1. E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo electrnico:eduktodos@gmail.com http:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIIl M. Apostol CALCULUS VOLUMEN 11 Clculo con funciones de varias variablesy lgebra lineal, con aplicaciones a lasecuaciones diferenciales y a las probabilidadesSegunda edicin EDITORIAL REVERT, S. A. Barcelona-Bogot-Buenos Ai res-Caraca s-Mxico 4. Ttulo de la obra original:CALCULUS, Multi-VariableCalculus and Linear Algebra,With Applications to DitTerential Equations and ProbabilityEdicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, MassachusettsCopyright by Blaisdell Publishing CompanyVersin espaola por:Dr. D. Francisco V lez CantarellProfesor de la Universitat de BarcelonaRevisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de MadridPropiedad de:EDITORIAL REVERT, S.A. yREVERT EDICIONES, S.A. DE CVLoreto, 13-15, Local B Ro Pnuco 141 Col. Cuauhtmoc08029 Barcelonac.r. 06500 Mxico, D.F.Tel: (34) 934193336Tel: 55-33-56-58 al 60Fax: (34) 934195189Fax: 55-14-67-99E-mail: reverte@reverte.comE-mail: resavbp@data.net.mxInternet: http://www.reverte.comReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento in-formtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamop-blicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares delcopyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.2". EDICINEdicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1985 REVERT EDICIONES, S.A. DE C.V., 200178 REIMPRESIN: MARZO DE 2002ISBN: 84-291-5001-3 (Obra completa) EspaaISBN: 84-291-5003-X(Tomo 2)ISBN: 698-6708-12-X(Obra completa)MxicoISBN: 698-6708-11-1 (Tomo 2)Depsito legal: B-13143-2002Impreso por DomingrafImpressorsPoI. Ind. Can MagarolaPje. Autopista, Nave 1208100 Mollet del Valls (Barcelona) 5. aJane y Stephen 6. PRLOGOEste libro es una continuacin de mi Ca1culus, volumen 1, segunda edicin.El presente volumen fue escrito con el mismo plan fundamental que inspir alprimero. Un adecuado enfoque hacia la tcnica se combina con un rigurosodesarrollo terico. Se ha procurado hacer llegar al estudiante el espritu de lamatemtica moderna sin exagerar el formalismo. Como en el volumen 1, se hanincluido comentarios de tipo histrico para hacer vivir al lector la evolucin delas ideas.El segundo volumen est dividido en tres partes, tituladas; Anlisis lineal,Anlisis no lineal, y Temas especiales. Los dos ltimos captulos del volumen 1han sido repetidos y son los dos primeros captulos del volumen Il, de modo quetoda la materia relativa al lgebra lineal est completa en cada volumen.La parte 1 contiene una introduccin al lgebra lineal, incluyendo transfor-maciones lineales, matrices, determinantes, autovalores y formas cuadrticas.Se dan aplicaciones al anlisis, en particular al estudio de las ecuaciones diferen-ciales lineales. Se estudian los sistemas de ecuaciones diferenciales con la ayudadel clculo matricial. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad pormedio del mtodo de Picard de aproximaciones sucesivas, que tambin se tratautilizando los operadores de contraccin.En la parte 2 se discute el clculo de funciones de varias variables. El clculodiferencial se unifica y simplifica con la ayuda del lgebra lineal. Se incluyenreglas de la cadena para campos escalares y vectoriales, y aplicaciones a lasecuaciones diferenciales en derivadas parciales y a problemas de extremos. Enclculo integral se incluyen integrales de lnea, integrales mltiples y de superficie,con aplicaciones al anlisis vectorial. En esto la exposicin sigue ms o menos lalnea clsica y no incluye un desarrollo formal de las formas diferenciales.Los temas especiales tratados en la parte 3 son Probabilidades y Anlisisnumrico. El de probabilidades est dividido en dos captulos, uno que trata delos espacios muestrales finitos o infinitos numerables; el otro de espacios mues-trales no numerables, variables aleatorias, y funciones de distribucin. Las apli-caciones se ilustran en el estudio de variables aleatorias uni- y bi-dimensionales.El ltimo captulo contiene una introduccin al anlisis numrico, poniendoespecial atencin en los distintos tipos de polinomios de aproximacin. Terminael libro con un estudio de las frmulas de integracin aproximada, tales como laregla de Simpson y una discusin de la frmula de sumacin de Euler. VII 7. VIIIPrlogo En este volumen hay materia suficiente para un curso anual completo contres o cuatro sesiones semanales. Presupone un conocimiento del clculo con unavariable como se desarrolla en la mayora de los cursos del primer ao de clculo.El autor ha imaginado el curso con cuatro sesiones semanales, dos de exposicinpor parte del profesor y dos para preguntar a los alumnos, empleando aproxima-damente diez semanas en cada parte y omitiendo las secciones sealadas conasterisco.Este segundo volumen ha sido planeado de modo que muchos captulospueden omitirse en cursos abreviados. Por ejemplo, el ltimo captulo de cadaparte puede suprimirse sin romper la continuidad de la exposicin. La parteprimera proporciona material para un curso combinado de lgebra lineal y deecuaciones diferenciales ordinarias. Cada profesor puede elegir los temas adecua-dos a sus necesidades y preferencias consultando el diagrama de la pgina si-guiente que muestra la interdependencia lgica de los captulos.Una vez ms reconozco con agrado el asesoramiento de numerosos amigos ycolegas. Al preparar la segunda edicin recib valiosa ayuda de los profesoresHerbert s. Zuckerman de la Universidad de Washington, y Basil Gordon de laUniversidad de California, Los Angeles, cada uno de los cuales sugiri variasmejoras. Agradezco tambin al personal de la Blaisdell Publishing Company sucooperacin y ayuda.Como en otras ocasiones me da especial satisfaccin expresar mi gratituda mi esposa por su valiosa y variada contribucin. En reconocimiento le dedicogustosamente este libro. T. M. A.Pasadena, California 8. Interdependencia lgica de los captulosIX1ESPACIOSLINEALES I215INTRODUCCINTRANSFORMACIONESAL ANLISISLINEALES NUMRICO Y MATRICES3 DETERM INANTES 8 10136CLCULO DIFERENINTEGRALESFUNCIONES DEECUACIONESDIFERENCIALES CIAL EN CAMPOS ESCALARES Y .... DE LNEA CONJUNTO YPROBABILIDADES LINEALESVECTORIALES ELEMENTALES4 I r- AUTOVALORES yIAUTOVECTORES 7 11 SISTEMAS IDE ECUACIONESDIFERENCIALES5 INTEGRALESMLTIPLES I14AUTOV ALORES DE OPERADORES QUEACTAN EN ESPACIOS "1 I CLCULO DEPROBABILIDADES EUCLDEOS 9 12APLICACIONES INTEGRALESDEL CLCULO DEDIFERENCIALSUPERFICIE 9. NDICE ANALTICOParte 1. Anlisis lineal1. ESPACIOSLINEALES1.1Introduccin 31.2Definicin de espacio lineal 31.3Ejemplos de espacios lineales51.4Consecuencias elementales de los axiomas 71.5Ejercicios 81.6Subespacios de un espacio lineal 91.7Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal111.8Bases y dimensin 141.9Componentes 151.10 Ejercicios161.11 Productos interiores, espacios eucldeos. Normas171.12 Ortogonalidad en un esp-acio eucldeo 211.13 Ejercicios241.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 261.15 Complementos ortogonales. Proyecciones311.16 Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementos de un subespacio de dimensin finita341.17 Ejercicios362. TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICES2.1Transformaciones lineales 392.2Ncleo y recorrido412.3Dimensin del ncleo y rango de la transformacin 42XI 10. XII In dice analtico2.4Ejercicios442.5Operaciones algebraicas con transformaciones lineales 462.6Inversas482.7Transformaciones lineales uno a uno 512.8Ejercicios532.9Transformaciones lineales con valores asignados 552.10 Representacin matricial de las transformaciones lineales 562.11 Construccin de una representacin matricial en forma diagonal602.12 Ejercicios622.13 Espacios lineales de matrices 632.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices652.15 Multiplicacin de matrices662.16 Ejercicios702.17 Sistemas de ecuaciones lineales 722.18 Tcnicas de clculo 752.19 Inversas de matrices cuadradas802.20 Ejercicios832.21 Ejercicios varios sobre matrices843. DETERMINANTES3.1Introduccin873.2Justificacin de la eleccin de los axiomas para una funcin determinante883.3Conjunto de axiomas que definen una funcin determinante903.4Clculo de determinantes933.5El teorema de unicidad963.6Ejercicios97 3.7 Producto de determinantes 99 3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular101 3.9 Determinantes e independencia de vectores102 3.10Determinante de una matriz diagonal en bloques 102 3.11Ejercicios 104 3.12Frmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores 105 3.13Existencia de la funcin determinante110 3.14Determinante de una matriz transpuesta 112 3.15La matriz cofactor 113 3.16Regla de Cramer115 3.17Ejercicios 116 11. lndice analticoXIII 4. AUrOVALORES y AUTOVECTORES4.1Transformaciones lineales representadas mediante matrices dia- gonales1194.2Autovectores y autovalores de una transformacin lineal1204.3Independencia lineal de autovectores correspondientes a auto- valores distintos1234.4Ejercicios 1254.5Caso de dimensin finita. Polinomios caractersticos 1264.6Clculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensin finita1284.7Traza de una matriz 1314.8Ejercicios1324.9Matrices que representan la misma transformacin lineal. Matrices lineales 1344.10 Ejercicios1395. AUTOVALORES DE OPERADORES EN ESP ACrOS EUCLDEOS5.1Autovalores y productos interiores o escalares1415.2Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas 1425.3Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos1455.4Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autova- lores distintos 1455.5Ejercicios1465.6Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actan en es- pacios de dimensin finita1485.7Representacin matricial para operadores hermitianos y hemi- hermitianos 1495.8Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz1505.9Diagonalizacin de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana1515.10 Matrices unitarias. Matrices ortogonales1525.11 Ejercicios1545.12 Formas cuadrticas1565.13 Reduccin de una forma cuadrtica real a forma diagonal 1595.14 Aplicaciones a la Geometra Analtica 1615.15 Ejercicios166 12. XIVIndice analtico* 5.16 Autovalores de una transformacin simtrica obtenidos como valores de su forma cuadrtica 166* 5.17 Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformacin simtrica 168* 5.18 Caso de dimensin finita 1705.19 Transformaciones unitarias 1705.20 Ejercicios 1746. ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES 6.1 Introduccin histrica 175 6.2 Revisin de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden176 6.3 Ejercicios 178 6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 179 6.5 Teorema de existencia y unicidad 181 6.6 Dimensin del espacio solucin de una ecuacin lineal ho- mognea181 6.7 lgebra de operadores de coeficientes constantes 182 6.8 Determinacin de una base de soluciones para ecuaciones li- neales con coeficientes constantes por factorizacin de ope- radores185 6.9 Ejercicios 190 6.10Relacin entre las ecuaciones homogneas y no homogneas 192 6.11Determinacin de una solucin particular de la ecuacin no homognea. Mtodo de variacin de constantes 193 6.12No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones inde- pendientes de una ecuacin lineal homognea198 6.13Mtodos especiales para determinar una solucin particular de la ecuacin no homognea. Reduccin a un sistema de ecua- ciones lineales de primer orden200 6.14Mtodo del anulador para determinar una solucin particular de la ecuacin no homognea201 6.15Ejercicios 204 6.16Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales206 6.17Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analticos 207 6.18La ecuacin de Legendre211 6.19Polinomios de Legendre 215 6.20Frmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre 217 6.21Ejercicios 218 13. lndice analticoxv 6.22Mtodo de Frobenius 222 6.23Ecuacin de Bessel224 6.24Ejercicios2317. SISTEMAH DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7.1 Introduccin235 7.2 Clculo con funciones matriciales 238 7.3 Series de matrices. Normas de matrices239 7.4 Ejercicios241 7.5 Exponencial de una matriz 242 7.6 Ecuacin diferencial que se satisface por etA 243 7.7 Teorema de unicidad para la ecuacin diferencial matricial F(t) = AF(t) 244 7.8 Ley de exponentes para exponenciales de matrices245 7.9 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales ho- mogneos con coeficientes constantes246 7.10El problema de calcular erA 247 7.11Teorema de Cayley-Hamilton249 7.12Ejercicios251 7.13Mtodo de Putzer para calcular etA253 7.14Otros mtodos para calcular etA en casos especiales 256 7.15Ejercicios260 7.16Sistemas lineales no homogneos con coeficientes constantes 261 7.17Ejercicios264 7.18Sistema lineal general Y(t) = P(t)Y(t) + O(t)266 7.19Resolucin de sistemas lineales homogneos mediante series de potencias 271 7.20Ejercicios272 7.21Demostracin del teorema de existencia por el mtodo de las aproximaciones sucesivas273 7.22Aplicacin del mtodo de aproximaciones sucesivas a los sis- temas no lineales de primer orden 279 7.23Demostracin de un teorema de existencia y unicidad para sis- temas no lineales de primer orden 2817.24 Ejercicios283* 7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fjos de operadores 285* 7.26 Espacios lineales normados286* 7.27 Operadores de contraccin 287 14. XVI lndice analtico* 7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contraccin289* 7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo291Parte 2.Anlisis no lineal8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOSESCALARES Y VECrrORIALES8.1Funciones de R" en R". Campos escalares y vectoriales 2978.2Bolas abiertas y conjuntos abiertos2988.3Ejercicios 3008.4Lmites y continuidad3028.5Ejercicios 3068.6La derivada de un campo escalar respecto a un vector 3088.7Derivadas direccionales y derivadas parciales3108.8Derivadas parciales de orden superior3118.9Ejercicios 3128.10 Derivadas direccionales y continuidad3138.11 La diferencial 3148.12 Gradiente de un campo escalar3168.13 Condicin suficiente de diferenciabilidad3188.14 Ejercicios 3208.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares3218.16 Aplicaciones geomtricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes3248.17 Ejercicios 3278.18 Diferenciales de campos vectoriales3288.19 La diferenciabilidadimplica la continuidad 3308.20 La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales3318.21 Forma matricial de la regla de la cadena 3328.22 Ejercicios 336* 8.23 Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas par- ciales mixtas3378.24 Ejercicios varios342 15. In dice analticoXVII 9. APLICACIONES DE CLCULO DIFERENCIAL 9.1Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales345 9.2Ecuacin en derivadas parciales de primer orden con coe-ficientes constantes346 9.3Ejercicios349 9.4La ecuacin de ondas uni-dimensional351 9.5Ejercicios356 9.6Derivacin de funciones definidas implcitamente359 9.7Ejemplos resueltos363 9.8Ejercicios368 9.9Mximos, mnimos y puntos de ensilladura369 9.10 Frmula de Taylor de segundo orden para campos escalares375 9.11 Determinacinde la naturaleza de un punto estacionario pormedio de los autovalores de la matriz hessiana378 9.12 Criterio de las derivadas segundas para determinar extremosde funciones de dos variables 380 9.13 Ejercicios381 9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 383 9.15 Ejercicios387 9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos 388 9.17 Teorema de la continuidad uniforme para campos escalarescontinuos 391 10. INTEGRALES DE LNEA10.1Introduccin39310.2Caminos e integrales de lnea 39310.3Otras notaciones para las integrales de lnea 39410.4Propiedades fundamentalesde las integrales de lnea 39610.5Ejercicios39910.6El concepto de trabajo como integral de lnea 39910.7Integrales de lnea con respecto a la longitud de arco40110.8Otras aplicaciones de las integrales de lnea 40210.9Ejercicios40310.10 Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino 40510.11 Segundo teorema fundamental del clculo para integralesde lnea40610.12 Aplicaciones a la Mecnica40810.13 Ejercicios409 16. XVIII lndice analtico 10.14 El primer teorema fundamental del clculo para integrales de lnea 411 10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vec- torial sea un gradiente413 10.16 Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente415 10.17 Mtodos especiales para construir funciones potenciales417 10.18 Ejercicios 420 10.19 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden422 10.20 Ejercicios 425 10.21 Funciones de potencial en conjuntos convexos 426 11. INTEGRALES MLTIPLES 11.1Introduccin 431 11.2Particiones de rectngulos. Funciones escalonadas432 11.3Integral doble de una funcin escalonada 433 11.4Definicin de integral doble de una funcin definida y acotada en un rectngulo 436 11.5Integrales dobles superior e inferior436 11.6Clculo de una integral doble por integracin uni-dimensio- nal reiterada438 11.7Interpretacin geomtrica de la integral doble como un volumen 439 11.8Ejemplos resueltos 440 11.9Ejercicios 442 11.10 Integrabilidad de funciones continuas443 11.11 Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades445 11.12 Integrales dobles extendidas a regiones ms generales446 11.13 Aplicaciones a reas y volmenes.450 11.14 Ejemplos resueltos 451 11.15 Ejercicios 453 11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles455 11.17 Dos teoremas de Pappus 459 11.18 Ejercicios 461 11.19 Teorema de Green en el plano 462 11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green467 11.21 Condicin necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente468 11.22 Ejercicios 471 17. lndice analtico XIX* 11.23 Teorema de Green para regiones mltiplemente conexas 473* 11.24 El nmero de giros 475* 11.25 Ejercicios 47811.26 Cambio de variables en una integral doble47911.27 Casos particulares de la frmula de transformacin 48411.28 Ejercicios 48811.29 Demostracin de la frmula de transformacin en un casoparticular 49011.30 Demostracin de la frmula de transformacin en el casogeneral49211.31 Extensiones a un nmero mayor de dimensiones 49411.32 Cambio de variables en una integral n-mltiple 49711.33 Ejemplos resueltos 50011.34 Ejercicios 50412. INTEGRALES DE SUPERFICIE 12.1 Representacin paramtrica de una superficie 509 12.2 Producto vectoriak fundamental 513 12.3 El producto vectorial fundamental, considerado como una nor-mal a la superficie516 12.4 Ejercicios 517 12.5 rea de una superficie paramtrica 51812.6Ejercicios 52412.7Integrales de superficie 52512.8Cambio de representacin paramtrica 52712.9Otras notaciones para las integrales de superficie 53012.10 Ejercicios 53212.11 Teorema de Stokes53412.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial 53712.13 Ejercicios 53912.14 Otras propiedades del rotacional y de la divergencia 54012.15 Ejercicios 545* 12.16 Reconstruccin de un campo vectorial a partir de surotacional 546* 12.17 Ejercicios 551 12.18Extensiones del teorema de Stokes552 12.19Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) 557 12.20Aplicaciones del teorema de la divergencia 561 12.21Ejercicios 563 18. xxlndice analtico Parte 3. Temas especiales13. FUNCIONES DE CONJUNTOY PROBABILIDAD ELEMENTAL13.1 Introduccin histrica 57113.2 Funciones de conjunto con aditividad finita57213.3Medidas con aditividad finita 57413.4 Ejercicios 57513.5Definicin de probabilidad para espacios muestrales finitos 57713.6Terminologa propia del clculo de probabilidades 57913.7Ejercicios58113.8Ejemplos resueltos58113.9Ejercicios58413.10 Algunos principios bsicos de anlisis combinatorio 58613.11 Ejercicios59113.12 Probabilidades condicionadas59213.13 Independencia 59513.14 Ejercicios59713.15 Experimentos o pruebas compuestas 59813.16 Pruebas de Bernoulli60313.17 Nmero ms probable de xitos en n pruebas de Bernoulli 60513.18 Ejercicios60813.19 Conjuntos numerables y no numerables61013.20 Ejercicios61413.21 Definicin de probabilidad para espacios muestrales infini-tos numerables61513.22 Ejercicios61713.23 Ejercicios variados sobre probabilidades618 14. CLCULO DE PROBABILIDADES14.1Definicin de probabilidad para espacios muestrales no nu-merables62114.2Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad po-sitiva62214.3Variables aleatorias62314.4Ejercicios625 19. Indice analticoXXI14.5Funciones de distribucin 62614.6Discontinuidad de las funciones de distribucin 63014.7Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad 63414.8Ejercicios63714.9Distribuciones continuas. Funciones de densidad 63914.10 Distribucin uniforme sobre un intervalo64114.11 Distribucin de Cauchy64614.12 Ejercicios64714.13 Distribuciones exponenciales64914.14 Distribuciones normales 65214.15 Observaciones sobre distribuciones ms generales65614.16 Ejercicios65714.17 Distribuciones de funciones de variables aleatorias 65814.18 Ejercicios66014.19 Distribucin de variables aleatorias bidimensionales66014.20 Distribuciones discretas bidimensionales66314.21 Distribuciones continuas bidimensionales.Funciones dedensidad66414.22 Ejercicios66614.23 Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias 66814.24 Ejercicios67314.25 Esperanza y varianza67614.26 Esperanza de una funcin de una variable aleatoria68014.27 Ejercicios68114.28 Desigualdad de Chebyshev68314.29 Leyes de los grandes nmeros68514.30 El teorema central del lmite 68914.31 Ejercicios691Referencias citadas 692 15. INTRODUCCIN AL ANLISIS NUMRICO15.1Introduccin histrica69515.2Aproximaciones por polinomios 69715.3Aproximaciones polinmicas y espacios lineales normados 69815.4Problemas fundamentales en la aproximacin por polinomios 70015.5Ejercicios70315.6Polinomios de interpolacin 70515.7Puntos de interpolacin igualmente separados70815.8Anlisis del error de la interpolacin por polinomios 709 20. XXIIlndice analtico 15.9Ejercicios 713 15.10 Frmula de interpolacin de Newton 716 15.11 Puntos de interpolacinigualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas 718 15.12 Polinomios factoriales 720 15.13 Ejercicios 721 15.14 Problema de mnimo relativo a la norma del mximo724 15.15 Polinomios de Chebyshev725 15.16 Propiedad de mnimo de los polinomios de Chebyshev 728 15.17 Aplicacin a la frmula del error en la interpolacin730 15.18 Ejercicios 730 15.19 Integracin aproximada. Regla de los trapecios 733 15.20 Regla de Simpson 736 15.21 Ejercicios 742 15.22 Frmula de sumacin de Euler 745 15.23 Ejercicios 752 Referencias citadas755 Soluciones a los ejercicios757 Indice 805 21. PARTE 1Anlisis lineal 22. 1 ESPACIOS LINEALES1.1 IntroduccinA 10 largo de la Matemtica se encuentran muchos ejemplos de objetos mate-mticos que pueden sumarse unos con otros y multiplicarse por nmeros reales.Ante todo, los nmeros reales son objetos de tal naturaleza, Otros ejemplos sonlas funciones vectoriales, los nmeros complejos, las series y los vectores en elespacio n-dimensional. En este captulo tratamos un concepto matemtico general,llamado espacio lineal, que incluye todos esos ejemplos y muchos otros comocasos particulares.Brevemente, un espacio lineal es un conjunto de elementos de naturalezacualquiera sobre el que pueden realizarse ciertas operaciones llamadas adicin ymultiplicacin por nmeros. Al definir un espacio lineal no especificamos lanaturaleza de los elementos ni decinios cmo se realizan las operaciones entreellos. En cambio, exigimos que las operaciones tengan ciertas propiedades quetomamos como axiomas de un espacio lineal. Vamos ahora a hacer con detalle unadescripcin de esos axiomas.1.2 Definicin de espacio linealSea V un conjunto no vaco de objetos, llamados elementos. El conjunto Vse llama espacio lineal si satisface los diez axiomas siguientes que se enuncianen tres grupos.Axiomas de clausuraAXIOMA 1. CLAUSURA RESPECTO DE LA ADICIN.A todo par ae elementos~ e y de V corresponde un elemento nico de V llamado suma de x e y, designadopor x + y.3 23. 4Espacios lineales AXIOMA2.CLAUSURARESPECTODE LA MULTIPLICACINPOR NMEROS REA-LES.A todo x de V y todo nmero real a corresponde un elemento de V llamadoproducto de a por x, designado por ax. Axiomas para la adicin AXIOMA 3.LEY CONMUTATIVA.Para todo x y todo y de V, tenemosx+y =y+ x. AXIOMA4. LEY ASOCIATIVA. Cualesquiera que sean x, y, z de V, tenemos(x + y) + z= x + (y + z). AXIOMA5.EXISTENCIA DE ELEMENTO CERO.Existe un elemento en V, de-signado con el smbolo O, tal quex+O=xpara toao x de V: AXIOMA 6. EXISTENCIADE OPUESTOS. Para todo x de V, el elemento ( -1)xtiene la propiedadx + (-l)x = O. Axiomas para la multiplicacin por nmeros AXIOMA 7. LEYASOCIATIVA. Para todo x di! V Y todo par de nmerosreales a y b, tenemos a(bx) = (ab)x . AXIOMA8.LEY DISTRIBUTIVAPARA LA ADICINEN V. Para todo x y todoy de V y todo nmero real a, tenemosa(x + y) = ax + ay. AXIOMA9.LEYDISTRIBUTIVAPARALA ADICIN DE NMEROS. Para todox de V y todo par de nmeros reales a y b, tenemos(a + b)x = ax + bx . AXIOMA10.EXISTENCIA DE ELEMENTOIDNTICO.Para todo x de V, tene-mos Ix = x. 24. Ejemplos de espacios lineales5Los espacios lineales as definidos, se llaman, a veces, espacios Ineales realespara resaltar el hecho de que se multiplican los elementos de V por nmerosreales, Si en los axiomas 2, 7, 8 Y 9 se reemplaza nmero real por nmero com-plejo, la estructura que resulta se llama espacio lineal complejo. Algunas vecesun espacio lineal se llama tambin espacio vectorial lineal o simplemente espaciovectorial; los nmeros utilizados como multiplicadores se llaman escalares. Unespacio lineal real tiene nmeros reales como escalares; un espacio lineal com-plejo tiene como escalares nmeros complejos. Si bien consideraremos principal-mente ejemplos de espacios lineales reales, todos los teoremas son vlidos paraespacios lineales complejos. Cuando digamos espacio lineal sin ms, se sobrenten-der que el espacio puede ser real o complejo.1.3Ejemplos de espacios linealesSi precisamos el conjunto V y decimos cmo se suman sus elementos y cmose multiplican por nmeros, obtenemos un ejemplo concreto de espacio lineal.El lector fcilmente puede comprobar que cada uno de los ejemplos siguientessatisface todos los axiomas para un espacio lineal real.EJEMPLO1. Sea V = R, el conjunto de todos los nmeros reales, y seanx +y y ax la adicin y la multiplicacin ordinarias de nmeros reales.EJEMPLO 2. Sea V = e el conjunto de todos los nmeros complejos, defi-nimos x + y como la adicin ordinaria de nmeros complejos, y ax como la mul-tiplicacin del nmero complejo x por el nmero real a. Aunque los elementos deV sean nmeros complejos, ste es un espacio lineal real porque los escalaresson reales. EJEMPLO 3. Sea V = V el espacio vectorial de todas las n-plas de nme-,ros reales, con la adicin y la multiplicacin por escalares definidas en la formaordinaria en funcin de los componentes. EJEMPLO 4. Sea V el conjunto de todos lof.-vectores Vn ortogonales a unvector no nulo dado N. Si n = 2, este espacio lineal es una recta que pasa por Ocon N como vector normal. Si n = 3, es un plano que pasa por O con N comovector normal.Los siguientes ejemplos se llaman espacios funcionales. Los elementos de Vson funciones vectoriales, con la suma de dos funciones f y g definidas en la.forma ordinaria: (f + g)(x) = (x) + g(x) 25. 6Espacios linealespara todo real x en la interseccin de los dominios de I "y g. La multiplicacin deuna funcin I por un escalar real a se define as: al es aquella funcin cuyo valoren cada x del dominio de I es al(x). El elemento cero es la funcin cuyos valoresson nulos para todo x. El lector puede comprobar fcilmente que cada uno delos conjuntos siguientes es un espacio funcional. EJEMPLO5.El conjunto de todas las funciones definidas en un intervalodado. EJEMPLO6.El conjunto de todos los polinomios.EJEMPLO7. El conjunto de todos los polinomios de grado ~ n, siendo nfijo. (Siempre que consideremos este conjunto, se sobrentender que siempre estincluido el polinomio nulo.) El conjunto de todos los polinomios de grado iguala n no es una espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura. Porejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de grado n. EJEMPLO 8. El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalodado. Si el intervalo es [a, b]. designamos este espacio con C(a, b).EJEMPLO 9.El conjunto de todas las funciones derivables en un punto dado.EJEMPLO 10.El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalodado. EJEMPLO 11. El conjunto de todas las funciones I definidas en el punto 1siendo I( 1) = O. El nmero O es esencial en este ejemplo. Si reemplazamos O porun nmero no nulo e, violamos el axioma de clausura.EJEMPLO 12. El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin diferenciallineal homognea y" + ay + by = O, donde a y b son constantes dadas. Tambinaqu es esencial el O. El conjunto de soluciones de una ecuacin diferencial nohomognea no satisface los axiomas de clausura. Estos ejemplos y muchos otros hacen patente cmo el concepto de espaciolineal est extendido por el lgebra, la Geometra y el Anlisis. Cuando se deduceun teorema de los axiomas de un espacio lineal, obtenemos un resultado vlidopara cada ejemplo concreto. Unificando varios ejemplos de este modo, consegui-mos un conocimiento ms profundo en cada uno. En ocasiones el conocimientode un determinado ejemplo ayuda para anticipar o interpretar resultados vlidospara otros ejemplos y pone en evidencia relaciones que de otro modo podranpasar inadvertidas. 26. Consecuencias elementales de los axiomas 71.4 Consecuencias elementales de los axiomasLos teoremas que siguen se deducen fcilmente de los axiomas de un espaciolineal.TEOREMA1.1. UNICIDAD DELELEMENTO CERO. En cualquier espacio linealexiste un elemento cero y slo uno. Demostracin. El axioma 5 nos asegura que existe por lo menos un elementocero. Supongamos que existan dos, sean 01 y O2, Haciendo x = 01 Y O = O2 enel axioma 5, obtenemos 01 + O2 = 0 Anlogamente, haciendo x = O2 Y 1,O = O" encontramos O2 + 01=O2, Pero 01 + O2 = O2 + 01 por la ley con-mutativa, as que 01 = O2, TEOREMA1.2. UNICIDAD DE ELEMENTOS OPUESTOS. En cualquier espaciolineal todo elemento tiene exactamente un opuesto. Esto es, para todo x existeun y, y slo uno tal que x + y = O. Demostracin. El axioma 6 nos dice que cada x tiene por lo menos unopuesto, a saber (-1)x. Supongamos que x tenga dos opuestos, sean Y1 e Y2 En-tonces x + Y1 = O Y x + Y2 = O. Sumando Y2 a los dos miembros de la primeraigualdad y aplicando los axiomas 5, 4 y 3, obtenemos quey Y2 + (x + Yl) = (Y2 + x) + Yt=O + Yl = Yl + O = Yl .Por consiguiente Y1 = Y2, con lo que x tiene exactamente un opuesto, el elemen-to (-l)x.Notacin. El opuesto de x se designa por -x. La diferencia y - x se definecomo la suma y + (- x). El teorema siguiente muestra un conjunto de propiedades que rigen losclculos algebraicos elementales en un espacio lineal. TEOREMA1.3. En un espacio lineal, designemos con x e y dos elementoscualesquiera y con a y b dos escalares cualesquier .. Tenemos entonces las pro-piedades siguientes:a) Ox = O.b) aO = O. 27. 8 Espacios linealese) (~a)x =- (ax) =a( - x).d) Si ax = O, entonces a = O o x = O, o los dos.e) Si ax=ay y a =1= entonces xO y.=f) Si ax = bx y x =1= entonces a = b. O,g) - (x + y) = ( - x) + ( - y) = - x-y.h) x + x = 2x, x+ x +x = 3x, y en general, L~=l x = nx.Demostraremos a). b) y e) y dejamos como ejercicios las demostraciones de lasotras propiedades.Demostracin de a). Sea z = Ox. Deseamos demostrar que z = O. Su-mando z a s mismo y aplicando el axioma 9, encontramos quez +z=Ox + Ox = (O+ O)x = Ox = z.Sumemos ahora - z a ambos miembros y obtenemos z = O.Demostracin de b). Sea z = aO, sumar z a s mismo, y aplicar el axioma 8.Demostracin de e), Sea z = (-a)x.Sumando z a ax y aplicando el axio-ma 9, encontramos que z + ax = (-a)x + ax = (-a+ a)x = Ox=O ,as que z es el opuesto de ax, z = -(ax). Anlogamente, si sumamos a( -x) aax y aplicamos el axioma 8 y la propiedad b), encontramos que a( -x) = -(ax).1.5Ejercicios En los ejercicios del 1 al 28, determinar si cada uno de los conjuntos dados es unespacio lineal real, si la adicin y multiplicacinpor escalares reales est definida enla forma usual. Para aquellos en los que no es as, decir cules son los axiomas que no secumplen. Las funciones de los ejercicios 1 al 17 son reales. En los ejercicios 3, 4 Y 5, cadafuncin tiene un dominio que contiene O y 1. En los ejercicios 7 al 12, cada dominio con-tiene todos los nmeros reales.1. Todas las funciones racionales.2. Todas las funciones racionales tte. con el grado de 15 que el grado de g (incluyen- do 1=0).3. Todas las I con 1(0) = 1(1). 4. Todas las I con 2/(0) =1(1). 5. Todas las I con 1(1) = 1 + 1(0). 6. Todas las funciones escalonadas definidas en [O, 1].7. Todas las I en las que I(x).~ O cuando x ~ + cc . 8. Todas las funciones pares. 9. Todas las funciones impares. 28. Subespacios de un espacio lineal910. Todas las funciones acotadas.11. Todas las funciones crecientes.12. Todas las funciones con perodo 2lT.13. Todas las I integrables en [0,1] con n I(x)dx = O.14. Todas las I integrables en [0,1] connl(x)dx~ O.15. Todas las I que satisfacen I(x) = l(l - x) para todo x,16. Todos los polinomios de Taylor de grado S;; n para un n fijo (incluyendo el polino-mio cero).17. Todas las soluciones de una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo ordeny" + P(x)y + Q(x)y = O, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x.18. Todas las sucesiones reales acotadas.19. Todas las sucesiones reales convergentes.20. Todas las series reales convergentes.21. Todas las series reales absolutamente convergentes.22. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con z = O.23. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con x = O o y = O.24. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con y = 5x.25. Todos los vectores (x,y,z) de Va con 3x+4y=1, z=O.26. Todos los vectores (x, y, z) de V~ que son productos de (l, 2, 3) por escalares.27. Todos los vectores (x, y, z) de Va cuyos componentes satisfacen un sistema de tres ecua-ciones lineales de la forma28. Todos los vectores de Vn que son combinaciones lineales de dos vectores dados A y B.29. Sea V = R+, el conjunto de los nmeros reales positivos. Definamos la suma de dos elementos x e y de V como su producto x ..y (en el sentido ordinario), y definamos la multiplicacinde un elemento x de V por un escalar e poniendo x. Demostrar que V es un espacio lineal real con el elemento cero.30. a) Demostrar que el axioma 10 puede deducirse de los otros axiomas. b) Demostrar que el axioma 10 no puede deducirse de los otros axiomas si el axioma 6 es reemplazado por el axioma 6: Para todo x de -V y todo y de V tenemos quex+y=O.3. Sea S el conjunto de todos los pares ordenados (x, ,x?) de nmeros reales. En cada case determinar si S es o no un espacio lineal con las operaciones de adicin y multiplica- cin por escalares definidas como se indica. Si el conjunto no es un espacio lineal, indicar cules son los axiomas que no se cumplen.a) (Xl X2) + (Yl, Y2) = (Xl + Yl , X2 + Y2),a(Xl, X2) = (aXl O).b) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl + Yl , O), a(Xl , X2) = (aXl , ax2)c) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl X2 + Y2), a(Xl X2) = (aXl, ax2)d) (Xl X2) + (Yl ,Y2) = (Ixl + x21, Iy + Y21), a(Xl X2) = (Jaxll, !ax21) 32. Demostrar las partes de la d) a la h) del teorema 11.3.1.6Subespacios de un espacio lineal Dado un espacio lineal V sea S un subconjunto no vaco de V. Si S es tam-bin un espacio lineal, entonces S se llama subespacio de V. El teorema que sigue 29. 10Espacios linealesda un sencillo criterio para determinar si un subconjunto de un espacio lineales o no un subespacio. TEOREMA1.4. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V.Tal subconjunto S es un subespacio si y s610 si satisface los axiomas de clausura.Demostracin. Si S es un subespacio, satisface todos los axiomas de unespacio lineal, y por tanto, en particular, los axiomas de clausura.Demostremos ahora que si S satisface los axiomas de clausura, satisfacetambin los otros. Las leyes conmutativa y asociativa para la adicin (axiomas3 y 4) y los axiomas para la multiplicacin por escalares (axiomas del 7 al 10)se satisfacen automticamente en S porque son vlidos para todos los elementosde V. Falta comprobar los axiomas 5 y 6, la existencia del elemento cero en S,y la existencia de un opuesto para cada elemento de S.Sea x un elemento cualquiera de S. (S tiene por lo menos un elemento ya queno es vaco.) Segn el axioma 2, ax est en S para todo escalar a. Tomando a = O,resulta que Ox est en S. Pero Ox = O, en virtud del teorema 1.3 a), con locual O E S, y se satisface el axioma 5. Tomando a = - 1, vemos que (-1)xest en S. Pero x + (- l)x = O ya que x y (- l)x estn ambos en V, as que elaxioma 6 se satisface en S. Por consiguiente S es un subespacio de V. DEFINICIN. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V. Unelemento x de V de la formak X =2CiXi, i~len donde Xl , x, pertenecen todos a S y cl, , ci son escalares, se denominacombinacin lineal de elementos de S. El conjunto- de todas las combinacioneslineales finitas de elementos de S satisface los axiomas de clausura y por tantoes un subespacio de V. Decimos de ese subespacio que est generado por S, otambin le llamamos la envolvente lineal de S, y lo designamos por L(S). Si Ses vaco, definimos L(S) como {a}, el conjunto consta s610 del elemento cero.Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio. Por ejemplo, el es-pacio V est generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:2{i, j}, {i, j, i + j}, {a, i, - i, j, - j, i + j}. El espacio de todos los polinomios n p(t)de grado :5n est generado por el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t", ... , tn}.Tambin est generado por el conjunto { 1, t/2, t /3, ... , t" /(n + 1)} y por2{ 1, (1 + t) , (1 + t)2, ... , (1 + t)n}. El espacio de todos los polinomios est ge-nerado por el conjunto infinito de los polinomios { 1, t, t", ... }. Al llegar aqu surgen de modo natural numerosas preguntas. Por ejemplo,qu espacios pueden generarse porun nmero finito de elementos? Si un espacioest generado por un nmero finito de elementos, cul es el menor nmero deelementos necesarios? Para discutir estas cuestiones y otras con ellas relacionadas 30. Conjuntosdependientes e independientes en un espacio lineal 11introducimos los conceptos de dependencia, independencia, bases y dimensin.Ya en el volumen I. encontramos esas ideas al estudiar el espacio vectorial VnAhora vamos a extenderlas a espacios lineales de tipo general.1.7Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal DEFINICIN.Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llamadependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> , xi,y un correspondiente conjunto d escalares c1, , es, no todos cero, tales que k I c.x =O.i=lEl conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cuales-quiera que sean los elementos distintos X, . , x de S y los escalares c., ... , ci,implica C1 = C2 = ... = Ck = O.Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntosde elementos, podemos tambin aplicar esas denominaciones a los elementosmismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman ele-mentos independientes.Si S es un conjunto finito, la definicin anterior est de acuerdo con la dadaen el Volumen 1 para el espacio Vn No obstante, la definicin dada aqu no estrestringida a conjuntos finitos. EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismoS es dependiente. Esto es lgicamente equivalente a la afirmacin de que todosubconjunto de un conjunto independiente es independiente. EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, Ses dependiente.EJEMPLO 3.Si O E S. entonces S es dependienteEJEMPLO 4.El conjunto vaco es independiente. En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependien-tes e independientes. Los ejemplos que a continuacin se comentan, ilustran esosconceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental Ves el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real. 31. i2 Espacioslineales EJEMPLO5. Sean u,(t)=ces" t , u2(t) sen" t, u,,(t)=1 para todo nme- =ro real t. La identidad pitagrica prueba que u, + U2 - U3 = O, as que las tresfunciones u,, U2, u" son dependientes. EJEMPLO 6. Sea Uk(t)= tI. para k= O, 1, 2, ... , y t real. El conjuntoS = {un, U,, U2, } es independiente.Para demostrar esto, basta demostrar quepara cada n los n + 1 polinomios Un, U,, , Un son independientes. Una rela-cin de la forma I CkUk=O significa que n(1.1) Ickt k =O k~Opara todo real t. Cuando t = O, encontramosque Co = O. Repitiendoel proceso,encontramos que cada coeficiente Ck es cero.EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son nmerosrealesdistintos, las n funcionesexponencialesson independientes.Podemos demostrar esto por induccin sobre n. El resultadoes trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos que es vlida para n - 1funciones exponenciales y consideremos los escalares c., ... , CIl tales que n(1.2)Icke akx = O. k~lSea aM el mayor de los n nmerosa" ... , ano Multiplicandoambos miembrosde(1.2) por ra.;:, obtenemos n(1.3)I cke(ak-aM)x = O.1.=1Si k =1= M, el nmero ai - aM es negativo. Por consiguiente, cuando x ~ + 00 enla ecuacin (1.3), cada trmino con k =1=M tiende a cero y encontramos que CM = O.Suprimiendo el trmino M-simo de (1.2) Y aplicando la hiptesis de induccin,encontramos que cada uno de los n - 1 restantes coeficientes ci es cero. TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ... , xd un conjunto independienteque constade k elementos de un espacio lineal V y sea L(S) el subespacio generado por S.Entonces todo conjunto de k+ 1 elementos rl US) es dependiente. 32. Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 13 Demostracin. La demostracin es por induccin sobre k, nmero de ele-mentos de S. Supongamos primero que k= 1. Entonces, por hiptesis, S contieneun solo elemento XI siendo Xl =1= O puesto que S es independiente. Ahora tome-mos en L(S) dos elementos distintos JI e J2 Entonces, cada uno de estos elementoses un escalar multiplicado por Xl, sea JI = CIX e J2 = C2Xl, en donde CI Y C2 no Ison ambos cero. Multiplicando Jl por C2 e J2 por CI Y restando, obtenemosPor 10 tanto Jl e J2 son dependientes, quedando as demostrado el teoremacuando k= 1. Supongamos ahora que el teorema es cierto para k - 1 Y demostremos quetambin 10 es para k. Tomemos un conjunto de k+ 1 elementos en L(S), seaT = {YI , Y2 , . , Yk + Queremos probar que T es dependiente. Puesto que cada 1 }.elemento Yi est contenido en L(S), podemos escribirk(1.4) Yi= LaijXj j=1para cada i = 1,2, , ... , k + 1. Examinemos todos los escalares ail que multipli-can a Xl y, para ello, consideremos dos casos en la demostracin.CASO 1. ail=O para todo i=1,2, ... ,k+1. En este caso la suma (l.4)no incluye a x,; as cada Ji en T est en la envolvente lineal del conjuntoS = {x 2,,xd. Pero S es independiente y contiene k-1 elementos. Por induc- cin y para k-1, el teorema es cierto, siendo por 10 tanto, T dependiente. Estodemuestra el Caso 1. CASO 2. No son cero todos los escalares a. Suponemos que a., =1= O.Tomando i = 1 en la ecuacin (l.4) Y mu 1tiplicando los dos miembros por ci,siendo ci=aifa obtenemos:ll, k CiY1 = ai1x1+ L cia1jxj. j~2Si de esta ecuacin restamos la (l.4), resulta: kCiY1 - Yi = L(cia1j - aij)xj, j~2para i = 2, ... , k + 1. Esta ecuacion expresa cada uno de los elementos CiYI - Yicomo una combinacin lineal de los k - 1 elementos independientes X2, , xi. 33. 14Espacios linealesPor induccin,los k elementos CYl -Yi deben ser dependientes. En consecuencia,para cualquier eleccin de escalares t. ... , tk+l, no todos cero, tenemosk+l ~ t;(CYl - Yi) = O,i~2y de aqu deducimosEsta es una combinacin de Yl, ... , Yk+l, que representa el vector cero, de estamanera los elementos Yl," . , Yk+l deben ser dependientes, completando as lademostracin.1 ,8Bases y dimensinDEFINICIN.Un conjunto finito S de elementos de un espacio lineal V sellama base finita de V si S es independientey genera V. El espacio V es dedimensin finita si tiene una base finita. De otro modo, V es de infinitas dimen-siones. TEOREMA1 .6. Sea V un espacio lineal de dimensinfinita. Entoncestodabase finita de V tiene el mismo nmero de elementos. Demostracin. Sean S y T dos bases finitas de V. Supongamos que S y Tconstan respectivamente de k y m elementos. Puesto que S es independiente y en-gendra V, el teorema 1.5 nos dice que todo conjunto de k + 1 elementos de Ves dependiente. Por consiguiente, todo conjunto de ms de k elementos de V esdependiente. Ya que T es un conjunto independiente, debe ser m :::;; . El mismo krazonamiento con S y T intercambiadas prueba que k :::;; . Por lo tanto k = m.m DEFINICIN.Si un espacio lineal V tiene una base de n elementos,el en-tero n se llama dimensin de V. Escribimos n = dim V. EJEMPLO 1. El espacio V" tiene dimensin n. Una base es el conjunto delos n vectores coordenados unitarios.EJEMPLO2. El espacio de todos los polinomios p(t) de grado :::;; n tienedimensin n + 1. Una base es el conjunto de n + 1 polinomios { 1, t, t", ... , t"}.Todo polinomio de grado :::;;ti es una combinacin lineal de esos n + 1 poli-nomios. EJE M PLO 3. El espacio de las soluciones de la ecuacion diferencialy" - 2y - 3y= O tiene dimensin 2. Una base est formada por las dos fun-ciones u(x) = >. u:z(x) = e", Toda solucin es una combinacin lineal deesas dos. 34. Componentes 15EJEMPLO4. El espacio de todos los polinomios p(t) es de infinitas dimen-siones. El conjunto infinito {1, t, t", ... } genera este espacio y ningn conjuntofinito de polinomios genera el espacio.TEOREMA 1.7. Sea V un espacio lineal de dimensin finita con dim V = n.Se tiene:a) Cualquier conjunto de elementos independiente de V es un subconjuntode una cierta base para V.b) Cualquier conjunto de n elementos independientes es una base para V. Demostracin. Para demostrar (a), consideremos el conjunto independienteS ={Xl ... , Xk} constituido por elementos en V. Si L(S) = V, entonces S es unabase. Si no, entonces hay algn elemento y en V que no est en L(S). Aadamosese elemento a S y consideremos el nuevo conjunto S = {Xl ... , x , y}. Si en esteconjunto dependiente multiplicamos sus elementos por escalares c I, Ck+l,siendo alguno diferente de cero, estableceremos que k.2 c.x + Ck+lY = O.i~lPero Ck+l=l= O puesto que Xl , ,Xk son independientes. De aqu que podamosresolver esta ecuacin respecto a y llegando a la conclusin que yE L(S), lo quecontradice el supuesto de que y no pertenece a L(S). Por lo tanto el conjunto S esindependiente y contiene k+ 1 elementos. Si L(S) = V, entonces S es una base y,siendo S un subconjunto de S, la parte (a) queda demostrada. Si S no es una base,entonces podemos proceder con S de igual manera que procedimos con S y consi-derar otro nuevo conjunto S" que contiene k+2 elementos y es independiente.Si S" es una base, (a) queda demostrado. Si no, repetimos el proceso. Debemosllegar a una base despus de un nmero finito de etapas, ya que de otra maneraobtendramos un conjunto independiente con n+ 1 elementos, contradiciendo elteorema (1.5). Por eso, la parte (a) del teorema (1.7) queda demostrada.Para demostrar la parte (b) consideremos un conjunto independiente S conn elementos. Por la parte (a), S es un subconjunto de base B. Pero por el teore-ma 1.6, la base B tiene exactamente n elementos, por tanto, S =B.1.9 Componentes Sea V un espacio lineal de dimensin n y consideremos una base cuyoselementos e, ... , en se toman en un cierto orden. Una tal base ordenada la con-sideramos como una n-pla (e" ... en). Si X E V, podemos expresar X como unacombinacin lineal de esos elementos base: n(l.S) X = L c.e.,i~l 35. 16Espacios linealesLos coeficientes en esta ecuacin determinan una n-pla de nmeros (e, ... , cn)que est unvocamente determinada por x. En efecto, si tenemos otra represen-tacin de x como combinacin lineal de e" ... , en, por ejemplo x = L;~l i, dierestando de ( 1 ,5) encontramos que L~lCCi- di)ei = O. Pero ya que los ele-mentos base son independientes, eso implica que ci=di para cada i, con lo cual(e" ... , cn)= (di," ,dn).Los componentes de la n-pla ordenada (c., ... , Cn) determinada por (1.5)se llaman componentes de x respecto a la base ordenada (e" ... , en).l.t OEjercicios En cada uno de los ejerCICIOS del 1 al 10, S es el conjunto de todos los vectores(x, y, z) de Vo cuyos componentes satisfacen la condicin que se da. Determinar si S esunsubespacio de Vo Si lo es, calcular dim S.1.x = O. 6. x = yo x = z.2.x + y = O. 7. x2 - y2 = O. 3. x + y + z = O. 8. x + y = 1.4.x =y.9. Y = 2x y z = 3x.5.x = y = z,10. x + V + z = O y x - y - z = O.Sea P, el espacio lineal de todos los polinomios de grado :::;; , siendo n fijo. En cadanejercicio del 11 al 20, sea S el conjunto de todos los polinomios I de P. que satisfacen lacondicin dada. Determinar si S es un subespacio de P. Si lo es, calcular dim S.11. 1(0) = O.12. /(0) = O.13. /"(0) = O.14. 1(0) + /(0) = O.15. 1(0) = 10).16. 1(0) = 1(2).17. Ies par.18. Ies impar.19. Ies de grado s; k, siendo k < n, o I = O.20. Ies de grado k, siendo k < n, o I = O.21. En el espacio lineal de todos los polinomios reales p(t), describir el subespacio engen-drado por cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios y determinar su dimensin.a) {l, t2, t4};b) {t, t3, t5};e) {t, t2};d) {l + t, (1 + t)2}.22. En este ejercicio, L(S) es el subespacio generado por un subconjunto S de un espaciolineal V. Demostrar las proposiciones de la a) a la f).a) S S; L(S).b) Si S S; TS; Vy si T es un subespacio de V. entonces L(S) S; T. Esta propiedad seexpresa diciendo que L(S) es el menor subespacio de V que contiene S.e) Un subconjunto S de V es un subespacio de V si y slo si L(S) = S.d) Si S S; T S; V, entonces L(S) S; L(T).e) Si S Y T son subespacios de V, tambin lo es S T.f) Si S Y T son subconjuntos de V. entonces L(S n T) S;L(S) L(T).g) Dar un ejemplo en el que L(S T) #- L(S) L(T).23. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales definidas en la recta real. Deter-minar si cada uno de los siguientes subconjuntos de V es dependiente o independiente .. Calcular la dimensin del subespacio generado por cada conjunto. 36. Productosinteriores, espacios eucldeos.Normas 17a) {I, e"x, ebX}, a ; b. f) reos x, senx}.b) {e"x, xe"X}.g) {cos" X,sen 2 x}.e) {I, eax, xeax}. h) {I, eos 2x,sen2 x}.d) {e"x, xe", x2eaX}.i) {sen x, sen 2x}.e) {eX, e-x, eoshx}. j) {eX eos x, e-X sen x}.24. Sean V un espacio lineal de dimensin finita, y S un subespacio de V. Demostrarcadauna de las proposiciones siguientes.a) S es de dimensin finita y dim S ~ dim V.b) dim S = dim V si y slo si S = V.e) Toda base de S es parte de una base de V.d) Una base de V no contiene necesariamente una base de S.1.11Productos interiores, espacios eucldeos. Normas En la Geometra eucldea ordinaria, aquellas propiedades que cuentan conla posibilidad de medir longitudes de segmentos rectilneos y ngulos formados porrectas se llaman propiedades mtricas. En nuestro estudio de Vn, definimos laslongitudes y los ngulos en funcin del producto escalar. Queremos ahora exten-der esas ideas a espacios lineales ms generales. Primero introduciremos una ge-neralizacin del producto escalar, que llamaremos producto interior, y luegodefiniremos la longitud y el Anguloen funcin de este producto interior.El producto escalar x . y de dos vectores x = (Xl .. , xn) e y = (Yl, . " Yn)de Vn se defini en el Volumen 1 por la frmulan(1.6) x Y = IXiYi i~lEn un espacio lineal general, escribimos (x, y) en lugar de X y para los productosinteriores, y definimos el producto axiomticamente y no mediante una frmula.Esto es, establecemos unas ciertas propiedades que queremos que satisfagan losproductos interiores y las consideramos como axiomas.DEFINICIN.Un espacio lineal real V tiene un producto interior si a cadapar de elementos x e y de V corresponde un nmero real nico (x, y) que satis-face los siguientes axiomas cualesquiera que sean x, y, z de V y para todos losescalares reales c.1) (x, y) = (y, x)tconmutatividad, o simetra).2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) tdistributividad, o linealidad).3) e(x,y) = (ex, y) (asociatividad, u homogeneidad).4) (x, x) > Osi x rf O(positividad).Un espacio lineal con un producto interior se llama espacio real eucldeo. 37. 18Espacioslineales Observacin: Haciendoe =O en (3), encontramosque (O, y) =Opara todo y. En un espacio lineal complejo, un producto interior (x, y) es un nmerocomplejo que satisface los mismos axiomas que los del producto interior real,excepto el de la simetra que se reemplaza por la relacin(1/) (x, y) = (y, x) , (Sitnetra hermitianatsiendo (y, x) el complejo conjugado de (y, x). En el axioma de homogeneidad, elmultiplicador escalar e puede ser cualquier nmero complejo. Del axioma de lahomogeneidad y (1), llegamos a la relacin(3/)(x, ey) = (ey, x) = (y, x) = (x, y) .Un espacio lineal complejo con un producto interior se llama espacio eucldeocomplejo. (A veces se usa tambin la denominacin de espacio unitario.) Unejemplo es el espacio vectorial complejo vnCC) brevemente discutido en la sec-cin 12.16 del Volumen I.Aunque nos interesan principalmente los ejemplos de espacios eucldeos rea-les, los teoremas de este captulo son vlidos para espacios eucldeos complejos.Cuando decimos espacio eucldeo, sin ms, entenderemos que puede ser real ocomplejo.El lector debiera comprobar que cada ejemplo que sigue satisface todos losaxiomas del producto interior. EJEMPLO l. En Vn sea (x, y) = x . y, el producto escalar ordinario de x e y.EJEMPLO2. Si x =(x, , x2) e Y = (y, , Y2) son dos vectores de V2, defini-mos (x, y) mediante la frmulaEste ejemplo pone de manifiesto que pueden existir ms de un producto interioren un espacio lineal dado. EJEMPLO 3. Sea C(a, b) el espacio lineal de todas las funciones reales con-t En honor de Charles Hermite (1822-1901) matemtico francs que contribuy muchoal desarrollo del lgebra y del anlisis. 38. Productosinteriores, espacios eucldeos. Normas.19tinuas en un intervalo [a, b]. Definamos un productointeriorde dos funcionesf y g con la frmula (j, g)= J: f(t)g(t)dt .Esta frmula es anloga a la ecuacin (1.6). que define el producto escalar de dosvectores en V n. Los valores de las funciones f(t) y g(t) desempean el papel delos componentes x, e y-; y la integracin el de la suma. EJEMPLO 4. En el espacio C(a, b), definimos (j, g) = J: w(t)f(t)g(t)dt ,donde w es una funcin positiva fija de C(a, b.). Tal funcin se llama funcin peso.En el ejemplo 3 tenemos w(t) = 1 para todo t. EJEMPLO 5. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos (j, g) = foX) e-t(t)g(t)dt .Debido al factor exponencial,esta integralimpropiaconvergepara todo par depolinomios f y g. TEOREMA1.8.En un espacio eucldeo V, todo productointerior satisfacela desigualdad de Cauchy-Schwarz: I(x, y)12 ~(x, x)(y, y) para todo xy (todo yen V.Adems, el signo de igualdad es vlido si y slo si x e ySOn dependientes. Demostracin. Si ocurre que o bien x=O o y=O la demostracinestrivial. Supongamos que x e y no son ambas cero. Sea z=ax+byen donde a y bson escalares que especificaremos despus. Tenemos la desigualdad (z,z) ~ O paratodo a y b. Cuando expresamos esta desigualdad en funcin de x e y con unaeleccin apropiada de a y b, obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para expresar (z,z) en funcin de x e y usaremos las propiedades (I"), (2)Y (3), obteniendo(z; z) = (al-+ by,ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by,ax) + (by, by)= aii(x, x) + ah(x,y) + bii(y, x) + bb(y,y) 2 o. 39. 20. Espacios lineales Tomando a=(y,y)y suprimiendo en la desigualdad el factor positivo (y,y),resulta(y, y)(x, x) + bix, y) + b(y, x) + bb ~ O.Ahora, hagamos b= -(x,y). Entonces, b= -(y,x) y la ltima desigualdad,una vez simplificada, toma la forma (y,y)(x, x) ~ (x,y)(y, x) = l(x,y)12.Esto demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz. El signo de igualdad es vlidosi y slo si z = O. Esto ocurre si y slo si x e y son dependientes.EJEMPLO.Aplicando el teorema 1.8 al espacio C(a, b) con el productointerior (j, g) = f~f(t)g(t) dt, encontramos que la desigualdad de Cauchy-Schwarzse transforma en El producto interior puede utilizarse para introducir el concepto mtrico delongitud en cualquier espacio eucldeo.DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, el nmero no negativo Ilxll definidopor la ecuacin Ilxll = (x, X)1/2se denomina norma del elemento x. Cuando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa en funcin de las nor-mas, toma la formaI(x,y)/~ [x] IIyll .Puesto que es posible definir un producto interior de muchas maneras, lanorma de un elemento depender del producto interior elegido. Esta falta de uni-cidad era de esperar. Este hecho es anlogo al de que podemos asignar nmerosdistintos a la medida de la longitud de un segmento rectilneo dado, segn laeleccin de escala o unidad de medida. El teorema que sigue da las propiedadesfundamentales de las normas que no dependen de la eleccin de producto interior. 40. Ortogonalidaden un espacio eucldeo 21TEOREMA1.9. En un espacio eucldeo, toda norma tiene las propiedadessiguientes para todos los elementos x e y, y todos los escalares c:a) [x] = O si x = O.b) [x] > O si x o O(positividad).e) [ex] = [e] Ilxll(homogeneidad).d) IIx + yll ~ [x] + I/yll (desigualdad triangular).El signo de igualdad es vlido en la desigualdad triangular si y slo si x e y sondependientes. Demostracin. Las propiedades a), b) y e) se deducen inmediatamentedelos axiomas del producto interior. Para demostrar d) observemos que[x + yl12 = (x + y, x + y)= (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) == IIxl12 + IIyl12 + (x,y) + (x, y) .La suma (x, y)+ (x, y) es real. La desigualdad de Cauchy-Schwarz pruebaque (x,y)1 ~ Ilxll Ilyll y que l(x,y)1~Ilxll lbll. as que tenemos [x + yll2~ IIxl12 + IIyl12 + 211xll Ilyll = (11xll + lIy11)2.Esto demuestra d). El signo de igualdad en d) es vlido siempre que lo sea en ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando y = ex, siendo e > O, tenemos Ilx+ yll= [x+ ex] = (1 + c) !Ixll = I[xll + [ex] = Ilxll + Ilyl!. DEFINICIN. En un espacio eucldeo real V, el ngulo formado por dos ele-mentos no nulos x e y se define como el nmero e del intervalo O ~ e ~ tr quesatisface la ecuacin(1. 7)ros e= (x, y) .Ilxllllyll Observacin: La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que el cociente del se-gundo miembro de (1.7) est en el intervalo [-1, 1], as que existe slo un () en[O, 7T] cuyo coseno es igual al de este cociente.L.12Ortogonalidad en un espacio eucldeo DEFINICIN.En un espacio eucldeo V, dos elementos x e y se llaman orto-gonales si su producto interior es cero. Un subconjunto S de V es un conjuntoortogonal si (x, y) = O para todo par de elementos distintos x e y de S. Un con-junto ortogonal se llama ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma 1. 41. 22Espacios lineales El elemento cero es ortogonal a todo elemento de V; es el nico elementoortogonal a s mismo. El siguiente teorema demuestra una relacin entre ortogona-lidad y dependencia.TEOREMA1 .10. En un espacio eucldeo V, todo conjunto ortogonal deelementos no nulos es independiente. En particular, en un espacio eucldeo dedisnensin finita con dim V = n, todo conjunto ortogonal que conste de n ele-mentos no nulos es una base para V. Demostracin. Sea S un conjunto ortogonal de elementos no nulos de V,y supongamos que una cierta combinacin lineal finita de elementos de S es cero,Seak!CiXi= O,i=ldonde cada x, E S. Formando el producto escalar de cada miembro por Xl yteniendo en cuenta que (Xl Xi) = O si i =1= 1, encontramos que c, (Xl Xl) = O.Pero (XI Xl) =1= O ya que Xl =1= O con lo cual c, = O. Repitiendo el razonamientocambiando x, por x., encontramos que cada e = O. Esto prueba que S es indepen-diente. Si dim V = n y si S consta de n elementos, el teorema 1.7 b) demuestraque S es una base para V.EJEMPLO. En el espacio lineal real C(O, 277") con el producto interior(f, g) = J~lTj(x)g(x) dx, sea S el conjunto de las funciones trigonomtricas {uo,u U2, .. } dadas por l,uo(X) = 1, U2n_1(X) = cos nx, U2n(X) = sen nx ,para n = 1,2, ....Si m =1= n, tenemos las relaciones de ortogonalidadas que S es un conjunto ortogonal. Puesto que ningn elemento de S es el ele-mento cero, S es independiente. La norma de cada elemento de S se calcula fcil-mente. Tenemos (uo , uo)f~lT dx = = 277" y, para n ~ 1, tenemos(U2n-l U2n-1) = I"cos nx dx = o2 7T, (U2n,.U2n) {2lT 2 = Jo sen nx dx = 7T. 42. Ortogonalidad en un espacio eucldeo23Por consiguiente, Iluoll = Vl; y /1 Un 11 = y:;;: para n ~ 1. Dividiendo cada Un porsu norma, obtenemos un conjunto ortonormal {9!O,9!l,9!2, .,. } donde e. n/llunll.=uAs pues, tenemos 1sennx9!o(x) = . /- , V 2179!2(X) = V; ,para n ~ 1.En la seccin 1.14 demostraremos que todo espacio eucldeo de dimensinfinita tiene una base ortogonal. El teorema que sigue muestra cmo se calculanlos componentes de un elemento relativos a una tal base. TEOREMA 1 .11. Sea V un espacio eucldeo de dimensin finita n, y supon-gamos que S = {el ... , e} es una base ortogonal para V. Si un elemento x estexpresado como una combinacin lineal de los elementos de la base, sea sta(1.8) x =2cieii=lentonces sus componentes relativos a la base ordenada (el> ... , en) vienen dadospor las frmulas(x, ej)(1.9)Cj = -(--)e e.,para j=1, 2, ... , n.jEn particular, si S es una base ortonormal, cada e viene dada por(1.10)Demostracin.Formando el producto interior de cada miembro de(1,8)con ej, obtenemos n (x, ej) = 2c;(ei, e) = cj(ej, e) i=lpuesto que (e, ej) = O si i =1= Esto implica (1.9), y cuando (e , e) = 1, obte- j.nemos (1.10). Si {el ... , en} es una base ortonormal, la ecuacin (1 .9) puede escribirseen la forma .n(1.11)X = 2(x,ei)eii=l 43. 24Espacios linealesEl siguiente teorema prueba que en un espacio eucldeo real de dimensinfinita con una base orto normal el producto interior de dos elementos es igual a lasuma de los productos de sus componentes. TEOREMA 1.12.Sea V un espacio eucldeo real de dimensin finita n,y supongamos lJue {el> ... , en} es una base ortonormal para V. Para todo par deelementos x e y de V, tenemos n(1.12) (x, y) = L (x, ei)(y, ei)(Frmula de Parseval).i=lEn particular, cuando x = y, tenemosn(1.13) IIxl12 =L I(x, i=le)12Demostracin. Formando. el producto interior de ambos miembros de laecuacin (1.11) con y, y aplicando la propiedad de linealidad del producto inte-rior, obtenemos (1.12). Cuando x = y, la ecuacin (1.12) se reduce a (1.13).Observacin:La ecuacion(1.12) se denomina como se indica en honor de M. A. Parseval (aproximadamente1776-1836), que obtuvo este tipo de frmula en UD espacio funcional especial. La ecuacin (1.13) es una generalizacin del teorema de Pitgoras.1.13 Ejercicios1. Sean x =(XI"" xn) e y = (YI"" Yn) vectores arbitrarios de Vn. Determinar en cada caso, si (x, y) es un producto interior en Vn, si (x, y) est definido por la frmula que se da. En el caso en que (x, y) no sea un producto interior, decir cules son los axiomas que no se satisfacen. n a) (x, y) = LXi/Yi/n )1/2 d) (x, y) = ( i~1 xyi=lnn n e) (x,y) = L(xi+ Yi)2 - LX~ - LY i=li=l i=l nn e) (X,y) = LXi LYi .i~1i~12. Supongamos que mantenemos los tres primeros axiomas del producto interior real (simetra, linealidad y homogeneidad) pero reemplazamos el cuarto axioma por uno nue- vo (4): (x, x) = O si y slo si x = O. Demostrar que o (x, x) > O para todo x; O o bien (x, x) < O para todo x ; O. 44. Ejercicios25[IndicacinSuponer (x, x) > O para un cierto x , O Y (y, y) < O para un ciertoy , O. En el espacio generado por {x, y}, hallar un elemento z , O eon (z, z) = O.]Demostrar que en los ejercicios del 3 al 7 cada una de las proposiciones es vlida paratodo par de elementos x e y de un espacio eucldeo real. 3. (x,y) = Osi y slo si [x + yll = [x - yll. 4. (x,y) = Osi y slo si Ilx + yl12 = IIxl12 + Ily112. 5. (x,y) = Osi y slo si [x + cyll :2 [x] para todo e real 6. (x + y,x - y)= O si y slo si [x] = Ilyll. 7. Si x e y son elementos no nulos que forman un ngulo (), entonces Ilx - yl12 = IIxl12 + lIyl12 - 2 Ilxll lIyll cos (). 8. En el espacio lineal real C(l, e), definimos un productointerior por(f,g) = f: (log x)f(x)g(x)dx.a) Si I(x) = V.;, calcular 11/11.b) Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a+ bx que sea ortogonala la funcinconstante I(x) = 1. 9. En el espacio lineal real C( -,1), sea (J, g)=f=-l f(t)g(t)dt.Considerar las tres fun-ciones U" u2 u3 dadas porU3(t) = 1 +t .Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos forman entre s un ngulo lT/3, y dosforman entre s un ngulo lT /6.10. En el espacio lineal P. de todos los polinomios reales de grado ~ n, definimosa) Demostrar que (J, g) es un producto interior para P.b) Calcular (J, g) cuando l(t) = t Y g(t) = at + b.e) Si I(t) = t, hallar todos los polinomios g ortogonales a l.11. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos (J, g) =e-t(t)g(t) dt. S;;a) Demostrar que esa integral impropia converge absolutamente para todos los polino-mios I y g.b) Si x.(t) = t" para n = O, 1, 2, ... , demostrar que (X., xm) = (m + n)! .e) Calcular (J, g) cuando l(t) = (t + 1)2 y g(t) = t2 + 1.d) Hallartodos los polinomios de primer grado g(t) = a + bt ortogonales a I(t) = 1 + t.12. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, determinar si (/, g) es o no ur;producto interior cuando se define (J, g) con la frmula que se da. En el caso en que(J, g) no es un producto interior, indicar qu axiomas no son respetados. En e), f yg indican derivadas. 45. 26Espacios lineales a) (f,g)= I(l)g(l) e)(l. g)= J: f(t)g(t) dt, b) (f,g)=I J: I(t)g(t) dt ld) (f,g) =U:I(t) dt)U:g(t)dt).13. V est formado con todas las sucesiones indefinidas de nmeros reales {x.} para loscuales las series1:X2convergen. Si x = {x.} e y = {y.} son dos elementos deV,definimos"QO (x,,,) = 1: x,.y" . "=1a) Demostrar que esta serie converge absolutamente.[Indicacin: Usar la desigualdad de Cauchy-Schwarzpara aproximar la suma1:~=1 Ix,.y"I.l;b) Demostrar que V es un espacio lineal con (x, y) como producto interior.e) Calcular (x, y) si x; = l/n e y. = l/(n + 1) para n ~ 1.d) Calcular (x,Y) si x; = 2" e y. =l/n! para n ~ 1.14. Sea V el conjunto de todas las funciones reales I continuas en [O, + 00) y tales que laintegralS:e-tI2(t)dt converge. Definamos (J, g) = S:e-tl(t)g(t)dt.a) Demostrar que la integral que da (/, g) converge absolutamente para cada par defunciones I y g de V.[Indicacin: Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para aproximar la inte-gral Jf e-tl/(t)g(t)ldt.]b) Demostrar que V es un espacio lineal con (j, g) como producto interior.e) Calcular (j, g) si I(t) = e-t y g(t) =t, donde n=0, 1, 2, ....15. En un espacio eucldeo complejo, demostrar que el producto interior tiene las siguientespropiedades para todos los elementos x, y, z y todos los complejos a y b.a) (ax, by) = a(x, y).b) (x, ay + bz) = a(x, y) + (x, z).16.Demostrar que en todo espacio eucldeo son vlidas las identidades siguientes. a) Ilx + ylll = IIxl12 + lIy/l2 + (x,y) + (y. x).b) [x + yll2 - /Ix - yl12 = 2(x, y) + 2(y, x). e) Ilx + yl12 + Ilx - ylll = 2 Ilxlll + 2 Ily112.17. Demostrar que el espacio de todas las funciones complejas continuas en un intervalo[a, b] se transforma en un espacio unitario si definimos un producto interior por lafrmula(f, g) = J:w(t)/(t)g(t) dt ,donde w es una funcin positiva fija, continuaen [a, b].1.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt Todo espacio lineal de dimensin finita tiene una base finita. Si el espacio eseucldeo, podemos construir siempre una base ortogonal. Este resultado se dedu- 46. Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 27cir como consecuencia de un teorema cuya demostracin ensea a construirconjuntos ortogonales en cualquier espacio eucldeo. de dimensin finita o deinfinitas dimensiones. La construccin se llama mtodo de Gram-Schmidt, en me-moria de J. P. Gram (1850-1916) y E. Schmidt (1845-1921).TEOREMA 1.13.TEOREMA DE ORTOGONALIZACIN.Sea X, X2, ... , una su-cesin finita o indefinida de elementos de un espacio eucldeo V, y designemoscon L(x l, Xk) el subespacio generado por los k primeros de esos elementos. ,Existe una sucesin correspondiente de elementos YI> Y2... , de V que tiene lassiguientes propiedades para cada entero k:a) El elemento Yk es ortogonal a todo elemento del sub espacio L(YI> ... Yk-~).b) El sub espacio generado por YI> , Yk es el mismo que el generadopor Xl . xi: e)La suceston YI. Y2... es nica, salvo factores escalares. Esto es, siy; , Y2,.. , es otra sucesin de elementos de V que satisfacen las propiedades a)y b), entonces para cada k existe un escalar Ck tal que Y~ = cltYltDemostracin. Construyamos los elementos Y1> Y2, ... , por induccin. Parainiciar el proceso, tomamos YI = Xl Supongamos ahora que hemos construidoYI, , Yr de modo que a) y b) se satisfacen cuando k = r. Definamos Yr+1 me-diante la ecuacinr(1.14)Yr+l = xr+1 -!aiYi , i=ldonde los escalares al ... , a- tienen que determinarse. Para j ::;;r, el productointerior de Yr+l con Yi viene dado por , (Y"-1 Yi) = (X,+!, Yi) - , ,! a(yi , Yi)i=1= (X,+!, Yi) - a(YiYi)puesto que (Yi, Yi) = O si i # j. Si Yi.=I= podemos hacer Yr+l ortogonal a YiO,tomando(1.15)a = (x,+!, Yi) . i (YiY;)Si Yi = O, entonces Yr+l es ortogonal a Yi para cualquier a que se elija, en estecaso elegimos a = O. As pues, el elemento Yr+l est bien definido y es ortogonal 47. 28Espacios linealesa cada uno de los anteriores elementos y" ... , Yr Por consiguiente, es ortogonala todo elemento del subespacio Esto demuestra a) cuando k = r + 1. Para demostrar b) cuando k = r + 1 , tenemos que probar queL(Y1," ,Yr+l) = L(x1,, xr+1), dado que L(Y1," ,Yr) = L(x1,, x.).Los r primeros elementos YH . , y, pertenecen a y por tanto estn en el subespacio ms amplio L(x1, ... , xr+l) El nuevo elemen-to Y+1 dado por (1.14) es una diferencia de dos elementos de L(x1, X+1) as que tambin est en L(X1 ...xr+l) Esto demuestra queLa ecuacin (1 .14) prueba que xr+1 es la suma de dos elementos deL(Y1 , ... , Yr+1)con lo que un razonamiento anlogo da la inclusin en el otro sentido:Esto demuestra b) cuando k = r + l. Por lo tanto a) y b) han sido demostradospor induccin respecto de k.Finalmente demostramos e) por induccin respecto de k. El caso ic = 1 estrivial. Por consiguiente, supongamos que e) es cierto para k = r y consideremosel elemento Y;+l . En virtud de b), este elemento pertenece aL(Y1," ,Yr+l)as que podemos escribirr+1 Y;+l =! CiYi = z; + Cr+lYr+li=1donde Z, E L(y, ... y,). Queremos demostrar que z, = O. Por la propiedada), Y;+l y cr+lYr+l son ambos ortogonales a z-. Por consiguiente, su diferencia, z.,es ortogonal a z.. Dicho de otro modo, z; es ortogonal a s mismo, as quez; = O. Esto completa la demostracin del teorema de ortogonalidad.En la construccin anterior, puede suceder que Yr+l = O para algn r. Enton-ces (1 .14) prueba que Xr+1 es una combinacin lineal de Y1 y" y por tanto 48. Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 29de X" , x" as que los elementos X1J , Xr+l son dependientes. En otras pa-labras, si los Ti primeros elementos X1J , Xk son independientes, los elementoscorrespondientes Y1J , Yk son no nulos. En este caso los coeficientes ai de (1.14)vienen dados por (1.15), y las frmulas que definen Y" ... , Yk se convierten en1 2 L (x,+!, Yi) Yi { k 1(1.16) Yl = Xl ,Yr+l= xr+! -(. .)para r = , , ... , - . i~l y" y,Estas frmulas constituyen el mtodo de Gram-Schmidt para construir un conjuntoortogonal de elementos no nulos Y1J , Yk que generan el mismo subespacio queel conjunto independiente dado X" "xs. En particular, si X" , x es unabase para un espacio eucldeo de dimensin finita, entonces Y" ... , Yk es una baseortogonal para el mismo espacio. Tambin podemos convertir sta en una baseortonormal normalizando cada uno de los elementos Yi, esto es, dividindolo porsu norma. Por consiguiente, como corolario del teorema 1.13 tenemos el si-guiente. TEOREMA1.14. Todo conjunto eucldeo de dimensin finita tiene una baseortonormal. SiX e y son elementos en un espacio eucldeo, con y =1= O, el elemento(X, y) y(y, y) Y3 = X3 - QtY,- Q Y Q. - ~2 2I - (y, Y)FIGURA 1.1 El mtodo de Gram-Schmidt en Va Un conjunto ortogonal {Y" Y2 Y3} se construye a partir de un conjunto independiente {x., x2 xa}. 49. 30Espacios linealesse llama la proyeccin de x sobre y. En el mtodo de Gram-Schmidt (1.16),construimos el elemento Yr+l restando de Xr+l la proyeccin de Xr+l sobre cadauno de los anteriores elementos YI> .. , Yr. La figura 1.1 representa la construc-cin geomtrica en el espacio vectorial V3 EJEMPLO 1. En V., hallar una base ortonormal para el subespacio generadopor los tres vectores Xl = (1, -1, 1, -1), X2 = (5, 1, 1, 1,),Y X3 = (-3, -3,1, -3). Solucin. Aplicandoel mtodo de Gram-Schmidt,encontramos Yi = Xl =(1, -1, 1, -1) , Y2 = X2 - (X2, YI) YI = X2 - YI = (4 , 2 " O 2) , (YI, y) Ya = Xa -(xa, YI)--- YI - (xa, Y2)Y2 = X3 - YI + Y2= (O , O" O O) .(y , YI)(Y2, Y2)Puesto que Y3 = O, los tres vectores X, X2, X3 deben ser dependientes. Pero yaque Yl e Y2 son no nulos, los vectores Xl y ~2 son independientes. Por consiguienteL(xl, X2, x3) es un subespacio de dimensin 2. El conjunto {YI> Y2} es una baseortogonal para ese subespacio. Dividiendo YI e Y2 cada uno por su norma llegamosa una base ortonormal que consta de dos vectores YI1---- = -(1 -1 1 -1 ) y ---- = .17(2, 1,0,1 ) .Y2 1IIYIII 2 "IIY211v6EJEMPLO 2.Polinomios de Legendre. En el espacio lineal de todos los po-linomios, con el producto interior (x, y) =f=-l x(t) y(t) dt, consideramos la sucesinindefinida x", XI> x2, , donde xn(t) = t". Cuando se aplica a esa sucesin elteorema de ortogonalizacinse transforma en otra sucesin de polinomiosYo, YI> Y2 ... , que el matemtico francs A. M. Legendre (1752-1833) fue elprimero en encontrar en su trabajo sobre la teora del potencial. Los primeros deesos polinomios se calculan fcilmente con el mtodo de Gram-Schmidt. Antetodo, tenemos yo(t) = x,,(t) = 1. Puesto que (Yo, Yo) =fl -1dt = 2 y(Xl ,Yo) =fl tdt = O,-1encontramosque 50. Complementos ortogonales. Proyecciones31A continuacin, utilizamos las relaciones 22JJI 2 I 2 (x2 , Yo)= t dt = -,(x2 , Yl) =Jlt3 dt = O, (y , Y) = t dt = --1 3 -1 -1 3para obtenerY2(t) = x2(t) - (x2 , Yo) Yo(t) _ (x2 , Yl) y(t) = t2 _ !.(Yo , Yo) (Yl , Yl)3Del mismo modo, encontramos que36 2Y3(t) = t3- 5t ,4 Y4(t) = t - - t . 7 + -3 , 35 . . Ys(t) = 5 t - 10 3 - t+ -5 t .9 21En el captulo 6 encontraremos de nuevo esos polinomios en el estudio de lasecuaciones diferenciales, y probaremos que n Y (t) = - n! - (2 t -dln) .n(2n)! dt"Los polinomios P; dados por(2n)!1a: ( 2)n PnCt) = 2n(n !)2 Yn(t)=2nn! dtn t - 1se conocen con el nombre de polinomios de Legendre. Los polinomios de la su-cesin ortonormal correspondiente rpo, ({!i, rp2" . , dados por rpn= Yn/IIYnll sellaman polinomios de Legendre normalizados. De las frmulas para Yo, ... , Y5dadas antes, encontramos que -({!o(t) = viI({!(t)= J23 t ,({!s(t) 1m= 8~ 2" (63t5- 70t3 + 15t) .1.15 Complementos ortogonales. ProyeccionesSean V un espacio eucldeo y S un subespacio de dimensin finita. Vamosa considerar el siguiente problema de aproximacin: Dado un elemento x de 51. 32 EspacioslinealesV, determinar un elemento en S cuya distancia a x sea lo ms pequea posible.La distancia entre dos elementos x e y se define como la norma Ilx - Y,.Antes de discutir este problema en su forma general, consideremos un casoparticular, representado en la figura 1.2. Aqu V es el espacio vectorial V" y S esun subespacio de dimensin dos, un plano que pasa por el origen. Dado x de V,el problema consiste en encontrar, en el plano S, el punto s ms prximo a x.Si x E S, evidentemente la solucin es s = x. Si x no pertenece a S, el puntoms prximo s se obtiene trazando una perpendicular desde x al plano. Este sen-cillo ejemplo sugiere una introduccin al problema general de aproximacin y daorigen a la discusin que sigue. DEFINICIN. Sea S un subconjunto de un espacio eucldeo V. Se dice que unelemento de V es ortogonal a S si es ortogonal a todo elemento de S. El conjuntode todos los elementos ortogonales a S se designa con Si- y es el perpendiculara S.Es un ejerCICIOsencillo comprobar que Si- es un subespacio de V, tanto,si S lo es como si no loes. En el caso en que S sea un subespacio, entonces Si- sellama complemento ortogonal de S. EJEMPLO. Si S es un plano que pasa por el origen, como se ve en la figu- ra 1.2. entonces Si- es una recta por el origen perpendicular a ese plano. Esteejemplo da tambin una interpretacin geomtrica para el teorema siguiente.sJ.. FIGURA 1.2 Interpretacin geomtrica del teorema de descomposicin ortogonal en V3 52. Complementos ortogonales. Proyecciones 33 TEOREMA1.15. TEOREMA DE LA DESCOMPOSICION ORTOGONAL. Sean V unespacio eucldeo y S un subespacio de V de dimensin finita. Todo elemento xde V puede representarse en forma nica como una suma de dos elementos, unode S y otro de S.l-. Esto es, tenemos(1.17) x = s + s.l-,donde sESAdems, la norma de x viene dada por la frmula pitagrica(1.18) Demostracin. Demostremos primero que existe en realidad una descom-posicin ortogonal (1.17). Puesto que S es de dimensin finita, tiene una baseortonormal finita, sea sta {el ... , en}. Dado x, definimos los elementos s y s.l-as: n.L(1.19)S = L (x, ei)ei~li , S=x-s.Observemos que cada trmino (x, ei)ei es la proyeccin de x sobre et. El elemen-to s es la suma de las proyeccciones de x sobre cada elemento de la base. Puestoque s es una combinacin lineal de los elementos de la base, s est en S. La defi-nicin de sol prueba que la ecuacin (1 .17) es vlida. Para demostrar que solest en S.1, consideremos el producto interior de s.1. y cualquier elemento e de labase. TenemosPero de (1.19;), encontramos que (s, e) = (x, e), as que s.1.es ortogonal a ej.Por consiguiente si es ortogonal a todo elemento de S, lo cual significa ques.1. E S.1..Probamos a continuacin que la descomposicin ortogonal (1.17) es nica.Supongamos que x tuviera dos descomposiciones, sean stas(1.20) I x=s+sl y x= (+ (.l.,donde s y t estn en S, y sI Y (1 estn en S1o. Queremos demostrar que s = t Ys-L-= (l.. De (1.2.0),tenemos s - t = (1. - s.L, as que slo necesitamos demos-trar que s - t = O. Pero s - t E S Y (1. - s-L E S1.. con lo que s - t es orto-gonal a (1.. - s.L e igual a t..l..- sl-. Puesto que el elemento cero es el nico ele-mento ortogonal a s mismo, debe ser s - t = O. Esto demuestra que la descom-posicin es nica. 53. 34 EspacioslinealesFinalmente, demostremos que la norma de x viene dada por la frmulapita-grica. Tenemos IIxl12 =(x, x)=(s + s~, s + SL) = (s, s) + (S~, SJ),siendo nulos los restantestrminos ya que s y s~ son ortogonales. Esto demues-tra (1.18). DEFINICIN.Sea S un sub espacio de dimensin finita de un espacio eucldeoV, y sea {el> ... , en} una base ortonormal para S. Si x E V, el elemento s defi-nido por la ecuacinn S =2 (x, ei)ei i=lse denomina proyeccinde x sobre el subespacio S. Demostramos seguidamente que la proyeccin de x sobre S es la solucindel problema de aproximacin establecido al comienzo de esta seccin.1.16 Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementosde un subespacio de dimensin finitaTEOREMA1.16.TEOREMASea S ,un subespacio de di- DE APROXIMACIN.mensin finita de un espacio eucldeo V, y sea x un elemento de V. La proyeccinde x sobre S es ms prxima a x que cualquier otro elemento de S. Esto es, si ses la proyeccin de x sobre S, tenemos [x - sil ~ [x - tjlpara todo t de S; es vlido el signo de igualdad si y slo si t = s. Demostracin.En virtud del teorema 1.15 podemos escribir x = s + s~,donde s E S Y s~E S~. Entonces, para cualquier t de S, tenemosx -t = (x - s)+ (s - t) .Puesto que s - t E S Y x - s = s~ E S~, sta es una descomposicin ortogonalde x - t, as que su norma viene dada por la frmula pitagricaIlx - tl12 = IIx -,sI12 + lis - t112. 54. Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo35Pero lis - tl12 0, con lo que Ilx - tW Ilx- sW,valiendoel signo igual siy slo si s = t. Esto completa la demostracin.EJEMPLO 1. Aproximacin de funciones continuas en [O, 217],por polino-mios trigonomtricos. Sea V = C(O, 217), el espacio lineal de todas las funcionesreales continuas en el intervalo [0,277], y definamos un producto interior mediantela ecuacin (1, g) =n"f(x)g(x) dX.En la seccin 1.12 vimos un conjunto orto-normal de funciones trigonomtricas CFo, CFI, CF2, , donde1cos kx sen kx(1.21) CFo(X) = _/-, CF2k-l(X)= y; , CP2k(X) =y; para k 1.V 217 Los 2n + 1 elementos epo, epI ... , ep2n generan un subespacio S de dimensin2n+ 1. Los elementos de S se llaman polinomios trigonomtricos.Si f E C(0,27T), sea l la proyeccin de f sobre el sub espacio S. Tenemosentonces2n(1.22) I; = l:O r. Los elementos T(ek+l),... , T(ek+.) son dependientesya que nr. Utilizar >este hecho para obtener una contradiccin.] 64. 46Transformaciones lineales y matrices2.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales Las funciones cuyos valores pertenecen a un espacio lineal dado W puedensumarse unas con otras y pueden multiplicarse por escalares de W de acuerdocon la definicin siguiente. DEFINICIN. Sean S: V ~ W y T: V ~ W dos funciones con un dominiocomn V y con valores pertenecientes a un espacio lineal W. Si e es un escalarcualquiera de W, definimos la suma S + T y el producto cT por las ecuaciones(2.4) (S + T)(x) = S(x) + T(x) , (cT)(x) = cT(x)para todo x de V.Nos interesa especialmente el caso en el que V es tambin un espacio linealcon los mismos escalares que W. En este caso designamos con 2( V, W) el con-junto de todas las transformaciones lineales de V en W.Si S Y T son dos transformacioneslineales de 2( V, W), es un sencillo ejerci-cio comprobar que S + T y cT tambin son transformacioneslineales de 2( V, W).An ms. Con las operaciones que acabamos de definir, el mismo conjunto2( V, W) se transforma en un nuevo espacio lineal. La transformacincero sirvede elemento cero en ese espacio, y la transformacin (-l)T es la opuesta de T.Se comprueba que se satisfacen los diez axiomas de un espacio lineal. Por con-siguiente, tenemos el siguiente. TEOREMA2.4. El conjunto 2(V, W) de todas las transformaciones linea-les de V en W es un espacio lineal con las operaciones de adicin y multiplica-cin por escalares definidas en (2.4). Una operacin algebraica ms interesante que se efecta con las transfor-maciones lineales es la composicin o multiplicacin de transformaciones.Estaoperacinno utiliza la estructura algebraica de un espacio lineal y puede definirsecon entera generalidad del siguiente modo.DEFINICIN. Dados los conjuntos U, V, W. Sean T: U ~ V una funcin condominio U y valores en V, y S: V ~ W otra funcin con dominio V y valores enW. La composicin ST es la funcin ST: U ~ W definida por(ST)(x) = S[T(x)]para todo x en U. As pues, para aplicar x mediante la composicin ST, aplicamosprimero xmediante T y luego aplicamos T(x) por medio de S. Esto se representa en la figu-ra 2.1. 65. Operacionesalgebraicas con transformaciones lineales47ST:U.W FIGURA2.1 Grfico de la composicinde dos transformaciones.La composicin de funciones reales se ha encontrado repetidas veces ennuestro estudio del Clculo, y hemos visto que la operacin, en general, no esconmutativa. No obstante, como en el caso de las funciones reales, la composi-cin satisface la ley asociativa. TEOREMA2.5. Si T: U ~ V, S: V ~ W, y R: W ~X son tres funciones, te-nemos R(ST) = (RS)T.Demostracin.Las funciones R(ST) y (RS)T tienenambas dominio U yvalores en X. Para cada x de U, tenemos[R(ST)J(x) = R[(ST)(x)]= R[S[T(x)]] y [(RS)TJ(x)= (RS)[T(x)] = R[S[T(x)]],10 que demuestraque R(ST)= (RS)T. DEFINICIN. Sea T: V ~ V una funcin que aplica V en s mismo. Defini-mos .inductivamente las potencias enteras de T como sigue: TO= l.T" = TT> para n;;:: l.Aqu 1 representa la transformacin idntica. El lector puede comprobar quela ley asociativa implica la ley de exponentes 1""Tn = 1""+70 para todos los ente-ros no negativos m y n.El teorema que sigue prueba que la composicin de transformaciones linealeses lineal. 66. 48Transformacioneslineales y matricesTEOREMA2.6. Si U, V, W son espacios lineales con los mismos escalares,y si T: U ~ V Y S: V ~ W son transformacioneslineales, la composicin ST: U ~ Wes lineal.Demostracin.Para todo x y todo y de U y todos los escalares a y b, te-nemos(ST)(ax + by) = S[T(ax+ by)] = S[aT(x) + bT(y)] = aST(x)+ bST(y) .La composicin puede combinarse con las operaciones algebraicas de adiciny multiplicacin por escalares en 2( V, W) llegando al siguiente TEOREMA 2.7. Sean U, V, W espacios lineales con los mismos escalares,supongamos que S y T pertenecen a 2"( V, W), y sea e un escalar cualquiera. a) Para cualquier funcin R con valores en V, tenemos(S + T)R = SR + TR y (cS)R= c(SR) . b)Para cualquiertransformacin lineal R: W ~ U, tenemosR(S + T) = RS + RT y R(cS) = c(RS) . La demostracin es una consecuencia inmediata de la definicin de compo-sicin y se deja como ejercicio.2.6Inversas Al estudiar las funciones reales aprendimos cmo construir nuevas funcionesmediante la inversin de funciones montonas. Queremos ahora extender el m-todo de inversin a una clase ms general de funciones. Dada una funcin T, nuestro objetivo es encontrar, si es posible, otra funcinS cuya composicin con T sea la transformacin idntica. Puesto que la compo-sicin, en general, no es conmutativa, tenemos que distinguir ST de TS. Por lotanto introducimos dos tipos de inversas que llamamos inversa por la derecha einversa por la izquierda. DEFINICIN.Dados dos conjuntos V y W y una funcin T: V ~ W. Se diceque una funcin S:T(V) ~ V es inversa de T por la izquierda si S[T(x)] = xpara todo x de V, esto es, si ST= Iv, 67. Inversas 49donde I es la transformacinidntica sobre V. Una funcin R: T(V) ~ V sellama inversa de T por la derecha si T[R(y)] =Y para todo y de T(V), esto es, si TR= ITw),donde Ir(V) es la transformacin idntica sobre T(V). EJEMPLO. Una funcin sin inversa por la izquierda pero con dos inversaspor la derecha. Sean V = {1, 2} Y W = {O}. Definimos T: V ~ W como sigue:T( 1) = T(2) = O. Esta funcin tiene dos inversas por la derecha R: W ~ V YR: W ~ V dadas porR(O) =1, R(O) = 2.No puede tener inversa por la izquierda S ya que ello exigira 1 = S[T(I)] = SeO)y 2 = S[T(2)] = SeO) .Este sencillo ejemplo pone de manifiesto que no tiene que existir necesariamenteinversa por la izquierda y que la inversa por la derecha no tiene que ser necesa-riamente nica. Toda funcin T: V ~ W tiene por lo menos una inversa a la derecha. En efec-to, cada y de T(V) tiene la forma y = T(x) para al menos un x de V. Si elegimosuno de esos valores x y definimos R(y) = x, entonces T[R(y)] =T(x) = y paracada y de T(V), as que R es una inversa por la derecha. La no unicidad puede pre-sentarse debido a que puede haber ms de un x de V que se aplique en un y deT(V). Dentro de poco demostraremos (teorema 2.9) que si cada y de T(V) esla imagen de un slo x de V, la inversa por la derecha es nica.Antes demostraremos que si existe inversa por la izquierda es nica y, al mismotiempo, es inversa a la derecha. TEOREMA 2.8. Una T: V ~ W puede tener a lo ms una inversa por laizquierda. Si T tiene inversa por la izquierda S, entoncesS es tambin inversapor la derecha.Demostracin.Supongamos que T tenga dos inversas por la izquierda,S: T(V) ~ V Y S: T(V) ~ V. Elijamos cualquier y en T(V). Demostraremos queS(y) = S(y). Como y = T(x) para un cierto x de V, tenemosS[T(x)] =x yS/[T(x)] = x, 68. so Transformaciones lineales y matricespuesto que S y S son ambas inversas por la izquierda. Por consiguienteS(y) = xy S(y) = x, con lo que S(y) = S(y) para todo y de T(V). Por lo tanto S = S10 que demuestra que las inversas por la izquierda coinciden. Demostremos ahora que toda inversa por la izquierda S es tambin inversapor la derecha. Elijamos un elemento cualquiera y en T(V). Demostraremos queT[S(y)] = y. Puesto que y E T(V), tenemos y = T(x) para un cierto x de V. PeroS es inversa por la izquierda, as que x = S[T(x)] = S(y).Aplicando T, llegamos a T(x) = T[S(y)]. Pero y=T(x), con 10 que yT[S(y)], =lo cual completa la demostracin. El teorema que sigue caracteriza todas las funciones que tienen inversa porla izquierda. TEOREMA2.9. Una funcin T: V ~ W tiene inversa por la izquierda si yslo si T aplica elementos distintos de V en elementos distintos de W; esto es,si y slo si, para cualesquiera x e y de V,(2.5) x:;tyimplicaT(x) :;t T(y). Nota: La condicin (2.5) es equivalente a la afirmacin (2.6) T(x) = T(y) rnplica x= y . Una funcin T que satisface (2.5) o (2.6) para cualesquierax e y de V se denomina uno a uno en V. Demostracin. Supongamos que S es la inversa por la izquierda de T, y queT(x)=T(y). Queremos demostrar que x=y. Aplicando S, encontramos S[T(x)] =S[T(y)]. Puesto que S[T(x)] = x y S[T(y)] = y, esto implica x = y. Con elloqueda demostrado que una funcin con inversa por la izquierda es uno a uno ensu dominio. Demostremos ahora el recproco. Supongamos que T es uno a uno en V.Encontraremos una funcin S: T(V) ~ V que es inversa de T por la izquierda.Si y E T(V), entonces y = T(x) para un cierto x de V. En virtud de (2.6), exis-te exactamente un x en V para el cual y = T(x). Definamos S(y) como ese x. Estoes, definamos S en T(V) como sigue:S(y)=x implica queT(x) = y.Tenemos entonces S[T(x)] = x para cada x de V, as que ST = Iv. Por consi-guiente, la funcin S as definida es inversa de T por la izquierda. 69. Transformaciones lineales uno a uno 51 DEFI