CLCULO 15 de enero de 2015 E1 (2 puntos)

Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .

Nota E1

La prueba onstituida por los ejeriios E1 y E2 es omn a todos los alumnos de la asignatura,

on independenia del resultado de la prueba de otubre de 2014.

EJERCICIO E1 - TEST (2 PUNTOS)

El test onsta de 8 preguntas. Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta.

Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.

V F

X

1. La funin f(x) = x3 x alanza dos extremos relativos en R.

X

2. La funin f(x) =

1

x2si x 6= 0

0 si x = 0

tiene un mnimo absoluto en x = 0.

X

3. Si {an} y {b

n} son suesiones de trminos positivos entones la suesin

{an

bn

}est aotada

inferiormente.

X

4. La serie

an

onverge si y slo si la suesin {a

n} onverge a 0.

X

5. Si

anes una serie onvergente de trminos positivos, entones

a2nes onvergente.

X

6. La serie

n=0

(1)n

n+ 1es onvergente.

X

7. Sea {fn(x)} una suesin de funiones ontinuas que onverge puntualmente a f(x). Si la

onvergenia no es uniforme, entones f(x) no es ontinua.

X

8. El radio de onvergenia de la serie de potenias

n=1

xn

n2es .

CLCULO 15 de enero de 2015 E2 (3 puntos)

Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .

Nota E2

EJERCICIO E2 (3 PUNTOS)

(a) (1 punto) Desarrolle en serie de potenias en torno a x0 = 0 la funin

f(x) =2x

1 + x2

e indique el onjunto de valores de x en los que la serie onverge a f(x).

(b) (1 punto) Calule

F (x) =

x

0

2t

1 + t2dt

integrando la expresin, e indique ul es mximo dominio de deniin posible para F (x) en R.

() (0,7 puntos) Desarrolle F (x) en serie de potenias en torno a x0 = 0.

(d) (0,3 puntos) Determine para qu valores de x la serie obtenida en () onverge a la funin F (x).

Soluin.

(a) La serie de potenias pedida orresponde a la serie de Taylor en torno al origen (serie de MLaurin).

Podemos onstruir la serie a partir de la suma de la serie geomtria,

y (1, 1),1

1 y=

n=0

yn,

mediante el ambio de variable y = x2.Dado que y (1, 1) x (1, 1), tenemos:

x (1, 1),1

1 + x2=

n=0

(x2)n =

n=0

(1)nx2n = 1 x2 + x4 x6 + . . .

y de aqu tenemos que:

x (1, 1),2x

1 + x2= 2x

n=0

(1)nx2n = 2n=0

(1)nx2n+1 = 2(x x3 + x5 x7 + . . .)

sta es la serie pedida.

La serie onverge a la funin para x (1, 1) y orresponde a que su radio de onvergenia es 1. Podratambin haerlo en los extremos de ese intervalo. Lo estudiamos:

Para x = 1, la serie resulta ser:

2n=0

(1)n(1)2n+1 = 2n=0

(1)n+1.

Como el trmino general no tiende a ero, la serie no es sumable (no es onvergente).

Para x = 1, la serie resulta ser:

2n=0

(1)n,

que tampoo onverge, por el mismo argumento que en el aso anterior.

Se onluye, por tanto, que la serie onverge a la funin niamente para x (1, 1).

Alternativamente, puede razonarse que, por tratarse de una serie geomtria (on trmino iniial 2x yrazn x2), ser onvergente si y slo si su razn (x2) se enuentra en el intervalo (1, 1), por lo que laserie onverge a la funin si y slo si x (1, 1).

(b) Haiendo el ambio de variable s = t2 en la integral tenemos:

F (x) =

x

0

2t

1 + t2dt =

x2

0

1

1 + sds =

[ln(1 + s)

]x2

0

= ln(1 + x2).

Esta funin est denida en todo R porque el polinomio 1 + x2 toma valores superiores o iguales a 1 ypara esos valores el logaritmo neperiano est bien denido.

() Dado que F es una primitiva de f podemos obtener su serie de potenias integrando la serie obtenidapara f en el apartado (a), dentro de su intervalo de onvergenia.

Por las propiedades de las series de potenias, tenemos que:

x (1, 1),

x

0

2t

1 + t2dt =

x

0

(2n=0

(1)nt2n+1

)dt

= 2

n=0

(x

0

(1)nt2n+1 dt

)= 2

n=0

(1)n[t2n+2

2n + 2

]x

0

= 2

n=0

(1)nx2n+2

2n + 2

=

n=0

(1)nx2n+2

n + 1=

m=1

(1)m+1x2m

m= x2

x4

2+

x6

3

x8

4+ . . .

Este mismo resultado puede obtenerse tambin sustituyendo x por x2 en el desarrollo de ln(1 + x).

(d) La integrain trmino a trmino de una serie de potenias onserva el radio de onvergenia; del

resultado obtenido en el apartado (a) se onluye que este radio de onvergenia es 1. Comprobamos si hay

onvergenia en los extremos del intervalo:

Para x = 1, la serie resulta ser:

m=1

(1)m+1(1)2m

m=

m=1

(1)m+1

m.

Se trata de una serie de potenias alternada que, apliando el riterio de Leibniz, resulta ser onvergente.

De heho, es la serie armnia alternada.

Para x = 1, la serie resulta ser la misma que en el aso anterior y es tambin onvergente.

Por las propiedades de las series de potenias, se onluye que la serie onverge a la funin F parax [1, 1].

CLCULO 15 de enero de 2015 E3 (2 puntos)

Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .

Nota E3

El presentarse a la prueba onstituida por los ejeriios E3 y E4 supone la renunia

automtia a la aliain obtenida en la prueba de otubre de 2014.

EJERCICIO E3 - TEST (2 PUNTOS)

Este test onsta de 8 preguntas. Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta.

Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.

V F

X

1. El onjunto {x Q / x2 2} est aotado y tiene mximo y mnimo.

X

2. Si x es raional e y es irraional, entones neesariamente x+ y2 es irraional.

X

3. Todo nmero omplejo z veria Re(z) < |z|.

X

4. Las raes uartas de un nmero real negativo estn situadas en las bisetries de los uadrantes

del plano omplejo.

X

5. lmx+

x2 sen

(1

x

)= +.

X

6. Si f y g son funiones ontinuas en R, entones la funin x+ f 2(x) + g(x) es ontinua en R.

X

7. Si f es derivable en 0 y g es ontinua en f(0), entones g f es ontinua en 0.

X

8. Una funin derivable f : (, 0) (0,) R es estritamente reiente si y slo si

f (x) > 0 x R {0}.

CLCULO 15 de enero de 2015 E4 (3 puntos)

Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .

Nota E4

EJERCICIO E4 (3 PUNTOS)

Considere la funin

f(x) =

2

(x+ 1

3

)3si x 2

x ln(x 1) si x > 2.

(a) (1 punto) Determine el valor de que hae a f derivable en R.

En los dos apartados siguientes tome el valor = 1.

(b) (1 punto) Indique razonadamente si f es estritamente montona en R.

() (1 punto) Calule (f1)(f(3)).

Soluin.

(a) La funin es ontinua en R {2} por ser polinomial en x < 2 y una suma de funiones ontinuas enx > 2. El heho de que el valor f(2) = 2 oinida on los lmites laterales lm

x2 f(x) y lmx2+ f(x)hae a f ontinua en x = 2 y por tanto en todo R, para ualquier .

Anlogamente, f es derivable en R {2} por oinidir on un polinomio en x < 2 y ser suma defuniones derivables en x > 2. La derivabilidad en x = 2 se puede determinar de varias formas; la deniinde derivada ondue a los lmites laterales

lmx2

f(x) f(2)

x 2= lm

x2

2

(x+ 1

3

)3+ 2

x 2= 2

lmx2+

f(x) f(2)

x 2= lm

x2+

x ln(x 1) + 2

x 2= 1 lm

x2+

ln(x 1)

x 2= 1 .

En ambos asos el ltimo lmite puede resolverse apliando la regla de L'Hpital para obtener los valores

2 y , respetivamente.La derivabilidad de f en x = 2 requiere, entones,

2 = 1 ,

de donde = 1.

Tambin se puede razonar de la forma siguiente: es posible derivar los dos trozos que denen la funin

f , pues la prolongain de ada uno de ellos a un entorno de x = 2 es derivable y por tanto los lmiteslaterales en la derivada de f en x = 2 han de oinidir on las derivadas de ada uno de los trozos evaluadasen diho punto:

d

dx

(2

(x+ 1

3

)3)= 2

(x+ 1

3

)2d

dx(x ln(x 1)) = 1

1

x 1.

Igualando ambas expresiones en x = 2 obtenemos 2 = 1 , y, omo anteriormente, = 1.

(b) En x 2 la funin es un monomio bio, estritamente dereiente (por el oeiente negativo). Estosignia que

f(x0) > f(x1) si x0 < x1 2. (1)

La funin es ontinua en x = 2, siendo de heho derivable si = 1, on f (2) = 2. Por otra parte, dela expresin de la derivada en la regin x > 2 se dedue que sta es negativa tambin para x > 2; obsrveseque

11

x 1=

x

x 1

siendo el numerador negativo y el denominador positivo si x > 2. De manera que f (x) < 0 para todo x 2,

on lo ual

f(x1) > f(x2) si 2 x1 < x2. (2)

De las relaiones indiadas en (1) y (2) se dedue que f es estritamente dereiente en R.

() Por ser f estritamente dereiente, la inversa est bien denida; por ser f derivable, la inversa lo seren f(3) si y slo si f (3) 6= 0; efetivamente

f (3) =d

dx

( x ln(x 1)

)x=3

= 1 1

x 1

x=3

=3

26= 0

por lo que

(f1)(f(3)) =1

f (3)=2

3.