STEWART Calculo de una variable. 7ma edición

Lista de ejercicios de las paginas 72,73,74.

Página 72, examen rápido verdadero-falso

Determine si la afirmación es verdadera o falsa, si es verdadera

1. Si fes una función, entonces f ( s+ t )=f (s )+ f (t)

R. Falso. Suponiendo f ( x )=x2, f ( s+ t )=(s+t)2≠ s2+ t2= f (s )+f ¿)

2. Si f ( s )=f (t ) ,entonces s=t

R. Falso. Para una función; x solo puede tomar un único valor de y, pero dos x diferentes pueden tomar el mismo valor de y

3. Si f es una función entonces f (3 x )=3 f (x )

R. Falso. f (3 x ) indica evaluar la función en 3x, 3 f (x) indica multiplicar por 3 la función

4. Si x1<x2 y f es una función decreciente, entonces f(x1)>f(x2)

5. Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más una vez

R. Verdadero En una función un valor x solo puede tomar un solo valor de y

6. Si f y g son funciones, entonces ( f og )=(go f )

R. Falso. ( f og )=f (g ( x ) ) , (g o f )=g( f (x))

7. Si f es uno a uno, entonces f−1 (x )= 1

f (x)

R. Falso. El -1 es una forma de representar la función inversa, no es un exponente

8. Siempre puede dividirse por ex

R. Verdadero. No hay ningún valor que pueda tomar x para que ex sea cero.

9. Si 0<a<b, entonces ln(a)<ln(b)

R. Verdadero

10. Si x>0, entonces( ln x )6=6 ln x

R. Falso. ln (x¿¿6)=6 ln x¿

11. Si x > 0 y a > 1, entonces ln xln a

=ln xa

R. Falso. ln x−ln a=lnxayln xln a

=loga x

12. tan−1 (−1 )=3π /4

R. Falso. tan−1 (−1 )=−45

13. tan−1 (x )= sen

−1(x )cos−1(x )

R. Falso. tan−1 (1 )=π

4, sen−1 ( x )= π

2,cos−1 ( x )=0, división entre cero.

14. Si x es cualquier número real, entonces √ x2=xR. Verdadero. Al elevar un numero al cuadrado se hace positivo y al sacarle

raíz queda el mismo número pero sin signo negativo, si era el caso.

Página 73, inciso 1 al 20

1. Sea f la función cuya gráfica está dada. a) Estime el valor de f (2).

R. 2.7b) Estime los valores de x tales que f (x) = 3.

R. 2.3,5.6c) Establezca el dominio de f.

R. [-6,6]d) Establezca el rango de f.

R. [-4,4] e) ¿Sobre qué intervalo es creciente f?

R. [-4,4]f) ¿Es f uno a uno?

R. No, no pasa la prueba de la recta horizontalg) ¿Es f par, impar, o ninguno de los dos?

R. Impar, simétrica al origen

2. La gráfica de g está dada.

a) Obtenga el valor de g(2).

R. 3

b) ¿Por qué g es uno a uno?

R. Pasa la prueba de la recta horizontal

c) Estime el valor de g−1 (2 ).

R. .4

d) Estime el dominio de g−1.

R. [-1,3]

e) Dibuje la gráfica de g−1.

3. Si f ( x )=x2−2x+3evalúe el cociente de las diferencias

f (a+h )−f (a)h

=(a+h)2−2 (a+h )+3−(a2−2a+3)

h=2ah+h

2−2hh

(2ah+h−2 )hh

=2a+h−2

4. Dibuje una gráfica aproximada de la producción de un cultivo en función de la cantidad de fertilizante utilizado

X= fertilizante

Y= cultivo

5-8. Encuentre el dominio y rango de las siguientes funciones. Escriba su respuesta en notación de intervalos.

5. f ( x )= 23 x−1 3 x−1=0→x=1/3

R. Df :(−∞ , 13 )U (13 ,∞) y Rf :(−∞ ,0)U (0 ,∞ )

6. g ( x )=√16−x4 16−x4≥0→16≥x4→−2≤ x≤2

R. Df : [−2,2 ] y Rf : [0,4 ]

7. h ( x )=ln ( x+6 ) x+6>0→x>−6

R. Df : (−6 ,∞ ) y Rf :(−∞ ,∞)

8. f ( t )=3+cos2 t

R. Df : (−∞,∞ ) y Rf :[2,4 ]

9. Suponga que la gráfica f está dada. Describa como las gráficas de las funciones siguientes pueden obtenerse a partir de la gráfica de f

a) y=f ( x )+8 d) y=f ( x−2 )−2

b) y=f (x+8) e) y=−f (x )

c) y=1+2 f (x) f) y=f −1(x )

a) Traslada la gráfica 8 unidades hacia arriba.b) Traslada la gráfica 8 unidades hacia la izquierda. c) Se estira la gráfica verticalmente con un factor de 2 y se desplaza 1 unidad

hacia arriba.d) Traslada la gráfica 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.e) Reflejas la gráfica alrededor del eje X.f) Refleja la gráfica alrededor de la recta Y = X

10. La gráfica f está dada. Dibuje la gráfica de las funciones siguientes:

a) y=f ( x−8 ) d) y=12f ( x )−1

b) y=−f (x ) e) y=f −1(x )

c) y=2−f (x) f) y=f −1(x+3)

11-16. Utilice transformaciones para dibujar la gráfica de la función.

11. y=−sen2 x 12. y=3 ln(x−2)

13. y=12(1+ex ) 14. y=2−√ x

15. f ( x )= 1x+2 16. f ( x )={ −x si x<0

e x−1 si x ≥0

17. Determine si f es una función par, impar o ninguna de las dos.

a) f ( x )=2x5−3 x2+2 NINGUNA

f (−x )=2(−x)5−3 (−x )2+2=−2x5−3 x2+2≠ f (x )

b)f ( x )=x3− x7 IMPAR

f (−x )=(−x )3−(−x )7=−x3+x7=−(x3−x7 )=−f ( x)

c) f ( x )=e−x2

PAR

f (−x )=e−(− x )2=e− x2

=f ( x )

d) f ( x )=1+sen x NINGUNA

f (−x )=1+sen (−x )=1−sen x≠ f (x )

18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consiste en el segmento de recta desde el punto (-2, 2) hasta el punto (-1, 0), junto con la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.

19. Si f ( x )=ln x y g (x )=x2−9 encuentre las funciones a¿ ( f o g ) (x ) , b¿ (go f ) ( x ) , c¿ ( f o f ) ( x ) ,d ¿(go g)(x ), y sus dominios

a) ( f og ) ( x )=ln (x2−9 ) x2−9>0→x2>9→x≠3

Df : (−∞,−3 )U (3 ,∞)

b) (go f ) ( x )=( ln x )2−9

Df :(0 ,∞)

c) ( f o f ) ( x )=ln¿¿

Df :(1 ,∞)

d) (go g ) ( x )=(x2−9)2−9

Df :(−∞ ,∞)

20. Exprese la función f ( x )= 1

√ x+√x como una composición de 3 funciones

f 1(x)=1

f 2(x)=√x

f 3 ( x )=x+√ x

f 1f 2o f 3

(x )= 1

√x+√ x

Página 74 incisos 23-27

23. Si f ( x )=2x+ln x encuentre f−1(2)

24. Encuentre f−1 (x )de f ( x )= x+12 x+1

y= x+12 x+1

→ (2 x+1 ) y=x+1→2xy+ y−x−1=0→x (2 y−1 )=1− y

x= 1− y2 y−1

f−1 (x )= 1−x2 x−1

25. Encuentra el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones

a) e2 ln 3=e ln 32

=9

b) log 25+ log 4=log 25 (4 )=log100=2

c) tan(arcsen 12 )=tan 30=√33

d)sen(arccos 45 )=3526. Resolver las siguientes ecuaciones para x

a) ex=5→x=ln 5

b) ln x=2→x=e2

c) eex

=2→ex=ln 2→x=ln(ln 2)

d) arctan x=1→x=tan1

27. La población de ciertas especies en un ambiente limitado con una población inicial de 100 y capacidad para 1 000 es

sen30=12→30=arcsen 1

2

P ( t )= 100000

100+900e−t

Donde t se mide en años.

a) Grafique esta función y estime cuánto tiempo le toma a la población llegar a 900.

b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado.

c) Utilice la función inversa para encontrar el tiempo necesario para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso a).

a) ≈4.4 años

b) P ( t )= 100000

100+900e−tc) −ln

181

=ln( 181 )−1

(100+900e−t )=100000P

ln 81≈4.4 años

900e−t=100000P

−100

900e−t=100000−100 PP

e−t=100000−100 P900 P

−t=ln(1000−P9 P )t=− ln(1000−P9 P )Tiempo requerido para que la Población alcance un numero P.

1−1

81−1=

11181

=81

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Lista de ejercicios 2.2

1. Explique con sus propias palabras cuál es el significado de la ecuaciónlimx→2

f ( x )=5

¿Es posible que se cumpla con esta proposición y que aún f(2)=3 sea verdadero? Explique

R. Cuando tiende a dos f(x) toma el valor de 5. Si es posible porque los límites son diferentes a el valor que toma la función cuando se evalua en ese numero

2. Explique qué significa decir

limx→ 1−¿f (x)=3 y lim

x →1+¿ f ( x)=7 ¿¿ ¿

¿

En esta situación ¿es posible quelimx→1

f (x )exista?

R. Que los limites son diferentes dependiendo de que lado (izquierdo o derecho) se acerque al valor. No existe porque los límites laterales son diferentes

3. Explique el significado de cada una de las siguientes proposiciones

a¿ limx→−3

f ( x )=∞ b¿ limx→4+¿f ( x )=−∞¿

¿

a) Significa que los valores de se pueden hacer arbitrariamente grandes (tanto como se desee) al tomar x suficientemente cerca de -3 (pero no igual a -3).

b) Significa que los valores de se pueden hacer negativos arbitrariamente grandes al tomar x suficientemente cerca de 4 hasta valores mayores a 4.

4. Utilice la gráfica de f para establecer el valor de cada cantidad si ésta existe. Si no existe, explique por qué.

a) limx→2−¿f (x )¿

¿ b) limx→2+¿ f ( x ) ¿

¿ c) limx→2

f ( x )

d) f (2 ) e) limx→4

f (x ) f) f (4 )

a) 3 b)1 c) No existe porque los límites laterales son diferentes

d) 3 e) 4 f) No existe porque en la gráfica no está definido

5. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué.

a) limx→1

f ( x ) b) limx→3−¿f (x )¿

¿ c) limx→3+¿ f ( x ) ¿

¿

d) limx→3

f (x ) e) f (3)

a) 2 b) 1 c) 4

d) No existe porque los límites son diferentes

e) 3

6. Para la función h cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué

a) limx→−3−¿h ( x ) ¿

¿ b) limx→−3+¿ h (x )¿

¿ c) limx→−3

h ( x )

d) h (−3 ) e) limx→0−¿h (x)¿

¿ f) limx→0+¿ h(x)¿

¿

g) limx→0

h(x ) h) h(0) i)limx→2

h(x )

j) h(2) k) limx→5+¿ h(x)¿

¿ l) limx→5−¿h (x)¿

¿

a) 4b) 4c) 4d) No definido en la graficae) 1f) -1g) No existe porque los limites

laterales son diferentesh) 1i) 2j) No definido en la graficak) 3l) 3

7. Para la función g cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades si existe. Si no, explique por qué

a) limt→0−¿ g (t ) ¿

¿ b) limt→0+¿ g ( t )¿

¿ c) limt →0

g (t )

d) limt→2−¿g ( t )¿

¿ e) limt→2+¿ g (t ) ¿

¿ f) limt →2

g (t )

g)g (2 ) h) limt→ 4

g (t )

a) -1b) 2c) No existe porque los limites laterales son

diferentesd) 2e) 0f) No existe porque los limites laterales son

diferentesg) 1h) 3

8. Para la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente

a) limx→2

R (x ) b)limx→5

R (x ) c) limx→−3−¿R ( x ) ¿

¿

d) limx→−3+¿R ( x ) ¿

¿ e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales

a) -∞b) ∞c) −∞d) ∞e) x= -3, x=2, x=5

9. Para la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente

a) limx→−7

f ( x ) b) limx→−3

f ( x ) c) limx→0

f ( x )

d) limx→6−¿f ( x ) ¿

¿ e) limx→6+¿ f ( x ) ¿

¿

f) Ecuaciones de las asíntotas verticales

a) -∞b) ∞c) ∞d) −∞e) ∞f) x= -7, x= -3, x=0, x=6

10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medicamento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f(t) del medicamento en el torrente sanguíneo después de t horas. Encuentre

limt→12−¿ f ( t ) y lim

t →12+¿f ( t )¿¿ ¿

¿

Y explique el significado de esos límites laterales

a) limt→12−¿ f ( t )=150 ¿

¿

b) limt→12+¿ f (t )=300¿

¿

c) Esto significa que no existe el limt→ 12

f ( t )

11-12. Trace la gráfica de la f(x) y utilícela para determinar los valores de a para

los cuales limx→a

f (x )existe

11. f (x){ 1+x si x←1x2 si−1≤ x<12−x si x≥1

12. f (x){1+sen x si x<0cos x si0≤ x ≤πsen x si x>π

R. a≠−1 R. a≠ π

13-14. Utilice la gráfica de la función f para establecer el valor de cada uno de los siguientes límites, si es que existen. Si no, explique por qué.

a) limx→0−¿f (x)¿

¿ b) limx→0+¿ f (x)¿

¿ c)limx→0

f (x )

13. f ( x )= 1

1+e1x

R. a) 1 b)0 c) No existe porque los límites laterales son diferentes

14. f ( x )= x2+x√ x3+x2

R. a)-1 b)1 c) No existe porque los límites laterales son diferentes

15-18. Trace la

gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas.

15. lim

x→ 0−¿f ( x )=−1 , limx →0+¿ f (x ) =2 , f ( 0)=1¿

¿¿¿

16. limx→0

f ( x )=1 , limx→3−¿ f ( x )=−2 , lim

x→3 +¿ f ( x )=2, f (0)=−1 , f ( 3)=1¿¿¿

¿

17. lim

x→3+¿ f ( x )=4 , limx →3−¿f ( x )=2, lim

x→−2f ( x )=2, f (3) =3 , f (−2)=1 ¿

¿¿¿

18. lim

x→ 0−¿f ( x )=2 , limx →0+¿f ( x )=0 , lim

x→ 4−¿ f (x )=3 , limx→ 4+¿ f (x )=0

¿ ¿¿ ¿¿

¿ ¿¿

f (0 )=2 , f (4 )=1