Estudios Profesionales para la Empresa1 La integral Determina la antiderivada más general....

Estudios Profesionales para la Empresa

1

La integral Determina la

antiderivada más general.

Interpreta la integral y su relación con la derivada.

Define la integral definida.

Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.


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Primitivas o Antiderivadas

Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.


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Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema

Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.


4

Interpretación geométricaInterpretación geométrica


5



6



7



8

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

n

x

xxfc

b

exfa

)( )

x1

f(x) )

)( )


9

x

n

e

x

nx

xgxf

xcf

1

)1(

)()(

)(

Función

x

n

e

x

nx

xGxF

xcF

ln

1

)()(

)(

1

Antiderivada particular


10

CALCULO DE ÁREAS

CALCULO DE ÁREAS

A2

A4

A3

A1

INTEGRAL DEFINIDA Y

INTEGRAL DEFINIDA Y


11


12

1e)x(f x

Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

xxf...xxfxxflimAlimA n21n

1ii

n

x


13

n

1iii

*

n

b

a

x)x(flimdx)x(f

b

a

dx)x(f

Integrando

Limite

Inferior

y superior

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.

El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.


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2° Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función integrable en [a, b]y F una primitiva de f en [a, b], entonces:

Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

b

a

b

a)x(F)a(F)b(Fdx)x(f


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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:

b

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

Propiedad de linealidad


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2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:

c

a

b

a

b

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

bac ,


17

La propiedad anterior es aplicadacuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.

Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

31 1 -

10 x )(

2

xx

xxf

3

0

1

0

3

1

2 dx)1x(dxxdx)x(f

3

0

dxxf


18

)ab(hdxhb

a

Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).

3.


19

3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendrá:

b

a

b

a

dx)x(fdx)x(g

Teorema de comparación


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b

a

0 dxf(x) entonces

b,xa cuando 0,f(x) Si .4

b

a

a)-M(b dx f(x) a)-m(b

b,xa cuando M, f(x) m Si 5.


21

Ejemplo: Usando la propiedad 5, estime entre qué valores se encuentra:

4

1dxx


22

DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:

a

a0dx)x(f.1

b

a

a

bdx)x(fdx)x(f.2


23

Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}

Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:

Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}

Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:

b

adx)x(f)S(A


24

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

b

a

f(x)dxA b

a

f(x)dxA

f(x)

dx

y

x0 a bx


25

Ejemplo 1:Calcular el área de la región:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}


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dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

d

c

g(y)dyA d

c

g(y)dyA

dA = g(y)dy

g(y)


27

2. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0.

3. Encontrar el área de la región xy = 1 ; x = 0,5 ; x = 2.

Ejemplos


28

Ejemplo 4:

Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.


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dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

b

a

dxg(x)-f(x)A b

a

dxg(x)-f(x)A

dA =[f(x) - g(x)]dxba


30

5. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;

2x1xy

-1 1

-1

1

x

y


31

6. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; x1y2

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