INTITUTO TECNOLOGICO DE LA PAZ

Ingeniería civil

Análisis Estructural

Examen Propuesto Unidad 3: Métodos Energéticos

Prof. Moisés Villorín O.

M A R T I N H E R R E R A J O C E L I N

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre

Grupo: H Fecha: 0 6 / 0 5 / 1 5

Objetivo: Resolver ejercicios por medio del método de trabajo virtual.

Instrucciones generales:

Lee con atención antes de contestar para comprender lo que se solicita en cada reactivo, los problemas

serán resueltos con orden, de manera clara y secuencial.

Utilizar solo bolígrafos de colores, juego de geometría; escribe con letra legible, de manera individual,

sin pedir o prestas objetos y en silencio, de otra manera tu examen será anulado. Cualquier respuesta

en desorden, confusa o tachada, será nula. Deja la mochila al frente del salón y tu celular apagado

dentro de la misma. Dispones de una hora para su realización.

1.- Determine el desplazamiento vertical de la junta A de la armadura de acero que se muestra en la

siguiente figura. El área de la sección transversal de cada elemento es A = 0.95 m2 y E = 200 GPa.

UNIDAD 3: METODOS ENERGETICOS

2 2

3

15

Solución:

1.- Análisis de la armadura con carga virtual 1kN en punto A.

Análisis del nodo A

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+) ∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑇𝐴𝐵(3 √13⁄ ) − 1 = 0 𝑇𝐴𝐵(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐴𝐷 = 0

∴ 𝑇𝐴𝐵 = √13 3⁄ 𝑇 ∴ 𝑇𝐴𝐷 = −2 3⁄ 𝐶

Análisis del nodo B

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

−𝑇𝐴𝐵(3 √13⁄ ) − 𝑇𝐵𝐷(3 √13⁄ ) = 0

∴ 𝑇𝐵𝐷 = −√13 3⁄ 𝐶

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

−𝑇𝐴𝐵(2 √13⁄ ) − 𝑇𝐵𝐷(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐵𝐶 = 0

∴ 𝑇𝐵𝐶 = 4 3⁄ 𝑇

2 2

3

1

1 kN

TAB

TAD

2

3 13

TAb = 13 3

TBC

TBD

2

3 13 3

2

13

Análisis del nodo C

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+) ∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑅𝑐𝑦 = 0 𝑇𝐵𝐶 − 𝑅𝑐𝑥 = 0

∴ 𝑇𝐵𝐶 = 4 3⁄ 𝐶

Análisis del nodo D

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑇𝐵𝐷(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐴𝐷 − 𝑅𝐷𝑥 = 0

∴ 𝑅𝐷𝑋 = 4 3⁄ 𝐶

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

−𝑇𝐵𝐷(3 √13⁄ ) + 𝑅𝐷𝑦 = 0

∴ 𝑅𝐷𝑦 = 1 𝐶

2.- Análisis de la estructura con la carga real 15kN.

TBC = 4/3 RCX

TAD = 2/3

TDB = 13 3

2

3

13

TRDX

TRDY

2 2

3

15

Análisis del nodo A

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+) ∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑇𝐴𝐵(3 √13⁄ ) − 15 = 0 𝑇𝐴𝐵(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐴𝐷 = 0

∴ 𝑇𝐴𝐵 = 5√13 𝑇 ∴ 𝑇𝐴𝐷 = −10 𝐶

Análisis del nodo B

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

−𝑇𝐴𝐵(3 √13⁄ ) − 𝑇𝐵𝐷(3 √13⁄ ) = 0

∴ 𝑇𝐵𝐷 = −5√13 𝐶

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

−𝑇𝐴𝐵(2 √13⁄ ) − 𝑇𝐵𝐷(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐵𝐶 = 0

∴ 𝑇𝐵𝐶 = 20 𝑇

Análisis del nodo C

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+) ∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑅𝑐𝑦 = 0 𝑇𝐵𝐶 − 𝑅𝑐𝑥 = 0

∴ 𝑇𝐵𝐶 = 20 𝐶

Análisis del nodo D

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑇𝐵𝐷(2 √13⁄ ) + 𝑇𝐴𝐷 − 𝑅𝐷𝑥 = 0

∴ 𝑅𝐷𝑋 = 20 𝐶

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

−𝑇𝐵𝐷(3 √13⁄ ) + 𝑅𝐷𝑦 = 0

∴ 𝑅𝐷𝑦 = 15 𝐶

15 kN

TAB

TAD

2

3 13

TAb = 5 13

TBC

TBD

2

3 13 3

2

13

TBC = 20 RCX

TAD = 10

TDB = 5 13

2

3

13

TRDX

TRDY

Tramo n (kN) N (kN) L (m) nNL (kN2 m)

AB √13 3⁄ 5√13 2.5 325 6⁄

AD −2 3⁄ −10 4 80 3⁄ BC 4 3⁄ 20 2 160 3⁄ BD −√13 3⁄ −5√13 2.5 325 6⁄

Sumatoria 565 3⁄

1 𝑘𝑁 ∙ ∆ = 565 3 𝑘𝑁2 ∙ 𝑚⁄

𝐴𝐸

∆𝐴 = 565 3 𝑘𝑁 ∙ 𝑚⁄

𝐴𝐸 → ∆𝐴=

565 3(103) 𝑘𝑁 ∙ 𝑚⁄

(0.95𝑚2)(200𝑥109 𝑁 𝑚2)⁄

∆𝐴 = 9.912 𝑥 10−7 𝑚

2.-Determine el desplazamiento del punto C del marco de acero que se muestra en la siguiente

figura. Considere I y E constantes.

Solución:

1.- Análisis del marco con carga virtual 1 Lb en el punto C.

∑𝑀𝐴 = 0

−𝑀𝐴 + 1(12) = 0 ∴ 𝑀𝐴 = 12 𝐿𝑏

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑅𝐴𝑥 − 1 = 0

∴ 𝑅𝐴𝑋 = 1

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

𝑅𝐴𝑦 = 0

250

100

15

12

1 Lb

2.- Análisis del marco con las cargas reales.

∑𝑀𝐴 = 0

−𝑀𝐴 + 3750(7.5) + 1200(6) = 0

∴ 𝑀𝐴 = 35,325 𝐿𝑏

∑𝐹ℎ = 0 → (+)

𝑅𝐴𝑥 − 1200 = 0

∴ 𝑅𝐴𝑋 = 1200

∑𝐹𝑣 = 0 ↑ (+)

𝑅𝐴𝑦 + 3750 = 0 ∴ 𝑅𝐴𝑦 = 3750

1𝐿𝑏 ∙ ∆𝐶ℎ= ∫(−𝑥1)(−50𝑥1

2)

𝐸𝐼𝑑𝑥1 + ∫

(−12)(−[125𝑥22 + 7200])

𝐸𝐼

12

0

15

0

𝑑𝑥2

1𝐿𝑏 ∙ ∆𝐶ℎ=632,812.5

𝐸𝐼+ 1,900,800

𝐸𝐼

1𝐿𝑏 ∙ ∆𝐶ℎ=2,533,612.5 𝐿𝑏2 ∙ 𝑓𝑡3

𝐸𝐼

∆𝐶ℎ=2,533,612.5 𝐿𝑏 ∙ 𝑓𝑡3

𝐸𝐼 = ∆𝐶ℎ=

2,533.61 𝑘𝑁 ∙ 𝑓𝑡3

𝐸𝐼

100

15

12

250

Me equivoque en el segundo tramo , pero ya esta corregido en la ecuación