo vectores propios asociados a valores propios

diferentes de una matriz simétrica, son ortogonales. Entonces sólo necesitamosnormalizarlos para obtener una base ortonormal:

El vector111 normalizado da el vector

1 √31 √31 √3 , el vector10− 1 normalizado da el vector

1 √20− 1 √2 , y el vector1− 21 normalizado da el vector

1 √6− 2 √61 √6 .

Por lo tanto una matriz ortogonal que diagonaliza ortogonalmente es la matriz1 √3 1 √2 1 √61 √3 0 − 2 √61 √3 − 1 √2 1 √6 .

Deficiente Verifica que la matriz obtenida es una matriz simétrica. 0-1Insuficiente Encuentra los valores propios y los vectores propios de 2-5Regular Ortonormaliza con el proceso de Gram-Schmidt los vectores

propios sin darse cuenta que los vectores propios ya sonortogonales, y obtiene la matriz

6-8

Excelente Solo normaliza los vectores propios y obtiene una matrizortogonal

9-10

(c) A partir de la definición de dada en el enunciado, se puede denotar que 1 + += 0, − 1 = 1 × − 1 y 1 − 2 + = 3 × 1 − 2 + . Por lo tanto,la representación matricial de con respecto a la base 1 + + , − 1,1 − 2 +es la matriz diagonal

0 0 00 1 00 0 3 .

(d)Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente No se da cuenta que puede obtener directamente la base a partir

de la definición de T, trata de utilizar el resultado del literalanterior, pero no concluye

2-5

Regular Utiliza el resultado del literal anterior, y obtiene la base. 6-8Excelente Obtiene la base directamente a partir de la definición de T 9-10

Tema 4

(a) A partir de la definición de , se puede denotar que = ∈ si y sólo si 3 + 2 −= 0, es decir si y sólo si

32− 1 = 0. Por lo tanto = 32− 1 , y entonces

= 32− 1 = 32− 1 .

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de encontrar una base de H pero no obtiene el

complemento2-5

Regular Denota que es un hiperplano, obtiene el resultado pero conimprecisiones en la demostración.

6-8

Excelente Obtiene el complemento ortogonal rigurosamente 9-10

(b) Calculamos la proyección del vector112 sobre primero. Sabemos que =32− 1 . Normalizamos el vector 32− 1 para que sea mas cómodo calcular la

proyección sobre .32− 1 = √14 entonces = 3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ . Entonces la

proyección de112 sobre es igual a

3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ 112 × 3 √14⁄2 √14⁄− 1 √14⁄ = 9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ .

Entonces el vector112 se escribe como la suma

112 = 9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ + 5 14⁄8 14⁄31 14⁄ , con el

vector9 14⁄6 14⁄− 3 14⁄ que pertenece a y el vector

5 14⁄8 14⁄31 14⁄ que pertenece a .

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Encuentra una base ortonormal adaptada a y pero no

concluye2-5

Regular Se equivoca en los cálculos, o no justifica rigurosamente losresultados.

6-8

Excelente Obtiene el resultado y justifica cada etapa de su demostración 9-10

(c) A partir del resultado anterior se obtiene que la proyección ortogonal del vector112

sobre es el vector5 14⁄8 14⁄31 14⁄ .

Deficiente No contesta o lo que escribe no está relacionado con el tema 0-1Insuficiente Trata de aplicar otro procedimiento, pero no alcanza. 2-5Regular Obtiene el resultado correcto pero no a partir del literal anterior,

o le falta justificar el resultado6-8

Excelente Obtiene el resultado correcto y justifica su respuesta 9-10

(d) Para aplicar la propiedad dada, primero se necesita definir la matriz . Si = ∈ ,

entonces 3 + 2 − = 0 , es decir que se puede escribir de la forma =3 + 2 = 103 + 012 , entonces los vectores

103 y012 forman una base de , y

por lo tanto = 1 00 13 2 .

Calculamos112 = 1 00 13 2 1 0 30 1 2 1 00 13 2 1 0 30 1 2 112 =1 00 13 2 10 66 5 75 = 1 00 13 2 5 14⁄ − 6 14⁄− 6 14⁄ 10 14⁄ 75 = 1 00 13 2 5 14⁄8 14⁄

= 5 14⁄8 14⁄31 14⁄Deficiente Halla la matriz A 0-1Insuficiente No se equivoca en el planteamiento del cálculo, y calcula 2-5Regular Procedimiento correcto pero se equivoca en los calculos 6-8

Excelente Obtiene el resultado correcto, detallando los cálculos. 9-10

Tema 5

(a) Para que la matriz13 12 012 13 00 0 pertenezca al espacio generado por y , esa matriz

tiene que escribirse como una combinación lineal de y , es decir que la ecuación13 12 012 13 00 0 = + = 1 0 00 1 00 0 1 + 3 2 02 3 00 0 3 =+ 3 2 02 + 3 00 0 + 3 tiene que tener una solución, los reales y siendo las

incognitas. Para que se cumpla esa ecuación, tiene que ser igual a 6 (por el coeficientede la segunda fila y de la primera columna), entonces tiene que ser igual a − 5, y por lotanto, al calcular el coeficiente de la tercera fila y de la tercera columna, tiene que serigual a 13. Recíprocamente, si = 13, se puede verificar que la matriz si pertenece alespacio generado por y .

Deficiente Escriba la combinación lineal de I y M igual a la matriz dada 0-1Insuficiente Trata de despejar los coeficientes pero no alcanza 2-5Regular Termina el procedimiento pero se equivoca en los cálculos 6-8Excelente Obtiene el resultado correcto, justificando su demostración 9-10

(b) Se denota que = , , , entonces es un subespacio vectorial.

Deficiente Escriba la definición o el teorema de caracterización de unsubespacio vectorial

0-1

Insuficiente Trata de demostrar que E satisface las condiciones de ladefinición o del teorema de caracterización pero no alcanza

2-5

Regular Demuestra correctamente por la definición o el teorema decaracterización

6-8

Excelente Denota que E es un subespacio generado y concluyedirectamente

9-10

(c) Calculamos = 3 2 02 3 00 0 3 = 13 12 012 13 00 0 9 . Por el resultado del literal (a), no

pertenece al espacio generado por y , entonces, como y son linealmenteindependientes, , y son linealmente independientes. Como = , , ladimensión de es igual a 3.

Deficiente No obtiene el resultado correcto 0-1

Insuficiente Obtiene el resultado correcto pero solo justifica una de las dospropiedades (LI o generador)

2-5

Regular Demuestra las 2 propriedades pero con imprecisiones 6-8Excelente Demuestra el resultado rigurosamente 9-10

(d) Sean = + + y = + + dos polinomios de . Calculamos+ = + + + + + = + + + ++ = + + + + + = + .Sea ∈ℝ . Calculamos = + + = + + =+ + = ( ).Entonces es una transformación lineal.

Se denota que dim = dim = 3. Entonces para demostrar que es biyectiva, porel teorema sobre isomorfismos, solo se necesita demostrar que es inyectiva.Demostramos que = 0 . Sea = + + ∈ tal que =ℳ × . Entonces + + = ℳ × . Pero como , y son linealmenteindependientes, entonces necesariamente = = = 0, es decir ( ) tiene que serigual al polinomio cero. Por lo tanto es inyectiva.

Deficiente Demuestra la linealidad parcialmente 0-1Insuficiente Demuestra la linealidad y plantea correctamente la demostración

de la biyectividad2-5

Regular Demuestra la biyectividad pero con algunas imprecisiones en lademostración

6-8

Excelente Demuestra el resultado rigurosamente 9-10

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICADEL LITORAL

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

TERCERA EVALUACIÓN DE ALGEBRA LINEAL PARA AUDITORÍA

16 de febrero del 2012

Nombre: _____________________________________________________

Paralelo:_______

TEMA 1 (20 puntos)

a) Defina: (10 puntos)

i) Conjunto generador

ii) Espacio fila de una matriz

iii) Espacios isomorfos

iv) Recorrido de una transformación lineal

v) Matrices semejantes

b) Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes-Justifique formalmente su respuesta.

i) Sea WVT : una transformación lineal. Si ( ) 0vNu T ,

entonces T es un isomorfismo.

ii) Dada una base ordenada B del espacio vectorial V, entonces lascoordenadas de cualquier vector de V con respecto a la base B son únicas

TEMA 2 (20 puntos)

Sea 2V P . Considere los subespacios:

22/ 2 0; , , ( ) / (0) (1)H ax bx c a b c a b c W p x P p p

Determine:a) Una base y la dimensión de WH b) Si WH es un subespacio de Vc) Una base y la dimensión de WH d) El subespacio WH

TEMA 3 (20 puntos)

Considere el espacio vectorial 3R y sea 3211 ,, uuuB una base de 3R y el conjunto

3212 ,, vvvB donde:

1 1 2 2 2 3 3 1 2 3; ;v u u v u u v u u u

a) Determine la matriz de transición (de cambio de base) de 2B a 1B

b) Si 1

1,1, 1B

w , determine 2B

w las coordenadas del vector w con respecto a la

base 2B

TEMA 4 (20 puntos)

Sea

0/3 zyx

z

y

x

H un subespacio vectorial de 3 .

a) Construya una transformación lineal 23 PendeT tal que:

1

1

0

0

,2

0

1

1

,)( 2

xTxTHTNu

b) Determine

2

1

1

T

TEMA 5 (20 puntos)

Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:

2 1

3 2 0

2

x

x y z

x z

Determine:a) Los valores propios de A.b) Los espacios asociados a los valores propios de A.c) Si A es diagonalizable, la matriz D y la matriz C.

Exámenes álgebra lineal segundo y tercera evaluación

Engineering

Transcript of Exámenes álgebra lineal segundo y tercera evaluación